（1）作出函数f (x ) ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；

（2）在求函数f (x ) ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：

f (x ) min ＝min{f (-3) ，f (1) }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当a 1，a 2，┅，a n 为实数时，

函数f (x ) ＝a 1|x -x 1|＋a 2|x -x 2|＋┅＋a n |x -x n |(x ∈R ，x 10时，f (x ) min ＝min{f (x 1) ，f (x 2) ，┅，f (x n ) }； 当a 1＋a 2＋┅＋a n ＝0时，f (x ) min ＝min{f (x 1) ，f (x n ) }，

f (x ) max ＝max{f (x 1) ，f (x n ) }．

2、对数列{a n }，规定{?a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中?a n =a n +1-a n (n ∈N ) 。 对自然数k ，规定

{?a }

k

n

为

{a n }

的k 阶差分数列，其中

?k a n =?k -1a n +1-?k -1a n =?(?k -1a n ) 。

（1）已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n (n ∈N ), ，试判断{?a n }，?2a n 是否为等差

或等比数列，为什么？

（2）若数列{a n }首项a 1=1，且满足?2a n -?a n +1+a n =-2n (n ∈N ) ，求数列{a n }的

通项公式。

12n

（3）对（2）中数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得b 1C n +b 2C n + +b n C n =a n

{}

对一切自然n ∈N 都成立？若存在，求数列{b n }的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）?a n =a n +1-a n =(n +1)+(n +1)-n 2+n =2n +2，∴{?a n }是首项为4，

2

()

公差为2的等差数列。

?a n =2(n +1)+2-(2n +2)=2

2

∴?2a n 是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2）?2a n -?a n +1+a n =-2n ，即?a n +1-?a n -?a n +1+a n =-2

n

{}

，即

?a n -a n =2n ，∴a n +1=2a n +2n

∵a 1=1，∴a 2=4=2?21，a 3=12=3?22，a 4=32=4?23，猜想：

a n =n ?2n -1

证明：ⅰ）当n =1时，a 1=1=1?20； ⅱ）假设n =k 时，a k =k ?2k -1

n =k +1时，a k +1=2a k +2k =k ?2k +2k =(k +1)?2(k +1)-1 结论也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，a n =n ?2n -1

12n 12n （3）b 1C n +b 2C n + +b n C n =a n ，即 b 1C n +b 2C n + +b n C n =n ?2n -1 123n 012n -1n -1 ∵1C n +2C n +3C n + +nC n =n C n -1+C n -1+C n -1+ +C n -1=n ?212n ∴存在等差数列{b n }，b n =n ，使得b 1C n +b 2C n + +b n C n =a n 对一切自然

()

n ∈N 都成立。

3、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

a 2a

a a

（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小； （3）求点D 到面SEC 的距离。 （1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）?????????????????????????3分

证明： SA ⊥AB , SA ⊥AD , 且AB 、AD 是面ABCD 内的交线∴SA ⊥底面ABCD ????????5分

（2）分别取SC 、SD 的中点G 、F ，连GE 、GF 、FA ， 则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG

而由SA ⊥面ABCD 得SA ⊥CD ，

F 又AD ⊥CD ，∴CD ⊥面SAD ，∴CD ⊥AF

又SA=AD,F是中点，∴AF ⊥SD

∴AF ⊥面SCD,EG ⊥面SCD, ∴面SEC ⊥面SCD 所以二面角E-SC-D

的为

B

2a

90?????????????????????????????10分 (3)作DH ⊥SC 于H ，

面SEC ⊥面SCD, ∴DH ⊥面SEC,

∴DH 之长即为点D 到面SEC 的距离，12分

6 a 在Rt ?SCD 中，DH =SD ?DC =2a ?a =

SC 3a

答

：

点

D

到

面

SEC

的

距

离

为

6

a ????????????????????????????14分 3

132

4、（理）已知f (x )=a x -x , x ∈(-2, 2), a 为正常数。

2

a +b +

≥ab （当且仅当a =b 时取等号） （1）可以证明：定理“若a 、b ∈R ，则”2

推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若f (x )>0在(0, 2)上恒成立，且函数f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测y =f (x )的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设x =x 1时，f (x )取得最大值。试构造一个定义在D =x x >-2, 且x ≠4k -2, k ∈N 上的函数g (x )，使当x ∈(-2, 2)时，

{}

g (x )=f (x )，当x ∈D 时，g (x )取得最大值的自变量的值构成以x 1为首项的等差数

列。

解：（1）若a 、b 、c ∈R ，则 （2）f (x )=a x -

2

+

a +b +c ≥abc （当且仅当a =b =c 时取等号）。 3

12131??2

即a >x 在(0, 2)x =x a 2-x 2?>0在(0, 2)上恒成立，

222??

上恒成立，

∵又

3

12

x ∈(0, 2)，∴a 2≥2，即a ≥2， 2

∵

[f (x )]2

?2?212??212??

23?x + a -2x ?+ a -2x ????112a ?????????= ? =x 2 a 2-x 2? a 2-x 2?≤? ?2??2??3???3?

????

∴

x 2=a 2-

12

x 2

，

3

即

x =

6a 3

时，

f m =

26393?6?63

?a >1?a >==?a >， x ?942226??

又∵x =

a ∈(0, 2)，∴a ∈0, 6。 综上，得a ∈2, 6 。 3

66a 时，函数有最大值，∴x =-a 时，函数33

())

易知，f (x )是奇函数，∵x =

有最小值。

x ∈ -2, -故猜测：

?

???6??66?

a ???a , 2?x ∈-a , a ?时，时，f (x )单调递减；??3??33???3

f (x )单调递增。

（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如

对

x ∈(4k -2, 4k +2), k ∈N

，

x -4k ∈(-2, 2)

，此时

g (x )=g (x -4k )=f (x -4k )，

即 g (x )=a

2

(x -4k )-1(x -4k )3, x ∈(4k -2, 4k +2), k ∈N 。

2

a n ≥1, a 1=1, a n +1-a n =

（1）记b n =(a n

2

, n ∈N *

a n +1+a n -1

12

) , n ∈N *，求证：数列{b n }是等差数列； 2

（2）求数列{a n }的通项公式； （3）对于任意给定的正整数k ，是否存在m ∈N *，使得a m =k ? 若存在，求出m 的值；

若不存在，请说明理由。

解（1）∵a n +1-a n =

2

2

2

(n ∈N *)

a n +1+a n -112

2

∴a n +1-a n -a n +1+a n =2. ∴(a n +1-) -(a n -) =2.

12

2

-2a 2c

∴y 1+y 1=m (x 1+x 2) -2c =2

a +m 2

y 1y 2=(mx 1-c )(mx 2-c ) =m 2x 1x 2-mc (x 1+x 2) +c 2

a 2(c 2-m 2) =

a 2+m 2

2

∴(y 1-a )(y 1-a ) =y 1y 2-a (y 1y 2) +a a 2(a 2+m 2) =

a 2+m 2

又A (0, a ),

AP ?AQ =(x 1y 1-a ), AQ (x 2, y 2-a ),

∴AP ?AQ =x 1x 2+(y 1-a )(y 1-a )

a 2(a +c ) 2a 2(a +c ) 2+1=2=

a +m 22-c 2

1

. 4

171217

∴b n =+2(n -1) =2n -. 即(a -) =+2(n -1) =2n -.

44244

∵a n ≥1

（2）∵数列{b n }是公差为2的等差数列，且b 1=(1-) =

2

12

1+n -7

(n ∈N *)????????7分

2

（3）假设对于任意给定的正整数k ，存在m ∈N *，使得a m =k , 则

∴a n =

1+m -7k 2-k

=k , 解得m =+1. ????????9分

22

∵对于任意给定的正整数k ，k 2-k =k (k -1) 必为非负偶数，

k 2-k

+1∈N * ∴2

k 2-k

+1, 使得a m =k . ????????12分 ∴存在m =2

1ax 2

已知函数f (x ) =(x -x -) e (a ≠0)

a

（1）求曲线y =f (x ) 在点A (0, f (0) 处的切线方程； （2）当a<0时，求函数f (x="" )="">

33

（3）当a>0时，若不等式f (x ) +≥0对x ∈[-, +∞) 恒成立，求a 的取值范围。

a a 1ax 2ax ax

解：f '(x ) =(2x -1) e +(x -x -) ?e ?a =e (ax +2)(x -1) ????1分

a

1

（1）f (0) =-, f '(0) =-2

a

11

∴曲线f (x ) 在点A (0, -) 处的切线方程为y +=-2x

a a

1

即2x +y +=0??????3分

a

2

（2）令f '(x ) =0, 即(ax +2)(x -1) =0, 解得x =-, 或x =1.

a

2

当a <-2时,><>

a

22

令f '(x ) >0, 得-<1; 令f="" '(x="" )=""><0, 得x=""><-, 或x="">1.

a a 22

f (x ) 在(-∞, -), (1, +∞) 上为减函数，在(-, 1) 上增函数。????5分

a a 2 '(x )=e -2x (-2)(x -1) 2≤0在R 上恒成立。 当a=-2时, -=1, f a

f (x ) 在(-∞, ∞) 上为减函数。????????6分

2

>1. a

22

令f '(x ) <0,><-; 令f="" '(x="" )=""><0, 得x=""><1或x>-

a a 2

f (x ) 在(-∞, 1), (-, +∞) 上为减函数;

a

2

在(1, -) 上为增函数。??????????7分

a

2

综上，当a <-2时，f (x="" )="" 的单调递增区间为(-,="">

a

2

单调递减区间为(-∞, -), (1, +∞) 。

a

当a =-2时, f (x ) 单调递减区间为(-∞, +∞)

2

当-2

a

2

单调递减区间为（-∞, 1），（-, +∞）????????8分

a

当-2

e >0, f (1) =-e <0, 又f="" (-)="">

a a a

31a

从而，当x ≥-时, 函数f (x ) 在x =1时取得最大值f (1) =-e ????10分

a a

33

由题意，不等式f (x ) +≥0对x ∈[-, +∞) 恒成立，

a a

1a 3

所以得-e +≥0, 解得0

a a

从而a 的取值范围为(0, ln 3]????????12分

19．（本小题满分16分）

定义：若数列{A n }满足A n +1=A n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”。已知数列{a n }

2

（1）证明：数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n +1) }为等比数列。 （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即

中，a 1=2，点(a n , a n +1) 在函数f (x ) =2x 2+2x 的图像上，其中n 为正整数。

T n =(2a 1+1)(2a 2+1) (2a n +1) ，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达

式。

（3）记b n =log 2a n +1T n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ，并求使S n >2008的n 的

最小值。

20．（本小题满分16分）

已知f (x )=ax -ln (-x ), x ∈(-e , 0), g (x ) =-（1）讨论a =-1时, f (x ) 的单调性、极值; （2）求证：在（1）的条件下，|f (x ) |>g (x ) +

ln(-x )

其中e 是自然常数，a ∈R . x 1. 2

（3）是否存在实数a ，使f (x ) 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。

19．（1）由条件得：a n +1=2a n +2a n ， 1分

2

。2 分 ∴2a n +1+1=4a n +4a n +1=(2a n +1) 2，∴{2a n +1}是“平方递推数列”

lg(2a n +1+1)

由lg(2a n +1+1) =2lg(2a n +1) ∴=2, ∴{lg(2a n +1) }为等比数列。3分

lg(2a n +1)

n -1

（2） lg(2a 1+1) =lg 5, ∴lg(2a n +1) =lg 5?2n -1, ∴2a n +1=52

1n -1

∴a n =(52-1) 。

2

l g 5?(1-2n )

l g T n =l g 2(a 1+1) +l g 2(a 2+1) + +l g 2(a n +1) ==(2n -1) l g 5，

1-2

n

∴T n =52-1。

2

lg T n (2n -1) lg 52n -11n -1

（3）b n ====2-() ， n -1n -1

lg(2a n +1) 22lg 52

11-() n

111=2n -2[1-(1) n ] ∴S n =2n -[1++() 2+ +() n -1]=2n -

122221-2

1

=2n -2+2() n 。

2

11

由S n >2008, 得2n -2+2() n >2008, n +() n >1005，

2211

当n ≤1004时，n +() n <1005, 当n="" ≥1005时，n="" +()="" n="">1005，因此n 的最小值

22

为1005。

20．（1） f (x )=-x -ln (-x ) f ' (x )=-1-

1x +1

=- x x

∴当-e ≤x <-1时，f '="" (x=""><0，此时f (x="" )为单调递减=""><0时，f '="" (x="" )="">0，此时f (x )为单调递增

∴f (x )的极小值为f (-1)=1 （2） f (x )的极小值，即f (x )在[-e , 0)的最小值为1

∴f (x )min =1 令h (x )=g (x )+又 h ' (x )=

ln (-x -1) 当-e ≤x <0时h '="" (x="" )≤0="">

x

h (x )在[-e , 0)上单调递减

1111

∴h (x )max =h (-e )=+<+=1=f (x="">

e 222

1

∴当x ∈[-e , 0)时，f (x >g (x )+

2

（3）假设存在实数a ，使f (x )=ax -ln (-x )有最小值3，x ∈[-e , 0)

1

f ' (x )=a -

x 11

①当a ≥-时，由于x ∈[-e , 0)，则f ' (x )=a -≥0

e x

∴函数f (x )=ax -ln (-x )是[-e , 0)上的增函数 ∴f (x )min =f (-e )=-ae -1=3

41

解得a =-<>

e e 111

②当a <-时，则当-e ≤x=""><时，f '="" (x="" )="a"><>

e a x

此时f (x )=ax -ln (-x )是减函数 11

当<0时，f '="" (x="" )="a" -="">0，此时f (x )=ax -ln (-x )是增函数 a x

?1??1?

∴f (x )min =f ?=1-ln -?=3

?a ??a ?

解得a =-e 2

1ln (-x )1=-+ 2x 2

由①、②知，存在实数a =-e 2，使得当x ∈[-e , 0)时f (x )有最小值3

高三数学创新题(含答案)

min{}max{}1、，，?，，，，?，分别表示实数，，?，中sssssssssnnn121212

的最小者和最大者(

f(x)(1)作出函数,,，3,，2,,1,(?R)的图像; xxx

f(x)(2)在求函数,,，3,，2,,1,(?R)的最小值时，有如下结论: xxx

min{f(,3)f(1)},，,4(请说明此结论成立的理由; f(x)min

(3)仿照(2)中的结论，讨论当，，?，为实数时， aaan12

f(x)(函数,，，?，?R，,,?,a|x,x|xa|x,x|a|x,x|xxxnnn112212)?R的最值(

解:(1)图略;

f(x)(2)当?(,?，,3)时，是减函数， x

f(x)[?,3，1)时，是减函数， 当x

f(x)[当?1，，?)时，是增函数， x

min{f(,3)f(1)}?,，,4( f(x)min

max{}(3)当，，?，,0时，,，，?，; f(x)af(x)f(x)f(x)aanmaxn1212

min{}当，，?，,0时，,，，?，; af(x)f(x)f(x)f(x)aann12min12

min{}当，，?，,0时，,，， af(x)f(x)f(x)aann12min1

max{},，( f(x)f(x)f(x)maxn1

2、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 ,,,,,a,,,a,a,a(n,N)aannnnn，1n

k 对自然数，规定为的阶差分数列，其中,,,ak,,kann

kk,1k,1k,1。 ,a,,a,,a,,(,a)nn，1nn

22 (1)已知数列的通项公式，试判断，是否为等差a,n，n(n,N),,,,,,a,,,aannnn或等比数列，为什么,

2n (2)若数列首项，且满足,a,,a，a,,2(n,N)，求数列的,,,,aaa,1，1nn1nnn通项公式。

n12 (3)对(2)中数列，是否存在等差数列,,，使得bC，bC，？，bC,a,,bannnnnnn12

n,N对一切自然都成立,若存在，求数列,,的通项公式;若不存在，则请说明理bn

由。

22，，，，，，,a,a,a,n，1，n，1,n，n,2n，2 解:(1)，?,,是首项为4，,ann，nn1

公差为2的等差数列。

2，，，， ,a,2n，1，2,2n，2,2 n

2,,,a?是首项为2，公差为0的等差数列;也是首项为2，公比为1的等比数列。 n

2nn,a,,a，a,,2,a,,a,,a，a,,2 (2)，即，即，1，1，1nnnnnnn

nn，? ,a,a,2a,2a，2，1nnnn

213 ?，?，，，猜想:a,12,3，2a,4,2，2a,32,4，2a,11324

n,1 a,n,2n

0 证明:?)当时，; n,1a,1,1，21

k,1 ?)假设时， n,ka,k,2k

kkk，，k，1,1 时，，， 结论也n,k，1a,2a，2,k,2，2,k，1,2k，1k

成立

n,1 ?由?)、?)可知， a,n,2n

n1212nn,1 (3)，即 bC，bC，？，bC,abC，bC，？，bC,n,2nnnnn1n2nnn12

123n012n,1n,1 ?，， 1C，2C，3C，？，nC,nC，C，C，？，C,n,2nnnnn,1n,1n,1n,1

n12 ?存在等差数列，，使得对一切自然,,bC，bC，？，bC,abb,nnnnnnnn12

都成立。 n,N

3、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

a

a a 2a2aa a a a a a a

(1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面,如果存在，请给出证明;如果不存在，请说明理由;

,(2)若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小; (3)求点D到面SEC的距离。

(1)存在一条侧棱垂直于底面(如

图)?????????????????????????3分

？SA,AB,SA,AD,,证明:且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面？ABCD????????5分 S (2)分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，

则GF//EA,GF=EA,AF//EG ？

,,而由SA面ABCD得SACD，

F ,,又ADCD，CD面SAD，？CD,AF ？

？AF,SD又SA=AD,F是中点，

？面SEC,？AF,, 面SCD,EG面SCD,面SCD G 所以二面角E-SC-D的大小为

A D

H E

B C

,90?????????????????????????????10分 (3)作DHSC于H， ,

面SEC,面SCD,DH,面SEC, ？？

DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 ？

62a,aSD,DCDH,,,a在Rt,SCD中， ？SC33a

答:点D到面SEC的距离为6????????????????????????????14分 a3

1234、(理)已知为正常数。 ，，，，fx,ax,x,x,,2,2,a2

a，b，b,R (1)可以证明:定理“若、，则(当且仅当时取等号)”a,b,aba2

推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论(无需证明);

(2)若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范1，，，，，，fx,00,2fxa围，并由此猜测的单调性(无需证明); ，，y,fx

(3)对满足(2)的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个，，x,xfxa1

,,定义在D,xx,,2,且x,4k,2,k,N上的函数，使当时，，，，，x,,2,2gx

，当x,D时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数，，，，，，gx,fxgxx1列。

a，b，c，3c,R,abc解:(1)若、、，则(当且仅当a,b,c时取等号)。 ba3

111,,232222，，fx,ax,x,xa,x,0a,x (2)在上恒成立，即在，，，，0,20,2,,222,,

上恒成立，

122a,2?，?，即， ，，x,0,2a,22

又?

3，，11,,,,22222x，a,x，a,x3,,,,2,,,,112a22,,,,2,,,,22222,,,,，，,,fx,xa,xa,x,, ,,,,,,2233,,,,,,,,,,，，

16222x,ax,a,x?，即时，32

3,,269366633,,， 1f,a,,a,,,,a,max,,942226,,

6x,a又?，?。 综上，得 。 ，，,，a,0,6a,2,6，，,0,23

66x,ax,,a 易知，是奇函数，?时，函数有最大值，?时，函数，，fx33

有最小值。

,，，,，，6666,,故猜测:x,,2,,a,a,2时，单调递减;x,,a,a时，，，fx,,,,,,3333,，，,，，

单调递增。 ，，fx

(3)依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 4

如对，，此时，，，，x,4k,2,4k，2,k,Nx,4k,,2,2

， ，，，，，，gx,gx,4k,fx,4k

132 即 。 ，，，，，，，，gx,ax,4k,x,4k,x,4k,2,4k，2,k,N2

2a,a,,n,N* a,1,a,1,n，1nn1a，a,1n，1n

12 (1)记，求证:数列是等差数列; b,(a),n,N*{b}nnn2

(2)求数列的通项公式; {a}n

(3)对于任意给定的正整数k，是否存在m,N*，使得若存在，求出m的值;a,k?m

若不存在，请说明理由。

2a,a,(n,N*)解(1)? n，1na，a,1n，1n

22a,a,a，a,2.? n，1nn，1n

1122? (a,),(a,),2.n，n122

2,2acy，y,m(x，x),2c？,? 111222a，m

22 yy,(mx,c)(mx,c),mxx,mc(x，x)，c12121212222a(c,m),？ 22a，m

2? (y,a)(y,a),yy,a(yy)，a111212222a(a，m),？ 22a，m

A(0,a),又

AP,AQ,(xy,a),AQ(x,y,a), 1122

? AP,AQ,xx，(y,a)(y,a)1211

2222a(a，c)a(a，c)，1,, 222a，m2,c

1122)?数列是公差为2的等差数列，且 (b,(1,),.{b}n124

171172? b,，2(n,1),2n,.即(a,),，2(n,1),2n,.n44244

? a,1n

1，8n,7a,(n,N*)?????????7分 n2

(3)假设对于任意给定的正整数k，存在，使得则 m,N*a,k,m

21，8m,7k,k,k,解得m,，1.????????9分 22

2，必为非负偶数， ?对于任意给定的正整数kk,k,k(k,1)2k,k，1,N*? 2

2k,km,，1,使得a,k.?存在????????12分 m2

12ax已知函数 f(x),(x,x,)e(a,0)a

(1)求曲线处的切线方程; y,f(x)在点A(0,f(0)

f(x) (2)当a<0时，求函数的单调区间;>

33 (3)当a>0时，若不等式恒成立，求a的取值范围。 f(x)，,0对x,[,,，,)aa

1ax2axax,解:????1分 f(x),(2x,1)e，(x,x,),e,a,e(ax，2)(x,1)a

1,(1) f(0),,,f(0),,2a

11?曲线处的切线方程为 f(x)在点A(0,,)y，,,2xaa

1即??????3分 2x，y，,0a

2,(2)令 f(x),0,即(ax，2)(x,1),0,解得x,,,或x,1.a

2当 a,,2时,,,1,a

22,,令 f(x),0,得,,x,1;令f(x),0,得x,,,或x,1.aa

22上为减函数，在上增函数。????5分 f(x)在(,,,,),(1,，,)(,,1)aa

2,2x2，,当在R上恒成立。 a,,2,,,1,f(x),e(,2)(x,1),0时a

上为减函数。????????6分 f(x)在(,,,,)

2当 ,2,a,0时,,,1.a

22,,令f(x),0,得1,x,,;令f(x),0,得x,1或x,, aa

2 f(x)在(,,,1),(,,，,)上为减函数;a

2在上为增函数。??????????7分 (1,,)a

2综上，当时， a,,2f(x)的单调递增区间为(,,1),a

2单调递减区间为。 (,,,,),(1,，,)a

当 a,,2时,f(x)单调递减区间为(,,,，,)

2当 ,2,a,0时,f(x)的单调递增区间为(1,,).a

2,,,1单调递减区间为()，()????????8分 ,,，,a

(3)a>0时，列表得:

2322 x1 (1，+) ,(,,,)(,,1),aaaa

,f(x) + 0 0 + ,

f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?

39，2a1,3a又 f(,),e,0,f(1),,e,0,2aaa

31a从而，当????10分 x,,时,函数f(x)在x,1时取得最大值f(1),,eaa

33由题意，不等式恒成立， f(x)，,0对x,[,,，,)aa

13a所以得 ,e，,0,解得0,a,ln3aa

(0,ln3]从而a的取值范围为????????12分

19,,本小题满分16分,

2A,A定义:若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列,,,,,,AAa，nn1nnn

2中，，点在函数的图像上，其中为正整数。 (a,a)f(x),2x，2xa,2nnn，11

(1)证明:数列,,是“平方递推数列”，且数列,,为等比数列。 2a，1lg(2a，1)nn

(2)设(1)中“平方递推数列”的前项之积为，即Tnn

，求数列的通项及关于的表达,(2a，1)(2a，1)？(2a，1),,TaTnn12nnn

式。

b,logT (3)记，求数列,,的前项之和，并求使,2008的的bSSnnn2a，1nnnnn

最小值。

20,,本小题满分16分,

ln(,x)已知fx,ax,ln,x,x,(,e,0),g(x),,其中是自然常数， ，，，，aR,.ex

fx())讨论时, 的单调性、极值; (1a,,1

1(2)求证:在(1)的条件下， |()|().fxgx,，2

fx()(3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值;如果不存在，说明aa理由。

219((1)由条件得:， 1分 a,2a，2an，nn1

22？2a，1,4a，4a，1,(2a，1)，是“平方递推数列”。2 分 ,,？2a，1n，nnnn1

lg(2a，1)n，1,,lg(2a，1),2lg(2a，1)？,2,？lg(2a，1)由为等比数列。3分 n，1nnlg(2a，1)n

n,12n,1？2a，1,5(2) ？lg(2a，1),lg5,？lg(2a，1),lg5,2,n1n

n,112。 ？a,(5,1)n2

nlg5,(1,2)n？lgT,lg(2a，1)，lg(2a，1)，？，lg(2a，1),,(2,1)lg5， 12nn1,2n2,1？T,5。 n

nnTlg(2,1)lg52,11n,1n(3)， b,,,,2,()nn,1n,1alg(2，1)22lg52n

1n1,()11112n,1n2？S,2n,[1，，()，？，()],2n,,2n,2[1,()] n122221,2

1n。 ,2n,2，2()2

11nn由得， S,2008,2n,2，2(),2008,n，(),1005n22

11nn当n,1004时，当n,1005时，，因此的最小值n，(),1005,n，(),1005n22为1005。

1x，1f'x,,1,,,20((1) ，， ，，，，？fx,,x,ln,xxx

,e,x,,1当时，，此时为单调递减 ，，，，？f'x,0fx

当,1,x,0时，，此时为单调递增 ，，，，f'x,0fx

的极小值为 ？，，，，fxf,1,1

(2)的极小值，即在的最小值为1 ？，，，，，fxfx,,e,0

1ln,x1，，，， 令hx,gx，,,， fx,1，，，，？min2x2

ln,，，x,1又 当时 ，，,e,x,0h',0？h'x,，，x2x

在上单调递减 ，，，hx,,e,0

1111 ，，，，，，hx,h,e,，,，,1,fx？maxmine222

1fx,gx，当时， ，，，，，？x,,,e,02

(3)假设存在实数，使有最小值3， ，，，，，fx,ax,ln,xx,,,e,0a

1 f'x,a,，，x

11?当时，由于，则 a,,，，f'x,a,,0，,x,,e,0ex函数是上的增函数 ，，，，，？,fx,ax,ln,x,e,0

，，，，fx,f,e,,ae,1,3？min

41解得a,,,,(舍去) ee

111,e,x,?当时，则当时， a,,，，f'x,a,,0eax此时是减函数 ，，，，fx,ax,ln,x

11当时，，此时是增函数 ，，,x,0f'x,a,,0，，，，fx,ax,ln,xax

11,,,,，，fx,f,1,ln,,3 ？,,,,minaa,,,,

2a,,e解得

2a,,e由?、?知，存在实数，使得当时有最小值3 ，，，,x,,e,0fx

[设计]高三数学假期作业一及详解答案

高三数学暑假作业(一) 张雪 2014-7-5的图象与函数6.(2013?湖南高考理科?,5)函数fxx,2ln，，一(选择(每题5分，共计60分)

22 的图象的交点个数为( ) gxxx,,，45UR,1.(2010?山东高考文科?,,)已知全集，集合，则=( )Mxx,,,40CM，，,,U

(A) (B) xx,,,22xx,,,22A(3 B(2 C(1 D(0,,,,

(C) (D) xxx,,,22或xxx,,,22或,,,,

7.(2013?新课标?高考理科?,7)设等差数列的前项和为，若{a}Snnn2.(2013?新课标?高考理科?T8)设a=log6,b=log10,c=log14,则 ( )357

,,，则( ) S,,2S,0S,3m,m,1mm，1

356A. B.4 C. D. A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

8.(2013?天津高考理科?T3)阅读下边的程序框图,运行相应 的程序,若输

3.(2013?湖北高考理科?,3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳入x的值为1,则输出S的值为 ( ) 一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，A.64 B.73 C.512 D.585 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )229.(2013?重庆高考文科?,4)设是圆上的动点，是Q(3)(1)4xy,，，,P

x,,3PQ直线上的动点，则的最小值为 ( ) A.(，p)?(，q) B. p?(，q) C. (，p)?(，q) D.p?q

A. 6 B.4 C. 3 D. 2

10. (2012?重庆高考理科?,6)设,向量,,x,y,Ra,(x,1)b,(1,y)c,(2,,4)4.(2013?北京高考文科?,2)设a,b,c?R,且a>b,则( )

112233 , A.ac>bc B. C.a>b D.a>baba，b,a,cb//c且 ,,则( )

5.(2013?湖南高考文科?,4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

1051025(A) (B) (C) (D)

且f(,1)+g(1)=2，f(1)+g(,1)=4，则g(1)等于( )

xy，,2,,

,x,1,11.(2013?福建高考文科?T6)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y,A.4 B.3 C.2 D.1

,y,0,,

,ABC的最大值和最小值分别为 ( ) 的内角的对边分别为,17.(2012?重庆高考文科?,13)设A,B,Ca,b,c

1sinBa,1,b,2,cosC,且,求的值 A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和04

12.(2012?湖北高考理科?,8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，

分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自

阴影部分的概率是( )

211211,(A) (B), (C) (D)xxx1218.(2012?四川高考文科?,18)已知函数.fx()cossincos,,,,2,,,2222

32sin2,(1)求函数的最小正周期和值域;(2)若，求的值.,,f()fx()二(填空(每题5分，共计20分) 10

10,,Rn2at,,13.(2013?浙江高考理科?,6)已知，，则____.,,，,sin2cos2

14.(2013?江西高考理科?,2)函数的定义域为______.yxln(1x),,

15.(2012?陕西高考理科?,8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，

决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不21,，Sa{a}19.(2013?新课标?高考理科?,14)若数列的前项和，nnnn33同情形)共有______种

{a}求a的通项公式 nn16.(2012?大纲版全国卷高考文科?,16)已知正方体ABCD,ABCD中，1111

BBCCDFE、F分别为,的中点，那么异面直线AE与所成角的余弦值111

为______.

三(解答题(17题10分， 其余每题12分)

2220.(2012?陕西高考理科?,20) xy21(2012?湖南高考理科?,5)已知双曲线C:-=122ab某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，

的焦距为10 ，点P (2,1)在C 的渐近线上，求C的方且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

程.

办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5

频 率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时.

(?)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.

XX(?)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数

学期望.

ABPA22.(2013?辽宁高考理科?,18)如图， 是圆的直径，垂直圆所在

C的平面，是圆上的点。

PAC,PBC求证:平面平面; (),

CPBA,,若求二面角的余弦值。 (),,ABACPA,,,2,1,1,

333 在(-?,+?)上为增函数,所以a>b. 4. 【解析】选D.y=x

5. 【解析】选B， 因为，代入条件等式再相加，得f(,1),,f(1),g(,1),g(1)g(1),3

2 6. 【解析】选B.在同一坐标系中作出f(x)=2?x和g(x)=x-4x+5的图象就看出有两交点

7. 【解析】选C.由已知得，,，因为数列为等差数列，所以a,S,S,2a,S,S,3{a}mmm,1m，1m，1mn

m(a，a)1m m,0,,0S，又因为，所以，因为，所以，d,a,a,1m(a，2),0a,,2mm，1m112

m,5又，解得. a,a，(m,1)d,2m1

8.【解析】选B.因为输入的x的值为1,第一次循环S=1,x=2;第二次循环S=9,x=4;第三次循环S=73,此时满足输出条

件,故输出,则输出S的值为73

x,,36PQ9. 【解析】 选B. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心到直线的距离为,半径(3,,1)

6,2,42PQ为,所以的最小值为.

2x40,,,,10. 【解析】选B.由 ,可知解得a,cb//c ,,,,42y0,,答案详解

x2,,,22a，b,3，(,1),10, a，b,(2,1)，(1,,2),(3,,1).U=RM=exx,,,22CM=xxx,,,22或1.【规范解答】选C因为集合,全集，所以,故选C.,,,,,Uy2,,,,

11. 【解析】选B.可行域如图所示, 112.【解析】选D.由题意知:a=log6=1+log2=1,，b,,，,，log101log213355log3log522

1因为log3<>b>c,故选D. c=log14=1+log2=1,，222 77log72

1,0,2,0,1,1可行域的三个端点为,分别代入可得z=2×1+0=2,z=2×2+0=4. ，，，，，，minmax3. 【解析】选A. 因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则，p是“没有降落在指定范围”， ，q

12. 【解析】选A. 设OA=2, 则扇形OAB的面积为π.阴影部分的面积为: ()，p()，q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为? .

1111,,2 ,,,,,,，，,,,，,,()2[()2]2p,,由P可知结果 4242,

11,,,,, 设正方体棱长为1，则10310E(1,1,)F(0,1,)A(1,0,0)D(0,0,1),,,sin,,sin,1022,,,,sin2cos，,,,,101013.【解析】由，解得或 11,,,2 ？AE,(0,1,)DF,(0,1,,)13102210,,,22sincos1，,,,cos,cos,,,, ,,10,10,3,,,,,,,,34COSAE,DF,,,,1552,42tan3,113tan3,,所以或，当时，,,,,,,tan2,,,,tanant,1222221tan4,33,c,217.【解析】由余弦定理知,解得,cab2abcosC142124,，,,，,，，，,1,,1,,4,,3,,

2115,,2tan63,b,csinsin1所以,B,C,,,. ,,tan3,,当时，,,,, tan2,4422,,,,1tan134,

xxx12x0,cossincos,,,18. 【解析】(1)f(x)= 0x1,,14. 【解析】要使函数有意义，则，解得.故函数的定义域为[0,1). 2222,1x0,,,111,(1，cosx),sinx, 2223C,1010220，,515. 【解析】20.一方赢，则只需要在5局中赢3局即可，有种情形，所以共有种情形.

2, ， ,cos(x，)24DFEFADFEAEDF【解析】方法一:连结16.,,则为平行四边形，则?， ，，22所以f(x)的最小正周期为2，值域为. ,,，,,异面直线AE与所成角为 DF，DFD2211，，

设正方体的棱长为1. 232,3,(),，,(2)由(1)知，f()=cos(，),，所以cos， ,,554524101，,344则 cos，DFD,,187,,,1212cos1sin2,,cos(，2),,cos(2，),,(，),,,所以.,,,,5552，，425252422

212122S,a，,a,，SaSSaaa,,,,19.【解析】由，解得a,1，又，所以，111nnnnnnn,,111 333333

an,1n,2{a},,2得 ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式a,(,2)nna,1n

YY20. 【解析】设表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得的分布列如下: 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系

1 2 3 4 5 YPXPXPX(1)1(0)(2)0.49,,,,,,,; 所以

P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 所以X的分布列为 (?)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形: X 0 1 2 ?第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;?第一个顾客办理业务

P 0.5 0.49 0.01 所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;?第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均

PAPYPYPYPYPYPY()(1)(3)(3)(1)(2)(2),,,，,,，,,EX,，，，，，,00.510.4920.010.51?. 为2分钟.所以

b,，，，，，,0.10.30.30.10.40.40.22. xa21.【解析】由焦距为10，知2c=10，c=5.将P(2,1)代入y=得 (?)方法一:X所有可能的取值为0，1，2.

22X,0xy对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， -=12222222abcbbab+=====,525,5,420205a=2b. ，所以方程为.PXPY(0)(2)0.5,,,,所以;

X,1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾ACBC,AB22.【解析】由是圆的直径，得; (),客办理业务所需的时间为2分钟，

ABCBC,ABCPABC,PAPA,由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得;PXPYPYPY(1)(1)(1)(2),,,,，,所以

,，，,0.10.90.40.49; 又 PAACAPAPACACPAC:,,,,,平面平面X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

BCPAC,平面BCPBC,平面所以，又因为 PXPYPY(2)(1)(1)0.10.10.01,,,,,，,所以,

PAC,PBC据面面垂直判定定理，平面平面; 所以X的分布列为

X 0 1 2 CCMCM,ABCAP过点作?,由知平面. (),,(),

P 0.5 0.49 0.01 Cxyz,,如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。CBCACM,,EX,，，，，，,00.510.4920.010.51?.

方法二:X所有可能的取值为0，1，2.

X,0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

PXPY(0)(2)0.5,,,,所以;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

PXPYPY(2)(1)(1)0.10.10.01,,,,,，,ABAC,,2,1,所以; 在直角三角形ABC中，所以 BC,3,

,,,,,,,,又所以故 PA,1,ABP(0,1,0),(3,0,0),(0,1,1).CBCP,,(3,0,0),(0,1,1).

,,

PBC设平面的法向量为 nxyz,(,,)1111

,,,,,,,,nCBx,,,0,0,,(,,)(3,0,0)0,xyz,,,,11111则 ,,,,,,,,,,,yz，,0.(,,)(0,1,1)0.xyz,,nCP,,0.,11,,111,1,

,,

不妨令，则故 y,1z,,1.n,,(0,1,1).111

,,,

设平面PAB的法向量为， nxyz,(,,)2222

,,,,,,,,,,nAB,,0,,1由同理可得 n,(1,3,0),,,,,,,2nAP,,0.,1,

,,,,,,,,,,nn,,,(0,1,1)(1,3,0)612于是 cos,.,,,,,nn,,,,,122222224nn011130，，，，12

6CPBA,,的余弦值为 结合图形和题意，二面角.4

高三小考数学答案

廉江五中高三小考数 学 (文科)答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分

1. 选B

2.?CUQ?{2,4},?P?(CUQ)?{1,2,4}.选D

3. 选C. 4. y?

13?

x?2，则y'?x2,则k?1，故倾斜角为，选

B 34

5.M?(??,?3)?(3,??),N?(?1,4)

,M?N?(3,4)选B

6. 依题意易得f(x)?log2x（x?0）因函数的图象关于y轴对称，可得g(x)?log2(?x) （x?0）,选B. 7. cos??cos????

??

??

????

??????6?6?

.选D. 8.由正弦定理

BCAB?3?3??,即解出sinC?.?C?(C?时，三角形内角和大

sinAsinC44sin3

于?，不合题意舍去).选B．

9. 依题意知??2，故f(x)?2sin(2x?

)?2sin2(x?)，故选A. 36

x1111//

10.?(x)?f(x)??,则?(x)?f(x)??0,??(x)在R上是减函数.?(1)?f(1)???1?1?0,

22222x1

??(x)?f(x)???0的解集为?xx?1?.选D.

22

二. 填空题： 11．?

??

5 13

12.

1

,1,2； 2

?x?5?0?5?x?0?

13. 解：由? 得定义域为: [1,3)?(3,5)．

x?1?0???x?3?0

14、 ?x?R,x?x?3?0

1

2

15. 将x?1,2,3,4依次代入方程f(g(x))?g(f(x))检验，易得x?2,4 16. ∵?E??E,?EAD??EBA∴?EDA∽?EAB?

AEED

? BEAE

?AE2?ED?BE?

3?9?AE?17. 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得：l1:kx?2y?4?k?0，l2:2x?y?1?0，

由l1//l2得三．解答题：

k24?k???k?4,由l1?l2得2k?2?0?k??1 211

4

??1

?1?tan??1=18. （本题满分10分）解：（1）tan(??)???………（5分） 41?tan?tan1?tan?1?7

43

46(?)?1

46sin??cos?6tan??17（2）由(1)知, tanα=－, 所以==?………………（8分）

33sin??2cos?3tan??2

3(?)?26

3

tan??tan

3sin2??4sin?cos??5cos2?

(3)3sin??4sin?cos??5cos?? 22

sin??cos?

2

2

?

3tan2??4tan??59

? …………………………………………… (10分) =

5tan2??1

19. （本题满分10分）

解（Ⅰ）∵f(x)?4sin(??x)cosx ?4sinxcosx?2sin2x………3分

T?

2?

??…………………5分 2

∴函数f(x)的最小正周期为?.…………………6分

（Ⅱ）若??(0,?),f(??解：由f(??

?

4

)?

2

求sin?的值 3,

2，

43?2

∴2sin2(??)?,…………………7分

43

1

化简可得cos2??,…………9分

312

则1?2sin??,化简

312

∴sin??…………………

3

)?

由??(0,?),∴sin??0,

故sin??

?

10分 3

2

20、（本题满分10分）解：（1）f()?[[]]?[?1]?[]?1 f(?

33

)?[22

（2）由（1）知：

33333

22222

33

[]]??(?2)]?[ 3?]3223333f()?f(?)，且f(?)??f()，

2222

故f(x)为非奇非偶函数。

（3）当?2?x??1时，[x]??2，则2?x[x]?4， 所以f(x)可取2，3，4。 当?1?x?0时，[x]??1，则0?x[x]?1， 所以f(x)可取0，1。

当0?x?1时，[x]?0，则x[x]?0， 所以f(x)?0。 当1?x?2时，[x]?1，则1?x[x]?2， 所以f(x)＝1。 当x?2时，[x]?2，则x[x]?4， 所以f(x)?4。 所以f(x)的值域为{0,1,2,3,4}.

21．（本题满分10分）

解：（1）f?(x)?3x2?3,f?(2)?9,f(2)?23?3?2?2………2分

∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?2?9(x?2)，即9x?y?16?0…4分 （2）过点A(1,m)向曲线y?f(x)作切线，设切点为(x0,y0) 则y0?x03?3x0,k?f?(x0)?3x02?3.

则切线方程为y?(x03?3x0)?(3x02?3)(x?x0)………………6分 整理得2x03?3x02?m?3?0(*)

∵过点A(1,m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线 ∴方程（*）有三个不同实数根.

记g(x)?2x3?3x2?m?3,g?(x)?6x2?6x?6x(x?1) 令g?(x)?0,x?0或1. …………………8分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表

?g(0)?0

由g(x)的简图知，当且仅当?,

?g(1)?0

?m?3?0即?,?3?m??2时，

m?2?0?

函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2)……10分

3

高三文科数学答案

一、选择题

1． D

2．B

3．D

4．D

5. B

6．D

7．A

8．B

9．C

10． C

11. C

12．C

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．

14. (2,-1)

15.

16．

三、解答题

17．已知函数f (x )=12x +mx （m >0），数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )在f (x )2

图象上，且f (x )的最小值为-1. 8

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）数列{b n }满足b n =2a n

2a n -12a n +1-1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <>

【答案】（1）a n =n . （2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得m 的值，从而可得S n =121n +n ，22

2n

进而可得结果；（2）由（1）知b n =n 2-12n +1-1=11-，裂项相消法求和，2n -12n +1-1

放缩法即可证明.

1m 22试题解析：（1）f (x )=(x +m )-， 22

m 21=-. 故f (x )的最小值为-28

又m >0，所以m =1121，即S n =n +n . 222

所以当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n ；

当n =1时，a 1=1也适合上式，

所以数列{a n }的通项公式为a n =n .

2n 11-=（2）证明：由（1）知b n =n ， n n +1n +12-12-12-12-1所以T n =1-

所以T n <1. 111111+-+="" +n="" -n="" +1="1-n" +1，="">

18．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为?AOC 的垂心.

（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；

（2）若PA =AB =2AC =2，点Q 在线段PA 上，且PQ =2QA ，求三棱锥P -QGC 的体积.

【答案】（1）见解析; （2

）. 27

【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，先证明OM //BC ，再证明OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ；（2）由（1）知OM ⊥平面PAC ，所以GM 就是点G 到平面PAC

的距离，再证明GM =1，从而利用棱锥的体积公式可得结果. OM =36

试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .

因为G 为?AOC 的重心，所以M 为AC 的中点.

因为O 为AB 的中点，所以OM //BC .

因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC ，所以OM ⊥AC .

因为PA ⊥平面ABC ，OM ?平面ABC ，所以PA ⊥OM .

又PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，PA ?AC =A ，

所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC .

又OG ?平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .

（2）解：由（1）知OM ⊥平面PAC ，

所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离.

由已知可得，OA =OC =AC =1，

所以 AOC 为正三角形，

所以OM =又点G 为 AOC 的重心，

所以GM =1. OM =3 故点G 到平面PQC

所以V P -QGC =V G -PQC =11221S PQC ?GM =?S PAC ?GM =??

2?1. =33392627

19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试. 现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为50,60)，60,70)，…，[[

[90,100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；

（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.

【答案】（1）x =0.02，平均数是74，中位数是73119；（2）1200；（3）． 203

【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为1可得第4组的频率为0.2，从而可得结果；

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.

（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，

故x =0.02.

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为

(55?0.01+65?0.03+75?0.03+85?0.02+95?0.01) ?10=74（分）.

由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中.

设中位数为t 分，

则有(t -70)?0.03=0.1，所以t =731， 3

即所求的中位数为73分.

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，

由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为132000?0.6=1200.

（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为

3,2,1.

记成绩在70,80)这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在80,90)这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为[[[]

(a , b , d )，(a , b , f )，(a , c , d )，(a , c , f )，(a , d , e )，(a , d , f )，(a , b , c )，(a , b , e )，(a , c , e )，

(a , e , f )，(b , c , d )，(b , c , e )，(b , c , f )，(b , d , e )，(b , e , f )，(b , d , f )，(c , d , e )，(c , d , f )，(c , e , f )，(d , e , f )共20种.

其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a , b , c )，只有1种，

故后两组中至少有1人被抽到的概率为P =1-119=. 2020

与点关于原点对称，线段的20. 已知点是圆

，交于上任意一点，点，两点. 垂直平分线分别与

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点

使以的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点的坐标；若不存在，请说明理由. ，为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点

20. 解：(I)由题意得 点的轨迹为以为焦点的椭圆 点的轨迹的方程为 (II)直线的方程可设为，设

联立可得

由求根公式化简整理得

假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则

即

求得

因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.

21. 已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

21. 解（Ⅰ）函数的定义域为，，

令，得；令，得．

故当时，单调递减；当时，单调递增．

故当时，取得极小值，

且，无极大值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

要使对恒成立，

只需对恒成立，

即，即对恒成立，

令，则，

故时，所以在上单调递增，

故，

要使对恒成立，

只需，

所以，

即实数的取值范围是．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4: 坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos 22θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．

(1) 若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|FA |?|BF |的值；

(2) 求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．

22．(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: ∴

∴直线l 的参数方程为（t 为参数）

将代入得：t -2t -2=0 2

设A 、B 两点所对应的参数为t 1, t 2，则t 1?t 2=-2∴|FA |?|FB |=2

(2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点 ， 则矩形的周长

∴当即P (3,1)时周长最大，最大值为16．

23．选修4-5: 不等式选讲

已知函数f (x )=|2x +1-|x -1．

(1)求不等式f (x )<>

(2) 若关于x 的不等式有解，求a 的取值范围． 23．（1）

∴不等式的解集为

（2）由（1）得f (x )在上为减函数，在上为增函数 ∴

∴有解，只须

∴a 的取值范围为：-1≤a ≤3

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