你妈你妈吽
1、三角形三角关系:A+B+C=180°; C=180°— (A+B);
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<>
3、三角形中的基本关系:sin() sin , A B C +=cos() cos , A B C +=-tan() tan , A B C +=- sin
cos ,cos sin , tan cot 222222
A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理:在 C ?AB中, a 、 b 、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, R 为 C ?AB的外接圆的半径,则 有 2sin sin sin a b c R C ===AB. 5、正弦定理的变形公式:
①化角为边:2sin a R =A, 2sin b R =B, 2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A=, sin 2b R B=, sin 2c C R
=; ③ ::sin :sin :sin a b c C =AB; ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A+B+AB. 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 .
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角 .(对于已知两边和其中一 边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解) )
7、 三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB=
A==B. =2R2sinAsinBsinC=R abc 4=2) (c b a r ++=) )()((c p b p a p p ---
8、余弦定理:在 C ?AB中,有 2222cos a b c bc =+-A, 2222cos b a c ac =+-B,
2222cos c a b ab C =+-.
9、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A=, 222cos 2a c b ac
+-B=, 222
cos 2a b c C ab +-=. 10、余弦定理主要解决的问题:
①已知两边和夹角,求其余的量。
②已知三边求角)
11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角 的形式
设 a 、 b 、 c 是 C ?AB的角 A、 B、 C 的对边,则:
①若 222a b c +=,则 90C = ;
②若 222a b c +>,则 90C <>
③若 222a b c +<,则 90c=""> .
12、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
【三角形中的常见结论】
(1) π=++C B A (2) sin() sin , A B C +=cos() cos , A B C +=-tan() tan , A B C +=-
2cos 2sin C B A =+, 2
sin 2cos C B A =+; A A A cos sin 22sin ?=, (3)若 ?>>C B A c b a >>?C B A sin sin sin >>
若 C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >>
(大边对大角,小边对小角)
(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
(5)三角形中最大角大于等于 60,最小角小于等于
60
(6) 锐角三角形 ?三内角都是锐角 ?三内角的余弦值为正值 ?任两角和都是钝角 ?任意两边的平 方和大于第三边的平方 .
钝角三角形 ?最大角是钝角 ?最大角的余弦值为负值
(7) ABC ?中, A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B . ABC ?二、题型汇总
题型 1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状 :判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统 一成边的形式或角的形式 .
(2)在 ABC ?中,由余弦定理可知 :222222222是直角 ABC 是直角三角形 是钝角 ABC 是钝角三角形 a b c A a b c A a b c A =+???>+??<+?abc>
?
(注意:A ABC 是锐角三角形 )
(3) 若 B A 2sin 2sin =,则 A=B或 2π
=+B A .
例 1. 在 ABC ?中, A b c cos 2=,且 ab c b a c b a 3) )((=-+++,试判断 ABC ?形状
. 1. 已知△ ABC 中, 30A =
, 105C = , 8
b =,则等于 ( )
A 4 B 2. △ ABC 中, 45B = , 60C =
, 1c =,则最短边的边长等于 ( )
A
B C 12
D
3. 长为 5、 7、 8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90° B 120° C 135° D 150°
4. △ ABC 中, cos cos cos a b c
A B C ==,则△ ABC 一定是 ( )
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5. △ ABC 中, 60B = , 2b ac =,则△ ABC 一定是 ( )
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
6. △ ABC 中,∠ A=60°6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC ( )
A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
7. △ ABC 中, 8b =
, c =
ABC S = A ∠等于 ( )
A 30 B 60 C 30 或 150 D 60 或 120
8. △ ABC 中,若 60A =
, a =sin sin sin a b c
A B C +-+-等于 ( ) A 2 B 12
9. △ ABC 中, :1:2A B =, C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3:2两部分,则 cos A =( ) A 1
3 B 1
2 C 3
4 D 0
10. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( )
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
11. 在△ ABC 中,如果 sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么 cos C 等于 。
12. 在△ ABC
中,已知 b =150c =, 30B = ,则边长 a = 。
13. 在钝角△ ABC 中,已知 1a =, 2b =,则最大边 c 的取值范围是 。
14. 三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60 ,另两边之比为 8:5,则这个三角形的 面积为 。
15在△ ABC 中,已知边 c=10, 又知 cos 4
cos 3A
b B a ==,求边 a 、 b 的长。
解三角形知识点总结
解三角形知识点总结
1．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. abc???2RsinAsinBsinC形式一： (解三角形的重要工具)
形式二：?a?2RsinA??b?2RsinB?c?2RsinC? (边化正弦)
形式三：a:b:c?sinA:sinB:sinC（比的性质） sinA?abc,sinB?,sinC?2R2R2R（正弦化边） 形式四：
2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
222形式一：a?b?c?2bccosA
b2?c2?a2?2cacosB (遇见二次想余弦)
c2?a2?b2?2abcosC
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
cosA?cosB?cosC?2bc2ac2ab形式二： ，，
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判断三角解时，可以利用如下原理：
sinA ＞ sinB ? A ＞ B ? a ＞ b
cosA?cosB?A?B（y?cosx在(0,?)上单调递减）
111sinA?,sinA?,sinA?,5. 三角形面积公式： S = absinC = bcsinA = acsinB 222
p?
a?b?c
S?2则设在三角形中大边对大角，反之亦然.
6. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角
的形式.
7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式x进行三角变换的运算，如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin, tan?cot222222
8. 诱导公式和三角恒等变换在三角函数中总是最基础的.
解三角形知识点总结
《解三角形》复习题
一．复习要点
1．正弦定理: __________________________(应用：____________________)
推论 1、____________________________
2、____________________________(应用______________________)
3、____________________________(应用______________________)
4、____________________________
?___________________?2．余弦定理： ?___________________ (应用______________________)
?___________________?
?___________________?___________________?? 推论： ?___________________（应用：?___________________）
?___________________?___________________??
3.三角形面积公式：s?ABC?111absinc?bcsina?acsinb 222
4．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BC?cos,cos?sin 2222
5．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二：重点题型
解三角形知识点复习
解三角形
一、基础知识
1、相关三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
()βαβαβαs i n c o s c o s s i n s i n ±=± ()βαβαβαs i n s i n c o s c o s c o s =± ()β
αβ
αβαt a n t a n 1t a n t a n t a n ±=
±
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
αααc o s s i n 22s i n
= ααα2
2s i n c o s 2c o s -=22c o s 1α=-212s i n α=- α
α
α2
t a n 1t a n 22t a n
-= (3)降次公式
2
21cos 21cos 2sin , cos . 22
αααα-+=
= 2
1c o s 2t a n 1c o s 2ααα-=+.
(4)辅助角公式 ) s i n (c o s s i n 22?ααα++=+b a b a
其中 cos tan b a
???=
=
=
2、三角形相关定理、公式
(1)正弦定理
a sinA b sinB =c sinC
2R (2R为三角形外接圆的直径 ) 变形 :① a :b:c=sinA:sinB:sinC
② a =2RsinA b =2RsinB c =2RsinC ③ sinA =a 2R sinB =b 2R sinC =c
2R
(2)余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bccosA b 2=a 2+c 2-2a ccosB c 2=a 2+b 2-2a bcosC
变形 :① b 2+c 2-a 2=2bccosA a 2+c 2-b 2=2a ccosB a 2+b 2-c 2=2a bcosC
② cosA =b 2+c 2-a 22bc cosB =a 2+c 2-b 22ac cosC =a 2+b 2-c 2
2ab ③ sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sinBsinCcosA (正余弦定理相结合 )
(3)面积公式
S 12bsinC =12bcsinA =12csinB 2
(|→ OA |·|→ OB |)2-(→ OA ·
→ OB ) 2
(4)内角和定理
任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余 . C 2=πA +B
2
Sin (A+B)=sinC , cos (A+B)=-cosC , sin A +B 2cos C
2
锐角三角形 ?最大角是锐角 ?三内角都是锐角 ?三内角的余弦值为正值 ?任两
角和都是钝角 ?一角正弦大于另一角的余弦(sin cos C A >) ?任意两边的平方和大 (5)其他定理
两边之和大于第三边 , 两边之差小于第三边;大边对大角 , 小边对小角
(6)两个常用结论
① A >B 是 sinA >sinB 的充要条件;②若 sin2A =sin2B, 则 A =B 或 A +B =π
2
二、基本方法
(1)突破口是边角关系的分析,正余弦定理都能实现边角关系的互化,但边化角往往用 正弦定理,角化边往往用余弦定理。
(2)问题中若涉及面积问题,首先选择面积公式,弄清条件或需要求的几个量,选择公
式时往往以已知角为主。
(3)若三角形中有一个角已经确定,如 A ,由此可知 B+C,用此可消去一个角,也可以 结合余弦定理得 2
2
2
2cos a b c b A =+-,转化为边的关系。
(4)若三角形中有两个角已经确定,如 A 、 B ,则可以确定另一角 C ,从而可以选择正 弦定理结合条件求解。
(5)在三角形内进行三角恒等变形时,往往遇见 sin cos cos sin B C B C +这类式子,要 将其转化为 sin() B C +,当化简到一定程度不能化简却又得不到所求时,一定要用内角 和定理消角后再变形,如 sin() sin B C A +=。
(6)题目条件不足,无法求解时,要主动结合正余弦定理,挖掘出隐含条件后再求解, 如求得 ac 后,可结合正弦定理
sin sin a A c C
=,形成方程组求解。 三、典型例题
1、 (2010年高考广东卷理科 11)已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若
A+C=2B,则 sinC= .
2、 (2010年高考湖北卷理科 3) 在△ ABC 中, a=15, b=10, ∠ A=0
60,则 cos B =( )
A.
3-
B.3
C.3
3
- 3、 (2010年高考天津卷理科 7) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c
,若
22a b -,
,则 A=( )
A 、 30° B 、 60° C 、 120° D 、 150°
4. (辽宁) △ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , a sin A sin B +b cos 2A =a 2, 则 =a
b
( )
A
.
B
.
C
D
5、 (四川)在 ?ABC 中. 2
2
2
sin sin sin sin sin B C B C ≤+-. 则 A 的取值范围是( ) (A)(0,
6
π
] (B)[
6
π
, π) (c)(0,
3
π
] (D) [
3
π
, π)
6、 (湖南) 在 ABC ?中, 角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c . 若 120C ∠=
, c =,
则( )
A . a >b B . a
2
DC , ∠ADB=120°, AD=2,若△ ADC
的面积为 3∠BAC=_______
8、 (2010年高考江苏卷试题 13)在锐角三角形 ABC , A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,
6cos b a C a b +=,则 tan tan tan tan C C A B +。 9、 (天津)如图,在△ ABC 中, D 是边 AC
上的点,且
,2, 2AB CD AB BC BD ===,则 sin C 的值为
( )
A
.
3 B
. 6 C
. 3 D
. 6
10、 (全国课标) 在 ABC 中, 60, B AC == 则 2A
B B C +的最大值为 。
C
D
11、在 ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. 已知 cos A-2cosC 2c-a
=cos B b
.
(1)求 sin sin C A 的值; (2)若 cosB=1
4
, 2b =, 求 ABC ?的面积 .
12、 ABC V 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .
已知 a c +=, 90A C ?-=, ,求 C .
13、在 ABC V 中,角 , , A B C 的对边分别是 , , a b c ,已知 sin cos sin
C
C C +=1-2
.[来求 sin C 的值;若 () a b a b 22+=4+-8,求边 c 的值 .
14、 (江苏)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边为 c b a , , (1)若 , cos 2) 6sin(A A =+
π
求 A 的值;
(2)若 c b A 3, 3
1
cos ==,求 C sin 的值 .
15、在 ABC ?中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c
,且 22() (2a b c bc --=,
2
cos sin sin 2
C
B A =, BC 边上中线 AM 的长为 7.
16、设 ABC ?的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 3cos() cos 2
A C B -+=
, 2b ac =,求 B 。
17、在 ABC ?中,内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 222a c b -=,且
sin cos 3cos sin , A C A C = 求 b
18、在 ABC △ 中,内角 A B C , , 对边的边长分别是 a b c , , ,已知 2c =, 3
C π=. (Ⅰ )若 ABC △
a b , ;
(Ⅱ )若 sin sin() 2sin 2C B A A +-=,求 ABC △ 的面积.
解三角形知识点
《三角函数及解直角三角形》知识点总结
１、正弦、余弦、正切定义
注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；
（２）sinＡ不是sin与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“sinＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；
（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
２、同角的三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１； sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα”的平方；不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦值的平方，后者表示α2的正弦值。
(2)互为余角的两个三角函数关系:若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.
３、特殊角的三角函数值
４、互为余角的三角函数之间的关系（诱导公式）
若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°则
sinＡ＝cos（９０°－Ａ）＝cosＢ任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值
cosＡ＝sin（９０°－Ａ）＝sinＢ任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
５、用计算器计算三角函数值
用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。 ６、三角函数值的变换范围及规律
（１）当０°＜α＜９０°时，
sinα、tanα随着α的增大（或减小）而增大（或减小），
cosα、随着α的增大（或减小）而减小（或增大）；
（２）当０°≤α≤９０°时，０≤sinα≤１，０≤cosα≤１。
７、直角三角形的边角关系
（１）三边之间的关系：ａ2＋ｂ2＝ｃ2（勾股定理）；
（２）锐角之间的关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°；
（３）边角之间的关系：sinＡ＝ a/c ，cosＡ＝ b/c ，tanＡ＝ a/b
８、解直角三角形的概念及基本类型
（１）概念：在直角三角形中，用除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外，一共有５个元素，即３条边和２个锐角。
（２）解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长；
②已知一锐角和一边。注意：已知两锐角不能解直角三角形。
９、解直角三角形的方法
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
１０、解非直角三角形的方法
对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （１）作垂线构成直角三角形；
（２）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
１１、解直角三角形的实际应用的步骤
（１）审题
①分析题意，理解实际问题的意义，看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图，找出要解的直角三角形；
②把实际问题中的数量关系，转移到直角三角形的各元素上，找出已知元素和未知元素； ③根据已知元素和未知元素之间的关系，选择合适的三角函数关系式。
（２）解题————注意精确度
（３）答——————注意答的完整及注明单位
Ⅲ、本章数学思想方法：
数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，会更清楚简捷。数与形相结合，是问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思想方法之一，也是最应该坚持实施的方法。
从特殊到一般的归纳总结法：锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间的关系和转化，都可以从特殊角开始。
转化思想：把直角三角形的线段比，转化为三角函数值或面积的比。
数学的建模思想：解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形来解决问题。
