Devil_May_Cry
范文一：超静定结构位移
超静定结构位移
1、 图 b 为 图 a 所 示 结 构 的M 图 ，P = 28kN ，d = 3m ， EI 为 常 数， 求 中 间 铰
C 点 的 水 平 位 移 。
99
9
42
48. 7517. 25
M 图 (kN . m )
(a) (b)
解：
虚 拟 状 态
6
M 图（m ）
?CH =1EI (1
2?17. 25?6?6?2
3-11153
2?9?6?6?3) =EI (→)
2、 已 知 荷 载 作 用 下 结 构 的M 图 如 图 所 示 ， 求 横 梁 的 水 平 位 移 。梁 的 抗 弯 刚 度 为 3EI ， 竖 柱 的 抗 弯 刚 度 均 为2EI ，l = 6m 。
M 图 （kN ·m ）
解：
选 取 虚 拟 状 态 ，
M 图（m ）
?2EI (2?73. 44?6?6?2
3-1
2?56. 16?6?6?1272. 16
H =113) =EI (→)
3、 图 b 为 图 a 所 示 结 构 的M 图 ， 求B 点 的 竖 向 位 移 。EI 为 常 数 。横
q ql 32ql 2
2
(a) (b) M 图
解：
1
虚 拟 状 态
M 图
11ql 221ql 212ql 21ql 4
?B =(?l ??l ?-?l ??l ?-?l ??l ?) =EI 23326338224EI
(↓)
4、 已 知 图 示 结 构 的 M 图 （仅 BD 杆 承 受 向 下 均 布 荷 载 ，中 点 弯 矩10.5 kN·m ）， 求 C 点 竖 向 位 移 ?C V 。 各 杆EI 相 同 ， 杆 长 均 为 l = 2m 。
B C 10. 5A
M 图 (kN·m)
解：
选 基 本 体 系 ；作 M 图 ；
M 图（m ）
?CV =-
116?2?3?2?=-EI 2EI (↑)
5、 图 示 为 结 构 在 给 定 荷 载 作 用 下 的M 图 ， 求 其 截 面K 的 转 角 。
5Pl M 图
解：
M 图
119Pl 15Pl Pl 2
?K =(?l ??1-?l ??1) = （ ） EI 2142147EI
EI = 常 6、 已 知 荷 载 作 用 下 梁 的M 图 如 图 所 示 ， 求 截 面B 的 转 角 ?B ，
数 。
M 图
解：
选 取 虚 拟 状 态 ，作 M 图 ，
11ql 21ql 2ql 3
?B =(?l ??1-?l ??1) = EI 21422856EI
7、 图 示 连 续 梁 EI = 常 数 ， 已 知 其 弯 矩 图 （ 注 意 图 中 弯 矩 值 均 须 乘 2以 ql ）， 据 此 计 算 截 面C 的 转 角 。
M 图() 2
解：
图
117ql 21129ql 2217ql 3
?C =(-?l ??+?l ??) =(
EI 2100032100032000EI
8、 图 b 为 图 a 所 示 结 构 的M 图 ， 求 荷 载 作 用 点 的 相 对 水
平 位 移 。EI 为 常 数 。
Pl /16
/2
/2
Pl /16Pl /4Pl /16 Pl /16 M 图
(a) (b)
解：
虚 拟 状 态 ，
l 1l Pl l 11l Pl l 1Pl l 5Pl 3
?=[(???-????) ?2+l ??]=EI 2162222423162192EI (→←)
9、图 示 两 跨 连 续 梁 在 荷 载 作 用 下 的 弯 矩 图 已 作 出 如 图 所 示 ， 试 求B 与 C 两 截 面 的 相 对 角 位 移 。EI = 常 数 。
2q 2 2 ql 5 2ql 2 M 图
解：
M 图
?BC 11ql 2ql 3=-??l ??1=-EI 2510EI （ ）
10、图 a 所 示 结 构 EI = 常 数 ， 已 知 其 弯 矩 图 （ 注 意 图 中 弯 矩 值 均 须 乘 2以 ql ）， 据 此 计 算 截 面 B 和 C 的 相 对 转 角 ?B C 。
220. 0422. 8259. 1348. 022M 图 (?ql )
图 (a)
解：
图
?BC 1122. 82ql 2120. 04ql 21. 39ql 3=(-?l ??1+?l ??1) =- （ EI 21002100100EI ）
11、 求 图 示 单 跨 梁 截 面 C 的 竖 向 位 移 ?C V 。 解：
3EI
l 3EI l 2?+ 取悬臂梁为静定基本结构
?CV =?MM P 11l l 3EI 3EI 5l ds -∑Rc =-????(?+2?) ?-(-??) EI EI 222l l 62 3l 5=(?-?) (↓) 1616
或取简支梁为静定基本结构
?CV =?MM P 11l 3EI 3EI 1l ds -∑Rc =??l ??(?+2?) ?-(??) EI EI 24l l 22 3l 5=(?-?) (↓) 1616
范文二：超静定结构
1、 理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、
基本静定系以及相当系统等。
2、 熟练掌握用力法求解超静定结构。
3、 掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。 4、 了解连续梁的概念以及三弯矩方程。
1
超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。
静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方
程求出的机构或结构系统。
多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。
外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。
内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。
混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为
静定基）。静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。
超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数
之差。
2
力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充
方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。
应用力法求解超静定问题的步骤：
1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。
2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合
适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有
n个多余约
束的结构）
,F，,F，,,,，,F，,,011R112R21nRn1F
,F，,F，,,,，,F，,,021R122R22nRn2F
.
,F，,F，,,,，,F，,,01n1R2n2RnnRnnF其中F表示n个多余约束力，,表示F＝1引起i处沿F方向的位移，,表示结构所有已知载荷产生RiijRjRiiF的在i处沿F方向的位移。 Ri
4）用莫尔积分计算,，, ijiF
在基本系统上的不同多余约束处分别施加单位力（广义力），建立单位载荷系统，作出相应内力图。
在基本系统上加上外载荷，作出相应内力图，用图乘法分别求出,，,。 ijiF
5）求解正则方程，解出未知多余约束力F，作出载荷及多余约束力作用于基本静定系上引起的内力Ri
图，供进一步分析用。
3
对称结构：几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴的结构。
当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结
构将产生反对称变形。
当对称结构上受对称载荷的作用时，在对称截面上，反对称内力为零或已知；当对称结构上作用反对
称载荷时，在对称截面上，对称内力为零或已知。当对称结构上作用的载荷不是对称或反对称的，但可把
它转化为对称和反对称的两种载荷的叠加，则可求出对称和反对称两种情况的解，叠加后即为原载荷作用
下的解。
4
1）、连续梁及其超静定次数：一简支梁，在其两支座中间增加若干个辊轴铰支座形成的超静定结构，
称为连续梁。中间支座的个数即其超静定次数。
2）连续梁的静定系与相当系统：将支座上方梁切开改为铰链连结，每一跨都是一个简支梁，即为连
续梁的一种静定系。在静定系上加上外载荷，在中间支座上方铰链处加上一对大小相等、方向相反的力偶
矩M
，M，...，M（设有个m中间支座），以多余未知力M，M，...，M为基本未知量。 12m12m
3）变形协调条件与三弯矩方程：比较相当系与原系统，中间支座上方梁的两侧截面相对转角为零（原
系统是连续的，在支座处不会折断）。据此写出正则方程，即三弯矩方程。
,,6,6,abnnn，1n，1,,2，， ，，，,,，MlMllMln,1nnnn，1n，1n，1,,ll,nn，1,其中M为第n个中间支座处的弯矩，l为第n个中间支座左段梁的跨度，,为跨度l对应的弯矩图的面nnnn
表示外载荷单独作用下，跨度l内弯矩图面积,的形心到左端的距离，b表示外载荷单独作用下，nnnn+1跨度l内弯矩图面积的形心到右端的距离。 ,n+1n+1积，a
4）求出由m个中间支座组成的连续梁的联立方程组，解出多余约束力M（n=1,2,m）。最后，问题…n化为基本静定系的求解。
1、 抗弯刚度为EI的梁AB的支承及受力情况如图（a）所示，试求约束反力。
( )
( )
( )
解：图（a）所示结构是关于梁中点对称的结构，结构上的载荷既非对称又非反对称，但我们可将其分解
成对称和反对称两种载荷的叠加。我们先来研究对称载荷的情况。将图示梁沿对称截面E切开，对于平面
问题，对称截面上将有三对内力。由于对称载荷只有对称内力，则作为反对称的剪力为零。其次，在没有
水平方向载荷的情况下，由于梁的弯曲变形很微小，横截面的水平位移为二阶微量，可以忽略，因此，水
平方向的约束反力也可忽略不计，于是约束反力仅有一对，即力偶F（图（b））。注意到对称截面的转角R1为零，研究其中一半，正则方程可写成
F,，,,0 （1） R1111F
式中，,是由于F引起的E截面的转角；,为F=1时引起的E截面的转角，由图（b）不难得到 1F11R1
22Faa,,,,,, 1F112EIEI将,和,代入正则方程（1）中，可得 1F11
FaF, R14
由此求得图（b）中A点的约束反力
3Fa''(),,,FFM AA4同理可得B点得约束反力
3Fa''(),,,FFM BB4其次，再研究反对称载荷。沿结构得对称截面E切开，截面只有反对称内力，即剪力F（图（c））。注意R1到，对称截面得垂直位移为零，研究其中一半结构，其正则方程同（1）式，由图（c）可得
335Fa8a,,,,,, 1F116EI3EI将,和,代入正则方程（1）中，可得 1F11
F5F, R116
由此求得图（c）中A点和B点的约束反力
113FFa''''(),,,FM AA168
113FFa''''(),,,FM BB168由叠加法可知，结构A端和B端得约束分别为
279FFa''''''(),，,,,，,FFFMMM AAAAAA168
53FFa''''''(),，,,,，,FFFMMM BBBBBB168
2、求解图（a）所示连续梁。
解：支座编号如图所示。l=6m，l=5m，l=4m。基本静定系得每个跨度皆为简支梁，这些简支梁在外载123
荷作用下得弯矩图如图（c）所示。由此求得
12,,，48，6,144kN,m 12
22,,，7.5，5,25kN,m 23
12,,，30，4,60kN,m 32
( )
( )
( )
( )
,,,
( )
( )
( )
( )
同时可求得以上弯矩图面积得形心得位置
6，28a,,m 133
5a,b,m 222
4，15b,,m 333梁在左端有外伸部分，支座0上梁截面得弯矩显然是
12M,,，2，2,,4kN,m 02
对跨度l和跨度l写出三弯矩方程。这时n=1，M=M=-4kN,m，M=M，M=M，l=l=6m，l=l=5m，12n-10n1n+12n1n+12
a=a=8/3m，b=b=5/2m。代入三弯矩方程，得 n1n+12
6，144，86，25，5,4，6，2，M，(6，5)，M，5,, 126，35，2再对跨度l和跨度l写出三弯矩方程。这时n=2，M=M，M=M，M=M＝0，l=l=5m，l=l=4m，23n-11n2n+13n2n+13
a=a=5/2m，b=b=5/3m。代入三弯矩方程，得 n2n+13
6，25，56，60，5M，5，2，M，(5，4)，0，4,,, 125，24，3整理上面得两个三弯矩方程，得
22M，5M,,43512 5M，18M,,22512
解以上联立方程组，得出
M,,18.07kN,m,M,,7.49kN,m12
求得M和M以后，连续梁三个跨度得受力情况如图（b）所示。可以把它们看作是三个静定梁，而12
且载荷和端载荷都是已知得。对每一跨都可以求出反力并作剪力图和弯矩图，把这些图联接起来就是连续
梁得剪力图和弯矩图。进一步可以进行强度和变形计算。
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范文三：超静定结构
第4章 超静定结构 ?4.1 超静定结构特性
? 由于多余约束的存在产生的影响
1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。
2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。
3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。
4. 结构刚度和稳定性都有所提高。
? 各杆刚度改变对内力的影响
1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。
2. 计算内力时，允许采用相对刚度。
3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。
4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。
? 温度和沉陷等变形因素的影响
1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内
力，即在无荷载下产生自内力。
2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。不应盲目增大结构截
面尺寸，以期提高结构抵抗能力。
3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。 ?4.2 力法原理
? 计算超静定结构的最基本方法
超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不
能或不能全部根据静力平衡条件确定。力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的
静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超
静定次数）。根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结
构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。这里，基本体系起了从
超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问
题来解决。
? 基本结构的选择（解题技巧）
1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静
定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。
2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δ= 0。 ij
3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。
4. 对称取基本结构；或利用对称性取半结构；或求弹性中心；以减少未知力数目，并
使力法方程解耦。
? 力法典型方程
典型方程可写成矩阵形式 ：
δ Δ(4.2.1)
式中，δ为柔度系数矩阵（对称方阵）；为多余未知力列阵；Δ为自由项列阵（外因作用
下的广义位移列阵）；为原结构多余联系处的已知位移（不一定为零）列阵。
? 力法的解题步骤
1. 确定基本未知量，合理选取基本结构。
2. 根据多余联系处的位移（变形）协调条件，建立力法方程。
1
3. 计算力法方程中的柔度系数和自由项。
绘制基本结构的图、M图（或写出弯矩方程），并图乘（或积分）。其它外因下的MPi
自由项由位移公式求得。对于桁架结构，只考虑相应的轴力图。对于超静定拱，求方程系数、
自由项时图乘法不再适用，位移系数计算时往往要考虑轴力或曲率的影响。 4. 解力法方程（线性代数方程组），求出多余未知力。
5. 绘制超静定结构的内力图。
对于受弯结构，一般先绘M图，再按M、Q、N的顺序依次作图。可利用已有的图、Mi图，根据叠加公式绘制；也可将已求的多余力和荷载加在基本结MM,MX，MiP,iP
构上，按静定结构方法计算绘制最后内力图。桁架结构按叠加公式标N,NX，Ni,iP注轴力图。
6. 内力计算校核（包括平衡条件校核和变形条件校核）。
4 例1 图4.2.1a所示连续梁为28a号工字钢，I=7114cm，E=210 GPa，l =10 m，P=50 kN。若欲使梁内最大正、负弯矩的绝对值相等，问应将中间支座升高或降低多少？
解：选取如图4.2.1b所示基本体系，依题意有，得，M,Pl/4,M/2M,Pl/6作M图（图4.2.1c）。
求中间支座B处位移，取如图4.2.1d所示的基本结构，作M图。图乘得 1
321Pll1PllPl,,,,,，l，，，，，l，,,,By EI263244144EI ,,
36,8,50，10/(144，210，10，7114，10),0.0232m(,)
需要注意，对于连续梁，常取多跨简支梁为基本结构，不仅易于作弯矩图，并使弯矩图
限于局部，而且直接得到作为多余未知力的梁支承处的负弯矩（控制设计）。由于选取了图
4.2.1d的基本结构，使,，故求时不必叠加支座移动影响。,R,,0 By,
P P P P MBAACC
B
(b) (a)
Pl/6X1 =1P P
BACCA
l/2BPl/6Pl/6
(d) M1图(c) M图
图4.2.1 例4-1图
? 对称结构计算
对称结构在对称荷载（指广义荷载，包括各种外因）作用下只产生对称分布的内力（变
2
形），在反对称荷载作用下只产生反对称分布的内力（变形）。利用对称性可选取半结构计算，
根据内力和变形特点，在对称轴处加上相应的支座约束，可求得原结构的解，并减少计算量。
对称结构受任意荷载作用时，也可将荷载分解成对称和反对称两组，分别利用对称性计算后，
叠加所得结果即可得到原问题的解答。
例2 计算图4.2.2a所示刚架，绘出弯矩图，并求出C点的竖向位移。E=常数。
解：该结构内部12次超静定（数框格），而且对称，支座本不对称，但结构外部静定，
易求得支座反力H=0。因此，对称结构在对称力作用下（对称轴为CD线，图4.2.2b），取A
半结构计算（图4.2.2c）。与原结构相比，A点可以上下位移，但C点约束，其相对位移是一致的。若将A处的4P力分组为作用在A和A’点的对称与反对称力，对称时仅AA’杆受轴向压力2P,反对称时再取半结构计算（图4.2.2d）。同样处理，还可以再取半结构（图
4.2.2e）。此时，原结构的1/8结构已降为一次超静定，选基本体系（图4.2.2f），作M图1
和M图（图4.2.2g、h），图乘得 P
3aaaaaa127,EIa,，，，，，，，,11222322224 3aPa1EIPaa,,,，，，,,1P224
3,Pa246P1则 X,,,，,P13a,47711
由部分M图按对称或反对称情况复制成原结构M图（图4.2.2b）。
求原结构C点竖直向下位移，就是求C点相对于A点的竖直向下位移，或者说是A点相对于C点的竖直向上位移。因此既可以在原结构的C点处，也可以在原结构的某一基本
结构（图4.2.2f）的A点上加单位力作M图（图4.2.2i）与相应的部分M图（图4.2.2j）图乘，求得C点竖向位移：
31113245Pa 2 ,,，，a(,，，，)Pa,(,)CVEI2373742EI
8P 8P DA'III
III2I
I2I2I2I
2IIIIICIIAAAABBICCIC4P 2P 4P 4P
(c)(d)(a)(b) M(×Pa)
3
IICIICAA
P P
1(g) M(e)(f)
CCAA
P=1 P
(i) M(h) MP(j) 部分M图(×Pa)
图4.2.2 对称性利用
? 超静定结构位移计算
由于超静定结构的位移解答是唯一的，它可以看作是从任一基本结构上求得的，只要已
知超静定结构的内力分布，即可从任一基本体系出发，按该静定结构受多种外因作用求位移
的方法，求得超静定结构在某外因下的位移。因此，基本体系的选取直接关系到求位移的计
算量。以图乘法求位移为例，选取一个便于计算的基本结构，作虚弯矩图（即M图）；将原
超静定结构的最后MM图作为基本结构求位移的实际“荷载弯矩图”；与M图乘得超静定结构位移，但该位移仅在原结构受荷载外因作用时才是正确的。因为在温度变化和支座移动等
外因作用时，超静定结构位移既要考虑内力（弯矩）产生的位移，也要考虑静定基本结构因
温度变化和支座移动等产生的位移。因此，超静定平面结构位移计算的一般公式为：
,kQQdsMMdsNNds,tM,,，，，tNds，ds,Rc, (4.2.2) ,,,,,,,,,,,EIEAGAh
式中，MQM、N、Q为超静定结构在各种外因作用下的实际内力；、N、为基本结构在
单位力作用下的虚内力；R为基本结构在单位力作用下的虚反力；c为支座的实际位移。 ?4.3 位移法与渐近法
? 基本未知量与基本体系
1. 位移法的基本未知量为结构结点处独立的角位移和线位移，与超静定次数无关，因
此位移法也可解静定结构。杆件自由端和滑动支承端的线位移及铰结端的角位移不作为基本
未知量；组合结点（半铰）处的角位移应视为基本未知量；刚性梁结点处转角视为已知位移。
待求结构中若有静定部分，其内力可用平衡方程直接获得，其位移不作为基本未知量考虑；
但弹性支座处位移要作为基本未知量。为了减少基本未知量，受弯杆件一般不考虑轴向变形。
2. 在原结构刚结点上附加刚臂，在独立线位移方向上附加链杆，将结构离散成具有已
知形常数和载常数的单根固端杆件处理，从而形成更高次超静定的位移法基本体系，附加约
束数同基本未知量数。要恢复原结构，附加约束上的总反力应等于零，据此建立位移法典型
方程，求出结点位移（称典型方程法或基本结构法）。
? 转角位移方程
4
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均可看作是单根超静定梁，因此需要计算这种梁
在杆端A、B发生的转角φ、φ和侧移Δ（两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移）以ABAB
及在荷载等外因作用下的杆端弯矩和剪力（载常数）。所谓转角位移方程就是求杆端弯矩的
一般计算公式，由力法导出等截面杆转角位移方程中的形常数（由位移引起的杆端内力）和
载常数。结构较简单时，可逐杆写出转角位移方程，以结点或结构部分为对象，建立与各结
点独立位移相应的广义力平衡条件，得到位移法方程，解决位移计算（称平衡方程法）。 ? 位移法典型方程
1. 一般形式： ( i=1,2,?,n； j=1,2,?k. ) (4.3.1) rZ，R,0,ijjiP
式中，n为附加约束数，k为基本未知量数，r为反力系数（刚度系数），R为自由项。 ijiP
2. 矩阵形式： Δ (4.3.2) 式中，为结构刚度矩阵（对称矩阵），Δ为未知位移列阵，为广义荷载反力列阵。
位移法方程实际上是每个刚结点处与转角相应的力矩平衡方程和与独立结点线位移相
应的截面平衡方程（力的投影方程），平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，可解
出全部基本未知量。
? 位移法的解题步骤
1. 确定基本未知量，附加约束形成基本结构。
2. 利用基本体系建立位移法典型方程。
3. 由基本结构的图、M图求系数和自由项。 MPi
4. 解位移法方程，求结点位移 Z . i
5. 按 叠加得最后弯矩图。 M,MZ，M,iiP
6. 用平衡条件校核内力图。
例3 用位移法计算如图4.3.1a所示刚架，绘制弯矩图。E=常数。
解：取基本体系如图4.3.1b。设E结点转角为Z，DF杆水平位移为Z，作M图、M1212图、M图（图4.3.1c、d、e）。计算系数和自由项： P
r,6i，6i，4i,16i,r,r,,6i/l 111221
3i3i12i18i3 r,，，,,R,0,R,,ql221P2P22228llll
代入位移法方程，得
6i,16iZ,Z,0,12,l ,6i18i3,Zql,，,,012,l8l,
22qlql解得 Z,Z,,12112i42i
由 M,MZ，MZ，M ，作M图(图4.3.1f)。 1212P
5
Z1Z1=1DFZ22Ir212IZ1EZ1=1DFZ22Ir212IEqqIIIqqIIACBIACB
1(a)(b) (c) M 1(a)(b) r12R1P6i/l 6i/l (c) MZ2 =13R2Pr22DE6Fr12R1P6i/l 6i/l 3i/l Z2 =13i/l 3ql/8 3R2Pr223DE6F2.583i/l 3i/l 3ql/8 32.585ql/8 AB3i/l 76i/l ql /8 113i/l C45ql/8 AB3i/l 76i/l ql /8 113i/l C4(e) MP(f) M(×ql /56)(d) M2
(e) MP(f) M(×ql /56)(d) M2
图4.3.1 例4-3图
? 位移法的解题技巧
1. 利用结构对称性，取半结构计算。
2. 与力法结合，简化计算（联合法与混合法）。
例4 试举例说明联合法与混合法的应用。
解：?联合法应用 分析如图4.3.2a所示一般荷载作用下的对称刚架。
不论用力法或位移法都有六个基本未知量。若将荷载按对称和反对称分组，在正对称情
况下取半结构（图4.3.2b），无侧移刚架宜用位移法计算，只有两个基本未知量（用力法则
有四个多余力）。在反对称情况下，取半结构如图4.3.2c，用位移法有四个基本未知量（两
个结点角位移和两个结点线位移），若用力法，则仅有两个基本未知量（去掉两个链杆支座，
代以多余未知力）。因此，将力法和位移法联合对不同的半结构求解，都只有两个未知量，
显然简化计算。
Z1
P/2 P P 1 XZ2
X2
(c) 反对称半结构(a)(b) 正对称半结构
图4.3.2 联合法
?混合法应用 计算图4.3.3a所示刚架，绘制M图，E=常数。
对结构上半部用力法：去掉F链杆支座约束，代以未知力X；对结构下部用位移法：在1C结点加刚臂，设C转角为ZMMM；在这类基本结构上作图、图、图（图4.3.3b、212P
c、d）。计算系数、自由项得
6
112256,(，4，4，，4，4，4，4),,11EI233EI
311 r,EI，2EI，2EI,EI,r,4,,, 22211222
11128,,,，4，4，，16,,,R,,16(kN,m)1P2PEI2EI
,,X，Z，,,0,1111221P代入混合法典型方程 ,rXrZR，，,02112222P,
256128,XZ,4,,0,12,EIEI3得 ,11,XEIZ4，,16,012,2,
1441601.758解得 X1.582kN,Z,,,,129191EIEI由 M,MX，MZ，M 作M图（图4.3.3e）。 1212P
4kN EFIX1=1
IZ2=1 ACD2I2I
2I
B
(c) M2(b) M1(a)
6.330FE6.330
2.6371.758mC9.670A3.5163.516D
B1.758
(d) MP(e) M( kN m )
图4.3.3 混合法
? 渐近法
1. 力矩分配法
20世纪30年代出现的力矩分配法（也称“林氏法” ）以及随后出现的无剪力分配法、
迭代法等都以位移法为基础，其共同特点是避免组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法
来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增多而提高，最后收敛于精确解。 渐近法的物理概念生动形象，重复相同步骤，易于掌握。由于该法可不经过计算结点位
移而直接求得杆端弯矩，在电脑普及的今天，仍在结构设计中被广泛使用，适用于手算连续
7
梁和无侧移刚架。
力矩分配法的实施步骤：?准备工作 求各杆端的转动刚度（劲度系数）、分配系数和
传递系数。?固定结点 计算各杆的固端弯矩，得出各结点的不平衡力矩。?放松结点 将不平衡力矩反号乘分配系数，分配给汇交于该结点的各杆近端，再乘传递系数传至远端。多
结点时，轮流放松各结点，重复以上步骤，直至各结点的传递弯矩小到可以忽略为止。?计
算结果 叠加固端弯矩、历次分配弯矩和传递弯矩，得出各杆端最后弯矩后，逐杆绘制弯矩
图。
2. 无剪力分配法
适用于有侧移刚架（其中只包含无侧移杆和剪力静定杆）的特殊的力矩分配法。对于单
跨对称刚架，取荷载反对称时的半刚架为基本结构，可用无剪力分配法计算。也可推广应用
到符合倍数关系的多跨刚架[6]。
无剪力分配法实施要点：?横梁按近端固定、远端铰支的单跨梁计算固端弯矩，近端转
动刚度S=3i，传递系数C=0。?立柱视为上端滑动、下端固定的单跨梁，计算在柱顶以上各
层所有水平荷载作用下的固端弯矩，近端转动刚度S= i， 传递系数 C=－1 。?力矩的分配与传递同一般力矩分配法。
?4.4 矩阵位移法及程序功能扩展
? 基本特点
? 位移法（原理）+ 矩阵（表达）+ 电算（程序），也称“杆系有限元法”。
? 以结构结点位移为基本未知量，以平衡方程（刚度方程）为基本方程。
? 主要解题步骤包括：单元分析（“拆”或“离散”）、整体分析（“搭”或“集合”）。 ? 局部与整体坐标下的单刚
EAEA，，平面自由单元局部坐标系中的单元刚度矩阵（考虑轴向变形的弯曲单元，对称）： ,0000,,ll,,EIEIEIEI126126,,,00llll,3232,EIEIEIEI6462,,,00 (4.4.1) ,,22llllk,,,eEAEA,,,,,0000ll,,EIEIEIEI126126,,,,,003232,,llll,,EIEIEIEI6264,,,0022llll，，
eeT整体坐标系中的单元刚度矩阵： (4.4.2) ,,,,,,,,k,TkT
式中，,,T为单元坐标转换矩阵，即
,cos,sin0000，，
,,,,sin,cos0000,,
,,001000 (4.4.3) ,,T,,,000cos,sin,0,,
,,,,000,sincos0,,000001,,，，
8
? 结构刚度矩阵（总刚）
e在整体坐标下集成结构原始刚度矩阵[K]时，由单刚[k]扩阶后，子块对号入座叠加而成（直接刚度法）。集成时，依定位向量对约束条件先作处理，称“先处理法”。对集成的原
始总刚引入支承条件进行修改的称“后处理法”。
? 等效结点荷载
综合结点荷载列阵 ： ,,,,,, (4.4.4) P,P，PDE
式中，,,,,是直接结点荷载列阵；是等效结点荷载列阵，由各单元等效结点荷载列阵PPED
eeeT在相应结点上叠加而成；为单元在非结点荷载作用下局部坐标,,,,,,,,P,,TFFFFE
系中的固端力列阵。
? 计算步骤
1. 单元和结点编码，建立局部和整体坐标系（与程序设计一致）。
2. 求局部和整体坐标系中的单刚。
eeeeee局部单元刚度方程 ,,,,,,F,k, ，整体单元刚度方程 。 ,,,,,,F,k,
3. 集成结构原始总刚。子块对号入座叠加而成（直接刚度法）。在集成时，依定位向量
对约束条件先作处理，称先处理法。
4. 求综合结点荷载列阵。
5. 引入支承条件（后处理法，单刚统一，程序通用性强），用置大数法或划零置一法修
改结构原始总刚。
6. 解结构刚度方程[K]{Δ}={P}，求结点位移{Δ}。
e7. 计算各单元的杆端内力。若单元在非结点荷载作用下，单元杆端力还应叠加相,,F
eeeee应的固端力。即 ，分两步实现： ,,,,,,,,,,FF,k,，FFF
eeeee?回代，,,,,,,,,F,k,，F ；?变换，。 ,,,,,,F,TFF
除了第一步编码、准备输入文件外，其余由计算机程序（SDAP）按上述步骤自动运行。输入文件中，头五行写标题（也可空行）；第六行填材料弹性模量、杆件单元数、结点数、
支承条件数、荷载情况数、始端单铰单元数和功能选择指标IFRG。由平面刚架静力分析程序改写扩展而成的SDAP小程序包已具备静动力多种计算功能。 ? 程序功能扩展
[4]计算机程序设计可以从平面刚架静力分析程序起步，根据需要不断扩充其功能。本程序SDAP按模块设计共设置29个子程序，其名称及功能见框图说明。主程序起组织整个计算
的作用，通过调用功能单一的子程序完成各项具体计算。从主程序的说明部分开始到主程序
的END语句结束（自动停机）。主程序读入控制指标IFRG值控制四种主要计算功能：为0
时作梁、桁架、刚架、拱及其组合或混合平面结构的静力分析；为1时计算交叉梁系，以考虑某些结构的面外特性；为2时进行平面弹性稳定分析；为3时进行平面结构动力特性分析。源程序框图如下：
9
SDAP主程序说明
部分
输入控制数据，分配工作数组
调用子程序IOMJS输入输出杆元，结点，材料和支座数据
调用子程序LCVCT确定各单元定位向量
调用子程序LCDIA确定总刚对角元地址 IFRG=2或3 图4.4.2 IFRG=0或1 44.4.2 调用子程序FORMA形成总刚 图4.4.4 调用子程序AS总刚引入支承条件
调用子程序LDLT总刚分解，解线性方程组
按荷载情况（NLC）循环，可制作影响线
输入输出荷载数据形成荷载列阵B 图4.4.5 调用子程序BS置大数法，结点荷载列阵引入支承条件
调用子程序SLVEQ前后回代解线性方程组
调用子程序DJD输出结点位移
调用子程序COTF计算并输出杆端力
KEBAR或 RLCS KKEBAR END
10
图4.4.1 源程序主框图
[12]求广义特征值问题Ｋφ＝λＭφ最小几个特征值和对应特征向量的子空间迭代法，包
括四个主要步骤：总刚的分解，子空间迭代，Sturm序列校核及误差估计（图4.4.2）。对于
MCK型特征问题，拟改用逆兰索斯法。
图4.4.3 调用子程序FORMA形成总刚（或总质）
调用子程序AS总刚（或总质）引入支承条件
调用子程序EXCHG对角元信息转换
输入控制数据（0或1）特征值数、显示迭代过程、检查
调用子程序SSPACE子空间迭代法解特征问题 (详见图4.4.6）
输出分析结果
STOP
图 4.4.2 源程序子框图1
NNN=0
对杆件循环 子程序SKEBAR计算子程序RLCS计算 局部坐标几何单刚 杆长余弦正弦 子程序KE
计算整体坐
标单刚
子程序KEBAR计子程序RLCS计算
对号入座集成 算局部坐标单刚 杆长余弦正弦
NNN=1
对杆件循环
子程序ME 子程序EMASS 子程序RLCS计算计算整体坐
计算局部坐标单元质 杆长余弦正弦 标单元质量
对号入座集成 11
图 4.4.3 源程序子框图2
对杆件循环 IFRG=0梁刚架拱 子程序KE 计算整体坐子程序KEBAR 子程序RLCS计算
标单刚 计算局部坐标单刚 杆长余弦正弦
对号入座集成
对杆件循环
IFRG=1交叉梁系 子程序KKE 子程序KKEBAR 子程序RLCS计算计算整体坐 计算局部坐标单刚 杆长余弦正弦 标单刚
对号入座集成
图4.4.4 源程序子框图3
12
输入受载结点数
子程序BO荷载列阵置零
有无结点荷载
子程序IOLJB输入输出结点荷载形成荷载列阵B
输入非结点荷载数
子程序FO杆端力置零
有无非结点荷载
子程序IOLMFB非结点荷载处理
调用子程序BS??
图4.4.5 源程序子框图4
13
设定雅可比迭代容许误差
初始化
建立初始迭代向量
调用子程序DECOMP总刚LDLT分解
循环迭代开始
按升阶整理特征值 计算投影矩阵
计算近似特征向量 调用子程序REDBAK向量回代 Kx,Rk，1 x,TT,R检查特征值收敛 k，1
调用子程序MULT矩阵乘 输出特征对
R,B,TT,xM,TTk，1 迭代结束 R,TT,xMx,BRTk，1k，1
误差估计
调用子程序JACOBI广义雅可比法
调用子程序SCHECK
Sturm序列检查 求子空间算子特征解
END
图4.4.6 源程序子框图5
? 计算实例
例1 侧向风载下多层刚架分析。 图4.4.7a所示平面刚架，杆件截面为矩形，柱
2-3424A=0.16m，I=2.133×10m；梁A=0.28m，I=0.01143m。E=常数，取1计。风荷载化为均布风压作用于刚架一侧。 准备数据时，注意程序规定的荷载类型和方向（均以整体坐标
x、y方向为准）。该程序适用于分析高层多跨钢筋混凝土刚架，得到各梁柱的杆端力后，
按简支梁叠加法作M图，进而作Q图、N图。
The Terminal Forces（杆端力）
Member N(st) Q(st) M(st) N(en) Q(en) M(en)
1 -133.138 130.459 219.637 133.138 -50.459 142.200
2 133.138 89.541 191.534 -133.138 -89.541 166.630
3 37.148 -83.331 -248.565 -37.148 83.331 -251.422
4 -49.807 87.607 106.365 49.807 -17.607 77.759
5 49.807 52.393 84.792 -49.807 -52.393 98.584
14
6 36.284 -41.270 -124.827 -36.284 41.270 -122.791
7 -8.538 53.891 47.067 8.538 16.109 19.051
8 8.538 16.109 24.207 -8.538 -16.109 32.175
9 16.109 -8.538 -19.051 -16.109 8.538 -32.175
19.132.232.2
19.1
16.7122.877.898.624.247.1251.4124.8
16.4166.6142.2106.484.6
248.6
19.11.28191.5219.6
(b) M( kN m )(a)
图4.4.7 有侧移刚架
y P
+0.558P+0.625P
-0.789P
0
-0.442P
x -0.442P
(b) N(a)
图4.4.8 超静定桁架
例2 超静定平面桁架。计算图4.4.8a所示超静定平面桁架，各杆截面积A仍按实际值输入，而对截面惯矩I有两种处理方法（一种是取小值，但不可为零；另一种是取零，但令
铰结点转角为零），计算结果一致。
The Terminal Forces（杆端力）
Member N(st) Q(st) M(st) N(en) Q(en) M(en)
1 .4422 .0000 .0000 -.4422 .0000 .0000
2 -.5578 .0000 .0000 .5578 .0000 .0000
3 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
4 .4422 .0000 .0000 -.4422 .0000 .0000
5 .7888 .0000 .0000 -.7888 .0000 .0000
15
6 -.6254 .0000 .0000 .6254 .0000 .0000
例3 多跨排架。计算如图4.4.9a所示的排架结构，E=常数。水平杆的轴向变形刚度无
35穷大，故其截面积A取一个大数（如10～10即可）；水平链杆无弯矩，可取I=0，这时各
杆I不为零（取实际值），总刚仍非奇异，故不必对铰结点加约束处理。
The Terminal Forces（杆端力）
Member N(st) Q(st) M(st) N(en) Q(en) M(en)
1 .000 72.616 248.545 .000 -12.616 7.152
2 .000 12.616 -7.152 .000 17.384 .000
3 17.384 .000 .000 -17.384 .000 .000
4 .000 17.384 .000 .000 -17.384 52.152
5 .000 8.693 -52.152 .000 -8.693 104.312
6 8.691 .000 .000 -8.691 .000 .000
7 .000 8.691 .000 .000 -8.691 52.143
(压）
1I1I(压）7.1552.14
III104.3154.14258.54
(b) M( kN m )(a) I1:I2:I3=1:2:5
图4.4.9 多跨排架 例4 组合结构。如图4.4.10a所示结构由梁式杆（受弯杆）和桁架杆（链杆）两类组
成。在初始数据中，梁式杆忽略轴向变形；桁架杆的惯矩I取零，并在桁架杆汇交结点上增加转动约束条件（若I取很小值，但不等零，可不加约束），以保证总刚度矩阵非奇异。计
算该组合结构，并绘内力图。
The Terminal Forces（杆端力）
Member N(st) Q(st) M(st) N(en) Q(en) M(en)
1 125.169 -1.723 .000 -125.169 1.723 -5.169
2 125.169 40.000 5.169 -125.169 40.000 -5.169
3 125.169 1.723 5.169 -125.169 -1.723 .000
4 -131.939 .000 .000 131.939 .000 .000
5 41.723 .000 .000 -41.723 .000 .000
6 -125.169 .000 .000 125.169 .000 .000
7 41.723 .000 .000 -41.723 .000 .000
8 -131.939 .000 .000 131.939 .000 .000
80kN
-125.2
+131.9-41.7+131.9+125.2
(a) (b) N(kN)
16
405.175.171.72
1.724054.8
(c) M(kN?m) (d) Q(kN)
图4.4.10 组合结构
例5 框架剪力墙结构。求图4.4.11a所示框架剪力墙组合体系的内力。已知剪力墙厚
12cm，宽2.5m，刚架立柱截面尺寸40cm×40cm。横梁为无限刚性，E=常数。易算得
2-3424A=0.16m,I=2.133×10m,A=0.3m,I=0.1563m。 WW
如图划分单元。初始数据中剪力墙取实际截面面积和惯矩，刚架立柱取实际惯矩，由于
不考虑轴向变形，故取较大的截面积；横梁惯矩和截面积均取较大值。两链杆取为适当的短
杆以及很小的惯矩和足够大的截面积。矩阵位移法的计算结果与子结构法或混合法等手算结
果一致。但本题计算剪力墙变形时没有考虑剪切变形的影响，如果剪力墙较宽（宽度大于高
度的1/5时）则应采用考虑剪切变形的单元刚度矩阵计算，原单元刚度矩阵将作如下修正
EA，，
,,l,,对称EI12,,0，,l(1),,3,,，,EIEI(4)6 e0,,,, 4.4.5) ，,l，,l(1)(1)2,,k,EAEA,,,00,,ll,,EIEIEI12612,,00,,323，,l，,l，,l(1)(1)(1),,,,EI，,EIEIEI(2)(4)66,,,0022,,，,l，,l，,l，,l(1)(1)(1)(1)，，
2式中: Φ=12EI/GAl （剪切影响系数）， A （有效抗剪面积） SS
62.61=100kNEI50.1kN62.6
62.6
96.5
249.4EI1=100kN23kN33.833.862.662.696.5
33.833.81114.2
(a) (b) M(kN?m)
图4.4.11 框架剪力墙结构
The Terminal Forces（杆端力）
member N(st) Q(st) M(st) N(en) Q(en) M(en)
1 .0000 172.9483 1114.1950 .0000 -172.9483 -249.4535
17
2 .0000 49.8907 249.4535 .0000 -49.8907 .0000
3 -63.6350 13.5258 33.8146 63.6350 -13.5258 33.8145
4 -25.0546 25.0546 62.6366 25.0546 -25.0546 62.6365
5 63.6351 13.5258 33.8146 -63.6351 -13.5258 33.8145
6 25.0546 25.0546 62.6366 -25.0546 -25.0546 62.6365
7 -23.0576 .0000 .0000 23.0576 .0000 .0000
8 50.1093 .0000 .0000 -50.1093 .0000 .0000
9 -11.5288 -38.5804 -96.4511 11.5288 38.5804 -96.4511
10 25.0546 -25.0546 -62.6365 -25.0546 25.0546 -62.6365
例6 交叉梁系。试求图4.4.12a所示的交叉梁系的内力，各杆弹性常数相同。已知：
GJ4244=2.4×10kN?m，EI=4×10kN?m（以G =0.4 E计）。 Py
交叉梁又称井字梁结构、格栅结构或平面板架，是空间刚架的一种特殊情况，作为屋盖、
楼盖系统，桥面系统，平面网架，甲板骨架，不仅获得较大空间，也发挥了结构的最大效能，
因此在工程上得到广泛应用。它实际上是xOy平面内的一个刚架。只是外荷载作用方向与刚
架平面垂直。在整体坐标系中，交叉梁系中每个结点有三个互相独立的位移分量，即绕Ox
轴与绕Oy轴的转角θ与θ和沿z轴方向的线位移w；与之相应的结点力为扭矩M、弯矩xyx
M和剪力Q；线位移和剪力符号沿坐标正向为正，转角和扭弯矩符号遵循左手法则，才能与y
平面刚架程序取得一致。此外，忽略轴向变形和结点在xOy平面内的水平位移，也忽略绕Oz轴的转角θ 。 z
梁单元结点位移表示为
T (4.4.6) ,,,,,,,,w,,wxiyizixjyjzj
相应结点力向量表示为
T (4.4.7) ,,,,F,MMQMMQxiyiixjyjj
局部坐标系中的单元刚度矩阵可表达为
PPGJ/l00GJ/l00,，，22,,yyyy04EI/l6EI/l02EI/l6EI/l,,,2323yyyy,,06EI/l12EI/l06EI/l12EI/l, ,, (4.4.8) k,,,PGJ/l00GJP/l00,,,22,,02EI/l6EI/l04EI/l6EI/l,yyyy,,232306EI/l12EI/l06EI/l12EI/l,,,,,yyyy，，式中，E为材料的弹性模量；G为材料的剪切模量；I、I分别为绕y和x轴的惯性矩；JyxP
为截面的极惯矩。
坐标转换矩阵[T]与平面刚架单元的坐标转换矩阵[T]相同。
T整体坐标系中的单元刚度矩阵 ,,,,,,,,k,TkT (4.4.9)
在同类型荷载作用下，交叉梁系单元在非结点荷载作用下的固端力与平面刚架单元固端
力计算公式在形式上完全相同。用矩阵位移法分析交叉梁系的计算步骤与分析平面刚架也完
全相同。只要在主程序中增加一个主控参数，小改三个子程序。
The Results of Calculation（计算结果）
The Joint Displacements（结点位移）
18
Joint THx THy Wz
1 6.693679E-21 -1.508649E-22 -3.530173E-21
2 -3.666667E-04 -2.514415E-04 -3.973564E-03
3 -5.227013E-21 -1.508649E-22 -2.430173E-21
4 -3.666667E-04 1.903727E-03 6.034595E-23
The Terminal Forces（杆端力）
Member Mn(st) M(st) Q(st) Mn(en) M(en) Q(en)
1 1.5086 96.2701 79.3017 -1.5086 44.9368 8.6983
2 -1.5086 -44.9368 -24.3017 1.5086 -52.2701 24.3017
3 .0000 3.0173 15.6035 .0000 .0000 14.3965
zy
30kN
(-)1.51x(+)1.51
(a) (b) M(kN?m) n
52.77
24.33.0215.6
96.2779.314.424.335.99(-)8.744.94
(c) M(kN?m) (d) Q(kN)
图4.4.12 交叉梁系
72例7 刚架稳定性。分析图4.4.13a所示刚架稳定性。已知材料弹性模量E=2.5×10kN/m,
42I=0.0001m，A=0.03m，l=2m（各杆E、I、A、l见图示）。 平面刚架静力分析程序中增加解特征值问题的子程序（如逆迭代法或子空间迭代法），
利用矩阵位移法已集成的总刚，并建立几何刚度矩阵和结构质量矩阵，进行刚架的稳定性分
析和振动分析，给出特征对，即稳定问题中的最小特征值（临界荷载）和失稳形式及振动问
题中的频率与主振型。
y
4P P
E.2I.2AE.2I.2Ax
ll
2l
E.3I.3AE.3I.3A
(a) (b)
图4.4.13 刚架稳定分析
19
THE CALCULATED EIGENVALUES ARE
.1678728E+04 .5818800E+04 （即P=1678.728 kN） cr
THE CALCULATED EIGENVECTORS ARE
.4104E-19 -.1881E-19 -.3762E-19 -.1641E-02 .7514E-04 .2257E+00
.1852E-02 .2592E-03 -.5068E-01 .4556E+00 .3757E-04 .5029E-01
-.4281E-01 .1296E-03 .4662E-02 -.3578E-19 .4227E-20 -.3951E+00
-.5256E-20 .1458E-19 .3016E-01
.3462E-19 .1310E-19 .2618E-19 .1385E-02 -.7840E-03 -.1575E+00
.2904E-02 .5511E-03 .5299E+00 -.6511E-02 -.3920E-03 .1636E+00
.8482E+00 .2755E-03 .4923E-01 .3371E-20 -.4410E-19 -.1619E+00
-.3799E-19 .3100E-19 -.7017E+00
例8 结构动力特性。 试用SDAP程序分析图4.4.14a所示刚架发生横向剪切振动时的低阶自振频率和振型。已知材料弹性模量E=2.5×1072kN/m，横梁（包括楼板）的质量m=36t，
24柱的截面积和惯性矩分别为A=0.24m和I=0.0128m，假定横梁的轴向和弯曲刚度可视为无穷大，且不考虑柱子质量的影响。
THE CALCULATED FREQUENCIES ARE
.1257430E+02 .3286722E+02
MODAL VECTORS ARE
.6471E-19 .9620E-19 -.2597E-18 .6471E-19 -.9620E-19 -.2597E-18
.8715E-01 .1283E-02 -.2171E-03 .8715E-01 -.1283E-02 -.2171E-03
.1420E+00 .1637E-02 -.2741E-03 .1420E+00 -.1637E-02 -.2741E-03
.1076E-18 -.1571E-18 -.4289E-18 .1076E-18 .1571E-18 -.4289E-18
.1420E+00 -.2094E-02 .3510E-03 .1420E+00 .2094E-02 .3510E-03
-.8714E-01 -.3626E-02 .6097E-03 -.8714E-01 .3626E-02 .6097E-03
y
1.629-0.614
11
x
(a) 结构原图 (b) 第一振型 (c) 第二振型
图4.4.14 刚架动力分析
由于剪切型振动横梁刚度无穷大，故不必划分多个单元，建立初始数据文件时，假定横
2-33梁面积取大值（如1000m），推算密度ρ=m/(Al)=3×10t/m，横梁截面惯性矩也取一个远大
4于柱截面惯性矩的数值（如100m）。算得最低两个频率：ω=12.574rad/s，ω=32.867rad/s12
及其相应振型向量，绘出振型图（图4.4.14b、c），比精确值ω=12.75rad/s小1.38%；比1ω=33.04rad/s小0.52%。由于集中质量，使得计算结果小于精确值。 2
20
范文四：超静定结构
1、静定结构的一般性质
1.1 温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力
由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。
1.2 静定结构的局部平衡特性
在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。
事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。
当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。
1.3 静定结构的荷载等效性
当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。
1.4静定结构的构造变换特性
当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。
2、超静定结构的性质
2.1. 内力与材料的物理性质、截面的几何形状和尺寸有关。
2.2. 温度变化、支座移动一般会产生内力。
3、超静定结构的两种约束
3.1必要约束
对维持体系的几何不变性不可缺少的约束，称为必要约束。
3.2多余约束
对维持体系的几何不变性不是必需的约束，称为多余约束。多余约束中的约束力称为多余约束力，一般用Xi （i=1，2，…，n ）表示。多余约束对结构的作用可以用相应的多余约束力代替
4、超静定结构的计算方法
4.1. 力法----以多余约束力作为基本未知量。
4.2. 位移法----以结点位移作为基本未知量.
4.3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为基本未知量.
4.4. 力矩分配法----近似计算方法.
4.5. 矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
范文五：静定结构和超静定结构
第十章 静定结构和超静定结构
课题:第一节 结构的计算简图
[教学目标]
知识目标: 一、
1、理解结构计算简图的作用和意义。
2、掌握结构计算简图基本的简化方法。
二、能力目标:
通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾 [教学重点]
1、支座的简化和节点的简化。
2、计算简图的概念和要求。
[难点分析]
计算简图简化的原理。
[学生分析]
学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。
[辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法 [课时安排]
1课时
[教学内容]
一、导入新课
何谓结构,结构的举例。通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。
二、 新课讲解
1(结构的计算简图
2( 结构的计算简图应满足的要求
(1) 基本上反映结构的实际工作性能
(2) 计算简便
3( 实际结构的计算简图的简化
(1) 支座的简化
三种形式;简支梁、阳台、柱的实例。
(2) 节点的简化
铰节点和刚节点的特点及其应用
(3) 构件的简化
实际上是力学中杆件的简化
(4) 荷载的简化
集中荷载和均布荷载 三、 讨论
1 牛腿柱的计算简图
2 雨蓬的计算简图
四、 小结
在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。
五、作业
思考题:1
课题:第二节 平面结构的几何组成分析 [教学目标]
一、知识目标:
1、理解几何组成分析的作用和意义。
2、了解结构从几何组成的观点的分类。
3、了解结构几何组成分析的规则和方法。
4、了解静定结构和超静定结构的概念。
5、会对简单结构进行几何组成分析。
二、能力目标:
通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、质目标:
培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾 [教学重点]
1、几何组成分析的意义和结果。
2、几何组成分析的方法。
[难点分析]
结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。讲解时，淡化理论，结合例题讲解。 [学生分析]
学生由于对自由度、钢片、约束的概念比较生疏，所以理解这节内容比较困
难，因而，讲解时，突出重点，难点内容只做介绍。 [辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、导入新课
通过工程实例，如一般的柱子和梁举例说明:工程中对采用的结构和构件的要求，从而引出对结构进行几何组成分析的概念: 二、新课讲解
1(几何组成分析的概念
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确保体系的几何不变性，这种分析就是结构的几何组成分析。几何组成分析的目的是:
(1) 别体系是否为几何不变体系，从而决定它能否作为结构所使用;
(2) 掌握几何不变体系的组成规则，便于设计出合理的结构;
(3) 用以区分体系为静定结构或超静定结构，从而对它们采用不同的计算方法。
2(几何不变体系的组成规则
铰接三角形是最基本的几何不变体系
以下介绍的三个规则其实质，就是三刚片规则。也就是铰接三角形。几个规则的不同之处仅仅在于把体系的哪些部分看作约束的对象，哪些部分看作约束，约束的方式，以及约束必须遵循什么样的条件，才能保证体系是无多余约束的几何不变体系。
(1) 二元体规则
一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连,组成几何不变体系，称为二元体规则。
两根不共线的链杆是二元体成立的条件。 (2) 两刚片规则
两个刚片用一个铰和不通过此铰的链杆相连;或者两个刚片用三根不完全平
行也不交于一点的链杆相连，则为几何不变体系，且无多余联系，如图a、b、c。
(3) 三钢片规则
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成几何不变体系，且无多余约束。所以，铰接三角形是最基本的几何不变体系。
当然，“两两相连”的铰也可以是由两根链杆构成的实铰或虚铰，如图b所示。
3(超静定结构的概念
(1)几何特征
静定结构:几何不变无多余约束
超静定结构:几何不变有多余约束
(2)静力特征
静定结构:平衡方程可确定全部未知力
超静定结构:平衡方程不能确定全部未知力 4(几何组成分析的实例
例一:分析的方法:简化成基本结构形式。
由铰结三角形ABC增加二元体AF、CF，再增加二元体CF，FE，再增加二元体CD，ED，则ABCDEF为一刚片，与地基简支梁联系，几何不变且无多余约束
2 .构造大刚片,
简化成基本结构形式
BCBCDD
AAEEFF
例二: 如图:C为铰支座三角形，跟地面形成大刚片，整个结构多于三个联系，
非简支梁形式。
而且，体系由铰结三角形，二元体方法也不能融成一个刚体，但是可以
简化成二个平行四边形刚体如图所示，分别设为刚片I，II。
考虑刚片I、II与地基如何应用规则二:
铰C与I、II直接相联，所以用链杆1、2代换，C铰按规则三可视为地
基的一部分。
考虑地基与I、II的相联，可得到链杆A与1延长线的交点A'，链杆B
与2延长线的交点B';点A'与B'均为虚铰，且刚片I、II有实铰相联，
三铰不共线，满足规则二，体系为几何不变无多余约束。
用等效代换概念,简化分析
FFFFFFEEEEEEDD
AABB1212
CC
5(结构的分类
(1) 建筑结构可分为:平面结构和空间结构
(2) 从几何组成角度可分为:静定结构和超静定结构。
静定结构可分为:静定多跨梁、静定刚架、三铰拱、静定平面桁架等。
三、小结
强调几何组成分析的目的和结果。
四、作业
练习题:10,1、10,2、10,3
课题:第三节 静定多跨梁
[教学目标]
一、知识目标:
1、掌握静定多跨梁的组成及受力特性。
2、了解静定多跨梁内力计算的方法。
二、能力目标:
通过对静定多跨梁的讲解，提高学生综合分析问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于区分事物的相同点和不同点，抓住事物的特性。
[教学重点]
、静定多跨梁的组成。1
、静定多跨梁的受力特性。 2
[难点分析]
静定多跨梁的内力计算。讲解时，先对梁进行组成分析，在按照前面梁的内力图的画法讲解。
[学生分析]
梁的内力图内容相对较难，但是力学的重点。前面的章节已经重点讲过，在本章讲解中，可先复习，再讲新知识，学生易于接受。 [辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法 [课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、导入新课
通过工程实例，如:屋盖的檩条、钢筋混凝土桥梁等，引入多跨静定梁。
二、新课讲解
1(静定多跨梁的组成
1)基本部分,在荷载作用下能维持平衡的部分
2)附属部分,必须依靠基本部分才能维持平衡的部分
3)举例，书P204图 10,21
2(内力计算
1)分析:基本部分和附属部分的受力特点
2)计算顺序:先计算附属部分，再计算基本部分
3)计算方法:在铰接处将多跨静定梁拆成若干个单跨梁计算，先计
算附属部分，在计算基本部分，最后将单跨梁的内力图拼在一起。
4)举例:例10,5
计算步骤:画层次图
计算支座反力
画内力图(分解再组合)
3(静定多跨梁的特性
优点:弯矩比一系列的简支梁弯矩小，用材料比较节省。
缺点:构造比较复杂
受力特点:再多跨静定梁铰节点处，无集中荷载作用时，剪力无变化，
弯矩为零。
三、小结
强调静定多跨梁的组成和特性，回忆其内力图的画法。 四、作业
P238 10,4
课题: 第四节 静定刚架
[教学目标]
一、知识目标:
1、掌握静定刚架的特点及应用。
2、了解静定刚架内力计算的方法。
二、能力目标:
通过对静定刚架的讲解，提高学生综合分析问题解决问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于把复杂问题通过分解简单化的素质。 [教学重点]
1、刚架的特点。
2、刚架内力计算的方法。
[难点分析]
刚架内力计算、内力图较难，讲解时，通过与梁内力图异同的对比讲解。
[学生分析]
学生如果梁的内力图内容较熟悉，学习本节内容并不困难;如果梁的内力图知识掌握不牢靠，再加上力学基础不太好，学习较困难，建议分层次教学。作业分为必做和选做题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、引入新课
通过刚架的概念引入。
平面刚架,是由梁与柱所组成的平面结构。横杆称为梁，竖杆称为柱。 各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点。 二、新课讲解
(一)刚架的特点及分类
1(特点:梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处
各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩。铰结点联接的杆端可
相对转动，一般弯矩,0
2(分类:悬臂刚架和三铰刚架
(二)刚架的内力计算
1(内力计算的基本方法,截面法
2(刚架的内力符号的规定
弯矩,画在受拉的一侧，不必标正负号;
剪力,以绕杆件顺时针转为正，可画在杆件的任意一边，要标清正负号。
轴力,以受拉为正，可画在杆件的任意一边，要标清正负号。
3(双脚标的含义:第一个脚标表示内力所属截面的编号;第二个脚标表示
该杆件远端的编号。
4(举例
例10,6
讲法建议:将刚架拆成两个杆件,横杆(悬臂梁)和竖杆(悬臂梁)，再根
据刚架的特点分别画横杆和竖杆的内力图。
例10,7
解题步骤:1 求支座反力
2 分解，分别做内力图
解题技巧:半刚架法，根据对称性画图。
1 弯矩图和轴力图是正对称图形
2 剪力图是反对称图形
三、小结
绘制刚架弯矩图时应注意以下几点:
(1) 刚结点处应满足力矩平衡;
(2) 铰结点处弯矩必为零(在无外力偶的情况下);
(3) 无荷载区段弯矩图为直线;
(4) 均布荷载区段弯矩图为二次曲线，曲线的凸方向与均布荷载指向一致;
(5) 利用q、F、M三者之间的关系作图; Q
(6) 运用“区段叠加法”作M图。 四、习题
P239 练习题 10,5、10,6
课题:第五节 三铰拱
[教学目标]
一、知识目标:
1、掌握三铰拱的概念。
2、了解三铰拱支座反力和内力计算的方法。
3、了解合理拱轴的概念
二、能力目标:
通过对三铰拱的讲解，提高学生比较、分析问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于把复杂问题转化成已研究过的问题的素质。
[教学重点]
1、拱的特点。
2、拱的反力和内力计算的方法。 [难点分析]
拱的反力和内力计算较复杂，可以通过和三铰刚架和梁的对比进行讲解讲
解。
[学生分析]
学生如果梁的内力图内容较熟悉，学习本节内容关键是通过启发，使学生学
会问题的转化，把未知的内容和已知的内容联系上，以解决问题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、引入新课
通过曲梁和拱的对比引入新课。
二、新课讲解
1(三铰拱的特点:竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁
比较而言。几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆。
2(拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支座产生
推力。
3(三铰拱的计算
(1)支座反力
支座反力计算与三铰刚架相同
0V,VAA
0 V,VBB
0MK,Hf
00o 与相同跨度，相同荷载的简支梁相比:为简支梁上相应的反力与V，V，MABc弯矩。水平反力H与矢高f成反比，矢高越低水平推力越大。
(2)内力计算,,截面法 M KN K 取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、, H Q、N，分离体受力分析如图; K 若N，Q按水平、竖向分解，则水平力与H平
V衡，竖内力与荷载与平衡，即相当于相应简支bQ AKQ 0Q梁的;
A 此二力向N，Q方向投影则得到式(6,8)、H
V (6—9)。与二部分力平衡:一部分为竖向荷MKA
0载及，相当于相应简支梁的;第二部分为推力产生的:,Hy，得公式(6MVA
—7)。
0M,M,H,yKK
0,, Q,Q,cos,HsinKKKK
0N,,Qsin,,Hcos,KKKK
(3)拱的合理轴线
0MMHy,,,0(x)(x)(x)
0 M(x)y,(x)H
在竖向荷载作用下:三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M图相用，
只是乘以1/H(常数)
三、小结
概括拱的特点
四、作业及讨论
画图表示拱各部分的名称
何谓合理拱轴
课题: 第六节 桁架
[教学目标]
一、知识目标:
1、掌握桁架的概念、各部分的名称及应用。
2、掌握桁架的特点
3、了解静定桁架内力计算的方法。
二、能力目标:
通过对静定桁架的讲解，提高学生分析问题、解决解决问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于多角度分析问题的素质。 [教学重点]
1、桁架的特点及应用。
2、桁架内力计算的方法。
[难点分析]
桁架的内力计算较难，讲解时，通过复习静力学平衡力系(平面汇交、平面
一般力系)来讲解。
[学生分析]
学生如果对前面的平面力系内容较熟悉，学习本节内容并不困难;如果前面
平面力系的知识掌握不牢靠，再加上力学基础不太好，学习较困难，建议边复习边讲新课。作业分为必做和选做题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、引入新课
复习平面汇交力系和平面平面一般力系的内容; 通过铁路桥和工业厂房等实例引入平面桁架的新课内容。 二、新课讲解
1(桁架的计算简图
分析实际桁架受力情况比较复杂，影响杆件内力的因素很多，在计算时必须抓主要矛盾，对实际桁架作必要的简化。
1)对平面桁架的三点假设;
2)桁架各部分的名称。
3)桁架的特点:由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下杆件是二力杆，
各杆只有轴力。
2(用数解法计算桁架的轴力
1)结点法
取结点为分离体――平面汇交力系
适于求解简单桁架的各杆内力。
有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力。
求解方法:
(1)求解支座反力，零杆判断;
因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解。
(2)再选取只含二个未知力的结点。顺次取二个未知力的结点分离体可求解
每个杆的内力。
(3)结点分离体中，未知轴力设为拉力(正)，结果为负时表示与所设方向相
反。已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看
图确定其正负。
零杆的判断:
a. 不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆。
b. 三杆结点，无外力作用，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆。
2) 截面法
用截面切断拟求构件，将桁架分为二部分，取其中一部分为分离体，得平面任
意力系，适于求解指定某几个构件的内力。
切断杆件所得内力，与其同侧的外力、支座反力组成一平面的任意力系，有三
个独立的平衡方程，可解三个未知力。
截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个;切断的杆件内力仍设为正方向。
截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个;切断的杆件内力仍设为正方向。
3) 灵活运用
(1)结点法、截面法可以联合使用;
)零杆判断应充分利用，可以简化计算。(2
)利用对称性; (3
(4)选取适当的方程也可大大简化计算。 4) 举例
如图(a)所示桁架，试求a、b两杆的轴力。
[解](1)求支座反力
由 可得 F=20kN(?) M(F),0Ay,B
由 可得 F=40kN(?) M(F),0By,A
(2)求杆a和杆b的轴力
以截面?—?截取桁架左半部
分为脱离体，画受力图如图2(b)
所示。这时脱离体上共有四个未知
力，而平衡方程只有三个，不能解
算。为此再取结点E为脱离体，画
受力图，如图2(c)所示。找出FNa
和F的关系。 Nc
由投影方程
44 F,F，，F，,0,xNaNc55
F,,F得 NaNc
再由截面?—?用投影方程
33 F,20,F，，F，,0,yNcNa55
3得 20，2，,F,0Na5
5，20 (压) F,,,,16.7kNNa2，3
4然后，由 M(F),F，12,F，，6，F，6,0,cAyNaNb5
F,,26.7kN得 (压) Nb
3(用图解法计求桁架的轴力
略。
三、讨论
桁架倒塌事故分析
四、作业
P239-240
10-9 10-10 10-11
课题: 第七节 静定结构的受力分析及性能比较 [教学目标]
一、知识目标:
1. 了解各种结构的受力分析方法。
2. 掌握各种结构受力特性和应用。
二、能力目标:
通过对静定各种结构的回顾和分析比较，提高学生综合分析问题的能力。
三、素质目标:
培养学生善于利用事物的特性,全面分析问题的素质。 [教学重点]
1、各种结构的受力特点及应用。
2、各种结构内力计算的方法总结。 [难点分析]
本节内容带有较强的综合性,通过复习的方式,启发学生自己总结学过的知识以便更好的掌握本节内容。
[学生分析]
学生对静定结构的内容都逐一学过，缺乏综合性，通过问题的引导，引发学生思考，从而使学生加强对静定的各种结构的深刻理解。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、引入新课
提问，设计几类静定结构的外力及内力的问题，引入新课。
1(前面我们学习了哪几种静定结构,
2(何谓静定结构,
3(每种结构的内力是什么,
4(试述每种结构的特性。
二、新课讲解
1(静定结构的受力分析
(1) 外力分析,支座反力
(2) 内力分析,截面法
(3) 比较梁式杆、链杆、铰结点和刚节点处的内力。 2(几种结构的受力性能比较
(1) 合理的结构:从受力分析角度出发，是无弯矩或小弯矩结构。
(2) 比较几种典型的结构形式在相同跨度和相同荷载作用下的主要内力
值。
参考书上P224，图10,51
(3) 结论:简支梁弯矩最大，伸臂梁、组合结构、三铰屋架次之，而桁架
和具有合理拱轴的三铰拱弯矩为零。
(4) 总结各种结构的工程应用
在实际工程中，简支梁多用于小跨度结构。伸臂梁、三铰屋架、组合
结构可用于跨度较大的结构。当跨度更大时，可采用桁架和拱结构。
(5) 综合分析
实际工程中，应该从受力性能和经济方面综合分析。
三、小结
回顾本节重点内容，可以以提问的方式，加深学生的记忆。
四、讨论
举例各种结构的工程应用
课题: 第八节 超静定结构的特性
[教学目标]
一、知识目标:
1. 掌握超静定结构的特性。
2(了解多余约束对超静定结构的影响。
3. 掌握简单超静定结构的解算和弯矩图。
4. 了解超静定结构的刚度比值对内力的影响。
5. 了解稳定变化和支座 沉陷对超静定结构的影响。
二、能力目标:
分析问题的能力。通过对超静定结构的讲解和分析比较，提高学生综合
三、素质目标:
培养学生善于利用事物的特性,全面分析问题的素质。 [教学重点]
1、超静定结构的特性。
2、各种超静定结构的解算和弯矩图。 [难点分析]
本节内容带有较强的综合性,讲解时，以定性分析为主，以便更好的掌握本节内容。
[学生分析]
学生对超静定结构的内容比较陌生，可以通过与静定结构对比分析讲解。
[辅助教学手段]
分析、讨论、举例的方法
[课时安排]
4课时
[教学内容]
一、引入新课
提问:何谓超静定结构,引出超静定结构的基本特性。 举例:通过简单超静定结构的举例，说明超静定结构的解法有别于静定结构，从
而引出本节内容。
二、新课讲解
(一)简单超静定结构的解算与弯矩图
1(简单超静定结构的解算
介绍力法计算一次超静定结构
基本概念和计算要求
(1)力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。
(2)结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和超静定次数的关系，基本结构的确定。
(3)力法典型方程的建立及方程中相关系数的意义。
基本计算方法
(1) 选择基本结构
去掉多余约束的原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。
注意:基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系(或瞬变体系)不能用作基本结构;多余约束力的方向应该符合约束的方向;选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。
(2)基本方程的建立
将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现:只要多余未知力就是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致;当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。
计算步骤和常用方法
基本计算步骤是:
(1)选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到的一个静定结构作为基本结构。
(2)建立力法典型方程。(一次超静定结构)
)计算δ和Δ。首先要画出基本结构在荷载作用下的M图和基本结构(3111PP在单位未知力作用下的弯矩图，然后用图乘法分别计算δ和Δ。111P
(4)求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。 (5)作内力图(一般为作弯矩图)。可按式叠加对应点的弯矩，从而画出弯矩图。
举例:
p225 例
2( 超静定结构的弯矩图
(1) 两端为固定支座的梁
(2) 连续梁
(3) 超静定刚架
(二)多余约束的存在及其对超静定结构的影响
5(由于多余约束的存在，超静定结构具有较强的防护能力。
6(由于多余约束的存在，超静定结构具有较高的刚度和稳定性。
7(在局部荷载作用下，超静定结构的内力影响范围一般比静定结构影响范
围大，其内力的峰值比静定结构小。 (三)超静定结构的各杆刚度比值对内力的影响
1(结论:静定结构的反力和内力与杆件的刚度无关;超静定结构中，刚度较
大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小。
2(应用:可以通过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。
3(举例论证:书P230,231
(1)受压钢筋混凝土柱实例
(2)超静定刚架图p232 10,65
(四)温度变化和支座沉陷对超静定结构的影响
1.温度变化引起的内力
(1)结论:温度变化可以引起内力，且与杆件的刚度EI成正比。因而，在给
定的温度下截面的尺寸越大内力也越大。
(2)举例说明:书P233 刚架
(3)工程应用,温度缝(收缩缝)
建筑物越长，上部结构的变形就越大。当建筑物长度超过规范规定时应
将建筑物基础以上的部分用“缝”分开，降低温度应力。
2(支座沉陷引起的内力
(1)结论:超静定结构对支座沉陷十分敏感。结构刚度越大，支座移动引起
的内力就越大。
(2)举例说明:书P234 梁
(3)工程应用,沉降缝
为了防止结构不均匀沉降产生的内力对结构引起的破坏，工程中常设沉降
缝，用“缝”从基础至顶部将建筑物全部分开。 (4) 与温度缝的区别
基础是否也断开
三、小结
超静定结构和静定结构的比较
四、作业
