一、反函数的导数

I 设x =?(y ) 是直接函数，y =f (x ) 是它的反函数，假定x =?(y ) 在y 内单调、可导，而且?'(y ) ≠0，则反函数y =f (x ) 在间

I x ={x |x =?(y ) , y ∈I y }

f '(x ) =

证明： ?x 内也是单调、可导的，而且 1?'(y ) (1) ∈I x ，给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x )

由 y =f (x ) 在 I x 上的单调性可知

?y =f (x +?x ) -f (x ) ≠0

?y 1=?x ?x I ?y 因直接函数x =?(y ) 在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数y =f (x ) 在x 上也是连续的，当?x →0时，于是

必有?y →0

?y 11=lim =?x →0?x ?y →0?x 1?'(y ) f '(x ) =?y ?'(y ) 即：lim

【例1】试证明下列基本导数公式 -x 2

1(2). (arctgx ) '=1+x 2

1(3). (log a x ) '=x ln a

证1、设x =sin y 为直接函数，y =arcsin x 是它的反函数 (1). (arcsin x ) '=1

I y =(-, x =sin y 22上单调、可导，且 x '函数 在

因此，在 ππ=cos y ≠0 I x =(-1, 1) 上， 有 1

cos y (arcsin x ) '=

y ∈(-22cos y =-sin y =-x cos y >022时，注意到，当， ππ

(arcsin x ) '=

因此， 1-x 2

证2 设x =则tgy ，I y =(-2, 2) y =arctgx ，I x =(-∞, +∞)

x '=1>02cos y ππx =tgy 在 I y 上单调、可导且

(arctgx ) '=

故

111=cos 2y ==(tgy ) '1+tg 2y 1+x 2

(log a x ) '=

证3 111==(a y ) 'a y ln a x ln a

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos x ) '=-1

-x 2

1(arcctgx ) '=-1+x 2

1(ln x ) '=x

二、复合函数的求导法则

u =?(x 0) 可导，则复合函数y =f [?(x ) ]在点x 0可导，且导数为 如果u =?(x ) 在点x 0可导，而y =f (u ) 在点0

dy =f '(u 0) ??'(x 0) dx x =x 0

lim ?y =f '(u 0) ?u →0?x 证明：因，由极限与无穷小的关系，有

?y =f '(u 0) ?u +α??u (当?u →0时, α→0)

用?x ≠0去除上式两边得：

?y ?u ?u =f '(u 0) ?+α??x ?x ?x

由u =?(x ) 在x 0的可导性有：

?x →0??u →0， ?x →0

lim lim α=lim α=0?u →0 ?y ?u ?u =lim [f '(u 0) ?+α?]?x →0?x ?x →0?x ?x

?u ?u =f '(u 0) ?lim +lim α?lim ?x →0?x ?x →0?x →0?x

=f '(u 0) ??'(x 0) dy =f '(u 0) ??'(x 0) dx x =x 0即

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

I 若u =?(x ) 在开区间x 可导，y =f (u ) 在开区间I u 可导，且?x ∈I x 时，对应的 u ∈I u ，则复合函数y =f [?(x ) ]在I x 内可导，且

dy dy du =?dx du dx (2)

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】y =dy f {?[φ(x ) ]}，求 dx

=φ(x ) ，u =?(v ) ，于是 y =f (u ) 引入中间变量， 设 v

变量关系是 y -u -v -x ，由锁链规则有：

dy dy du dv =??dx du dv dx

(2)、用锁链规则求导的关键

引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

dy

【例3】求y =sin2x 的导数dx 。

解：设 u =2x ，则y =sin u ，u =2x ，由锁链规则有：

dy

dx =dy du

du ?dx =(sinu ) '?(2x ) '=(cosu ) ?2=2cos 2x

y =ln tg x dy

【例4】 设 2，求dx 。

dy dy du dv 1=1?1?1

由锁链规则有 dx =du ?dv ?dx =u ?1

cos 2v ?1

2 tg x 2 (基本初等函数求导) 2cos x 2

2

由上例，不难发现复合函数求导窍门

中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：

dy x 1x

dx =(ln tg 2) '=1?1?x

tg ?(tg 2) '=2tg 2cos 2(2) '

2

=1?1?1?(x ) '1

tg x x =1

2cos 2x 2=x

2tg 2?cos 2?2sin x

2

【例5】证明幂函数的导数公式 (x μ) '=μ?x μ-1，(μ为实数) 。

证明：设y =x μ=e μ?ln x

y '=e μln x ?(μln x ) '=e μln x ?μ?1=μ?x μ-1

x

=1消中间变量) sin x (

反三角函数求导公式证明

?2.3 反函的导～导合函的求导法导数数数

一、反函的导数数

I导是直接函～数是的反函～假定它数在内导导、可导～而且～导反函数在导′x=?(y)y=f(x)x=?(y)?(y)?0y=f(x)y

I={x|x=?(y),y?I}内也是导导、可导的～而且xy

1′f(x)= (1)′?(y)

(?x?0,x+?x?I)??xI导明, ～导以增量x?xxx

I由 在 上的导导性可知y=f(x)x

?y=f(x+?x)?f(x)?0

1?y=?x?x于是因直接函数在上导导、可导～故是导导的～且反函它数在上也是导导的～当导～必有

IIx=?(y)y=f(x)?yy?x?0x

?y?0

?y11lim=lim=?x?0?y?0?x1′?x?(y)即,′f(x)=′?y?(y)【例1】导导明下列基本导公式数

1=().(arcsin)1x′21x?

1().()2arctgx21x=′x

+1().(log)3a

xalnx=sinyy=arcsinx导1、导导直接函～数是的反函它数=′

ππI=(?,)函 数在 上导导、可导～且 yxy=?cos0′x=siny22

I=(?1,1)因此～在 上～ 有x

1′(arcsinx)= cosy

ππy?(?,)22注意到～当导～～cosy=1?siny=1?xcosy>022

1′=(arcsinx)因此～21?x

ππI=(?,)导2导～yxtgy=22

yarctgx=I=??+?(,)导～x

1′x=>0 在 上导导、可导且 2Ix=tgycosyy

1112′(arctgx)==cosy==故22′(tgy)1+tgy1+x

111x′(loga)===导3yy′(a)alnaxlna

导似地～我导可以导明下列导公式,数

1(arccos)x=?′2x1?

1()arcctgx2=?′x1+1(ln)x

x=′二、导合函的求导法导数

xxu=(x)?如果在点可导～而在点可导～导导合函数在点可导～且导导数u=?(x)y=f(u)y=f[?(x)]0000

dy′′=f(u)??(x)00dxx=x0

?y′lim=f(u)导明,因～由限无导小的导系～有极与00?u?x?

′?y=f(u)?u+α??u(当?u?0导,α?0)0

?x?0用去除上式导得,两

???yuu′=?+?f(u)α0?x?x?x

x由在的可导性有, u=?(x)0

limα=limα=0～ ?x?0?u?0?x?0??u?0

???yuu′=?+?limlim[f(u)α]0?x?0?x?0?x?x?x

??uu′=?+?f(u)limlimαlim0?x?0?x?0?x?0?x?x

′′=f(u)??(x)00

dy′′=f(u)??(x)即00dxx=x0

上述导合函的求导法导可作更一般的述,数叙

II??xIuI?I若ux=?()在导导区可导～yfu=()在导导区可导～且导～导导的 ～导导合函数在内可导～且y=f[?(x)]xuxux

dydydu=? (2)dxdudx

导合函求导法导是一非常重要的法导～特导出如下注导,数个

弄了导导导导的导导之后～不导导出导合更多导函的求导公式。懂数

dy【例2】～求 y=f{?[φ(x)]}dx

uv=?()vx=φ()yfu=()引入中导导量～ 导 ～～于是

yuvx???导量导系是 ～由导导导导有,

dydydudv=??

dxdudvdx

(2)、用导导导导求导的导导

引入中导导量～导合函分解成基本初等函。将数数导导注意,求导完成后～导引入的中导导量代导成原自导量。将

dy【例3】求的导数。yx=sin2dx

yu=sin解,导 ～导～～由导导导导有,ux=2ux=2

dydydu=?=(sin)()(cos)cos?2222=?=uxux′′

dxdudx

xdy【例4】 导 ～求。ytg=ln

2dx

111=??111dydydudv1xx由导导导导有(基本初等函求导数)( 消中导导量) 22=??=??=tgcos2dxdudvdxucosv2sinx22

由上例～不导导导导合函求导数导导

中导导量在求导导程中～只是起导渡作用～熟导之后～可不必引入～导需“心中有导”。

然后～导函所有中导导量求导～直至求到自导量导止～最后导导相乘。数数

导看下面的演示导程,

111dyxxx′′′(ln)()()==?=??tgtgxxx2222dxcostgtg22211111(x)′=???==xxxx2sinx22tgcostgcos2??2222

μμ?1【例5】导明导函的导公式 数数～(导导数)。′(x)=μ?xμ

μμ?lnx导明,导yxe==

1μlnxμlnxμ?1′′=ye?μ(lnx=)e?μ?=μ?x

x

求导公式

一、 一、 反函数的导数

法则5（反函数的求导法则）如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内单调连续, 且在该区间内

-1

f ' (x ) x =f (y ) 在相应区间内也处处可导, 即处处有不等于0的导数，那么它的反函数

[f -1(y )]'存在，并且

[f -1(y )]'=

1

f ' (x )

f ' (x ) =

也可写为

1[f -1(y )]'

dy 1=dx dx

dy 或

这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.

例1 求指数函数y =a (a >0且a ≠1) 的导数.

x

解 y =a (a >0且a ≠1) 是x =log a y (a >0且a ≠1) 的反函数, 函数x =log a y 在

x

区间(0, +∞) 内单调连续, 且x ' y ≠0, 因此根据反函数的求导法则, 可得

y ' x =

1=x ' y

1

=y ln a 1

x

y ln a 而y =a ,

x

所以 y ' x =a ln a

x x

(a )' =a ln a 即

特别地, 当a =e 时, 有 (e )' =e

这表明, 以e 为底的指数函数的导数就是它本身, 这是以e 为底的指数函数的一个重要特性.

2

x x

2

y =() x +x 3

3例2 求函数+的导数. 222-1

y ' =() x ln +x 3

333解 222-=() x ln +x 3

333

12

例3 推导幂函数y =x （其中α为任意实数）的求导公式. 解 利用对数的性质, 我们将函数写成指数形式

α

y =x α=e αln x

则由复合函数的求导法则, 有

y ' =e αln x ?(αln x )' =x α?

α

x

=αx α-1

例4 求函数y =arcsin x 的导数 解 当-1<>

y =arcsin x (-1<>

的反函数是

x =sin y (-

π

2

π

2

)

而

(siny )' =cos y >0 (-

π

2

π

2

)

22cos y =-sin y =-x >0

y ' =(arcsinx )' =

所以

11

= (-1<>

2(siny )' -x

(-1<>

(arcsinx )' =

即 同样可证：

1-x

2

(arccosx )' =-

(arctanx )' =

1-x

2

(-1<>

1

1+x 2 (-∞<>

1

(arc cot x )' =-2

1+x (-∞<>

例5 求函数y =arcsin 3x 的导数

2

y ' =

解

1-(3x 2) 2

?(3x 2)' =

6x -9x 4

例6 求函数

y =arctan

1

x 的导数

11x 21y ' =?()' =?(-)

12x 1+x 2x 2

1+()

x 解

12

=1+x -

二、基本初等函数求导公式表

下面我们分别列表给出基本初等函数的求导公式和函数的求导法则

例7 求下列函数的导数: (1)

y =e cos x ; (2) y =arctan x 2;

2

(3) y =log 2(3x -1) ; (4) y =-x +ln(cosx ) .

解 (1) y '=(e

cos x

) '=e cos x ?(cosx ) '

cos x cos x =e ?(-sin x ) =-e sin x

y '=(arctanx 2)' =

(2)

12x 2

?(x )' =

1+(x 2) 21+x 4

(3)

y '=[log2(3x -1) ]'=

3

(3x -1) ln 2

2

1

?(3x -1) '

(3x -1) ln 2

=

(4) y '=(-x ) '+[ln(cosx ) ]'

=

12-x 2

-2x 2-x 2

x -x

2

?(1-x 2) '+sin x cos x

1

?(cosx ) 'cos x

=

-

=-

-tan x

例8 一物体的运动方程为的速度.

s =

b 1-at (at +e ) t =

2a 时a 2（其中a 和b 为常数），求物体在

解 因为

s =

b -at

(at +e ) 2a

b -at

(at +e ) ]'a 2

所以

v =s '=[=

b -at ?(at +e ) '2

a

b

=2[a +e -at ?(-at ) ']

a

当

=

b b -at -at

(a -ae ) =(1-e ) 2

a a

t =

1

2a 时，得

1

-a ?b

v =(1-e 2a )

a

-b b 1=(1-e 2) =(1-)

a a

1

求导公式

1(C)＇=0 ○2(x) ＇=u x ○

x x x x

3(a) ＇=alna ○4(e) ＇= e ○

x

5(loga) ＇= 1○

x ln a 11 67?1?＇=－○(lnx)＇= ○ ?x x 2?x ?

x xlnx

8(x ) ＇=1 ○9(x) ＇=e○

2x

u

u-1

10(sinx)＇=cosx ○11(cosx)＇=－sinx ○

22

12(tanx)＇=secx ○13(cotx)＇=－csc x ○

○

14(secx)＇=secx tanx ○

15(cscs)＇=－cscx cotx ○

16(arcsinx)＇=1 -x 2

○

17(arccosx)＇=－1 -x 2

○

18(arctanx)＇=1

1+x 2

○

19(arccotx)＇=－1

1+

x 2

)

x lim

f (x ) -f (x 0→x 0

x -x =f ' (x 0)

f (x 0+?x ) -f (x 0)

?lim

x →0

?x

=f ' (x 0)

=csc x 1

c o s x =s e c x 1

t a n x

=c o x t tanx=sin x cotx=cos x cos x sin

x

sin 2x+cos2

x=1

1+tanx=sec2x 1+cot2x=csc2x

sin 2x=1-cos 2x cos 2x=1+cos 2x 2

2

sin2x=2sinx cosx

cos2x=cos2x －sin 2x tan2x=2tan x 1-tan 2x

○

1sinx=x ○2tanx=x ○

3arcsinx=x ○4arctanx=x ○

5ln(1+x)=x ○6 1－cosx=1/2x 2

○7 e

x

－1=x ○

8(1+x)a

－1 = ax

=kx+c dx =a x

ln a +c

=ln|x|+c

=tanx+c cotx +c

c ]

b 2a

) 2 1dx =b -a

x=a sint dx=a cost dt

a 2-x 2=a cost

x=a tant dx=a sect dt

2

则：a 2-x 2= a sect x 2-a 2：令x=a sect

dx=a sect tant dt x 2-a 2=a tant

对= 邻

=

斜斜

= =

对= 邻

邻对斜= 斜 邻对

在闭区[a,b]上要连续；2. 在开区间(a,b)上要可导；3. 区间端点的函数值要相等

f ' (x 0) =0 f(a)=f(b)，结论：

1. 闭区间上连续；2. 开区间上可导，结论：f ' (ε) =

f (b ) -f (a )

b -a

1. 在闭区上连续；2找异号：（把端点的值代入函数中）；结论，至少有一实根 上边改变，紧贴x ：

?π(x ) dx +?π(y ) dx

a

a

b

2

b

2

2. 上边无改变，不紧贴x ：

?

b

a

π(x ) 2dx -?π(y ) 2dx

a

b

3. 上边无改变，紧贴x ：

1

?

b

a

π(x ) 2dx

=0 log a=1

a

lne=1 ln1=0 ln0为无穷 lne=2 lnx 2 2ln =x （ln x ）＇=[(lnx)]＇=2lnx.1/x e =a （e ）＇=0 e

lna

-2

ln(x-2)

2

=x-2 e

-lnx

=x

-1

求导公式

基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式

' (1) (C ) =0 ' (3) (sinx ) =cos x

2

'(tanx ) =sec x (5)

μμ-1

'(x ) =μx (2)

' (4) (cosx ) =-sin x

2'(cotx ) =-csc x (6)

(7)

(secx ) '=sec x tan x

(8)

(cscx ) '=-csc x cot x

x x

'(a ) =a ln a (9) x x

'(e) =e (10)

(11)

(loga x ) '=

1

x ln a

(lnx ) '=

(12)

1x ，

(arcsinx ) '=

(13)

1-x 2

11+x 2

(14)

(arccosx ) '=-

1-x 2

11+x 2

(arctanx ) '=

(15)

(arccotx ) '=-

(16)

函数的和、差、积、商的求导法则

设

u =u (x ) ，v =v (x ) 都可导，则

(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +u v '

(Cu ) '=C u '（C 是常数）

（1） （2）

（3）

'

?u ?u 'v -u v ' ?=2v v ?? （4）

反函数求导法则 若函数

x =?(y ) 在某区间I y 内可导、单调且?'(y ) ≠0，则它的反函数y =f (x ) 在对应

I 区间x 内也可导，且

dy 1=1dx f '(x ) =

dy ?'(y ) 或

复合函数求导法则

设y =f (u ) ，而u =?(x ) 且f (u ) 及?(x ) 都可导，则复合函数y =f [?(x )]的导数为

dy dy du

=?'(x ) dx du dx 或y '=f '(u )

上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．

２. 双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：

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