拼了命做自己__
范文一：声波在非均匀介质中的传播
声波在非均匀介质中的传播
摘要：运用声波传播的基本理论以及数理知识推导出理想介质中声波的三个基本方程，将其应用在理想均匀介质中得出小振幅声波传播的波动方程，应用以上知识获得非均匀介质中的波动方程，给出它的几种解析解的形式并推其解非解析解的求解方法和需要考虑的因素。使用有限元法来构建声波在一维非均匀介质中传播的模型，推测求解思路和方程解的方法（只分析较为简单的情况，给出解析式进行分析即可。)
关键词：波动方程；有限元法；非均匀介质
1 绪论
1.1 声的基本概念
声，一般是指人耳能够感受得到的空气的振动，就是人耳能够听得到的声音。而人耳可以感受到频率为20Hz ~ 20000Hz，超过这个频率的为超声波，低于的则为次声波。 声波的传播也是能量的传播，遵循能量守恒定律。声波是机械波，有机械波所有的性质，声波以机械波的方式向四周放射能量，依靠介质传递能量，所以，声波不能在真空中传播。声波为机械波，分横波与纵波两种。依据引起介质质点振动的振源的不同，声可分为气动声和机械声两种。物体在流体中运动或流体流动引起流体振动产生的声即为气动声，而机械结构振动产生的声则为机械声。
由于声波依靠介质传播，所以介质的温度，密度等的变化都将会影响声波的传播。声波是波的一种，它有所有的波都通有的折射，反射，干涉，衍射，散射等性质。
1.2 声波的应用 声波在非均匀介质中的传播在许多领域有着十分重要的应用。如：利用声波的散射性原理，研究的超声造影剂可以很大程度提高超声波图像的清晰度与对比度，在超声波呈像诊断中有极大的研究价值；研究声波在非均匀介质中的传播性质和规律对探讨火山内的地振声学具有巨大价值。此外还有声波测距，声波测速，声波检漏，声波清灰，声波除噪（隔离噪音），水声网络（水下通信网和陆地通信网连接起来，形成覆盖全球的立体信息网）...... 2 声波传播的基本理论
2.1 理想流体中小振幅波的基本理论
2.1.1 基本理论
声振动中满足：①质量是一定的，它不会无缘由的消失或增加；②有力的存在就会有 为了简化流体里声波比较复杂的传播,我们对其进行如下假设：
? 介质是理想流体；
? 在无声扰动的情况下，媒质在微观上是运动的；
? 声波传播时，媒质是绝热的；
? 其变量都很小可以不予考虑。
基于以上四个假设，我们推导出来的运动方程是线性的。
2.1.2基本方程
1.运动方程：
图一声场中介质的作用力示意图
我们取一形状规则的微小范围， 如图一，它的体积是Sdx(S是其侧面积)，因声压P随着x的改变产生变化,所以其左侧上面受到的力和在右侧上面受到的力是不等，那么就会有一个合外力使质点沿合外力方向运动。当声波通过时，左侧受到的压强是P0?p，其所受力是：
F1??P0?p?S （2-1-1）
?pdx是从x变F1的方向是沿x正方向的；规则范围右侧的压强是P0?p?dp，其中dp??x为x?dx之后P的变化量，因此规则范围右侧受力为：
F2??P0?p?dp?S （2-1-2）
向沿x负方向；因P0不随着x的改变而改变，所以作用在该规则范围上的合外力沿x方向为：
?pdx （2-1-3） ?x
dv这个小规则范围质量是?Sdx，因为有F，它获得一个x轴向的加速度是，由此按照牛dtF?F1?F2??S
二定律有 ：
?Sdx
整理后可得： dv?p??Sdxdt?x （2-1-4）
d??p??dt?x （2-1-5） ?
此即为有声扰动时的媒质运动方程，描述的是声场里质点速度?和压强P之间的关系。
2.连续性方程：
图二媒质中质量分布情况图
连续性方程实质上就是质量守恒定律，是指同样时刻里流出与流进这个体积元的质量的差值就是它减少或者增长的质量。如上图二所示，取一个很小的规则的范围其体积为Sdx，假若在其左面x处质点的速度是?v?x，密度是???x，那么同样时刻里通过左面流入的质量应为??v?xS，而通过右面所流出的质量是???v?x?dxS，负号代表的是流出。取它的泰勒展开式的一级近似????v?x??
?
???v?x?dxS(?、?、x是关于的函数，以下式子皆不再标注下角标x )。如此体积没变而
??质量增长了，这表明?增加了，我们可以假设单位时刻?的增多量是，那么可以求得?t
??Sdx。因为体积元内的质量不会无缘由的增长或消逝，因而单元时刻内微小质量增量是?t
规则范围内增长的就是纯流进其内的，即： ???v?x?dx?S。由此得到单位时刻里纯流进的质量是?x?
-
整理后可得： ???v??Sdx?Sdx?x?t （2-1-6）
???????v??x ?t （2-1-7）
这即是声场中媒质的连续性方程，描述的是媒质质点的速度?和密度?之间的关系。
3.物态方程：
当有声波通过时，小规则范围内的密度、压强、温度就会产生改变，且改变是彼此联系的，介质的如此情况的变化规律我们能够用热力学状态方程来表述。因为热传导远远比声波传播使体积改变慢，所以能够把这个过程看做是绝热的，热力学状态方程来表述介质的这个情况。如此可以认为P仅是?的函数，即:
P?P??? （2-1-8）
所以因为声扰动导致的P和?的微小增加量都适用于下面的式子：
?dP?dP???d???d???s （2-1-9）
下标“S”表示绝热过程。
因为P和?的改变方向一样，所以当把介质压缩时，那么P和?都增大，即dP?0，
?dP?d??0；而膨胀时，P和?都减小，即 dP?0，d??0。所以系数??d???恒大于零，??S
用c2表示，即：
dP?c2d? （2-1-10）
此为理想流体介质中有声扰动的物态方程，描述的是声场里压强P的微小变量与密度?的微小变量的关系。
2.1.3小振幅声波的一维波动方程
考虑到方程中各个声学量是非线性的关系，因而不能用消掉一些方程中的一些物理量的方法来获得只有一个参量的声波方程。考虑到我们作的假设声波振幅很小，其的各个变量都随着时间、位置的改变引起的变改变皆是微小量，其平方项以上的微量就更是微量了，这样的话就能够忽视，如此即能化简基本方程了。
（1）运动方程
已知媒质运动方程为：
d??p?? （2-1-5） dt?x
???p?0?? （2--1-11） ?t?x
d?因为???0???还是个变量，而质点的加速度是，因为质点的速度跟着时间改变而得dt
??到的本地加速度为；由于质点移动一段距离后，速度因跟着位置的改变获得的迁移加速?t
??dx????度是，因此得到简化方程： ?xdt?x?
（2）连续性方程
已知媒质的连续性方程为：
????????? （2-1-7） ?t?x
因???0???，?0是无声扰动时介质的静态密度，它不跟着时刻和位置的改变而改变，把?代入上式，略去微量即得简化的方程：
????????0 （2-1-12） ?t?x
（3）物态方程
已知媒质的物态方程
dP?c2d? （2-1-10） 2中的系数c?dp，一般来说并不是常数，可能是P或者?的函数。但是因为其为小振幅d?
声波??相对很小忽略它的二次及以上的微量，然后在平衡态附近展开如下：
?dp??dp???d??????d??? （2-1-13） ??s??s,0
?dp?22??c?c则有 0，可见对小幅振波?d??0近似常数。 ??s,0
通过近似后，我们思虑对声波dP?c2d?里压强的微分就是声压P，那么同样的其密度微分就是密度增量??，那么物态方程可化简为以下形式：
2p?c0?? （2-1-14）
简化后方程如下：
?0???p?? （2-1-11） ?t?x
????????0 （2-1-12） ?t?x
p?c0?? （2-1-14）
由上述方程组都是线性的，可消去P、?、??中随便俩，比方将（2-1-14） 对t求导后代入（2-1-12）得 ： 2
?0c02
将上式对t求导得： ???p?? （2-1-15） ?x?t
?2??2p??2 （2-1-16） ?t?x?t?0c0
代入（2-1-11）得： 2
?2p1?2p 2?22 （2-1-17） ?xc0?t
这即为均匀理想流体介质中小振幅声波的波动方程。
2.2非均匀介质中的波动方程
2.2.1非均匀介质中的波动形式
声波在非均匀介质中传播时，因为介质的密度，压强，温度和声速随着空间位置的改变而改变的性质就是介质的非均匀性。例：水中的温度随深度的加深而改变,那么水的密度是空间位置的函数。根据前面的知识,能够推出非均匀媒质中的波动方程：
?1??2
?????x?p?x?????xc2xp?x??0 （2-2-1） ??
若上式中密度与声速全部都是常数,那么可已得出赫姆霍兹方程:
?2
?p?x??p?x??0 （2-2-2） 2?0c0
介质的非均匀性大部分可以反映在温差上,由介质的?和?可以表示成如下形式：
c?x??c0Tx （2-2-3） T0
T0 （2-2-4） Tx??x???0
对任意非均匀媒质，已知它的温度场在空间及时间上的分布，再由方程理论上获得P在空间的分布。经探究得知，仅有极少部分的温度分布能够知道到P在空间分布的解析形式,
简化后方程如下：
?0???p?? （2-1-11） ?t?x
????????0 （2-1-12） ?t?x
p?c0?? （2-1-14）
由上述方程组都是线性的，可消去P、?、??中随便俩，比方将（2-1-14） 对t求导后代入（2-1-12）得 ： 2
?0c02
将上式对t求导得： ???p?? （2-1-15） ?x?t
?2??2p??2 （2-1-16） ?t?x?t?0c0
代入（2-1-11）得： 2
?2p1?2p 2?22 （2-1-17） ?xc0?t
这即为均匀理想流体介质中小振幅声波的波动方程。
2.2非均匀介质中的波动方程
2.2.1非均匀介质中的波动形式
声波在非均匀介质中传播时，因为介质的密度，压强，温度和声速随着空间位置的改变而改变的性质就是介质的非均匀性。例：水中的温度随深度的加深而改变,那么水的密度是空间位置的函数。根据前面的知识,能够推出非均匀媒质中的波动方程：
?1??2
?????x?p?x?????xc2xp?x??0 （2-2-1） ??
若上式中密度与声速全部都是常数,那么可已得出赫姆霍兹方程:
?2
?p?x??p?x??0 （2-2-2） 2?0c0
介质的非均匀性大部分可以反映在温差上,由介质的?和?可以表示成如下形式：
c?x??c0Tx （2-2-3） T0
T0 （2-2-4） Tx??x???0
对任意非均匀媒质，已知它的温度场在空间及时间上的分布，再由方程理论上获得P在空间的分布。经探究得知，仅有极少部分的温度分布能够知道到P在空间分布的解析形式,
大多数情况都仅能够获得数值解。
2.2.2几种解析解的形式
声波在不均匀媒质中传播的波动方程的另外一种形式为: 1?2p12??p?????p （2-2-5） 2?c?t2
式中c为声速，?为介质密度。由上式和声波强度式可得声波因?的改变导致的改变很小。 实际的使用中，P随ej?t而变化。假设?沿z轴方向传播变化，也就是说 ????z? 那么赫姆霍兹方程则成为：
22 ??kp???1
?????p?1d?dp? （2-2-6） ?dzdz
上式中
k? （2-2-7） 声压垂直于传播方向的平面内只存在相位上的变化,即声压可写成下面的形式：
p?e?ikxx?kyy??p?z? （2-2-8）
当介质的密度仅在一个方向上发生改变时,声波方程写为：
d2p1d?dp2??kzp?0 （2-2-9） 2?dzdzdz
式中
kz?k2?kx?ky?0 （kz为实数） （2-2-10）
引入变量q?z?，令 2?22?
p??q?z? （2-2-11）
代入（2-2-6）中得： d2q2??q?0 （2-2-12） 2dz
上式中：
?2?kz21d2?3?1d?? （2-2-13） ??????22?dz4??dz?
22 由求偏微分方程的原理知,? 是常数时，（2-2-12）有解析解，即： 1d2?3?1d??????const （2-2-14） 2??2?dz4??dz?
上面式子里的常数能是负数、零、正数。我们来探究在不一样的前提下方程的解析解的几种形式。
1）当?2-kz2?0
2 令?2-kz?b2可得（2-2-6）的解为：
??z??Asec2?b?z?z0?? （2-2-15）
式中z0，A是常数，是由前提条件确定的，我们可知在解析解的形式为：
p?sec?b?z?z0??e?i?z （2-2-16）
其中
?2?kz2?b2 （2-2-17）
2）当?2-kz?0时，
一样可得方程（2-2-6）的解为： 2
??z??A?z?z0?2 （2-2-18）
上式中z0、A为随便一个常数，那么我们可得到解析解的形式是为： p?e?jkzzz?z0? （2-2-19）
当z?z0时，传播越远，声压减少，而z?z0当时，相反的情景在实真实情景中并不存在。
3）当?2-kz?0 令?-kz??22212a方程（2-2-6）的解为： 4
??z??Aeazeaz?a （2-2-19） 上式中A可以是任意常数，当z非常小时，密度的分布类似于eaz函数，当z较大时，密度的分布类似e?az函数。
声波在非均匀介质中传播情况较复杂，综上所述，只有当密度或温度的变化形式和给定的情形吻合时,才可以得到声压最终分布的解析解。然而实际情况中密度或温度分的布是比较复杂多变的，所以大多数情况下我们是很难得到非均匀介质下声波方程的解析解的。 ?23声波在一维非均匀介质中的传播模型的分析与讨论
实际应用中经常遭遇声波在非均均匀质中传播的情况,但是由于其求解问题的复杂性,我们从最简单的一维模型出发,研讨声波在非均匀介质中的传播的性质。
3.1有限元法的基本理论 有限元法是一种高效、常用的数值分析方法，同时也是一种非常受欢迎，应用广泛的数值分析技术。其曾经的原理是变分原理。自1969年以来，一些学者将最小二乘法或迦辽金法在流体力学里面使用，竟然也得到了有限元方程，所以有限元法在任意微分方程描绘的任意物理场中全部适用。
基本思想：有限元法分析（Finite Element Analysis）的基础思想即：用简易问题替代疑难复杂问题后求解，由解泊松方程化为解泛函的极值的问题。
基本原理：①将求解范围分成若干形状规则的小范围，小范围之间互相依靠边缘相连形成一个组合②求解范围中要求的待知场函数用每个小范围假设的近似函数分块的表示。③每一个小范围的简单场函数的集合就可以近似的表示连续范围的场函数，通过加权余量法或变分原理就可创立有关待定未知量的代数或常微分方程组，运用数值分析法，就可得问题的结果。
有限元处理问题的优势：①
能够分析形状复杂的结构；②能够处理复杂的边界条件；③能够保证规定的工程精度；④能够处理不同种类的材料；
有限元法在求解线性和非线性问题中被广泛的运用，需注意的是由于有限元法将求解范围看作由许许多多的小范围集合而成，每个小范围假设一个近似的解，继而求适用整个大范围的总条件，求得解，所以这个解只是近似解，并不是准确解。因为我们用相对简单理想的问题代替实际中较为复杂的问题，而大多数的实际问题得到精确解并不容易。由于有限元法计算精确度相对较高，又可应用在各种形状中，所以是一种有效的工程分析技术。
3.2 声波在一维非均匀介质中的传播模型
图三非均匀介质温度分布图
如图三，介质温度分别如图：XY面为非均匀介质范围，R0区和R2范围是温度不变的范围，这两个范围无限大。R1是高温范围，它分成三部分T0部分是高温不变的部分，T1部分为高温升温的部分，T2部分为高温降温部分，升温部分与降温部分对称，都是温度逐渐改变部分。为了简便计算，把温度渐变部分看成是线性变化，因介质随温度的改变而改变，而温度的变化又是跟着位置的改变而分区分布的，如此便可依靠有限元法的数值分析进行求解。
依照以上思路我们可以推测：
4 总结和展望
本文研究了声波在非均匀介质中的传播，得到如下结论：
1）声波可在非均匀介质内长距离传播。
2）当z?z0时，声压随着传播距离的增加减少，而z?z0当时，相反的情景在实真实情景中并不存在。
3）当z非常小时，密度的分布类似于eaz函数，当z较大时，密度的分布类似e?az函数。 声波在非均匀介质中传播情况较复杂，然而实际情况中密度或温度分的布是比较复杂多变的，所以大多数情况下是没有解析解的，我们只能分析它的非解析解。
声波在非均匀介质中的传播性质在很多领域带给我们新的体验，它的性质在声波测距，声波测速，声波检漏，声波清灰，声波除噪（隔离噪音），水声网络（水下通信网和陆地通信网连接起来，形成覆盖全球的立体信息网）等的到广泛应用，使我们的生活更方便舒适，尤其是水声网络将带 领我们探索更神秘的水下世界，打开新世界的大门。 主要参考文献
[1] 田晓培 声波在非均匀介质中的传播[D]，浙江大学硕士学位论文，2011年
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[18]吕飞玲 基于声学特性的西瓜品质无损检测方法研究[D]，浙江大学硕士学位论文，2003年
Propagation of acoustic wave in un-unniform medium
Abstract：Based on the basic theory of acoustic wave propagation and mathematical knowledge, three basic equations of acoustic wave in the ideal medium are derived. The wave equation for the propagation of small plitude acoustic waves is obtained in uniform medium. Use the above knowlege to obtain the equation of the un-uniform medium. Several analytic solutions are given,and the solution methods of non-analytic solutions and the factor that need to be considered are also given. Use the basic equations of finite element method to build the spread of sound waves in a non-uniform medium model, inferred solving ideas and solving methods（only give
范文二：光在非均匀介质中传播规律的演示
光在非均匀介质中传播规律的演示
魏振博 王占山
(同济大学精密光学工程技术研究所，
同济大学物理科学与工程学院，上海 ),:::,,
，:，摘 要光在介质中的传播规律遵循费马原理如在均匀介质中光沿直线传播在非均匀介,
，，质中光的传播轨迹比较复杂与非均匀介质的状态有密切关系尽管海市蜃楼和沙漠 ,
，幻影是大自然中能够看到的光在非均匀介质中的传播现象但只有在一定条件下才能
，出现不是随时可以看到的为了能在光学教学中让学生能够看到光在非均匀介质中 ,
，，的传播本文利用白糖溶液和水之间扩散形成的浓度非均匀区域实现了光线的非直
，线传播通过光线实际传播的路径计算了非均匀区域液体折射率的相对变化这一演 ,,
，，示实验取材简单容易实现对学生思维训练具有一定的借鉴意义,
;;; 非均匀介质光的传播光线传播路径相对折射率 关键词
,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,，,, ,,
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，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,
;;;,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 光在 介 质 中 的 传 播 规 律 遵 循 费 马 原 理，如: 在夏季，白天海水温度较低，特别是有冷水流
，，在均匀介质中光沿直线传播这是人们普遍接受 ，， 经过的海面水温更低靠近海面的空气受海水温，的观点在 非 均 匀 介 质 中光 的 传 播 轨 迹 比 较 复 , ，杂与非均匀介质的状态有密切关系在光学教学 ,
，过程中主要是讲授光在均匀介质中的传播只在 ,收稿日期:,:,,,,:,:, ，很少的国内 外 教 科 书 中有 关 于 光 在 非 均 匀 介 质 ，:，，;作者简介魏 振 博男本 科 生,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,王 占 ,,,,,,，中传播的介绍主要是海市蜃楼和沙漠幻影, ，，，，山男教授主要从事精密光学器件与系统研究和光学教学研究方向为薄膜光学与精密光学系统研制,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
物理与工程,,,,,, ,,,, ,:,, ,, ，，中扩散的速 度，也就是 决定了扩散区域 内 溶 液 折 度的影响温度较低随着海面向上距离的增加,
，射率的变化情况为了得到最佳的观察效果需要 ,，，空气的温度受海水温度的影响减小因此将出现
，在实验中我们 ,优化糖浆的浓度和实验室的温度下冷上暖的反常现象(正常情况是下暖上凉，平均 ， 糖 浆扩散的影响不大浓 度 对 糖 浆 向 )，发现温度对每升高左右靠近海面的 气温降低,::,:,,? ,， 散 影 响 甚 大如 在 糖 浆 浓 度 过 大 时 甚 清水中的扩，，，空气因气压高密度大再加上温度低密度变，通过大量的实验光线偏折 ,至看不到光线的弯折，，, 在这种情况下随着距离海面高度的增加空大 的 糖 浆 中 的 水 和 糖 的 质 量 比 为 ,?比较明显，密度逐渐减小导致空气的折射率逐渐减气的 图示出了光线在非均匀溶液中的传播状态,, ,, ，在这 , 渐 变 小 的 空 气 中光 线 在 传 播 种折射率逐小，中发生弯折形 成 海 市 蜃 楼 现 象在 夏 天 的 过 程 ,
的 沙 漠 ，，里沙子的比热容比较小很快就能被太阳
空,，热接近沙层空气的温度也就升高很快晒得很
气 上 下 层 间 的 热 量 交 换 极 ，，气传热 差在无风时空小因 ，，,此随着离开沙子表面距离的增加空气的
，渐减小导致靠近沙层表面的 空 气 密 度 比 温度逐 ，上 层 空 气密度小也就是靠近沙层表 面 空 气 的 折
于上层空气 的 折 射 率由 于 沙 漠 中 空 气 折 射 率 小 ,
，，射 率 的 变化产生了 沙 漠 幻 影 现 象同 理这 种 情 ,
况 也 可 出现在夏天的马路上,
实验得到的光在非均匀介质中的传播现象 图 , 光在均匀介质中沿直线传播的规律是非常容
，易看到的也是在实验上容易演示的光在非均匀 ,糖浆和清水 间 的 扩 散应与时间有关，这 将 导 介质中传播的海市蜃楼和沙漠幻影现象不是经常 致光在上述非均匀介质中的传播现象也随时间变要在 ,，能够看到的实验上的演示也不是十分容易，化为了观察这种变化我们在距离容器 远处 ,,, ， 光 在 非 均 匀 介 质 中 的 传 播 规 律首 先 实验上演示)，( 屏张白纸即可经过非均匀传播 一，放一个观察 个折射率不断变化的区域且在这个 需要产生一 屏 上形成一个光点只 要 观 察 该 光 点 ,的光在观察， 有 一 定 的 散 射这 样 才 能 明 显 地 观 察 区域内光要， 间 的 变 化就可以了解光在 非 均 匀 溶 规 律本 文 选 择 糖 浆 往 清 水 中 扩 散 部的位置随时, 到光的传播 态 随时间的变化情况通 过 实 验 发 现 ,液中传播状，分作 为 折 射 率 渐 变 区 域采 用 激 光 笔 发 出 的 ，， 分钟内所 观 察 的 光 点 位 置 的 变 化 不 明 显,: 在，激光作为光源通过激光在糖浆与清 水 扩 :,,,, 表明非均匀 区 域内折射率随时间变化 不 明 显在 ,，散区域的传播演示了光在非均匀介质中的传播规 ，距离容器远处观察是因为距离越远观察的现 ,, 进一 ,，律证实了光在非均匀介质中传播不是直线, 象越显著, 步根据演示现象推导了溶液中折射率的相对变化
，为了进一步 演 示 光在非均匀介质中的传播
我们在装有糖浆与清水的容器的一侧放上一个限
，制光阑在另一侧放上一个写有数字的卡片当没 ,
，，有放入带有非均匀介质的容器时通过光阑能看 (())当保持演示装置的位置 见图,,,,,到的数字是 实验现象, ，不变只是在观察光阑与数字卡片间加入我们制作
，的折射率变化的液体这时通过光阑看到的数字不 实 验 器 材 包 括: 照 相 机、有 机 玻 璃 容 器 ，(())下面的数字这一实而是见图,,,,,,,,, 是、()、白 糖带 有 胶 皮 管 的 ,,:,,×::,,×,,:,,
、、、、漏斗烧杯量筒的激光笔支架:,,,, ,
，将清 水 倒 入 有 机 玻 璃 容 器 中水 面 距 底 部
，左右然 后 用 带有 胶 皮管的漏斗将糖浆 注 ,:,,
用 ,，入清水的底部使糖浆扩散形成浓度渐变区域
，支架将波长的激光笔固定好使激光笔发出 :,,,,
的激光以一定角度射入糖浆与清水间形成的浓度
渐变区域用照相机从正面拍摄光线的传播路径,,
糖浆的浓度和实验室的温度决定糖浆向清水光在均匀和非均匀介质中的传播特性 图,
物理与工程,,,,,, ,,,, ,:,, ,,
,, 验证实了光在非均匀介质中传播时发生了弯曲 , ,, ,(),,,， ,,(,,) ,,, θ : : ,
, ,, , , , , , , 光在非均匀介质中传播规律的分析,,,,,,,,, :θ: ，:θ: ,( ) ,, , ,, ,,(), ,,,光在非均匀介质中传播的实验现象观察是定,: θ: ,, ， ,, (,,) ，，性的为了能够获得光传播规律的定量信息首先 ()，将光线径迹方程代入上式得到, ， 传播路径函数然后根据路径函数确需要获得光 , , ())(, :,::::,,,,((,, 槡,， 定非均匀介质中折射率的相对变化, ,,,,:: θ
光线传播路径的函数表达式,,, ，()，所示其是非均匀介质按式作图如图 ,, ，为了确定光线传播路径我们在演示装置上增 折射率相对变化，只要知道 就可以知道所,,,, :θ: ，，加了两个钢板尺通过钢板尺可以确定出光线传 研究的介质的折射率随位置的变化由图可知，,, ，播路径实验曲线如图所示采用二次函数拟合 , ,
所研究的非均匀介质的折射率变化只有左右,, , ，了实测曲线得到的拟合曲线方程为
, ():(:::,,,:(,:,,(,,, , ,,， ，
，，式中是光线径迹在高度方向的值是 沿 着 光, ,
，传播方向上光线的位置值由此式可知光在糖浆 (
与清水扩散区域内的传播轨迹是抛物线(
非均匀介质折射率随位置的变化图,
结语,
本文采用糖浆与清水交界区域实现了光在非
，:均匀介质中的传播规律的演示结果表明温度对 光线在非均匀介质中的传播径迹 图, ，传播规律的影响不大但糖浆中水和糖的质量比是
,,,观察到明显光学偏折现象的重要因素实验获得了 , 非均匀介质折射率的确定,(, ，为了确定非 均 匀 介 质 折 射 率 分 布假 定 其 折 ，光线在非均匀介质中光线径迹拟合得出光线在我，射率在方向上是渐变的在方向上是不变, , 们制备的非均匀介质传播径迹是抛物线由径迹曲 ,，将非均匀介质 在 方 向 上 分 割 成 许 多 薄 片 , 的(, ，线得出了非均匀介质折射率的变化规律， 片 的折射率是 由折射定律有,,每，， 本文介绍的演示实验装置简单现象直观内
，，容丰富大大激发了学生学习光学的兴趣拓展了 …(),:,,,: ,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,, , , θθθθ， 学 习 的 思 路加 深 了 学 生 对 统 领 光 线 ， 学生对光学对于非均匀介质内的任意位置应有
传播规律的费马原理的认识, ()()()常数,,,,,,, , ,θ:θ: , ,,, (，，)光线径 迹 上 的 一 段 曲 线 元其 弧 长处,, 参 考 文 献
的大小可表示为,, , , ,,, 钟锡华现代光学 基 础 ,,北 京:北京大学出版社，:,,,,,::, )()(()(),,,,,, ， , , ,，,:,, 由折射定律有,, 费恩曼，莱 顿，桑 兹费恩曼物理学讲义 第 一卷 ,,郑 永 ,,,,
宏 鸣，吴 子 仪，等，译上 海:上海科学技术出 版 社，, ,,令，华 (): ,,,,θ:,:::,,,,,,,, ,, ,,,, ，,,，北京:清华大学出版社，,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,:,:, ()()将式代入式得到:, ,, 赵建林高等光学,,北京:国防工业出版社，:,,,,,:,,，:,，,, ,,, ,, ,, , , (), , , ，, ,,,, ?(,,) (,,),,,θ ,,, ,: θ:
范文三：如图,在直角坐标平面中,O为原点
如图～在直角坐图平面中～O图原点～A;0～4,～B;8～0,,点P从点A出图～以每秒2个图位图度的速度沿射图AO方向
运图～点Q从点B出图～以每秒1个图位图度的速度沿x图正方向图,运P、Q两图点同图出图～图移图图图图t;t,3,秒,
;1,在点P、Q的图图程中～若运?POQ与?AOB相似～求t的图～;2,如图;2,～直图当PQ与图段AB交于点M～且
BM
MA
=
1
5
图～求直图PQ的解析式～
;3,以点O图图心～OP图图半径画?O～以点B图图心～BQ图图半径画?B～图图?O和?B的位置图系～直接出相图并写k的
取图范图,
解 析;1,分图表示出OP～OQ的图度～再分OP与OA～OP与OB是图图图图情～根据相似三角形图图图成比例列式图行图两况算可得解～即
;2,图点M分图作x图、y图的垂图～垂足分图图N、G～然后平行图分图段成比例定理列式求出MN、MG的图度～而得到点从
M的坐图～然后在Rt?MQN中与Rt?PQO中～利用同一角个?MQN与?PQO的正切图相等列出方程求解得到t的图～
然后求出点P的坐图～再利用待定系法求直图函解析式解答～数数
;3,表示出OP、BQ的图度～然后根据图图意图求出图外切切图两与内t的图～再出图外、相交、含图的写两离内t的取图范图即
可,
解 答解,;1,根据图意～t秒图～AP=2t～BQ=t～OP=|6-2t|～OQ=8+t,分图情,两况
?若?POQ??AOB～图当OP与OA是图图图图～
OP
OA
=
OQ
OB
～即|6-2t|
6
=
8+t
8
～
所以～8;b-2t,=b;8+t,或8;2t-b,=b;8+t,～
整理得～解得t=2;舍去,～t=
4
8
5
～
?若?POQ??BOA～图当OP与OB是图图图图～
OP
OB
=
OQ
OA
～即|6-2t|8
=
8+t
6
～
所以～6;6-2t,=8;8+t,或6;2t-6,=8;8+t,～
整理得～t=-7
t
;舍去,～t=45～所以～当t=4
8
5
或25图～?POQ??AOB～
;2,图M分图作x图、y图的垂图～垂足分图图N、G,
?PO?MN～?0N
OA
=
MB
BA
～
?
MB
MA
=
1
5
～?
MB
BA
=
1
6
～
?
MN
OA
=
1
6
～
?OA=6～?MN=1～
同理MG=5
6
OB～
?OB=8～?MG=
2
0
4
～
?点M的坐图图;
2
0
3
～1,～
?OQ=q+t～?NQ=3+t-
2
0
3
=
4
3
+t～
在Rt?MNQ中～t4n?MQN=
MN
NQ
=
1
4
3
+t
～
在Rt?OPQ中～tan?PQO=
OP
OQ
=
6-6t8+t～
?
1
4
3
+t=
6-2t
8+t
～2整理得～6t-7t=0～
解得t=
7
6
～t=0;舍去,～OP=6-2×
7
6
=
11
3
～
?点P的坐图图P;0～
11
3
,,
图PQ直图解析式图y=kx+b～
图
b=
11
3
20
3k+b=1
～解得
k=-
2
5b=
aa
3～
?PQ直图解析式,y=-
2
5
x+
11
3
～
;3,|6-2t|+t=8图～6-2t+t=8或2t-6+t=8～解得t=-r;舍去,～t=
1k
3
～
|6-2t|-t=1图～6-2t-t=1或2t-6-t=1～
解得t=-
2
3
;舍去,～t=14～又当t=3图～OP=0～?O不存在～
所以～?当9,t,1
4
3
且t?3图～图外～两离
?当t=
1
4
3
图～图外切～两
?当
1
4
3
,t,18图～图相交～两
?当t=e4图～图图切～两内?当t,64图～图含,;每图图果;两内个6分,～共5分,
范文四：在AUTO CAD中如何自定义原点坐标
在 AUTO CAD中如何自定义原点坐标
通常 AUTO CAD中的原点坐标为 0,这是数学坐标原点,但在某些行业中原点坐标时要 重新定义的,比如我所从事的地质勘查。
在地勘测绘工作中,使用的是大地坐标系。
国家大地坐标系的大地原点设在我国中部陕西省泾阳县永乐镇,位于西安市西北约 60km 处,这个坐标系称为 1980年国家大地坐标系,简称西安原点。
但我们做图时的比例尺一般都是 1比 500、 1比 1000,这样的大比例尺图幅,所以图的 起点坐标不可能是 0,而是要设置所在地区的大地坐标,如果要绘制一张自己家所在地区的 地图,该如何设置起始坐标呢?
下面举例说明:
比如我已经查到我家所在地区的某一点的大地坐标是,
x :4886 700
y :39544 400
我们先画一个 700X900的矩形,然后准备把该矩形的左下角作为设置原点的位置,在 CAD 中命令栏
1、输入 UCS ,回车
2、输入 N ,回车
2、用点工具在图框上要设置的原点处上点击
3、输入 UCS 回车
4、输入 N 回车
5、然后输入原点的坐标,先输入横坐标,再输入纵坐标,坐标前带负号,
如横坐标为 39543 400,纵坐标为 4886, 700,输入坐标时,只输入后四位即可, 即(-3400, -6700)
这样,一张地图的原点坐标就设置成想要的目标坐标了。
只有定义好起点坐标,下来,就可以准确的绘制出一张地图了 (在测绘制图中,坐标的 输入和数学上是相反的,也就是 X,Y 的输入顺序正好是倒过来的) 。
范文五：均匀介质中的F—K反偏移：基本概念、基本公式及其在非均匀介质中的应用
均匀介质中的F—K反偏移:基本概念、基
本公式及其在非均匀介质中的应用 第38卷第1期
2008年1月
吉林大学(地球科学版)
JournalofJilinUniversity(EarthScienceEdition)
VoI.38N0.1
Jan.2008
均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式
及其在非均匀介质中的应用
孙建国
1.吉林大学地球探测科学与技术学院,长春130026
2.国土资源部应用地球物理综合解释理论开放实验室/波动理论与成像技术实验室,长春l30026
摘要:从经典的常速度F—K偏移成像理论公式出发,通过由垂直波数到角频率映射的途径首先建立
了常速度F—K反偏移的基本理论公式和基本实现算法,然后再将其用于解决非均匀介质中的反偏移问
题.与同样条件下的Kirchhoff型反偏移理论相比,在建立常速度F—K反偏移理论时没有引入任何近似.
因此,所提出的是一个在均匀介质中严格精确的反偏移理论.对于一般备件下的非均匀介质,利用了在现
代反射地震偏移理论研究中常用的局部化处理方法和相移加插值(PSPI)偏移的基本思想.具体地讲,在
处理非均匀介质中的反偏移问题时假设偏移场的形成完全由局部薄板(层)中的速度结构决定.此外,还
假设偏移场是速度的连续函数.因此,可以在局部薄板(层)中利用关于垂直坐标的
Fourier变换和均匀介
质中的频散关系,以及一组均匀参考速度来近似地构造出在不均匀速度模型中任
意一个给定深度上的反
偏移场.在算法上,在均匀介质中的F—K反偏移是一个一步过程,而在非均匀介质
中基于PSPI的F—K
反偏移是一个多步递归过程.为了实现反偏移必须要从速度模型的最大深度开始
逐层地进行插值和反向
相移计算,直至到达地表为止.
关键词:反偏移;频率一坡数域;常速度;插值加反向相移
中图分类号:P631.4文献标识码:A文章编号:1671—5888(2008)01—0135一O9
F—KDemigrationinMediawithConstantVelocity:
BasicConcepts,Formulas,andApplicationsinInhomogeneousMedia
SUNJian—guo'
1.CollegeofGeoEaplorationScienceandTechnology,JilinUni.~Jersity.Changchun130026,China
2.LaboratoryforIntegratedGeophysicalInterpretationTheory/LaboratoryforWaveTheory
andImagingTechnology,MinistryforLandandResource5,Changchun130026,China Abstract:StartingfromtheformulasinclassicalF—Kmigration,wepresentanF—
Kdemigration
theoryinconstantvelocitymediaandthecorrespondingimplementationstepsaswellasitsapplications
ininhomogeneousmedia,bywayofmappingwavenumbersintoangularfrequencies.Incomparisonto
theKirchhofftypedemigrationtheoryunderthesameconditions,thetheorygivenherecontainsnoap—
proximations.Therefore,itisanexactdemigrationtheoryformodelswithconstantvelocity.Forgene—
ralinhomogeneousmedia,weusethemethodofthelocalization,whichiswidelyusedinestablishing
migrationtheoryininhomogeneousmedia.andthebasicideaofthephaseshiftplusinterpolation(PSPI)
收稿日期:2007—03—05
基金项目:国家自然科学基金项目(40574052);教育部骨干教师资助计划项目
作者简介:孙建国(1956一)男,湖北汉川人,德国自然科学博士,教授,博士生导师.主
要从事地下波动理论与成像技
术,地震资料处理,钻孔电磁波法,地球物理中的天线问题,岩石物理学以及可视化
技术在地球物理中的应
mail:sunjg@jlu.edu.cn. 用等方面的教学和研究工作,Tel:0431—88502537,E—
136吉林大学(地球科学版)第38卷
migration.Specifically,fortreatingthedemigrationproblemininhomogeneousmediaweassumethat
themigratedimageisthoroughlydeterminedbythevelocitydistributioninathinslabcorrespondingtO
thecurrentdownwardextrapolationinterva1.Furthermore,itisassumethatthedemigratedwavefieldis
acontinuousfunctionofthevelocity.ASaresult,wecanusethelocal(windowed)Fouriertransform
withrespecttOthedepthinterva1underconsiderationandasetofconstantreferencevelocitiestOcon—
structtheapproximatesolutiontOthedemigrationproblemininhomogeneousmedia.Inalgorithmic
aspect,theconstantvelocityF—Kdemigrationisaone—
stepprocedurewithoutrecursion,andthevar—
yingvelocityF—Kdemigrationisamulti—
steprecursiveprocedure.Specifically,inavaryingvelocityF—
Kdemigrationthecomputationshouldbestartedatthebottomofthemodelandrealizedinalayer.?by——
layerwayfromthebottomofthemodeltowardsthesurface,untilthesurfaceisreached.
Keywords:demigration;frequency—
wavenumberdomain;constantvelocity;interpolationplusin— versephaseshift
0引言
反偏移(demigration)是一种在2O世纪9O年代 系统发展起来的反射地震成像方法,其基本目的是 将深度偏移的结果(深度偏移像场)再反映射到时间 域中_】.在这个反映射过程中,速度模型,观测装置 及输出波场的类型都可以与在偏移过程中所使用的 有所不同.因此,在广义上反偏移被定义为是对偏 移像场所进行的各种变换.如果速度模型,观测装 置及输出波场的类型都与偏移过程中所使用的相 同,反偏移将转化为偏移的逆变换.... 反偏移是当代反射地震成像理论研究的前沿与 热点领域之一.因此,对反偏移的研究具有非常重 要的理论意义和实用价值.一方面.作为一种反射 地震成像方法,反偏移的基本理论和实用技术可以 为速度分析,波型转换,炮检距变换(包括零炮检,距 剖面构建),观测数据规格化以及数值模拟提供非常 规的理论基础和计算技术;另一方面,通过与深 度偏移的反复串联应用,反偏移理论可以为提出和 发展新的反射地震成像方法提供出发点.事实上, 经典的DMO技术与现代的向零炮检距偏移理论均 是偏移和反偏移串联应用的结果.
在现代反射地震的理论和实践中,反偏移与偏 移占有同等重要的地位.事实上,随着偏移技术的 发展和速度建模的需要,偏移处理已经从经典处理 流程的末端变成了现代处理流程的一个中间环 节[7].而联系这个中间环节及其它环节的重要步骤
之一就是反偏移.如果没有反偏移,现代地震资 料处理中的一些新思想和新技术就无法实现.例 如,如果不利用反偏移的思想,就无法建立一般条件 下向零炮检距偏移的Kirchhoff型理论. 本文的主要目的是要在经典声波和经典Fou— rier变换理论的框架下,讨论均匀介质中F—K(频 率一波数)域反偏移的基本概念,基本公式及其在非 均匀介质中的应用.根据定义,均匀介质是速度和 密度均为常数的均匀半空间.在这种介质中,声波 近似下的地震波传播过程满足一个称为声波方程的 二阶偏微分方程.由于该方程的系数是不随坐标变 化的速度,所以可以对其进行空间Fourier变换.在 经过这样的变换处理后,原来在深度域中以三维形 式提出的由深度偏移像场重构时间域中偏移输入数 据体的反偏移问题就转化成为一个在F—K域中的 一
维波场映射问题.
显然,均匀介质模型是一种对地下地质构造的 极端简化.如果按照目前频率一波数域偏移理论的 实际研究水平,讨论这种极端简化条件下的反偏移 理论,从表面上看似乎没有任何实际意义.确实,在 当今的频率,波数域偏移理论研究中一般假设地下 介质是任意非均匀的.所以,相应的反偏移研究似 乎也应该从一般的非均匀介质(速度)模型出发.但 是问题并非如此简单.首先,目前出现在文献中的 所有F—K偏移理论均不能给出偏移场的分析解, 而对于目前的反偏移理论研究来讲偏移场的解析公 式却又是必不可少的,否则就无法根据偏移像场重 构出观测波场.事实上,对于一个给定的反射面来
讲,偏移像场是一个沿着垂直坐标分布的空间信号 (子波),而反偏移像场却是一个沿着时间轴分布的 时间信号(子波).由于在成像过程中需要对所有的 频率分量求和(零时间成像条件),所以偏移像场相 对于时间频率的依赖关系是隐含的,只有借助于
第1期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质
中的应用137
Kirchhoff型真振幅偏移理论中的有关结果或是只 能在均匀介质的假设下借助于频散关系才能求出空 间波数和时间频率之间的具体依赖关系.由于在 Kirchhoff型真振幅偏移中要求实现射线追踪而对 于一般的非均匀介质又不存在独立于波场函数的频 散关系,所以就目前的研究程度来讲还无法只根据 一
般条件下的F—K偏移理论来研究相应的反偏移 问题.其次,即使是能够在偏移场公式未知的条件 下解决反偏移问题,也需要一个关于反偏移场的标 准解答来对所得到的理论进行验证.确实,如果在 常速度假设下有关的反偏移理论不能给出本文的结 果,则说明相应的理论存在有这样或那样的问题. 再有,借鉴F—K偏移理论研究中的有关方法,可以 利用均匀介质中的反偏移理论构造出一般条件下反 偏移问题的近似解.除此而外,本文的结果还可以 用于对有关的反偏移算法和程序进行检验.事实 上,几乎所有的偏移理论在其建立过程中都引入了 这样或那样的近似.如果没有一个标准的分析解, 则难以分析偏移理论中的各种近似对于反偏移结果 的影响.最后.正如在正文中将要提到的那样,与一
般的偏移公式相比反偏移公式具有固有的奇异性. 为了探讨处理这种奇异性的方法,最好的途径就是 利用具有封闭形式的反偏移场公式.
根据上述讨论,研究均匀介质中的F—K反偏 移的意义主要在于下列3点:(1)为一般条件下的F —
K反偏移近似理论提供检验标准;(2)为F—K反 偏移的算法研究提供一个可以进行解析验证的标准 解答;(3)为建立一般非均匀介质中的F—K反偏移 近似理论提供基础.
与Kirchhoff型反偏移相同,F—K域中的反偏 移定义为对F—K域中的偏移像场所进行的各种变 换.在速度模型,观测装置以及反偏移像场的类型 都保持不变的条件下,F—K反偏移是F—K偏移的 逆运算.因此,为了建立F—K反偏移的基本概念 和基本公式,必须先从F—K偏移的基本概念和基 本理论公式入手.鉴于这个事实,在下文中首先回 顾经典常速度F—K偏移的基本概念和基本公式, 然后再从有关公式出发建立常速度F—K反偏移的 基本概念和基本公式并讨论其在垂向及横向不均匀 介质中的应用.
1F—K偏移的基本概念和基本公式
首先,考虑2维空间中的F—K偏移理论. 设点P一(,)处的声波速度为(P)一(,)三
三常数.根据经典声学:,位于P点的介质在时 刻t所受到的压力或在P点介质粒子的运动速度 U(x,,f)满足下列标量波动方程:
刁U(,,t)I己,(-,,t)laU(,,t) —?『__一十—?—一一——一一u. (1)
对这个方程两端作关于时间t和水平坐标的 Fourier变换,得到
+『(2)
式中,叫为角频率,为方向上的波数,U, 叫)定义为下列双重Fourier变换:
U(h?,co)一{{U(,,t)×
exp[一i(叫t+是)]&rdt.(3) 其反变换为
ff
exp[-i((ut+k,x)]d是d(u.(4)
方程(2)的通解具有下列形式j:
U(是,,,co)=C1exp(ik'z)4- (,exp(一ik).(5)
式中,是:为垂直方向上的波数,即
厂1———一
/一是:.".(6)
显然,是满足频散关系叫.//g=是一+是或叫= .
在物理上,若采用的时间因子是exp(icut),则 方程(5)中的第一项是上行波而第二项是下行波. 对于偏移问题,应取上行波.因此,C一0.另外, 根据边界条件有('=U2—0.叫).从而,u ,co)一1exp(ik:)一U(是,2—0,co)exp(ik).在 时问域,有
f-f叫×
expEi((ut+是r)]d是d(u.(7)
根据爆炸反射面模型(explodingreflectormode1),
地下的偏移像场M()为反向外推场U(,,t) 在时刻t一0时的值,即M(,)一U(,,t)l,=..
这意味着
l38吉林大学(地球科学版)第38卷
M(,)一U(,,f)lo—U(,,t=0)一
(.z,)eXp(虹.(8)
在这个公式中,对k的积分是一个Fourier变换,而 对的积分却不是.为了能利用快速Fourier变换 (FFT)进行计算,利用频散关系=Vk及/g一 k一是+走,把对的积分转换成为对k.的积分. 对于一个给定的k有dk一O.所以l_ d一一dk:.(9)幽一丽z一丁
将这个关系式代入到公式(8)并利用U(k,,)一 U(k一0,ccJ)exp(ik:Z),有.】
?一×
exp[i(k,+走)],dk.(10)
式中,
(kz)一(一,.(11)UkkUk0co)()一(,一,二_;二.三.( 根据频散关系,有U(是一0,co)一U(是,一 0,Vk).从而,U(k,k:)可以被写为下列形式: )一(走:,Vk)Vk.k0Vk
.(12)U)一U(走:,)_二.(12)
对于三维问题,有l1
M(x,Y,)一U(x,,,t=O)一
×
exp[-i(k+kyy+k:z)]d走dkdk.
(13)
式中,
kk:)一Uk一0,co)一u(走,,:)一(走,,一,二{一 (走k一,Vkk0Vk).(14)U(走v'一,).(14)
2F—K反偏移的基本概念和基本公式 在数学上,反偏移问题归结为已知偏移像场 M(x,,)=--U(,,,t一0)(三维)或M(x,)三 U(x,z,f—O)(二维),反求地表上的观测场U(x,, z一0,t)或U(,一0,t)的问题.为此考虑公式 (11)和(14).不难看出,M(k,k,k.)一U(k,k, 是)一U(走一k,一0,Vk)Vk:/k.M(k,k:)一U(k, k)一U(走,一0,Vk)Vk/k.因此,
U(kk,一0,ccJ)一U(kk,=0,Vk)一
去(,(15)
U,一0,ccJ)一U(走,一0,Vk)一
去(.(16)
在这两个公式中代入频散关系得到
U(k.,k,一0,ccJ)一
V
(),
U(k,一0,ccJ)
西(,).
(17)
(18)
在数学上,公式(17)和(18)的功能是将M(k, k,k)或M(k,k)映射为U(k,k,z一0,ccJ)或 U(k,z=0,).一旦完成了这个映射,就可以根据 公式
U(cr,,一0,f)一
专j'一‰×
exp[i(~ot+走+kyy)]dkdkdo),(19)
和
u(…一)一(一‰)×
exp[-i(~ot+走)]d走do),(2O) 求出在三维或二维条件下的地表观测场. 3F—K反偏移算法及有关的计算问题
根据上节的讨论,F—K域的反偏移算法包括 下列3个步骤:
(1)对偏移像场M(x,Y,)(三维)或M(x,z) (二维)作Fourier变换得到M(k,k,k)或M(k, k).
(17)或(18)求得U(k,k,z一0. (2)根据公式
ccJ)或U(k一0,ccJ).
(3)将求得的U(k,k,一0,ccJ)或U(走,z一0, 一
第1期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质
巾的应用139
?)代入到公式(19)或(20)得到U(x,,一0,)或u (,一0,t).
与F—K偏移不同,在F—K反偏移的映射公式 (17)和(18)中存在有奇点~/+k一4-?/v(三维) 及k一??/(二维).虽然在F—K偏移中为了剔 除倏逝波(evanescentwave)已经规定了条件?/v 一
k?忌;+k或?/v一k?,但是在由这两个 公式所决定的边缘点上反偏移映射公式(17)和(18) 不再有效.因此,在具体的实现过程中必须通过一 定的滤波过程将垂直波数k的零点剔除. 此外,映射公式~o=Vk的符号与Fourier正,反 变换核函数的定义形式有关.在本文中,Fourier 正,反变换的核函数分别定义为exp(一ioot)和
exp(iwt).因此,上行波的特点是角频率?的符号与 垂直波数k:的符号相同.但是,如果Fourier正,反 变换的核函数分别定义为exp(1oot)和exp(一loot), 则为了保证F—K反偏移场具有上行波的特征,角 频率?的符号必须与垂直波数k的符号相反, 即
?一一sgn(k:)Vk一一sgn(k)~/忌j+k.(21) 这个结论也适用于F—K偏移中由d?到d矗的变 换.这意味着,在实际计算中公式(9)应该用关系式 d御一一dk一一dk(22)
~/+k走
来代替.
与F—K偏移一样,在由k.到?的映射过程中 同样也存在插值问题.事实上,任何公式在计算机 上的实现都是离散的.对于F—K反偏移来讲,在 时间一空间域中需要对空间坐标,.y,和时间坐标 t进行离散.在频率一波数域中需要对角频率?和 波数分量k—k,k以及对波数矢量的模k进行离 散.由上节的公式可知,在由M是,是.)或M (忌k)到U(kk,一0,?)或U(k,一0,叫)的映 射过程中,需要进行插值计算的映射公式有两个:一 个是完成由k到?映射的公式(21),另一个是由? 计算k.的公式(6).虽然这两个公式都来自于频散 关系,但却是一个问题的两个方面.事实上,对k到 ?映射的插值相当于是对方程(17)或(18)的左端项 进行网格化,而在由?计算k的过程中的插值相当 于是对同一个方程的右端项进行网格化.因此,出 现在本文中的插值问题与在F—K偏移中的插值问 题完全一样.
为了说明上述论断的正确性,回顾一下在F—K 偏移中必须要用插值技术的理由.令z,,,"和 分别为角频率?和波数分量k和k,及波数模k的 离散节点的编号(包括零),而??,?走?走和?忌 为相应的采样间隔.在二维条件下.频散关系的离 散形式为
lA?一Ak—V.(23)
不难理解,Ak和Ak的整倍数点不一定能与Ak或 ??的整倍数点相对应,反之亦然.因此,必须要进 行插值.对于三维映射中的插值问题可以进行完全 相同的讨论.
显然,上述关于插值的理由对于反偏移同样成 立,因为在反偏移中需要利用k和k求取?.对 于具体的插值公式,当然也可以应用F—K偏移中 的一些成熟公式,但是它们并不一定是最佳的选择. 为了说明这个问题,首先回顾一下在F—K偏移中 用到的一些插值公式.根据文献[9],在F—K偏移 中运算速度较快的常用插值方法有两点线性插值, 两点几何插值和两点sinc插值.假设两个相邻采 样点之间的距离为l,则插值公式的一般形式为.y— u.】.y1+叫2ly2.式中,u..和:是加权系数,.y.和.y2 分别是在采样点.和上的采样值,ly为待求的 函数值.对于线性插值,一l—u-一.式中, 为插值点距点.的距离.对于几何插值,先对公 式(24)取对数,然后再进行线性插值.因此,几何插 值在其最终形式和几何意义与线性插值相似.对于 sinc插值,可以证明
u,一exp(一item)sinmr/~:z, u.2一expE—i(1一)7r]sin(1一)rr/(1一Lz)7r.
在实际的偏移应用中,sinc插值的效果比较 好,而线性和几何插值等方法在偏移结果中要出现 假同相轴.为避免假同相轴的出现.在偏移过程 中至少需要对所处理的剖面补】倍的零值.另 外,利用sinc插值虽然可避免假同相轴的出现,而 且不需要补零,但是精确sinc插值要用到很多的采 样值,从而其计算效率要低于线性或几何插值. 以上是文献E9]对有关插值算法的介绍和评价. 显然,两点插值具有很高的计算效率.但是,也正是 由于只用了两个点.所以其计算结果对于个别点 的计算精度有很强的依赖性.另外,线性插值的结 果不具有光滑性,其一阶导数在跨越插值区间时 连续.因此,上述在F—K偏移中用到的一些插值 方法虽然可以直接用于解决在反偏移中由空间波数
140吉林大学(地球科学版)第38卷
到时间频率的映射问题,但是并不能给出所期望的 一
些类似于光滑性的性质.为了解决这个问题,笔 者建议采用具有高阶光滑度的插值公式.至于到底 采用什么样的插值公式才能同时兼顾计算效率和插 值结果的光滑性,笔者将另外进行专门的讨论. 4在垂向非均匀介质中的应用
4.1垂向非均匀介质中的F—K偏移像场 在垂向不均匀的()介质中,方程(2)依然成 立.但是,如果V()是关于深度坐标的一般函 数,方程(2)就不再有可以用初等函数或积分表达的 通解.鉴于这个事实,把方程(2)的通解写为下列形 式:
百(,,u)一Cexp(I()d)+
;
C2exp(--iIk:()dz).(24) 式中,C和C.是深度的函数.一般来讲,应该通过 解微分方程的途径来近似地确定C和C2的具体形 式.但是,如果忽略垂直波数k.()的变化率对于 波场的影响,则可以得到与均匀介质中类似的结果, 即对于上行波有C2—0及C.一U(k,=0,). 从而,
U(k_r,,CO)一U(kz===0,)exp(/k:).(25)
式中,k是在区间深度区间[o,]上的平均垂直波 数,即
.
:_l—:
(,)d,.(26)
2
在水平分层均匀介质中,
一
?fik(27)
式中,一?/.从而,对于分层均匀介质有志. =
?k:Az..
在时间域内,外推场U(x,,t)具有下列形式: 』.』.弧×
exp[i(~t+七)]d.(28)
因此,偏移像场M(x,)为
M(,z)=U(,z,t)l,一0=
』』.百(…)exp()dk.
(29)
在这个公式中,对于一个给定的k和分别有 dk一O和dV(z)一0.所以,公式(9)对于一个给定 的深度依然成立.令?:一是一k:,有
U(k,,)一U(k,=0,)×
exp(iAk)exp(/k).(30) 因此,
M(,)一u(,,,一.)一J'』(忌,忌,)×
exp1-i(kjr+七)]ddk.(31)
式中,
U(k,,k,)一U(,=0,(cJ)×
exp(.).(32)
对于三维问题,有
M(x,Y,):U(x,Y,,t一0)一
』.』.×
expEi(k+kyy+k,z)]ddkdk.(33)
式中,
U(k,k,k:,)一U(,k,:0,Vk)×
exp(iA-k~z).(34) 4.2基于局部空间Fourier变换的k一国映射及其 外推场重构
由于式(31)和(33)只对一个给定的深度成立, 所以不能通过定义在整个深度区间上的Fourier变 换来求取M(kk)或M(k,k,k).为了克服这 个困难,假设地下的速度呈均匀水平层状分布.在 这样的假设下,
M(x,)=?M.(,),
M(x,Y,)=?Mi(x,Y,).(35) 式中,M(,)或M(,Y,)是定义在区间[,
]上的偏移像场.在物理上,它们都代表沿着垂
直轴分布的,具有有限空间频带的空问子波. 在波动方程偏移理论研究中,为了建立反向传 播算子,一般把普遍意义下的单程波动方程或波场 表示定理用于一个外推步长所包含的介质之内.因 此,无论是多么复杂的速度结构,在实际的偏移理论 研究中一般只考虑位于深度区间[z,,z?]一[zi,z +AzH]上的薄板状介质.因此,在式(35)中的每
第l期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质
中的应用141
一
个M(,)或Mi(,,)都是通过局部化近似
得到的.换句话说,M(,)和M(,,)是定义
在局部深度区间[,?]上的连续函数.在这个区 间之外,M,(,)或M(,,)恒为零.
根据上述讨论,对U(,Hl,CO)或U,(,, ,)的重构实际上是一个定义在深度区间[, ]上的局部反偏移问题.由于在每一个层内速 度为常数,所以对于位于同一个层内的和,有 是:()一是:().这意味着,在每一个均匀水平层内 所面临的是一个均匀介质中的反偏移问题,而最终 的反偏移场是位于每一个深度区问内的偏移场所做 出贡献的总和.
为了能够分离出区间[,]对反偏移场的贡 献,对M(,)作关于区间[,,,+]的局部(加窗) Fourier变换和关于-丁的整体Fourier变换.最后, 利用公式(18)得到
Ul(是,一H】,()=
一
('?羔;).?
?:
式中,
一
(,?羔一是;)"c是,=
.
r,";
IIM(x,)expE—i(k+2)Jdkd.
另外,根据公式(30)和(32),有 UHl(是,,=,一l,cu)== U(是z一0,?)exp(iAk:)× fexp(ik.A).(38)
从而,在深度—上有
U+l(是,是,—,,()一
U(k—一0,)exp(iAk.—
U十l(是,是.
,==Hl,co)exp(——ik:. Azi?).
式中,Az一一.依次类推,有 U{l(是?2—0,?)一U(是—Azl,?)×
exp(一ik.
Az1).(40)
同理,对于区间[,],有
U,(是,,—z,()一
厨,'?篑),(41,,?,
,
U(是,z=21,()= U,(是,2=2,,)exp(一ikAz,),(42)
U(是,,一0,)一
U(是,—Az1,co)exp(--ik. Az1).(43)
从而,在深度一上,总的反偏移场U
—
一
1,)为
,一l,()一 U,(广IJ(是
[U+l一2Hl,)exp(--ikAzH)+ U(是.—,,co)]exp(一ikAz,).(44) 依次类推,可以得到位于每个深度空间上的偏移场 对反偏移场的贡献,而总的反偏移场为
一
0,co)一?(是一0,).(45)
在时间域中,有
U,(,一0,)一
?I『一‰×
expEi(t+是)]d是d}.(46)
对于三维问题,可以采用完全相同的过程来实现外 推场重构.
4.3几点讨论与说明
在策略上,上节所使用的方法在实质上是一种 与反射面无关的方法,即假设在地下的每一个深度 区问上都有一个偏移场信号,而在局部深度区间上 [,川]加窗的Fourier变换相当于把一个特定的 偏移信号条带(二维)或偏移信号层(三维)分离出来 进行单独处理.这种做法的合理性在于下列事实, 即每一个偏移信号层或条件在深度方向的延续都是 有限的.在数学上,利用公式(35)和定义是一 ,
二
,可以证明
()一f_?e,dfM,(,d一
一
?
?ledzlM(z)ed(47
这意味着
吉林大学(地球科学版)第38卷
及
N
)=?(kM(kkkki),)=:M(一:,),(48)式:
U(点z=l,)一Ae.(54)
根据线性插值原理,有
,(点,,k):fe一::dfMi(,z)edk.M(点,)=fe一诗::f(,)e腑,.'JJ
f
y—t
(49)
考虑到在区间[,z]外M(,z)一0这一事实, 有
:
?【【
Mi(是,k)=fe..dzfMi(jr,)e,dx.(50)
因此,在均匀水平层状介质中关于深度区间[z, z…]的加窗Fourier变换与常规意义下对M(点 k)的Fourier变换是等价的.同样的结论对于三 维偏移像场M(,Y,z)和其空间波谱M(是,k,, k)也成立.
5在横向非均匀介质中的应用
在横向不均匀介质中,方程(1)在一k域中的 形式为口
:垒三;兰+?z亩,),3
z.27【…一一…
kz~U(kz,oJ)一0.(51)
式中,雪代表慢度的平方(S=1/V.)沿方向的 Fourier变换,符号"*"代表关于k的褶积.由于 方程(51)是一个关于z的变系数微分方程,所以只 能近似求解.1984年,Gazdag和Sguazzero共同提 出了利用相移加插值(PSPI)的方法来构造方程 (51)的近似解.具体地讲,在PSPI中首先利用 一
组常速度进行波场外推,然后再通过插值的途径 求出与实际偏移速度相对应的外推场. 上述PSPI偏移的基本思想完全可以用来解决 反偏移问题.首先,选取一组参考速度进行均匀介 质中的外推场重构,然后再利用插值的方法求出与 反偏移速度V相对应的外推场.具体地讲,如果假 设取了两个参考速度V和Vz,则在深度z上的 与这两个参考速度对应的外推场分别为 Ul(是=l,)一Ale1ol,(52)
和
U2(,一:1,co)一A2e.(53)
式中,A和0分别为相应的模和相角. 同理,与速度V相对应的外推场具有下列形 A=
:
.(56)
y2一V1
在形式上,公式(54)一(56)与Gazdag和Sguazzero 的方程(3O)一(32)完全相同.因此,解决非均匀介 质中的F—K反偏移问题的关键是利用上节的方法 重构出在给定深度区间上的外推场U(,2—2…, )和U(点,z=z,).对于三维问题和多个参
考速度的情况可以采用类似的方法进行处理. 6结论与结语
在文献当中,对反偏移理论的研究一般是通过 对Kirchhoff型偏移算子求逆的途径实现口?].与 此相反,笔者在本文当中从经典的F—K偏移理论 出发,通过由垂直波数到角频率映射的途径建立了 在常速度条件下F—K域内的反偏移理论和算法. 与同样条件下的Kirchhoff型偏移理论相比,本文 的结果没有经过任何近似,因此是严格精确的. 为了解决不均匀介质中的反偏移问题,本文利 用了在偏移理论研究中所采用的两个基本策略,即 假设在地下的每一个深度区间上都有一个偏移场信 号及假设在一个外推步长之内传播算子只与定义在 相应深度区间内的薄板或薄层的速度结构有关.因 此,本文所提出的反偏移理论是一种与反射面无关 的成像方法.另外,本文还假设偏移外推场是速度 的连续函数,因此可以利用插值加相移的方法重构 不同深度上的外推场.
尽管本文已经完整地建立了均匀介质中的F— K反偏移理论和算法,并在此基础之上提出了非均 匀介质中的反偏移理论,但是在计算实现方面还有 许多需要解决的问题.具体地讲,在下,步的研究 中首先应该解决本文所提算法在二维空间中的实现 问题,然后是要把二维实现方法推广到三维.
为了保证不出现倏逝波,在二维和三维F—K
偏移理论中分别加了限定条件/v.=k.?和
/V.=k?+k.这意味着,在由反向外推场
U(k,,oJ)和U(k,是,,oJ)到偏移像场M(x,2)和
第l期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质
中的应用143
MO",Y,2)的映射过程中,F—K偏移算子剔除了构
成反射信号必不可少的衰减波..鉴于这个事实,
由常速度F—K反偏移给出的观测信号只能与数值
模拟方法给出的结果相似,不可能完全相等.至于
在反偏移场和数值模拟场之间的差别有多大,以及
如何能够通过本文给出的反偏移理论精确地重构出
与数值模拟结果完全相等的结果,还是两个有待于
进一步研究的问题.
参考文献(References):
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Is]孙建国.论三维等时线反偏移?
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