寂季19180931
范文一：高考中二项式定理题型分析
-重点辅导-
4相互独立事件概率
■r’,
%、例4甲乙2人独立地解同一问题,甲解决这个 问题的概率为P。,乙解决这个问题的概率为P2,那么 其中至少有1人解决这个问题的概率为多少?
a 依题意,甲不能解决该问题的概率为1一P,, 】●,
乞解析乙不能解决这个问题的概率为1一P:.由于 2人解决问题与否相互独立没有影响.因此2人都不 能解决该问题的概率为(1一P。)(1一P2),从而至少有
一人解决该问题的概率为1一(1一P1)(1一P2). 点 由于“甲解决这个问题’’与“乙解决这个问 开 题”并不是互斥事件,所求概率不是P,+Pz. 此外,Pt?Pz表示的是2人都解决这个问题的概率, 1一P,?Pz表示的是至少有1人未解决这个问题的 概率.
5一次独立重复试验恰好发生k次的事件概率 这类问题关键是要注意恰有k次发生和某指定 的志次发生的差异.对独立重复试验来说,前者的概 率为CI户‘(1一户)”‘,后者的概率为:矿(1一p)”‘. 怯例5某单位6个员工借助互联网开展工作,每 个员工上网的概率都是0.5(相互独立).
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.37
p (1)方法1:至少3人同时上网的概率等于1乞解析减去至多2人上网的概率,即
l—C2(O.5)6一C3(0.5)6一C;(0.5)6=
,一半=萎;
方法2:至少3人同时上网的概率是:
C;(O.5)6+C{(0.5)6+C;(o.5)6+C6(O.5)6=
20+15+6+121
?----?-—--—------------—-----一:=一?
6432’
(2)至少4人上网的概率为:
C:(O.5)6+C;(0.5)6+C2(O.5)6一磊11>0.3, 至少5人上网的概率为:
,7一
Ci(o.5)6+C3(o.5)6一击<>
因此,至少5人同时上网的概率小于0.3.
点 此题属于,2次重复实验中某事件恰好第忌次 ’开 发生概率问题,用间接法求比较简单.
(作者单位:江苏省淮安市建筑工程学校) 舭化
>河北邵文丽
二项式定理是高中数学中重要内容,高考对二项 式定理的考查,主要围绕其展开式及其通项公式展 开,以客观题为主,有时也与其他知识相交汇考查,本 文就二项式定理在高考中的几大题型进行归类解析. 1求展开式中特定项
求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式, 用待定系数法确定r.必须注意项的系数不同于二项 式系数,通项是第r+1项.
≤孑例l(x-击),z展开式中的常数项为(). q z
A一1320; B 1320’
C--220;D 220
R析(z一去)12展开式中的第r+1卿通项 nl=Cr2?z12—4∥3?(一1)7.
令12一詈,.=o,则r=9,所以常数项为第9+1= 10项,
’T10=瓦+1一C92?(一1)9一--220.故选C
嘻笋例2(1+拓)e(1+士)?。展开式中的常数项为 .4x
().
A 1; B 46; C 4245;D 4246 Q 设(1+拓)s的通项公式为nl=C;zr/3,设 ,:解析 ’,
(1+击)10的通项公式为Tr,+1=瓯2一r,/4.当 √X
寺2ir,即4r----3r,(o≤r≤6,o≤r,≤10)时可得常 数项.
由此知有①r=O,r,=o,②r=3,r,=4,③r=6, r,=8共3种情况.所以常数项为:
C2q。+Ci C4。+C2C8。一4246.
1981年6月6日,袁隆平荣获我国第一个特等发明奖. 万方数据
2求特定项系数或系数和
对于二项式系数的问题,首先要熟记二项式系数 的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系 数问题的一个重要手段.注意区分2个概念,即二项 式系数和项的系数.如(口+bx)”(Ⅱ,b∈C)的展开式 中,第r+1项的二项式系数为C;=,而第r+1项项的 系数则是C私”rb7.
哆}例3(142z)a(1一z)?展开式中≯的系数 为——.
o 本题考查二项式定理,只要概念清楚和运算 J●y
/解析无误即可.zz的系数为 .
C2(-i)2+a×2×CA(--i)+C;×22一--6. ■7’,o
%例4在二项式(z—1)11的展开式中,系数最小 的项的系数是——.
Q 因为n-一ci?xll--r(一1)’,所以要使项的 (解析系数最小,,.必为奇数且使Ci,最大.由此得 r=5,故系数最小的项的系数为饼,(一1)5一--462. 3求参数的问题
—P’—’
以例5已知(1十五一)6(正是正整数)的展开式中, z8的系数小于120,则愚一——.
Q(1+kx2)6按二项式定理展开的通项为 ,解析 n1=C;(k.z-z)r=C;kr..Tc2r. 我们知道X8的系数为C3k4=15k4,即15k4<120,也><>
镊r例6已知(1+z+一)(z+去)n的展开式中没 有常数项,nEN‘,且2≤咒≤8,则竹=——. R析。+当)”的通项公式是.
n,=G z”7(当)7=C::z”4r; 要使(14x十≯)(2+去)“的展开式中没有常数项, 则行一4序O,即nO:4r,且竹一4r≠一1,即nO:4,.一1, 且咒一4r≠一2,即行≠4r一2.故n=4r--3.
又因为2≤,l≤8且nEN。,所以当r=2时, 竹=5.
4整除性(或求余数)问题
利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问 题,在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变 形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因 式,要注意变形的技巧.常用“配凑法”、“消去法”配合
一重点辅导?
整除的有关知识来解决.
浮,例7求证:32.+z一8咒一9(扎∈N*)能被64
整除.
o 问题的关键在于找出幂32科2被64除的系 J●,
(解析数,联系到二项式定理,3z科z可以写成 (8+1)科1后展开.
Q 32n+2__8n一9一(148)科1--8n一9= (解析1+a+l?8+C5+1?8z+…+C::丰{?8抖1— 8九一9=暖+1?82+Q+1?83+…+G牛1.8科1, 而暖+,,C●1'...,C:==}{均为自然数,上式各项均为64的整数倍.故3知+2—8咒一9(竹∈N’)能被64整除. 点 用二项式定理处理整除性问题,通常把底数 开 写成除数与某数的和或差的形式,再用二项 式定理展开,只考虑后面(前面)1~2项即可.
5近似计算的问题
二项式定理的一个重要用途是做近似计算.在做 近似计算时,首先要观察精确度,然后选取展开式中 若干项.
■r弋,-
缀例8(1.009)5的近似值为——. Q (1.009)5一(1+o.009)hl+5X0.009+ (解析IOXO.009z+lOXO.009s+…=
1+0.045+O.00081+…≈1.046.
6与其他知识整合
■P妒 1
%V,例9设常数a>O,(ax2+圭)4展开式中X3的 q z
系数为号,911]lim(a+a2+…+矿)一——. .
Q nl=G口4--rzHrx-上,'由z8—2rT--专r-z3,
(,解析
。 1
得r=2,由C;n41=昔知口=寺,所以
厶 ●
1,n
—lim(口+az+…+矿)一。而1//.一1?
,r+∞ ^J,-
■,’P
纪例lO若从二项式(z+1)10的展开式中任意取 一项,则该项的系数为奇数的概率是——. Q 二项式(z+1)10的展开式的系数分别为qo, (,解析Ci。,C2。,…,C9。,Clo,其中a。,Clo,研。,四。为 奇数,故所求的概率是音.
点 此题将二项式定理与概率相联系,题型 开 新颖.
(作者单位:河北省正定县第一中学)
1927年5月1日。广东海丰、陆丰农民起义. 万方数据
范文二：2015年高考重点题型整理——二项式定理
高考重点题型整理——二项式定理
(1
) 6(2的展开式中的第四项是 (2) 612???
? ??-x x 的展开式中的常数项为 (3) 6???
? ??-x y y x 的展开式中, 3x 的系数等于 (4)在(
x+
) 20的展开式中,系数为有理数的项共有 _______项 (5
) (82展开式中不含 .. 4x 项的系数的和为( )
(A ) -1 (B ) 0 (C ) 1 (D ) 2 (6)若 9() a
x x
-的展开式中 3x 的系数是 84-,则 a = (7) n x ) 31(+(其中 N n ∈且 6≥n )的展开式中 5x 与 6x 的系数相等,则 n 等于
(A ) 6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9
(8)在 ) 5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中,含 4x 的项的系数是
(A ) -15 (B ) 85 (C ) -120 (D ) 274
(9) ()()34121x x +-展开式中 2x 的系数为 _______________
(10) 26
1
(1)() x x x x ++-的展开式中的常数项为 _________ (11) 512a x x x x ????+- ????
???的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 (A ) -40 (B ) -20 (C ) 20 (D ) 40
(12
) 15(的展开式的中间两项系数的和等于
参考答案:1 x
160-; ; ; 5B ; 6 ; 8A ; ; 11D ; 12 0
范文三：二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策
1.二项式定理: 011
() () n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++
++
+∈,
2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 () n a b +的二项展开式。
②二项式系数 :展开式中各项的系数 r
n C (0,1,2, , ) r n =???.
③项数:共 (1) n +项,是关于 a 与 b 的奇次多项式
④通项:展开式中的第 1r +项 r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。 用 1r n r r r n T C a b -+=表示。
3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (1) n +项。
②顺序:注意正确选择 a , b , 其顺序不能更改。 () n a b +与 () n b a +是不同的。
③指数:a 的指数从 n 逐项减到 0,是降幂排列。 b 的指数从 0逐项减到 n ,是升幂排列。
各项的次数和等于 n .
④ 系 数 :注 意 正 确 区 分 二 项 式 系 数 与 项 的 系 数 , 二 项 式 系 数 依 次 是
012, , , , , , . r n n n n n n C C C C C ??????项的系数
是 a 与 b 的系数(包括二项式系数) 。 4.常用的结论:
令 1, , a b x == 0122
(1) () n r r
n n
n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令 1, , a b x ==- 0122(1) (1) () n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-
++
+-∈
5.性质:
①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 0n
n n C C =, ··· ②二项式系数和:令 1a b ==, 则二项式系数的和:0122r
n
n n n n n n C C C C C +++++
+=,
变形式 1221r
n
n n n n n C C C C ++
++
+=-。
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令 1, 1a b ==-,则 0123
(1) (11) 0n n
n n n n n n C C C C C -+-++-=-=,
从而得到:02421321
11222
r r n
n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++
++???=
?=
高考试题中常见的二项式定理题目类型:
题型一:二项式定理的逆用;
1:123
21666n
n n n n n C C C C -+?+?++?= 练:1231393n n n n n n C C C C -+++
+=
题型二:求单一二项式指定幂的系数
2(2010重庆) 4(1) x +的展开式中 2x 的系数为 (A ) 4 (B ) 6 (C ) 10 (D ) 20
3(2011天津)
在
6
?
?的二项展开式中, 2x 的系数为
A . 154-
B . 15
4
C . 38-
D . 38
4(2011
湖北)
18
x ? ?的展开式中含 15x 的项的系数为 5(2011全国) (1
20的二项展开式中, x 的系数与 x 9的系数之差为 : . 7(2009北京卷文)
若 4(1, a a b =+为有理数) , 则 a b += ( )
A . 33
B . 29
C . 23
D . 19
9(2009全国卷Ⅰ文) 10
() x y -的展开式中, 7
3
x y 的系数与 3
7
x y 的系数之和等于 ____. 10(2009湖南卷 )
在 32(1) (1(1x +++的展开式中, x 的系数为 11(2009陕西卷文) 若 20092009012009(12) () x a a x a x x R -=+++∈, 则
200912
2
2009
222a a a +++
的值为
(A ) 2
(B ) 0
(C ) 1-
(D) 2
-
14(2010全国卷 1文数) (5)43(1) (1x -的展开式 2
x 的系数是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
题型 3:求系数最大或最小项:特殊的系数最大或最小问题
28. (00上海)在二项式 11
) 1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是
范文四：二项式定理高考题型归类及求解
二项式定理高考题型归类及求解
二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。 本文就近年来的高考试题中二项式 定理题型进行归纳总结,并对解法进行探讨,供参考。
一、求二项式展开式中指定项
在二项展开式中,有时存在一些特殊的项,如常数项、有理项、整式项、系数最大 的项等等, 这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式 , 然后依据条件先确定
r 的值,进而求出指定的项。
1. 求常数项
例 1 (2006年山东卷) 已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
,其中 ,则展开式中常数项是()
A. -45i B. 45i C. -45 D. 45
解:第三项、第五项的系数分别为 ,由题意有
整理得
解得 n=10
设常数项为
则有
得 r=8
故常数项为 ,选 D 。
2. 求有理项
例 2 已知 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式 中所有的有理项。
解:展开式的前三项的系数分别为
则由题意可得
即
解得 n=8(n=1舍去)
于是
若 为有理项,则 ,且 ,所以 r=0, 4, 8。
故展开式中所有的有理项为
3. 求幂指数为整数的项
例 3 (2006年湖北卷)在 的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有 ()
A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项
解:
所以 r=0, 6, 12, 18, 24时, x 的幂指数为整数,故选 C 。
4. 求系数最大的项
例 4 已知 的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,求 该展开式中系数最大的项。
解:由只有第五项的二项式系数最大,可知展开式共有 9项,故 n=8
又
设第 r+1项的系数最大,则有
解得
又 ,所以 r=2或 r=3
所以二项式的展开式中系数最大的项是
二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项
有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决, 对于多项的 和或积的二项式问题,可通过“搭配”解决,但要注意不重不漏。
例 5 (2005年湖北卷) 的展开式中整理后的常数项为 ________。
解:
对于二项式 的展开式中
要得到常数项需 10-r=5,则 r=5
所以常数项为
例 6 (2005年浙江卷) 在 展开式中, 含 的 项的系数是()
A. 74 B. 121 C. -74 D. -121
解:
的展开式中,含
的项为
,故选 D 。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数
此类问题仍然是利用二项式的通项公式 来加以求解, 但在解题中要注意某一项 的二项式系数与系数的区别。
例 7 (2006年北京卷)在 的展开式中, 的系数是 _________。 (用数
字作答)
解:
令 ,得 r=1
所以 的系数为 。
四、求展开式中的系数和
在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、 偶数项系数和的问题时, 通常可 以根据题目的结构特征,选择“赋值法”来加以解决。
例 8 (2004年天津卷)若 , 则 =______________(用数字作答) 。 解:取 x=0,得
取 x=1,得
故
=2003+1=2004
五、近似计算、证明整除及求余数问题
近似计算要首先注意精确度, 然后选取展开式中前几项进行计算。 用二项式定理证明整 除及求余数问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开,常采用“配凑法”, “消去法”,结合整除的有关知识来解决。
例 9 (2002年全国卷)据 2002年 3月 5日九届人大五次会议《政府工作报告》 :“ 2001年国内生产总值达到 95933亿元,比上年增长 7.3%” ,如果“十·五”期间(2001年— 2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约 为()
A. 115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元 解:设到“十·五”末我国国内年生产总值为 A ,由复利公式或等比数列通项公式,得
A=
故选 C
例 10 (1992年三南高考题) 除以 100的余数是 ___________。
解
:+92
×90+1(M 为整数) =100M+82×100+81。
所以 除以 100的余数是 81。
六、考查与其它知识交汇型问题
在知识点的交汇处命题, 已成为新高考命题的一个趋势。 二项定理可以与组合、 数列极 限、杨辉三角等知识进行综合,而设计出新题。
例 11 (2006年安徽卷)设常数 a>0
,
展开式中
的系数为
,则 =___________________。
解:
由 ,得 r=2
又
所以
范文五：二项式定理的高考常见题型及解题对策
题型一:求二项展开式
1. “ n b a ) (+”型的展开式 例 1.求 4) 13(x
x +
的展开式;
解 :
原
式
=4
) 1
3(
x
x +=24) 13(x x +=]) 3() 3() 3() 3([144342
243144042C C C C C x x x x x ++++ =
) 112548481(12342
++++x x x x x
=54112848122++++x x x x 小结:这类题目一般为容易题目, 高考一般不会考到, 但是题目解决过程中的这种 “先
化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2. “ n b a ) (-”型的展开式 例 2.求 4) 13(x
x -
的展开式; 分析:解决此题,只需要把 4) 13(x
x -
改写成 4)]1(3[x
x -+的形式然后按照二
项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”
例 3.计算 c C C C n
n n
n n
n n 3) 1(.... 279313
2
1
-++-+-; 解:原式 =
n
n n n
n n n n C C C C C ) 2() 31() 3(.... ) 3() 3() 3(3
33
22
11
-=-=-++-+-+-+ 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。
题型二:求二项展开式的特定项
1. 求指定幂的系数或二项式系数
(1)求单一二项式指定幂的系数
例 4. (03全国) 9
2
) 21(x x -
展开式中 9x 的系数是 ; 解:r r
r r x x T C ) 21() (9291-=-+=r r r r x x C ) 1() 21(2189--=x r r x C 3189) 2
1(-- 令 , 9318=-x 则 3=r , 从而可以得到 9
x 的系数为:221) 21(339-=-C , ∴填 2
21- (2) 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例 5. (02全国) 72) 2)(1-+x x (的展开式中, 3
x 项的系数是 ; 解:在展开式中, 3
x 的来源有:
① 第一个因式中取出 2
x ,则第二个因式必出 x ,其系数为
6
6
7
) 2(-C ;
② 第一个因式中取出 1,则第二个因式中必出 3
x ,其系数为
447
) 2(-C
3x ∴的系数应为:∴=-+-, 1008) 2() 2(44
766
7C C 填 1008。
(3) 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例 6. (04安徽改编) 3) 21
(-+
x
x 的展开式中,常数项是 ; 解:3
6323
) 1(]) 1([) 21(x x x x x x -=-=-+
上述式子展开后常数项只有一项
3
3
33
6
) 1(x
x -,即 20-
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后,用二项式定理的知识解
决,考查了变型与转化的数学思想。
2. 求中间项
例 7. (00京改编)求(10) 1
x
x -
的展开式的中间项;
解:, ) 1() (1010
1r r
r
r x
x T C -=
-+ ∴展开式的中间项为 555
10) 1() (x
x C -
即:6
5
252x -。
当 n 为奇数时, n
b a ) (+的展开式的中间项是 2
12121-+-n n n n b
a
C 和
2
12
121+-+n n n n
b
a
C
;
当 n 为偶数时, n b a ) (+的展开式的中间项是
2
2
2n n n n
b a C
。
3. 求有理项
例 8. (00京改编)求 10) 1
(x
x -
的展开式中有理项共有 项;
解:3
410101010
1) 1() 1() (r
r r
r r r
r x
x
r T C C
-
-+-=-=
∴当 9, 6, 3, 0=r 时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么
这个代数式是无理式。
4. 求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例 9. (00上海) 在二项式 11) 1(-x 的展开式中, 系数最小的项的系数是 解:r
r r
r x T C ) 1(1111
1-=
-+ ∴要使项的系数最小,则 r 必为奇数,且使 C r
11为最大,由此得 5=r ,从
而可知最小项的系数为
462) 1(5511
-=-C
(2) 一般的系数最大或最小问题 例 10.求 8) 21(x
x +
展开式中系数最大的项;
解:记第 r 项系数为 r T ,设第 k 项系数最大,则有
??
?≥≥+-11k k
k k T T T T 又 1
182. +--=r r r C T ,那么有
?????≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C C C 2. 2
. 2. 2
. 8118228118 即 ???
????
-≥?--?--≥--)! 8(! !
82)! 9)!.(1(! 82)!
10)!.(2(! 8)! 9)!.(1(! 8K K K K K K K k
???
??≥--≥-∴K
K K K 1922211
解得 43≤≤k , ∴系数最大的项为第 3项 2537x T =和第 4项 2
747x T =。
(3) 系数绝对值最大的项
例 11.在(7
) y x -
解:求系数绝对最大问题都可以将“ n b a ) (-”型转化为
b a +型来处理, 故此答案为第 4项
4
34
7
y x C ,和第 5项 525
7y x C -。 题型三:利用“赋值法”及二项式性质 3求部分项系数,二项式 系数和
例 12. (99全国)若 443322104) 32(x a x a x a x a a x ++++=+,
则 2312420) () (a a a a a +-++; 解: 443322104) 32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令 1=x ,有 432104) 2(a a a a a ++++=+, 令 1-=x ,有 ) () () 2(314204a a a a a +-++=+- 故原式 =)]() ).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++ =44) 32.() 2(+-+ =1) 1(4=-
例 13. (04天津)若 2004221020042004... ) 21(x x a x a a x ++++=-, 则 =++++++) (... ) () (200402010a a a a a a ; 解: 2004221020042004... ) 21(x x a x a a x ++++=-, 令 1=x ,有 1... ) 21(20042102004=++++=-a a a a 令 0=x ,有 1) 01(02004==-a
故原式 =020042102003) ... (a a a a a +++++=200420031=+
在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:0, 1, 1-特 殊值在解题过程中考虑的比较多。
例 14.设 0155666... ) 12(a x a x a x a x ++++=-, 则 =++++6210... a a a a ;
分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋 值法求的化简后的代数式的值。 解:r r r r x T C
) 1() 2(66
1-=
-+
∴65432106210... a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++
=) () (5316420a a a a a a a ++-+++ =0
题型四:利用二项式定理求近似值
例 15.求 6
998. 0的近似值,使误差小于 001. 0;
分析:因为 6
998. 0=6) 002. 01(-,故可以用二项式定理展开计算。 解:6
998. 0=6) 002. 01(-=621) 002. 0(... ) 002. 0.(15) 002. 0.(61-++-+-+ 001. 000006. 0) 002. 0(15) 002. 0.(2
22
6
3<>
C
T , 且第 3项以后的绝对值都小于 001. 0,
∴从第 3项起,以后的项都可以忽略不计。
∴6
998. 0=6) 002. 01(-) 002. 0(61-?+≈=988. 0012. 01=- 小结:由 n
n
n n n n
x x x x C C C ++++
=+... 1) 1(22
1
, 当 x 的绝对值与 1相比很小且 n 很大时, n x x x ,.... , 32等项的绝对值都很小,
因此在精确度允许的范围内可以忽略不计, 因此可以用近似计算公式:nx x n +≈+1) 1(, 在使用这个公式时, 要注意按问题对精确 度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公 式:2
2
) 1(1) 1(x n n nx x n
-+
+≈+。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求, 对高中学生的计算能力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以 有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五:利用二项式定理证明整除问题
求证:15151
-能被 7整除。
证明:15151
- =1) 249(51
-+
=
12. 2. 49. .... 2. 49. 2. 49. 495151
515050
512492
51501
51510
51-+++++C C C C C =49P+12
51
-(*∈N P )
又 1) 2(1217
351
-=-=(7+1) 171-
=
17. .... 7. 7. 7. 17
17
16
17152
17161
17170
17-+++++C C C C C =7Q(Q *∈N ) ) (77715151Q P Q P +=+=-∴ 15151-∴能被 7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时,要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二
项式定理的情境上来,变形要有一定的目的性,要凑 出相关的因数。
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