一、知识网络

对应角相等性质对应边相等

边边边 全等形全等三角形边角边 判定角边角 角角边 斜边、直角边

作图 角平分线性质与判定定理应用

二、基础知识梳理

(一)、基本概念

全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相 1、“全等”的理解

等的图形;

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;

3、全等三角形的判定方法

(1)三边对应相等的两个三角形全等。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

1

(二)灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等，可找:

?夹边相等(ASA)?任一组等角的对边相等(AAS)

(2)已知条件中有两边对应相等，可找

?夹角相等(SAS)?第三组边也相等(SSS)

(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找

?任一组角相等(AAS 或 ASA)?夹等角的另一组边相等(SAS)

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:

1.确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);

2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么;3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。

常见考法

(1)利用全等三角形的性质:?证明线段(或角)相等;?证明两条线段的和差等于另一条线段;?证明面积相等;

(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;

(3)题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。

误区提醒

(1)忽略题目中的隐含条件;

2

(2)不能正确使用判定公理。

轴对称知识梳理

一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x，-y).

(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x，y).

4.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60?.

(2)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

条线段的垂直平分线上. 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这

3

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形.

一、选择题

1(如图，给出下列四组条件:

?，，;?，，; ?，

，;?，，( 其中，能使?ABC??DEF的条件共有( )

A(1组 B(2组 C(3组 D(4组

2.如图，D，E分别为?ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，

，则等于( ) 使点C落在AB边上的点P处(若

3.如图(四)，点P是AB上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出?APC??APD(从下列条件中补充一个条件，不一定能推出?APC??APD的是((((

( )

A((((

A(42? B(48? C (52? D(58?

4 P

D

图(四)

A

4.如图，在?ABC与?DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使?ABC??DEF，不能添加的一组条件是( )

(A)?B=?E,BC=EF(B)BC=EF，AC=DF (C)?A=?D，?B=?E(D)?A=?D，BC=EF 5(如图，?ABC中，?C = 90?，AC = BC，AD是?BAC的平分线，DE?AB于E， 若AC = 10cm，则?DBE的周长等于( )

A(10cm B(8cm C(6cm D(9cm

6( 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )

,(1处 ,(2处 ,(3处 ,(4处

C

D

A

E

B

7(某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是( )

A(带?去 B(带?去 C(带?去 D(带???去

8(如图，在Rt?ABC中，，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC

，则的度数为( ) 于点E(已知

A(30 B(40 C(50 D(60

9(如图，?ACB??，，则的度数为( )

，BC,BD，则有( ) A(20? B(30? C(35? 10(如图，AC,AD

A(AB垂直平分CD B(CD垂直平分AB C(AB与CD互相垂直平分

A

E

D(CD平分?

ACB

D(40?

A

A

C

B

5

C

D

11(尺规作图作的平分线方法如下:以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1

2CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线

OP，由作法得?OCP??ODP的根据是( )

A(SAS B(ASA C(AAS D(SSS

12.如图, ?C=90?,AD平分?BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,

则点D到AB的距离为( )

A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

13(如图，OP平分，，，垂足分别为A，B(下列结论中不一定成立的是( )

(PO平分 A(

C((AB垂直平分OP

14.如图，已知，那么添加下列一个条件后，

仍无法判定?ABC??ADC的是( )

A((??DAC

C(??DCA D(??

O

CBAB C B

15.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是( ) ??

第1个

A(

二、填空题 第2个 第3个 D(4n B((

1.如图，已知，，要使 ?ABC??ADE，可补充的条件是 (写出一个即可)(

2.如图,在?ABC中,?C=90?,AC=BC,AD平分?BAC交BC于D,DE?AB于E,且AB=5cm,则?DEB的周长为 ________

3.如图，，请你添加一个条件: ，使(只添一个即可)(

6

4.如图，在ΔABC中，?C=90??ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10

__________厘米。 厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是

BAD AC

5.

观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 D 有 个 (

第3个 第1个第2个

6.已知:如图，?OAD??OBC，且?O,70?，?C,25?，则?AEB,________度.

7如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论:?AD=BE;?PQ?AE;?AP=BQ;?DE=DP;??AOB=60?.

恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。

8.如图所示，AB = AD，?1 = ?2，添加一个适当的条件，使?ABC ? ?ADE，则需要添加的条件是________.

BPC DACE

三、解答题

1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证:BD=CE.

7 B D E C

2.如图，在?ABC中，，，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使(

(1)求的度数;(2)求证:(

3.如图，在?ABE中，AB,AE,AD,AC,?BAD,?EAC, BC、DE交于点O.

求证:(1) ?ABC??AED; (2) OB,OE .

4.如图，D是等边?ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边?EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由( E

B C

E8

?ABC和?DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M( 5.如图，在

(1)求证:?ABC??DCB ;(2)过点C作CN?BD，过点B作BN?AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论(

6.(如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，，

( 求证:(1)?ABC??ADC;(2)(

7(如图，在?ABC和?ABD中，现给出如下三个论断:?;?

; ?(请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题( (1)写出所有的真命题(写成“

: 形式，用序号表示)

, A D

B

N

D

C

(

(2)请选择一个真命题加以证明(

你选择的真命题是:(

1

,

证明:

9

8.已知:如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB,DC，BE,CF，?B,?C( 求证:OA,OD(

9(如图，?ABC中，?BAC=90度，AB=AC，BD是?ABC的平分线，BD的延长线垂直于

过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F( 求证:BD=2CE(

10.如图，于点D，，AB平分交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明( ((

B

E A B

D

A

E

F

C

D C

10

11((7分)已知:如图，DC?AB，且DC=AE，E为AB的中点，

AED??EBC( (1)求证:?

(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除?EBC外，请再写出两个与?AED的面积相等的三角形((直接写出结果，不要求证明):

12(如图?，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE?AC于E，BF?AC于F，若AB=CD，

AF=CE，BD交AC于点M(

(1)求证:MB=MD，ME=MF

(2)当E、F两点移动到如图?的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立,若成立请给予证明;若不成立请说明理由(

BEADC

11

初二数学上全等三角形精讲精练

全等三角形精讲精练

环节一：以题点知，考点回顾：

1、如图1所示，△ABC ≌△AEF ，则下列结论：①AC=AF；②∠FAB=∠EAB ；③EF=BC； ④∠EAB=∠FAC. 其中正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、如图2所示，△ABC ≌△CDA ，则（1）AB= ，BC= ，CA= ； （2）∠BAC= ，∠ABC= ，∠BCA= 。 3、已知图3中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50°

图1

图2

图3

4、如图4，AE=AD，要使ΔABD ≌ΔACE ，若根据“ASA ”判定，还需增加条件______________； 若根据“AAS ”判定，还需增加条件 。

5、如图5所示，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ADF ≌△CBE 的是（ ）

A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC

6、如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，连接AC ，BD ，相交于点O ，则图中全等 三角形共有（ ）

A.1对 B.2 对 C.3对 D.4对

B

E A

D

图4

C

图5

图6

7、如图7所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD=4，则点D 到AB 的距离为_____.

8、如图8所示，∠AOB=70°，QC ⊥OA 于C ，QD ⊥OB 于D ，若QC=QD，则∠AOQ=________.

图7

图8

环节二：典例学习，归纳方法：

例1：如图9所示，已知AC=FE，BC=DE，点A ，D ，B ，F 在同一条直线上，AD=FB.

求证：△ABC ≌△FDE.

针对练习

1、如图10所示，点E ，C 在线段BF 上，BE=CF，AC=DF，∠ACB=∠F. 求证：△ABC ≌△DEF.

图10

2、如图11所示，点E ，F 在AC 上，AB ∥CD ，AB=CD，AE=CF.

求证：△ABF ≌△CDE.

图9

图11

例2：如图12所示，已知AB=AC，∠B=∠C ，BD=CE，BE 交CD 于点O ，连接AO.

求证：∠BAO=∠CAO. 针对练习

1、如图13所示，已知AB=CD，AD=BC，O 为BD 中点，过O 作直线分别与DA ，BC 的

延长线交于E ，F 。求证：OE=OF。

图13

图12

方法归纳：________________________________________________________

例3：如图14所示，∠ACB=90°，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，AC=CB.

求证：MN = AM + BN.

针对练习

1、如图15所示，已知AB ∥CD ，BE ，CE 分别为∠ABC ，∠BCD 的平分线，点E 在AD 上. 求证：BC=AB+CD.

图

14

图15

方法归纳：_______________________________________________________

例4：如图16所示，已知CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 相交于点O ，OB=OC.

求证：∠1=∠2.

图16

针对练习

1、如图17所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD=CD，DE ，DF 分别垂直于AB ，AC ， 垂足为E ，F 。求证：BE=CF.

图17

方法归纳：__________________________________________________________

环节三：技能训练，提高有效：

（一）基础考点（A 组）

1、如图1所示，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC ≌△DEF ， 还需要添加一个条件是（ ）

A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E C.BC∥EF D∠A=∠EDF 2、如图2所示，在△ABC 中，AB=AC，BC=6，E ，F 是高线AD 上的两点，AD=4，则图中阴影 部分的面积是（ ）

A.6 B.12 C. 24 D.30

3、如图3所示，已知∠1=∠2，则不一定使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）

A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA

图

1

图2

图3

4、如图4所示，已知∠B=∠C ，添加一个条件使△ABD ≌△ACE （不标注新的字母，不添加 的线段），你添加的条件是________________.

5、如图5所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，如果AC=3cm，那么AE+DE等于___________.

6、如图6所示，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, ，AD=3，BC=10， 则△BDC 的面积是______.

图

4

图5

图

6

7、如图所示，AB 平分∠CAD ，AC=AD。求证：BC=BD。

8、如图12-72所示，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D 。求证：△ABC ≌△AED 。

9、如图所示，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，M 是AB 的中点，连接CM 并延长交BD 于E. 求证：AC=BE.

10、如图所示，已知OE 平分∠AOB ，BC ⊥OA 于C ，AD ⊥OB 于D. 求证：EA=EB.

（二）能力训练（B 组）

1、如图1所示，AO=BO，CO=DO，连接AD ，BC ，设AD ，BC 交于点P ，结论：①△AOD ≌△BOC ； ②△APC ≌△BPD ；③点P 在∠AOB 的平分线上. 以上结论中（ ）

A.只有①正确 B.只有②正确 C.只有①②正确 D.①②③都正确 2、如图2所示，BA ⊥AC ，CD ⊥AC ，AB=CE，AC=CD，则BC 与DE 的大小关系和位置关系分是 ______________________.

3、如图3所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B ，C 做过点A 的直线的垂

线BD ，CE ，垂足分别为D ，E ，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=_______cm.

4、如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB=CD，AD=BC，DE=BF，且点E ，F 分别在AD ，CB 的 延长线上。求证：BE=DF。

图

1

图2

图

3

5、如图所示，BD 是∠ABC 的平分线，AB=BC，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N. 求证：PM=PN.

6、如图所示，已知△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，BD 为∠ABC 的平分线，AD ⊥BD 于D. 求证：BE=2AD.

7、如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BA 延长线上一点，点E 是AC 的中点. （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.(保留作图痕迹，不写做法) ①作∠DAC 的平分线AM ； ②连接BE 并延长交AM 于点F.

（2）猜想与证明：试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.

环节四：目标检测，落实重点：

1、如图所示，已知AB ∥DC ，O 是AC 的中点。求证：AB=CD。

2、如图所示，已知在△ABD 和△ACE 中，AB=AC，∠BAC=∠DAE ，AD=AE. 求证：BD=CE.

3、如图所示，已知点A ，B 在OP 上，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C ，D ， E，F ，且AC=AD。求证BE=BF。

环节五：课后巩固，自我检测

1、如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，E 是BC 延长线上一点，D 为AC 边上一点， 且CE=CD，你认为AE 与BD 相等吗？请说明理由.

2、如图所示，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且AC=BD，AF=BE。求证∠C=∠D 。

3、如图所示，BE=CF，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ，BF 和CE 交于点D ，则∠BAD 与∠CAD 有何关系？

数学初二上全等三角形教学案

全等三角形教学研究案

教学目标：

1．知道全等三角形的有关概念，会用符号语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．

2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．

3．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法． 4．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力． 教学重点：全等三角形的性质及其应用

教学难点：确认全等三角形的对应元素，理解平移、翻折、旋转等全等变换的过程． 教学方法：操作，合作，探究 教具准备：多媒体

预学篇

预学目标:

1．知道全等三角形的有关概念，会用符号语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．

2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．

预学重难点：确认全等三角形的对应元素 预学内容：

一、自主预习课本相应内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流 二、通过预习课本回答下列问题：

（1） 叫做全等三角形。

（2）当两个全等三角形 时， 叫做对应顶点， 叫做对应边， 叫做对应角。

如图：△ABC ≌△DEF ，则对应顶点： ，对应角： ， 对应边：

B C

（3）全等三角形的性质： 。

导学篇

导学目标：

F E

1．知道全等三角形的有关概念，会用符号语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．

2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．

3．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法． 4．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力． 导学重点：全等三角形的性质及其应用

导学难点：确认全等三角形的对应元素，理解平移、翻折、旋转等全等变换的过程． 导学内容：

一、检查预学情况。 二、新知探究

B

全等三角形的概念：

A

D C

E F

如上图所示， 是全等三角形，记作“ ”，读作“ ”．对应顶点有：A 和D 、 、 ；对应边有：AB 和DE 、 、 ；对应角有：∠A 和∠D 、 、 ．

注意：在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上． 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 三、操作思考

操作要求：

1．任意剪两个全等的三角形．

2．利用这两个全等三角形组合新的图形． 3．小组内讨论交流． 4．各组代表展示．

师：你是如何剪得的？你能摆出几种新图形？你是如何得到的？

B

E

C

F

思考：怎样改变△ABC 的位置，使它与△DEF 重合？

两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？ 四、尝试交流

1．如图△ABD ≌△CDB ，若AB ＝4，AD ＝5，BD ＝6， ∠ABD ＝30°，则 BC ＝，CD ＝CDB ＝

D C

2．如图△ABC ≌ △DCB ， （1）写出图中相等的边和角．

（2）若∠A ＝100°，∠DBC ＝20°，求∠D 和∠ABC 的度数．

A

O

D

B

五、拓展延伸

C

1．如图，△ABC ≌△ADE ，∠C ＝50°，∠D ＝45°，∠CF A ＝75°，求∠BAC 和

∠BAE 的度数．

E

B

A

2．如图，△ABC ≌△DEF ，B 与E ，C 与F 是对应顶点．通过怎样的图形变换可以使这两个三角形重合？

六、课堂小结

你通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有哪些困惑？

慧学篇

1. 如图所示，若△OAD ≌△OBC, ∠O=65°, ∠C=20°, 则∠OAD= .

C E

(1题图) （2题图）

2. 如图：Rt △ABC 中，∠ A=90°，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C= 3. 如图4，若△ABC ≌△DEF ，回答下列问题：

（1）若△ABC 的周长为17 cm，BC=6 cm，DE=5 cm，则DF = cm （2）若∠A =50°，∠E=75°，则∠B=

图.4

4. 如图，△AOB ≌△COD ，那么∠ABD 与∠CDB 相等吗？为什么？

B D

初二数学上全等三角形知识点总结

全等三角形 知识梳理

一、知识网络

??对应角相等

性质??

?对应边相等?

?

?边边边 SSS

?

?全等形→全等三角形?边角边 SAS???

判定?角边角 ASA?

?角角边 AAS?

??

??斜边、直角边 HL?作图?

角平分线?

?性质与判定定理

?应用

二、基础知识梳理 （一）、基本概念

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，

因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：

1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法

（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等；

（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒

（1）忽略题目中的隐含条件；

（2）不能正确使用判定公理。

轴对称知识梳理

一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF； ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（ ）

3.如图（四），点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出

△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是．．．．

（ ） A．BC=BD

B．AC=AD C．∠ACB=∠ADB

D．∠CAB=∠DAB

A．42° B．48° C ．52° D．58°

4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E， 若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )

A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

C

D

A

E

B

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去

8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90 ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC

于点E．已知∠BAE=10，则∠C的度数为（ ）

A．30 B．40 C．50 D．60

9．如图，△ACB≌△A'C'B'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分

A

E

D．CD平分∠

ACB

C B''

D．40°

A

A

C

B

C

11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于

C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于

12

CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线

OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm, 则点D到AB的距离为( )

A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

13．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 14.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90? O

C

B

A

B

C

B

15.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）

??

第1个 A．2n+2 二、填空题

第2个

第3个

D．4n

B．4n+4 C．4n-4

1.如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使 △ABC≌△ADE，可补充的条件是 （写出一个即可）．

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________

3.如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件： ，使OC=OD（只添一个即可）．

4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

BAD AC

5.

观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形

D 有 个 ．

第1个第2个

第3个

6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度. 7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.

B

P

C

DACE

三、解答题

1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

B D E C

2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°． （1）求∠DBC的度数；（2）求证：BD=CE．

3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

E

B

C

E

5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

6.（如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO=DO．

7．如图，在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：①AD=BC；②∠C=∠D； ③∠1=∠2．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． （1）写出所有的真命题（写成“

?

： ?? ”形式，用序号表示）

?

Ｄ A D

B

N

D

C

．

（2）请选择一个真命题加以证明．

?

你选择的真命题是：?? ．

?

1

Ａ

证明：

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C． 求证：OA＝OD．

9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于

过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE．

10.如图，AB=AC,AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．．

B

E A B

D

A

E

F

C

D C

11．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，

AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

BEADC

11

初二上全等三角形

1、 (2014? 浙江杭州,第 18题, 8分)在△ ABC 中, AB=AC,点 E , F 分别在 AB , AC 上, AE=AF, BF 与 CE 相交于点 P .求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.

2、

(2014? 十堰 18. (6分) )如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上, AB=AC, AD=AE.求证:∠ B=∠ C .

3、已知:如图,点 E 、 F 在线段 BD 上, AB =CD ,∠ B =∠ D , BF =DE .

求证:(1) AE =CF (2) AF//CE

4、如图,已知∠ A=∠ D=90°, E 、 F 在线段 BC 上, DE

与 AF 交于点 O ,且 AB=CD, BE=CF.

求证:(1) Rt △ ABF ≌ Rt △ DCE ; (2) OE=OF .

5、 (2015? 重庆校级模拟)如图, △ ABC 中, D 是 △ ABC 的重心,连接 AD 并延长,交 BC 于点 E ,若 BC=6,则 EC=( )

A . 2 B . 2.5 C . 3 D . 3.5

6. (2015? 泸州)如图, AC=AE,∠ 1=∠ 2, AB=AD.求证:BC=DE.

7、 (2015? 十堰)如图, CA=CD,∠ B=∠ E ,∠ BCE=∠ ACD .求证:AB=DE.

8、 (2015? 巴中)若 a 、 b 、 c 为三角形的三边,且 a 、 b 满足 +(b ﹣ 2) 2=0,则第 三边 c

的取值范围是

.

9、 (2015? 朝阳)一个三角形的两边长分别是 2和 3,若它的第三边长为奇数,则这个三角 形的周长为 .

10、 (2015? 南充) 如图, 点 D 在 △ ABC 边 BC 的延长线上, CE 平分∠ ACD , ∠ A=80°, ∠ B=40°, 则∠ ACE 的大小是 度.

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