年 8 月 Journal of L anzhou Co mmercial College 2004 August12004

Ξ

证 券 组 合 投 资 的 风 险 溢 价 模 型

? 李 伯 德

()兰州商学院 信息工程学院 , 甘肃 兰州 730020

[ 摘 要 ] 本文探讨了单周期证券市场中投资组合的风险溢价模型 ,该模型类似于资本资产定价模型 。

[ 关键词 ] 证券 ;组合投资 ;风险溢价 ;模型

() [ 中图分类号 ] O21211 ; F830 . 9[ 文献标识码 ] A[ 文章编号 ] 100425465 2004042044203

A Model of Risk Premium in Portf ol io Select ion of Securit ies

L I B o2de

)( School of Info r matio n Engineering , L anzho u Co mmercial College , L anzho u 730020 , China

Abstract This paper show s a mo del of risk p remium in po rtfolio selectio n of securities in single perio d

( ) securities mar ket s. This mo del is similar wit h t he capital asset p ricing mo de CA PM.

Ke y words securities ;po rtfolio selectio n ; risk p remium ; mo del

一 、引言

( ) 1952 年 ,马柯维茨 H1Mar kowitz发表了“均值方差理论”,标志着现代金融学的开始 ,这也是公认的现

( ) 代金融学经 历 的 第 一 次 革 命 ; 现 代 金 融 学 经 历 的 第 二 次 革 命 是 1973 年 布 莱 克 F1Black 和 斯 科 尔 斯 ( M1Scholes) 发表的“期权定价公式”。这两次革命根本性地推动了现代金融学的发展 。它们所涉及的问题 主要是 :风险的处理和效益的优化 ,这两个问题构成了现代金融学 ———数理金融学的中心内容 ,几乎所有数 理金融学的理论也都是围绕着这两个问题展开的 。由于金融市场是一个复杂的系统 ,随着金融的全球化 、自 由化日益加强 ,导致资金流动数量增加和流动速度加快 ,使金融市场空前活跃 ,与此同时 ,也加剧了金融市场 的激烈竞争 ,使金融风险普遍存在 。金融风险的防范和控制 ,仅仅依靠传统的金融体制和金融业务是不够 的 ,它要求金融改革深化和金融创新 ,特别是金融理论的系统化 、科学化 、数学化和计算机化 。近年来 ,人们 越来越清楚地认识到 ,任何一项金融决策特别是金融交易的决策都要面对许多不确定性因素 ,这些不确定性 因素都将影响并反映在金融产品的风险与收益上 ,因此只有从金融市场的整体出发 ,从基本面 、技术面 、信息 面等方面考虑 ,进行定性与定量相结合的研究 ,使建立的数学模型尽可能反映金融市场系统的本质 ,才能使 决策准确化 、科学化 。鉴于此 ,本文只分析了单周期证券市场中风险与收益的关系 ,并给出了证券投资组合 的风险溢价模型 。

二 、符号说明

银行账户过程 B = { B : t = 0 , 1} , 其中 B = 1 , t = 0 为初始日期 , t = 1 为期末日期 , B 是一个随机变 t 0 t

Ξ [ 收稿日期 2004 - 05 - 20

() [ 作者简介 ] 李伯德 1963 - ,男 ,甘肃武威人 ,副教授 ,从事经济数学与应用概率统计的教学与研究 。— 44 —

李伯德 证券组合投资的风险溢价模型

量 。

( ) ( ) ( 价格过程 S( ) ) ( ) = { S : t = 0 , 1} , 其中 S = S t , S t , , S t , m < s="" t="" ,="" 是证券="" n="" 在时间="" t="" t="" 1="" 2="" m="" n="">

t 时的价格 。 交

) 易策略 H ( , 指投资者持有将从时间 t = 0 到时间 t = 1 的投资组合 。, H= H, H, m 0 1

价值过程 V = { V : t = 0 , 1} ,描述投资组合每一时点的总价值 ,它可表示为 : t m

( ) = 0 , 1 . t V = HB + H S t , t 0 t n n 6 n = 1

增益过程 G 表示投资组合在时间 t = 0 和 t = 1 之间所产生的总损益 ,它可表示为 :

m

G = Hr + H?S ,0 , 1 . t = 0 n n 6 n = 1 ( ) ( ) 其中 r = B - 1 称为利率 , ?S = S 1- S 0. 1 n n n

3 3 3 3 3 3 折现价格过程 S = { S : t = 0 , 1} , 其中 S = ( S ( t ) , S ( t ) , , S ( t ) ) , m < t="" t="" 1="" 2="" m="" 3="" (="" )="" (="" )="" s="" t="0" ,="" 1="" 1="" t="S" t="" b="" 1="" n="1" ,="" 2="" ,="" ,="" m="" ;="" n="" n="" t="" m="" 33="" 3="" 3折现价值过程="" v="{" v="" :="" t="0" ,="" 1}="" ,="" 它可表示为="" :="" v="" (="" )="" t="0" ,="" 1="" 1="H" +="" h="" s="" t="" ,="" 0="" t="" t="" n="" n="" 6="" n="1" m="" 3="" 3="" 3="" 3="" 3="H" ,="" 其中="" =="" s="" (="" 1)="" -="" s="" (="" 0)="" 1="" 折现增益过程="" g="" n="" n="" n="" n="" n="" 6="" n="1">

Ω 风险中性概率测度 : 上的概率测度 Q 称为风险中性概率测度 , 如果 Q 满足条件 : (1) 对一切 ω:Ω , 有 Q (ω) > 0 ;

3 ()2 E[ ?S ] = 0 , n = 1 , 2 , , m 1 Q n

三 、单个证券的风险溢价模型

( ) 设时间 t = 0 时的价格 S 0是严格正的 , 则风险证券 n 的收益率 R 是一个随机变量 , 且 R = n n n ( ) ( ) S 1- S 0 n n n = 1 , 2 , , m 1 , ( )S 0 n

m

( ) 于是投资组合增益为 : G = Hr + H S 0R 1 0 n n n 6 n = 1

上式说明投资组合增益是对基本收益的一种加权组合形式 。

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S 1- B S 01 + R S 0- 1 + rS 0n 1 n n n n 3 3 由于 S ( 1) - S ( 0) = = n n 1 + r B 1

R - r n ( )= S 0 n 1 + r

ωΩ ω) (如果 Q 是一个概率测度且对一切:, 有 Q > 0 , 那么 Q 是风险中性概率测度当且仅当成立等式 :

R - r n , m 1 = 0 , n = 1 , 2 , E Q1 + r

( ) 当利率 r 确定时 ,由上式可得 : ER = r , n = 1 , 2 , m 1 Q n

) ( 由于证券 n 的收益率 R 是一个随机变量 , 记 R = E R 1 n nn (ω) Q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 称为 考虑到 cov R , L = E R L - E EE L = ER - E R = r - R 1 其中 L = n nn Q n n n (ω)P 状态价格向量或者状态价格密度 。于是可得单个证券的风险溢价模型 :

, m 1 ( ) R - r = - cov R , L , n = 1 , 2 , n n

( )M1

— 45 —

兰 州 商 学 院 学 报 2004 年 第 4 期

或 ρ( σσ)1 , m R - r = - R , L , n = 1 , 2 ,n n R L n

该模型表明 :证券的风险溢价与证券收益和状态价格密度之间的相关系数有密切的联系 。

四 、证券组合投资的风险溢价模型

V - V 1 0( ) 1 假定 V > 0 , 运用考虑对应于任意交易策略 H = H, H,, H的投资组合收益 R = m 0 0 1 V 0 ( ) ( ) ( ) S 1= S 01 + R 及 V 的定义 ,得到 : n n n t

m H S ( 0) H n n 0( ) R = r + R 1 n6 V V 00 n = 1

( ) () 上式表明投资组合收益是各个证券收益的凸组合 。运用模型 M1、1式及协方差的基本性质可得 :

( ) R - r = - cov R , L 1

其中 R = E [ R ]1

取定两个纯量 a 和 b , 且满足 b ?0 , 并假定未定权益 a + bL 是可达的 ,也就是存在某一交易策略 H′使

( )从 a + bL , 得 V ′= a + bL 。用 V ′和 R分别表示对应于′ H的价值过程和收益过程′ , 则得 V ′1 + R′ = 1 0 0

( ) V ′1 + R′- a 0 而 L = ,于是运用协方差的基本性质可得 : b

V ′ 0()( ) ( )2 R - r = - cov R , L = - cov R , R′ b

() 特别地 ,在选择交易策略 H = H的情况下′ , 2式表明 :

V ′V ′ V ′ 000 R′- r 1 ( ) ) ( R′- r = - cov R,′ R′= - v a r R′, 从而得 = ) ( v a r R′b b b

于是得证券组合投资的风险溢价模型为 :

( ) cov R , R′( ( )R′-)M2 r R - r = ( )v a r R′

) ( cov R , R′ 系数 称为交易策略βH 相对于交易策略 H的′值 。这个结果表明 H 的风险溢价是与 H的′ ( )v a r R′

β风险溢价成比例的 , 而比例常数就是这个 值 。该结果类似于传统的资本资产定价模型 。

五 、结语

单周期模型尽管是对复杂的金融市场中的随机现象 ,像股票价格和债券价格的非真实的反映 ,但是 ,它 们有着数学形式上简单 ,并且能够阐明甚至与最复杂的连续时间相联系的许多重要经济问题 、经济原理的优 点 。因此 ,对研究复杂的金融市场理论而言 ,单周期模型仍是值得研究的 。

参 考 文 献

(美) 戈登?亚历山大 ,威廉夏普? 1 倪克勤 ,等译 1 证券投资原理 M 1 成都 :西南财经大学出版社 ,19921 1

陈共 ,周升业 ,吴晓求 1 证券投资分析 ———风险管理基本分?析技术分析? M 1 北京 :中国人民大学出版社 ,19961 2

叶中行 ,林建中 1 数理金融 ———资产定价与金融决策理论 M 1 北京 :科学出版社 ,199813

() 4 罗开位 ,等 1 期权定价理论的产生与发展 J 1 系统工程 ,2000 , 6:1,5

() 5 周泽蕴 ,等 1 基于均值 —方差有效前沿的投资组合性能评价相对指数 J 1 系统工程 ,2002 , 5:43,491— 46 —

随机组合风险的风险溢价

中国管理科学 第 17 卷 第 3 期 Vol. 17 , No3 2009 年 6 月 Chinese Journal of Management Science J une. , 2009

() 文章编号 :1003 - 207 200903 - 0027 - 07

随机组合风险的风险溢价

毛泽春

()湖北大学商学院 ,湖北 武汉 430062

摘 要 :随机组合风险在保险索赔理论 、金融及经济管理等领域有广泛的应用 ,数学上采用随机和来刻画随机组合 风险 。风险溢价在金融经济学及保险经济学的理论中都是很重要的概念 ,它不仅与风险的大小有关 ,还与当事人 对风险的态度有关 ,从理论上看就是与当事人的效用函数有关 。本文研究在期望效用理论下随机组合风险的风险

() 溢价问题 ,探讨了由组合数 如索赔次数的不确定性所引起的风险溢价 ,给出了几种不同效用函数下随机组合风 险的风险溢价的计算公式 ,并特别针对随机 Poisson 组合及随机 Poisson - Geo metric 组合给出了其风险溢价的计 算公式及性质 。

关键词 :随机组合风险 ;期望效用理论 ;风险溢价 ;随机 Poisson 组合 ;随机 Poisson - Geo metric 组合 中图分类号 : F224 文献标识码 :A

聚合风险模型 ,其研究目标是不同保险条件保险公 1 引言 司破产概率的估计 ,破产时间 、破产时的赤字及期望 风险溢价在经济 、金融理论等领域的作用很重 折扣惩罚函数的分布规律等 。经典的研究可参见专 [ 1 ,2 ] [ 8 - 10 ] [ 11 ] 要 ,在保险经济学理论中也有明显的意义。近 () 著,最近 , Pitt sa &Politis 2008研究了复合 年 来 主 要 集 中 在 对 具 体 问 题 的 统 计 实 证 研 究 , Poisson 风险模型破产时间的近似算法 ; Wang &Wu [ 3 ] [ 12 ] () Mazzotta 2008研究了非对称条件协方差在计算 () 2008研究了常数利率条件下带随机干扰的复 国际资产的风险溢价中的重要性 ; Ko ut mos 、Knif 合Poisson 风险模型 ,推导出来了期望折扣惩罚函 [ 13 ] [ 4 ] () () 数所满足的微分积分方程 ; Yang &Zhang 2009& Philippatos 2008运用 Factor - GARCH 模型

研究了欧洲证券市场的动态风险溢价 ; Kleibergen 研究了在多重分红策略下带随机干扰的复合 Pois2

[ 5 ] () son 风险模型 ,推导出来了期望折扣惩罚函数所满 2009研究了风险溢价线性因素模型的检验问

足的微分积分方程 ,当索赔额服从次指数分布时 ,给 题。

出了破产规律的渐近公式。 组合风险的研究源于著名的 Markowitz 投资

与以上的研究不同 ,本文研究了在期望效用理 组合理论 ,随机组合风险与组合风险的不同之处在

论下随机组合风险的风险溢价问题 ,探讨了由组合 于参与组合的次数是随机的还是确定的 。随机组合

() 数 如索赔次数的不确定性所引起的风险溢价 ,并 风险在数学上表示为随机和的形式 ,主要从随机和

从形式上将之分离出来 。本文给出了几种不同效用 本身的理论及保险应用两个方面展开研究 。最近在

函数下随机组合风险的风险溢价的计算公式 ,并特 随 机 和 本 身 的 理 论 方 面 , Roberta & Segers

[ 6 ] 别针对随机 Poisson 组合及随机 Poisson - Geo met2 () 2008研究了当组合次数服从重尾分布 ,且组合

ric 组合给出了其风险溢价计算公式及性质。 个体随机变量服从轻尾分布时 ,随机和分布的尾部

[ 7 ] ( ) 性质。Chadjicons t antinidis & Pit selis 2009 研 2 随机组合风险的风险溢价 究了复合 Poisson 分布的迭代算法 。保险应用方面 2. 1 风险溢价的概念

的研究都集中于保险中的风险模型 ,即所谓的长期 对一个厌恶风险型当事人 ,如果要求其接受具

( ) ( ) 有不确定的风险 X而放弃确定性的收益 EX,则 必收稿日期 :2008 - 11 - 18 ;修订日期 :2009 - 05 - 18 须给予足够的补偿溢价 ,这个溢价就是风险溢价 。 根() () 作者简介 :毛泽春 1964 - ,男汉族,湖北大冶人 ,湖北大学

( ) 商 学院教授 ,研究方向 : 风险理论 、非寿险精算 、概据期望效用理论 ,设当事人的效用函数为 ux, 所面

率统 计 1 μ对的风险为一随机变量 X ,数学期望为 EX =

2009 年 中国管理科学 ?28 ?

( ) ( ) ,由于厌恶风险 , 有 u’ x> 0 , u" x< 0="" ,="" 根据="" ,如金融中的投资组合的收益率可以表示为="" :="" r="示">

n ( ) (μ) J ensen 不等式 Eu X< u="" ,因此必然存在一正="" 数1="" θ(="" )="" (μθ)="" θ满足="" :="" eu="" x="u" -="" 。即是风险溢价="" 。利="" wr,其中="" w是第="" i="" 种证券的投资比例="" ,="" r是第i="" i="" i="" i="" i=")" 种证券的收益率="" ,="" n="" 是证券组合数="" ;="" 在风险理论中="" (="" μi="" 用="" ux在处的="" taylor="" 展开式可以得到风险溢价="" n="" μ)(1="" u"="" θ(μ)σ="" μ)="" (的近似表示="" :="" r="" ,其中="" r="-" 总索赔额可以表示为="" s="X" ,这里="" x是第="" i="" 次i="" i="" μ)(2="" u’="" i="1">

索赔的索赔额 ,n 是索赔次数 。实际上 ,组合数 n 往 ( μ是在水平上的绝对风险厌恶系数 见 J . Pratt

[ 2 ] 往是未知的 ,而且是随机的 , 假定索赔次数为服从 (1964) ) ,σ是 X 的方差。X

Poisson 分布的随机变量 ,这时总索赔额是就是一随 θ类似地还可以定义相对风险溢价 。若^ 满足 :

机组合风险 。 μ(θθ( ) () ) Eu X= u 1 - ^,则称^ 为相对风险溢价 。近

在保险索赔理论中 , X是某险种第 i 次索赔的 i 1 似的表达式为 : θ? RRA (μ)σ, 其中 RRA (μ)X 索赔额 ,N 是某单位时间内索赔次数 ,则随机组合风 2 [ 8 ] [ 9 ] ) 。(μ)( u" μ险 S 表示这一单位时间内总索赔额 参见 ,RRA 是在水平上的相对风险厌恶 μ= - μ)(u’ ,设 X是某类业务第 i 次业务额 (如 在银行业务中 i [ 2 ] () () 系数 见 J . Pratt 1964。 ) 存款 、贷款等,N 是某单位时间内发生的业务次数 , 由此可见 ,影响风险溢价的因素有两个 ,一是则随机组合风险 S 表示这一单位时间内总业务额 。 风 2(σX ) 险本身的大小 ,风险 越大 ,风险溢价就越大 ;二 除了金融保险领域外 ,随机组合风险在电子商务 、超

() 是当事人对待风险的态度 效用函数,即厌恶风险 市管理等领域也有类似的应用。

N 系数越大 ,当事人越厌恶风险 , 则风险溢价也就越

对于随机组合风险 S = X ,我们假定 X之i i 大。 ?i = 1 风险溢价在保险经济学理论中有明显的意义 。 间是独立同分布 ,其分布函数为 F( x) ,数学期望X 2[ 1 ] σ () 记为 EX , 方差记为 , 其矩母函数为 M ( t) =K. Borch 1961将效用理论引人保险经济学 , 保 X X tX Ee。组合数 N 的概率函数为 p = Pr ( N = n) ,其 矩母费可以由效用理论来确定。设保险人的效用函数 n tN 函数为 M( t) = Ee,数学期望记为 EN ,方差N ) ( ux,所承担的风险 X , 未承保之前的财富为 a , 2σ 。进一步假定 X与 N 之间也是相互独立( ) 记为其效用为 ua,承担风险 X 之后 ,保险公司的财富 i N

( ) 为 a + P - X, 即增加了一个保费收入 P , 但承担 了的 。利用条件数学期望的全期望公式可以得到随机 [ 9 ] ( 一个随机赔付 X , 此时保险公司的效用为 ua + P - () S 的如下性质 见文献,pp 51: 组合风险

ts ) X。由于 X 是随机变量 , 因此用期望效用来 表示(1) S 的矩母函数 M( t) = EM(log( M( t) ) ) ;S N X e

( ( ) 保险人对财富 a + P - X的平均“看法”, 即 Eu a () 2S 的数学期望 ES = EN ?EX ; (3) S 的方差σ= ENσ+ ( EX ) σ。N X N ) 2 2 2 2 + P - X。若保险人愿意承担风险 X , 则必 然满足 :

2. 3 随机组合风险的风险溢价 ( ) ( ) ua? Eu a + P - X, 即承保后的效用 不减少 。对

在引言中我们给出了期望效用理论下风险溢价 保险人来说 , 上式右边越大越好 , 也就 是 P 越大

的定义 ,为了方便本文采用后一定义 , 即某风险 Z 越好 。但考虑到市场竞争和投保人的利 益 , 一般

的风险溢价直接定义为 : ( ) ( ) 由 ua= Eu a + P - X来确定保费 P。 由于保险公

2 1 司在承保前后的效用没有增加也没有减 θ (μ)σ()= r 1 Z 2 少 , 因此这一保费计算原理被称为零效用原理。 在2 其中 ,μ表示 Z 的数学期望 ,σ是 Z 的方差 , uZ 实际应用中 ,保费由净保费 、安全附加费 、管 (μ)u" (μ) ; r = - 是效用函数 μ理成本费用构成 ,精算时一般考虑纯保费而不考虑 是在水平上的绝对 (μ)u’ θ θ管理费 ,所以可以将保费写为 : P = EX +,是安 风险厌恶系数。 根据风险溢价的这一定义以及随机组

全附加费 。令 Y = a + P - X ,零效用原理即变为 : 合风险的 ( ) ( θ) θEu Y= uEY - 。这表明保险中的安全附加费 就() () 2及 3,可以直接得到随机组合风险的风险 性质 是 Y 的风险溢价。 溢价公式 :

2. 2 随机组合风险及其性质 1 2θ= r( ES )σS S 组合风险或风险组合可以由随机变量的和来表 2

第 3 期 毛泽春 :随机组合风险的风险溢价 ?29 ?

1 2λ本节假定组合数 N 服从参数为的 Poisson 分 22 ( ) ( σ= rEN E X EN ( ) σ) ()+ EX 2 X N 布2 :

n 记 - λ λ ( ) Pr N = n= e, n = 0 , 1 , 。 2 1 n ! θ= r( EN EX ) ENσ;1 X 2 分布的数学期望与方差相等 ,即 EN = Poisson 221 θ= r( EN EX ) ( EX ) σV ar N = λ。因此 ,其散度系数 φ= 1 。由 (3) 及2 N N 2 () 4式知 : 则有 : θθ1 2 2 - 2 δ,δ;= = X X θ= θ+θS 1 2 θ θ 2 1 为了理解θ,θ的含义 ,不妨设 EN = n 是整数 ,1 2 θθ 1 12 1= ,= 。- 2 2 δδn 1 + 1 + θ θ S S X X 令 S = X, 则 S 的数学期望为 ES = nE X ,n i n n ? i = 1 由此可知 ,对于复合 Poisson 组合 ,当个体风险 22S 的方差为σσn = n 。根据风险溢价的定义有 : X X的变异系数δσ 1 时S ,θ?θ,此时可以忽略由i X S 1 n1 21 2θ = r( ES )σ( ) σ() n = rnE X n 于组合数 N 的不确定性 随机性风险所带来的风 = θ,因此 ,θ1 1 S S X 2 n n 险溢价θ;反之 ,当个体风险 X的变异系数δτ 12 2 i X 可以解释为随机组合的组合数为平均组合数 EN 时 ,θ?θ,此时随机组合风险的风险溢价主要表 时 S 2 的组合风险溢价 ;θ= θ- θ可以解释为由于组合 2 S 1 () 现为组合数 N 的不确定性 随机性风险所带来的 () 数 N 的不确定性 随机性风险所带来的风险溢价 。 风险溢价θ。2 特别地 ,当组合数 N 不是随机的而是确定的组合数 一种特殊的情况是个体风险 X服从参数为βi 2σ= 0 ,即θ= 0 ,这时θ= θ。需要注意的时 , 2 S 1 N 2 指数分布 ,此时 EX = 1/β,σ= 1/β, X的变异系X i 是 ,在保险实际索赔过程中 ,虽然索赔次数 N 的均

数δ= 1 。θ= θ,θ/θ= 1/ 2 ,表明在整个随机X 2 1 2 S 值方差可能很小 ,但个体索赔额 X的均值及方差往i (组合风险的风险溢价中 ,组合数 N 的不确定性 随 往很大 ,这时θθ,都不能忽略 。1 2 ) 机性风险所带来的风险溢价恰好占到一半。 以下针一般来说 , X是连续型随机 ,其波动性常常用i 对不同的效用函数给出随机组合风险的 σX 来度量 。对于离散型随机变量 变异系数δ=X 具体风险溢价计算公式 。 E X - αx () ( ) 1指数效用函数 : ux= A - Be,其中 A 2 N σ N ,其波动性往往可以用散度系数 φ= 来度N α ( )> B > 0 ,> 0 ,容易计算绝对厌恶风险函数 rx EN [ 14 ,15 ] 量。这里 定义 N 对 X 的相对变异系数为 :i ( )u" x = α。随机组合风险的风险溢价为 : θS = - φ( ) Nu’ x ; X对 N 的相对变异系数为 : Δ= i X/ N Δ= N/ X 21 X 2 δ αλ= E X ;组合数 N 的不确定性风险所带来的风 2 2 δX ;则由 (2) 式容易推出风险溢价θ,θ的比值为 :1 2 2 φ12 N 险溢价为θ= αλ( EX ) 。 2 2 θθ 122= Δ;= Δ(3)X/ N N/ X () ( ) 2二次效用函数 : ux= ax - bx ,其中 ab θ θ 2 1

( )风险溢价θ,θ在随机组合风险溢价中所占的> 0 , a > 2 bx , 容易计算绝对厌恶风险函数 rx 1 2

2 b 比重分别为 : ( )u" x = 。随机组合风险的风险溢价 = - )( u’ x a - 2 bx θθ1 2 1 1 ()4 2 =;=λ b EXθ1 + Δθ1 + ΔS N/ X S X/ N 为 :θ= S ;组合数 N 的不确定性风险所

λa - 2 bE X 23 随机 Poisson 组合的风险溢λ( ) 价 b EX 带来的风险溢价为θ= 。2

λa - 2 bE X Possion 分布是一种理想的离散型随机变量的 α () ( ) α3负幂效用函数 : ux= b - ax,其中 a , b , 分布 , 理论上它有 许多优 良的 性质。同 样 , 复 合 ( )u" x( ) > 0 ,容易计算绝对厌恶风险函数 rx= - Poisson 组合是一种理想的随机风险组合 ,它也有许 )( u’ x 多特别的性质 。因此在风险理论中复合 Poisson 组 α[ 8 ,9 ] + 1 θ S 合占有重要的地位。 = 。随 机 组 合 风 险 的 风 险 溢 价 为 : = x

2009 年 中国管理科学 ?30 ?

险公司的风险模型 ,推导出保险公司破产概率所满 α+ 1 α+ 1 2 2 组合数 N 的不确定性风 ; δX E X = EX2 EX 2 足的更新方程。 α+ 1 X 。非常有意 本节将研究组合数 N 服从 P G 分布情况下的随 E险所带来的风险溢价为 :θ=2 2 机组合风险的风险溢价问题 。首先给出 P G 分布的 思的是 ,风险溢价θ,θ,θ都与λ无关 。这是因为S 1 2 定义。 ( ) λλ绝对厌恶风险函数 rx在E X 处的水平与成反 定义 1 若随机变量 N 取值为非负整数 ,其母函 22 λσλ比 ,而 = E X 恰好与成正比 ,反映在风险溢价 S 数如下所示 :

上二者刚好抵消。 λ( )z - 1 ( ()) ) 5 ( Gz= exp ρ1 - z 4 随机 Poisson2Geometric 组合的风险溢

价

λλ ρρ ,满足 0 ?< 1="" ,=""> 0 ,则称 N 服 其中参数

( 就保险实务来看 ,免赔额和无赔款折扣 NCD : 从双参数 Poisson 分布或复合 Poisson - Geo metric

) No - Claim Discount是保险公司常用的一种赔付 (λρ) ρ分布 ,简记为 PG ,。反映了保险公司赔付政 策系统 。免赔额赔付方式是保险公司为了节省管理成 对索赔次数的影响 ,也度量了 P G 分布与 Poisson 本及规避风险推行的一种赔付系统 。保险公司在(λρ) ρ分布偏离程度 。特别地 ,当= 0 时 , PG ,退化 为设 计险种时往往会使用免赔额 ,要求被保险人自λ参数为的 Poisson 分布。

行负 担在某一金额以下的损失 。这种系统在国外() (ρλ) 由母函数 5式可计算 PG ,的概率分布为

- λ 医疗保 险中经常使用 。近年来 ,我国保险公司也ξ () Pr = 0= e ,

规定若车 k (险损失在 500 元以下 ,公司不再赔付 。实行免赔额 λ ) - k - 1! ? (ξ ) ?{ Pr = k= e 系统后 ,集合中保单发生风险事件就不一定索赔 ,即 ( )! j ! k - j i = 1 () j - 1! jk - j λ((ρ) ) ρ风险事件不等同于索赔事件。 1 - , k = 1 ,2 ,

在汽车保险业中 (),大多数国家的保险公司都使 6 [ 16 ,17 ] () (ρλ) ,由母函数 5式也可计算 PG ,分 布进一步 NCD 系统。最近 ,我国“交强险”也开始着手推

的数字特征。 行这一系统 。这种系统将集合中的各保单按其索赔

λ 历史划分为若干风险等级 ,每一风险等级代表不同 () 1N 的数学期望为 : EN = ;

ρ1 - 的费率水平 。该系统根据保单在前一保险周期的表

λ( ρ)1 + 2 () σ现决定后一保险周期的等级 。简单地说 ,若保单在 2N 的方差为 := ;N 2 (ρ) 1 - 前一保险周期无索赔记录 ,则在后一保险周期的费 2 ρN 1 + σ= 。 (3) N 的散度系数φ=N 率水平会降低 ;否则相反 。这种调整只考虑被保险 ρEN 1 - 人是否发生索赔以及索赔次数的多少 ,而不考虑赔 () 因此 ,由 2式可以计算出随机 Poisson - Geo2 付金额的大小 。实行这种系统后 ,投保人在发生风 metric 组合风险的风险溢价 :

1 2 险事件的情况下会权衡各方面的利益得失而决定是

θ=S 否向保险公司索赔 。因此 ,在 NCD 赔付条件下 ,风 r( ES )σS 2 λλρ 1 1 +2 险事件也不等同于索赔事件。 2( ) ) ) ()= r E X (σ + EX 7 ( X[ 14 ] ρρ ρ() 2 1 - 1 - 1 - 毛2004针对这一保险实际背景 ,通过洞察

由(3) (4) 式可以计算出风险溢价θθ,的比值 1 2 索赔事件与风险事件这两个基本概念的区别 ,分析

为 : 二者的差异与联系 ,引出一类索赔次数的分布 ,我们 θ1 Δ称之为双参数 Poisson 分布或复合 Poisson2Geo2 = ρ 21 - δ= ;X/ N X ρ1 + θ 2θ2 () ,metric 分布 简称 P G 分布考察了两个实例并建 Δ= ρ ( )1 +立了 基 于 这 类 分 布 的 风 险 分 级 回 归 模 型 。毛 = 8N/ X 2[ 15 ] θ(ρ)δ1 1 - X () 2005a从保险实际背景推导了该分布 ,并进一 风险溢价θ,θ在随机组合风险溢价中所占的 1 2 比步研究了如何用这类分布来拟合免赔额及 NCD 重分别为 : ( ) non2claim discount赔付系统下的索赔次数的规 [ 18 ] θθ1 1 2 1 () ()律 。毛 2005b基于 P G 分布导出了一类索赔次 9 θ1 +ρ θ1 - ρ S - 2 S 2 =;=1 + δ1 + δX X 数过程 ,简称为 P G 过程 ,并将此计数过程引入到保 ρρ1 - 1 +

第 3 期 毛泽春 :随机组合风险的风险溢价 ?31 ? 2容易看到 ,随着ρ的增大 , N 的散度系数 φ也 N (ρ) ( ) b1 +EX =()θ2 11 ( (ρ) λρ)) (a1 - - 2 bE X1 - 增大 ,θ在θ中的比重增大 。因此 ,组合数 N 的不2 S

() 3负幂效用函数 。随机组合风险的风险溢价 确定性风险所带来的风险溢价相对增大 ,保险公司 +ρ1 2 α+ 1 2 为 :θ=组合数 N 的不 ] ,应该更多地关注由于赔付政策的变化所带来索赔次 S σ[+ X ( )EX 2 EX ρ 1 - 数的不确定性风险。 : θ=确 定 性 风 险 所 带 来 的 风 险 溢 价 为 2 2考虑个体风险 X服从参数为β指数分布的情i (α(ρ) ( ) ) + 11 +EX 、θ、θ都同样 ,风险溢价θS 1 2 ρ θ2 1 +况 ,此时 X的变异系数δ= 1 。ρ)(i X 2 1 - = ,由 2θ S λρ与无关 ,但都随的增大而增大 。

ρ于 0 ?< 1="" ,这表明在整个随机组合风险的风险溢="">

5 算例 () 价中 ,组合数 N 的不确定性 随机性风险所带来的

风险溢价将占到一半以上。 本节基于保险公司实际索赔数据给出一个算

同上节一样 ,以下针对不同的效用函数给出随 例 ,旨在展示由组合次数的波动所带来的风险溢价 。 机 Poisson - Geo metric 组合风险具体风险溢价的 表 1 的数据是我国某保险公司 1996 年的机动车辆 [ 19 ] 计算公式 。 ( ) 索赔 次 数 的 数 据 , 数 据 来 源 于 孟 2001 。毛 [ 15 ] () 1指数效用函数 。随机组合风险的风险溢价 () 2005对该数据用复合 Poisson2Geo metric 分布 λ 12 为 :θ= αS E X ;组合数 N 的不确定性风险 () λ ρ进行了拟合 最大似然方法,得到= 01 2555222 , ρ2 1 - (λρ)= 01 1954687 。据此 ,设索赔次数 N 服从 PG , λ 12 所带来的风险溢价为 :θ= α( ) 2 EX 。 ,个体索赔额的均值设为 1 单位 ,标准差σ(此分布 ρX 2 1 -

() 2二次效用函数 。随机组合风险的风险溢价 ) 时就是变异系数的取值范围为[ 0 ,2 ] 。由于实际应 为 : 用中二次效用函数被广泛使用 ,所以本算例也采用 ρ 2 b22 ( ) ( ) 二次效用函数 ,设 ux= x - bx ,由于 u’ x= 1 - θ= σ( ) S [ 1 + EX ] X+ ρ) λρ(a 1 - - 2 bE X 1 - ) (?0 ,则有 0 ?b ?1/ 2 x。设最大个体索赔 2 bx

()10 额是均值的 10 倍 ,由此可以设 b 的取值范围为[ 0 ,

组合数 N 的不确定性风险所带来的风险溢价 0. 05 ] ,b 越大表明当事人越厌恶风险。 为 :

表 1 我国某保险公司 1996 年的机动车辆索赔次数的数据 次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + 保单数 27141 5789 1443 457 155 56 27 2 1 1 0

() () 表 2 是根据公式 10、11式所计算得到的总 0. 01 为例 ,θ由σ= 2 时的 0 . 018587 减小到σ时S X X 索赔额风险溢价θ、由索赔次数所引起的风险溢价 的 0. 068624 ,θ/θ则由 100 %下降到 27. 09 %。 S 2 S 因为风θ及其在总索赔额风险溢价中所占的比例 。当 b = 2 险溢价体现在保费计算公式中就是风险 0 时 ,保险公司的风险态度是中性的 ,所以总风险溢 附加费 ,传统的保费计算方法忽略了由索赔次数的 价为 0 。在个体索赔额的标准差σ不变的情况下 , X 波动所引起的风险 ,由上面的实际算例可以看到 ,除 θ、θ随 b 的增大而增大 ,由 (9) 式知θ/θ不变 (与 S 2 2 S 效(非个体索赔额的波动性特别大 相对于索赔次数的

) 用函数无关。 ) 波动性,否则不能忽略了由索赔次数的波动所引起

另一方面 ,当 b 不变时 ,θ随σ的增大而增大 ,S X 的风险。

由于θ不变 ,则θ/θ随σ的增大而减小 。以 b =2 2 S X

表 2 不同的( σ, b) 所的的θ,θ以及θ/θ的计算结果 X S 2 2 S σ b = 0 b = 0 . 01 b = 0. 02 b = 0. 03 b = 0 . 04 b = 0 . 05 X

θ S 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376

0 θ0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 2

θ/θ2 S - 100 % 100 % 100 % 100 % 100 %

2009 年 中国管理科学 ?32 ?

σb = 0 b = 0 . 01 b = 0. 02 b = 0. 03 b = 0 . 04 b = 0 . 05 X

θ S 0 0 . 019369 0 . 038988 0. 058860 0. 078992 0 . 099388 θ 20. 25 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 θ/θ2 S - 95 . 96 % 95 . 96 % 95 . 97 % 95. 96 % 95. 96 % θ S0 0 . 021715 0 . 043709 0. 065988 0. 088557 0 . 111420 θ 20 . 5 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 θ/θ2 S - 85 . 60 % 85 . 60 % 85 . 60 % 85. 60 % 85. 60 % θ S0 0 . 025624 0 . 051577 0. 077867 0. 104500 0 . 131480 θ 20. 75 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 θ/θ2 S - 72 . 54 % 72 . 54 % 72 . 54 % 72. 54 % 72. 54 % θ S0 0 . 031097 0 . 062593 0. 094498 0. 126820 0 . 159560 θ 21 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 θ/θ2 S - 59 . 77 % 59 . 77 % 59 . 77 % 59. 77 % 59. 77 % θ S0 0 . 068624 0 . 138130 0. 208540 0. 279860 0 . 352120 θ 22 0 0 . 018587 0 . 037414 0. 056485 0. 075804 0 . 095376 θ/θ2 S - 27 . 09 % 27 . 09 % 27 . 09 % 27. 09 % 27. 09 %

图 1 总索赔额的风险溢价θ随S

( b ,σ) 的变化图X

6 结语

本文研究了在期望效用理论下随机组合风险的

风险溢价问题 ,利用随机组合风险的数学性质得到 了风险溢价的公式 ,并将随机组合风险溢价分解为 两部分 :一是随机组合的平均组合风险溢价θ; 另 1

图 2 (a) 索赔次数的波动引起的风险溢价θ随 b 2 一部分是由组合数 N 的不确定性所引起的风险溢

( ) 的变化规律 ; b索赔次数的波动引起的风险溢价在总 价θ。本文特别地考察了随机 Poisson 组合及随机 2 索赔额风险溢价中所占比例θ/θ随σ的变化规律2 S X Poisson - Geo metric 组合风险溢价的特性 。对于随

机 Poisson 组合 ,由于散度系数φ= 1 ,θ、θ的比 N 1 2

据 ,缺少实际个体索赔额的数据 ,无法观测到个体索 例大小取决于个体风险 X的变异系数δ。对于随 i X () 赔额的实际波动性 变异系数,因而不能给出具体 ρ机 Poisson - Geo metric 组合 ,参数反映了保险公

实际保险附加费。 () 司赔付政策 免赔额及 NCD对索赔次数的影响 ,在

理论方面 ,风险溢价有两种定义形式 ,即显示形 ρ风险溢价公式中也起着重要的作用 ,随着的增大 ,

(式与隐式形式 。本文采用了较简单的显式形式 即 N 的散度系数 φ也增大 ,θ在θ中的比重增大 。 N 2 S

() ) 1式,虽然显式形式简单 ,但由于采用了 Taylor 此外 ,本文分别对指数效用函数 、二次效用函数以及

公式 ,其前提条件是总体波动性较小 ,这也是本文风 负幂效用函数给出了具体的风险溢价公式 。

险溢价公式的局限性 。针对隐式定义形式 ,除了 u 本文基于保险公司实际索赔数据给出一个算 为指数效用函数的形式较为简单外 ,其它形式效用 例。但比较遗憾的是该算例仅是实际索赔次数数 函数的风险溢价研究较为复杂 ,有待进一步的分析 。

第 3 期 毛泽春 :随机组合风险的风险溢价 ?33 ?

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The Premium of Stochastic Compound Risk

MAO Ze2chun

()Department of Finance , School of Business , Hubei University , Wuhan 430062 ,China

Abstract : Stochastic compound risk has been applied widely in insurance claim t heory , finance , economics

and management . Mat hematically , a stochastic compound risk can be expressed by a random sum. Risk

premium is a very important concept in insurance economics and finance economics. It depends on t he se2 verity of risk and on t he agency′s risk attit ude defined by utility f unction. In t his paper , t he premium of in2 t roducing stochastic compound risk has been st udied on t he expectation utility t heory. The premium in2 duced by compound numbers randomicity is measured. Moreover , int roduing stochastic Poisson compound

and stochastic Poisson - Geo metric compound under some special utility f unctions , t he premium has been

analyzed and calculated.

Key words : stochastic compound risk ; expectation utility t heory ; risk premium ; stochastic Poisson com2 pound ; stochastic Poisson - Geo metric compound

基于情绪心理偏差的证券投资组合行为风险溢价模型

基于情绪心理偏差的证券投资

组合行为风险溢价模型

许玲艳

,湖 南涉外经济学院 商学部,长沙 410205,

摘 要,文章把情绪心理偏好融入到随机折 现因子 与风险溢价中,对数折 现因子 可分解为基本

成分与情绪成分之和,任 何证券的期望 回报率可以表示为基本溢价与一个反映情绪为基础的风险情

绪溢价之和。 利用这个行为风险溢价定价模式从而可以解释权益 溢价、波动率之谜。

关键词,情绪心理偏差,证券投资组合,行为风险溢价

文献标识码,A 中图分类号,F830.9 文章编号,1002,648,72011,06,0138-03

险解决了无效资产组合与某个独立证券资产不存在的关系。

X为资本市场参与者投资于资产组合 i 的比例,X为资本市 i M 引言0 场整个资产组合的比例,且具有以下关系, 行为金融学是行为理论与金融分析相结合的研究方法 X+X=1(2) iM

与理论体系。 它分析人的心理、行为以及情绪对人的金融决 两种构成的资产组合的预期收益率与方差为: 、 金融产品的价格以及金融市场发展趋势的影响。 行为 策(3) E(R)=XE(R)+XE(R) ZiiMM、吸取心理学研究成果而 金融学通过借鉴心理学的研究方法2 2 222(4) σ(R)=X σ(R)+X σ(R)+2XXcov(R,R) ZiMiMiM,这种学科的结合 i M 解释了传统金融理论不能解释的金融现象

,也从另一个角度对心理学理论 不仅完善了金融学理论体系通过估算 CML 的斜率可以获得有效组合在资本市场上

,为其应用开辟了一条新的通道。 行为金融学并 的方程, 进行了验证

, 也并未贬低传统金融分析工具的价 不能代替传统金融学 [E(R )-E(R )]σ[R ] i M M S= (5) M2 ,,,相反作为对传统金融工具的补充行为金融学帮助人们 值cov(R ,R )-σ(R )i M M 了解“投资者心理偏差” 是如何影响自己和他人的投资行为 [E(R)-E(R)]σ[R] E(R)-RiMMMf = (6) 2,,。 从而尽可能有效地规避风险保证金融市场的健康运行的cov(R,R)-σ(R) σ(R) iMMM其中考虑了情绪心理偏差的行为金融定价就可以利用行为 对方程,6,进行恒等变形可获得 CAPM模型 , 塔 、行为 B-S 公式、行为均值方差边界及行为利率期限结 贝 [E(R)-E(R)]σ[R] [E(R)-R]cov(R,R)iMMMfiM (7) E(R)=R+ = if、 权益溢价、 背离利率期限 22构来解释金融市场上的利率之谜cov(R,R)-σ(R)σ(R) iMMM、波动率之谜。 结构假说=R+β[E(R)-R] fiMf

在 CAPM中由于假定了 参与者完全理性,否定了资本市

场参与者不会面临不确定性,而且参与者可以估计出可能发

, 从而把结果不确定性转化为可计算的风 生的事件及其概

1 情绪心理偏好影响投资组合与证券回报率 ,并具体利用方差来刻画, 从而需求给定风险下的最大收 险

。 坎 贝尔,2003,认为不确定性在资产定价研究中起到 益组合

,以上 CAPM背 离了奥 地利学派 与奈 特等人所强 了关键作用早期阿 罗,德 布鲁完全竞争的一般均衡思想被运用到金 ,Campbel,l2000,认为即使存在不 调的不确定性与风险差异融学资本资产定价中。 夏普把金融市场上参与者都假定马克 ,资本市场上的投资者所需做的仅仅是确定随机贴现 确定性茨 所描述的均值 方差最优化者、参与者对资产的概率 ——维,SDF,。,资本市场上的投资者面对未来核心是平滑金融 因子、任何参与者有且仅有一个借贷的无风 分布结构的看法一致,若资本市场上的投资者可以估算金融产品 产品风险与收益、无交易成本, 在以上假定下获得奠定资本资产定价 险利率,那就可以通过 SDF 来估算这些金融产品的定 未来的现金流

。 在夏普的投资组合中很少考虑到金融资产以外的因素, 模型 价,CAPM, 的市场组合理论。 具体形式如下, 为了获得

直 到 Merton、Lucas、Breeden等 提 出 了 消 费 资 本 资 产 定 价 模 CAPM首先界定 了 CML, ,CCAPM,,该模型引入了参与者的效用函数使用参与者的 型 E(R)-RMf E(R)=R+ σ(R) (1) pfPσ(R)M

然后夏普市场通过构造一个有效资产组合的系统性风

作者简介,许玲艳,1981-,,女,湖南衡阳人,硕士,讲师,研究方向,财务会计理论与实务。

138 统计与决策 2011 年第 6 期,总第 330 期,

相对风险规避系数来刻画投资者行为, 获得消费贝塔 系数。 ,市场指数收益率越高, 个人投资者情绪变化也显著影 高涨

响市场收益的波动性,表明个人投资者情绪变化是影响市场 Breeden 指出在资本市场跨期条件中,金融市场上参与者的偏

收益的系统性因素,个人投资者情绪变化对未来市场收益与 好必须由消费效用函数形状来说明, 若资本市场上投资机会 不确定,那么对财富而言不是经常正确的。 这表明资本市场上 市场收益的波动性也均有较强的预测能力。 的投资组合是由投资组合对资本市场上未来消费的边际 贡

献来定价的,从而获得了消费资本资产定价的消费贝塔系数, 基于情绪心理偏差的投资组合回报率行 2

为定价模型 (8) μ-r=β(μ-r)iiCM 2 消费贝塔 系数为 , 度量投资组合中证券收益β=σ/σiC iC C 考虑情绪心理偏差的投资组合回报率行为定价思路 2.1 率变动相对于总消费变动的敏感度,这样就把市场参与者的 对于资本市场参与者偏好除了用效用函数描述外,还有 消费不确定性引入了资本资产定价中。 但 CCAPM无法解 释

Weil,1989,提出的无风险利率之谜、Mehra&Prescot,198t5,提 主观贴现因子, 它反映了资本市场参与者对未来效用的评 出的股票溢价之谜,存在缺陷。 这时因为资本市场上参与者 价 。 新 古 典 经 济 学 中 一 般 假 定 主 观 贴 现 因 子 小 于 1, 而 的同质假定导致了 CCAPM虽然引入了消费效用函 数, 但无 Kocherlakota在 1990 年突破了该金科玉 律,证明了主观贴现 法刻画资本市场上参与者的行为。 这种对行为的简单处理, 因子可以大于 1,在一定程度上可以缓解股票溢价之谜与无 是的定价模型中行为基础被忽视了,这样就把竞争市场均衡 风险利率之谜。 Becker&Mulligan在 1997 年构建了主观贴现 时主观因子 SDF 变成了与事实相一致的客观因子。在行为资 因 子 内 生 决 定 的 理 论 模 型 ,Mehra&Sah在 2002 年 把 主 观 贴 本资产定价模型为了寻找 SDF 新的决定因子,就必须引入诸 现因子的波动称为情绪波动,并阐述了改主观贴现因子对均 如 习 惯 形 成 、 财 富 偏 好 、 损 失 厌 恶 、 追 赶 时 髦 、 嫉 妒 、 偏 好 异 衡股票回报率的定量影响。 从以上研究看为了获得考虑情绪 质、类型异质等各种异质假定。 这种思想导致了资本市场参 心理偏差的行为投资组合定价模型,必须改变金融资产定价 与者效用函数的修正,并在卡尼曼发展的行为经济学基础上 理论中处于核心地位的随机折现因子,通过融入行为金融的 考虑 SDF 行为层面,以此来实现更为精确的 SDF 刻画。 而在 思想把改随机折现因子变为行为随机折现因子,这样就可以 SDF引入情绪心理偏好就是其中一个发展方向 。 创造出与传统金融资产定价理论相对称的核心行为要素。 从 投 资 者 情 绪 理 论 最 早 由 Lee、Shleifor &Thaler提 出 了 , 构建的过程来看, 考虑了情绪心理偏差的行为随机折现因子 Lee、Shleifor &Thaler认 为 封 闭 式 基 金 的 持 有 者 中 有 一 些 是 具有不同的函数表达式, 若资本市场上所有投资者情绪心理 噪音交易者,噪音交易者对未来收益的预期很容易受到不可 偏好都是积极的,那行为随机折现因子就是向上倾斜的,若资 预测的变动的影响。 当噪音交易者对收益持乐观态度时,基 本市场上所有投资者情绪心理偏好都是消极的, 那行为随机 金的交易价格就会上涨, 出现相对于基金资产净值的溢价, 折现因子就是向下倾斜的, 若部分投资者情绪心理偏好都是 当噪音交易者对收益持悲 观态度时,基金的交易价格就会下 积极的、部分投资者情绪心理偏好都是消极的,那行为随机折 跌 ,出现折价。 所以,持有封闭式基金就有两部分风险,基金 现因子就是震荡为特征的形状。 这样在考虑了情绪心理偏好 资产价值的波动风险和噪音交易者情绪的波动风险,投资者 的资本资本定价模型中,对数行为随机折现因子就可以分解 持有封闭式基金比持有基金投资组合的风险更大。 若噪音交 为基本成分与一个情绪心理偏好成分两部分。 若投资者情绪 易者风险具有系统性,那么理性投资者就会要求对此进行补 心理偏好存在,资本资产定价模型与不存在情绪心理偏好的 偿。 封闭式基金的市场价格应低于其投资组合的资产净值, 定价模型不同,这种融入情绪心理偏好的行为随机折现因子 由此产生了封闭式基金的长期折价交易现象。 在中国资本市 给资产价格带来了额外的波动率,影响了收益率曲线的斜率。 场上,封闭式基金折价率以及认购权证隐含波动率间接反映 2.2 考虑情绪心理偏差的投资组合回报率行为定价 中国证券市场的投资者情绪,并将一定程度反映中国证券市 任何证券 Z 的风险溢价由回报率与随机折现因子之间 场投资者情绪与市场行情之间的关系,,1, 封闭式基金折价 的协方差来确定, 率可以间接反映机构投资者情绪, 基金折价率越高, 表明机

构投资者越看淡 市场行情, 对市场走势持悲 观态度, 认购权

证隐含波动率可以间接反映个人投资者情绪,隐含波动率越

低,表明个人投资者越看好市场行情, 对市场走势持乐观态

度。 ,2,用封闭式基金折价率反映机构投资者情绪时,机构投 cov(r(Z),M)-i(9) 1

资者情绪显著影响市场收益率, 投资者情绪越高涨, 市场指 其中,r(Z)表示证券的总回报率向量,M 为定价 核 , 单 位 数收益率越高,机构投资者情绪也显著影响市场收益的波动 概率的定价状态,而且有,

性,并通过收益波动再次对市场收益产生风险溢价, 表明机 (10) E(M(r(Z)-r(F)))=0tt+1t+1t+1 构投资者情绪是影响市场收益的系统性因素,机构投资者情 利用期望及方差的不等式并令 X 是 M而 Y 是 r(Z)-t+1 t+1 绪对未来市场收益与市场收益的波动性均有较强的预测能 r(F),就有, t+1力。 ,3,利用认购权证隐含波动率反映个人投资者情绪时,个

(11) E(r(Z)-r(F))=-icov(r(Z),M)tt+1t+11 人投资者情绪变化显著影响市场收益率,投资者情绪变得越 给定情绪心理偏差,

Λ=In(Φ) (12)

其中 Φ 反映投资者偏差导致的偏离, 来自投资者信念

与客观信念的差异,来自投资者均衡时间折现因子与所有投

资者客观信念时的均衡时间折现因子的差异,具体给出,

统计与决策 2011年 第 6 期,总第 330 期, 139

-γR P(x)δ(t) RtRΦ(x)= COV[g()x ,r(x)](13) h Z,0 tz1tE,[r(x)]=r-Π0z1b,1 Π(x)δ(t)tR,Π -γ R h Z,0 E,[g(x) ]Π0t 这样就可以获得对数折现因子的表达式, -γR COV[g()x ,r(x)] 1-hm=Λ-γIn(g)+Inδ() RR,Πtz1Z,0 (14) 圯E,[r(x)]=i- + i(25) Π0z11,Π1,Π-γ Rh Z,0E,[g(x) ]Π0t 方程,14, 表明对数折现因子可以分为两个随机过程 之

和,情绪过程与总消费增长为基础的过程。 现在把这种结构 在方程,25, 中可以看出证券 Z 的真实风险溢价受到情

绪心理偏差的影响。 这样任何证券风险溢价的标准形式变为, 。 拓展到人任何证券的风险溢价的形式

γ -R, 对于欧拉方程 t=0 与 t=1 为了给出行为风险溢价的相 ,r(x)] 1-hCOV[g()xtz1Z,0 + i(26) E,[r(x)]-i=(i-i) 关回报率分布为 r的 Z , 有Π0z11,Π11,ΠZ -γR h Z,0E,[g(x) ]Π0t

c(x) 0j从方程,26,的右边可以看出,任何证券 Z 的期望回报率 (15) δE[ r(x)]=1 0z1c(x)j1 又三个部分组成,价格有效时出现的利率, 均衡利率错误定 对于一般的 γ来说,对于方程,15,边际效用比率可以用 i价的程度,,基本风险溢价, 情绪溢价, 与证券回报率自身错

,c(x)/c(x),, 以下形式来替换因此可以得到j0j1,。 误定价程度相关的溢价

c(x) j0γ -δEx[ ]crr(x)=1 (16) j0jjz1R c(x)在以上方程中 Φ 中变量 P/Π 的作用是在 g(x) ,r(x)变j1 R1z1

-γ R欧拉方程对于资本市场上的单个投资者来说是成立的, 量中赋予乘积 g(x ) ,r (x 新的权重)。 若在时间 t,代表资本市 1 z 1 这时投资者对投资组合的均衡选择是整个组合。 所以,给定 场上投资者在 t+1 时对证券 Z 的回报率过分乐观, 那在 t+1 J=R就可获得以下方程 , γ γ --R R 时 g(x) ,r(x)高实现值的事件 x就会在 E,[δ准g(x) r(x)]1z1t+1 Π0Π1z1 -γ RδE[δg(x) r(x)]=1(16) R,0Rtz1 j-γ R 中比在 E,[δg(x) r(x)]得到更多的重视,这时就会有 h?Π0Π1z1Z,0 Φ 的界定,P=(δ/δ)Π准。 在欧拉方程中利用以上式按照 RΠR 1。 从而表明证券 Z 在时期 t 的定价偏高,这时会看到情绪心 子替换可以得到,

1-hZ,0 γ -R理偏差的溢价成分 , i就会为负数即定价偏高的证券1,Π E[δ准g(x) r(x)]=1(17) hΠ,0Πtz1 Z,0

组合具有异常的期望回报率为负的特征,这点也是符合资本 对 h, 进行界定z,0

市场上投资者的直觉的。 γ-R E,[δ准g(x) r(x)]Π0Πtz1 h= (18) z,0-γ RE,[δg(x) r(x)]Π0Πtz1 结论3 , 可以推出

-γ RhE,[δg(x) r(x)]=1(19) z,0Π0Πtz1 情绪的心理偏差如何体现在资本资产定价的随机折现 这样就可以得到, 因子与风险溢价中, 通过以上方程给出两个重要结论, 资本 -γ R 1 资产定价的随机折现因子可以分解为一个基本成分与情绪 =E,=[g(x) r(x)](20) Π0tz1 hδ z,0Π,任何像股票、权证、基金的证券期望回报率也 心理偏差之和利 用 期 望 及 方 差 的 不 等 式 及 Ghysels&Juergens(2004) 的 可以表示为一个对应有效价格的基本溢价与一个反映以情 公式,可以导出, 。 在股票、权证、 绪心理偏差为基础的风险情绪心理偏差之和γγγ---R R R 基金等证券价格有效时, 情绪心理偏差为零, 此时随机折现 E,[g(x) r(x)]=E,[g(x) r(x)]E,[r(x)]+COV[g() x ,rΠ0tz1Π0tz1Π0z1tz ,同时风险溢价则反映其基本风险。 因子就为基本溢价(21) (x)]1 对该方程进行重新排列,

-γ-γR R ,[g(x) r(x)]-COV[g()x ,r(x)]E参考文献, Π0tz1tz1 E,[r(x)]= (22) Π0z1γ -R[1] 安德瑞史莱佛,并非有效的市场—— — 行为金融学导论[M]. 北京, ?E,[g(x) ]Π0t 中国人民大学出版社,2003. -γ R利用方程,6,替换 E,[g(x) r(x)],可以化简,Π0tz1 [2]Abel, Andrew B.Assert ic ePs Under Habit Formaiont and Cacth- -γ R (1-δh)-COV[g(x) ,r(x)]ing Up with the Joneses[J].American Economic Review Papeand rs Πz,0tz1E,[r(x)]= (23) Π0z1-γ RProceedings,1990,1 (80).E,[g(x) ]Π0t

随机折现因子的期望值等于无风险证券的价格, [3]Barberis, Nicholas, M ing Huang, Tano Santos. Prospect Theory 即 Et

-γ and Asset rPices[J].Quarterly Journal of Economics,2001,116,1,. R(M)=1/i,若证券的价格有效就有,E(M)=1/i=δE(g(x)) 。t+11tt+11,ΠΠΠt [4]Boldrin, Michele, Lawrence J. hr iCstiano, Jonas D. M. Fisher, 根据方程,22,与,23,可以得到, Habit Persistence and Asset Returns in an ExchangEe c onomy[J]. γ-R ,r(x)]Macroeconomic Dynamics,1997,,1,. iCOV[g()xz1 1,Π tE,[r(x)]= - (24) Π0z1-γR h Z,0[5]Campblle, John Y., John H. Cochrane, E xplain the Poor ePrfor- E,[g(x) ]Π0t

mane of Consumpiton-based Asset rPicing Models[J].Jounal of Fi- 其中 r=i/h,这样推出 i=rh,所以方程,24,变为,b,11,ΠZ,01,Πb,1Z,0 nance,2000,,6,.

,责任编辑/亦 民,

140 统计与决策 2011年 第 6 期,总第 330 期,

证券组合风险的分析

中央财经大学学报2000年第6期

证券组合风险的分析

P ortfolio Risk Analysis

张宏业

[内容提要]人们在进行投资决策时, 总希望冒尽可能小的风险获得尽可能大的收益, 因此有必要对证券组合的风险进行定量分析, 本文就证券组合风险度量的两种方法进行了讨论, 并对证券组合应用中的相关问题进行了探讨。

Whenever people make decision about investment , they always try to get m ore profits with less risk. Therefore , it is abs olutely necessary to make quantitative analysis about portfolio risks to this task. This paper covers the tw o methods measuring portfolio risks s ome portfolio practice.

[关键词]证券组合　风险　分析

P ortfolio 　Risk 　Analysis

, , 如包括各种股票、债券、存款单等。, 组成多样化的投资。证券组合不是券种的简单随意组合, 它, 也即投资者对收益和风险的权衡。构建证券组合的目的一是降低证券投资风险, 二是为实现证券投资收益最大化。人们在进行投资决策时总希望冒尽可能小的风险获得尽可能大的收益, 因此在投资前应充分了解风险的程度, 不仅要通过定性分析来进行, 而且还要通过定量分析进行。

　　一、证券组合的风险衡量

证券组合的风险衡量一般采用方差法和β系数法。

1. 方差法

证券组合的风险通常用其期望收益的方差来度量。方差之所以能表示风险的大小, 其道理是风险产生于未来的不确定性, 这种不确定性则产生于预期收益的变动性, 变动性越大, 不确定性也越大; 变动性越小, 就比较容易确定其价值。方差的作用在于度量一个数量系列变动性的平均大小, 故而方差可以估量证券组合的风险程度。计算公式如下:

n n n n n

σp =2σP ij W W σ∑∑i j i j

i j =W σ∑i 22j j +2=i >j σP ij ……公式(1) W W σ∑∑i j i j

2式中:σ——组合收益的方差; p —

W i ———第i 种证券的权重;

W j ———第j 种证券的权重;

σ——第i 种证券的百分比收益的标准差; i —

σ——第j 种证券的百分比收益的标准差; j —

P ij ———证券i 和证券j 的收益间的相关系数。

σ其中, P ij =σij/σi j , σij 表示证券i 和证券j 收益之间的协方差。

46

证券组合的方差越大, 证券风险也越大; 反之, 风险越小。

2. β系数法

β系数是用来测定系统风险的指标, 系统风险是一种不可抗拒的风险, 是由社会、政治、经

β济等共同因素引起的, 它对市场的每种证券都产生影响, 但每种证券受到的影响并不一样。

的回归方程反应了证券或证券组合的收益率随市场收益率的变动关系(回归方程γi =αi +βγ计算公式如下:i m ) 。

2βi =σi , m/σm ……公式(2)

式中:β——第i 种证券的β系数; i —

σ——第i 种证券收益率与整个市场的收益率间的方差; i , m —

2σ——整个市场收益率的方差。m —

为了计算方便, 我们用股票价格指数收益率代表整个市场收益率。

证券组合的β系数计算公式如下:

n

β=

i =1∑W β……公式(3) i i

式中:β——;

i ;

—β系数。某一证券组合的β系数是0. 9, 就表示当整个市场价格上涨为1时, 该组合的价格上涨0. 9, 由此可知, 该证券组合的价格变动比整个市场趋势要慢, 即其波动幅度低于整个市场水平, 故其风险也小于整个市场水平。由此可以看出, β的大小表示证券收益波动性的大小, 从而说明其风险程度。

证券组合的β值越大, 它的系数风险越大; 反之, 风险越小。当β<1时, 风险小于市场风险;="" 当β≥1时,="" 风险等于或大于市场风险。如果β的数值超过1.="" 5,="">

虽然标准差与β系数都是衡量风险的指标, 但它们的性质却有所不同, 标准差用于度量证券组合本身在各个不同时期收益变动的程度, 它的比较基础是证券组合在不同时期的平均收益, β系数用于度量证券组合的收益相对于同一时期市场平均收益的变动程度, 它的比较基础是市场收益的波动程度。

二、应用

1. 方差的应用

从公式(1) 中可以看出, 证券组合的风险可以分为两个部分。第一部分是仅与单个方差相关的风险, 这种风险被称为非系统风险, 随着组合的扩大, 非系统风险由于逐渐趋于零而可以被排除掉。第二部分是由证券组合的各项资产收益间的相关性所带来的风险, 这种风险被称为系统风险。收益方差公式的第二部分是反映证券组合多样化效应的关键, 因为这一项中有代表两种证券相互关系的相关系数P ij , P ij 在±1之间变化, 因此P ij 越小, 第二部分的值越小, 如果相互关系为负值, 则第二项还将从前一项中减去。因此, 在进行证券组合时, 选择搭配的各种证券之间相关系数值越小, 或是负相关关系越强, 则整个组合的风险越小, 组合提供的证券多样化效应越大。这个效应就是使证券组合标准差小于构成组合的各个证券的标准差之和。

47

面对市场上众多的证券, 存在着无数的组合, 按照马科维茨(Markowitz ) 的现代资产配置理论(M PT ) , 在分别计算出市场上众多证券的预期收益、方差和标准差、协方差和相关系数后, 运用二维规则, 可以从中结合若干种证券组成许多种可行的组合, 再通过对这些组合收益和风险相对关系的比较, 选出一系列有效组合以供选择。有效组合必须满足两个条件:第一, 在各种风险条件下, 提供最大的预期收益率; 第二, 在各种预期收益率的水平条件下, 提供最小的风险。显然, 这种有效证券组合正是投资者希望达到的最优组合。

2. β系数的应用

应当指出, β不是全部风险, 而是只与市场有关的这一部分风险。投资分散化将导致系统风险平均化和非系统风险的相互抵消, 可见证券组合的风险主要是受系统风险的影响。因此, β系数可替代方差作为测定证券组合风险的指标。在进行投资组合选择时, 如果我们直接用证券间的协方差作为输入参数, 其计算相当复杂, 在西方, 计的证券上市公司的β系数, 供广大投资者参考使用, 所也曾公布过我国A 股市场证券的β系数。所以, β。

在资本资产定价模型(CA PM ) , β值的加权平均, 只要不是故意将β组合中证券种类的增加不会引起ββ值的证券, 它将成倍地放大市场收益率, , , 你应该调整投资结构以抵御市场风险, 避免损失, 值的证券, 在投资组合中应可能加进一些负β值的证券, 为避免非系统风险, β水平的证券进行投资组合。

证券组合中证券的种类的多少与风险的抵消程度也有关系, 并非组合中的证券种类越多越能减轻风险。开始时在组合中每增加一种证券可使风险有较大程度的减少, 但随着证券种类的增加, 风险减少的程度逐渐递减, 直到非系统风险完全抵消, 只剩下与市场有关的风险, 此时组合的证券种类以10—15种最为合适, 过度的分散化会增加交易成本、管理组合的时间和信息成本。同时, 每种证券的价值在组合全部价值中所占比重也很重要, 可通过调整各种证券的比重来调节组合的风险和收益率水平。

从1998年发行运作并上市的5只证券投资基金———金泰、开元、安信、兴华、裕阳的年度报告中可以看出, 证券投资基金组合投资表现优异。一方面, 5只基金1998年的净资产增长率平均为8. 38%, 而同期, 上海、深圳两大股票大盘指数平均下跌22. 03%; 另一方面, 5只基金1998年净资产收益率平均为5. 532%, 大大高于银行同期一年期定期存款3. 78%的利率。

可见, 通过对证券组合风险的定量分析并对证券组合进行科学管理, 就可以通过分散投资降低证券投资风险, 实现证券投资收益最大化。

参考文献

1. William F. Sharpe , Gordon J. Alexander and Jeffery V. Bailey , Investments , Prentice Hall Inc , 1995. 2. [美]约翰?马歇尔、维普尔?班赛尔《金融工程》, , 清华大学出版社, 1998。

3. 霍文文、胡乃红《证券投资学》, , 生活、读书、新知上海三联书店, 1996。

4. 王明珠、吕兆海《证券投资风险与防范》, , 经济科学出版社, 1998。

5. 汤仁荣《证券交易的实务与风险》, , 上海科学技术文献出版社, 1998。

作者单位:中国科技大学研究生院　(责任编辑:麦伟)

48

证券组合的风险度量

两种证券组合的风险度量

设有两种证券A 和B ，某投资者把x A 比例的资金投资证券A ，x B 比例的资金投向证券B ，有x A +xB =1，x A 、x B 可小于0。

A 证券和B 证券对应的预期收益率和标准差分别为E (r A ), E (r B ), σA , σB ，则对组合P={x A , x B }，利用多个证券组合风险模型，令n =2，有：

r p =x A r A +x B r B

E (r p ) =x A E (r A ) +x B E (r B ) ，

22222σP =cov(r p , r p ) =x A σA +x B σB +2x A x B ρAB . σA σB （1）

x A +x B =1∴x B =1-x A ，代入上式，有结论

E (r P ) =x A E (r A ) +(1-x A ) E (r B )

σP =[x σ+(1-x A ) σ+2x A (1-x A ). ρAB σA σB ]

2

A 2A

2

2B

12

（2）

其中，ρAB 是证券A 与证券B 的收益率r A 与r B 的相关系数。讨论三种极端

的情况，证券A 与证券B 完全正相关(ρ=1) 、完全负相关(ρ=-1)和完全不相关

(ρ=0)。

A 、若ρAB =1，表示证券A 与证券B 完全正相关，则（2）变为：

E (r p ) =x A E (r A ) +

(1-x A ) E (r B )

σP =x A σA +(1-x A ) σB (3)

由上式中可找出无风险投资组合(σP =x A σA +(1-x A ) σB =0) 。 令σP =0，有：

x A =

σB -σA

, x B =1-x A = （4）

σB -σA σB -σA

（4）亦有两种情况： (1)σB >σA , 则x A =

σB

>1, 而x B <0，即要求卖空b>

σB -σA

σA

，此时，无风险组合的收益率为：

σB -σA

E (r P ) =

σB σA

E (r A ) -E (r B ) （5）

σB -σA σB -σA

-σB σA

<0, x="" b="">1，即要求卖空A 证券，卖

σA -σB σA -σB

(2) σA >σB , 则x A =

空比例是

σB

，卖空的资金再用于投资B 证券，同样有无风险组合收益

σA -σB

1

[σA E (r B ) -σB E (r A )]

σA -σB

率：E (r p ) =

∴综上所述，在证券A 、B 完全正相关的情况下，只要σA ≠σB ，总可选择风险为零的组合：P={x A =

σB -σA

，x B =}，并得到组合的无风险收益

σB -σA σB -σA

率r P =

σB E (r A ) -σA E (r B ) ，我们称这一组合为无风险组合或零风险组合。为了达

σB -σA

到这个组合，我们需卖空标准差大的证券。这种结果合乎情理，因为两种证券完全正相关时，它们的价格变化同向，只有通过卖空一种，买入另一种这样的反向操作，才能达到预期抵消风险的目的。

B 、两种证券完全负相关，有ρAB =-1则

E (r P ) =x A E (r A ) +(1-x A ) E (r B )

σP =x A σA -(1-x A ) σB σP =0时, 有x A =

（6）

σB σA

>0, x B =>0，两种都买入。因为负相关，

σA +σB σA +σB

同时买入可以抵消风险，同理有无风险收益率：

E (r P ) =

σB E (r A ) +σA E (r B )

（7）

σA +σB

C 、两种证券完全不相关：ρAB =0此时有：

E (r P ) =x A E (r A ) +(1-x A ) E (r B )

σP =x σ+(1-x A ) σ>02A 2A

2

2B

（8）

显然，上式不能提供零风险组合，但可找出最小风险组合。利用条件：

2d σP

σP =min ，再利用罗彼塔法则有：=0

dx A

22

2x A . σA -2(1-x A ) σB =0

22

σB σA

?x A =2, x B =2

22

σA +σB σA +σB

（9）

得最小方差：

424222

σ. σ+σ. σσ2B A A B A σB

min σP ==2

2222(σA +σB ) σA +σB 22224

σA σB σA σB +σB 2 2<=σb ,="">

σA +σB σA +σB

σσσσ+σ2

<=σa ,="" 2222="" σa="" +σb="" σa="">

∴组合后的方差比两种证券的单独投资的风险都小，可得结论：通过组合投资可降低证券投资的风险。

2

A 2B 2A 2B 4A

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