Christmass
赤峰学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２６Ｎｏ．５Ｍａｙ２０１０
求偏导数的一种方法
刘国祥
（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰０２４０００）
摘要：计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量大．在求一点的偏导数时，把部分变元的值先代入。再计算偏导数，可以减少运算量．
关键词：多元函数；偏导数；高阶偏导数；混合偏导数中图分类号：０１７２．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１０）０５－０００７－０２
较大．在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏导函数，再代入这一点的值而得到这一点的偏导数．我们发现，把部分变元的值先代入函数中，减少变元的数量，再计算偏导数，可以减少运算量．
１计算方法
ｆ（ｘ，１）＝ｘ２，鲁＝警＝誓＝２ｘ，鲁Ｉ渊×２－４０
ＸｎＸｄｘ
ｕｘ
ｌ
脚Ｍ，等＝ｏ，等旧
结果与通常的算法一样，但运算量大大减少了．这种运算方法是：
侧１设ｆ（ｘ’ｙ辟２＋㈣¨胁ｉｎ仃，求要卜和
Ｏｆ
掣＝普ｂ妄㈣Ｌ
骂严＝等｝“以）－妄‰，）ｌ＾
２计算方法的理论依据
（１）
ｃ２，
ａｙ
ｌ仁１’
一般的方法是，先求出偏导函数
上述算法能够减少运算量的作用是明显的，但可行性的理论依据是什么呢？这不难，从偏导数的定义就可以充分说明．以二元函数为例．
设有二元函数ｚ－－ｆ（ｘ，ｙ），若一元函数ｆ（ｘ’ｙｏ）在Ｘ－－＇ｇＯ处的导
挚州脚ｎ、／÷＋（ｘ－２）（ｙ－１）毒（一｝）
＿２ｘ咿ｌ蛐、／譬（ｘ－佴２）ｙ（ｙ－１）?
挚狮ｓｉｎ、／｝＋（ｘ－驸’毒÷
螂删ｎ、／｝＋：（ｘ佴－２）（ｙ－１）－
再代入偏导数在点（２，１）的值
数妄妣ｙ０）Ｉ。存在，则称它为ｚ嘶’ｙ）在‰ｙｏ）处对ｘ的偏导
数【ｌＬ
这个定义是以一元与多元函数的联系为主线进行的．先代入Ｙ＝Ｙｏ的值，成为一元函数再求导数．
设函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（）【ｏ，ｙｏ）的某一邻域内有定义，当Ｙ固定在Ｙｏ－而Ｘ在Ｘｏ处有增量△ｘ时，相应地函数有增量ｆ
私２～岬ｎ悟一萄宇４
（ｘｏ＋Ａｘ，ｙｏ）－ｆ（ｘｏ，ｙｏ），如果ｌｉｍ坐吐掣存在，则称此极限为
Ａｌ—４Ｕ
ｎ＾
甬数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（】‘０’ｙ０）处对ｘ的偏导数田．这个定义与上定义是等价的，其出发点是从极限人手，更突出地强调“Ｙ固定在ｙｏ”这两个定义都说明求对ｘ的偏导数，可以先把ｙ－－Ｙｏ代入．同理求对Ｙ的偏导数，可以先把ｘ＝ｘｏ代人．３在高阶偏导数中的应用
对于高阶偏导数，特别是混合高阶偏导数，由于变元多，求导阶数高，如果函数复杂。运算量会更大．应用上述方
一７一
孙群蛐悟＋弭（２－２）（１－１）＝ｏ
可以明显地看出第一式中的第二、第三项和第二式中的两项在点（２，１）的值都是０．
这种求偏导数的方法，过程的确很复杂．
万方数据
法，可以部分地减少运算量．
仍以二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）为例，在计算熹ｆｋ。，时，由于两
次对ｘ求偏导数，Ｙ－－－Ｙｏ开始就可以先代人．同理，在计算
时。由于两次对Ｙ求偏导数，ｘ确开始就可以先
Ｋ山）
代入?但对于混合偏导数毒ａｘ｝ａｙＯＸＯｙ
ｉ“．，．Ｊ，第一次对ｘ求偏导数
Ｉ—ｌ
。。’’
时，Ｙ＝Ｙｏ开始就不可以先代人，因为后边还要对Ｙ求偏导数．但第二次对Ｙ求偏导数时，Ｘ－－－－＇ＸＯ就可以先代入了．因为后边不再对ｙ求偏导数．计算公式是：
堂ａｘ出２＝矿ｄ２
ｆ（ｘ，ｙｏ）ｌ吼
％乒＝嘉‰ｙ）ｌ凡
掣＝专ｃ掣，Ｌ掣ａｙａｘ』ｄｘ（必Ｏｙ）ｌ＾
Ｉ。
当已经确定害｝和要在点（地ｙ０）处均连续的前提下
。
ｄｘＯｙＯｙＯｘ
（一定相等），可以选择求导数的次序，以减少运算量．
例２设旧舯哼，求粤ＯＸ－ｂ等ｂ和
Ｖ
¨２－上ｌ
ａＶ—Ｉｆ２上ｌ
疗ｆ
ＯｘＯｙｆ仁÷）‘
ｆ（ｘ｛）－ｅ’ｉｎ霄ｘ
百忆１２丁２亍２—意一
要Ｉ：堡丑：垫丑：止坐型
器ｂ＝妄ｈ嘶假慨气…ｋ
＝（ｅ’ｉｎ假—１他—ｌｃｏｓ假一１ｒｅ—ｌｃ惦订ｘ诫哼ｓｊｎ似）Ｉ面
：一２仳－２＝一２呈
ｅ－
肥，ｙ庙≮ｎ互
堕Ｏｙ
ｂ等：坐ｄ塑ｙ≈‰互Ｙ㈣
Ｉ岛）ａｙ
…。＼，ｒ２，：—２ｅ‘’上ｃｏｓ互
Ｖ
Ｖ
一８一
万方数据
等协砉（‰４ＩＣＯｓ泓｝
＝一舻（争咖手＋歹２ｓｉｎ剖，上
＝４。－：一：兰垂
ｅ－
彗：噌≮ｎ生＋ｅ，咖生．上＝ｅ—ｔｆ上ｃｏｓ量一ｓｉｎ量１
ｄｘ
ＹＹ
Ｙ
、ＹＹＹ／
嚣ｂ专忙’（手ｃ哼痂烈圳
２专（ｅ１（争。哼‘８ｉｎ争））｜ｅ｝）
＝ｅ－２（一丁１
ｃｏｓ－８ｉ号¨Ｌ上
＝阡争ｃｏｓ手＋扣手＋笋ｃｍ驯，｝
＝ｅ＿，面毛乓
ｅ。
如果换一种顺序，可以
鲁：ｅ‰争‘（一笋）
茜ｋ妄【兰尝ｋ妄ｃ确ｅ…圳。丽厂协）２ｉｉ—与产卫Ｊｋ言【－俄盹哪ｘ）ｋ
＝—呐ｅ。Ｉｃｏｓ订ｘ—ｘｅ。屯惦能一仃ｘｅ—ｌＢｉｎ能）Ｉ葩
＝ｅ－＇－，ｎａ＝要
ｅ。
熹ｈ、：熹｜，＾ｌ、≈知≮晕丽Ｉ（＇．｝）２瓦可Ｉ（。｝）≈呵’｝
例３设㈣吼毗求暑ＬＩ和等Ｌ．
由于ｆ（ｘ，ｙｏ）＝ｅ＝ｓｉｎｂｙ。，ｆ∽，ｙ）：ｅｑｓｉｎｂｙ，则
吾ｋ等掣ｆ。＝ａ屯ｑｓｉｎｂ如
等ｂ譬产ｆ。曲飞ｑｓｉｎ岍芋，
院出版社．２００６．
社．１９９６．
参考文献：
［１】范培华，李正元，李永乐．考研数学复习全书．国家行政学
［２）同济大学数学教研室．高等数学（下册）．高等教育出版
求偏导数的一种方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘国祥
赤峰学院,数学学院,内蒙古,赤峰,024000赤峰学院学报（自然科学版）JOURNAL OF CHIFENG UNIMERSITY2010，26(5)0次
参考文献(2条)
1. 范培华,李正元,李永乐.考研数学复习全书.国家行政学院出版社.2006.2. 同济大学数学教研室.高等数学(下册).高等教育出版社,1996.
相似文献(10条)
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再谈复合函数求偏导数法则的证明
再谈复合函数求偏导数法则的证明
刘志高 ,张 速 ,袁昌斌
()马鞍山职业技术学院 ,安徽 马鞍山 243011
摘 要 : 文章针对一般书中求复合函数偏导数法则的证明中的一个普遍毛病 , 提出了新
的改正方法 。它具有起点低 、易接受等优点 , 更适宜在教材中使用 。
关键词 :复合函数 ;偏导数
( ) 中图分类 号 : O 172 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 1671 - 1491 2008 05 - 0020 - 01
一般书中求复合函数偏导数法则证明中有一个普遍毛 : 利用上述引理可得如下定理
病 ,其改正的方法中用到了实变函数论中有关“聚点 ”的概 φ ( )Ψ ( )( )定理 若函数 u =x, y及 v =x, y 在点 x, y处的 念和内容 ,对大学一年级新生来说 ,理解较困难 ,教材中不宜 ( ) ( ) 一阶偏导数都存在 , 且 z = f u, v在与点 x, y 所相应的 点 采纳 。事实上 ,可以利用微分来证明求复合函数偏导数的法 ( )φ ( ) Ψ ( ) ( u, v处可微 , 则复合函数 z = f [x, y , x, y ]在点 x,则 。 z 5z 5u 5z 5v 55z 1 间接证法 )=y 处的两个一阶偏导数均存在且 = + , 5x 5u 5x 5v 5x 5y 引理 设一元函数 u =φ( x)与 v =Ψ ( x)在 x处均可导 , 5z 5u 5z 5v . + ( )( )二元函数 z = f u, v在与 x的对应点 u, v处可微 , 则复合函 5u 5y 5v 5y
φ( ) Ψ ( ) 数 z = f [x ,x ]对 x的导数存在 , 且为 () () 这是因为当 z对 x 或 y 求偏导数时 , 应把 y 或 x 看
()成常数 , 此时的 u和 v也只当作是 x 或 y 的一元函数 , 所 5z d u 5z dv d y 以可以运用上述引理而得到本定理的结论 。只不过需要把 + = d x 5u d x 5v dx 公式中相应的导数记号改为偏导数记号 。
ΔΔΔ证明 给 x以增量 x, 则 u、v有相应的增量 u、v, 2 直接证法
ΔΔ( )Δ( ) ( ) 从 而 z = f u, v有全增量 z = f u +v, v +v- f u, v。由 上述定理还可以按如下方法直接证明 。
( )( )引 理的条件知 , z = f u, v在 u, v处可微 , 所以 , ΔΔ证明 给 x以增量 x而固定 y不变即 y = 0, 则 u、v 5z 5z ΔΔ( ) Δ( 有 相应的偏增量 、v, 从而 z = f u, v有偏增量 z = f u ΔΔα(ΔΔ( ) Δ) uv + x x x 当 u, v ? 0, 0 时 , z = + 5u 5v ΔΔ( ) ( ) ( ) + u, v +v- f u, v. 由定理的条件知 , z = f u, v在 u, x x 2 2 (Δ(Δ( ) α ) ) , u+ v※其中 , lim= 0.)v Δu?0 Δv?0 5z 5z (ΔΔ( )Δ) 处可微 , 所以 , 当 u,v? 0, 0 时 ,z = ΔΔu + v x x x x x 5u当 (Δu,Δv) = ( 0, 0 ) 时 , 显然有 Δ = 0, 此时可补充定义 5v
2 2 α ( ) = 0, 于是 ※式仍然成立 .) (Δ α(Δ) α (Δ) ( + u + v? , 其 中 , lim = 0. 当 u, x x x Δ?0ux ΔΔz 5zu 5zΔ?0vx ( ) ΔΔ当 x?0 时 , 用 x 除 ※式 两 边 得 , = + ΔΔx 5ux 5v Δ ) Δ α ( ) v = 0, 0 时 , 显然有 z = 0. 此时可补充定义 = 0, 于是 x x Δαv 2 2 Δz x (Δu) + (Δv) . + ( )( ) ΔΔ?式仍然成立 . 当 x ?0 时 , 用 x 除 ?式两边得 , Δx Δx Δx
φΨ ( ) Δ又因为 u =与 v =x 在 x 处均可导 , 所以当 x ?0 Δ Δu v α 5z5z x x 2 2 (Δ(Δ) ) = + +u+ v. x x ΔΔα 时 , u ? 0, v ? 0, 所 以 , lim = 0, 从 而 有 limΔΔΔ5ux 5vx x Δx?0 Δx?0
φ( )Ψ ( )( ) 又因为 u =x, y 与 v =x, y 在 x, y处关于 x 的偏 α ΔΔ2 2u v 2 2= lim (Δu) + (Δv) ) = 0. α ) (( + ΔΔx x?0 Δx Δx ΔΔαΔ导数均存在 , 所以当 x ?0 时 , u ?0, v ?0, 所以 , lim x x Δx?0 Δdz z 5z du 5z dv (下转第 103页 ) , 从而有 = 0于是 , = lim = + . Δx?0Δdx x 5u dx 5v dx
收稿日期 : 2008 - 02 - 28
作者简介 :刘志高 ( 1975 - ) , 男 , 马鞍山职业技术学院讲师 , 主要从事高等数学的教学与研究 。
第 5期 黄昌海 :试述高师声乐教学中民族语言文化的运用 103
唱法而论 ,应以实际表达作品的 民族内涵和表 现 风 格 为 基 1984.
准 。随着世界音乐文化交流的更加广泛 ,在欣赏和学习西方 高师艺术专业教材艺术概论 [M ]. 北京 : 高等教育 出 [ 2 ] 音乐文化 、现代音乐文化的同时还应想到中国音乐文化遗产 版社 , 1999.
的博大精深 ,不要忘记民族声乐演唱艺术的根本 ,我们要正 沈 湘 . 沈湘声乐教学艺术 [M ]. 上海 : 上海文艺出版 [ 3 ] 确引导现代的青年师生们很好地研究民族语言文化 ,广泛吸 社 , 1998.
维列克 . 音乐心理学与音乐美学 [M ]. 北京 : 人民音乐 收 、融合古典声乐艺术 ,更好地解释中国作品 ,使我们的民族
出版社 , 1963. [ 4 ]
王次 . 音乐美学 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1994. ()音乐文化发扬光大 。 责编 :周 颖
参考文献 : [ 5 ]
[ 1 ] 许 讲 真 . 语 言 与 歌 唱 [ M ]. 上 海 : 上 海 文 艺 出 版 社 ,
In the Voca l ity Tea ch in g, Na t iona l C u lture an d L an gua ge m u st be Va lued
HUAN G Chang - ha i
( )Z hejiang U n iversity of S cience and Techno logy, Q uzhou 324000, C h ina A b stra c t: The N a tiona l L anguage is the ba sis to fo rm na tiona l m u sic style. It is the sou rce of the Voca lity L ine’s deve lopm en t. In the voca lity p rogram of a co llege, to in ten sify teach ing of na tiona l language is ve ry impo rtan t fo r p ub lic izing na tiona l m u sic cu ltu re and in2 sp iring studen ts p a trio tism. F irstly in the teach ing of the na tiona l language and cu ltu re, the con sc iou sne ss of na tiona l language and cu l2 tu re shou ld be se t in ou r hea rt. W e m u st a lso have a deep re sea rch on the style of ou r na tiona l m u sic. The cha rac te ristic of Ch ine se m u2 sic p roduc ts’singing style m u st be exac tly m a ste red. Second ly we m u st se ize wo rd s, ta ste, sound, fee ling and p e rfo rm ance in the sing2 ing. Th ird ly we m u st deve lop ou r know ledge of na tiona l language and cu ltu re.
Key word s:N a tiona l L anguage; M u sic Style; Ch ine se Cu ltu re; Singing Techn ique
()上接第 96页
师实施新课程改革的主阵地 ,新课程的理念需要通过教师转 ,在教材内容 、课时要求和教学实际之间仍存在矛盾 ,往 但是 变为现实的行动 。对教师而言 ,教材是教师实施教学的主要 往给教师带来困惑 ,尤其是教学情境创设的有效性 、教学方 资源 ,是实现课程目标的重要载体 ,教师利用新课标教材在 式的选择 、教学 要 求 把 握 以 及 课 时 紧 张 等 方 面 常 常 让 教 师 实施教学的过程中 ,对教材变化内容的处理 ,反映出教师是 “伤脑筋 ”。 否理解和把握教材基本理念 ,也反映出整个数学课程改革是 课程改革是一个不断磨合 、调整和推进的过程 ,数学 教 否真正被理解和实施 ,所提出的理念是否已经深入人心 。这 材作为数学课程改革的重要载体 ,需要我们在教学实践中不 一课例作为高中数学新课程的一堂“推门课 ”,应该具有典型 断琢磨 、深刻领会 。 性和代表性 ,通过本课例可以辐射出教师的数学观 、教学观 、 ()责编 :周 颖 教材观正在悄悄的变化 , 新课程的理念正在逐步深入人心 。
()上接第 20页
接受 。上述证明过程中充分利用了微分 、导数 、偏导数的 定
义 ,也体现了定义的重要性 ,这对于学生深刻理解定义是十 α 2 2lim = (Δ u ) + (Δ v) x x 分有益的 。因此 , 本文的证法更适宜在教材中使用 。 Δx?0 Δx ()责编 :杨春雁 Δ u Δ v x x 22 lim = 0 ( ) ( )α+ Δ参考文献 : x?0 Δ Δ x x
Δz 5z x 5z 5u 5z 5v 5z 5z [ 1 ] 孙家永 . 复合函数求偏导数法则的证明一般书中都有 于是 ,= lim=+类似可证得 = . Δx?0Δ5x x 5u 5x 5v 5x 5y 5u ( ) 毛病 [ J ]. 高等数学研究 , 2007, 10 2: 38 - 40. 盛祥耀 .
高等数学 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 2004. 同济大学 5u 5z 5v + .[ 2 ] () 5y 5v 5y 应用数学系 . 高等数学 第五版 [M ]. 北京 : 高等教育[ 3 ] 出版社 , 2003. 上述直接证法与间接证法本质上是一样的 。但在多年
的教学实践中 ,我们发现对于间接证法 ,学生更易于理解和
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考研数学：求偏导数的三种方法分析
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考研数学:求偏导数的三种方法分析
来源:文都教育
高等数学的内容基本可划分为一元函数和多元函数两大块，其中多元函数包括多元函数微分学和多元函数积分学，而偏导数的计算是多元函数微分学的基础。所谓偏导数就是将多元函数中的某个自变量看作变量，而将其它自变量看作常量，对该变量的导数就称为多元函数对它的偏导数。计算偏导数的方法有多种，下面文都教育的蔡老师对这些不同的方法做些分析和比较，供学习高等数学和复习考研数学的同学们参考。
一、求偏导数的三种方法
求多元函数在某点处的偏导数有以下三种方法:
fxyfxy(,)(,),000,1)定义求导:按偏导数的定义计算，(或fxy(,)lim,x00,xx0xx,0
fxxyfxy(,)(,)，,,0000,x，也可用字母表示，如:等)， limthx,,,,x0,x
fxyfxy(,)(,),fxyyfxy(,)(,)，,,0000000,(或); limfxy(,)lim,y00,,,yyy00,yyy,0
2)先求导后代值:先求偏导数，再代入该点坐标，即先按偏导数的运算法则求
,,,,出和fxy(,)，再将用代入得和fxy(,); fxy(,)(,)xyfxy(,)(,)xyyy00x00x00
3)先代值后求导:先将非偏导变量的值代入，再按一元函数求导数的方法求导，即先将yy,代入得，再按一元函数对求导的方法计算zfxy,(,)xzfxy,(,)00
,,fxy(,)得fxy(,)，同理可求. y00x00
二、典型题型分析
,,ff24例1. 设，求. fxyxyy(,),，，,,,xy(0,0)(0,0)
ffff,,,,32,41xy 解:先求偏导再代值:，. ,,，0,1 ,,xy,,xy,,(0,0)(0,0)注:此题也可按另外两种方法计算。
xy,,(,)(0,0)xy,,f,f,22xy例2. 已知，求，. ，fxy(,),,,x,y(0,0)(0,0), 0,(,)(0,0)xy,,
,,ffxf(,0)(0,0)0,f,,,limlim0解:由偏导数的定义得，同理. ,0xx,,00,xxx,y(0,0)(0,0)
官网:http://kaoyan.wendu.com/ 2017考研交流学习群:318363662
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,f,f也可按先代值再求导的方法计算:由，所以，同理. ,0fx(,0)0,,0,x,y(0,0)(0,0)注:此题中函数是一个分段函数，不能像普通函数那样先求偏导再代值计算。
24,,ffxy，例3. 设，求. fxye(,),,,,xy(0,0)(0,0)
xx,,,ffxfe(,0)(0,0)1解:由偏导数的定义得不存在， ,,,limlimlim,,,000xxx,xxxx(0,0)
2y2,,,ffyfey(0,)(0,0)1. ,,,,limlimlim0,,,yyy000,yyyy(0,0)
24,fxxy，注:此题不能先求偏导再代值，因为:，,,e24,xxy，
324,fy2xy，,,e，将(0,0)代入时代数式无意义。 24,yxy，
yxy，e,z22x,例4. 设，则 . zxxy,，(),x(1,0)
3,zdzxdx(,0)3,,,3解:先代值再求导:，. zxx(,0),,xdxdx(1,0)1x,x,1
注:此题若按先求导再代值的方法计算，则很麻烦。
zyuuu(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) 例5. 设，求. uxyzx(,,),xyz
解:方法1(先代值再求导):由得u(1,1,1)1,，由得uxx(,1,1),uy(1,,1)1,x
u(1,1,1)0,u(1,1,1)0,，同理可得; yz
zzyz,1zy,1uxxzy,,lnu(1,1,1)1,方法2(先求导再代值):由得，由得uyx,,yxx
zyzu(1,1,1)0,u(1,1,1)0,，由得. uxxyy,,lnlnyzz
比较上面两种方法，对于本题来讲，显然方法1比方法2简捷。此题若按偏导定义求导，则再其它点处计算较麻烦。
从前面的分析和典型例题看到，求多元函数在某点处的偏导数可以使用三种方法，即:按定义求导、先求导后代值和先代值后求导，但要注意的是，并不是所有问题都可以同时使用这三种方法，有些问题只能使用其中的一种或两种方法，另外，有些问题使用某种方法很简单，但使用其它方法却很麻烦，因此，同学们在具体计算时要选择恰当的方法和灵活运用。
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§7 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
?10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
10.1 用Mathematica作三维函数图
在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。
1 常用的三维绘图函数
f(x,y)Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作的图形。
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。 Show[f1,f2,f3,?]: 将多个图形组合重新显示。
2 常用的可选项
Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。
表10-1 常用的可选项
可选项 默认值 说明
是否绘制坐标轴 Axes True
坐标轴的名称。zlabel为z轴的label,即z轴的Axeslable None
标注，label{xlabel,ylabel,zlabel}分别为轴，x
轴,轴的标注 yz
作图高、宽比例，可以说明为任意值 AspectRatio 1
绘制外框。定义False则不绘制外框 Boxed True
显示图形模式，定义Identity不显示图形 Displayfunction $Displayfunction
方向的绘图范围 PlotRange Automatic z
表面不上色或留白 Shading True
观测点(眼睛观测的位置) ViewPoint {1.3,-2.4,2}
选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值:
第 943 页 共 13 页
表10-2 典型的ViewPoint值
ViewPoint值 观测点的位置
{1.3,-2.4,2} 默认观测点
{0,-2,0} 从前方看
{0,0,2} 从上往下看
{0,-2,2} 从前方上面往下看
{0,-2,-2} 从前方下面往上看
{-2,-2,0} 从左前方看
{2,-2,0} 从右前方看
22z,sinx，y例10.1 画出函数图形，并使图形表面不上色。
解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]
1
0.560
-0.54-1
00
222
44
066 Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False]
第 944 页 共 13 页
1
0.560
-0.54-100
222
44
066
Out[2]= -SurfaceGraphics-
z,sinxcosy例10.2 画出函数图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}] 1
0.5z60
-0.54-100y
222
44xx
066
Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,ViewPoint->{,1,-1,2}]
第 945 页 共 13 页
10.50-0.5z-1666
444
yxx222
000
Out[2]= -SurfaceGraphics-
例10.3 画一单位双曲面。
解 首先，写出单位双曲面的参数方程
x=Cosh[u]*Cos[v]
y=Cosh[u]*Sin[v]
z=u
In[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi},
{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}]
2
1z0
-12
-20y-2-2
-200
xx22
Out[1]= -Graphics3D-
222xyz，，,1例10.4 画出函数图形。 4316
第 946 页 共 13 页
解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u]},{u,0,Pi},
{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{x, y, z}]
x-2-1220yy1200
-2-2
4
2
z0
-2
-4
Out[1]= -Graphics3D-
In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}]
2
1
0x-1
-2-422-2000yy-2-22z 4
Out[2]=-Graphics3D-
22x，2y,0例10.5 画出由与所围的立体图形。 (x,1)，y,1
解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisplayFunction->Identity];
a2=ParametricPlot3D[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5},
DisplayFunction->Identity];
a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisplayFunction->Identity];
Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{x, y},AspectRatio->Automatic,
PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction]
第 947 页 共 13 页
4
32z2
110
-1-1y
000
11xx
-122
Out[1]= -Graphics3D-
9.2 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
函数实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n个不是x的函数，在Dt,,x^n,x
DtMathematica中，它有一个函数，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都
,fdf有联系。在Mathematica的说明中，代表了，而则代表了。可以认D,,f,xDt,,f,x,xdxDt为表示了“全微分”。
例如:
df1. 下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，则代表了。 Dt,,f,xdx
In[1]:,Dt[x^n,x]
nnOut[1],x(，Dt[n,x]log[x])x
dx2. 下面是一个全微分。其中代表了。 Dt,,f,x
In[2]:,Dt[x^n]
nDt[x]nOut[2],x(，Dt[n]log[x])x
注:在Mathematica中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示:
表10-3 部分的微分函数
第 948 页 共 13 页
函数及其表达式 函数功能说明
的偏微分 关于x D,,f,x
x1,x2等的混合偏微分 Dfxx,1,2,L关于或 Dt,,f,x1,x2,？[]
的阶偏微分 关于xn轾Dfxn,,或 ，，Dt,,f,x,n()臌
函数的全微分 Dt,,f
的全微分 关于变量x Dt,,f,x
例10.6 求下列函数对x的偏导数
x，y22，，u,lnx，x，yu,arctg1. ; 2. ; 1,xy
zysin,,xx,,3. ; 4. u=。 u,e,,y,,
解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ],x];
Simplify[%] (*通常Mathematica不自动化简微
分结果，要借助于Simplify函数*)
1Out[1]= 22x，y
第 949 页 共 13 页
In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x];
Simplify[%]
21，yOut[2]= 222)1,4xy,y，x(,1，y
In[3]: = D[E^Sin[y/x],x];
Simplify[%]
y，，Sin,,y，，x，，eyCos,,x，，Out[3]= ,2x
In[4]: = D[(x/y)^z,x];
Simplify[%]
z,,x,,z,,y,,Out[4]= x
26,z,z,z,z33例10.7 设，求，， ，。 z,xsiny，ysinx233x,1,,y,y,x,xyy,1
解 In[1]:= Clear[z,x,y];
z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/
D[z[x,y],y]
32Out[1]= xCos[y]，3ySin[x]
In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/
Cos[1]，3Sin[1]Out[2]=
In[3]:= D[z[x,y],{x,2}]
3Out[3]= ,ySin[x]，6xSin[y]
In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}]
,6Cos[x]，6Cos[y]Out[4]=
2u,z,z,z2z,xlny,x,,y,3u,2v例10.8 设，求，，。 2y,v,u,v
解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v;
第 950 页 共 13 页
y[u_,v_]:=3u-2v;
z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]];
D[z[x,y],u];
Simplify[%]
3uu(，2Log[3u,2v])3u,2vOut[1]= 2v
In[2]:= D[z[x,y],v];Simplify[%]
v22u(,Log[3u,2v])3u,2vOut[2]= v3
In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simplify[%]
222u(6u,5v)v，3(3u,2v)Log[3u,2v])Out[3]= 24(3u,2v)v
z,f(2x,y)，g(x,xy)guv(,)ft()例10.9 设，其中函数二阶可导，具有二
22,z,z,z阶连续的偏导数，求，，。 2,x,x,x,y
解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x]
(0,1)(0,1)Out[1]= 2f'[2x,y]，yg[x,xy]，g[x,xy]
In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}] Out[2]=
(1,1)(0,2)(1,1)(2,0) 4f''[2x,y]，yg[x,xy]，y(yg[x,xy]，g[x,xy])，g[x,xy]In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y]
(0,1)(0,2)(1,1)Out[3]= ,2f''[2x,y]，g[x,xy]，xyg[x,xy]，xg[x,xy])
,g,g,g,g(2,0)(1,0)(0,1)(1,1)g[u,v]为g[u,v]为g[u,v]为其中，，，，g[u,v]为2,u,v,u,v,u
,g(0,2)。 g[u,v]为2,v
y,z,z例10.10 已知函数，证明x，y,z，xy。 z,xy，xF(),x,yx
第 951 页 共 13 页
解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x];
D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y;
Simplify[%]
Out[1]= 0
例10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数:
ydx22x，y,arctg1(， 求。 lndyx
vv,u,u,v,vx,ucos,y,usin2(，求，，，。 ,y,yuu,x,x
解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTanh[y[x]/x];
D[eq1,x];
Solve[%,y′ [x]];
Simplify[%]
3223,,,,，,，xxy[x]xy[x]y[x],y'[x]Out[1]= ,,,,3223,，，xxy[x]xy[x]y[x],,,,
In[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x];
Simplify[Solve[%,{u′ [x],v′[x]}]]
,,v[x],,Cos[]v[x],,,,v[x]v[x]u[x],,,,u'[x],Cos[],v'[x],,Sin[]，Out[2]= ,,,,u[x]u[x]u[x],,,,
,,,,,,,,
In[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y];
Simplify[Solve[%,{u′ [y],v′[y]}]]
,,v[y],,Sin[]v[y],,,,v[x]v[y]u[y],,,,u'[y],Sin[],v'[y],Cos[]，Out[3]= ,,,,u[x]u[y]u[y],,,,
,,,,,,,,
例10.12 求下列极值问题:
31(函数. f(x,y),x，3xy,15x,12y
第 952 页 共 13 页
22222(求函数，在上的最大最小值. f(x,y),x，y,12，16yx，y,25
解 1( In[1]:= Clear[x,y,z,a,b,c,d,t];
f[x_,y_]:=x^3+3*x*y^2-15x-12y;
a=D[f[x,y],{x,2}];
b=D[f[x,y],x,y];
c=D[f[x,y],{y,2}];
d=a*c-b^2;
t=Slove[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}];
l=Length[t]l
For[i=1,i<=1,i++,>
Print[t[[i]];
d1=d/.t[[i]];
a1=a/.t[[i]];
z=f[x,y]/.t[[i]];
Which[d1>0&&a1<0,print[“fmax=”,z],>
d1>0&&a1>0,Print[“fmin=”,z],
d1= =0,Print[“No Sure”,z],
d1= =0,Print[No]]
]
Out[1]= {x->-2,y->-1}
fmax=28
{x->-1,y->-2}
No
{x->1,y->2}
No
{x->-2,y->-1}
fmin=-28
22fxy(,)2( 先求在圆域内的最大最小值: x，y,25
第 953 页 共 13 页
In[2]:= f[x_,y_]:=x^2+y^2-12x+16y;
t=Solve[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}]
Out[2]=
{{x->6,y->-8}} (*驻点*) In[3]:= x^2+y^2-25/.t[[1]]
Out[3]=
75
22该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆上的最x，y,25
22值。这是在约束条下的条件极值,用Lagrange乘数法求解。 x，y,25
In[4]:= Clear[x,y,F,t];
F[x_,y_,t_]:=f[x,y]+t(x^2+y^2-25);
s=Solve[{D[f[x,y,t]==0,D[f[x,y,t]==0,y],D[F[x,y,t]= =0,t]],{x,y,t}}
Out[4]=
{{t->-3,x->-3,y->4},{t->1,x->3,y->-4}}
In[5]:= F[x,y]/.s[[1]]
Out[5]=
25
In[6]:= F[x,y]/.s[[2]]
Out[6]=
-75
第 954 页 共 13 页
练习10.1
1 求下列函数的偏导数。
1xyz,e) (2) (1z,22x，y
yzxz(3) u,，, (4) u,(xy)xxz
2 求下列函数的偏导数或导数。
dzx(1) 设，求。 z,arctg(xy),y,edx
33,z,zz,xln(xy),(2) 设求， 22,xy,xy
,zu,z2(3) 设求，。 z,xlny,x,,y,3u,2v,,u,vv
,u,uxy,u(4) 设，求，，。 u,f(,),yyz,z,x
x(5) 设，求。 z,f(x，y,xy,)z,z,zxxxxyy
3 求下列方程所确定的隐函数的导数。
dy223(1) ，求。 xy，3xy,4,0dx
,z,z,xyze,2z，e,0(2) ，求，。 ,y,x
,z,x,zz,f(x，y，z,xyz),(3) 求，，。 ,y,y,x
dydz222222(4) ，求，。 x，y，z,a,x，y,axdxdx
224 求函数的极值。 f(x,y),x，5y,6x，10y，6
22225 求函数，在范围内的最大最小值。 {(x,y)|x，y,4}z,x,y
第 955 页 共 13 页
用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
?10 用Math?emati?ca求偏导?数与多元函?数的极值
10.1 用Math?emati?ca作三维?函数图
在多元函数?微积分中，作图可以使?得问题更为?直观，易于理解。这里首先给?大家介绍“用Math?emati?ca作三维?函数图”。
1 常用的三维?绘图函数
Plot3?D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作的图形。 f(x,y)
Param?etric?Plot3?D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数?方程的图形?。 Show[f1,f2,f3,?]: 将多个图形?组合重新显?示。
2 常用的可选?项
Plot3?D函数有许?多可选项可?以用来修饰?三维图形的?外观。可以借助于?可选项改变?图形的外观?，以便于观察?。
表10-1 常用的可选?项
可选项 默认值 说明
是否绘制坐?标轴 Axes True
Axesl?able 坐标轴的名?称。zlabe?l为z轴的label??,即z轴的None
标?注，label?{xlabe?l,ylabe?l,zlabel?}分别为轴，x
y轴,轴的标注 z
Aspec?tRati?o 作图高、宽比例，可以说明为?任意值 1
Boxed? 绘制外框。定义Fal?se则不绘?制外框 True
Displ?ayfun?ction? $Displ?ayfun?ction? 显示图形模?式，定义Ide?ntity?不显示图形?
PlotR?ange Autom?atic 方向的绘图?范围 z
Shadi?ng 表面不上色?或留白 True
Viewp?oint 观测点(眼睛观测的?位置) {1.3,-2.4,2}
选择合适的?观测点在也?有助于观察?图形，下面是典型?的View?Point?值:
第 943 页 共 13 页
表10-2 典型的Vi?ewPoi?nt值
ViewP?oint值 ?观测点的位?置
{1.3,-2.4,2} 默认观测点 ?
{0,-2,0} 从前方看
{0,0,2} 从上往下看 ?
{0,-2,2} 从前方上面?往下看
{0,-2,-2} 从前方下面?往上看
{-2,-2,0} 从左前方看 ?
{2,-2,0} 从右前方看 ?
22z,sinx，y例10.1 画出函数图?形，并使图形表?面不上色。
解 In[1]:= Plot3?D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]
1
0.560
-0.54-1
00
222
44
066 Out[1]= -Surfa?ceGra?phics?-
In[2]:= Show[%,Shadi?ng->False?]
第 944 页 共 13 页
1
0.560
-0.54-100
222
44
066 Out[2]= -Surfa?ceGra?phics?-
例10.2 画出函数图?形，并使调整图?形观测点观?察图形是否?对称。 z,sinxcosy
解 In[1]:= Plot3?D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesL?abel->{“x”,”y”,”z”}]
1
0.5z60
-0.54-100y
222
44xx
066 Out[1]= -Surfa?ceGra?phics?-
In[2]:= Show[%,ViewP?oint->{,1,-1,2}]
第 945 页 共 13 页
10.50-0.5z-1666
444
yxx222
000
Out[2]= -Surfa?ceGra?phics?-
例10.3 画一单位双?曲面。
解 首先，写出单位双?曲面的参数?方程
x=Cosh[u]*Cos[v]
y=Cosh[u]*Sin[v]
z=u
In[1]:=Param?etric?Plot3?D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi},
{v,-Pi,Pi},AxesL?abel->{“x”,”y”,”z”}]
2
1z0
-12
-20y-2-2
-200
xx22
Out[1]= -Graph?ics3D?-
222xyz，，,1例10.4 画出函数图?形。 4316
第 946 页 共 13 页
解 In[1]:=Param?etric?Plot3?D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u],{u,0,Pi},
{v,-Pi,Pi},AxesL?abel->{“x”,”y”,”z”}]
x-2-1220yy1200
-2-2
4
2
z0
-2
-4
Out[1]= -Graph?ics3D?-
In[2]=: Show[%,ViewV?ertic?al->{1,0,0}]
2
1
0x-1
-2-422-2000yy-2-22z 4
Out[2]=-Graph?ics3D?-
22例10.5 画出由与所?围的立体图?形。 x,3y,0x，y,1
解 In[1]:= a1=Plot3?D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisPl?ayFun?ction?->Ident?ity];
a2=Prame?tricP?lot[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5},
DisPl?ayFun?ction?->Ident?ity];
a3=Plot3?D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisPl?ayFun?ction?->Ident?ity];
Show[a1,a2,a3,AxesL?abel->{“x”,”y”},Aspec?tRati?o->Autom?atic,
PlotR?ange->{0,4},Displ?ayFun?ction?->$Displ?ayFun?ction?]
第 947 页 共 13 页
4
32z2
110
-1-1y
000
11xx
-122
Out[1]= -Graph?ics3D?-
9.2 用Math?emati?ca求偏导?数与多元函?数的极值
函数实际上?给出了偏导?数，在这个表达?式中，假设n个不?是x的函数?，在,,Dtx^n,x
DtMath?emati?ca中，它有一个函?数，它代表的是?全微分，在这个函数?中，所以的变量?都
,fdf有联系。在Math?emati?ca的说明?中，代表了，而则代表了?。可以认,,,,Df,xDtf,x,xdx
Dt为表?示了“全微分”。
例如:
df1. 下面给出了?一个全微分?，其中n是x?的函数，则代表了。 ,,Dtf,xdx
In[1]:,Dt[x^n,x]
nnOut[1],x(，Dt[n,x]log[x])x
dx2. 下面是一个?全微分。其中代表了?,,Dtf,x。
In[2]:,Dt[x^n]
nDt[x]nOut[2],x(，Dt[n]log[x])x
注:在Math?emati?ca中，还是有些微?分函数用于?直接计算的?，如下表所示?:
表10-3 部分的微分?函数
第 948 页 共 13 页
函数及其表?达式 函数功能说?明
分 关于的偏微?x ,,Df,x
合偏微分 关于等的混?x1,x2或 Dfxx,1,2,L,,Dtf,x1,x2,？[]
微分 关于的阶偏?xn轾或 Dfxn,,,,，，Dtf,x,n()臌
函数的全微?分 ,,Dtf
全微分 关于变量的?x ,,Dtf,x
例10.6 求下列函数?对x的偏导?数
x，y22，，u,lnx，x，y1. ; 2. ; u,arctg1,xy
zysin,,xx,,3. ; 4. u=。 u,e,,y,,解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ;
Simpl?ify[%]
(*通常Mat?hemat?ica不自?动化简微
分?结果，要借助于S?impli?fy函数*)
1Out[1]= 22x，y
第 949 页 共 13 页
In[2]: = D[ArcTa?nh[(x+y)/(1-x*y)],x];
Simpl?ify[%]
21，yOut[2]= 222)1,4xy,y，x(,1，y
In[3]: = D[E^Sin[y/x],x];
Simpl?ify[%]
y，，Sin,,y，，x，，eyCos,,x，，Out[3]= ,2x
In[4]: = D[(x/y)^z,x];
Simpl?ify[%]
zx,,z,,,,y,,Out[4]= x
26,z,z,z,z33例10.7 设，求，， ，。 z,xsiny，ysinx233x,1,,y,x,y,xyy,1
解 In[1]:= Clear?[z,x,y];
z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函?数.*/
D[z[x,y],y]
32Out[1]= xCos[y]，3ySin[x]
In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变?量赋值.*/
Out[2]= Cos[1]，3Sin[1]
In[3]:= D[z[x,y],{x,2}]
3Out[3]= ,ySin[x]，6xSin[y]
In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}]
Out[4]= ,6Cos[x]，6Cos[y]
2,zu,z,z2z,xlny,x,,y,3u,2v例10.8 设，求，，。 2,u,v,vy
解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v;
第 950 页 共 13 页
y[u_,v_]:=3u-2v;
z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]];
D[z[x,y],u];
Simpl?ify[%]
3uu(，2Log[3u,2v])3u,2vOut[1]= 2v
In[2]:= D[z[x,y],v];Simpl?ify[%]
v22u(,Log[3u,2v])3u,2vOut[2]=
v3
In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simpl?ify[%]
222u(6u,5v)v，3(3u,2v)Log[3u,2v])Out[3]= 24(3u,2v)v
例10.9 设，其中函数二?阶可导，具有二z,f(2x,y)，g(x,xy)ft()guv(,)
22,z,z,z阶连?续的偏导数?，求，，。 2,x,x,x,y
解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x]
(0,1)(0,1)Out[1]= 2f'[2x,y]，yg[x,xy]，g[x,xy]
In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}] Out[2]=
(1,1)(0,2)(1,1)(2,0) 4f''[2x,y]，yg[x,xy]，y(yg[x,xy]，g[x,xy])，g[x,xy]In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y]
(0,1)(0,2)(1,1)Out[3]= ,2f''[2x,y]，g[x,xy]，xyg[x,xy]，xg[x,xy])
,g,g,g,g(2,0)(1,0)(0,1)(1,1)g[u,v]为g[u,v]为g[u,v]为g[u,v]为其中，，，，2,u,v,u,v,u
,g(0,2)g[u,v]为。 2,v
y,z,zz,xy，xF()x，y,z，xy例10.10 已知函数，证明。 x,x,y
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解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x];
D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y;
Simpl?ify[%]
Out[1]= 0
例10.11 求由下列方?程所确定的?隐函数和导?数或偏导数?:
ydx22x，y,arctg1(， 求。 lnxdy
vv,u,v,u,vx,ucos,y,usin2(，求，，，。 uu,x,x,y,y
解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTa?nh[y[x]/x];
D[eq1,x];
Solve?[%,y′?[x]];
Simpl?ify[%]
3223,,,,，,，xxy[x]xy[x]y[x]Out[1]= , y'[x],,,,3223,，，xxy[x]xy[x]y[x],,,,
In[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x];
Simpl?ify[Solve?[%,{u′?[x],v′[x]}]]
,,v[x],,Cos[]v[x],,,,v[x]v[x]u[x],,,,Out[2]= u'[x],Cos[],v'[x],,Sin[]，,,,,u[x]u[x]u[x],,,,
,,,,,,,,
In[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y];
Simpl?ify[Solve?[%,{u′?[y],v′[y]}]]
,,v[y],,Sin[]v[y],,,,v[x]v[y]u[y],,,,u'[y],Sin[],v'[y],Cos[]，Out[3]= ,,,,u[x]u[y]u[y],,,,
,,,,,,,,
例10.12 求下列极值?问题:
31(函数. f(x,y),x，3xy,15x,12y
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22222(求函数，在上的最大?最小值. f(x,y),x，y,12，16yx，y,25
解 1( In[1]:= Clear?[x,y,z,a,b,c,d,t];
f[x_,y_]:=x^3+3*x*y^2-15x-12y;
a=D[f[x,y],{x,2}];
b=D[f[x,y],x,y];
c=D[f[x,y],{y,2}];
d=a*c-b^2;
t=Slove?[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}];
l=Lengt?h[t]l
For[i=1,i<=1,i++,>
Print?[t[[i]];
d1=d/.t[[i]];
a1=a/.t[[i]];
z=f[x,y]/.t[[i]];
Which?[d1>0&&a1<0,print?[“fmax=”,z],>
d1>0&&a1>0,Print?[“fmin=”,z],
d1= =0,Print?[“No?Sure”,z],
d1= =0,Print?[No]]
]
Out[1]= {x->-2,y->-1}
fmax=28
{x->-1,y->-2}
No
{x->1,y->2}
No
{x->-2,y->-1}
fmin=-28
22fxy(,)2( 先求在圆域?内的最大最?小值: x，y,25
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In[2]:= f[x_,y_]:=x^2+y^2-12x+16y;
t=Solve?[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}] Out[2]=
{{x->6,y->-8}} (*驻点*) In[3]:= x^2+y^2-25/.t[[1]]
Out[3]=
75
22该驻点在圆?外，圆内无驻点?，故不取极值?。下面考虑圆?上的最x，y,25
22值。这是在约束?条下的条件?极值,用Lagr?ange乘?数法求解。 x，y,25
In[4]:= Clear?[x,y,F,t];
F[x_,y_,t_]:=f[x,y]+t(x^2+y^2-25);
s=Solve?[{D[f[x,y,t]==0,D[f[x,y,t]==0,y],D[F[x,y,t]= =0,t]],{x,y,t}}
Out[4]=
{{t->-3,x->-3,y->4},{t->1,x->3,y->-4}}
In[5]:= F[x,y]/.s[[1]]
Out[5]=
25
In[6]:= F[x,y]/.s[[2]]
Out[6]=
-75
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练习10.1
1 求下列函数?的偏导数。
1xy(1) (2) z,ez,22x，y
yzxz(3) (4) u,，,u,(xy)xxz
2 求下列函数?的偏导数或?导数。
dzx(1) 设，求。 z,arctg(xy),y,edx
33,z,z(2) 设求， z,xln(xy),22,xy,xy
u,z,z2(3) 设z,xlny,x,,y,3u,2v,求，。 ,u,vv
,u,uxy,u(4) 设，求，，。 u,f(,),z,x,yyz
x(5) 设，求z,z,z。 z,f(x，y,xy,)xxxxyy
3 求下列方程?所确定的隐?函数的导数?。
dy223(1) ，求。 xy，3xy,4,0dx
,z,z,xyze,2z，e,0(2) ，求，。 ,x,y
,z,x,z(3) 求，，。 z,f(x，y，z,xyz),,x,y,y
dydz222222(4) ，求，。 x，y，z,a,x，y,axdxdx
224 求函数的极?值。 f(x,y),x，5y,6x，10y，6
22225 求函数，在范围内的?最大最小值?。 z,x,y{(x,y)|x，y,4}
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