范文一：Morse势函数和钼单晶等的临界切应力的温度依赖性

?. 3. 14, 第 14 卷 3 期 第 原 子 与 分 子 物 理 学 报 V o l

. , 19971997 年 7 月 CH IN E SE JOU RN A L O F A TOM IC A N D M OL ECU L A R PH YS IC S J u l

势函数和钼单晶等的临界M o r se

Ξ

切应力的温度依赖性

龙期威 中国科学院金属研究所, 中国科学院国际材料物理中心 沈阳 110015

龙康葛苏

中国科学院金属腐蚀与防护研究所, 金属腐蚀与防护国家重点实验室 沈阳 110015

摘要

综述了以往钼、铁、铝、镁等单晶临界切应力温度依赖性的实验; 指出: 在滑移系统不 变的条件下, 在一定的温度范围内, 临界切应力和温度呈近似指数关系是相当普遍的规 律。势函数应用和实验的吻合说明原子间力对屈服应力的重要作用。结合近来发展M o r se 讨论今后的发展, 指出金属范性的本质深入到电子结构层次研究的重要意义。

关键词: 势函数 临界切应力 位错 原子间力

1 引言

国际上在六十年代之前, 一般人都认为金属的范性行为中原子间力只是第二位重要 的因素。 许多范性形变的过程均是在位错的连续介质弹性理论的框架下描述。 位错中心 的重要性也只是在共价键固体中才被重视。 然而, 在七十和八十年代, 人们才认识到在许 多材料中, 位错中心的过程和长程相互作用相比至少是同等重要。特别是对于那些有序化 合物和非立方晶体结构的形变机制, 强取向依赖性及屈服切应力的温度依赖性等复杂现

1 2 象更引起人们注意位错中心的结构。这方面的工作已经有一篇综述论文。本文作者之

艹一和清泉清泉教授早在六十年代初期就合作和交流开展了固体力学性质和原子间力 勾3, 4 5, 6 的研究。1964 年发表的论文直接涉及到原子间力和范性的问题。本文从钼单晶临

界切应力的实验开始, 结合国内外的发展论述原子间力和对固体屈服现象的作用、温度依

Ξ 收稿日期: 1997 年 4 月 1 日

2 钼单晶临界切应力的温度依赖性

一定取向的钼单晶, 在不同温度拉伸时, 外观滑移面的改变情况, 由样品取向决定, 而 实际滑移面则可能不变。为了避开滑移系统变化的复杂性, 作者之一及合作者选择单晶样

() 品取向满足外观和实际滑移系统均为 110111 。这样做, 温度依赖性实验不仅物理意义 明确, 而且应当使数据不会太分散; 因为, 不同滑移面上的临界切应力应当是不一样的, 譬

7 如六角晶系的单晶, 底面和棱面滑移的临界切应力就有很大的差别。其次是控制取 M g

向因子 , 进一步减少系统误差。 这是因为临界切应力和取向因值在很窄范围co s ? co s Α

子有明显的依赖关系, 在低温更为明显。

由于上述两点考虑做出的三批共 100 个钼单晶中, 只有 32 个样品满足上述两个条 件。实验结果如图 1 所示。果然, 三批样品的实验点在半对数图上直线性均很好。它们满 足:

- B T()() () 1 ΡT = Ρ0e

既然这些实验点满足某种规律性而不分散, 我们就有条件用它来检验前人提出过的一些

理论关系是否正确。 实验点不符合

8= - ΡA B T

是明显的。 图 2 的实验点偏离直线, 说明不符合

13 9 ?() () ΡT = Ρ0- b T

- 1 10- 3 11的关系。图 3 说明不符合 ? 和 Ρ? T ΡT

3 铁单晶临界切应力的温度依赖性

有了上述比较严格实验条件安排得来的钼单晶经验规律, 我们就可以以它来分析过

12- 16 去已经有过的铁单晶实验点, 检验它们是否也符合由钼单晶得来的近似指数关系。

() 图 4 可以看出, 虽然它们有些点偏离较大 也许是实验中没有考虑上述两个条件的原因, 但从总的来说, 近似指数关系也还是成立的。 这样, 我们可以扩大范围认为体心立方金属 的单晶临界切应力的温度依赖性也符合近似指数规律。

4 铝及镁单晶临界切应力的

温度依赖性

图 5 和图 6 分别表示面心立方金属铝及六角密堆积金属镁单晶的临界切应力和温度

7 () 的关系。本文处理 7 中的图变为半对数图。对于铝, 滑移系统是 111110 ; 对于镁, 所

() 取的数据是滑移系统为 1010112 0 。它们在低温度部分也可以说是符合近拟指数关系。 这样, 我们似可再扩大范围认为, 一般金属晶体的临界切应力和温度均呈近似指数的关 系。

图 5 铝单晶临界应力的温度依赖性 图 6 镁单晶临界应力的温度依赖性

5 共价晶体临界切应力的温度依赖性

17 ( 近来报道: 共价晶体范性流变应力的温度依赖性也和温度呈近似指数关系 如图 ) 7。 这样, 我们似可再扩大范围认为, 近指数规律对于一般晶体也是适用的。

173 图 8 不纯 金晶体心立方金属的 与温度的关系 图 7 共价晶体临界切应力的温度依赖性 log Σ

6 不纯的多晶体心立方金属的屈服或流变

应力热分量的温度依赖性

图 8 是多晶 、、、、、及的屈服或流变应力热分量和温度的半对数关F eN bV T aC rM o W 系图, 从图上可以看出: 在低温时出现近乎直线的区域。看来即或有晶界存在, 近指数规律 仍然是相当符合的。

从以上列举的事实说明: 位错结构的差异和晶界的存在并不影响近似指数规律的适

用性; 关键在于要求形变时, 位错和晶界的结构和形变机制不受温度、取向、加载方式的改 变发生变化。 归纳以上, 可以得到一个较普遍的结论: 固体屈服或流变应力的温度依赖性 在一段温度范围内可以用近似指数关系来描述。 这是从个别推论一致。

然而, 归纳推理中前提真与结论真之间具有一定的概然性。 因此, 归纳需要演绎来补 充。 下面我们由一般到个别, 看看近指数规律可能说明一些什么具体现象。

7 纯度和温度依赖性

9 等人的钼单晶试验发现: 在较高的温度范围内, 六次区域提纯的样品的温 L aw ley

度依赖性比一次区域提纯的小; 但在极低温度下则反过来。作者们在文中无法解释。这正 好可以用指数规律的特性来说明。因为, 设 1 代表一次提纯样品, 2 代表六次提纯样品, 由 () 1式

- (B - B ) T12()() () (() () ) 2 ′?= 0?0 ′Ρ1 T Ρ2 T B 1 Ρ1 B 2 Ρ2 e

()() () 从钼单晶试验数据似可认为 0, 0, 故 2式可以简化为Ρ1 Ρ2 ) (- B - B T 1 2() ()() () 3 1 2 ?Ρ′1 T ?Ρ′2 T = B B e

() () 。 而在 ′<利 用实验的="" b="" 1="" 和="" b="" 2="" 数值="" b="" 2=""> B 1 可以求出当 T = 144K 时, Ρ′1 T = Ρ2 T T

() () 144K 时, Ρ′1 T < ρ′2="" t="" ;="" 这正是="" l="" aw="" ley="" 等人得到的实验现象。高纯材料的="" b="" 2="" 值比低纯="" 材料的="" 大的情况是经常出现的。="" 作者之一及合作者关于="" 2中碳浓度对="" 值的影响="" b="" 1="" αf="" e="" b="">

20 的实验正说明了这一点。

8 势函数和铁单晶临界切应力M o rse

的温度依赖性

经验的规律有待于发展到理性认识, 它将是更深刻、更正确、更完全地反映自然。近似 指数形式的实验规律使人们联想到原子间力, 进一步想到势函数。 这种对势用来 M o r se

研究完整晶体的性质早在本世纪之初就开始了。用到缺陷晶体则是一种大胆的尝试, 如果

把晶体的范性行为认为是位错中心的基体原子之间以及基体原子和杂质原子之间的相互

作用, 并用势表示, 以下几点说明有一定的合理性:M o r se

() 1用 势 表 示 时, 在 100 - 500范 围 内, 它 和 指 数 规 律 相 对 误 差 不 超 过M o r se K

6 10% , 在力学性能实验的精度下, 得到指数规律是势的近似表示。M o r se

() 2用势表示, 在绝对零度附近偏差可达 20% , 因此, 极低温度范围内的力学 M o r se

性能是检验势有多少合理性的重要标志, 作者之一及合作者关于铁单晶临界切应M o r se

21 力温度依赖性的分析, 指出在极低温度下势的规律性和实验符合得很好。 应当 M o r se

指出的是在极低温度范围内, 曲线开始偏离直线的温度比出现孪晶机制高。

()3势函数可以展开成近似的幂多项式形式。 其中, 每一项均可以分离出一个 M o r se

只决定于晶体缺陷原子排列结构的类马德隆常数。只要原子排列结构不变,势函数 M o r se 的规律应当近似有效。作者之一及合作者关于钼单晶的实验正说明了这一点: 即使 金b cc

属的情况, 只要选择适当的取向, 控制滑移系统一致, 则可以得到和其它固体同样的温度

算弹性常数来解释; 因了弹性常数的温度依赖性在温度不高的范围一般非常小。

9 结论

和国外学者探讨 金属特性不同, 作者从缺陷原子组态和原子间力辩证统一的观b cc 点出发, 探索共性规律。 近指数的实验规律有比较普遍的定义。 现象是多变的, 本质则是 相对稳定的。位错中心原子间力反映了范性行为的本质, 有着普遍意义。这说明金属范性

的本质深入到电子结构层次研究是下一个阶段的主攻方向。

三十多年后的今天, 原子间相互作用势已广泛应用于物理、化学、材料科学中。不均匀 电子气理论的发展、正电子湮滑实验技术的广泛应用, 为解释缺陷中心的电子过程提供了 理论和实验的方法, 虽然计算过程复杂, 计算量大, 前进的过程中还会有不少困难需要克 服, 总的说来, 比以前已更接近于实际可能得多了。

致谢: 本工作得到国家自然科学基金委员会 59671039 及 19334011 项目的资助, 作者 感谢李薰所长、陈能宽先生的鼓励和启发性的讨论。

参 考 文 献

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24 《》, . 7 10, 1985- 1994, . . P os it ron A rm ih ila t ion P ro cIC PA yo T ran stechP ub l

M O RSE FUNCT IO N A ND TEM PERA TURE D EPEND ENCE

O F CR IT ICAL RESOL VED SHEA R STRESS O F M o

A ND O THER S INGL E CRY STAL S

L u n g Q iw e i

, , I n terna tiona l C en tre f or M a ter ia ls P hy sicsI nstitu te of M eta l R esea rch

, 110015, A cad em ia S in ica S h eny ang C h ina

L o n g K an g Ge Su

, , S ta te K ey L abora tory f or M eta ls C or rosion and P rotection I nstitu te of C or rosion and P rotection of M eta ls

, 110015, A cad em ia S in ica S h eny ang C h ina

A b st rac t

W e rev iew exp e r im en ta l re su lt s o f th e tem p e ra tu re dep en den ce o f c r it ica l re so lved

() , , . sh ea r st re sse s c r sso f M o F eA l an d M g sin g le c ry sta lsA sso c ia t in g repo r t s in re2

, cen t yea r sw e po in t o u t th a t th e expo n en t ia l re la t io n sh ip b e tw een c r ss an d th e ab so lu te

. tem p e ra tu re in th e se sin g le c ry sta ls is m o re comm o nSu cce ssfu l exp lan a t io n w ith M o r se

. fu n c t io n show s th e im po r tan ce o f th e ro le o f in te ra tom ic fo rce to y ie ld in g p h enom eno nIdea s o f in te ra tom ic fo rce f ie ld s w h ich can b e u sed to stu dy ex ten ded defec t s su ch a s d is2

, , 30 .lo ca t io n sg ra in bo u n da r ie ssu rface s an d c rack s h ave b een e stab lish ed in la st yea r s A pp lica t io n s o f in te ra tom ic fo rce s to ca lcu la te th e st ru c tu re an d en e rgy o f d islo ca t io n co re h ave now fo rm th e b a sis fo r o u r u n de r stan d in g o f m ech an ica l p rop e r t ie s o f m a te r i2 . a lsPo sit ro n an n ih ila t io n tech n iqu e h a s b een u sed to stu dy th e a tom ic an d e lec t ro n ic

. st ru c tu re o f defec t s exp e r im en t lyT h e g lo r io u s fu tu re o f th is f ie ld is w a ited fo r u s to

.c rea t in th e com in g yea r s

: Key W ord sM o r se fu n c t io n c r it ica l re so lved sh ea r st re ss d islo ca t io n

in te ra tom ic fo rce

范文二：【doc】Morse势函数和钼单晶临界切应力的温度依赖性

Morse势函数和钼单晶临界切应力的温度

依赖性

f夸cJ2}3

第14卷第2期

1997年4月

锫嚣郴原子与分子物理Vol14.?2

(J-IINESEJOUI~NALOFATOMICANDMOLECULARPHYSI~.~ADr.1997

的温度依赖性

龙期威

中国科学院金属研究所.中国科学院国际材料物理中心沈阳110015 ?{il,7

位错中心原子相互作用对于它的结构及范性行为有很重要的作用ilJ.几乎和国外 同时.本文作者等与芍清泉教授合作开展了金属力学性质的原子间力研究.和国外学者

不同,作者等六十年代的钼单晶临界应力温度依赖性实验发现l2】:即使情况特殊的bcc

金属,只要选择滑移系统均为(?O)[1I1],它和其它金属相_似临界切应力_仍和温度呈近

似指数变化关系,近年.Suzuki等L3J发现:众多共价晶体也遵循近指数规律.联系断裂韧性

J的温度依赖性也是指数的(1972),说明指数规律有普遍意义.此一共性规律常被特性(如

bec金属位错结构的特殊性,冷加工和杂质等改变位错中心结构和组态的状态)所掩盖.

不易发现.当时.本文作者等用Morse势表示杂质原子和位错中心原子的相互作用作了

简单说明.和后来Ohashi等(1978)【4的位错热振动均方值的点阵格秫函数计算结果吻

合.本文结合钼单晶实验论述原子间力对屈服现象作用的普遍意义,展望进一步将范性

性质向更探层次和非平衡系统动力理论发展的前景.

参考文献

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收稿日期:1997年2月24日

143

范文三：扭转切应力

扭转切应力

两类切应力

扭转切应力 弯曲切应力

扭转切应力

圆轴扭转时的应力变形特征

圆轴扭转时横截面上的切应力分析

矩形截面杆扭转切应力公式

圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征

横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理

外加力偶矩与功率和转速的关系

应用此公式时要注意单位。

将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。

如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改?

横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求?

圆轴扭转时横截面上的切应力

根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式

方法与过程

反对称分析论证平面保持平面

首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能?

第一个结论

圆轴扭转时，横截面保 持平面，平面上各点只能 在平面内转动

还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律。观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时，一次呈S形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论。

最终结论

圆轴扭转时，横截面保 持平面，并且只能发生刚 性转动。也就是说，任意 直径在转动后仍然保持直 径。

由平面保持平面导出变形协调方程

根据这个关系分析两个相邻截面，从而得到变形协调方程。如图，取出一个微段，相邻两个截面在扭矩的作用下转过一个角度dφ，因此，直线AC变成AC'，BD变成BD'，ABCD这个小方块产生角应变γ（R）。从里到外各同心圆表面产生的切应变是不相同的，设到轴线任意远ρ处的切?

切应变γ和半径ρ成正比。

由物性关系得到应力分布

有了切应变的几何关系，即变形协调方程，但还没有和切应力联系起

来，所以还要建立物性关系，得到应力分布。切应变和切应力在弹性范围内加载时满足线性关系，即剪切胡克定律：τ=Gγ，G就是切变模量。

于是从刚才切应变分布就可以得到切应力分布。在整个横截面上，切应力表达式就是如图所示，它与ρ成正比。由此画出的切应力分布图有两个特点：一，在横截面同一个圆轴上各点切应力相同，因为ρ是相同的；二，沿着半径方向切应力是线性分布的，在轴心上为零，在轴表面?

由切应力分布还不能得到切应力公式，还需要静力学方程。如上图（右）横截面上任意取一个微元，即很薄的一个圆环，这个微元上切应力都相等，作用在此微元上所有的力对轴心的力偶矩就等于扭矩，即图示静力学方程。我们已经知道τ(ρ)的分布公式，将它代入，求出扭矩。

切应力公式

于是就能求出切应力。首先得到图示的公式，其中GIP 是扭转刚度，IP 是截面的极惯性矩。这个公式表示一个微段的两个横截面之间的扭转角。dφ/dx就叫做单位长度上的扭转角，或者叫扭转角的变化率。

得到的第二个公式

圆轴扭转时横截面上的最大切应力

刚才是任意一点的切应力公式，已知横截面上最外沿那点切应力取最大值，所以最大切应力就等于扭矩除以扭转截面系数WP ，其表达式如图，和弯曲截面系数有相似之处。

截面的极惯性矩与扭转截面系数

截面的极惯性矩与扭转截面系数又如何求法呢？对于实心圆截面，可以用积分的方法求出如图结果；对于圆环截面，同样可求出如图结果，请思考，为何WP 的表达式最后一项会与IP 最后一项相同，都是α4 ，而不是α3 ？

对于实心圆截面

对于圆环截面

例 题 1

已知：如图两轴牙嵌式连接，P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外 径之比

= 0.5。

求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

轴承受的扭矩就等于外加的力偶矩，可直接求解；再写出实心轴最大切应力的表达式，其中只有d1 是未知的，于是求出d1 ；

同理求出D2 ，这样，就能求出两轴截面积之比，即重量之比。

例 题 2

已知：如图机构，E轴输入功率，P1＝14kW，n1=n2= 120 r/min，z1=36，? z3=12；d1=70mm，d2 =50mm，d3=35mm。 求：各轴横截面上的最大切应力。

先求出各轴功率与转速，结果如图。

由此算出三个扭矩。

进一步求出最大切应力。可以看到第二根轴上横截面的切应力最大。

以上讲的是圆截面上的扭转切应力，现在介绍矩形截面杆扭转切应力公式。 矩形截面杆扭转切应力 变形特征

由平衡直接得到的结论 切应力分布 狭长矩形截面 变形特征

翘 曲

圆轴扭转后横截面保持平面，而对于矩形杆件，横截面扭转后发生翘曲，不再保持平面。

由平衡直接得到的结论

角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向

首先来看由平衡可以得到什么结论：在角点取出一个微元，由于杆件表面不受力，根据切应力成对定理，角点切应力等于零；沿着切面的各个边缘的方向取微元，同样根据切应力成对定理可得，边缘各点切应力应沿切线方向。若不沿切线方向，而沿着与边界相交的某个方向，又会?

切应力分布

现在介绍矩形截面扭转时切应力的分布，可以用弹性力学的理论分析出来，也可用实验的方法，即薄膜比拟的方法解决。书中已有详细介绍，这儿仅给出三个结论：

角点切应力等于零；

边缘各点切应力沿切线方向；

最大切应力发生在长边中点。

最大切应力可由如图公式确定，短边中点切应力也有公式确定，C1'与矩形截面的高度和宽度之比有关系。

狭长矩形截面

对于狭长的矩形截面，由于厚度δ比较小，切应力可以近似看作线性分布。此时C1=1/3，τmax =3Mx /hδ2 ，这个公式是相当重要的。

矩形截面结论延伸

开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力

用狭长的矩形截面来分析开口的圆环与闭口的薄壁圆环的扭转切应力有何差别。闭口的圆环可以用圆环WP 的公式来计算切应力，但是有一个特殊情形，就是当壁厚比较薄时，可以认为横截面上沿着厚度的切应力是均匀的，这样就能得到一个很简单的公式，请自行导出此公式。

范文四：圆管断面切应力

不可压缩流体恒定圆管层流

一、恒定均匀流沿程损失的基本方程

1. 恒定均匀流的沿程水头损失

在均匀流中，有v1=v2，图6-3列1-1断面与2-2断面的能量方程，得

说明：（1）在均匀流情况下，两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面间的测压管水头的差值，即液体用于克服阻力所消耗的能量全部由势能提供。

（2）总水头线坡度J 沿程不变，总水头线是一倾斜的直线。

2. 均匀流基本方程式

取断面1及2间的流体为控制体：

均匀流基本方程式

式中R =A /P 为水力半径。

2. 均匀流基本方程式

取断面1及2间的流体为控制体：

（6-4）

均匀流基本方程式

（6-5）

式中R=A/P为水力半径。

适用范围：适用于有压或无压的恒定均匀层流或均匀紊流。

二、切应力分布

如图所示一水平恒定圆管均匀流，R=r0/2，则由式可得

同理可得： 所以圆管层流的切应力分布为

或 物理意义：圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力为最大值τ0，管轴处切应力为零（图(b)）。

思考题：圆管层流流动过流断面上切应力分布为：

A. 在过流断面上是常数；

B. 管轴处是零，且与半径成正比；

C. 管壁处是零，向管轴线性增大；

D. 按抛物线分布。

正确答案：B

三、流速分布

牛顿内摩擦定律

积分得：

又边界上r =r 0时，u =0代入得：

圆管层流的流速分布

物理意义： 圆管层流过水断面上流速分布呈旋转抛物面分布。 最大流速

圆管层流的最大速度在管轴上（r =0）：

断面平均流速

即圆管层流的平均流速是最大流速的一半。

思考题1：在圆管流中，层流的断面流速分布符合：

A. 均匀规律； B. 直线变化规律；

C. 抛物线规律； D. 对数曲线规律。

思考题2： 圆管层流，实测管轴线上流速为4m ／s ，则断面平均流速为：

A. 4m／s ； B. 3.2m／s ；

C. 2m／s ； D. 1m／s 。

正确答案：1。C 2.C

四、沿程损失

圆管层流的沿程水头损失可由式求得：

式中：——沿程阻力系数。

物理意义：圆管层流中，沿程水头损失与断面平均流速的一次方成正比，而与管壁粗糙度

无关。

适用范围：1. 只适用于均匀流情况，在管路进口附近无效。

2. 推导中引用了层流的流速分布公式，但可扩展到紊流，紊流时l 值不是常数。

范文五：弯曲剪(切)应力

弯曲

剪(切)应力

[知识回顾]

My,,1、弯曲时，横截面上弯曲正应力计算公式: Iz

正应力计算公式是在纯弯曲条件下推导出来的，在横力弯曲的情况下，对于跨长与截面高之比大于5的梁(细长梁)仍使用，且误差很小。

弯矩最大的截面称为危险截面;危险截面上距中性轴最远的各点称危险点。 2、伽利略在1638 年出版了《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明》一书，在此书

中伽利略讨论了悬臂木梁的弯曲问题，他认为梁横截面上的正应力是均匀分布的。

伽利略是最早尝试用科学的解析方法确定构件安全尺寸的人。悬臂木梁的弯曲试验是最早的材料力学试验。

h

Flbh ，，,,

2

M ,,2 (bh2)

伽利略以上述公式为基础分析讨论了矩形截面梁的横放和竖放问题，以及实心圆截面梁和空心圆截面梁的优劣问题，并给出了正确的结论。

设问:1、矩形截面梁横放和竖放哪种合理, 竖放

2、实心圆截面梁和空心圆截面梁那种好, 空心圆截面

3、伽利略分析弯曲正应力的错误之处, 错误之处:力在水平方向不平衡。

[导入新课]

对细长梁而言:弯曲正应力是梁强度计算的主要因素，满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足切应力强度条件，有的梁跨度小，截面很高，即非细长梁，对非细长梁有必要研究弯曲剪应力。

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[新课教学]

弯曲剪(切)应力

一、弯曲时梁的剪应力(ppt+板书)

(一)矩形截面梁:

假设:

1、 剪应力与剪力平行;

2、 矩中性轴等距离处，剪应力相等，

即沿截面宽度均匀分布。

研究方法:分离体平衡。

1、在梁上取微段如图;

2、在微段上取一块研究

F,0,x

F,F,,bdx,0N1N21

*MSM **zFdAydA,,,,N22,, II**zzAA *MdMS(，)z F,N1Iz

** FSSdMSzz,,,1 dxbIbIzz

由剪应力互等定理

*FSSz ,,,,1bIz

F为截面剪力;Sz *为距中性轴y 的线以下的面积对中性轴之静矩; S

Iz为整个截面对z轴之惯性矩;b 为y点处截面宽度。

1

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h，y2 hbh***22S,yA,b(,y),(,y)zc 2224 2FhS2 ,,(,y)2I4z h,, ,,0y 2 F3Sy,0 ,,,1.5,max 2A

τ方向:与横截面上剪力方向相同;

τ大小:沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。

最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

(二)几种常见截面的最大弯曲剪应力(研究方法与矩形截面同)(板书)

截面上的最大弯曲剪应力发生在中性轴上

1、工字钢截面:

FS ,,max A

A —腹板的面积 ,min ,max

结论:

1)翼缘部分τ? 腹板上的τ，只计算腹板上的τ。 maxmaxmax2)铅垂剪应力主要腹板承受(95~97%)，且τ? τ故工字钢最大剪应力 maxmin

FS ,, maxA2、圆截面:

4F4S ,,,,max33A

3、薄壁圆环:

2F S ,,,2,max A

2

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二、剪应力强度条件

1、剪应力强度条件:

*FSSzmaxmax,,,[,] maxbIz

依此强度准则可进行三种强度计算

对细长梁而言:弯曲正应力是梁强度计算的主要因素，满足弯曲正应力强度条件的梁， 一般都能满足切应力强度条件。

2、需要校核剪应力的几种特殊情况:

1)梁的跨度较短，M 较小，而F较大时，要校核剪应力。 S

2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，

要校核剪应力。

3)各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核剪应力。 三、强度条件的应用(板书)

例1:

已知:悬臂梁由三块木板粘接而成。

跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，

木材的[σ]= 10 MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。

解:

1.画梁的剪力图和弯矩图

2.按正应力强度条件计算许可载荷

M6Flmax1,,,,,,, max2Wbhz

272,9bh10，100，150，10,,, F,,,3.75kN1 l66

3.按切应力强度条件计算许可载荷

,,,,3F/2A,3F/2bh,,maxS2 6,6F,2,,,bh/3,2，10，100，150，10/3,10kN 2

4.按胶合面强度条件计算许可载荷

2h,,Fb ,,3*FSF43,,SZ3 ,,,,,,,,gg3bhIbbh3Z b12

,66 3,,bh,3，100，150，10，0.34，10g,,F344 3

,3825N,3.825kN

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5.梁的许可载荷为

,,,,,,F,F3.75kN10kN3.825kN,3.75kN iminmin

例2:

已知:矩形(b，h=0.12m，0.18m)截面木梁如图，

[,]=7MPa，[,]=0. 9 MPa。

试求:最大正应力和最大剪应力之比,

并校核梁的强度。

解:

1、画内力图求危险截面内力

qLF,,5.4kNSmax 22 qLM,,4.05kNmmax 8

2、求最大应力并校核强度

M6M6，4050 maxmax,,,,max22 Wbh0.12，0.18z

,6.25MPa,7MPa,[,]

F1.5，5400Smax ,,1.5,maxA0.12，0.18

,0.375MPa,0.9MPa,[,]

3、应力之比

,M2ALmaxmax ,,,16.7,W3FhmaxzS

最大正应力远远大于最大切应力，弯曲正应力是控制梁的主要因素。

4

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四、提高梁强度的主要措施(板书+ppt)

研究提高梁强度的措施具有重要的实际意义。据统计，全世界每年有近百架桥梁因 各种原因发生倒塌破坏，给人民生命财产造成巨大的损失，破坏的原因大多是因为强度 失效。作为逢山开路、遇水架桥的工程兵指挥官，研究提高梁的强度，对于顺利完成作 战任务，起到不容质疑的可靠保证。

我们知道，在梁的横截面上，不仅存在弯曲正应力，还存在切应力，弯曲正应力是控 制梁的主要因素，设计梁时，弯曲正应力强度条件是主要依据。

等截面梁:

M max,,,[,]max WZ

(一) 合理安排梁的受力情况(降低 M) max

1、合理安排支座

F

F ppt 门式起重

机(龙门吊车)

F

ppt 柱形容器 (油罐车)

5

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2、合理布置载荷

F 在条件允许的 条件下，尽可 能把较大的力 分散成较小的 力，或改变成 分布载荷 (二)梁的合理截面(增大 W) Z M,[,]Wmaxz

1、合理设计截面 Wz抗弯截面模量越大越好，面积越小越好。用 来衡量截面形状的合理性和经济性，

A比值大的就较经济。

桥式起重机的

大梁、钢结构

中的抗弯杆

件，经常采用

工字钢、槽钢

或箱形截面

可见:工字钢或槽钢比矩形截面经济合理，矩形截面比圆形截面经济合理。

2、合理放置截面

工程中在安放矩形截面梁时，一般总是将梁竖放，使其高度h大于宽度b。

ppt 房屋和

桥梁等建筑物

中的矩形截面

梁一般都竖放

22bhhb ,WZ,WZ66 6

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承载能力大 承载能力小

3、材料特性

对抗拉和抗压强度相等的材料(碳钢)，宜采用中性轴为对称轴的截面，如:圆形， 矩形或工字形等。这样可使最大拉应力和最大压应力数值相等，同时接近许用应力;

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，如:

若满足该关系 T字形类的截面。

最大拉应力和

,,MyMy[]ytmaxmax1max2t1最大压应力可 ,,,/

,IIy[,]同时接近许用 cmaxzz2c

应力

(三)等强度梁(板书+ppt)

等截面梁，只有弯矩最大的截面上，应力最大的点才是危险点，其余各截面上弯矩较小， 应力较低，材料没有充分利用。为了节约材料，减轻自重，可以改变截面尺寸，使抗弯截 面系数随弯矩变化。

变截面梁:截面沿轴线变化的梁。

等强度梁:变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力。

M(x)Mx() ,,,[,]Wx,()maxW(x)[,]

叠板弹簧

阶梯轴代替理论

上的等强度梁----

7 加工方便。

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民

8

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