嗫?暁雲?
函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)
f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵 a:?不等式条件约束矩阵其均为形式
b:a对应不等式右边的常数项
a1:=等式条件约束矩阵
b1:a1对应不等式右边的常数项
xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵 xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵 函数说明:不存在的项填写[]即可
函数功能:线性规划求最优值.
例子1:
求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值
满足的条件是
3*x1+4*x2+x3?2
x1+3*x2+2*x3?1
且x1、x2、x3均大于等于0
Matlab求解如下
a =[ 3 4 1
1 3 2 ]
b =[ 2
1 ]
f=[ -3
-6
-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可.
x=[ 0
0
0 ]
linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存
在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x) Optimization terminated.
ans =
0.4000
0.2000
0.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4
例子2:
求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值
满足的条件是
x1+x2+x3?3
x1+4*x2+7*x3+x4=9
且x1、x2、x3、x4均大于等于0
Matlab求解如下
原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值 其条件等价于
x1+x2+x3+0*x4?3
x1+4*x2+7*x3+x4=9
则在Matlab输入如下内容
a=[1 1 1 0]
b=[3]
a1=[1 4 7 1]
b1=[9]
x=[ 0
0
0
0]
f=[ -2
-3
-1
0]
linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[]) Optimization terminated.
ans =
1.0000
2.0000
0.0000
0.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值
说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式 1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求
f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值
2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn?b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn?0)变量
3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与
x3之差(x2、x3?0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可
求解线性规划问题:
线性规划问题
其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。 x = linprog(f,A,b) 功能:求解最小
化问题 min f*x 条件 A*x ? b。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) 功能:求解最小化问题
min f*x 条件 A*x ? b Aeq*x = beq，如果没有不等式就设置A = []和b = [];没有等式就设置
Aeq=[],beq=[] x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 功能:求解最小化问题 min f*x 条件
A*x ? b Aeq*x = beq lb ? x ? ub，决策变量有上下限时，如果没有不等式就设置A = []和b =
[] ;没有等式就设置 Aeq=[],beq=[] x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 功能:求解
最小化问题 min f*x 条件 A*x ? b Aeq*x = beq lb ? x ? ub，如果没有不等式就设置A = []和
b = []。设置初始点x0，这个选择项只是对medium-scale算法有效。默认的large-scale算法
和简单的算法忽略任何初始点。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 功能:
最小化带有参数项的线性规划问题。其中options可以使用optimset来设置。 x =
linprog(problem) 功能:对problem求最小值，其中problem是一个结构体。通过优化工
具箱来创建，导入到MATLAB工作空间。 [x,fval] = linprog(...) 功能:返回目标函
数最优解x，和在x处的值:fval = f'*x. [x,fval,exitflag] = linprog(...) 功能:返回目
标函数最优解x，和在x处的值:fval = f'*x，是否存在exitflag标志 [x,fval,exitflag,output] = linprog(...) Matlab中文论坛 功能:返回目标函数最优解x，和在x处的值:fval = f'*x，
是否存在exitflag标志，优化解结构体output [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)
功能:返回目标函数最优解x，和在x处的值:fval = f'*x，是否存在exitflag标志，优
化解结构体output，拉格朗日乘子结构体lambda
应用举例
最小解: f(x) = –5x1 – 4x2 –6x3, 满足: x1 – x2 + x3 ? 20 3x1 + 2x2 + 4x3 ? 42 3x1 + 2x2 ? 30 0 ? x1, 0 ? x2, 0 ? x3. 首先，输入系数、条件; f = [-5; -4; -6] ;A = [1 -1 1; 3 2 4 ;3 2 0]; b
= [20; 42; 30]; lb = zeros(3,1); 然后，调用线性规划函数; [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb); 最后，得到: x = 0.0000 15.0000 3.0000 lambda.ineqlin = 0 1.5000 0.5000
lambda.lower = 1.0000 0 0
相关函数
quadprog, optimtool book.
delphi求数组最大\最小值
//求最大值
function GetMaxInArray(A: array of Integer): Integer;
var
I: Integer;
tmpMax: Integer;
begin
tmpMax := A[0];
for I := low(A) to High(A) do
begin
if A[I] > tmpMax then tmpMax := A[I];
end;
Result := tmpMax;
end;
//求最小值
function GetMinInArray(A: array of Integer): Integer;
var
I: Integer;
tmpMin: Integer;
begin
tmpMin := A[0];
for I := low(A) to High(A) do
begin
if A[I] < tmpmin="" then="" tmpmin="" :="">
end;
Result := tmpMin;
end;
Matlab求最大值最小值
毕
题 目：
姓 名：
专 业：
班 级：
院 （系）：
指导老师：
新
业 论 文 用MATLAB 分析最小值和最大值的问题 木扎帕尔 ·木合塔尔 数学与应用数学 2003-6班 数理信息学院 阿不力米提 师 范 大 学
疆
MATLAB 求最小值和最大值 木扎帕尔. 木合塔尔
新疆师范大学数理信息学院03-6班
摘要:我们一般在学习和工作中遇到一些函数, 并需要其最小值与最大值, 本文讨论一些复杂的函数的最小值与最大值, 用MATLAB 来求解及分析.
关键词:最小值; 最大值;MATLAB.
用MATLAB 分析最小值和最大值的问题
我们在学习和工作中需要求解一些函数的最小值和最大值, 并用最小值和最大值来分析日常生活中我们遇到的一些问题. 一般的问题我们能直接计算出来, 但对有一些问题来说求救它的最小值和最大值很复杂,MATLAB 具有强大的计算功能, 以下我们要讨论的主要问题就是用MATLAB 能计算出那些复杂的问题.
先看以下例子
[1]用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱, 问怎样选择水箱的长, 宽, 高才最省钢板.
解:设水箱长, 宽, 高分别是x,y,z. 已知xyz=V,从而z=V/xy.水箱表面的面积
S=xy+V/xy(2x+2y)=xy+2V(1/x+1/y),
S 的定义域D={(x,y)︱0<><><><>
这个问题就是求函数S 在区域D 内的最小值.
解方程组
?S/?x=y+2V(-1/x 2)=y-2V/x 2=0,
1
2
' ψ'yy (x,y)=-2(p-x).
2'''' ψ'-ψ'(x , y ) xx (x,y) ψyy (x,y) xy []
=4x 2+4xy+4y 2-8px-8py+5p 2.
在稳定点(2p/3,2p/3), ?=-p 2/3<0,a=-2p><0.从而稳定点(2p ,2p/3)是函数ψ,="" 即?的极大点.="" 由题意,="" ?在稳定点(2p/3,2p/3)必取到最大值.="" 当x="2p,y=2p/3时,z=2p-x-y=2p/3,即三角形三边长的和为定数时,">
森林失火了! 消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢? 派的队员越多, 森林的损失越小, 但是救援的开支会越大, 所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系, 以总费用最小来决定派出队员的数目.
问题分析 损失费通常正比于森林烧毁的面积, 而烧毁面积于失火, 灭火的时间有关, 灭火时间又与灭火时间长短有关. 记失火时刻为t=0 ,开始救火时刻为t=t 1, 灭火时刻为t=t 2. 设在时刻t 森林烧毁面积为B(t),则造成损失的森林烧毁面积为B(t 2). 建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设.
模型假设 需要对烧毁森林的损失费, 救援费及火势蔓延程度δB/δd 的形式作出假设.
1. 损失费与森林烧毁面积B(t 2) 成正比, 比例系数c 1为烧毁单位面积的
损失费.
2. 从失火到开始救火这段时间(0≤t ≤t 1) 内, 火势蔓延程度δB/δd 与
时间t 成正比, 比例系数β称火势蔓延速度.
3. 派出消防队员x 名, 开始救火以后(t≥t 1) 火势蔓延速度降为β-λx ,
其中λ可视为每个队员的平均灭火速度. 显然应有β<λx>
4. 每个消防队员单位时间的费用为c 2, 于是每个队员的救火费用是c 2
(t 2-t 1); 每个队员的依次性支出是c 3.
3
4
描述：
fminunc 给定初值，求多变量标量函数的最小值。常用于无约束
非线性最优化问题。
x = fminunc(fun,x0)给定初值x0，求fun 函数的局部极小点x 。
x0可以是标量、向量或矩阵。
x = fminunc(fun,x0,options)用options 参数中指定的优化参
数进行最小化。
x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...)将问题参数p1、p2等
直接输给目标函数fun ，将options 参数设置为空矩阵，作为optio
ns 参数的缺省值。
[x,fval] = fminunc(...)将解x 处目标函数的值返回到fval 参
数中。
[x,fval,exitflag] = fminunc(...)返回exitflag 值，描述函
数的输出条件。
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)返回包含优化信息
的结构输出。
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)将解x 处fun
函数的梯度值返回到grad 参数中。
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...)将
解x 处目标函数的Hessian 矩阵信息返回到hessian 参数中。
注意：
1．对于求解平方和的问题，fminunc 函数不是最好的选择，用l
sqnonlin 函数效果更佳。
2．使用大型方法时，必须通过将options.GradObj 设置为'on'
来提供梯度信息，否则将给出警告信息。
算法：
大型优化算法 若用户在fun 函数中提供梯度信息，则缺省时函
数将选择大型优化算法，该算法是基于内部映射牛顿法的子空间置信
域法，理论描述可参见文献[8],[9]。计算中的每一次迭代涉及到用
PCG 法求解大型线性系统得到的近似解。
中型优化算法 此时fminunc 函数的参数options.LargeScale
设置为'off' 。该算法采用的是基于二次和三次混合插值一维搜索法
的BFGS 拟牛顿法。该法通过BFGS 公式来更新Hessian 矩阵。通过将
HessUpdate 参数设置为'dfp' ，可以用DFP 公式来求得Hessian 矩阵
逆的近似。通过将HessUpdate 参数设置为'steepdesc' ，可以用最速
下降法来更新Hessian 矩阵。但一般不建议使用最速下降法。
缺省时的一维搜索算法，当options.LineSearchType 设置为'q
uadcubic' 时, 将采用二次和三次混合插值法。将options.LineSearc
hType 设置为'cubicpoly' 时，将采用三次插值法。第二种方法需要
的目标函数计算次数更少，但梯度的计算次数更多。这样，如果提供
了梯度信息，或者能较容易地算得，则三次插值法是更佳的选择。
局限性：
5
1． 目标函数必须是连续的。fminunc 函数有时会给出局
部最优解。
2． fminunc 函数只对实数进行优化，即x 必须为实数，
而且f(x)必须返回实数。当x 为复数时，必须将它分解为实部和虚部。
3． 在使用大型算法时，用户必须在fun 函数中提供梯度
（options 参数中GradObj 属性必须设置为'on' ）。
4． 目前，若在fun 函数中提供了解析梯度，则options
参数DerivativeCheck 不能用于大型算法以比较解析梯度和有限差分
梯度。通过将options 参数的MaxIter 属性设置为0来用中型方法核
对导数。然后重新用大型方法求解问题。
功能：求解多变量无约束函数的最小值。
语法：
x = fminsearch(fun,x0)
x = fminsearch(fun,x0,options)
x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,...)
[x,fval] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...)
描述：
fminsearch 求解多变量无约束函数的最小值。该函数常用于无
约束非线性最优化问题。
x = fminsearch(fun,x0) 初值为x0，求fun 函数的局部极小点
x 。x0可以是标量、向量或矩阵。
x = fminsearch(fun,x0,options)用options 参数指定的优化
参数进行最小化。
x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,...) 将问题参数p1、
p2等直接输给目标函数fun ，将options 参数设置为空矩阵，作为o
ptions 参数的缺省值。
[x,fval] = fminsearch(...)将x 处的目标函数值返回到fval
参数中。
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...)返回exitflag 值，描述
函数的退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...)返回包含优化
信息的输出参数output 。
变量：
各变量的意义同前。
算法：
fminsearch 使用单纯形法进行计算。
对于求解二次以上的问题，fminsearch 函数比fminunc 函数有
效。但是，当问题为高度非线性时，fminsearch 函数更具稳健性。
局限性：
1． 应用fminsearch 函数可能会得到局部最优解。
6
2． fminsearch 函数只对实数进行最小化，即x 必须由
实数组成，f(x)函数必须返回实数。如果x 时复数，必须将它分为实
数部和虚数部两部分。
注意:
fminsearch 函数不适合求解平方和问题，用lsqnonlin 函数更
好一些。
在有约束最优化问题中，通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求解并作为迭代过程的基础。早期的方法通常是通过构造惩罚函数等来将有约束的最优化问题转换为无约束最优化问题进行求解。现在，这些方法已经被更有效的基于K-T （Kuhn-Tucker ）方程解的方法所取代。K-T 方程是有约束最优化问题求解的必要条件。假设有所谓的Convex 规划问题，f(x)和Gi(x)，i=1,2,…, m 为Convex 函数，则K-T 方程对于求得全局极小点是必要的，也是充分的。
对于规划问题
其中，x 是设计参数向量，（x∈Rn ），f(x)为目标函数，返回标量值，向量函数G(x)返回等式约束和不等式约束在x 处的值。
它的K-T 方程可表达为：
（*）
i=1,…,m
i=me +1,…,m
其中第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi (i=1,2,…,m) 来平衡目标函数与约束梯度间大小的差
异。
K-T 方程的解形成了许多非线性规划算法的基础，这些算法直接计算拉格朗日乘子，通过用拟牛顿法更新过程，给K-T 方程积累二阶信息，可以保证有约束拟牛顿法的超线性收敛。这些方法称为序列二次规划法（SQP ），因为在每一次主要的迭代中都求解一次二次规划问题。
对于给定的规划问题，序列二次规划（SQP ）的主要的思路是形成基于拉格朗日函数二次近似的二次规划子问题，即
这里，通过假设约束条件为不等式约束来使（*）式得到了简化，通过非线性有约束问题线性化来获得二次规划子问题。
二次规划子问题可表达为
i=1,…,m e
i=me +1,…,m
该子问题可以用任意一种二次规划算法求解，求得的解可以用来形成新的迭代公式x k+1=xk +αk d k 。
用SQP 法求解非线性有约束问题时的迭代次数常比用解无约束问题时的少，因为在搜索区域内，SQP 方法可以获得最佳的搜索方向和步长信息。
给Rosenbrock 函数添加非线性不等式约束g(x)
7
经过96次迭代得到问题的解：x=[0.9072,0.8288]，初值为x=[-1.9,2]，无约束问题则需要140次迭代。
通常我们遇到的都是目标函数的最大化和最小化问题，但是在某些情况下，则要求最大值的最小化才有意义。例如城市规划中需要确定急救中心、消防中心的位置，可取的目标函数应该是到所有地点最大距离的最小值，而不是到所有目的地的距离和为最小。这是两种完全不同的准则，在控制理论、逼近论、决策论中也使用最大最小化原则。
最大最小化问题的数学模型为
其中x, b, beq, lb和ub 为向量，A 和Aeq 为矩阵, c(x), ceq(x)和F(x)为函数，返回向量。F(x), c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。
Matlab 优化工具箱中采用序列二次规划法求解最大最小化问题。
相关函数介绍
fminimax 函数
功能：求解最大最小化问题。
语法：
x = fminimax(fun,x0)
x = fminimax(fun,x0,A,b)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P
1,P2,...)
[x,fval] = fminimax(...)
[x,fval,maxfval] = fminimax(...)
[x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(...)
[x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(...)
[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(...)
描述：
fminimax 使多目标函数中的最坏情况达到最小化。给定初值估
计，该值必须服从一定的约束条件。
x = fminimax(fun,x0)初值为x0，找到fun 函数的最大最小化
解x 。
x = fminimax(fun,x0,A,b)给定线性不等式A*x <=>
大最小化问题。
x = fminimax(fun,x,A,b,Aeq,beq) 给定线性等式，Aeq*x = b
eq ，求解最大最小化问题。如果没有不等式存在，设置A=[]、b=[]。
x = fminimax(fun,x,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 为设计变量定义一
系列下限lb 和上限ub ，使得总有lb <= x=""><=>
8
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在nonlco n 参数中给定非线性不等式约束c(x)或等式约束ceq(x)，fminimax 函数要求c(x) <= 0且ceq(x)="">
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用options 给定的参数进行优化。
x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,...) 将问题参数P1, P2等直接传递给函数fun 和nonlcon 。如果不需要变量A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon和options 将它们设置为空矩阵。
[x,fval] = fminimax(...) 返回解x 处的目标函数值。
[x,fval,maxfval] = fminimax(...)返回解x 处的最大函数值。
[x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(...) 返回exitflag 参数，描述函数计算的退出条件。
[x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(...) 返回描述优化信息的结构输出output 参数。
[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(...) 返回包含解x 处拉格朗日乘子的lambda 参数。
变量：
maxfval 变量
解x 处函数值的最大值，即，maxfval = max{fun(x)}。
注意：
1． 在options.MinAbsMax 中设置F 最坏绝对值最小化了的目标数。该目标应该放到F 的第一个元素中去。例如，考虑上面的问题，需要找到x 值，
使得下式的最大绝对值最小化：
通过调用fminimax 函数来进行求解
x0 = [0.1; 0.1]; % 设置初值
options = optimset('MinAbsMax',5); % 最小化绝对值
[x,fval] = fminimax(fun,x0,[],[],[],[],[],[],[],options);
经过7次迭代以后，得到问题的解
x =
4.9256
2.0796
fval =
37.2356 -37.2356 -6.8357 -7.0052 -0.9948
2．当提供了等式约束并且在二次子问题中发现并剔除了因等式，则在过程标题中打印'dependent' 字样(当输出选项设置为options.D isplay='iter')。因等式只有在等式连续的情况下才被剔除。若系统不连续，则子问题不可行并且在过程标题中打印'infeasible' 字样。
9
算法：
fminimax 函数使用序列二次规划法(SQP)进行计算。对一维搜索
法和Hessian 矩阵的计算进行了修改。在一维搜索中，将精确目标函
数和文献[2]、[3]中的目标函数一起使用。当有一个目标函数不再发
生改善时，一维搜索终止。修改的Hessian 矩阵借助于本问题的结构，
也被采用。详细内容可参见文献[5]、[6]。
局限性：
目标函数必须连续，否则fminimax 函数有可能给出局部最优解。
参见：
optimset, fgoalattain, lsqnonlin
应用实例
定位问题
设某城市有某种物品的10个需求点，第i 个需求点P i 的坐标为（a i ,b i ）,
道路网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在x 界于[5，8]，y 界于[5，8]的范围内。问该中心应建在何处为好？
P i 点的坐标为：
ai : 1 4 3 5 9 12 6 20 17 8
bi : 2 10 8 18 1 4 5 10 8 9
设供应中心的位置为（x,y ），要求它到最远需求点的距离尽可能小，由于此处应采用沿道路行走的距离，可知用户P i 到该中心的距离为|x-ai |+|y-bi |，从而可得目标函数如下
约束条件为
首先编写一个计算x 处10个目标函数的M 文件opt27_2o.m。
function f = myfun(x)
%输入各个点的坐标值
a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];
b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9];
f(1) = abs(x(1)-a(1))+abs(x(2)-b(1));
f(2) = abs(x(1)-a(2))+abs(x(2)-b(2));
f(3) = abs(x(1)-a(3))+abs(x(2)-b(3));
f(4) = abs(x(1)-a(4))+abs(x(2)-b(4));
f(5) = abs(x(1)-a(5))+abs(x(2)-b(5));
f(6) = abs(x(1)-a(6))+abs(x(2)-b(6));
f(7) = abs(x(1)-a(7))+abs(x(2)-b(7));
f(8) = abs(x(1)-a(8))+abs(x(2)-b(8));
f(9) = abs(x(1)-a(9))+abs(x(2)-b(9));
f(10) = abs(x(1)-a(10))+abs(x(2)-b(10));
然后输入初值、约束条件并调用优化过程进行计算(M文件为op
t27_2.m)：
10
x0 = [6; 6]; % 提供解的初值
AA=[-1 0
1 0
0 –1
0 1];
bb=[-5;8;-5;8];
[x,fval] = fminimax(@opt27_2o,x0,AA,bb)
计算结果为：
x =
8
8
fval =
13 6 5 13 8 8 5 14 9
1
可见，在限制区域内的东北角设置供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小。最小最大距离为14个距离单位。
结束语：
本人通过一个多月的辛苦创作, 翻阅大量的图书资料, 完成了该论文. 本文主要解决的问题是用MATLAB 得到一些复杂的函数的最小值和最大值, 将MATLAB 工具引入到我们工作和学习之中, 有利于提高我们的工作和学习效率.
参考文献：
[1]网上下载
[2]MATLAB程序设计与应用, 刘卫国·陈昭平·张颖 （高等教育出版社）
[3]数学模型, 姜启源·谢金星·叶俊 （高等教育出版社）
11
二次函数的相关知识求实际问题中的最大值或最小值
二次函数的最大值最小值
一、教学目标
1(会用二次函数的相关知识求实际问题中的最大值或最小值; 2(在课堂活动过程中，经历数学建模的基本过程，体会二次函数在生活中的应用价值，培养“学数学、用数学”的意识(
二、重点、难点
重点——渗透数形结合的思想方法，求二次函数的最大值或最小值。 难点——从实际问题中抽象建模，建构二次函数。
三、教学过程
【活动一】情境导入
春秋时候，秦国有个叫孙阳的人，相传是我国古代最著名的相马专家(无论什么样的马，他一眼就能分出优劣(他常常被人请去识马、选马，人们都称他为伯乐(为了让更多的人学会相马，使千里马不再被埋没，也为了自己一身绝技不至于失传，孙阳把自己多年积累的相马经验和知识编写成一本《相马经》(在书中，他写了各种各样的千里马的特征，并配上各种马的形态图，以便人们对照图象，按照线索去寻找千里马(这个故事中渗透了一种怎样的数学思想方法呢,(课件呈现图1)
(引导学生联想到“数学结合”，然后教师板书“数形结合”。教师口述:“在《函数及其图象》这一章，我们一般都会采用“数形结合”的方法来研究问题。本节课我们就来研究二次函数的性质应用——最值问题。”板书课题)
设计意图:作为研究函数性质的重要手段～数形结合是一种常见的数学思想与方法。其重要性远非其他数学思想方法所比拟。为了加深学生对“数形结合”的认识与理解～设计了这一图文并茂的故事情境。
【活动二】探究活动
探究1:一次函数y,2x，1图象是什么,是否有最大值和最小值,
(通过学生自己画图，体会出一次函数的图象是直线，是向两端无限延伸的，因而没有最大和最小值。)
设计意图:数学知识是前后紧密联系的～推陈出新、
由易到难～是研究数学知识的一般方法。在这里～设计
这样的一个问题～同时还埋下了一个伏笔——从图象上
直观地看出函数的性质～这也是从故事情境导入中很自
然地过渡出的产物。
提问:若在上面的一次函数中增加限制条件“,2?x?1”，结果又如何呢,结合图象，你能否说明端点的高低与最值的关系,
(通过师生互动，得出此时函数图象为一条线段，有两个端点，因而有最大和最小值(而且最高点对应最大值，最低点对应最小值()对应板书如图2所示:
设计意图:?进一步为新课做好铺垫——限定自变量取值范围的情况下研究最值问题,?板书进一步强调了“数”与“形”是怎样结合的。
2提问:二次函数y,ax，bx，c(a?0)的图象是什么,利用图象特征是否说明函数有最大值或最小值,
(引出抛物线当a,0时，有最低点，对应最小值;当a,0时，有最高点，对应最大值()
探究2:求下列二次函数的最大值或最小值:
22(1)y,x,2x,3; (2)y,,2x，4x。
(学生板演之后再请学生说明函数是否同时具有最大值或最小值,结合图象特征进行说明。)
设计意图:求二次函数的最大值或最小值～这是本节
课的教学重点～通过两道题的训练达到这一教学目标。
而学生板演之后教师的提问～则可通过学生的口说出“当
a,0时～只有最低点、最小值,当a,0时～只有最高点、
最大值(”其效果要比教师直接灌输好得多。
拓展练习:观察图3中所示的二次函数图象，回答下
列问题:
(1)若,4?x?,3，该函数的最大值、最小值分别为________、________;
(2)又若,2?x?0，该函数的最大值、最小值分别为________、________;
(3)又若,4?x?,1，该函数的最大值、最小值分别为________、________。
(在学生完成填空后，实物投影其答案，在(3)中可能会出现错误，这时可让其他同学改正，同时指出只代入数值而不观察图象的方法是有问题的。
设计意图:拓展练习中虽不知二次函数的关系式～但是已知这个二次函数的图象～由图象得出最大值或最小值来得更直观～同时通过此题的训练～进一步感受到了数形结合的必要性(
小结:在求二次函数的最值时，应注意什么,
(通过师生互动得出结论:图象最低点对应最小值;最高点对应最大值()
设计意图:提炼小结。
探究3:
2(1)当,2?x?2时，求函数y,x,2x,3的最大值和最小值(
2(2)当1?x?2时，求函数y,,x,x，1的最大值和最小值(
设计意图:在上面的拓展练习的基础上～进一步完整地突出本节课的教学重点——渗透数学结合的思想方法～求二次函数的最大值或最小值。
【活动三】知识应用
如图4，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB
为x(米)，面积为S(平方米)(
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)结合图象，当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少,
2(学生易得BC,24,4x，从而S,,4x，24x，自变量x的范围是0,x,6，结合作出函数的图象，当x,3时，S最大,36()
(3)若从设计的美观角度出发，墙的最小利用长度为4米，最大利用长度为8米，此时，围成花圃的最大面积和最小面积是多少,
(由题意易知4?24,4x?8，解得4?x?5，结合函数的图象描出对应最高点和最低点(两个端点在对称轴右侧，S的范围是20?x?32()
设计意图:学以致用～一直是数学学习的一个重要目标。此题中～既涉及到单纯的二次函数问题～又涉及到实际设计中的美观性～进一步全面巩固了本节课的所有知识点。
【活动4】分享收获
分组讨论并回顾反思:
根据二次函数的图象和顶点坐标，函数在所给自变量的范围内的图象形状各异，从而产生不同的最值，请同学讨论并画出各类二次函数的图象，并结合自变量范围对应的两个端点标出最值(
设计意图:通过小组讨论与画图操作～起到知识内化的作用。
教学后记:这是笔者于2009年12月在苏州大市优质课展示活动中执教的一堂课。虽借班上课，但整堂课呈现出学生学习热情高涨，探究投入度高，当堂
掌握率高，以至于下课铃声响起，学生仍意犹未尽。通过这节课的教学，笔者认识到，“理解”是数学学习的基础，如果教师能科学设计课堂，引领学生一起探索新知，让学生经历数学知识的产生过程，那么我们的学生就会真正的理解数学，喜爱数学。
求下列二次函数的最大值或最小值：
1、求下列二次?函数的最大?值或最小值?:
? y=,x2，2x,3; ? y=x2，4x
1、某商品现在?的售价为每?件60元，每星期可卖?出300件?，市场调查反?映:每涨价1元?，每星期少卖?出10件;每降价1，每星期可多元??卖出18件?，已知商品的?进价为每件?40元，如何定价才?能使利润最?大,
2、某商场销售?某种品牌的?纯牛奶，已知进价为?每箱40元?，市场调查发?现:若每箱以5?0 元销售,平均每天可?销售100?箱. 价格每箱降?低1元，平均每天多?销售25箱? ; 价格每箱升?高1元，平均每天少?销售4箱。如何定价才?能使得利润?最大, 3、有一经销商?，按市场价收?购了一种活?蟹1000?千克，放养在塘内?，此时市场价?为每千克3?0元。据测算，此后每千克?活蟹的市场?价，每天可上升?1元，但是，放养一天需?各种费用支?出400元?，且平均每天?还有10千?克蟹死去，假定死蟹均?于当天全部?售出，售价都是每?千克20元?(放养期间蟹?的重量不变?). ?设x天后每?千克活蟹市?场价为P元?，写出P关于?x的函数关?系式. ?如果放养x?天将活蟹一?次性出售，并记100?0千克蟹的?销售总额为?Q元，写出Q关于?x的函数关?系式。
?该经销商将?这批蟹放养?多少天后出?售，可获最大利?润，(利润=销售总额-收购成本-费用),最大利润是?多少,
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价
x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)152030…
y(件)252010…
若日销售量y 是销售价x 的一次函数。
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函
数关系式;(6分)
(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价
应定为多少元,此时每日销售利润是多少元,(6分)
5某旅行社?组团去外地?旅游,30人起组?团,每人单价8?00元.旅行社对超?过30人的?团给予优惠?,即旅行团每?增加一人,每人的单价?就降低10?元.你能帮助分?析一下,当旅行团的?人数是多少?时,旅行社可以?获得最大营?业额,
6、.某商场销售?一批名牌衬?衫，平均每天可?售出20件?，每件盈利4?0元，为了扩大销?售，增加盈利，尽快减少库?存，商场决定采?取适当的降?价措施。经调查发现?，如果每件衬?衫每降价1?元，商场平均每?天可多售出?2件。 (1)若商场平均?每天要盈利?1200元?，每件衬衫应?降价多少元?, (2)每件衬衫降?价多少元时?，商场平均每?天盈利最多?,
7、.某商场以每?件42元的?价钱购进一?种服装，根据试销得?知这种服装?每天的销售?量t(件)与每件的销?售价x(元/件)可看成是一?次函数关系?:
t,,3x，204。
(1).写出商场卖?这种服装每?天销售利润?
y(元)与每件的销?售价x(元)间的函
数关系式;
(2).通过对所得?函数关系式?进行配方，指出 商场要想每?天获得最大?的销售利润?，每件的销售?价定为多少?最为合适,最大利润为?多少,
8某个商店?的老板，他最近进了?价格为30?元的书包。起初以40?元每个售出?，平均每个月?能售出20?0个。后来，根据市场调?查发现:这种书包的?售价每上涨?1元，每个月就少?卖出10个。现在请你帮??帮他，如何定价才?使他的利润?最大,
某个商店的?老板，他最近进了?价格为30?元的书包。起初以40?元每个售出?，平均每个月?能售出20?0个。后来，根据市场调?查发现:这种书包的?售价每上涨?1元，每个月就少?卖出10个?。现在请你帮?帮他，如何定价才?使他的利润?达到216?0元,
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