我是帝王么
范文一：概率论 例题
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1((P184,1)某食品厂为加强质量管理，对某天的生产的罐头抽查了100个(数据如下表)。
试画直方图;它是否近似服从正态分布,
100个罐头样品的净重数据(单位:克):
342 340 348 346 343
342 346 341 344 348
346 346 340 344 342
344 345 340 344 344
343 344 342 343 345
339 350 337 345 349
336 348 344 345 332
342 342 340 350 343
347 340 344 353 340
340 356 346 345 346
340 339 342 352 342
350 348 344 350 335
340 338 345 345 349
336 342 338 343 343
341 347 341 347 344
339 347 348 343 347
346 344 345 350 341
338 343 339 343 346
342 339 343 350 341
346 341 345 344 342 解答:
方法1:
(1) 最小值为332，最大值为356。
(2) 取起点a=332，终点b=356，共分13组，组距为2。 (3) 分组数据如下:
分组 频数
332~334 1
334~336 1
336~338 3
338~340 8
340~342 15
342~344 20
344~346 21
346~348 15
348~350 7
350~352 6
352~354 2
354~356 0
1
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356~358 1
(4) 直方图如下:
直方图0.25
0.210.20.2
0.150.150.15
0.10.08单位频率0.07=*1/20.06
0.050.030.020.010.010.0100
332334336338340342344346348350352354356
净重(克)
方法2:
(1) 最小值m=332，最大值M=356。
(2) 取起点a=331.5，终点b=357.5，共分13组，组距2. ,,
(3) 分组数据如下:
,1i,y,f，,序号 分组 频数 频率 iii,200
1 331.5~333.5 1 0.005 2 333.5~335.5 1 0.005 3 335.5~337.5 3 0.015 4 337.5~339.5 8 0.04 5 339.5~341.5 15 0.075 6 341.5~343.5 21 0.105 7 343.5~345.5 21 0.105 8 345.5~347.5 14 0.07 9 347.5~349.5 7 0.035 10 349.5~351.5 6 0.03 11 351.5~353.5 2 0.01 12 353.5~355.5 0 0 13 355.5~357.5 1 0.005
(4) 直方图如下:
2
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直方图
y
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
(克)331.5
335.5
339.5 343.5
347.5
351.5
355.5
3
范文二：大学概率论例题
二、已知，，，求，，。 P(AB)P(A:B)P(A:B),0.8P(A),0.5P(B),0.6P(AB)
2. 某寝室住有6名学生，求至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率。
3. 将一枚骰子重复掷n次，求掷出的最大点数为5点的概率。
P(BA),0.8一、已知，，，求。 P(A),0.5P(B),0.6P(AB)
(2)设，，，则( )。 0,P(A),10,P(B),1P(AB)，P(AB),1
(A) 事件与互不相容 (B)事件与互逆 ABAB
(C) 事件与不相互独立 (D)事件与相互独立 ABAB
二、已知，，， P(A),P(B),0.3P(A,B),0.7,
(1)若事件与互不相容，求;(2)若事件与相互独立，求。 ABAB,,
四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。
1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。(列表格表示)
3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,求该市在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少,
4. 已知在5重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}。
2.设随机变量的分布律为: X
0 1 2 3 X
11631614 p12 k
,,PX,2(1)求的分布函数;(2)求概率。 XF(x)
22. 已知，，则 。 XN~(10,3)PX{}0.67,,,,,
2,01xx ,,,3.设随机变量X的概率密度为 ，记Y表示对X的三次独立重复观察fx(),,0, 其他,
{X,12}中事件出现的次数，则= 。 PY{2},
2,,,12,x,kx,1. 设随机变量的概率密度为，求(1)常数;(2)的XkXfx(),,其它,0,,
分布函数。 Fx()
X2. 设随机变量，求的概率密度函数。 XU~(0,1)fy()Y,eY
33. 设随机变量，求的概率密度函数。 XU~(2,3)fy()YX,Y
6x,0,x,1,y,0,x，y,1;,f(x,y),2(设随机变量的概率密度为，求(,)XY,0,其他.,
的概率密度。 Z,X，Y
1,0,x,1,,f(x),Y3. 设X和相互独立，其概率密度分别为，,X0,其他,
2y,0,y,1,,f(y),，求Z,X，Y的概率密度。 ,Y0,其他,
,y,,,e,0xy,4. 设随机变量的概率密度为，求的概率密,f(x,y)(X,Y)Z,X，Y,0, 其他.,
度。
范文三：概率论例题
设A表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”，
,
A则对立事件为()
(A) 甲产品滞销或乙产品畅销 (B) 甲，乙两种产品均畅销
(C) 甲产品滞销
(D) 甲产品滞销，乙产品畅销
limP{f,p,,},0
n
,, n
或
limP{f,p,,},1
n
,, n
对任意两事件A，B有
P(B,A),P(B),P(AB)
B,(B,A),(AB)
由于(B,A)与(AB)不相容 P(B),P(B,A)，P(AB)
1
2
3
nn
PAPAPAA()()(),,,,iiij
,,,,11,1iijn i
,1n ，，,,,，,,,,PAAAPAAA()(1)(),12ijkn
1,,,,ijkn
1xy，，，，11
,,,,
1xy22,,,,,XY,a，，,,,,？？？B,,, b,,,,，，1xynn，，，，
TTT,1XXB,XY,B,(XX)Y
例:设一昆虫产i个卵的概率为
i,,
e,
(i,0,1,2,？)
。 i!
而每个卵能孵化为成虫的概率为P，求这只昆虫下一代有k只的概率。
解
B,{昆虫产i个卵},i,0,1,？),A,{昆虫下一代有k只} i
i,,e,
P(B),,i,0,1,？i， i!
kki,kP(AB),p(1,p),i,k,k，1？i Ci
又全概率公式:
i,,,,,ekkik,()()()(1),,,PAPBPABCpp,,iii!iikik,,
i,,,!ei ,kik,,,(1)pp,
!!()!,ikikik,
,,kk,i,kkk,t,,,,,,[(1)][(1)]pe,ppe,pt,i,k,,,,,,!()!!!ki,kkti,kt,0
,kk,k ()pep,,(1,p),,,p,e,e
!!kk
例:N个士兵每人配一把外形相同的枪，在一次紧急集合中每人随机地取一把，求至少有一人能拿到自己枪的概率。
A表示第个士兵拿到`自己的枪 i
A表示至少有一名士兵拿到`自己的枪
P(A),P(A,A？,A), 12N
NN1,P(A),P(AA)，P(AAA)，？，(,1)P(AA？A),,,iijijk12N
iN11ij1ijkN,,,,,,,,
=
12N，,P(A)P(AA)，ijiCNN
3N,1P(A)P(AA)P(AAA)，？，(,1)，P(A)P(AA)？P(AA？A)ijikij121N1N,1CN
111N,11(1),,，，？，, 2!3!N!
N个士兵对同一目标进行射击，设每人
命中率为P，士兵射击是相互独立的，
求:目标命中的概率。
阳
癌C
A
,
非癌(C)
一正四面体第1面着红色，第2面着黄，第3面着蓝，第四面部分着红，部分着黄，部分着蓝，设A-着地面含红，B-着地面含黄，C-着地面含蓝，问A，B，C独立吗,
范文四：概率论例题
例1、
0， x?0
11已知F(x)= x+, 0?x? ,试分析F(x)能否作为某一随机变量的分布 22
11, x? 2
函数,
解因为F(x)在(-?，+?)上单调不减，右连续，且F(x)=0， limx,,
F(x)=1，所以F(x)可以作为某一随机变量的分布函数。又F(x)除x=0，limx,，,
11 外，处处可导，而F`(x)= 1， 0?x? 但F(x)?F`(x)dx= 22
0，其他
0， x?0
1 X， 0?x? 。因此，不存在密度函数，又F(x)也不是阶梯函数，所以F(x) 2
11 ， x, 22
是既非离散又非连续的随机变量的分布函数。
例2:
A试确定A的值，使p= i=1,2??能成为离散型随机变量的概率分布。 i(i，1)
,,Ap解由概率分布的性质易知P?0，i=1,2??，且=1，因此=1，,i,ii(i，1)i,1i1,
,11,,1,,,,,lim1,,,,即有A=A?=A=1，所以,A=1 n,,ii1，n1，,,,,i1,
例3:
一批产品中有10件正品，3件次品，现从中随机地一件一件取出，以X表示直
到取得正品为止所需的次数，分别求出在下列各种情形下，X的概率分布。
(1)每次取出的产品不放回;
(2)每次取出的产品经检验后放回，再抽取;
(3)每次取出一件产品后，总以一件正品放回，再抽取
解用表示“第i次取到正品” A1
(1)随机变量X所有可能取值为1,2,3,4则
10 P(X=1)=P()= A113
3105 P(X=2)=P()=P()P(|)=×=, AA22AAA111131226P(X=3)=P()=P()P(|)P(|) AA33AAAAAAA1212112
32105 =××= 131211143
P(X=4)=P()=P()P(|)P(|)× A4AAAAAAAAA123121321P(|) A4AAA123
3210101，，， == 13121110286
因此，X的概率分布为
X 1 2 3 4
10551P 1326143286
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2，??。由于、?，相互独立，于AA12是
P(X=k)=P(?)=P()P()?P()P() AAkkAAAAAA12k,112k,1
k-1
3,,10
,, =?， 1313,,
因此，X的概率分布为
k-1
3,,10
,,P(X=k)=?， 1313,,
(3)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
10P(X=1)=P()= A113
31133，P(X=2)=P()=P()P(|)== AA22AAA1111313169
P(X=3)=P()=P()P(|)P(|) AA33AAAAAAA1212112
321272，， == 1313132197
P(X=4)=P(P()=P()P(|)P(|)× A4AAAAAAAAA123121321P(|) A4AAA123
321136，，， == 131313132197
因此，X的概率分布为
X 1 2 3 4
7261033P 1316921972197
0， x,-1
0.3 -1?x，0 例4已知随机变量X的分布函数为F(x)= 0.6 0?x,1 ，试求X的概率
0.8 1?x,3
1 x?3
分布，并计算P(X,1|X?0).
1)=F(-1)=0.3 解P(X=-
P(X=0)=F(0)-F(-1)=0.3
P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2
P(X=3)=F(3)-F(1)=0.2
因此，X的概率分布为
X -1 0 1 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
P(X,,1)PX，1,X,03，，,,,, P(X,1|X?0)=== 7P(X,0)1,P(X,0)
例5 某一专业射击手独立射击5次，若击中目标目标一次和二次的概率相等，求其击中目标4次的概率。
解设X为五次射击中目标的次数，且每次射击击中目标的概率为p(0,p,
124321)，则X,B(5,p).由已知条件知，P(X=1)=P(X=2),=， ，，，，p1,pp1,pCC55
41124,,,,101,,,,即有p=，所以，P(X=4)== C5324333,,,,
例6 有10个乒乓球，其中5个新的，5个旧的。任取1个比赛使用，用完后放
回，第二次再从其中取出2个，令X表示取出的2个中的新球个数，求X的概率
分布和分布函数。
解设Y表示第一次取出新球个数，显然Y,H(5，10，1),即
i1,i
CC55 P(Y=i)=, i=0,1， 1
C10
或 Y 0 1
11 P 22
又X的所有可能取值为0，1，2，再由全概率公式得:
1
P, P(X=k)=(Y=i)P(X=k|Y=i)
i,0
k2,kk2,k11CCCC5545 =?+?, k=0,1,2. 2222CC1010
所以，X的概率分布为
X 0 1 2
5498 P 189045
并且X的分布函数为
0， x,0
50?x,1 18
549 F(x)= +，1?x,2 1890
5498++x?2 189045
,xe 1-(1+x)， x?0 例7设随机变量X的分布函数为F(x)= 0， x,0 ，试求: (1)X的密度函数
(2)P(X,1),P(X?2)和P(1?x,2)
,x解(1)p(x)=F`(x)= x，x,0 在x=0处，定义p(x)=0，所以 e
0， x，0
,x P(x)= x，x,0 e
0， x?0
2(2)P(X，1)=P(X?1)=F(1)=1-， e
33 P(X?2)=1-P(X,2)=1-F(2)=1-(1-)= 22
ee
23P(1?x，2)=P(1，x?2)=F(2)-F(1)=- 2ee
范文五：概率论例题
一、选择题（每题3分，共18分）
1、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 。
2、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，
P(A ?B ) =___,P(B |A ) =___。
3、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 。
4、设X 服从正态分布N (μ, σ2) ，则Y =3-2X ~ 5、设X ~B （n, p ), 且EX ＝12，DX ＝8，则n =__,p =__
6、已知P (A ) =0. 5, P (B ) =0. 4, P (A +B ) =0. 6，则P (A |B ) =
二、计算题（每题12分，共60分）
1. 甲袋中装有2个白球，1个黑球；乙袋中装有1白球，2个黑球； 现从甲袋中任取1个球放入乙袋中，再从乙袋中任取1个球，
（1）求从乙袋中取出的球为白球的概率；
（2）已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取到白球的概率。
2. 设二维随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为
?1, 0≤x ≤1
f X (x ) =?
其它?0,
?e -y , y >0
f Y (y ) =?
?0, y ≤0
试求：（1）E (2X +Y ) ；（2）Z =2X +Y 的概率密度函数。
π?
?A cos x , |x |
3. 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =?2, 试求（1）常数A ;
?? 0 , 其它
(2) 分布函数F (x ) ; (3) 概率P { 0
}。
4、已知随机变量X 与Y 的分布律为:
且已知P {XY =0}=1．
（1） 求（X , Y ）的联合分布律；（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？
5. 如果你提前s 分钟赴约，花费为cs （单位：元）；如果迟到s 分钟，花费为ks （单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间X ~U [10, 30]（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。
三、证明题（22分）：证明：若P (A ) =1，则A 与任意事件B 相互独立。
注意, 虽然P (A ) =1, 但A
未必就是必然事件, 未必有AB =B .
答案：1、2/5；2、0.65, 0.5； 3、1/10； 4、N ( 3-2μ , 4σ； 5、6.0.75
二1解：设B 1、B 2分别表示“从甲袋中取出的球为白球，黑球放入乙袋”的事件， A 表示“从乙袋中取出的球为白球”的事件，由题意：
2
P (B 1) =
2111, P (B 2) , P (A |B 1) =, P (A |B 2) =， 3324
B 1，B 2为一完备事件组 4分
21115
?+?=；4分 323412
1
P (B 1) P (A |B 1) 4
（2）由贝叶斯公式：P (B 1|A )==3=。4分
P (B 1) P (A |B 1) +P (B 2) P (A |B 2) 55
12
（1）由全概率公式知：P (A )=P (B 1) P (A |B 1)+P (B 2) P (A |B 2)=
二2解：（1）E (2X +Y ) =2E (X ) +E (Y ) =2?0x dx +?0ye -y dy ； 4分
（2）∵ X , Y 相互独立
1
+∞
?e -y , 0≤x ≤1, y >0 ∴ f (x , y ) =f x (x ) ?f y (y ) =?，∴ 由卷积公式得：
?0, 其它
f Z (z ) =?f X (x ) ?f Y (z -2x ) dx =?1?e 2x -z dx ， 4分
-∞
-∞
+∞+∞
又 ∵y >0 ∴z –2x >0 ∴z >2x
当z <0时，f z="" (z="" )="0，" 当0≤z=""><2时，f z="" (z="" )="当z" ≥2时，f="" z="" (z="" )="">
?
z 20
e 2x -z dx =
1
(1-e -z ) ， 2
?
1
e 2x -z dx =
12-z 1
(e -e -z ) =(e 2-1) e -z ， 22
?
?0, z <>
∴ f Z (z ) =?(1-e -z ), 0≤z ≤2。 4分
?2?12-z
(e -1) e , z ≥2??2
二3：（1） 由归一性可得：1=
?
+∞
-∞
f (x )dx =?2πAcos xdx =2A ，从而A =。4分
-
2
π
(2).F (x )=?-∞
x
?x
x <-π??-∞f (x="" )dx,="" ?x="">
f (x )dx =??πf (x )dx, -π≤x <>
-
??x f x dx, πx ≥()?π??
?0, x <>
?
?1
=?(sin x +1), -π≤x <π>
?2?1, x ≥π
?
(
3).P{ 0
π
1 4分 cos xdx =
24
二4解：(1)由P (XY =0)=1，可得X 和Y 的联合分布：
-1 0
1
1 4
1 4
1 2
6分 (2) ∵P (X =0, Y =0)=0而P (X =0)P (Y =0)=
1111
?(+) =≠0 2444
∴ P (X =0) P (Y =0)≠P (X =0, Y ≠0) ，∴ X , Y 不独立。 6分
二5解：设赴约前t 分钟离开，则花费 C =f (X ) =?
?c (t -X ), X ≤t
， 4分
?k (X -t ), X >t
EC =Ef (X ) =?f (x ) p (x ) dx
10
30
=?c (t -x )
3011c k
+?k (x -t ) dx =(+) t 2-(10c +30k ) t +(50c +450k ) 4分
10t 202022
10c +30k
EC 最小，t *= 4分
c +k t
证明：
因为P (A ) =1, 所以P () =0.
由于0≤P () ≤P () =0, 则P () =0=P () P (B ) 因此B 相互独立,. 又AB =B -,
11分
所以有P (AB ) =P (B ) -P () =P (B ) -P () P (B ) =P (B )[1-P ()]=P (A ) P (B ), 即A 与B 相互独立。
11分
