一.几个重要统计量的分布 二.均值向量的检验 三.协差阵的检验

χ2

以 做检验。

2012-04-26

1

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2

一、 χ 分布与Wishart分布

2

§3.1 常用分布及抽样分布

一、 χ 2分布与Wishart分布 二、 t 分布与 T 分布

2

在数理统计中,若 X i ～ N (0,1) ( i = 1, 2, , n ),且相互独立, 2 则 ∑ X 所服从的分布为自由度为 n 的 χ 分布(chi squared

n

distribution),记为 χ 2 (n) .

i =1

2 i

χ 2 (n) 分布有两个重要的性质:

2 2 1、若 χ i ～ χ (ni ), i = 1, 2,

三、 F 中心分布与Wilks分布

, k 且相互独立,则

∑χ

i =1

k

2 i

～ χ 2 (∑ ni )

i =1

k

称为相互独立 χ 的具有可加性.

2

3

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4

一、 χ 分布与Wishart分布

2

一、 χ 分布与Wishart分布

2

2. 设 X i ～ N (0,1) ( i = 1, 2, , n ),且相互独立, Aj ( j = 1, 2, , m) 为 m个 n 阶对称阵,且 ∑ A

j =1 m j

= I n(n阶单位阵),记 X = ( X , X , 1 2

, X n )′ ,

定义1 设 X (α ) = ( X α 1 , X α 2 , , X α p )′ (α = 1, 2, , n) 相互独立, 且 X (α ) ～ N p ( μα , ∑) ,记 X = ( X(1) , X(2) , , X(n) )′ ,则随机矩阵：

W = X ′X = ∑ X(α ) X(′α )

α =1

n

Q j = X ′A j X , 则 Q1 , Q2 ,

m j =1

, Qm为相互独立的 χ 2分布的充要条件

2

(1.1)

为 ∑ rank(Ai ) = n .此时 Q j ～ χ ( n j ) , n j = rank(A j ) . 这个性质称为Cochran定理,在方差分析和回归分析 中起着重要作用.

所服从的分布称为自由度为 n 的 p 维非中心Wishart 分布,记为W ～ Wp (n, ∑, Z ) , 其中,n ≥ p, ∑ > 0,Z = ∑ ( μα , μα , , μα )′ ( μα , μα , , μα ) = ∑ μα μα ,μα α α 称为非中心参数,当 μα = 0 时称为中心Wishart分布,记为

n n ' =1 1 2 p 1 2 p =1

W p (n, ∑)

5

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6

一、 χ 分布与Wishart分布

2

一、 χ 分布与Wishart分布

2

由Wishart分布的定义知,当 p = 1 时, ∑ 退化为 σ 2,此时中 心Wishart分布就退化为 σ 2 χ 2 (n),由此可以看出, Wishart分布 实际上是 χ 2分布在多维正态情形下的推广. 下面给出Wishart分布的5条重要性质: 1.若 X (α ) = ( X α 1 , X α 2 , , X α p )′, (α = 1, 2, , n )是从 p 维正态总体

N p ( μ , ∑ ) 中抽取的 个随机样本,X为样本均值, 样本离差阵为 .

2.若 Wi ～ W p ( ni , ∑) ( i = 1, 2, , k ) 且相互独立,则

∑W

i =1

k

i

? k ? ～ W p ? ∑ ni , ∑ ? ? i =1 ?

3.若 W ～ W p ( n, ∑ ) , C 为非奇异阵,则 q× p

CWC ′ ～ Wq (n, C ∑ C ′)

n

S = ∑( X(α ) ? X )( X(α ) ? X )′,

α =1

n

则

(1) X 和 (2)

S 相互独立.

4.若 W ～ W p (n, ∑ ) , 则

a′Wa a′∑ a

a 为任一 p 元常向量,满足 a′ ∑ a ≠ 0

X ～ N p ( μ , 1 ∑ ) , S ～ Wp (n ? 1, ∑) n

7

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～ χ 2 ( n)

8

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一、 χ 分布与Wishart分布

2

二、t 分布与 T 2分布

在数理统计中,若 X ～ N (0,1),Y ～ χ 2 (n) ,且 X 与 Y 相互独立,则称

T=

X

Y n

5. 若 W ～ W p (n, ∑), a 为任一 p 元非零常向量,比值

a ′∑ ?1 a a ′W ?1a

～ χ ( n ? p + 1)

2

?1

服从自由度为 n 的

t 分布,又称为学生氏分布(student

2

特别的,设wii和 σ ii分别为 W 和 ∑ 的第 i 个对角元,则：

?1

2 distribution),记为 T ～ t(n) .如果将 T 平方,即 T 2 = n XY ,则 T ～ F(1, n),

σ ii

wii

～ χ (n ? p + 1)

2

即 t (n) 分布的平方服从第一自由度为1第二自由度为 n 的中心 F 分布.

9

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10

二、t 分布与 T 2分布

定义2 设 W ～ W p ( n, ∑) , X ～ Np (0, c∑) , c > 0, n ≥ p,∑ > 0, W与 X 相互独立,则称随机变量

三、 F 中心分布与Wilks分布

在数理统计中,若 X ～ χ 2 (m) ,Y ～ χ 2 (n) ,且相互独

T 2 = n X ′W ?1 X c

所服从的分布称为第一自由度为 p 第二自由度为 n 的中 心T 2 分布,记为 T2 ～T2( p, n) 中心 T 2分布可化为中心 F 分布,其关系为:

n?p+1 pn

F = m 所服从的分布为第一自由度为 m第二 Y n 自由度为 n 的中心 F 分布.记为 F ～ F(m, n) . F 分布本

立,则称

2 质上是从正态总体 N ( μ , σ ) 随机抽取的两个样本方差

X

T2 ( p, n) = F( p, n ? p +1)

的比.

显然,当 p = 1 时,有 T 2 (1, n) = F (1, n).

11

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12

三、 F 中心分布与Wilks分布

定义3 设 W1 ～ Wp (n1 , ∑) , W ～Wp(n2,∑) , ∑ > 0 , n1 > p, 2 且 W1 与 W2 相互独立,则称随机变量

三、 F 中心分布与Wilks分布

由于Λ分布在多元统计中的重要性,关于它的近似 分布和精确分布不断有学者进行研究,当p和n2中的一个 比较小时,Λ分布可化为F分布,表1列举了常见的情况. 表1

Λ ~ Λ( p, n1 , n2 )与F的关系，n1 > p

Λ =

W1 W1 +W

2

所服从的分布称为维数为 p ,第一自由度为 n1第二 自由度为

n2 的Wilks Λ分布,记为

Λ ～ Λ ( p, n1 , n2 )

13

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14

三、 F 中心分布与Wilks分布

当 p, n2不属于表1情况时, Bartlett指出可用 χ 分布来近似表示,即

2

三、 F 中心分布与Wilks分布

近似服从 F ( pn2 , ts ? 2λ ),其中

V = ?(n1 + n2 ?

近似服从χ ( pn2 ) .

2

p + n2 +1 2

) ln Λ( p, n1 , n2 )

Rao 后来又研究用F分布来近似,即

R=

1? Λ s ts ? 2 λ 1 pn 2 Λs

1

?t = n1 + n2 ? ? 2 ? p 2 n2 ? 4 ? s = p2 + n22 ?5 ? ?λ = pn24? 2 ?

p + n2 +1 2

ts ? 2λ 不一定是整数,用与它最近的整数来作为 F分布的第二自由度.

15 16

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§3.2

均值向量的检验

一、 一个指标检验的回顾

一、 二、 三、 四、

一个指标检验的回顾 多元均值检验 两总体均值的比较 多总体均值的检验

u= x ? μ0

σ

n

n

(1)

1 其中x = ∑ xi为样本均值。 n i =1 当假设成立时, 统计量u服从正态分布u ~ N (0,1), 从而拒绝域为 | u |?ua / 2 , ua / 2为N (0,1)的上a / 2分位点

17

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18

一、 一个指标检验的回顾

当σ 2未知时, 用S 2 = ∑ t= x ? μ0 n S ( xi ? x )2 作为σ 2的估计, 用统计量 i =1 ( n ? 1)

n

一、 一个指标检验的回顾

统计量（2）也可改写成如下形式

t 2 = n ( x ? μ 0 )( S 2 ) ?1 ( x ? μ 0 )

(2)

当假设为真时，统计量t2遵从第一自由度为1、第二自 由度为n-1的F分布，记为t2~F(1,n-1)，其拒绝域为

来做检验。当假设成立时，t统计量遵从自由度为n-1的 t分布，t~t(n-1)，拒绝域为 | t |> tα / 2 (n ? 1),

tα / 2 (n ? 1)为t (n ? 1)的上α / 2分为点。

t2>Fα(1,n-1).

19

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20

二、 多元均值检验

二、 多元均值检验

α

α α

21

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22

二、 多元均值检验

设 X (1) , X (2) , 本，且 X =

二、 多元均值检验

（二）协差阵 Σ 未知时均值向量的检验 H 0：μ = μ 0 （ μ 0 为已知向量） H1：μ ≠ μ 0 假设 H 0 成立，检验统计量为

, X ( n ) 是 来 自 p 维 正 态 总体 N p ( μ , Σ ) 的 样

n n

1 ∑ X (α ) ， S = ∑ ( X ( a ) ? X )( X ( a ) ? X )′ 。 n α =1 a=1 （一） 协差阵 Σ 已知时均值向量的检验 H 0：μ = μ0 （ μ0 为已知向量） H1：μ ≠ μ0 假设 H 0 成立，检验统计量为

T02 = n( X ? μ0 )′ Σ ?1 ( X ? μ0 ) ~ χ 2 ( p )

2

(n ? 1) ? p + 1 2 T ~ F ( p, n ? p ) (n ? 1) p 2 ?1 其中， T = (n ? 1)[ n ( X ? μ 0 )′S n ( X ? μ 0 )]

? n? p 2 ? T > Fα ? = α ，可 ? (n ? 1) p ? n? p 2 2 T > Fα ， 确定出临界值 Fα ，再用样本值计算出 T ，若 (n ? 1) p 则否定 H 0 ，否则接受 H 0 。

给定检验水平 α ，查 F 分布表，使 P ?

24

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给定检验水平 α ， χ 分布表使 P T0 > 查

2

2 2 2

{

2 χα } = α ，可确定出

2

临界值 χα ，再用样本值计算出 T0 ，若 T0 > χα ，则否定 H 0 ， 否则接受 H 0 。

23

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三、 两总体均值的比较

在许多实际问题中，往往要比较两个总体之间的 平均水平有无差异。例如，两所大学新生录取成绩是 否有明显差异；研究职工工资总额的构成情况，若按 国民经济行业分组，例如要研究工业与建筑业这两个 行业之间，是否有明显的不同之处；同理，可按工业 领导关系（中央、省、市、县属工业）分组；也可按 工业行业分组。组与组之间的工资总额构成有无显著 差异，本质上就是两个总体的均值向量是否相等，这 类问题，通常也称为两样本问题。两总体均值比较的 问题，又可分为两总体协方差阵相等与两总体协方差 阵不等两种情形。

25

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三、 两总体均值的比较

（一）当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验 设 X ( a ) = ( X a1 , X a 2 , , X ap )′ ， = 1,2, , n ， 为来自 p 维 a 正 态 总 体 N p (μ1 , Σ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ；

Y( a ) = (Ya1 , Ya 2 ,

, Yap )′ ， a = 1,2,

, m ，为来自 p 维正

态总体 N p (μ 2 , Σ) 的容量为 m 的样本。两组样本相互独 立， n > p, m > p ，且 X =

1 n 1 m ∑ X(i ) ， Y = m ∑ Y(i ) 。 n i =1 i =1

26

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三、 两总体均值的比较

1．针对有共同已知协差阵的情形 对假设

三、 两总体均值的比较

2．针对有共同的未知协差阵的情形 对假设

H 0：μ1 = μ 2

H1：μ1 ≠ μ 2

进行检验。 对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为

H 0：μ1 = μ 2

H1：μ1 ≠ μ 2

n?m ( X ? Y )′Σ ?1 ( X ? Y ) ~ χ 2 ( p) n+m 2 2 2 给出检验水平 α ，查 χ ( p ) 分布表使 P {T0 > χα } = α ，可 T02 =

确定出临界值 χα ，再用样本值计算出 T0 ，若 T0 > χα ，则

2 2 2 2

进行检验。 对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为

F=

( n + m ? 2) ? p + 1 2 T ~ F ( p, n + m ? p ? 1) (n + m ? 2) p

其中，

否定 H 0 ，否则接受 H 0 。

27

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28

三、 两总体均值的比较

? n?m ?′ ? n?m ? T 2 = ( n + m ? 2) ? ( X ? Y ) ? S ?1 ? ( X ? Y) ? n+m n+m ? ? ? ? S = Sx + S y

S x = ∑ ( X ( a ) ? X)( X ( a ) ? X)′ ， S y = ∑ ( Y( a ) ? Y)( Y( a ) ? Y )′ ，

a=1 a=1 n n

三、 两总体均值的比较

（二）协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验 设从两个总体 N p (μ1 , Σ1 ) 和 N p (μ 2 , Σ 2 ) 中，分别抽取两 个样本，即 X ( a ) = ( X a1 , X a 2 ,

, X ap )′ ， a = 1,2,

,n ；

X = ( X1 , X2 ,

Y = (Y1 , Y2 ,

, X p )′

, Yp )′

Y( a ) = ( Ya1 , Ya 2 ,

, Yap )′ ，a = 1,2,

, m ，其容量分别为

给定检验水平 α ，查 F 分布表，使 p { F > Fα } = α ，可确定 出临界值 Fα ，再用样本值计算出 F ，若 F > Fα ，则否定 H 0 ， 否则接受 H 0 。

29

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n 和 m ，且两组样本相互独立， n > p, m > p ， Σ1 > 0 ， Σ 2 > 0 。对假设 H 0：μ1 = μ 2 H1：μ1 ≠ μ 2

进行检验。

30

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三、 两总体均值的比较

1．针对 n = m 的情形 Z (i ) = X (i ) ? Y(i ) 令

三、 两总体均值的比较

i = 1,2,

,n

2．针对 n ≠ m 的情形 在此，我们不妨假设 n < m="">

1 n Z = ∑ Z (i ) = X ? Y n i =1 S = ∑ (Z (i ) ? Z)(Z (i ) ? Z)′ = ∑ ( X(i ) ? Y( i ) ? X + Y)( X(i ) ? Y( i ) ? X + Y)′

i=1 i=1 n n

Z(i ) = X(i ) ?

n n 1 1 m Y(i ) + ∑ Y(i ) ? m ∑ Y(i ) m n ? m j =1 j =1

假设 H 0 成立时，构造检验统计量为

i = 1,2, , n 1 n Z = ∑ Z (i ) = X ? Y n i =1

F=

(n ? p)n Z′S -1Z ~ F ( p, n ? p ) p

31

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32

三、 两总体均值的比较

S = ∑ (Z(i ) ? Z)(Z(i ) ? Z)′

i=1

n ? ? n 1 n = ∑ ? ( X ( i ) ? X) ? (Y(i ) ? ∑ Y( j ) ) ? m n j =1 i =1 ? ?

四、 多总体均值的检验

在许多实际问题中，我们要研究的总体往往 不止两个。例如，要对全国的工业行业的生产经 营状况做一比较时，一个行业可以看成一个总 体，此时要研究的总体就达几十甚至几百个之多。 这类问题的研究就需要多元方差分析的知识。多 元方差分析是一元方差分析的直接推广，为了易 于理解多元方差分析的方法，我们先回顾一元的 方差分析。

n

? ?′ n 1 n ? ? ( X ( i ) ? X) ? (Y(i ) ? ∑ Y( j ) ) ? m n j =1 ? ?

假设 H 0 成立时，构造检验统计量为

F=

(n ? p ) n Z′S -1Z ~ F ( p, n ? p) p

33

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34

四、 多总体均值的检验

（一）单因素方差分析的基本思想 设 k 个正态总体分别为 N ( μ1 , σ ) ，

2

四、 多总体均值的检验

2

, N ( μ k , σ ) ，从 k 个总

这里 SSA =

∑ n (X

i =1 i

k

i

? X )2 称为组间平方和； SSE = ∑∑ ( X (j i ) ? X i ) 2

i =1 j =1

k

ni

体取 ni 个独立样本如下：

(1) (1) X 1(1) , X 2 , , X n1 …… ( ( X 1( k ) , X 2k ) , , X nkk )

称为组内平方和； SST =

∑∑ ( X

i =1 j =1

k

ni

(i ) j

? X ) 称为总平方和。其中

2

Xi = X=

1 ni

∑X

j =1

n

(i ) j

H 0：μ1 = μ 2 =

= μk

H1：至少存在i ≠ j使μi ≠ μ j

假设 H 0 成立时，构造检验统计量为

1 k ni (i ) ∑∑ X j n i =1 j =1

n = n1 +

+ nk

F=

SSA (k ? 1) ~ F (k ? 1, n ? k ) SSE (n ? k )

35

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给定检验水平 α ， F 分布表， p { F > Fα } = α ， 查 使 可确定出临界值 Fα ， 再用样本值计算出 F 值，若 F > Fα ，则否定 H 0 ，否则接受 H 0 。

36

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四、 多总体均值的检验

（二）多元方差分析法 设有 k 个 p 维正态总体 N p (μ1 , Σ) ， 体抽取独立样本个数分别为 n1 , n 2 , 第一个总体： X

(1) i

四、 多总体均值的检验

各总体样品的均值向量：

(r X1× )p =

, N p (μ k , Σ) ，从每个总

, nk ， n1 +

(1) ip

+ nk = n ，每

此处

1 nr

∑X

i =1

nr

(r ) (i )

( ?( X1r ) , X (2r ) ,

, X (pr ) ) ， r = 1, 2,

,k

个样品观测 p 个指标得观测数据如下：

X(jr ) =

k

= (X , X ,

(1) i1 (1) i2

, X ) ， i = 1,2,

(2) , X ip ) ， i = 1,2,

( , X ipk ) ) ， i = 1,2,

, n1

, n2

1 nr

∑X

i =1

nr

(r ) ij

类似一元方差分析办法，将诸平方和变成了离差阵即：

第二个总体： Xi

(2)

= ( X i(2) , X i(2) , 1 2

…… …… …… (k ) (k ) (k ) 第 k 个总体： Xi = ( X i1 , X i 2 , 全部样品的总均值向量：

A = ∑ nr ( X( r ) ? X)′( X( r ) ? X)

r =1

k

, nk

E = ∑∑ ( X((ir)) ? X( r ) )′( X((ir)) ? X( r ) ) T = ∑∑ ( X((ir)) ? X)′( X((ir)) ? X)

r =1 i =1 r =1 i =1 k nr

nr

X1× p =

1 k nr ( r ) ∑∑ X(i ) = (X1 , X2 , n r =1 i =1

,Xp)

37

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38

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四、 多总体均值的检验

这里，我们称 A 为组间离差阵； E 为组内离差阵； T 为总离差阵。 很显然有 T = A + E 。 我们的问题是检验假设

四、 多总体均值的检验

巴 特 莱 特 （ Bartlett ） 提 出 了 用 χ Λ ~ Λ ( p, n, m) ，令 则 V 近 似 服 从 χ ( pm)

2

2

分布来近似。设

H 0：μ1 = μ 2 =

= μk

H1：至少存在i ≠ j使μi ≠ μ j

V = ?(n + m ? ( p + m + 1) 2) ln Λ = ln Λ1/ t

分 布 。 其 中 ，

用似然比原则构成的检验统计量为

E E Λ= = ~ Λ ( p, n ? k , k ? 1) T A+E

给定检验水平 α ，查 Wilks 分布表，确定临界值，然后作出统计判 断。在这里我们特别要注意，Wilks 分布表可用 χ 分布或 F 分布 来近似。

2

t = n + m ? ( p + m + 1) 2 。

39

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40

四、 多总体均值的检验

Rao 后来又研究用 F 分布来近似。设 Λ ~ Λ( p, n, m) ，令

§3.3

协方差阵的检验

R=

1 ? Λ1/ L tL ? 2λ ? pm Λ1/ L

则 R 近似服从 F ( pm, tL ? 2λ ) ，这里 tL ? 2λ 不一定为整 数，可用与它最近的整数来作为 F 的自由度，且 min( p, m) > 2 。其中，

一、 检验 Σ = Σ 0

二、

t = n + m ? ( p + m + 1) 2

? p2 m2 ? 4 ? L=? 2 ? 2 ? p + m ?5?

λ=

pm ? 2 4

41

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检验 Σ1 =

= Σr

1/ 2

42

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一、 检验 Σ = Σ 0

设 X ( a ) = ( X a1 , X a 2 ,

一、 检验 Σ = Σ 0

, n) 来 自 p 维 正 态 总 体

然后，我们考虑检验假设

, X ap )′ (a = 1,2,

N p (μ, Σ) 的样本， Σ 未知，且 Σ > 0 。

首先，我们考虑检验假设

H 0：Σ = Σ 0 ≠ I p

令 则

H1：Σ ≠ Σ 0 ≠ I p

因为 Σ 0 > 0 ，所以存在 D ( D ≠ 0 )，使得 DΣ 0 D′ = I p 。

H 0：Σ = I p

所构造的检验统计量为

H1：Σ ≠ I p

Y( a ) = DX ( a )

a = 1,2,

*

,n

Y( a ) ~ N p ( Dμ, DΣD′) = N p (μ* , Σ* )

λ = exp ?? trS ? S

n

? 1 ? 2

? ?

n/2

?e? ? ? ?n?

np / 2

因此，检验 Σ = Σ 0 等价于检验 Σ = I p 此时构造检验统计量为

其中

S = ∑ ( X ( a ) ? X)( X ( a ) ? X)′

a=1

λ = exp ?? trS* ? S*

? 1 ? 2

? ?

n/2

?e? ? ? ?n?

np / 2

43

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44

一、 检验 Σ = Σ 0

S* = ∑ (Y( a ) ? Y)(Y( a ) ? Y)′

a=1 n

二、

检验 Σ1 =

= Σr

其中

以通常采用 λ 的近似分布。

给定检验水平 α ，因为直接由 λ 分布计算临界值 λ0 很困难，所 在 H 0 成 立 时 ， ?2 ln λ 极 限 分 布 是 χ

2 p ( p +1) / 2

分布。因此当

2

n >> p ，由样本值计算出 λ 值，若 ?2 ln λ > χα 即 λ < e="" ?="" χα="" 2="">

2

则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。

上面讨论的检验 Σ = Σ 0 ，是帮助我们分析当前 的波动幅度与过去的波动情形有无显著差异。但在 实际问题中，我们往往面临多个总体，需要了解这 多个总体之间的波动幅度有无明显的差异。例如在 研究职工工资构成时，若按工业行业分组，就有采 掘业、制造业、文化教育、金融保险等，不同行业 间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显 著的差异，就是做行业间协方差阵相等性的检验。

45

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46

二、

检验 Σ1 =

= Σr

, N p (μ k , Σ k ) ，

二、

构造检验统计量为

k

检验 Σ1 =

ni / 2

= Σr

设有 k 个正态总体分别为 N p (μ1 , Σ1 ) ，

Σi > 0 且未知， i = 1,

(i ( X ((ia)) = ( X a1) , X ai2) ,

, k 。从 k 个总体分别取 ni 个样本

(i , X ap) )′

λk = n np / 2 ∏ Si

i =1

S

n/2

∏n

i =1

k

pni / 2

i

i = 1,

, k ；a = 1,

, ni

其中

这里

∑n

i =1

k

i

= n 为总样本容量。 = Σk

H1：Σi } 不全相等 {

S = ∑ Si

i=1

k

我们考虑检验假设

H 0：Σ1 = Σ 2 =

i i Si = ∑ ( X ((a)) ? X( i ) )( X ((a)) ? X( i ) )′

ni

α =1

X =

(i )

47

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1 ni

∑X α

=1

ni

(i ) (a)

48

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二、

检验 Σ1 =

= Σr

巴特莱特 Bartlett） （ 建议 ， ni 改为 ni ? 1 ， 将 从而 n 变为 n ? k ，

′ 称为修正的统计量，则 ?2 ln λk′ 近似分布 变换以后的 λk 记为 λ k ，

χ 2 (1 ? D) 。 其中 f

f = 1 p ( p + 1)(k ? 1) 2

? 2 p2 + 3 p ?1 ? k 1 1 ? ? ? ?∑ ?， ? 6( p + 1)(k ? 1) ? i =1 ni ? 1 n ? k ? D=? 2 ? (2 p + 3 p ? 1)( k + 1) n1 = n2 = ? 6( p + 1)(n ? k ) , ?

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ni ≠ n j = nk

49

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50

矩阵正态分布参数的完全极大似然估计

矩阵正态分布参数的完全极大似然估计 第30卷第3期

2(】?年5月

东南大学(自然科学版)

3OURNAL0SOIYrBE.hSTk'N[VERSITYfNatnmlSden~EdiSon}

Vo1.30No.3

Mav2O00

矩阵iE态分布参数的完全极大似然估计

赵胜利朱道元

(东南太学应用数学系,南京210096)

摘要得到了矩阵正态分布的均值和方差的完全极大似然估计,它们都是无偏估 计,并且证明了它们是相互独立的

关键词堕堕垩查坌查;完空导

分类号O212.1卜

然函数;完空极大似然估计

设随机向量X,,(;0),0=(一,)'?O,一,是来自母体X的一个样本.其 中,O是空间中的区域.记it,…,与",是l,2,…,P的子序列,1?<P,它们满足 {il,…,ju{^,…,}={1,2,…,P},{i1,?一,In{I,…,3'r}=?,则称0I(…,,).= {(,…,).l(一,)C-@)为@在(…,).处的截面,这里(一,).是0…,

,,

…

,依下标按照从小到大的顺序排列而成的向量.

定义若记目=(Oi,…,),=(,…,),,(口)=,(口,)为似然函数,则

称MI(0I*)=I,(,)d为关于的完全导出似然函数.若1(9)=supM1(), 8I

则称0是的完全极大似然估计(TotallyMaximumLikelihoodEstimate),记为TMLE. 定义设Y=(y)是一个m×q的随机矩阵,其元素相互独立同服从N(o,1)分布.:

n×P,A:p×g和B:×m为常数矩阵.则Y=M+BYA服从矩阵正态分布,记为X,

(M,(BB)0(AA)).

引理1设",为来自母体X,(,,n0)的样本,i=?置,A: ?(Xi—)(置一X),则有

1)i与A独立,i,M,.),A葛Pf,式中,…,一1独立同分布于 (0,厶0V);

2)P(A>0);1的充要条件是n(一1)+1P.

证明1)记X=(X",),1=(1,…,lJ=(,…,厶),因为X,——一——一 ^'(M,厶0),所以X一‰p(10,(,m0厶)0)=^'帆(,0)显

收稿日期:1999—11—23.第一作者:男,1974年生,硕士研究生

124东南大学(自然科学版)第30卷

然,的n行之问相互正交,利用,作m,阶正交矩阵jn,r=(一.-1I),其中,厂爪: 士,.

?,

令Y=FX,则Y一‰p(,0)=(,0);其中,M=(0,…,

0,).对y分块,即Y=(一,);其中,为n×P的矩阵,i:1,…,m.于是有 一

p(0,厶0),i=1,…,m—l,一(,0),并且Y",相互独立.所

以i:莓置=jX=,‰(,厶.1),A=蓦(置一(置一)=

(一j)x=.r(一ml_jj)~Fx:rr一-lmYFJ,Jr,y:ry—

?r,且i与A独立.

2)令Y=(yt1,…,r一】),则Y一_~(一1)P(O,I(~- 00).记=(1,…,)

则Yij一(0,),且Yij相互独立,i=1,…,m一1,=1n.又因为A:?r ??,所以P(A>o):1的充要条件是n(一1)+l>P[11.…1I 推论l设X1,…,为来自母体,(,W0)的样本,==1?置,A: (置一i)(墨一),则有?与A独立,一M,.),A~一ZiZ*i,式中 z",z一1独立同分布于(O,0');?P(A>0):l的充要条件是p(m一1)+1

>n.

引理2若A与曰均为阶对称矩阵,且A?B,则有trA?trB,且等号成立的充要条件 是A=曰.

证明记A=(),B=().因为A?B,所以对任意非零向量,总有(^一? 0.特别的,对于第i个分量为1的单位向量,有e(A一e?0,即一b?0,所以.? 6i=1,…,n,由此即得trA?trB.若A=B,显然有trA=t.若trA=trB,因为A—B? 0,一阶主子式一bii?O,则有?=b=l,…,.如果A?B,则必存在,(k<)使 得all?钆.如记C=()=A—B,则C?0,c=0,c?=0,c:C/~?0,从而的二阶 主子式iol:一c<0,这与C?0矛盾,故而A:曰.1C/kl 定理矩阵正态分布参数的TMLE.

设一,为来自母体一_?n(村,厶0V)的样本,(m一1)+1>P,且没有关于 参数的先验信息,则1)M的TMLE为府=;2)V的TMLE为:—A. ,n一1n

证明1)L(M,):(h)一IVj-Ttrf一1妻(Xi一)V-1(置一)l:(2)一 I一B),其中曰=蓦(置一(Xi一易证:A一(i一)

一

e

略

第3期赵胜利等:矩阵正态分布参数的完全极大似然估计125 ?A,取庸=X,贝q有

M1():(2)一

M1(廊):(2?)一

』…一m{_

』…一etr(-

.

(庸)一MI(M):(2)一』ll一(etr{一1一1d)一etr{一i1—lB})aV 由B?A,V一'>0,可得tr(V-1?【I(一A),故上式被积函数恒非负,所以总有Ml(庸)

一

M1()?0,即M1(庸)?M1(),等号成立等价于被积函数恒等于零,即tr(V-lB)= tr(一A),或tr(B):tr(A),由引理2知tr(:tr(A)成立的充要条件是A=B,或M=i, 从而M的TMLE为庸:i.

2)由1)可得工(,):(2兀)一lVI一etI{一1一1d)etI{一l=v-'(一)(i一)), 若记E=,则有

():(h)一II一e"{一{Aetr{一lmv一(i一)(—M)}dM=

(2)一II一etr{一{_1A)fetr{一{(一i)(m)(—i)dM=

(2)一lI一etr{一{一1A}(2)Im—II一{:

(2)一一ll一.?f一{一1d1

其中,第2个等式中的积分』e【I{一{(一i)(m一)(一i)dM中的被积函数的形式与 矩阵正态分布的密度函数的形式相同,由矩阵正态分布的密度函数积分为1,可得 』e【I{一{(村一)(玑一)(一)dM=(2)lmI一{.因为n(玑一1)+l>p时,由 引理1可得P(A>O):1.所以存在可逆矩阵c,使A=CC,令=C一'(C)_.,则,lVl= l,:c'c,e【r{_IV)=e【T{_{一),所以()=(2)一m一

l!一}Al一.trf一3-v一一1:(2)一一竽l"(^一,其

中,^1?^2?…?>0是一的特征根.易证()当且仅当^I=…=^P=(m—I)n 时达到最大,此时矿:l一,p,所以=,c=CC.=向,即=

A为的TMLE.

推论2设X一,为来自母体X,(M,0)的样本,P(m一1)+1>,且 没有关于参数的先验信息,则1)M的TMLE为庸=X;2)的TMLE~./帝=A 证明1)L(M,)=(h)一ll一etr{一{喜(置一)'(五一))=

dd

1??1?J

8A

一一

l一2l一2

126东南大学(自然科学版)第?卷

(2)一II一etrf一{一1B?1,其中B*:(置一M)(Xi一肘).易证B:A+(i

—

M)(X—).,B?A,下面的证明与定理中1)相似,可得M的完全极大似然估计为廊= .

2)L(M,)=(2)一IWI一etr{一{一A)etr{一{一(一)(i—).),下

面的证明与定理的2)相似,可得=(,为的完全极大似然估计

当P=1时,推论2变为一(,),即为通常的多元正态分布,的完全极大似然估 计为卢=i,的完全极大似然估计为主=(%一)(—).

推论3设",为来自母体一(M,W0V)的样本,m>np,且没有关于参 数的先验信息,则M的TMLE为廊=,U=W0V的TMLE为

=一i(v(一.))(vec(一i))

推论4设x一,为来自母体X一?(M,0)的样本,n(m—1)+l>P,若 W>0已知,且没有关于未知参数M与V的先验信息,则M的TMLE为廊=i,V的TMLE为

(置一)(置一i).

推论5设1,…,为来自母体,_?n(,W0V)的样本,P(m一1)+1>n,若 >0已知,且没有关于未知参数M与W的先验信息,则M的TMLE为廊:,W的TMLE

为(置)V-1-)J.

参考文献

1方开泰.实用多元统计分析.上海:华东师范大学出版社,1986.83—87 2赵胜利,朱道元.冯玉英.完全极大似然估计东南大学,20OO,30(1):136—140 TotallyMaximumLikelihoodEstimationsoftheParameters

0fMatrixNormalDistribution

Zhaoshe,eliZhuDaoyuan

(D...mj0f^edMathematics,‰出咖Univer~ty,N如jing21C(Y36) Abstract:Thetotallymaximumlikelihoodestimationsofn-皿valueandvarianceofMatrixnormaldis—

trlbutionalegotandtheirindependencealeprovedinthisarticle.

Keyw

出:matrixnormaldistribution;totallyderivativelikelihoodfunction;totallym~imumlikeli

—

hoodestimation

第二章 多元正态分布的参数估计

第二章 多元正态分布的参数估计

第二节 基本概念

一、随机向量

1. 用向量X = (X1 ， X2 ， … ， XP )' 表示对同一个体观测的p 个变量 2. 将所研究对象的全体称为总体，它是由许多（有限和无限）的个体构成的集合

注(1)如果构成总体的个体是具有p 个需要观测指标的个体，我们称这样的总体为p 维总体（或p 元总体）

(2)这里“维”（或“元”）的概念，表示共有几个分量

3. 若观测了n 个个体，则可得到如表2.1的数据，称每一个个体的p 个变量为一个样品，而全体n 个样品组成一个样本

1 2

表2.1 数据

X 11 X 12 X 22

X 1p X 2p

X 21

n

X n 1 X n 2

X np

横看表2.1，记为

X (α) =(X α1, X α2, , X αp ) ' ， α=1,2, , n

表示第α个样品的观测值

竖看表2.1，第j 列的元素

X j =(X 1j , X 2j , , X nj ) ' ， j =1,2, , p

表示对第j 个变量X j 的n 次观测数值

因此，表2.1所反映出的样本资料可用矩阵表示为

?X 11?X 21

X =?

? ???X n 1

X 12 X 22 X n 2

'?X 1p ??X (1)

?X '? X 2p ??=(X , X ，?(2)? （2.1） ，X ) =12p

? ? ?

???

' X np ?X ???(n ) ??

简记为X

4. 将p 个随机变量X 1, X 2, , X p 的整体称为p 维随机向量，记为X =(X 1, X 2, , X p ) '

注在对随机向量的研究仍然限于讨论离散型和连续型两类随机向量。

二、多元分布

1. 定义2.2 设X =(X 1, X 2, , X p ) '是p 维随机向量，它的多元分布函数定义为

F (x ) ?F (X 1, X 2, , X p ) =P (X 1≤x 1, X 2≤x 2, , X p ≤x p ) （2.2）

记为X ~F (x ) ，其中x =(x 1, x 2, , x p ) '∈R p ，R p 表示p 维欧氏空间 注多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述 2. 定义2.3 设X =(X 1, X 2, , X p ) '是p 维随机向量，若存在有限个或可列个p 维数向量x 1, x 2, ，记P (X =x k ) =p k ，(k =1,2, ) 且满足p 1+p 2+ =1，则称X 为离散型随机向量，称P (X =x k ) =p k ，(k =1,2, ) 为X 的概率分布

3. 设X ~F (x ) ?F (x 1, x 2, , x p ) ，若存在一个非负函数f (x 1, x 2, , x p ) ，使得对一切x =(x 1, x 2, , x p ) '∈R p 有

x 1

x p

F (x ) ?F (x 1, x 2, , x p ) =? ?f (t 1, t 2, , t p ) dt 1 dt p （2.3）

-∞

-∞

则称X 为连续型随机变量，称f (x 1, x 2, , x p ) 为分布密度函数，简称为密度函数或分布密度

4. 一个p 元函数f (x 1, x 2, , x p ) 能作为R p 中某个随机向量的密度函数的主要条件是：

（1）f (x 1, x 2, , x p ) ≥0，?(x 1, x 2, , x p ) '∈R p ； （2）? ?f (x 1, x 2, , x p ) dx 1 dx p =1

-∞

-∞+∞

+∞

5. 离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随

机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定

6. 定义2.4 设X =(X 1, X 2, , X p ) '是p 维随机向量，称由它的q (

1

2

q

分布，相对地把X 的分布称为联合分布。通过变换X 中各分量的次序，总可假定X (1)正好是X 的前q 个分量，其余p -q 个分量为X (2) ，则

?X ?

X =?(2) ?，

?X ?p -q

?x (1)?

相应的取值也可分为两部分x =?(2)?

?x ?

X (1)的分布函数即边缘分布函数7. 当X 的分布函数是F (x 1, x 2, , x q ) 时，

(1)q

为：

F (x 1, x 2, , x q ) =P (X 1≤x 1, , X q ≤x q )

=P (X 1≤x 1, , X q ≤x q , X q +1≤∞, , X p ≤∞) =F (x 1, x 2, , x q , ∞, , ∞)

8. 当X 有分布密度f (x 1, x 2, , x p ) 时（亦称联合分布密度函数），则X (1)也有分布密度，即边缘密度函数为：

+∞

+∞

f 1(x 1, x 2, , x q ) =? ?f (x 1, , x p ) dx q +1, , dx p

-∞

-∞

9．定义2.5 若p 个随机变量X 1, X 2, , X p 的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称X 1, X 2, , X p 是相互独立的

三、随机向量的数字特征

1. 定义2.6 设X =(X 1, X 2, , X p ) '，若E (X i ) (i=1, , p ) 存在且有限，则称E (X )=(E (X 1), E (X 2), , E (X p )) '为X 的均值（向量）或数学期望，有时也把E (X ) 和E (X i ) 分别记为μ和μi ，即μ=(μ1, μ2, , μp ) '，容易推得均值（向量）具有以下性质：

（1）E (AX ) =A E (X ) （2）E (AXB ) =A E (X ) B

（3）E (AX +BY ) =A E (X ) +B E (Y )

其中，X 、Y 为随机向量，A 、B 为大小适合运算的常数矩阵 2. 定义2.6 设X =(X 1, X 2, , X p ) '，若E (X i ) (i =1, , p ) 存在且有限，则称E (X ) =(E (X 1), E (X 2), , E (X p )) '为X 的均值（向量）或数学期望，有时也把E (X ) 和E (X i ) 分别记为μ和μi ，即μ=(μ1, μ2, , μp ) '，容易推得均值（向量）具有以下性质：

（1）E (AX ) =A E (X ) （2）E (AXB ) =A E (X ) B

（3）E (AX +BY ) =A E (X ) +B E (Y )

其中，X 、Y 为随机向量，A 、B 为大小适合运算的常数矩阵。 3. 定义2.7 设X =(X 1, X 2, , X p ) '，Y =(Y 1, Y 2, , Y p ) '，称D (X ?) E X (-E X () X ) -(E ' X () )

?Cov (X 1, X 1) Cov (X 1, X 2) Cov (X 1, X p ) ??Cov (X , X ) Cov (X , X ) Cov (X , X ) ?

21222p ?

=?（2.4） ?? ??Cov (X , X ) Cov (X , X ) Cov (X , X ) ??p 1p 2p p ??

为X 的方差或协差阵，有时把D (X ) 简记为Σ，Cov (X i , X j ) 简记为σij ，从而有Σ=(σij ) p ?p ；称随机向量X 和Y 的协差阵为 Cov (X , Y ) ?E (X -E (X ))(Y -E (Y )) '

?Cov (X 1, Y 1) Cov (X 1, Y 2) Cov (X 1, Y p ) ??Cov (X , Y ) Cov (X , Y ) Cov (X , Y ) ?

21222p ?

=?（2.5） ?? ??Cov (X , Y ) Cov (X , Y ) Cov (X , Y ) ??p 1p 2p p ??注（1）当X =Y 时，即为D (X )

（2）若Cov (X , Y ) =0，则称X 和Y 不相关，由X 和Y 相互独立易推得Cov (X , Y ) =0，即X 和Y 不相关；但反过来，当X 和Y 不相关时，一般不能推知它们独立

4. 当A 、B 为常数矩阵时，由定义可以推出协方差阵有如下性质： （1）对于常数向量a ，有D (X +a ) =D (X ) （2）D (AX ) =A D (X ) A '=A ΣA ' （3）Cov (AX , BY ) =A Cov (X , Y ) B ' （4）设X 为n 维随机向量，期望和协方差存在，记μ=E (X ) ，Σ=D (X ) ，A 为n ?n 常数阵，则 E (X 'AX ) =tr (A Σ) +μ'A μ

注对于任何的随机向量X =(X 1, X 2, , X p ) '来说，其协差阵Σ都是对称阵，同时总是非负定（半正定）的。大多数情况是正定的

5. 若X =(X 1, X 2, , X p ) '的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量X 的相关阵为R =Corr (X ) =(ρij ) p ?p ，其中

ρij =

Cov (X , X ) =

σi , j =1, , p （2.6）

为X i 与X j 的相关系数。

注在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来

的影响，往往在使用各种统计分析之前，常需要将每个指标“标准化”，

即进行如下变换X *j =

X -E (X ) ， j =1, , p （2.7）

对数正态分布参数的最大似然估计

2007年第6期九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　No, 6, 2007　Journal of jiujiang University (总第143期)

(Su m N0143)

对数正态分布参数的最大似然估计

于　洋　孙月静

(东北财经大学数学与数量经济学院　辽宁大连　116025)

　　摘要:利用最大似然估计法求出了对数正态分布两个参数的估计量, 并讨论了它们的

无偏性和相合性。　　关键词:对数正态分布; 最大似然估计; 无偏估计量; 相合估计量　　中图分类号:O 212　文献标识码:A 　文章编号:1673-4580(2007) 06-0055-(03)

1　对数正态分布

对数正态分布在经济学和金融学中有着重要

的应用。例如在金融市场的理论研究中, 著名的B lack -Scholes 期权定价公式, 程、广泛的应用。:

定义1　X 的函数1n X 服从正态

222

分布N (μ, σ) , σ>0, 则称X 服从参数为μ和σ的对数正态分布(logno r m al distribution ) , 记作X

2

～LN (μ, σ) 。

对数正态分布的密度函数为:

2

-e 2σ2, x >0

f (x ) =πσx 2

πσ=(2

2

2

Πi =1

n

-

2

i =1

2

(ln x i -μ) ,

n

x >=2, ) ,

2

πσ2) -ln L (μ, σ) =-ln (22

ln Πx i -i =1

n

σ2

2

i =1

2

ρ(ln x i -μ)

n

似然方程组为

2

n

=2ρ(ln x i -μ) =0

μ9σi =1

2

) n 2

) =0=-22+4ρ(ln x i -μσσσi =1922

解得

(1)

μ^=

　　　0, 　　　　x ≤0

文献[1]给出了服从对数正态分布的随机变量X 存在k (k 为正整数) 阶原点矩, 并且

EX

k

n i =1

ρln x i , σ^=

2

n

2

n i =1

ρ(ln x i -

n

n i =1

ρln x i ) ,

n

2

故μ与σ的最大似然估计量分别是n

μ^=ρln X i

n i =1

(4) (5)

=e

μk

2

当k 分别等于1和2时, 有

EX =e EX

2

n n 22σ^=ρ(ln X i -ρln X i )

n i =1

n i =1

(2)

μ2

2

=e

μ+2σ22

2

2

由(2) 式、(3) 式以及最大似然估计的不变[2]

性, 对数正态总体X 的均值EX 、方差DX 以及σ的最大似然估计量分别为

EX =e

μ^2

从而DX =EX -(EX ) =e -e =

22μ+σσ2

(e -1) (3) e

2

2　参数μ和σ的最大似然估计

2

设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机样本。根据最大似然估计法的原理, 由(1) 式,

(ln x -μ) 2n

2-似然函数为L (μ, σ) =Πe 2σ2

i =1

πσx i 2

收稿日期:2007-03-01

μ+2σ22μ+σ22

2

, DX =e

n

μσ2^+^2

(e

n

σ^2

-1) ,

2

σ^=

n i =1

ρ(ln X i -

n i =1

ρln X i ) 。

在实际应用时, 给定一组样本值, 代入计算便

σ2及其函数EX 、可求出参数μ、DX 和σ的最大似然估计值。

例如样本值为0125, 018, 1, 2, 215, 计算可得

作者简介:于洋(1979-　) , 男, 东北财经大学数学与数量经济学院教师, 理学硕士。

?56?μ^=

九江学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年第6期

n

n i =1

ρln x i =

×ln1=0, 5

(6)

22

根据定理1有ES Y =σ, 从而

22

σ2) n n 22

σ^=ρ(ln x i -ρln x i ) =×312916=

n i =1n i =15

01,

EX =e

02×016583

E ^=E

n

S Y =

n

2

≠σ

=113898,

2

016583

故σ^是σ的有偏估计量。但是

22

σ=σ2li m E ^=li m

n ?∞

n ?∞

22

n

(7)

DX =(113898) (e -1) =117992,

σ^=018114。

3　无偏性和相合性

2

前文给出了对数正态分布的两个参数μ与σ的最大似然估计量, 接下来本文将讨论所得估计量(见(4) 式和(5) 式) 的优良性。这里只讨论它们的无偏性和相合性。

定义2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为未知参数 的估计量, 若E ^= , 则称 ^为 的无偏估计量, 否则称 ^为 的有偏估计量。若li m E ^= , n ?∞

因此σ^是σ的一个渐进无偏估计量。

2

虽然σ的最大似然估计量是有偏的, 但改进后的估计量

n n 22

^=ρ(ln X i -ρln X i ) n -1n -1i =1n i =1

2

却是σ定义　设 ^= ^(, n ) 为未知参数 , ^ε>0, 有li ^是 的相合估^1, 则称

?22

^为 的渐进无偏估计量。

2定理1　设总体X N , >, X 1, X 2, …X n X ,

222

S =ρ1X ) 为样本方差, 则ES =

n -1i =1

σ2, DS 2=4。

n -1

[2]

有关定理1的证明见文献。

2

命题1　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

。

。一个相合估计量意味着, 只要样本容量n 足够大, 就可以保证估计误差达到任意给定的精度。如果一个估计量不是相合估计, 则它就不是一个好的估计量, 在应用中往往不考虑。下面的定理可以检验一个估计量是否为相合估计量:

定理2　设 ^= ^(X 1, …, X n ) 为参数 的一个估计量, 若

li m E ^= 且li m D ^=0,

n ?∞

n ?∞

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

是μ的无偏估计量, σ^是σ的渐进无偏估计量。

证明:令Y =ln X, Y i =ln X i (i =1, …, n ) , 则n n

=ρY i =ρln X i , Y

n i =1

n i =1

则 ^是 的相合估计量。

定理的证明见文献[3]。

2

命题2　设总体X 服从参数为μ和σ的对数正态分布, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的简单随机

n n 2

样本, μ^=ρln X i 与σ^=ρ(ln X i -n i =1

n i =1

n i =1

ρln X i ) 分别为μ与σ的最大似然估计量, 则μ^

2

2

n

22

由题设及定义1, Y =ln X ～N (μ, σ) , 于是

2

EY =E (1nX ) =μ, D Y =D (1nX ) =σ,

n n

μ从而E ^=E (ρln X i ) =ρE (ln X i ) =

n i =1

n i =1

E (ln X ) =μ, 即μ^是μ的无偏估计量。

2

另一方面, Y 的样本方差为n n 22

S Y =ρ(Y i - Y ) =ρ(ln X i -n -1i =1n -1i =1n i =1

与σ^分别是μ与σ的相合估计量。

2

证明:由题设, ln X ～N (μ, σ) , E (ln X ) =μ, 而ln X 1, ln X 2, …ln X n 可看作来自总体ln X 的简单随机样本, 于是E (ln X i ) =E (ln X ) =μ, i =1, …, n, 由辛钦大数定律, 对任意ε>0,

n

有li m P =ρln X i -

n i =1

n ?∞

li m P{μ^-<>

ρln X i )

n

2

n n 222

σ(于是^=ρln X i -ρln X i ) =S Y

n i =1

n i =1

n

根据定义3可知μ^是μ的相合估计量。

由(6) 式和定理1有

222

σ2() ()

D ^

=D

n S Y

=

n

DS Y

=2

于　洋, 等:对数正态分布参数的最大似然估计

?57?

4

2?0(n ?∞) n

22

结合(7) 式和定理2可知σ^是σ的相合估计

量。

参考文献:

[1]叶林, 邓筱红. 对数正态型随机变量特征函数的性质[J ].九江师专学报(自然科学版) ,

2002(5) :12.

[2]龙永红主编. 概率论与数理统计(第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2004. 146.

[3]滕素珍, 冯敬海编著. 数理统计学(第四版) [M].大连:大连理工大学出版社, 2005. 77.

THE MAX I M UN L IKE L I HOOD ESTI M A TI ON O F LOGNORMAL D I STR I BU TI ON P ARAM YU Yang; SUN -J (School of M athe m atics and Quantitative Econo m ics, D ongbei U ics, D alian, 116025) AB STRA C T 　This paper derives ors o on para meters by using of maxi m u m likeli 2

hood method and then esti at consistency esti m at or .

KEY W O maxi m u m likelihood esti m ati on; unbiased esti m at or; consistency esti 2

mat or

(责任编辑　陈平生)

(上接第39页)

[19]Schaffer G . B. , McCor m ick P .

[J ].Metall .

G . Anomal ous combusti on effects during mechanical all oying

Trans . A, 1991, 22A (12) :3019.

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ti on bet w een hexachl or obenzene and calciu m hydride [J ].J. Solid State Che m. , 1997, 129:263.

[21]Dopp iu S . , Monagheddu M. , and Cocco G . . Mechanoche m istry of the titaniu m -silicon syste m:

compositi onal effects [J ].J. Mater . Res . , 2001(5) :1266.

RESEARCH PROGRESS O F THE REACTI ON M ECHAN ISM O F

SOL I D -STA TE COMBUSTI ON I NDUCED B Y M ECHAN ICAL ALLO YI NG

M A M ing -liang; SON G Sh i -hua

(Facu lty of m echanical eng ineering, J iu jiang U n iversity, J iujiang, J iangxi, 332005, China ) AB STRA C T 　The theory and characteristics of mechanical all oying have been briefly intr oduced . The reacti on

mechanis m of s olid -state combusti on induced by mechanical all oying has been e mphatically discussed, and the further devel op ing directi on has been put f or ward .

KEY W O RD S 　mechanical all oying; s olid -state combusti on reacti on; mechanis m

(责任编辑　陈平生)

非对称损失函数正态分布总体的参数设计

非对称损失函数正态分布总体的参数设计

非对称损失函数正态分布总体的参数设计

0引育

胡家喜,李春萍,郝会兵

(孝感学院数学系,湖北孝感432100)

摘要:文章在损失为非对称的情况下,讨论了参数设计的可行性,证明了田口方法

的稳健设计

和灵敏度设计依然有效,给出了参数设计的方法与具体步骤. 关键词:参数设计;非对称的损失函数;质量损失;调整参数 中图分类号:O212.6文献标识码:A文章编号:1002—6487(2008)12-O150—02

在制造和生产中.工序过程受到许多随机因素和系统因 素的影响,使加工出来的产品质量偏离目标,从而造成损失. 事实上,在生产过程中我们常假定控制特征的概率分布及损 失函数是对称的,并把规格中心当作最优目标值.然而在实 际中.许多偏离目标的损失并不是对称的,如对一轴零件的 加工超过上限,可以返工,而小于最小容差尺寸就要作废,损 失显然是非对称的,在这种情况下,使工序加工出的产品均 值等于目标值,并不会使期望损失最小.因此在损失为非对 称的情况下,如何优化过程均值,使其接近目标值m,尤为 重要.文献【2卜[4]主要讨论了在非对称的二次损失函数下,总 体参数的设计问题.本文在此基础上考虑了另一种非对称的 损失函数,补充了他们的结论.

设随机变量X为考察的某一望目特性的数量性能指标. 其数学期望为,方差为盯.0<m<?是此性能指标x的目标 值.当然,最理想的情形是,所有产品的性能指标值均取值为 m,但是事实上这是很难做到的,往往产品的指标值与m之 间有一个距离,这样就造成了损失.田口先生定义了如下的

质量损失函数:

L()()=k()(-m)(1)

田口先生称此产品的平均质量(数学期望)为质量水平, 即

E[L(X)I=k[E(X一)2+(一m)2】=k(cr+82)(2) 质量损失函数(1)量化了产品性能波动所造成的损失, 此外还进一步提供了减小波动所造成损失的一个方法.由分 解式(2)可以看到,产品的平均质量损失被分解成了两个部 分:一部分是仃,它是由产品的质量波动造成的,实际上就是 性能指标X的方差.另一部分是6,是由性能指标的数学期 望与目标值的偏差造成的.

田口先生据此提出这样的参数设计的途径:(1)先进行 稳健性设计与分析,变动构成产品的各个部件的参数,使产 基金项目:孝感学院科研基金资助项目

150统计与决镱2008年第12期(总第264期) 品的质量尽量稳定,减小性能指标的方差,即减少性能波动 损失仃.(2)再进行灵敏度设计,缩短性能指标的期望与目标 值之间的距离,利用对方差影响不大的参数,在保持方差不 增大的前提下,将x的数学期望为调整至m,使得偏差8: 0,以减少损失.

1非对称的损失函数

考虑非对称的损失函数:

fk,fX—m,X?m

L(x):{:,:(3),【k

2fX—m1X>m,

其中kl,k2>0

如果x的分布密度为f(x;O),其中e=(e一,en)为参数向 量,则产品的平均质量损失为:

L(e):E【L(x):J一L(x)f(x;0)dx :

』:k.(x—m)2f(x;0)dx+I::kx—m)t(x;O)dx](4) 可以看出.此时平均质量损失还与产品本身所服从的分 布有关.本文仅就最常用的正态性能指标,在质量损失函数 非对称的情况下,讨论参数设计的可行性,定义了调整参数, 求出了最优调整参数值,使质量损失达到最小,从而提高产 品质量.

2非对称质量损失函数下正态总体参数设

计的构造

设性能指标X服从正态分布,冥密度函数为

fix;Ix,o"2):—一exp[一](5)

V2-my2盯

其中盯>0.数学期望E(X)=lX;方差D(x):仃.由(4)式,可得 L(,cr2)=E[L(X)]

=

k1(x-m)exp卜]dx+k2(一)

._l__exp[一_1(】x=m一)+k2],.exp[一二l+ X/2wit2【『,/2盯'2【『

[k-【『+k-(一m)一kz(一m)]4)()+kz(一m)

对(6)式分别求关于,【『的偏导数,有

:2kliT4)(rn二)+k

旦=[2k

0

(_m))一

U【丁

2k—一exp[一二1+k.(8)

V2盯2盯

其中4)(x)为标准正态分布的分布函数,做变换=(m一), 【『,并称为调整参数,同时r=k.iT/k令为非对称比率,则有

L(,【丁=k【丁g()(9)

—

:

5=k2iTg'(h)=kzh()(10) 其中g()=(r+1)_exp『_萼一],/2盯

+(I'+r.一)4)()+(11)

h()=(2rh一1)qb(h)一:exp[一擎]+1(12),/2盯 由(7)式可知,平均质量损失L(,its)关于标准差【『严格单调 增加.由于iT>0,要减少平均质量损失L(,【『2),性能指标的方 差越小越好.这表明参数设计的第一部分稳健性设计与分析 还是必须且有效的

下面讨论灵敏度设计.当偏差8=0,即=m时,有 ,一去?.

此时平均质量损失L(,【『2)没有达到最小值.显然满足 :

0的点使L(,【丁:)达到最小值,由(10)式即可求解以 0U

下非线性方稃.

h():(2rh一1)qb(h)一exp[一擎]+1=0(13),/2盯z 由于方程(13)的解只与r有关.对于给定的质量损失函 数,r即给定,设是相应的方程(13)的解,称之为最优调整 参数.此时无论性能指标的方差【T取到多小,使得L(,iT2)最 小的总满,~m-p=X.

此时L(,【丁z)=k2【丁g(h).C【丁

做灵敏度设计时,只要将性能指标的数学期望调整到 in一【『(而不是in)即可.

对于方程(13),可运用牛顿迭代法解得,即对于给定的 r,代人方程(13),即可求解出相应的.

参数设计步骤如下:

(1)确定望目特性的性能指标的质量损失函数,计算损失 系数比r:

(2)对于以上r值,求解方程(13)得到相应的最优调整参 数:

(3)对性能指标做稳健性设计,使x的标准差尽量地小, 取值为【『;

(4)对性能指标做灵敏度设计,将数学期望调整到m一 【丁

参考文献:

[1J田口玄一.质量工程学概论[M].北京:中国对外翻译公司,1985. [2J程岩等.非对称损失下威布尔分布总体的参数设计?.中山大学 (自然科学版),2004,43(6).

[3J程岩等.基于非对称损失函数的参数设计【J1.应用概率统计, 2005,21(4).

[4]程岩等.基于非对称损失函数指数分布总体的参数设计[JJ.数学 的实践与认识.2006.36(6).

(责任编辑/李友平)

统计与决策2008年第12期(总第264期)151

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