过去的已过去再也回不去的过去
一基础知识1.直角三角形全等的判定（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL
2.直角三角形的性质（1）两锐角互为余角（2）斜边的中线等于斜边的一半（3）①勾股定理及其逆定理；②勾股数及其规律性
（4）两种特殊的直角三角形的三边的比；（5）射影定理；（6） s=ab；5 四种命题的概念 21二典例分析1判断正误
（1）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（2）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（4）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）
（5）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（ ）（6）有两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等（ ）
（7）周长和面积对应相等的两个三角形全等（ ）（8）边与角中，有五个元素分别相等的两个三角形全等（ ）
2请判断满足下列条件的的直角三角形是否全等，若全等，请在括号内加注理由：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等（）（2）一个锐角和锐角相邻的一条直角边对应相等（）（3）一个锐角和一斜边对应相等（）
（4）两直角边对应相等（）（5）两边对应相等（）（6）两锐角对应相等（）（7）一锐角和一边对应相等（）
3如图，△ABC中∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．
5如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，
AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC． 216．如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边 上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，
交射线CB
于点G
．
（1）求证：
GD=DC
．
（
2
）设AD=x
，HG=y．求y关于x
的函数解析式，并写出x的取值范围． 交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB
7（中招展示）（
1）（12河北）如图7-1，
AB、CD相交于点O，
AC⊥CD于点C，若∠
BOD=38°，则∠A=____
（2
）（12鸡西）Rt△ABC
中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°
，点P是直线AB上不同于A
、B的一点，
且∠ACP=30°，则PB的长为 _____
（3）（12济宁）如图7-3，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，
交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间
（4）（12怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．4
（5）（12新疆）如图所示7-5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，
其中两个半圆的面积S1= 25
8，S2=2π，则S3是 ____ （6）（12黔西南州）如图7-6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 _______
（7）（12莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP（8）（07河南）如图7-8，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．
若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于_____
（9）（05海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）
垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
①请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（10）（08江西）如图7-10，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
①求证：B′E=BF；
②设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
8 （1）如图8-1，在?ABC中，②在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． AD?BC于Ｄ，
?ABC?2?C，求证：AC2?AB2?AB?BC
（2）如图8-2，四边形ＡＢＣＤ是一个梯形，
ＣＤ＝７，Ｍ是ＡＤ的中点，MNAB?CD，?ABC?９０°，ＡＢ＝９，ＢＣ＝８， ?AD，求ＢＮ长.
（3）如图8-3，?ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，D是斜边AB的中点，E、F分别在AC、BC上，
且DE?DF，若BF＝12，AE＝5，求?DEF的面积.
（4）如图8-4，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，
M、N分别是边BD、AC的中点．
①求证：MN⊥AC；②当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．
三随堂练习
1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，
如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个 3如图（3），AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于（）A．110°B．100°C．80°D．70 4若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
5如图（5）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论①∠B=∠BAP；
②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF= △ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个 21 6将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm，则阴影部分的面积是 ____cm2．
7如图（7）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，
连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG．
8如图（8）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC
及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF=2DE．
D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，
则GH的长等于 _____cm．
3如图3-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，
过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn4三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 _____cm．
5如图5-1，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于______
6．在△ABC中，已知∠B=30°，AB=6cm，则BC边上的高为 ____cm．
7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ____cm． 8．△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若BC?AC=，则∠A= _____度． 412
10．如图10-1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= _____
11．房梁的一部分如图11-1，其中AC⊥BC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，
且DE⊥AC，垂足为E，则BC= _____m，DE= _____m．
12. 有一个等腰三角形一腰上的高度是腰长的一半，则此等腰三角形的顶角是 ___度．
13.如图13-1上午8时，一条轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，
10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°，
问以同样的速度继续前行，则上午 ____时轮船与灯塔C距离最近．
14.如图14-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
证明二-直角三角形
直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。
（2）性质：①“勾股定理” 。
②直角三角形两锐角 。
③直角三角形斜边上的中线等于 。
④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。 （3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③“勾股定理逆定理” 。
ABC中，∠ACB=90，AB=5，BC=3，CD⊥AB于点D，求CD的长。
,在△ABC中,D是BC上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.
C
B
D
D
C
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m,
∠A＝30 °,
立柱BC、DE要多长？
ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.
求证：AB=4BD
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴ BC= AB ∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即
1
直角三角形-专项训练一
1.如图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.
C
B
2.如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一坚直的墙上AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将向外移动多少米？ A
A1
B1 B C
3.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交高AD于点F，且BF=AC，FD=CD。 求证：BE⊥AC
F
4.（宁夏中考）如图，在Rt△DBC中，∠C=900，∠A=300，BD是∠ABC的平分线，AD=20。求BC的长。
A
2
B
D
C
5.（衢州中考）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转到△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。
（1）求点B与点A′的坐标；
（2）求经过点B与点B′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点
6.如图，在△ABC中，∠B=30?，AC=长为 ．
7.如图，∠DAB=60?，CD⊥AD，CB⊥AB，且AB=2，CD=1，则四边形ABCD的面积为．
8.如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°
求证：AC＝
3
ACD的斜边AD在AB边上，则BC的
1
AB． 2
直角三角形-专项训练二
1.满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）. A．三内角之比为1：2：3 B.三边之比为
1:
C.三边长为41,40,9 D.
,8
2.等边三角形的高为2,则它的面积是( ).
3.下列命题的逆命题是真命题的是( ).
22
A.对顶角相等 B.若a=b,则a=b
C.在同一个三角形中,等边对等角 D.如果两个角都是直角,那么这两个角相等
4.如图1-1, Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC落在斜边AB上,点C与点D重合,折痕为AE,则BE的长为( ).
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 5.已知直角三角形斜边长为2,周长为
则三角形的面积为__________.
6.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是_________________________________,这个逆命题是_________命题.
7.如图1-2,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 8.有一圆柱形油罐，如图1-3，要从A点绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，梯子最短要求 m（已知油罐底面圆周长是12cm，高AB是5m）。
9.若直角三角形的三条边长分别是5，12，a，则a= 。 B
A B E
L
B 图1-1 图1-3 M 图1-2 N
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点。 求证： BO=CO
4
B C
几何证明-直角三角形
直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
【知识精要】
直角三角形全等的判定
1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L）
2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线
1、斜边的中线
2、斜边的高
3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。
【精解名题】
例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。
例2、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，DE垂直平分BC于点D，EF⊥AC，交AC的延长线于点F。求证：
AB=AC+2CF.
提示：联结EB、EC，作EG⊥AB于点G。
例3、如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE 1AB。 2
例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F .
求证：
BF=BD
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。
求证：∠DCE=45°
例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：
CM=2BM
提示：联结AM
例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠
DBC
提示：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F
例8、如图，，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、AO的中点。求证：MN垂直平分DE。
提示：联结DM、EM、DN、EN
【巩固练习】
1、判断（错的用“×”表示，对的用“√”表示，如果正确，请说出判定方法）
（1）两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 （ ），（ ）
（2）一条直角边、一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等。 （ ），（ ）
（3）一个锐角及斜边对影响等的两个直角三角形全等 （ ），（ ）
（4）一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等 （ ），（ ）
（5）如果一个直角三角形的两条边分别与另一个直角三角形的 两边相等，那么这两个直角三角形全等 （ ），（
）
（1）√ SAS （2）× （3）√AAS （4）√ HL （5）×
2、如图，已知AD垂直平分BE于点C，AB=DE。求证：AB//DE
3如图，在等腰△ABC中，AC=BC，过点C作直线l的，AD⊥l，BE⊥l于点E，且AD=CE。求证：∠ACB=90°
4、如图，已知∠B=∠E=90°，AB=AE，AF垂直平分CD，求证：BC=ED。
提示：联结AC、AD
5、如图，已知AD//BC，AB⊥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，求证：AD+BC=DC。
提示：作EF⊥DC于点F
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE=CF=
1AB，求∠EMF的度数。 2
答：45°，提示：联结MC
7、如图，已知AE、BD相交于点C，AB=AC，DC=DE,F、G、H分别是AD、BC、CE的中点，求证：
FG=FH
提示：联结AG、DH
8、如图，已知AB=BC，AD=AC，AB⊥BC，△ABC与△ADC的面积相等，且AC//BD，求∠ADC的度数。
答：75°，提示：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求BE的长与AC的长之比。
3:4
【拓展提高】
1、如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线l，B、C两点在AE的同侧，
BD⊥l于点D，CE⊥l于点E（BD＜CE）
（1）求证：BD+CE=DE
（2）若直线l绕点A旋转到图（2）的位置时（BD>CE），其余条件不变，问（1）中的结论成立吗？为什么？
（3）若直线l绕点A旋转到图（3）的位置时，（B、C两点在l的异侧），问（1）中的结论成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请指出BD、CE与DE三条线段的数量关系，并证明。
图（1） 图（2） 图（3）
（1）提示：由证明△ABD≌△CAE可得结论成立
（
2）成立
（3）DE=|BD-EC| 证明略
2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠
BAC=90°，以AB为一边向外作等边△ABD，AE⊥BD于点E，AE与CD交于点M
（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系？请证明；
（2）若△ABC与△ABD在AB的同侧时，CD的延长线与AE的延长线交于点M。①请在图中画出△ABD和点M；②线段DM和BC仍然有（1）中的数量关系吗？为什么？
图 图
答案：(1)BC=2DM 证明略 (2)仍成立
【家庭作业】
1、填空
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，写出图中相等的锐角:____________。
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，写出图形相等的线段：____________。
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AD=6cm， 则BC=_________cm
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，则∠A=__________。
（5）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，BD=1，则AD=_____________。
图1 图2 图3
2、选择
（1）如果三角形的三个内角度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是AB的中点，有下列结论：①∠A=∠1；②∠2=∠3；③∠2=2∠A；④∠B=2∠A，其中正确的有（ ）个
A、1 B、2 C、3 D、4
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB上的高，下列判断中，错误的是（ ）
A、DB?11BC B、?1??B C、AB?4BD D、AD=2CD 22
（4）如图6，在Rt△ABC中，CM是斜边AB上的中线，CH是斜边AB上的高，如果AH=HM，那么图中的∠1、∠2、∠3、∠4中等于30°的角有（ ）
A、∠1 B、∠1和∠2 C、∠1、∠2、∠3 D、∠1、∠2、∠3、∠
4
图4 图5 图6
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CD为AB边上的高，∠A=48°，求∠DCE的度数。
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长AC到点E，使CE=AD。求证：∠A=2∠E
5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥AB，求证BD=2AC
6、如图，已知三角形ABC是等边三角形，AD?
1BC，CD?AD，求证AD//BC
2
7、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点E，且DE=DA，求证：AC=3AD
8、如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是AC、BD的中点。（1）求证：MN⊥BD；（2）若∠BAC=15°，AC=10㎝，OB=OM，求MN的长。
9、已知等腰三角形的顶角等于150°，腰长为6㎝，求腰上的高。
直角三角形的证明
第一章 三角形的证明 第二节 直角三角形（二）
模块一 预习反馈 一、学习准备 1、。 2、直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是_____三角形。
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。
3、阅读教材：第2节《直角三角形》 二、教材精读
4、已知：如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’， 求证：△ABC≌△A’B’C’
证明：Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
AC2=___________ , A’C’2=____________2,（勾股定理） ∵AB=A’B’，BC=B’C’，’ ∴AC2=______ ∴AC=_______
∴△ABC ≌A’B’C’( )
归纳：斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直
角边”或“__”）
推理格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°
∵ AB=A’B’
BC=B’C’
∴△ABC ____A’B’C’(HL) 实践练习：
如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF，BF = EC。求证：BA = ED。 AD BEA模块二 合作探究
5、在Rt△ABC中，∠C = 90°，且DE⊥AB，CD = ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。
1
6、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点，求证：CE = DE。
AB
D
7、用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线。 证明：
模块三 形成提升
1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________. （2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________. （3）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD。 求证：EB = FC。 A
F
C
模块四 小结反思 一、本课知识： 1、斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）
2
第一章 三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线（一）
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。 3、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》 二、教材精读
4、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。 求证：PA=PB。
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=_______=90° ∵在△PC和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB（ ） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
归纳：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴ =PB
5、这个定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点，
______________________________,它是___命题。如果是真命题请证明。 已知：如图，AB=AC
求证：点A在线段BC的垂直平分线上
证明：（提示：利用等腰三角形三线合一）
BC
归纳：定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。
推理格式：∵AB = AC，∴____点在线段BC的 __。 模块二 合作探究 6、已知：线段AB 解：作图如下： 求作：线段AB的垂直平分线CD。
1
作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C、D A B
（2）作直线CD。
即直线CD就是线段AB的垂直平分线。
3
归纳：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，
所以我们也用这种方法作线段的_____________。 7、如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。 E1）则BD =
2）若∠B = 40°，则∠BAC = ，∠DAB = °，
A∠DAC = °，∠CDA = °；
3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ACD的周长为 8、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求：△AEC的周长。
BCE
模块三 形成提升
在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。
模块四 小结反思 一、本课知识：
1、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。 2、到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。
第一章 三角形的证明
第三节 线段的垂直平分线（二）
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、尺规作图是指用图。
2线段垂直平分线上的点到。 3、到一条线段两个端点距离相等的点，在。 4、阅读教材：第3节《线段的垂直平分线》 二、教材精读
4
B
DC
A
E
5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P， 求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。 证明：连接AP、BP、CP，
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=____（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）
∵点P在线段BC的垂直平分线上， ∴ 归纳：三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。
推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点， ∴PA=_____=_______.
6、做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。 已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：
（1）作线段AB=a； 解：作图如下：
（2）作线段AB的垂直平分线l，交BC于点D， （3）在L上作线段DC，使DC=h
（4）连接AC，BC。△ABC为所求的等腰三角形。
模块二 合作探究
7、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站建在什么地方，才能使它到A、B的距离相等？
8、已知直线AB和AB上（外）一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。
5
AB
模块三 形成提升 1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则。 2、已知：线段a=3cm、C=5cm 求作：Rt△ABC，使斜边AB = C 作法：
3、已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O。
求证：OA=OB=OC．
模块四 小结反思 一、本课知识： 1、三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。
6
4.直角三角形的有关证明
滕家寨中学导学稿 ★九年级数学下★ 第 4 期
课题§1.5直角三角形的判定（2）
编号：4 备课日期: 2012/9/6 班级： 姓名：______
【学习目标】
1、理解并掌握“HL”的证明方法，能运用“HL”进行相关证明。
2、经历尝试、探究、交流的过程，进一步理解掌握证明的过程。
3、积极探究，合作交流，勇于展示，在数学学习中锻炼自己多种能力。
【使用说明与学法指导】
1．独立思考，或者同学互助，用证明命题的方法，完成“HL”的证明。
2．“做一做”先认真动手操作，再思考方法。
3．“议一议”难度较大，可与同学展开讨论。
【预习自学】
活动一
如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，如果AC=A’C’,AB=A’B’，你认为BC和B’C’有什么关系？为什么？（提示：考虑勾股定理。）
还记得证明直角三角形全等的“HL”吗？写出它的具体内容。
这个命题的条件是
结论是
你能证明这个命题吗？（用证明命题的方法步骤做，看看你能不能成功完成？） 第一步：先画出符合条件的图。（就是两个直角三角形，而且直角边和斜边对应相等。）
滕家寨中学导学稿
★九年级数学下★ 第 4 期
第二步：结合图形，在空白处写出已知和求证。
第三步：在空白处写出证明过程。
活动二“做一做”
自读教材23页中间一段：“用三角尺做一个角的平分线”，你会用这个方法了吗？试一试用三角尺做下面这个角的平分线。
B
【课堂研讨】
“议一议”，如下图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把你能想到的条件都写出来。
A
【训练巩固】
教材第24页 随堂练习
【总结与反思】
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