公交车上玩车震
经过新课程的实践,我认为老师必然走过以下四个阶段: 3.1充满激情.新教材特别亲切,不像以前的教材那样文字 特别多,给人以距离感.它联系实际生活,增加了许多小栏目 和图片,使得教材内容更加丰富.老师拿到新教材当初就感 到兴奋.
3.2产生困惑,比如课时不够,教材正文和习题的论点存在 较大落差等.如《化学与技术》,《化学与生活》这些选修模块, 在以前教学中接触比较少,将来自己教学时能不能很顺利适 应,很没有把握.《化学反应原理》对教师学科知识要求较高. 3.3产生困惑后就应该深入反思,看看自己实际的教学行 为和新课程的要求之间是不是有一定的距离.尽快修正理论 和实践中存在的一些偏差,寻找理论和实践的最佳结合点. 3.4经过反思后应该达成共识.最后认为教师应做到以下 几点:
3.4.1老师要有一种热情,一种勇气去面对新课程,去投入 到新课程之中,去迎接挑战.新课程对所有的老师,不管是骨 干教师,还是一般老师,不管是青年教师,还是原来的老教师 都是一种挑战.在这个时候每个人都不能退缩,要投入到工 作中去,去挑战自我.
3.4.2我认为新课程从前期准备到真正进入之后,我们要努 力提高自己的学科专业水平.这是非常重要的,我们要静下 心来,踏踏实实的坐到书桌上去做学问.只有这样我们才能 当代教育发展学刊2?c0
HB托Dc"厶H
够把自己的专业能力提高.高中新课程和初中相比变化更
大,初中是一种教学方法的变革,而高中是教学内容的一种 学科的发展.原来高中教师的教学是为高考服务,而现在有 所不同,在新课程背景下,对高中老师的专业发展提出了更 高的要求.一句话就是我们要树立自己的专业自信心,踏踏 实实的做学问.
3.4.3我认为进入新课改以后,我们不但要转变学生的学习 方式,还要改变老师的专业发展.我们要加强合作式学习,加 强教改研修,加强同行之间的专业对话,要依靠集体的力量. 学校方面我建议在专业发展的过程中还应该有所分组分类. 一
个学校里老师很多,学科也很多.老师应该组成团队对选 修模块一个个攻破,然后在学校内部团队中进行相互交流, 有所突破,有所横向的发展.
3.4_4我认为作为老师,进入新课程改革以后应该在工作中 发现问题,将问题当作一种科研对待,研究问题上升到理论, 运用我们所学的教育教学理论解决实际问题.每一个人,每 一
个教研组都要做研究型教师,做研究型教研组,团队的发 展会促进个人的发展,促进学校的发展,对学生也有好处. 总的来看,高中化学新课程教学中要严格把握新课标, 与时俱进,紧密结合社会生产生活实际,借鉴课改高考地区 的高考试题以及其相关经验教训,很好的使用新课程的教 材,改变过去以教材为本的教学理念.
:
告星球=斜乏专与平p斤
湖南省麻阳民族中学高二理(5)班(419400)胡小辉 求出平面法向量和斜线的夹角,这个角与为锐角时与线 面夹角互余,当这个角是钝角时线面夹角等于这个角减去9O 度.利用这个原理也可以证明线面平行;
例,如图所示,在直三棱
柱ABC&#O4BC中,底面是
等腰直角三角形,A.ACB=
90.,侧棱AA=2,D,E分别为
CCl,AB的中点,点在平面
ABD上的射影G为aABD
的重心.求AB与平面ABD
所成角的大小.
分析:斜线的方向向量在平面的单位法向量上的射影与斜线 段的长度之比,就是线面所成角的正弦值.设斜线段PA在 面内的射影为DA,则sin/_PA0=-』亏IPAI 解:如图1所示建立坐标系,因为EG上面ABD,所以 A_EBG为所求角,设AC=a,则
A【a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,1),
E
(争,争,),G(a,a,1),
=
(,争,2),AD=(一n,0,1)
?=0,得n:2
设面ABD的法向量为=(,y,z), 由=o
【,;.:o
_(1,1,2)j
而耐:(1,,1,1),
所邱=孚,
即所求角为
E—mail:jyfzxk'@163.COmj47
平面的斜线和平面所成的角 2010
平面的斜线和平面所成的角 2010.5.30 曹青育
教学目的 掌握平面的斜线和平面所成的角 教学重点 斜线和平面所成角的求法 教学过程 一 课前练习
1. （2009·沈阳模拟）已知直线l 与平面α成45°角，直线m α，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
【解析】选C. 由cos α=cos45°cos45°= 知，α=60°. 即l 、m 所成的角为60.
3. （2008·四川高考）直线l 平面α, 经过α外一点A 与l 、α都成30°角的直线有且只有( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【解析】选B. 所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，故选B. 二 例题讲解
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E ，F 分别为AA1，AB 的中点，求EF 与平面AA1C1C 所成的角的大小.
【解析】如图，设正方体的棱长为2, 过F 作FG ⊥AC 于G ，连结EG , ∵AA1⊥平面ABCD ，
∴AA1⊥FG ，
又∵FG ⊥AC,AA1∩AC=A, ∴FG ⊥平面AA1C1C,
则∠FEG 即为EF 与平面AA1C1C 所成的角.
连结BD 交AC 于O ，则OB ⊥AC, ∴FG ∥OB.
2. （思维拓展题）如图所示，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM=MB=MN. （1）证明AC ⊥NB ；
（2）若∠ACB=60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.
【解析】建立如图空间直角坐标系M-xyz. 令MN=1，则有A(-1,0,0), B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵MN 是l 1、l 2的公垂线段, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥面ABN, ∴l 2∥z 轴，故可设C （0,1,m ）.
三 课堂练习
1.AB ∥平面α，AC ⊥α于C ，BD 是α的斜线，D 是斜足，若AC=9，BD= ，则BD 与α所成角为_______.
【解析】如图，过B 作BE ⊥α于E ， ∵AB ∥α，∴BE=AC=9，
∴sinBDE=
∴∠BDE=60°. 答案：60°
四 小结 掌握线面角的求法，能熟练利用向量解决问题 五 作业 P19 第4 ，6 题
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角
学而不思则罔～思而不学则殆。 ——《论语》
Learning is the eye of the mind. 学问是心灵的眼睛。
版权所有 不得转录
高二数学(第28讲)
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角
主讲教师:陈兆华(苏州中学)
主讲教师:张祖望(苏州中学)
【学习内容】
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角。
【学习指导】
一、斜线在平面内的射影，斜线与平面成角问题:
1(掌握斜线在平面内的射影的作法步骤:
?作垂线得垂足;?连斜足与垂足得射影。
,2(利用“斜线段相等射影相等”掌握三个重要的射影:
设P为?ABC所在平面外的一点，O为P在平面ABC内的射影，则有
? P到?ABC的三个顶点等距离，则O为?ABC的外心。
? P到?ABC的三条边等距离(且O在?ABC的内部)，则O为?ABC的内心。 ? PA?BC，PB?AC，则O为?ABC的垂心。
3(掌握线面成角的定义、范围及最小角原理。
? 定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
补充定义:当直线与平面垂直时，成角为90?;当直线在平面内或与平面平行时，成角为0? ? 范围:,0?，90?,(斜线与平面成角范围为(0?，90?)
? 斜线与平面成角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 二、三垂线定理问题
,,1(要分清三垂线定理与逆定理:定理为“垂直射影垂直斜线”;逆定理为“垂直斜线垂直射
影”。
2(要充分认识三垂线定理及逆定理的重要作用:
?证线线垂直(将判定“空间中的两条直线是否垂直”与判定“平面中的两条直线是否垂直‘进行互相转化);
?求平面外一点到平面内一条直线的距离(常从垂足向此直线作垂线段，求出其长后再用三垂线定理及勾股定理求解)
【典型例题分析】
例1(如图，在正方体ABCD,ABCD中，求: 1111
(1)AB与平面ABCD所成的角; 111
(2)BB在平面ACB所成角的正切值。 111
分析 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影。
(1)先找到斜足A，再找出B在平面ABCD内的射影，即从B向平面ABCD作垂线，一定11111要证明它是平面ABCD的垂线。 11
这里可证BC?平面ABCD，O为垂足， 111
?AO为AB在平面ABCD上的射影。 1111
(2)若将平面DDBB竖直放置在正前方，则AC横放在正前方，估计BB在平面ACB内的1111111射影应落在OB上，这是因为AC?平面DDBB，?故作BH?OB交于H时，BH?AC，即H1111111111为B在平面ACB内的射影(另在求此角大小时，只要求?BBO即可。 11111
解 (1)如图，连结BC，交BC于O，连AO。 111
,?AB?平面BBCC，BC平面BBCC，?AB?BC。 1111111111
又BC?BC，AB?BC,B， 111111
?BC?平面ABCD，O为垂足， 111
?AO为AB在平面ABCD上的射影， 1111
则?BAO为AB与平面ABCD所成的角。 1111
1BO,sin?BAO,，??BAO,30?。 112AB1
(2)连结AC交BD于O，连BO， 111111
作BH?BO于H(?AC?平面DDBB，?AC?BH。 111111111
又BH?BO，AC?BO,O，?BH?平面ACB， 111111111
??BBO为BB与平面ACB所成的角， 11111
BO2211tan?BBO =,，即BB与平面ACB所成的角的正切值为。 11112BB21
例2(Rt?ABC中，?C,90?，BC,36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为80，M为AC的中点。
(1)求证:PM?AC;
(2)求P到直线AC的距离;
(3)求PM与平面ABC所成角的正切值。
分析 点P到?ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为?ABC的外心，而?ABC
为直角三角形，其外心为斜边的中点。
证明 (1)?PA,PC，M是AC中点，?PM?AC
解 (2)?BC,36，?MH,18，又PH,80，
2222PH，MH,80，18,82?PM,，即P到直线AC的距离为82;
(3)?PM=PB=PC，?P在平面ABC内的射线为?ABC的外心，
??C=90? ?P在平面ABC内的射线为AB的中点H。
?PH?平面ABC，?HM为PM在平面ABC上的射影，
PH8040则?PMH为PM与平面ABC所成的角，?tan?PMH,。 ,,MH189
例3(如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM
与平面BCD所成角的余弦值。
分析 要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗。
解 作AO?平面BCD于O，连DO，作MN?平面BCD于N，则N?OD。
6233622设AD,a，则OD,，?AO,，?MN,。 ,a,aAD,OD,aa63233
721322又?CM,，?CN,。 CM,MN,a,aa2126
CN7?CM与平面BCD所成角的余弦值为。 ,CM3
点评 从以上三例可见，要求出线面成角，关键是作出平面的垂线而找出射影(另外有关量的运
算，要注意在某些平面图形中作出并计算。
例4(如图，在正方体ABCD,ABCD中，M是棱AA的中点，N在AB上，且AN?NB,1?3，11111求证:CM?MN。 1
分析 在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直线。此题CM与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法1
为:因MN是平面AABB内的一条直线，可考虑MC在平面AABB内的射影。 11111
5证明1 设正方体的棱长为,，则MN,， a4
a33a41222222CM,，CN,， a，a，(),aa，a，(),a114422
222?MN，MC,NC，?CM?MN。 111
证明2 连结BM，?CB?平面AABB， 11111
?BM为CM在平面AABB上的射影。 1111
111aa设棱长为a ，?AN,，AM,，?tan?AMN,， 422
1又tan?ABM,，则?AMN,?ABM，?BM?MN， 111112
由三垂线定理知，CM?MN。 1
例5( 如图，?AOB在平面α内，OP为平面α的斜线，PH?α，H为垂足，若?POA,?POB，
求证:?HOA,?HOB。
证明 过H作HE?OA于E，过H作HF?OB于F，
?PH?平面α，?PE?OA，PF?OB。
在Rt?PEO和Rt?PFO中，
??POA,?POB，PO,PO，
?Rt?PEO?Rt?PFO，则OE,OF。
又OH,OH，?Rt?OHE?Rt?OHF。
则?HOA,?HOB。
,点评 从一点出发的斜线段中，“斜线段相等射影相等”是一个非常重要的结论，这说明垂线段PH的“顶P”有怎样的属性，则PH的“足H”也有怎样的属性，反之也然。
,如“PA,PB,PC” “OA,OB,OC”(这里PO与?AOB的两边成等角，故HO也与?AOB的两边成等角(要熟练掌握以上特性，即要记住以上特性，还要学会证明。
例6(如图，ABCD为直角梯形，?DAB,?ABC,90?，AB,BC,a，AD,2a，PA?平面ABCD，PA,a。
(1)求证:PC?CD;
(2)求点B到直线PC的距离。
分析 (1)要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明((2)从B向直线PC作垂直，可利用?PBC求高，但需求出三边，并判断其形状(事实上，这里的?PBC,90?);另一种重要的思想是:因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影。
证明 (1)取AD的中点E，连AC，CE，
则ABCE是正方形，?CED为等腰直角三角形。
?AC?CD，?PA?平面ABCD，?AC为PC在平面ABCD上的射影，?PC?CD;
解 (2)连BE交AC于O，则BE?AC，
又BE?PA，AC?PA,A，?BE?平面PAC。
过O作OH?PC于H，连BH，则BH?PC。
1a,2a6,,a3a?PA,a，AC,2a，?PC,，则OH,， 263a
6222?BO,，?BH,BO，OH,a a23
【同步练习】
1(四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有 ( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
2(P是四边形ABCD所在平面外一点，若P到四边等距离，且P在平面ABCD上的射影在四边形ABCD内部，则四边形ABCD是 ( )
(A)正方形 (B)菱形
(C)圆外切四边形 (D)圆内接四边形
3(直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C，1
,且CAB，则?CAB为 ( ) 11
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上都不对
,4(斜线AB交平面于B，AB与平面α成60?角BCα，则?ABC的取值范围为( )
(A)(0?，60?) (B),60?，90?,
(C),60?，120?, (D),60?，180?,
,5(?ABC在平面α内，?C,90?，点,α，PA=PB=PC=7， AB=10， 则点P到平面α的距离等于
6(P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PA?AB，PA?AF，PA,a，则点P到边CD的距离是
7(PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角为60?，则PA与平面PBC所成的角等于 。
8(过平面α外一点P引两条斜线PA，PB，它们与α所成的角分别为30?，45?，且它们在α内的射影互相垂直，则这两条斜线夹角的余弦值等于 。
9(如图，在?ABC中，?ACB,90?，AB,8， ?BAC,60?，PC?平面
ABC，PC,4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值。
10(如图，在Rt?ABC中，已知?C,90?，AC,BC,1，PA?平面ABC，
且PA,，求PB与平面PAC所成的角。 2
11(P为Rt?ABC所在平面外一点，已知P点到直角顶点C的距离是24cm，到两条直角边的距离都是cm(求: 610
(1)点P到平面α的距离;
(2)PC与平面α所成的角。
12(如图，已知PA?矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点。
(1)求证:MN?CD;
(2)若?PDA,45?，求证:MN?平面PCD。
【练习答案】
1((D)
设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形。
2((C)
设P在平面ABCD上的射影为O，因P到四边等距离，所以O到四边等距离，则四边形ABCD是圆外切四边形。
3((C)
2222 ?CA+CB
4((C)
由最小角原理知，?ABC最小为60?，又?ABC是由两条射线BA与BC所成的角，最大为120?。
265( 。
?PA,PB,PC，?P在平面α内的射影为?ABC的外心,，??C,90?，?,为AB的中点，?AO
227,5,26,5，PA,7，?PO,
6(2a。
平面ABCDEF，A到CD的距离为，?P到边CD的距离是2a PA?3a
37(。 arccos3
如图，设PA,1，作AE?PB于E，作AF?PC于F，PH?平面PBC于H，可证
?HPB,?HPC，且cos?APF=cos?APH?cos?HPC，
3设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos60?= cosθ?cos30?，?cosθ,，则PA与平面PBC所成3
3的角等于。 arccos3
28(。 4
设P在平面α内的射影为H，设PH,h， 则PA,2h， AH,3h，PB,
12PBh222,,， BH,h，则AB,2h，cos?APB= 2hPA2h4
9(解 作CH?AB于H，连结PH，?PC?平面ABC，?PH?AB，则当点M在H时，PM最小。
23?AC,8cos60?,4，?CH,4sin60?,，
22CH，PC,27?PH,。
27即PM的最小值为。
,PA,平面ABC,,PA,BC,,BC,平面ABC,,,10(解 AC,BC,BC,平面PAC，,,PA,AC,A,,,
?PB与平面PAC所成的角为?BPC。
?AC,1，PA,，?PC,3， 2
13,又BC,1，tan?BPC,，??BPC,30? 33
11(解 (1)如图，作PH?平面ABC，H为垂足，过H作HE?CA
于E，过H作HF?CB于F，
?PH?平面α，?PE?CA，PF?CB。
在Rt?PCE和Rt?PCF中，
?PE,PF，PC,PC，
?Rt?PCE?Rt?PCF，则CE,CF。
610由PC,24， PE,PF,66，得CE,CF, ?Rt?CHE?Rt?CHF，?ACH,?BCH,45?，
22PC,HC,12?CH,2CE,123(则PH,(cm)。 即点P到平面α的距离为12cm。
(2)?PH?平面ABC，?PC与平面α所成的角为?PCH，
121,sin?PCH,(??PCH,30?，即PC与平面α所成的角为30?。 242
12(证明 (1)连AC?BD,O，连NO，MO，则NO?PA。 ?PA?平面ABCD，?NO?平面ABCD。
?MO?AB，?MN?AB，而CD?AB，?MN?CD; (2)??PDA,45?，?PA,AD，
由?PAM??CBM得PM,CM，
?N为PC中点，?MN?PC。
又MN?CD，PC?CD,C，?MN?平面PCD。
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角
高二数学(第28讲)
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角。
【学习内容】
斜线在平面内的射影，直线与平面所成的角。
【学习指导】
一、斜线在平面内的射影，斜线与平面成角问题:
1(掌握斜线在平面内的射影的作法步骤:
?作垂线得垂足;?连斜足与垂足得射影。
2(利用“斜线段相等射影相等”掌握三个重要的射影: ,
设P为?ABC所在平面外的一点，O为P在平面ABC内的射影，则有
? P到?ABC的三个顶点等距离，则O为?ABC的外心。
? P到?ABC的三条边等距离(且O在?ABC的内部)，则O为?ABC的内心。
? PA?BC，PB?AC，则O为?ABC的垂心。
3(掌握线面成角的定义、范围及最小角原理。
? 定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
补充定义:当直线与平面垂直时，成角为90?;当直线在平面内或与平面平行时，成角为0?
? 范围:,0?，90?,(斜线与平面成角范围为(0?，90?)
? 斜线与平面成角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中最小的角。
二、三垂线定理问题
1(要分清三垂线定理与逆定理:定理为“垂直射影垂直斜线”;逆定,理为“垂直斜线垂直射影”。 ,
2(要充分认识三垂线定理及逆定理的重要作用:
?证线线垂直(将判定“空间中的两条直线是否垂直”与判定“平面中的两条直线是否垂直‘进行互相转化);
?求平面外一点到平面内一条直线的距离(常从垂足向此直线作垂线段，
求出其长后再用三垂线定理及勾股定理求解)
【典型例题分析】
例1(如图，在正方体ABCD,ABCD中，求: 1111
(1)AB与平面ABCD所成的角; 111
(2)BB在平面ACB所成角的正切值。 111
分析 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影。
(1)先找到斜足A，再找出B在平面ABCD内的射影，即从B向平111
面ABCD作垂线，一定要证明它是平面ABCD的垂线。 1111
这里可证BC?平面ABCD，O为垂足， 111
?AO为AB在平面ABCD上的射影。 1111
(2)若将平面DDBB竖直放置在正前方，则AC横放在正前方，估1111计BB在平面ACB内的射影应落在OB上，这是因为AC?平面DDBB，11111111
?故作BH?OB交于H时，BH?AC，即H为B在平面ACB内的射影(另11111111在求此角大小时，只要求?BBO即可。 11
解 (1)如图，连结BC，交BC于O，连AO。 111
?AB?平面BBCC，BC平面BBCC，?AB?BC。 ,1111111111
又BC?BC，AB?BC,B， 111111
?BC?平面ABCD，O为垂足， 111
?AO为AB在平面ABCD上的射影， 1111
则?BAO为AB与平面ABCD所成的角。 1111
BO1,sin?BAO,，??BAO,30?。 11AB21
(2)连结AC交BD于O，连BO， 111111
作BH?BO于H(?AC?平面DDBB，?AC?BH。 111111111
又BH?BO，AC?BO,O，?BH?平面ACB， 111111111
??BBO为BB与平面ACB所成的角， 11111
BO2211,tan?BBO =，即BB与平面ACB所成的角的正切值为。 1111BB221
例2(Rt?ABC中，?C,90?，BC,36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为80，M为AC的中点。
(1)求证:PM?AC;
(2)求P到直线AC的距离;
(3)求PM与平面ABC所成角的正切值。
分析 点P到?ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为?ABC的外心，而?ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点。
证明 (1)?PA,PC，M是AC中点，?PM?AC
解 (2)?BC,36，?MH,18，又PH,80，
2222?PM,，即P到直线AC的距离为82; PH，MH,80，18,82
(3)?PM=PB=PC，?P在平面ABC内的射线为?ABC的外心，
??C=90? ?P在平面ABC内的射线为AB的中点H。
?PH?平面ABC，?HM为PM在平面ABC上的射影，
PH8040则?PMH为PM与平面ABC所成的角，?tan?PMH,。 ,,MH189
例3(如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。
分析 要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作
出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只
需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗。
解 作AO?平面BCD于O，连DO，作MN?平面BCD于N，则N?OD。
6233622,a,aAD,OD,aa设AD,a，则OD,，?AO,，?MN,。 63233
372122CM,MN,a,aa又?CM,，?CN,。 1262
CN7,?CM与平面BCD所成角的余弦值为。 CM3
点评 从以上三例可见，要求出线面成角，关键是作出平面的垂线而找出射影(另外有关量的运算，要注意在某些平面图形中作出并计算。
例4(如图，在正方体ABCD,ABCD中，M是棱AA的中点，N在11111AB上，且AN?NB,1?3，求证:CM?MN。 1
分析 在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直线。此题CM与MN是相交直线，一种方法可通1
过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为:因MN是平面AABB内的一条直线，可考虑MC在平面AABB内的射影。 11111
5证明1 设正方体的棱长为,，则MN,a， 4
a33a41222222a，a，(),aa，a，(),aCM,，CN,， 114422
222?MN，MC,NC，?CM?MN。 111
证明2 连结BM，?CB?平面AABB， 11111
?BM为CM在平面AABB上的射影。 1111
111aa设棱长为a ，?AN,，AM,，?tan?AMN,， 422
1又tan?ABM,，则?AMN,?ABM，?BM?MN， 111112
由三垂线定理知，CM?MN。 1
例5( 如图，?AOB在平面α内，OP为平面α的
斜线，PH?α，H为垂足，若?POA,?POB，求证:?HOA,?HOB。
证明 过H作HE?OA于E，过H作HF?OB于F，
?PH?平面α，?PE?OA，PF?OB。
在Rt?PEO和Rt?PFO中，
??POA,?POB，PO,PO，
?Rt?PEO?Rt?PFO，则OE,OF。
又OH,OH，?Rt?OHE?Rt?OHF。
则?HOA,?HOB。
点评 从一点出发的斜线段中，“斜线段相等射影相等”是一个非常重,
要的结论，这说明垂线段PH的“顶P”有怎样的属性，则PH的“足H”也有怎样的属性，反之也然。
如“PA,PB,PC” “OA,OB,OC”(这里PO与?AOB的两边成,
等角，故HO也与?AOB的两边成等角(要熟练掌握以上特性，即要记住以上特性，还要学会证明。
例6(如图，ABCD为直角梯形，?DAB,?ABC,90?，AB,BC,a，AD,2a，PA?平面ABCD，PA,a。
(1)求证:PC?CD;
(2)求点B到直线PC的距离。
分析 (1)要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明((2)从B向直线PC作垂直，可利用?PBC求
高，但需求出三边，并判断其形状(事实上，这里的?PBC,90?);另一种重要的思想是:因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影。
证明 (1)取AD的中点E，连AC，CE，
则ABCE是正方形，?CED为等腰直角三角形。
?AC?CD，?PA?平面ABCD，?AC为PC在平面ABCD上的射影，?PC?CD;
解 (2)连BE交AC于O，则BE?AC，
又BE?PA，AC?PA,A，?BE?平面PAC。
过O作OH?PC于H，连BH，则BH?PC。
1a,2a6,,a3a2a?PA,a，AC,，?PC,，则OH,， 263a
2622BO，OH,aa?BO,，?BH, 32
【同步练习】
1(四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有
( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
2(P是四边形ABCD所在平面外一点，若P到四边等距离，且P在平面ABCD上的射影在四边形ABCD内部，则四边形ABCD是
( )
(A)正方形 (B)菱形
(C)圆外切四边形 (D)圆内接四边形
3(直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C，且CAB，则?CAB为 ,111
( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上都不对
4(斜线AB交平面于B，AB与平面α成60?角BCα，则?ABC的取,值范围为( )
(A)(0?，60?) (B),60?，90?,
(C),60?，120?, (D),60?，180?,
,5(?ABC在平面α内，?C,90?，点,α，PA=PB=PC=7， AB=10， 则点P到平面α的距离等于
6(P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PA?AB，PA?AF，PA,a，则点P到边CD的距离是
7(PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角为60?，则PA与平面PBC所成的角等于 。
8(过平面α外一点P引两条斜线PA，PB，它们与α所成的角分别为30?，45?，且它们在α内的射影互相垂直，则这两条斜线夹角的余弦值等于 。
9(如图，在?ABC中，?ACB,90?，AB,8， ?BAC,60?，PC?平面ABC，PC,4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值。
10(如图，在Rt?ABC中，已知?C,90?，AC,BC,1，
2PA?平面ABC，且PA,，求PB与平面PAC所成的角。
11(P为Rt?ABC所在平面外一点，已知P点到直角顶点C的距离是
61024cm，到两条直角边的距离都是cm(求:
(1)点P到平面α的距离;
(2)PC与平面α所成的角。
12(如图，已知PA?矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点。
(1)求证:MN?CD;
(2)若?PDA,45?，求证:MN?平面PCD。
【练习答案】
1((D)
设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形。
2((C)
设P在平面ABCD上的射影为O，因P到四边等距离，所以O到四边等距离，则四边形ABCD是圆外切四边形。
3((C)
2222 ?CA+CB
4((C)
由最小角原理知，?ABC最小为60?，又?ABC是由两条射线BA与BC所成的角，最大为120?。
265( 。
?PA,PB,PC，?P在平面α内的射影为?ABC的外心,，??C,90?，
22?,为AB的中点，?AO,5，PA,7，?PO, 7,5,26
6(2a。
3aPA?平面ABCDEF，A到CD的距离为，?P到边CD的距离是2a
37(。 arccos3
如图，设PA,1，作AE?PB于E，作AF?PC于F，PH?平面PBC于H，可证?HPB,?HPC，且cos?APF=cos?APH?cos?HPC，
3设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos60?= cosθ?cos30?，?cosθ,，3
3arccos则PA与平面PBC所成的角等于。 3
28(。 4
设P在平面α内的射影为H，设PH,h， 则PA,2h，
3h2hAH,，PB,， BH,h，则AB,2h，
12PBh222cos?APB=,, PA2h4
9(解 作CH?AB于H，连结PH，?PC?平面ABC，?PH?AB，则当点M在H时，PM最小。
?AC,8cos60?,4，?CH,4sin60?,23，
22?PH,。 CH，PC,27
27即PM的最小值为。
10(解
,PA,平面ABC,,PA,BC,,BC,平面ABC,,, AC,BC,BC,平面PAC，,,PA,AC,A,,,
?PB与平面PAC所成的角为?BPC。
3?AC,1，PA,2，?PC,，
13,又BC,1，tan?BPC,，??BPC,30? 33
11(解 (1)如图，作PH?平面ABC，H为垂足，
过H作HE?CA于E，过H作HF?CB于F， ?PH?平面α，?PE?CA，PF?CB。 在Rt?PCE和Rt?PCF中，
?PE,PF，PC,PC，
?Rt?PCE?Rt?PCF，则CE,CF。
61066由PC,24， PE,PF,，得CE,CF, ?Rt?CHE?Rt?CHF，?ACH,?BCH,45?，
222CE,123PC,HC,12?CH,(则PH,(cm)。
即点P到平面α的距离为12cm。
(2)?PH?平面ABC，?PC与平面α所成的角为?PCH，
121sin?PCH,(??PCH,30?，即PC与平面α所成的角为30?。 ,242
12(证明 (1)连AC?BD,O，连NO，MO，则
NO?PA。
?PA?平面ABCD，?NO?平面ABCD。 ?MO?AB，?MN?AB，而CD?AB，?MN?CD; (2)??PDA,45?，?PA,AD，
由?PAM??CBM得PM,CM，
?N为PC中点，?MN?PC。
又MN?CD，PC?CD,C，?MN?平面PCD。
高中数学教学论文 《斜线与平面所成的角》教学案例
《斜线与平面所成的角》教学案例
一、研究背景
当前正值数学课程改革深入发展时期，“如何解决教学难点，让学生进行主动的知识建构，”成为数学课程改革十分关注的问题。”作为一名在教学第一线的中学数学老师，深感教学难点突破的重要性和艰巨性，在《斜线与平面所成的角》这堂课的教学中触动了我对概念教学难点突破的思考。
二、教学过程描述
我设计了如下教学过程：
（1）复习直线与平面的位置关系引入课题
师：请同学们观察下面两个图形，有何不同？
师；我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
学生1：线和平面的倾斜程度。
学生2；反映直线与平面的交角
评：巧妙创设情境导入新课，激发学生兴趣，使学生自然融入课堂
（2）新授
I 、点在平面上的射影。从日常生活中物体的影子说到点在平面上的射影的概念，紧接着画图形下定义，再接着给出垂线段、斜线、斜线段的概念，然后用日常生活中树簱竿问题说明过一点的垂线段唯一，过一点的斜线段不唯一。
II 、由老师直接给出“斜线在平面上的射影”的定义，画出了习惯位置图形（平面为水平面）。 Ⅲ、师生共同讨论斜线段、垂线段的性质，得到射影定理。
Ⅳ、接下来学习“直线与平面所成的角”。
师：我们如何来度量斜线和平面的夹角呢？用数学语言怎样描述这个问题？ 生：当斜线与平面的关系是时，如何求斜线与平面所成的角？ 师：非常好，那么下面我们先来共同探究一个问题：如何求斜线与平面所成的角？
请大家利用铅笔和纸板操作、观察、分析直线与平面所成的角的各种情况，并探寻用平面内哪一条直线与斜线的夹角来定义直线与平面所成的角。
生：平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫这条斜线和这个平面所成的角。 师：若直线垂直于平面，直线在平面上的射影成为一个点，那么直线和平面所成的角又如何定义呢？
生：可以类比直线和直线垂直的，所成的角是直角。
师：两条直线平行时，它们所成的角为0°。与之相类似，直线平行于平面或在平面内时，它们所成的角又等于多少度？
生：所成角为0°。
师：现在，我们归纳一下直线和平面所成的角的取值范围。
评：从一般到特殊，引导学生对比、延伸，拓广概念。
生：直线和平面所成角范围是
斜线与平面所成的角范围是
（3）举例：
师：既然学习了新的知识就要有用武之地，请同学们先看应用举例1
（屏幕展示）。
1：求正方体中，与平面ABCD 所成的角。
师：看完题目，哪位同学们能够说说这道题怎么做？ 生：
师：能说说你的见解吗？
生：本来就是嘛！不就一眼就看出来的吗？
师：不，这是一道解答题，它需要有严密的证明过程，而不是你知道结论就可以的。
生：哦！那我就说说吧：
师：很好，这就能做到步步有据
师：接下来我们再看应用举例2
2．四面体S-ABC 中，SA 、SB 、SC 两两垂直，
师：哪位同学能够通过简单推理，把答案告诉大家？ 生： 求BC 与平面SAB 所成的角。
师：你能说出理由吗？
生：因为SA 、SB 、SC 两两垂直
（4）归纳总结求直线与平面所成角的基本步骤。
师：同学们能不能根据刚才两道题目的解答过程，说说求线面夹角的一些体会和感悟。 评：正确的解题方法也应当由学生自己探索。
生：先找垂线，再找射影，定夹角，最后求夹角。
师：基本上把解题思路讲清楚了，但是漏了一个重要的环节，找完角要证明，这样才能做到步步有据。
师归纳：求直线和平面所成的角时，应注意的问题：
（１）先判断直线和平面的位置关系
（２）当直线和平面斜交时，常以以下步骤：
作——作出或找到斜线与射影所成的角。
证——论证所作或找到的角为所求的角。
算——常用解三角形的方法或公式法求角。
答——点明斜线和平面所成的角。
（5）练习
师：再接下来我们看应用举例3（屏幕展示）
3、如图，在正方体中，求面对角线与面所成的角
请同学们先分析这道题要我们做什么？
生：求线与面的夹角。
师：那就请同学们按刚才总结的步骤动笔做做这道题。
（巡一圈后，把一个做得较完整、较清楚的学生的样本拿到视频展示台展示）
展示学生做的内容：
（6）小结
师：通过前面的学习，我们一起总结这一节课主要学习了什么知识和技能？
生：我们学习了：（1）有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念。（2）线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角，在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影并按以下步骤：（一）作：（1）作垂线（2）找射影（3）确定夹角（二）证（三）算：构造三角形求解（四）答
（7）布置作业
三、课后反思
美国教育家舒尔曼认为：学科教学知识是教师知识的主要成分，呈现则是学科教学的重要方式。“斜线在平面上的射影”该内容我认为有两处难点。一是“射影”的概念，二是在非习惯位置下斜线在平面上射影的识别。如何呈现“直线与平面所成的角”这一概念的形成过程呢？学习这一内容之前已学习了“异面直线所成的角”，若那里我们是通过类比，联想及直
观的方法逐渐引出概念，明确定义的合理性的话，这里可以引导学生用同样的方法自主研究学习。所以我在教学过程做如下引导：
1、问题提出：通过模型显示，直线与平面也可以形成大小不同的“角”，有的直线与平面也可以形成不同的“距离”，如何寻找一个合适的几何量来刻划直线与平面吗？平面之间的倾斜程度和远近程度呢？我们可以借鉴我们已前学习的哪个内容的方法来研究学习？（学生自然会回答可用“角”与“距离”来描述，可以借鉴“平面直线所以成角的”的学习方法）
2、逐步形成概念：①、直线与直线有所成角的概念，直线与平面哪来的“角”呢？如何规定“直线与平面所成的角”呢？②、能否象平面直线所成角那样找出两条相交直线所成的角来确定直线与平面所成的角呢？引导学生讨论，归纳学生作“角”的方法：斜线与在平面内过斜足的直线所成的角，或者是斜线与在斜线在平面内的射影所成的角。在此基础上，引导学生讨论那一个合理一些，（前者不唯一，后者唯一，后者是合理的唯一的）（该过程自然完成了射影定理的学习，又形成了概念）；③、引导学生讨论逐渐得出如下结构：要找直线与平面所成的角，当直线的为平面斜线时，关键是找出（或作出）斜线在平面上的射影，把直线与平面所成的角转化为两相交直线所成的角，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°，当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角为0°，因此直线与平面所成角为θ，则0°≤θ≤90°④、请同学们总结，给直线与平面所成的角下定义，并归纳叙述出性质。
3、呈现方法的思考和形成的过程。在分析概念的基础上，还应通过实例应用加深对概念的认识和理解，并从具体问题中总结出解决问题的方法，逐渐形成学生的技能，老师要给学习讲清楚“方法”是如何“想到”的。通过实例说明如何求直线与平面所成的角，然后师生一起归纳总结出求直线与平面所成角的方法和步骤。
帮助学生很好地理解与掌握各个较为抽象的数学概念，如何防止“机械记忆”并帮助学生较好地实现“理解记忆”，是概念教学这一难点的关键所在。“数学概念的学习主要是一种文化继承，而非独立创新的过程”，但不是一个被动的接受过程，我们应当努力帮助学生较好地去理解相关的数学概念——一个意义建构的过程。“概念数学的关键则就在于如何处理好文化继承与（学生主动的）意义建构这两者的关系，只有这样我们才能突破数学概念教学的难点。
转载请注明出处范文大全网 » 法向量求斜线与平面所成的角
