五菱集团驻Z泰协调部
K空间实际上是个数学概念，比较复杂。对于放射科医师来说，只需要了解一些K空间的基本概念和重要特征。K空间的概念对于理解MR成像技术，特别是快速成像技术至关重要。
一、K空间的基本概念
K空间也称傅里叶空间，是带有空间定位编码信息的MR信号原始数据的填充空间。每一幅MR图像都有其相应的K空间数据。对K空间的数据进行傅里叶转换，就能对原始数据中的空间定位编码信息进行解码，得到MR的图像数据，即把不同信号强度的MR信息分配到相应的空间位置上(即分配到各自的像素中)，即可重建出MR图像了。
二、K空间的基本特性
下面就以矩阵为256×256的二维MR图像为例来介绍一下K空间的基本特性，二维K空间又称为K平面。如图18a所示，二维K空间的两个坐标Kx和Ky分别代表MR信号的频率编码和相位编码方向。在二维图像的MR信号采集过程中，每个MR信号的频率编码梯度场的大小和方向保持不变，而相位编码梯度场的方向和场强则以一定的步级发生变化(图18b)，每个MR信号的相位编码变化一次，采集到的MR信号填充K空间Ky方向的一条线(图18a)，因此把带有空间信息的MR信号称为相位编码线，也称K空间线或傅里叶线。图18a中并未把所有256条K空间线全部画出，仅画出几条作为示意。
前 Ky,,128 Ky,,127
Ky,,128
Ky,,127
Ky,0 Ky,0 右 左 Ky,，127 Ky,+127 Ky
Ky,+128 Ky,，128
Kx 后
a b
图18 K空间结构及相位编码梯度场变化示意图 图a为K空间填充示意图，图b为相应的相位编码梯度场变化示意图。一般的K空间是循序对称填充的。填充Ky,,128的MR信号的相位编码梯度场为左高右低，梯度场强最大。填充Ky,,127的MR信号的相位编码梯度场仍为左高右低，但梯度场强有所降低。保持梯度场方向不变，但梯度场强逐渐降低。到填充Ky,0的MR信号时，相位编码梯度场等于零。此后相位编码梯度场方向变为右高左低，梯度场强逐渐升高，到采集填充Ky,，128的MR信号时，相位编码梯度场强达到最高。K空间相位编码方向上Ky,0的两侧的各MR信号是镜像对称的，即Ky,,128与Ky,，128的相位编码梯度场强一样，但方向相反，Ky,,127与Ky,，127的关系也是如此，以此类推。
从Ky方向看，填充在K空间中心的MR信号的相位编码梯度场为零，这时MR信号强度最大，主要决定图像的对比，而不能提供相位编码方向上的空间信息，我们把这一条K
空间线称为零傅里叶线(Ky,0)(图18a)。而填充K空间最周边的MR信号的相位编码梯度场强度最大(Ky,,128和Ky,，128)，得到的MR信号中各体素的相位差别最大，能提供相位编码方向的空间信息(图18a)，而由于施加的梯度场强度大，MR信号的幅度很小，因而其MR信号主要反映图像的解剖细节，对图像的对比贡献较小。从K空间中心(Ky,0)到K空间的最周边(Ky,,128或Ky,，128)，其间各条K空间线的相位编码梯度场是逐渐递增的，越靠近Ky,0的MR信号幅度越大，越决定图像的对比，但能提供的空间信息越少;越靠近K空间周边的MR信号所含的空间信息越多，越决定图像的解剖细节，但MR信号的幅度越小，能提供的对比信息越少。简单的说，就是填充K空间中央区域的相位编码线主要决定图像的对比，而填充K空间周边区域的相位编码线主要决定图像的解剖细节。另外从Ky,0向Ky,,128和Ky,，128的这两个方向上，各个MR信号的相位编码梯度场递增的步级是一样的，仅梯度场的方向相反(图18b)，因此这两个方向上的MR信号或称相位编码线是镜像对称的，即Ky,,128与Ky,，128对称，Ky,,127与Ky,，127对称，依此类推。
从Kx方向看，即在每一条相位编码线的频率编码方向上，其数据是由从回波信号的采样得到的。因为回波信号在时序上是对称的，因此K空间的Kx方向也是对称的。
另外，需要指出的是，许多人会把K空间的数据阵列与图像的阵列相混淆。其实这两者之间不是一一对应的，K空间阵列中每一个点上的信息均含有全层MR信息，而图像阵列中的每个点(即像素)的信息仅对应层面内相应体素的信息。
总结一下，K空间的特性主要表现为:(1)K空间中的点阵与图像的点阵不是一一对应的，K空间中每一点包含有扫描层面的全层信息;(2)K空间在Kx和Ky方向上都呈现镜像对称的特性;(3)填充K空间中央区域的MR信号(K空间线)主要决定图像的对比，填充K空间周边区域的MR信号(K空间线)主要决定图像的解剖细节。
三、K空间的填充方式
常规MRI序列中，K空间最常采用的填充方式为循序对称填充，即在图18a中是先填充Ky,,128，然后是Ky,,127，……，Ky,0，……，Ky,，127，最后为Ky,，128。熟知这一填充方式非常重要，如利用梯度回波T1WI序列进行肝脏动态增强扫描(NEX=1),如果整个序列采集时间为20s，则决定图像对比的MR信号的采集应该在扫描开始后第10s，因而要想获得开始团注对比剂后第25s的肝脏动脉期，扫描的开始时刻需要提前10s，即开始团注对比剂后的第15s就应该启动扫描序列。
实际上，K空间中相位编码线的填充顺序是可以改变的，我们可以采用K空间中央优先采集技术，即扫描一开始先编码和采集填充Ky,0附近的一部分相位编码线，决定图像的对比，然后再采集决定图像解剖细节的K空间周边的相位编码线。这一技术在利用透视实时触发技术进行的动态增强扫描和对比增强磁共振血管成像(CE-MRA)时有较多的应用。
除了循序对称填充的方式外，K空间还可以采用迂回轨迹、放射状轨迹和螺旋状轨迹等其他多种填充方式。
文 - 汉语汉字 编辑词条
文，wen，从玄从爻。天地万物的信息产生出来的现象、纹路、轨迹，描绘出了阴阳二气在事物中的运行轨迹和原理。
故文即为符。上古之时，符文一体。
古者伏羲氏之王天下也，始画八卦，造书契，以代结绳(爻)之政，由是文籍生焉。--《尚书序》
依类象形，故谓之文。其后形声相益，即谓之字。--《说文》序》
仓颉造书，形立谓之文，声具谓之字。--《古今通论》
(1) 象形。甲骨文此字象纹理纵横交错形。"文"是汉字的一个部首。本义:花纹;纹理。
(2) 同本义 [figure;veins]
文，英语念为:text、article等，从字面意思上就可以理解为文章、文字，与古今中外的各个文学著作中出现的各种文字字形密不可分。古有甲骨文、金文、小篆等，今有宋体、楷体等，都在这一方面突出了"文"的重要性。古今中外，人们对于"文"都有自己不同的认知，从大的方面来讲，它可以用于表示一个民族的文化历史，从小的方面来说它可用于用于表示单独的一个"文"字，可用于表示一段话，也可用于人物的姓氏。
折叠编辑本段基本字义
1(事物错综所造成的纹理或形象:灿若,锦。
2.刺画花纹:,身。
3(记录语言的符号:,字。,盲。以,害辞。
4(用文字记下来以及与之有关的:,凭。,艺。,体。,典。,苑。,献(指有历史价值和参考价值的图书资料)。,采(a(文辞、文艺方面的才华;b(错杂艳丽的色彩)。
5(人类劳动成果的总结:,化。,物。
6(自然界的某些现象:天,。水,。
7(旧时指礼节仪式:虚,。繁,缛节(过多的礼节仪式)。
8(文华辞采，与“质”、“情”相对:,质彬彬。
9(温和:,火。,静。,雅。
10(指非军事的:,职。,治武功(指礼乐教化和军事功绩)。
11(指以古汉语为基础的书面语:552,言。,白间杂。
12(专指社会科学:,科。
13(掩饰:,过饰非。
14(量词，指旧时小铜钱:一,不名。
15(姓。
16( 皇帝谥号，经纬天地曰文;道德博闻曰文;慈惠爱民曰文;愍民惠礼曰文;赐民爵位曰文;勤学好问曰文;博闻多见曰文;忠信接礼曰文;能定典礼曰文;经邦定誉曰文;敏而好学曰文;施而中礼曰文;修德来远曰文;刚柔相济曰文;修治班制曰文;德美才秀曰文;万邦为宪、帝德运广曰文;坚强不暴曰文;徽柔懿恭曰文;圣谟丕显曰文;化成天下曰文;纯穆不已曰文;克嗣徽音曰文;敬直慈惠曰文;与贤同升曰文;绍修圣绪曰文;声教四讫曰文。如汉文帝。
折叠编辑本段字源字形
字源演变与字形比较
折叠编辑本段详细字义
〈名〉
1(右图是
“文”字的甲骨文图片，资料来源:徐无闻主编:《甲金篆隶大字典》，四川辞书出版社。1991年7月第一版。
“文”字的甲骨文字绘画的像一个正面的“大人”，寓意“大象有形”、“象形”;特别放大了胸部，并在胸部画了“心”，含义是“外界客体在心里面的整体影像、整体写真、整体素描、整体速写”。
许慎《说文解字》把“文”解释为“错画也”，意思是“对事物形象进行整体素描，笔画交错，相联相络，不可解构”，这与他说的独体为文、合体为字的话的意思是一致的。“说文解字”这个书名就表示了“文”只能“说”，而“字”则可“解”的意思。“文”是客观事物外在形象的速写，是人类进一步了解事物内在性质的基础，所以它是“字”的父母，“字”是“文”的孩子。“文”生“字”举例(以“哲”为例):先对人手摩画，其文为“手”;又对斧子摩画，其文为“斤”。以手、斤为父母，结合、生子，其子就是“折”(手和斤各代表父母的基因)。这个“折”就是许慎所谓的“字”。“字”从宀从子，“宀”表示“独立的房子”，子在其中，有“自立门户”的意思。故“字”还能与“文”或其他“字”结合，生出新“字”来。在本例，作为字的“折”与作为文的“口”结合，就生出了新的字“哲”。
2(
同本义 [figure;veins]
文，错画也。象交文。今字作纹。——东汉?许慎《说文》
——春秋?左丘明《左传?昭公二十五年》。注:“青与赤谓之文，赤与白谓五章以奉五色。
之章，白与黑谓之黼，黑与青谓之黻。”
美于黼黼文章。——《荀子?非相》
茵席雕文。——《韩非子?十过》
织文鸟章，白旆央央。——《诗?小雅?六月》
斑文小鱼。——明? 刘基《诚意伯刘文成公文集》
3(又如:文驾(彩车);文斑(杂色的斑纹);文旆(有文彩的旗帜);文绣(绣有彩色花纹的丝织品;刺花图案);文织(有彩色花纹的丝织品);文鳞(鱼鳞形花纹)。
(字，文字(“文”，在先秦时期就有文字的意思，“字”，到了秦朝才有此意。分别讲，“文”4
指独体字;“字”指合体字。笼统地说，都泛指文字。) [character]
饰以篆文。——南朝宋?范晔《后汉书?张衡传》
分文析字。——东汉?班固《汉书?刘歆传》
夫文，止戈为武。——《左传?宣公十二年》
距洞数百步，有碑仆道，其文漫灭。——王安石《游褒禅山记》
文曰“天启壬戌秋日”。——明? 魏学洢《核舟记》
文曰“初平山尺”。
5(又如:甲骨文;金文;汉文;英文;文迹(文字所记载的事迹);文书爻(有关文字、文凭之类的卦象);文异(文字相异);文轨(文字和车轨);文狱(文字狱);文钱(钱。因钱有文字，故称);文状(字据，军令状);文引(通行证;路凭);文定(定婚)。
6(文章(遣造的词句叫做“文”，结构段落叫做 “章”。) [literary composition]
故说诗者不以文害辞。——《孟子?万章上》
好古文。——唐? 韩愈《师说》
属予作文以记之。——宋? 范仲淹《岳阳楼记》
能述以文。——宋? 欧阳修《醉翁亭记》
摘其诗文。——清? 纪昀《阅微草堂笔记》
7(又如:文价(文章的声誉);文魔(书呆子);文会(旧时读书人为了准备应试，在一起写文章、互相观摩的集会);文移(旧时官府文书的代称);文雄(擅长写文章的大作家);文意(文章的旨趣);文义(文章的义理);文情(文章的词句和情思);本文(所指的这篇文章);作文(写文章;学习练习所写的文章);文魁(文章魁首);文价(文章的声价);文什(文章与诗篇)。
8(美德;文德 [virtue]
圣云继之神，神乃用文治。——杜牧《感怀诗一首》
9(又如:文丈(对才高德韶的老者的敬称);文母(文德之母);文武(文德与武功);文命(文德教命);文惠(文德恩惠);文德(写文章的道德);文薄(谓文德浅薄);文昭(文德昭著)。
10.文才;才华。亦谓有文才，有才华 [literary talent]
而文采不表于后世也。——汉? 司马迁《报任安书》
11(又如:文业(才学);文英(文才出众的人);文采风流(横溢的才华与潇洒的风度);文郎(有才华的青少年);文彦(有文才德行的人);文通残锦(比喻剩下不多的才华)。
12(文献，经典;韵文 [document;classics;verse]
儒以文乱法。——《韩非子?五蠹》
言必遵修旧文而不穿凿。——《说文解字?叙》
13(辞词句。亦指文字记载 [writings;record]。如:文几(旧时书信中开头常用的套语。意为将书信呈献于几前);文倒(文句颠倒);文过其实(文辞浮夸，不切实际);文义(文辞);文辞(言词动听的辞令);文绣(辞藻华丽)。
14(自然界的某些现象 [natural phenomenon]
经纬天地曰文。——《左传?昭公二十八年》
15(又如:天文;地文;水文;文象(日月星辰变化的迹象);文曜(指日月星辰;文星);文昌(星座名)。
16(文治;文事;文职。与“武”相对。 [achievements in culture and education;civilian post]
文能取胜。——《史记?平原君虞卿列传》
文不能取胜。
文武并用。——唐? 魏征《谏太宗十思疏》
精神折冲于千里，文武为宪于万邦。――明《袁可立晋秩兵部右侍郎诰》
17(又如:文臣，文吏(文职官吏);文席(教书先生的几席);文品(文官的品阶);文帅(文职官员出任或兼领统帅);文烈(文治显赫);文员(文职吏员);文阶(文职官阶);文道(文治之道);文业(文事);文僚(文职官吏)。
18(法令条文 [articles of decree]
而刀笔吏专深文巧诋，陷人于罪。——《史记?汲黯列传》
19(又如:文劾(根据律令弹劾);文法吏(通晓法令、执法严峻的官吏);文丈(规矩;制度);文移(官府文书);文牓(布告;文告);文宪(礼法;法制)。
20(文言。古代散文文体之一;别于白话的古汉语书面语 [literary language]。如:半文半白;文语;文白(文言文和白话文)。
21(文教;礼节仪式 [rites]
则修文德。——《论语?季氏》
22(又如:文丈(崇尚礼文仪节);文俗(拘守礼法而安于习俗);文致(指礼乐);文貌(礼文仪节);文绪(文教礼乐之事);文仪(礼节仪式)
23(指表现形式;外表 [form;appearance]。如:文服(表面服从);文榜(告示、布告之类);文诰(诰令)
24(指鼓乐，泛指曲调 [music;tune]。如:文曲(指乐曲);文始(舞乐名)
25(谥号，谥法:勤学好问叫文 [study deligently]
何以谓之文。——《论语》
是以谓之文。
26(姓
〈动〉
1(在肌肤上刺画花纹或图案 [tatto (the skin)]
被发文身。——《礼记?王制》。注:“谓其肌，以丹青涅之。”
文绣有恒。——《礼记?月令》
2(又如:文笔匠(在人身上刺花的艺人);文身断发(古代荆楚、南越一带的习俗。身刺花纹，截短头发，以为可避水中蛟龙的伤害。后常以指落后地区的民俗);文木(刻镂以文采之木)
3(修饰;文饰 [cover up]
身将隐，焉用文之?——《左传?僖公二十三年》
饰邪说，文奸言，以枭乱天下。——《荀子?非十二子》
4(又如:文过饰非;文致(粉饰;掩饰);文冢(埋葬文稿之处)
5(装饰 [decorate]
舍其文轩。——《墨子?公输》
此犹文奸。
文车二驷。——明? 归有光《项脊轩志》
文马四百匹。——《史记?宋世家》
若将比予文木邪。——《庄子?人间世》
6(又如:文巧(文饰巧辩);文竿(以翠羽为饰之竿);文舫(装饰华丽的游艇);文饰(彩饰);文榭(饰以彩画的台榭);文舟，文艘(装饰华丽的船);文剑(装饰华丽的剑);文舆(饰以彩绘的车)
7(撰写文章 [write]。如:文匠(写文章的大家);文祸(因写文章而招来的灾祸);文雄，文杰(指文豪)
〈形〉
1(有文采，华丽。与“质”或“野”相对 [magnificent;gorgeous]
其旨远，其辞文。——《易?系辞下》
晋公子广而俭，文而有礼。——《左传?僖公二十三年》
2(又如:文巧(华丽奇巧);文朴(文华与质朴);文服(华美的衣服);文砌(华美的石阶);文
背(不文雅，粗俗);文轩(华美的车子);文质(文华与质朴)
3.柔和，不猛烈 [mild;gentle]。如:文烈(指火候温猛)
4(美，善 [fine;good]。如:文徽(华美);文鸳(即鸳鸯。以其羽毛华美，故称);文衣(华美
的服装)
5(通“紊”。紊乱的 [disordered]
惇宗将礼，称秩元祀，咸秩无文。——《书?洛诰》
天子祭天下名山大川，怀柔百神，咸秩无文。——《汉书?郊祀志上》
王者报功，以次秩之，无有文也。——庆劭《风俗通义?山泽》
〈量〉
1(用于旧时的铜钱。如:一文钱
2(用于计算纺织物
五扶为一首，五首成一文。——《后汉书》
K空间的基本概念
第八节 K空间的基?本概念
K空间实际?上是个数学?概念，比较复杂。对于放射科?医师来说，只需要了解?一些K空间?的基本概念?和重要特征?。K空间的概?念对于理解?MR成像技?术，特别是快速?成像技术至?关重要。
一、K空间的基?本概念
K空间也称?傅里叶空间?，是带有空间?定位编码信?息的MR信?号原始数据?的填充空间?。每一幅MR?图像都有其?相应的K空?间数据。对K空间的?数据进行傅?里叶转换，就能对原始?数据中的空?间定位编码?信息进行解?码，得到MR的?图像数据，即把不同信?号强度的M?R信息分配?到相应的空?间位置上(即分配到各?自的像素中?)，即可重建出?MR图像了?。
二、K空间的基?本特性
下面就以矩?阵为256?×256的二?维MR图像?为例来介绍?一下K空间?的基本特性?，二维K空间?又称为K平?面。如图18a?所示，二维K空间?的两个坐标?Kx和Ky?分别代表M?R信号的频?率编码和相?位编码方向?。在二维图像?的MR信号?采集过程中?，每个MR信?号的频率编?码梯度场的?大小和方向?保持不变，而相位编码?梯度场的方?向和场强则?以一定的步?级发生变化?(图18b)，每个MR信?号的相位编?码变化一次?，采集到的M?R信号填充?K空间Ky?方向的一条?线(图18a)，因此把带有?空间信息的?MR信号称?为相位编码?线，也称K空间?线或傅里叶?线。图18a中?并未把所有?256条K?空间线全部?画出，仅画出几条?作为示意。
前 Ky,,128 Ky,,127
Ky,,128
Ky,,127
Ky,0 Ky,0 右 左 Ky,，127 Ky,+127 Ky
Ky,+128 Ky,，128
Kx 后
a b
图18 K空间结构?及相位编码?梯度场变化?示意图 图a为K空?间填充示意?图，图b为相应?的相位编码?梯度场变化?示意图。一般的K空?间是循序对?称填充的。填充Ky,,128的M?R信号的相?位编码梯度?场为左高右?低，梯度场强最?大。填充Ky,,127的M?R信号的相?位编码梯度?场仍为左高?右低，但梯度场强?有所降低。保持梯度场?方向不变，但梯度场强?逐渐降低。到填充Ky?,0的MR信?号时，相位编码梯?度场等于零?。此后相位编?码梯度场方?向变为右高?左低，梯度场强逐?渐升高，到采集填充?Ky,，128的M?R信号时，相位编码梯?度场强达到?最高。K空间相位?编码方向上?Ky,0的两侧的?各MR信号?是镜像对称?的，即Ky,,128与K?y,，128的相?位编码梯度?场强一样，但方向相反?，Ky,,127与K?y,，127的关?系也是如此?，以此类推。
从Ky方向?看，填充在K空?间中心的M?R信号的相?位编码梯度?场为零，这时MR信?号强度最大?，主要决定图?像的对比，而不能提供?相位编码方?向上的空间?信息，我们把这一?条K
空间线?称为零傅里?叶线(Ky,0)(图18a)。而填充K空?间最周边的?MR信号的?相位编码梯?度场强度最?大(Ky,,128和K?y,，128)，得到的MR?信号中各体?素的相位差?别最大，能提供相位?编码方向的?空间信息(图18a)，而由于施加?的梯度场强?度大，MR信号的?幅度很小，因而其MR?信号主要反?映图像的解?剖细节，对图像的对?比贡献较小?。从K空间中?心(Ky,0)到K空间的?最周边(Ky,,128或K?y,，128)，其间各条K?空间线的相?位编码梯度?场是逐渐递?增的，越靠近Ky?,0的MR信?号幅度越大?，越决定图像?的对比，但能提供的?空间信息越?少;越靠近K空?间周边的M?R信号所含?的空间信息?越多，越决定图像?的解剖细节?，但MR信号?的幅度越小?，能提供的对?比信息越少?。简单的说，就是填充K?空间中央区?域的相位编?码线主要决?定图像的对?比，而填充K空?间周边区域?的相位编码?线主要决定?图像的解剖?细节。另外从Ky?,0向Ky,,128和K?y,，128的这?两个方向上?，各个MR信?号的相位编?码梯度场递?增的步级是?一样的，仅梯度场的?方向相反(图18b)，因此这两个?方向上的M?R信号或称?相位编码线?是镜像对称?的，即Ky,,128与K?y,，128对称?，Ky,,127与K?y,，127对称?，依此类推。
从Kx方向?看，即在每一条?相位编码线?的频率编码?方向上，其数据是由?从回波信号?的采样得到?的。因为回波信?号在时序上?是对称的，因此K空间?的Kx方向?也是对称的?。
另外，需要指出的?是，许多人会把?K空间的数?据阵列与图?像的阵列相?混淆。其实这两者?之间不是一?一对应的，K空间阵列?中每一个点?上的信息均?含有全层M?R信息，而图像阵列?中的每个点?(即像素)的信息仅对?应层面内相?应体素的信?息。
总结一下，K空间的特?性主要表现?为:(1)K空间中的?点阵与图像?的点阵不是?一一对应的?，K空间中每?一点包含有?扫描层面的?全层信息;(2)K空间在K?x和Ky方?向上都呈现?镜像对称的?特性;(3)填充K空间?中央区域的?MR信号(K空间线)主要决定图?像的对比，填充K空间?周边区域的?MR信号(K空间线)主要决定图?像的解剖细?节。
三、K空间的填?充方式
常规MRI?序列中，K空间最常?采用的填充?方式为循序?对称填充，即在图18?a中是先填?充Ky,,128，然后是Ky?,,127，……，Ky,0，……，Ky,，127，最后为Ky?,，128。熟知这一填?充方式非常?重要，如利用梯度?回波T1W?I序列进行?肝脏动态增?强扫描(NEX=1),如果整个序?列采集时间?为20s，则决定图像?对比的MR?信号的采集?应该在扫描?开始后第1?0s，因而要想获?得开始团注?对比剂后第?25s的肝?脏动脉期，扫描的开始?时刻需要提?前10s，即开始团注?对比剂后的?第15s就?应该启动扫?描序列。
实际上，K空间中相?位编码线的?填充顺序是?可以改变的?，我们可以采?用K空间中?央优先采集?技术，即扫描一开?始先编码和?采集填充K?y,0附近的一?部分相位编?码线，决定图像的?对比，然后再采集?决定图像解?剖细节的K?空间周边的?相位编码线?。这一技术在?利用透视实?时触发技术?进行的动态?增强扫描和?对比增强磁?共振血管成?像(CE-MRA)时有较多的?应用。
除了循序对?称填充的方?式外，K空间还可?以采用迂回?轨迹、放射状轨迹?和螺旋状轨?迹等其他多?种填充方式?。
线性空间的基本概念
第一学期第十八次课
4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标
设V是数域K上的线性空间， 定义4.9 基和维数
,,,,,,如果在V中存在n个向量，满足: 12n
,,,,,,1)、线性无关; 12n
,,,,,,2)、V中任一向量在K上可表成的线性组合， 12n
,,,,,,则称为V的一组基。 12n
基即是V的一个极大线性无关部分组。 基的个数定义为线性空间的维数。
,,,,,,,V命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而。若V中任一向量皆可12n
,,,,,,,,,,,,被线性表出，则是V的一组基。 12n12n
,,,,,,证明:由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。 12n
,,,,,,,V命题4.5 设V为K上的n维线性空间，，则下述两条等价: 12n
,,,,,,1)、线性无关; 12n
,,,,,,2)、V中任一向量可被线性表出。 12n
定义4.10 向量的坐标
,,,,,,,设V为K上的n维线性空间，是它的一组基。任给，由命题 ，可唯,,V12n
，,,!,(1,2,,)aKin,,,,,,一表示为的线性组合，即，使得 i12n
,,,,,，，，aaa， 1122nn
,,,,,,,于是我们称为在基下的坐标。 aaa,,,，，12n12n
易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。
内积空间的基本概念
Hilbert 空间
一 内积空间的基本概念
设H 是域K 上的线性空间，对任意x , y ∈H ，有一个中K 数
(x , y ) 与之对应，使得对任意x , y , z ∈H ；α∈K 满足
1） 2） 3） 4）
(x , y ) ≥0；(x , y ) ＝0，当且仅当 x =0； (x , y ) ＝(y , x ) ；
(αx , y ) =α(x , y ) ；
(x +y , z ) ＝(x , z ) ＋(y , z ) ；
定理1.1设H 是内积空间，则对任意x , y ∈H 有：
___________
称(,) 是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
|(x , y ) |≤(x , x )(y , y ) 。
2
设H 是内积空间，对任意x ∈H ，命
||x ||=(x , x )
则||?||是H 上的一个范数。
例 设H 是区间[a , b ]上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x , y ∈H ，定义
(x , y ) =?x (t ) y (t ) dt
a
b
________
则与L [a , b ]类似，(x ,
2y ) 是一个内积，由内积产生的范数为
b
2
12
a
||x ||=(?|x (t ) |dt )
上一个内积介不是Hilbert 空间。
1.2 设H 是内积空间，则内积(x , y ) 是x , y 的连续
函数，即时x n
→x ，y →y ，(x , y ) →(x , y ) 。
n
n
n
定理1.3 设H 是内积空间，对任意x , y ∈H ，有以下关系式成立，
1） 平行四边形法则：
||x +y ||
2
＋||x -y ||
2
＝2(||x ||+||y ||) ；
2
2
2） 极化恒等式：
1
(x , y ) ＝（||x +y ||
4
i ||x -iy ||)
2
2
－
||x -y ||
2
＋
i ||x +iy ||
2
－
定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性
设H 是内积空间，x , y ∈H ，如果(x , y ) =0，称x 与y 正交，记为x
⊥y 。
⊥M ；如果M , N 是H 中两个子集，
与
设M 是H 的任意子集，如果x ∈H 与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为x 对于任意
x ∈M , y ∈N , x ⊥y ，称M N
正交，记
M ⊥N 。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
M 的正交补，记为M
⊥
。
定理2.1 设H 是内积空间 1） 如果x , y , z ∈H ，x
=y +z 且y ⊥z ，则||x ||
__
2
＝
||y ||
2） 如果
2
＋||z ||
2
；
，并且
L 是H 的一个稠密子集，即L =H x ⊥L ，则x =0；
⊥
3）
M 是H 的任意子集，则M 是H 的闭子空间。
定理2.2 设M 是内积空间H 中的完备凸集，则对任意
x ∈H ，存在x ∈M ，使得
||x -x ||＝d (x , M ) =inf ||x -y ||
y ∈M
定理2.3（正交分解）设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任意x ∈H ，存在唯一的x 0∈M 及y ∈M ，使得
⊥
x =x +y
2 正交系
设{x α}，α∈I 是内积空间H 中的子集，如果α
≠β
时
称{x α}, α∈I 是中的一个正交系。设{x α}, α∈I (x α, y β) =0，
||是一个正交系，如果对每一上α∈I ，
一个标准正交系。
x α||=1, 称{x α}, α∈I 是
设{x α}，α∈I 是H 的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H ，称{x α}, α∈I 是的正交基。
定理2.4 设{e n }是内积空间H 中的标准正交系，x ∈H ，
α,..., α
1是n 个数，则当且当仅αk
k
k
=(x , e ) (k =1,..., n ) 时，
k
||x -∑αe ||取最小值。
k =1
n
定理2.5（Bessel 不等式）设{e n }是内积空间H 中的标准正交系，则对任意x ∈H ，有
∑|(x , e ) |≤||x ||
2
k =1
k
∞
2
定理2.6 设{e n }是内积空间中的一个标准正交系，则{e n }是完备的，当且仅当{e n }张成的子空间L 在H 中稠密。
定理2.7 设H 是Hilbert 空间，{e n }是H 中的标准正交系，则{e n }是完备的，当且仅当{e n }是完全的。
定理2.8 设H 是Hilbert 空间，{e n }是H 中的标准正交系，{ξn }∈l ，则存在x ∈H ，使得
2
ξ=(x , e ) (k =1, 2,...)
k
k
并且
∑|ξ|=||x ||
2
k =1
k
∞
2
定理2.9（正交化定理）设{x n }是内积空间H 中的可数子集，则在H 中存在标准正交系{e n }，使得{x n }与{e n }张成的子空间相同。
3 可分空间的同构
定理2.10 设H 是任一可分的无穷维的Hilbert 空间，则存在
H 上到l
2
同构映射?，且?保持内积。
l
三 1
2
Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间
Riesz 表示定理
定理3.1（Riesz 表示定理）设H 是Hilbert 空间，f 是H 上
任意有界线性泛函，则存在唯一的
f
y ∈H
f
，使得对于每一个
f
x ∈H ，有f (x ) =(x , y ) ，并且有||f ||=||y ||。
2空间的共轭空间
设H 是Hilbert 空间，A ∈β(H ) ，于是对任意y ∈H ，易见(Ax , y ) (x ∈H ) 是H 上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的z ∈H ，使得
(Ax , y ) ＝(x , z ) (x ∈H )
定义By
（1）
=z 。
定义 设H 是Hilbert 空间，A ∈β(H ) ，把（1）式确定的有界线性算子B 称为A 的共轭算子。
注意区别第三章第四节中定义H 上的有界线性算子A 的共轭算子A 。
*
以后说到Hilbert 空间H 上的有界算子的共轭算子A 均指（1）定义的算子B ，并且把它记为A ，即A 的共轭算子A 是由下式定
*
*
义的算子：
(Ax , y ) =(x , Ay ) (x , y ∈H
A ＝A ，即对任意x , y ∈H
*
。
定义 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界线性算子，如果
(Ax , y ) =(x , Ay )
则称A 是自共轭算子。
设A 是Hilbert 空间H 的有界共轭算子，以下是算子A 的一些简单性质。
1） 对任意x ∈H ，(Ax , x ) 是实的。 2）
||A ||=sup |(Ax , x ) |
||x ||=1
3） 算子A 的特征值是实的。
4） 对应于算子A 的不同特征值λ1, λ2的特征向量x 1, x 2是正交
的。
四
Hilbert 空间中的自共轭紧算子
引理4.1 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界共轭算子，如果存在x 0∈H ，||
x ||=1，使得泛函|?(x ) |=|(Ax , x ) |在
x
点达到极大，则由(x 0, y ) =
0可推出(Ax , y ) =(x , Ay ) ＝
0。
定理4.2(Hilbert -
Schmidt ) 设A 是Hilbert 空间H 上
的自共轭紧算子，则存在对应于特征值{λn }(λn
≠0) 的特征向量
构成的标准正交系{e n }，使得每一元x ∈H 可唯一地表示为
x =∑αe +x
k
k
k
，
其中x 0∈N(A ) ，即满足Ax 0
'
'
=0，同时
k
k
k
k
Ax =∑λαe
n →∞
并且如果{e n }是无穷的，则lim λn ＝0。
基本概念物理
高一物理必修1基本概念复习
概念1、参考系
1、关于机械运动和参照物，以下说法正确的有（ ）[多选]
A. 研究和描述一个物体的运动时，必须选定参照物，而且参考系可以任意选取
B. 由于运动是绝对的，描述运动时，无需选定参照物
C. 一定要选固定不动的物体为参照物
D. 研究地面上物体的运动时，必须选地球为参照物
E. 参考系的选择应该以能准确而方便地描述物体的运动为原则
F. 对于同一个运动，虽然选择的参考系不同，但观察的结果是相同的
概念2、质点
2、下列关于质点的描述，正确的是（ ）
①质点是一个理想化模型，实际上并不存在
②在某些情况下，地球可以看作质点 ③凡是小的物体，皆可以看作质点
④如果物体的形状和大小对于所研究的问题属于无关或次要因素时，即可把物体看作质点
A ．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
概念3、时间时刻
3、关于时刻和时间，下列说法正确的是（ ）
A ．时刻表示时间极短，时间表示时间较长；
B ．时刻表示时间较长，时间表示时间极短；
C ．作息时间表上的数字均表示时刻；
D ．1min 只能分成60个时刻。
4、根据图1所示的时间坐标轴，下列有关时刻与时间的叙述，正确的是（ ）
A ．t 2表示时刻，称为第2秒末或第3秒初，也可以称为2秒内
B ．t 2~t3表示时间，称为第3秒内
C ．0~t2表示时间，称为最初2秒内或第2秒内
D ．t n-1~tn 表示时间，称为第n-1秒内
概念4、位移路程
5、关于路程和位移，下列说法正确的是（ ）
A ．物体通过的路程不同，但位移可能相同
B ．物体沿直线运动时，路程就是位移
C ．位移是矢量，位移的方向即物体运动的方向
D ．路程就是位移的大小
6、关于位移和路程的说法中正确的是（ ）[多选]
A ．位移的大小和路程的大小总是相等的，只不过位移是矢量，而路程是标量
B ．位移是描述直线运动的，路程是描述曲线运动的
C ．位移取决于始末位置，路程取决于实际运动的路线
D ．运动物体的路程总大于或等于位移的大小
概念5、平均速度、平均速率、速度、速率
7、子弹以900m/s的速度从枪筒射出；汽车在北京长安街上行使，时快时慢，20min 行使了 18km ，汽车行驶的速度是54km/h，则（ ）
A ．900m/s是平均速度 B ．900m/s是瞬时速度
C ．54km/h是平均速度 D ．54km/s瞬时速度
8、下列说法正确的是（ ）
A ．平均速度的方向与位移方向相同，是矢量
B ．平均速率是指平均速度的大小
C ．物体运动速度大小不变时瞬时速度与平均速度相同
D ．平均速度用总位移除以总时间，总时间包括停止时间，计算平均速率不包括停止时间 概念6、加速度
9、关于速度和加速度的关系，以下说法正确的是（ ）[多选]
A. 物体的速度改变越大，则加速度越大
B. 物体的速度变化越慢，则加速度越小
C. 物体加速度的方向，就是物体速度的方向
D. 物体的速度为零，加速度可能很大
10、关于速度和加速度的关系，以下说法正确的是（ ）[多选]
A. 物体单位时间内的速度变化大，速度变化率也就大
B. 速度的大小与加速度的大小无必然联系
C. 加速度大的物体速度变化一定很大
D. 速度大，速度变化率不一定大
11、关于速度和加速度的关系，以下说法正确的是（ ）[多选]
A. 物体的加速度跟速度方向相同时，当加速度减小，速度也随之减小
B. 加速度方向保持不变时，速度方向也保持不变
C. 加速度增大速度可能减小；加速度为负, 速度可能增大
D. 物体的速度在增大，而位移可能减小
概念7、运动与力的关系
12、物体运动的速度方向、加速度方向和所受合外力的方向的关系是（ ）
A ．速度方向、加速度方向和合外力方向总是相同的
B ．加速度跟合外力总是同方向，但速度方向与它们的方向可能相同，也可能不同
C ．速度跟加速度总是同方向，但合外力的方向与它们可能相同，也可能不同
D ．物体的速度是由合外力产生的，所以速度方向总跟合外力的方向相同
13、下列说法正确的是（ ）
A ．同一物体速度变化大，所受外力一定大
B ．同一物体速度变化快，所受外力一定大
C ．受力大的物体，其速度变化一定大
D ．受力大的物体，其速度变化一定快
概念8、图象
14、关于图象，下列说法正确的是（ ）
A ．匀速直线运动的位移—时间图象是一条与时间轴平行的直线
B ．匀速直线运动的速度—时间图象是一条与时间轴平行的直线
C ．匀变速直线运动的速度—时间图象是一条与时间轴平行的直线
D ．初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图象是一条通过原点的倾斜直线
概念9、匀变速直线运动
15、关于匀加速直线运动，说法正确的是（ ）
A ．是加速度均匀增加的直线运动
B ．加速度随时间均匀变化的运动
C ．在任意相邻的两个相等时间间隔内，位移之差相等的运动
D ．是加速度大小不变，方向可以变化的运动
16、关于匀变速直线运动的下列说法正确的是（ ）
A. 匀变速直线运动是加速度恒定不变的运动 B.匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动
C. 匀加速直线运动是加速度不断增加的运动 D.匀减速直线运动是加速度不断减小的运动 概念10、变加速直线运动
17、做变加速直线运动的物体，当合外力减小时（ ）
A ．物体的速度逐渐减小 B ．物体的加速度逐渐减小
C ．物体的速度变化逐渐减小 D ．物体的位移逐渐减小
概念11、自由落体运动
18、关于自由落体运动，下列说法错误的是（ ）
A ．自由落体运动的物体初速度为零
B ．物体从静止开始，竖直下落的运动就是自由落体运动
C ．自由落体运动的物体只受到重力作用
D ．在自由落体运动过程中，纸片和铁球的运动规律相同
19、关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A ．在空气中不考虑空气阻力的运动是自由落体运动
B ．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
C ．质量大的物体，所受重力大，因而落地速度大
D ．自由落体的加速度在地球赤道处最大
概念12、力
20、关于力的说法下列正确的是（ ）[多选]
A ．力是物体对物体的作用
B ．一物体竖直向上运动时，它一定受到竖直向上的力
C ．只有互相接触的物体才存在相互作用力
D ．若一物体是施力物体，则该物体一定同时也是受力物体
21、在下列各组力中，属于同一性质的力是（ ）
A ．重力、弹力、摩擦力、拉力
B ．拉力、压力、支持力、推力
C ．重力、拉力、动力、阻力
D ．重力、分子力、电磁力、推力
22、关于力的下述说法中正确的是（ ）
A. 只有直接作用的物体才有力的作用
B. 力的大小可以用天平测量
C. 由有一定距离的磁铁间有相互作用力可知:力可以离开物体而独立存在
D. 力的作用效果是使物体发生形变或改变物体的运动状态
概念13、重力、重心与重力加速度
23、下列说法错误的是（ ）
A ．重力的方向总是竖直向下的
B ．压力、支持力的方向总是垂直于接触面的
C ．滑动摩擦力的方向总是与运动方向相反
D ．轻绳的拉力方向总是沿绳子直线的
概念14、弹力与正压力
24、以下是一位同学对胡克定律F kx 的理解，其中正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数k 与弹簧的弹力大小F 成正比，
B ．弹簧的劲度系数k 与弹簧的长度变化量x 成反比
C ．弹簧的劲度系数k 由弹簧本身决定，与弹簧的弹力大小F 无关
D ．在弹性限度内，弹簧的弹力大小F 与弹簧的长度成正比
25、说法中正确的是（ ）
A ．粉笔盒静止在讲台桌上，讲台桌受到的压力就是重力
B ．弹簧的弹力大小F 与弹簧长度x 满足关系式F = kx
C ．在空中飘落的树叶，其重力方向总是竖直向下
D ．粉笔盒粉笔盒静止在讲台桌上，讲台桌受到弹力是因为讲台桌的形变
概念15、摩擦力、最大静摩擦力与动摩擦因素
26、关于弹力和摩擦力的关系，下列说法正确的是（ ）[多选]
A ．两物体间若有弹力，就一定有摩擦力
B ．两物体间若有摩擦力，就一定有弹力
C ．两物体间的弹力和摩擦力的方向必互相垂直
D ．当两物体间的弹力消失时，摩擦力仍可存在一段时间
E ．摩擦力的大小一定与弹力大小成正比
27、关于摩擦力的说法错误的是（ ）
A ．某人匀速向上爬杆，他受到的摩擦力是滑动摩擦力，方向向下
B ．无论滑动摩擦力还是静摩擦力都可能是动力，即可能与运动方向相同
C ．静止的物体可以受滑动摩擦力，运动的物体也可能受静摩擦力
D ．滑动摩擦力的方向总是与物体的相对运动方向相反，且与接触面积无关
28、码头上两个人用水平力推集装箱，想让它动一下，但都推不动，其原因是（
选]
A ．集装箱太重 B ．推力总小于摩擦力
C ．集装箱所受合外力始终为零 D ．推力总小于最大静摩擦力
[多 ）
概念16、合力分力
29、在力的合成中，下列关于两个分力与它们的合力关系的说法中，正确的是（ ）
A ．合力一定大于每一个分力
B ．合力一定小于每一个分力
C ．合力的方向一定与分力的方向相同
D ．两个分力大小不变，夹角在0°～180°变化时，夹角越大合力越小
30、一个物体放在斜面上，关于重力的分解，下列说法中正确的是（ ）
A ．重力可分解为垂直于斜面压紧斜面的力和平行于斜面使物体下滑的力
B ．重力可分解为斜面对物体的支持力和沿斜面下滑的力
C ．重力可分解为对斜面的压力和沿斜面下滑的力
D ．重力可分解为支持力和摩擦力
概念17、平衡状态
31、下列说法正确的是（ ）[多选]
Ａ．某人用力推桌子没推动，则桌子合力为零
Ｂ．只要速度的大小不变，物体就处与平衡状态
Ｃ．5个力作用下物体处与平衡状态，则其中一个力与另外4个力的合力大小相等 Ｄ．物体在某一瞬间的速度为零，则物体处于平衡状态
概念18、平衡力
32、一个木块在水平向左的拉力Ｆ作用下沿水平地面匀速直线运动, 下列说法正确的是
（ ）
Ａ．木块所受的合力向左
Ｂ．木块对地面的压力就是木块所受的重力
Ｃ．木块对地面的压力与地面对木块的支持力是一对平衡力
Ｄ．木块所受的滑动摩擦力与水平拉力是一对平衡力
概念19、作用力与反作用力
33、一个铅球和一个皮球相互挤压的时候，以下叙述正确的是（ ）[多选]
A ．铅球对皮球的压力大于皮球对铅球的压力
B ．铅球的形变小于皮球的形变
C ．皮球对铅球的压力和铅球对皮球的压力一定同时产生
D ．铅球对皮球的压力与皮球对铅球的压力是一对平衡力
34、关于作用力和反作用力正确说法是（ ）
A ．必为性质相同的力.
B ．必为效果相同的力.
C ．必为大小相等方向相反在同一直线上作用于同一物体的力.
D ．作用时间必相等，作用力与反作用力有时可以是平衡力
35、一个正方形木块放在光滑的水平桌面上，下列说法正确的是（ ）
A ．木块受到的弹力是由于木块底部形变造成的
B ．木块受到的弹力是由于桌面形变造成的
C ．木块受到的重力与木块对桌面的压力是一对平衡力
D ．木块受到的重力与桌面受到的压力是作用力和反作用力
概念20、理想实验与理想模型
36、古希腊学者亚里士多德认为重的物体一定比轻的物体下落得快，被人们奉为经典，直到三百多年前才被某位科学家用逻辑思维与实验验证的方法推翻，这位科学家的名字是（ ）
A 、牛顿 B 、伽利略 C 、麦克斯韦 D 、爱因斯坦
37、关于伽利略的理想实验的叙述中正确的是（ ）
A . 这个实验是凭空想象的
B . 这个实验虽然是想象的，但它得出的结论是可靠的
C . 理想实验是一种科学方法
D . 理想实验是一个纯思维实验，其正确性应接受实践的检验
38、下列科学家对运动的认识错误的是（ ）
A ．亚里士多德认为物体的自然状态是静止的，只有当它受到力的作用才会运动
B ．伽利略认为力不是维持物体速度的原因
C ．牛顿认为力的真正效应总是改变物体的速度，而不仅仅是使之运动
D ．伽利略根据理想实验推论出，如果没有摩擦，在水平面上的物体，一旦具有某一个速度，将保持这个速度继续运动下去
概念21、牛顿第一定律
39、关于牛顿第一定律，下列说法正确的是（ ）[多选]
A ．伽利略的斜面实验是牛顿第一定律的实验基础
B ．笛卡儿正确地表述了牛顿第一定律的内容
C ．牛顿第一定律在任何条件下都成立
D ．牛顿第一定律已孕育着牛顿第二定律产生的因素
40、下列说法正确的是（ ）
A ．凡是运动的物体一定受到了力作用
B ．因为" 物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质叫惯性" ，所以只有处于匀速直线运动状态或静止状态的物体才具有惯性
C ．物体不受力的作用不能从静止到运动
D ．行驶着的车辆突然刹车时，车上的乘客将向前倾倒，这是因为刹车时乘客受到向前的冲力作用
概念22、运动状态的改变
41、下列物体运动状态发生变化的是（ ）[多选]
A ．物体沿斜面匀速上升
B ．物体在光滑斜面上自由下滑
C ．滑冰场上，运动员在圆形的冰面跑道上匀速滑动
D ．用细绳拉着物体在水平面上做匀速直线运动
概念23、惯性
42、下列关于惯性的说法，正确的是（ ）
A. 静止的物体才具有惯性
B. 做变速运动的物体没有惯性
C. 两个物体质量相等，则它们的惯性大小相等
D. 有的物体没有惯性
43、一汽车在路面相同的公路上直线行驶，下面关于车速、惯性、质量和滑行路程的讨论正确的是（ ）[多选]
Ａ. 速度越大，它的惯性越大
Ｂ. 车的质量越大，它的惯性越大
Ｃ. 车速越大，关闭油门后，车滑行的路程越长
Ｄ. 车速越大，关闭油门后，车滑行的路程越长, 所以惯性越大
44、下述说法中正确的是（ ）
A. 汽车以更高速度行驶时具有更大的惯性
B. 物体静止时有惯性，一旦运动起来运动状态就发生改变，物体也就失去了惯性
C. 在相同的外力作用下，获得加速度大的物体惯性小
D. 物体做匀速直线运动时具有惯性，但合外力不为零时惯性将消失
概念24、控制变量法
45、关于由小车实验得出牛顿第二定律F ＝ma 的下列说明中，符合实际的是（ ）
A ．同时改变小车的质量m 及受到的拉力F ，得出加速度、力、质量三者间的关系
B ．保持小车质量不变，只改变小车的拉力，就可得出加速度、力、质量三者间的关系
C ．保持小车受力不变，只改变小车质量，就可得出速度、力、质量三者间的关系
D ．先不改变小车质量，研究加速度与力的关系；再不改变力，研究加速度与质量的关系，最后得到加速度、力、质量三者间的关系
概念25、牛顿第二定律
46、静止在光滑水平面上的物体，受到一个水平拉力的作用, 当力刚开始作用的瞬间, 下列说法
正确的是（ ）
A ．物体同时获得速度和加速度
B ．物体立即获得速度, 但加速度为零
C ．物体立即获得加速度, 但速度为零
D ．物体的速度和加速度仍为零
47、在牛顿第二定律公式F=kma中，关于比例系数k 的数值，下列说法中错误的是（ ）
A ．在任何情况下k 都等于1
B ．在国际单位制下，k 就等于1
C ．k 的数值是由质量、加速度和力的单位所决定的
D ．为了使k=1，1N 定义为使1kg 物体产生1m/s2加速度的力
48、关于牛顿第二定律，下列说法中错误的是（ ）
A ．在国际单位制中，力的单位用" 牛顿" ，质量单位用" 千克" ，加速度单位用"m/s2" ，才能将牛顿第二定律的公式写如下形式：F ＝ma
B ．每一瞬间的力只决定这一瞬时的加速度，而与这一瞬时之前或之后的力无关，F 一旦消失，a 也立即消失
C ．在公式F ＝ma 中，a 实际上是作用于该物体上的每一个力所产生的加速度的矢量和
D ．物体的运动方向一定与物体所受合外力方向一致
概念26、超重失重完全失重
49、下列实例属于超重现象的是（ ）[多选]
Ａ．神舟七号运载火箭点火后加速升空
Ｂ．举重运动员举起杠铃静止在空中
Ｃ．跳水运动员被跳板弹起，离开跳板向上运动
D ．飞机降落到地面之前向下减速的过程
50、下面关于超重与失重的判断正确的是（ ）[多选]
A ．物体作变速运动时，必处于超重或失重状态
B ．物体向下运动，必处于失重状态
C ．作竖直上抛运动的物体，处于完全失重状态
D ．物体斜向上作匀减速运动，处于失重状态
51、手托着一块砖，开始静止不动，当手突然向上加速运动时，砖对手的压力（ ）[多选]
A ．一定小于手对砖的支持力
B ．一定等于手对砖的支持力
C ．一定大于手对砖的支持力
D ．一定大于砖的重力
概念27、国际单位
52、国际单位制中，力学的三个基本单位是（ ）
A ．牛顿、厘米、秒 B ．千克、米、秒
C ．千克、秒、焦耳 D ．牛顿、秒、米/秒
概念28、矢量与标量
53、下列各组物理量中，全部是矢量的是（ ）[多选]
A ．质量 平均速率 速度 B．速率 时间 路程
C ．加速度 位移 速度 D．平均速度 合力 重力加速度
概念29、公式使用范围
54、下面规律的适用范围正确的说法是（ ）[多选]
A ．牛顿第二定律只适用于宏观低速运动的物体
B ．平均速度公式v =s /t 只适用于匀变速直线运动
C ．用=v 0+v t 求平均速度适用于匀变速直线运动和匀速直线运动 2
D ．平行四边形法则只适合于力的合成和分解
E . 只要是计算弹簧弹力就可以用f=kx，其中x 是指变化量
F ．计算刹车位移时，往往要考虑停车时间，有时不能直接将已知时间代入位移公式 G ．求摩擦力一定可以用公式f=uN
答案
1AE 2D 3C 4B 5A 6CD 7BC 8A 9BD 10ABD 11CD 12B 13B 14B 15C 16A 17B 18B 19B 20AD 21B 22D 23C 24C 25C 26BC 27A 28CD 29D 30A 31AC 32D 33BC 34A 35B 36B 37C 38A 39AD 40C 41BC 42C 43BC 44C 45D 46C 47A 48D 49AD 50CD 51BD 52B 53CD 54ACF
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