你的微笑那么迷人
1．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
2．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（ ）
A．85° B．60° C．50° D．35°
3．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（ ）
A．28° B．38° C．48° D．88°
4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
5．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．140°
6．如图，已知a∥b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．50° C．150° D．140°
7．下列关于尺规的功能说法不正确的是（ ）
A．直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长
B．直尺的功能是：可作平角和直角
C．圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆
D．圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧
8．下列作图语句正确的是（ ）
A．延长线段AB到C，使AB=BC B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC
9．下列作图语句正确的是（ ）
A．以点O为顶点作∠AOB B．延长线段AB到C，使AC=BC
C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以A为圆心作弧
10．下列属于尺规作图的是（ ）
A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个300°的角
C．用圆规画半径2cm的圆 D．作一条线段等于已知线段
11．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线 B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b D．过点P作直线AB的垂线
12．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ．
13．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是
14．如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P=°．
15．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠1=20°，则∠2=．
16．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于
17．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为 度．
18．如图，已知AC∥ED，AB∥FD，∠A=65°，求：∠EDF的度数．
19．如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．
20．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
21．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=70°，∠CDE=130°，求∠BCD的度数．
22．如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE．
23．已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2= ；
（2）∠1+∠2+∠3= ；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4= ；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ．
24．如图，AB∥CD，∠BAE=30°，∠ECD=60°，求∠AEC的度数．
数学-讲义-教案初一 平行线的性质、尺规作角
(一)平行线的性质
知识 典例(注意咯，下面可是黄金部分～) (一)、平行线的性质:
知识要点
两直线平行，同位角相等;
两直线平行，内错角相等;
两直线平行，同旁内角互补;
1 3 5 2 4 6
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补(?5+?6=180?)
经典例题
例1、如图，直线AB?CD，并被直线EF所截。
E?1与?2的关系是 1?1与?3的关系是 AB3?1与?4的关系是 24?2与?3的关系是 DC?2与?4的关系是 F?3与?4的关系是
1、利用两直线平行，同位角相等
如图，已知a?b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上(若?1=35?，则?2的度数
为 (
2、利用两直线平行，内错角相等
下列图形中，由AB//CD能得到?1=?2的是( )
3、利用想直线平行，同旁内角互补
如图，?1+?2,180?，?3,78?，那么?4的大小 。
变式练习:
1、如图，如果AD//BC，那么根据 ，
可得?B=?1，如果AB//CD，那么根据
，可得?D=?1。
例2、如右图，BD平分?ABC，ED?BC，?1=25?。求?2、?3的度数。
A
D 3 E
2 1
B C
变式练习:
如右图，AB//CD，EF分别交AB、CD于M、N，?EMB=50?，MG平分?BMF，MG交CD于G，求?1的度数。
E
M 5
A B
0 1
C N G D
F
例3、如图，已知AB?CD，AD?BC。判断?1与?2是否相等，并说明理由。 分析:思考下列几个问题:
(1)?1与?BAD是一对什么的角,它们是否相等,为什么,
CD2)?2与?BAD是一对什么的角,它们是否相等,为什么, (
12(3)那么?1与?2是否相等,为什么,
BA
图1—14
变式练习:
1. 如图,已知:DE?CB,?1=?2,求证:CD平分?ECB.
ED1
2
BC
2. 如图，已知:AB?DE，AE?CD，请说明?1=?3。
3. 如图，已知:AE平分?BAC，CE平分?ACD，且AB?CD。求证:?1+?2=90?。
, 转折角处巧添辅助线
，BCD例4、如图，己知AB//DE,,则是多少度 ，ABC,80:,，CDE,140:
变式练习:
1.如图所示，AA?BA求?A-?B+?A( 12112
误区警示
强化练习 (挑战一下自己吧~)
1.已知两条平行直线被第三条直线所截，那么下列说法中不正确的是 ( )
A.它们所构成的同位角相等 B.它们所构成的内错角相等
C(两平行线之间的距离并非处处相等 D.它们所构成的同旁内角互补 在同一平面内有三条直线,2.若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )
A.0个 B.1个 C .2个 D.3个
3.同一平面内的四条直线满足a?b，b?c，c?d，则下列式子成立的是( )
A(a?b B(b?d C(a?d D(b?c
m//n4.如图，，?2=50?，那么?1= ?，?3= ?，?4= ? 5.如图，直线MN、PQ被直线EF所截，若?1=?2，则?MEF+?PFE=
第5题图 第4题图
6.如图，?1和?2互补，那么图中平行的直线有( )
a//bc//dd//ec//e A、 B、 C、 D、
第7题图 第8题图 第6题图
7.如图，AB?EF?DC，EG?DB图中与?1相等的角(?1除外)共有( )
A(6个 B(5个 C(4个 D(2个
8.如图，直线c截平行直线a,b，则下列式子中一定成立的是( )
第9题图
A(?1=?2 B(?1=?3 C(?1=?4 D(?1=?5
9.如图，直线l=l，则?为( ) ,12
A(150? B(140? C(130? D(120?
拓展提高
1. 已知?、?′′′且?′′，?′′，猜想?与 ?′′′有怎AOBAOBAOAOBOBOAOBAOB
样的数量关系,请说明理由，由本题你可以得到什么样的结论,(用一句话叙述)
，，，EBD、、2. ※如图所示，已知AB//CD，请你观察之间有什么关系,证明你所得
到的结论。
3. 在一条河的两侧有两个村落A及B，河的两岸基本上互相平行，现在要在河上架一座和
岸边垂直的桥，那么桥架在哪里，才能使从A村到B村的路程最近,两村及河的位置如
图所示。
4. 如图，CD?AB，?DCB=70?，?CBF=20?，?EFB=130?，问直线EF与AB有怎样的位
置关系，为什么,
(二)尺规作角
知识 典例(注意咯，下面可是黄金部分～) (二)尺规作线段和角
1.在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图. 2.尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图. 3.尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长.
4.作一个角等于已知角的步骤:
已知:?AOB
求作:?A′O′B′，使?A′O′B′=?AOB
作法 示范
(1)作射线O’A’
O'A'
B(2)以点O为圆 D心，以任意长为
半径画弧，交OA OO'A'AC于点C，交OB 于点D;
(3)以点O’为B 圆心，以OC长为D 半径画弧，交 OO’A’于点C’; A'C'O'AC B
(4)以点C’为DD'圆心，以CD长 为半径画弧， O交前面的弧于点A'C'O' ACD’;
(5)过点D’作B'B
射线O'B’. D'D
?A'O'B' 就是所 求作的角. O
AO'A'C'C
回顾小结
(一日悟一理，日久而成学) 一、方法小结:
二、本节课我做的比较好的地方是:
三、我需要努力的地方是:
课后作业
1. ?1与?2互余，?2与?3互补，?1=63?，?3= .
2. ?1和?2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么?1和?2 的大小关系是
( )
A.?1=?2 B.?1>?2; C.?1<?2 D.无法确定 3. 如图，若m?n， ?1=105?,则?2= CD
G EF
BA
第3题图 第4题图
4. 如图，已知AB?CD?EF，BC?AD，AC平分?BAD，那么图中与?AGE相等的角有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5. 一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是( )
A.向右拐85?,再向右拐95?; B.向右拐85?,再向左拐85?
C.向右拐85?,再向右拐85?; D.向右拐85?,再向左拐95? 6. 如图,BCD是一条直线,?A=75?,?1=53?,?2=75?,求?B的度数.
A E
21D BC
7. 如图，已知直线EF与AB、CD都相交，且AB?CD，说明?1=?2的理由.
解:?EF与AB相交(已知) E
1??1=?3( ) AB3
?AB?CD(已知) DC2
??2=?3( ) F
??1=?2( )
8.已知，如图，?AOB及其两边上的点C、D，过点C作CE?OB，过点D作DF?OA，
CE、DF交于点P.
B
D
AOC
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
让更多的孩子得到更好的教育
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
撰稿:孙景艳 责编:吴婷婷
【学习目标】
1(掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.
2(了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念. 3(了解尺规作图的基本知识及步骤;
4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:两直线平行，同位角相等;
性质2:两直线平行，内错角相等;
性质3:两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”(
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质(
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离(
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等(
要点三、尺规作图
1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图(
要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题( (2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度(
(3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度( 2.八种基本作图(有些今后学到):
(1)作一条线段等于已知线段(
(2)作一个角等于已知角(
(3)作已知线段的垂直平分线(
(4)作已知角的角平分线(
(5)过一点作已知直线的垂线(
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让更多的孩子得到更好的教育 (6)已知一角、一边做等腰三角形(
(7)已知两角、一边做三角形(
(8)已知一角、两边做三角形(
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1(如图所示，如果AB?DF，DE?BC，且?1,65?(那么你能说出?2、?3、?4的度数吗?为什么(
【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次:第一层次是由DE?BC，可得?1,?4，?1，?2,180?;第二层次是由DF?AB，可得?3,?2或?3，?4,180?，从而解出?2、?3、?4的度数(
【答案与解析】
解:? DE?BC，
? ?4,?1,65?(两直线平行，内错角相等)(
?2，?1,180?(两直线平行，同旁内角互补)(
? ?2,180?-?1,180?-65?,115?(
又? DF?AB(已知)，
? ?3,?2(两直线平行，同位角相等)(
? ?3,115?(等量代换)(
【总结升华】平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系( 举一反三:
llll//,//【变式】如图，已知，且?1=48?，则?2, ，?3, ，?4, . 1234
【答案】48?，132?，48?
类型二、两平行线间的距离
2(如图所示，直线l?l，点A、B在直线l上，点C、D在直线l上，若?ABC的1221面积为S，?ABD的面积为S，则( ) ( 12
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让更多的孩子得到更好的教育
A(S,S B(S,S C(S,S D(不确定 121212
【答案】B
【解析】因为l?l，所以C、D两点到l的距离相等(同时?ABC和?ABD有共同的底122
AB，所以它们的面积相等(
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合(
举一反三:
【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为 平方厘米(
【答案】5 (提示:连接BF，则BF?AC)
类型三、尺规作图
3(已知:?AOB(
利用尺规作: ?A′O′B′，使?A′O′B′,2?AOB(
【思路点拨】先作一个角等于?AOB，在这个角的外部再作一个角等于?AOB，那么图中最大的角就是所求的角(
【答案与解析】
作法一:如图(1)所示，(1)以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C;
(2)以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，?交前面的弧于点B′;
(3)过点B′作射线O B′，则?A′O′B′就是所求作的角(
作法二:如图(2)所示，(1)画射线O′A′;
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D; (3)以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A?′于点E;
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让更多的孩子得到更好的教育 (4)以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，?以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′;
(5)画射线O′B′，则?A′O′B′就是所求作的角(
【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部(?作法一在已知角的基础上作图较为简便一些(
类型四、平行的性质与判定综合应用
4(如图所示，AB?EF，那么?BAC，?ACE，?CEF,( )
A(180? B(270? C(360? D(540?
【答案】C
【解析】过点C作CD?AB，
? CD?AB，
? ?BAC，?ACD,180?(两直线平行，同旁内角互补)
又? EF?AB
? EF?CD((平行公理的推论)
? ?DCE，?CEF,180?(两直线平行，同旁内角互补)
又??ACE,?ACD，?DCE
??BAC，?ACE，?CEF,?BAC，?ACD，?DCE，?CEF,180?，180?,360? 【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到?BAC ，?ACE，?CEF,360?(
举一反三:
【变式】如图所示，如果?BAC，?ACE，?CEF,360?，则AB与EF的位置关系 (
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【答案】平行
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七下2017第二章平行线的性质判定与尺规作图教学辅导方案精编设计
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平行线的判定(基础)知识讲解
【学习目标】
1. 熟练掌握平行线的画法;
2. 掌握平行公理及其推论;
3. 掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1
1. 平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤:
?落:用三角板的一条斜边与已知直线重合.
?靠:用直尺紧靠三角板一条直角边.
?推:沿着直尺平移三角板, 使与已知直线重合的斜边通过已知点.
?画:沿着这条斜边画一条直线, 所画直线与已知直线平行.
2. 平行公理及推论
平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(
推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(
要点诠释:
(1) 平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(
(2) 公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一(
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1:同位角相等，两直线平行. 如上图，几何语言:
2
? ?3,?2
? AB ?CD (同位角相等，两直线平行)
判定方法2:内错角相等，两直线平行. 如上图，几何语言:
? ?1,?2
? AB ?CD (内错角相等，两直线平行)
判定方法3:同旁内角互补，两直线平行. 如上图，几何语言:
? ?4，?2,180?
? AB ?CD (同旁内角互补，两直线平行)
书山寻宝 1 学海泛舟
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要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1(下列说法中正确的有 ( )
?一条直线的平行线只有一条;?过一点与已知直线平行的直线只有一条;?因为a ?b ，c ?d ，所以a ?d ;?经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(
3
A (1个 B 2个 C (3个 D (4
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解(
举一反三:
【变式】直线a ?b ，b ?c ，则直线a 与c 的位置关系是 .
类型二、平行线的判定
2. (2015秋?龙岗区期末)已知:如图，?C=?1，?2和?D 互余，BE ?FD 于点G (求证:AB ?CD (
【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE ?FD 及三角形内角和定理得出?1和?
D 互余(
举一反三:
【变式1】(2016?郑州一模)如图，能判定EC?AB的条件是( )
A (?B=?ACE
4
书山寻宝 B (?A=?ECD C (?B=?ACB D (?A=?ACE 2 学海泛舟
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【变式2】已知，如图，BE 平分?ABC ，CF 平分?BCD ，?1,?2，求证:AB//CD(
3. 如图所示，由(1) ?1,?3，(2) ?BAD ,?DCB ，可以判定哪两条直线平行(
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”(
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法(即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果(
4. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗,为什么,
【答案与解析】
(
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
5
举一反三:
【变式】已知，如图，EF ?EG ，GM ?EG ，?1,?2，AB 与CD 平行吗,请说明理由(
书山寻宝 3 学海泛舟
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平行线的判定(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列关于作图的语句正确的是 ( ).
A (画直线AB=10厘米.
B (画射线OB=10厘米.
C (已知A ，B ，C 三点，过这三点画一条直线.
D (过直线AB 外一点画一条直线和直线AB 平行.
2(下列判断正确的个数是 ( ).
?过一点有且只有一条直线与已知直线平行;?两条不相交的直线叫做平行线;?在同一平面内不相交的两条射线是平行线(
A (0个 B (1个 C (2个 D (3个
3(若直线a ?b ，b ?c ，则a ?c 的依据是 ( ).
6
A (平行的性质
B (等量代换
C (平行于同一直线的两条直线平行
D (以上都不对
4(下列说法中不正确的是 ( ).
A (同位角相等，两直线平行.
B (内错角相等，两直线平行.
C (同旁内角相等，两直线平行.
D (在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
5(如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是 (
).
A (同位角相等，两直线平行 B (内错角相等，两直线平行
C (同旁内角互补，两直线平行 D (以上都不对
6((2015?福州)下列图形中，由?1=?2能得到AB?CD的是( )
A (B
(C (
D
二、填空题
7
7. 两条射线或线段平行，是
指 .
8(如图所示，直线a ，b 被c 所截，?1,30?，?2:?3,1:5，则直线a 与b 的位置关系是________(
9((2015春?伊宁市校级月考)如图，
书山寻宝 4 学海泛舟
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(1)要证AD?BC，只需?B= ，根据是 ;
(2)要证AB?CD，只需?3= ，根据是 (
10(如图，已知若?1+?2=180?，则?3+? ，CD (
11(小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________(
12. 已知直线a 、b 都过点M ，且直线a ?l ，b ?l ，那么直线a 、b 是同一条直线，根据是________(
8
三、解答题
13. (2015春?南平期末)已知:如图AB?BC，BC?CD且?1=?2，试说明:BE?CF(
解:?AB?BC，BC?CD(已知)
? = =90?( )
??1=?2(已知)
? = (等式性质)
?BE?CF( )
14((黄石) 已知如图，?ABC ,?ADC ，BF 、DE 分别是?ABC 、?ADC 的角平分线，?1,?2，那么CD 与AB 平行吗? 写出推理过程(
15(如图所示，?1,60?，?2,60?，?3,100?，要使AB ?EF ，?4应为多少度，说明理由(
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平行线的判定(二)
【学习目标】
9
1. 熟练掌握平行线的画法;
2. 掌握平行公理及其推论;
3. 掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1. 平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤:
?落:用三角板的一条斜边与已知直线重合.
?靠:用直尺紧靠三角板一条直角边.
?推:沿着直尺平移三角板, 使与已知直线重合的斜边通过已知点.
?画:沿着这条斜边画一条直线, 所画直线与已知直线平行.
2. 平行公理及推论
平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(
推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(
要点诠释:
(1) 平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的
10
点，要区别于垂线的第一性质(
(2) 公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一(
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1:同位角相等，两直线平行. 如上图，几何语言:
? ?3,?2
? AB ?CD (同位角相等，两直线平行)
判定方法2:内错角相等，两直线平行. 如上图，几何语言:
? ?1,?2
? AB ?CD (内错角相等，两直线平行)
判定方法3:同旁内角互补，两直线平行. 如上图，几何语言:
? ?4，?2,180?
? AB ?CD (同旁内角互补，两直线平行)
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要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
11
类型一、平行公理及推论
1(在同一平面内，下列说法:(1)过两点有且只有一条直线;(2)两条直线有且只有一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数为:( ) .
A (1个 B (2个 C (3个 D (4个
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别(
举一反三:
【变式】下列说法正确的个数是 ( ) .
(1)直线a 、b 、c 、d ，如果a ?b 、c ?b 、c ?d ，则a ?d.
(2)两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
(4)在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行(
A (1个 B . 2个 C (3个 D (4个
12
2. 证明:平行于同一直线的两条直线平行(
【答案与解析】
已知:如图，a //c, b //c (求证:a //b (
【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤:
第一步，反设:作出与求证结论相反的假设;
第二步，归谬:将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步，结论:说明反设不成立，从而肯定原命题成立(
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类型二、平行线的判定
3. (2015春?荣昌县校级期中)如图，?ABC=?ACB，BD 平分?ABC，CE 平分?ACB，?DBF=?F(试说明:EC?DF(
【思路点拨】根据BD 平分?ABC，CE 平分?ACB，得
13
出?DBF=?ABC，?ECB=?ACB，?DBF=?ECB，再根据?DBF=?F，得出?ECB=?F，即可证出EC?DF(
【总结升华】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等，两直线平行，关键是证出?ECB=?F(
举一反三:
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A (第一次向左拐30?，第二次向右拐30?
B (第一次向右拐50?，第二次向左拐130?
C (第一次向右拐50?，第二次向右拐130?
D (第一次向左拐50?，第二次向左拐130?
提示:“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图(
图B 显然不同向，因为路线不平行(
图C 中，?1,180?-130?,50?，路线平行但不同向(
图D 中，?1,180?-130?,50?，路线平行但不同向(
只有图A 路线平行且同向，故应选A (
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4. 如图所示，已知?B ,25?，?BCD ,45?，?CDE ,30?，?E ,10?(试说明AB ?EF 的理由(
解法1:如图所示，在?BCD 的内部作?BCM ,25?，在?CDE 的内部作?EDN ,10?(
? ?B ,25?，?E ,10?(已知) ，
? ?B ,?BCM ，?E ,?EDN (等量代换) (
? AB ?CM ，EF ?DN (内错角相等，两直线平行) (
又? ?BCD ,45?，?CDE ,30?(已知) ，
? ?DCM ,20?，?CDN ,20?(等式性质) (
? ?DCM ,?CDN (等量代换) (
? CM ?DN (内错角相等，两直线平行) (
? AB ?CM ，EF ?DN (已证) ，
? AB ?EF (平行线的传递性) (
解法2:如图所示，分别向两方延长线段CD 交EF 于M 点、交AB 于N 点(
? ?BCD ,45?，? ?NCB ,135?(
15
? ?B ,25?，
? ?CNB ,180?-?NCB -?B ,20?(三角形的内角和等于180?) (
又? ?CDE ,30?，? ?EDM ,150?(
又? ?E ,10?，
? ?EMD ,180?-?EDM -?E ,20?(三角形的内角和等于180?) (
? ?CNB ,?EMD (等量代换) (
所以AB ?EF (内错角相等，两直线平行) (
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取( 举一反三:
【变式】(2015秋?巨野县期末)如图，已知?BED=?B+?D，求证:AB?CD(
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平行线的判定(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列说法中正确的有( ) .
16
?一条直线的平行线只有一条(
?过一点与已知直线平行的直线只有一条(
?因为a ?b ，c ?d ，所以a ?d (
?经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(
A (1个 B (2个 C (3个 D (4个
2(如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) .
A (相等 B (互补 C (互余 D (相等或互补
3((2015?黔南州)如图，下列说法错误的是( )
A (若a?b，b?c，则a?c B(若?1=?2，则a?c
C (若?3=?2，则b?c D(若?3+?5=180?，则a?c
4(一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) (
A (第一次向右拐40?，第二次向右拐140?(
B (第一次向右拐40?，第二次向左拐40?(
C (第一次向左拐40?，第二次向右拐140?(
D (第一次向右拐140?，第二次向左拐40?(
17
5(如图所示，下列条件中，不能推出AB ?CE 成立的条件是 ( ) .
A (?A ,?ACE B (?B ,?ACE C (?B ,?ECD D (?B+?BCE ,180?
6.( 绍兴) 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的(如图，(1)—(4))
:
从图中可知，小敏画平行线的依据有( ).
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?两直线平行，同位角相等(?两直线平行，内错角相等(?同位角相等，两直线平行( ?内错角相等，两直线平行(
A. ?? B. ?? C. ?? D. ??
二、填空题
7. (2015春?高密市月考)如图，在下列条件中:??DAC=?ACB;??BAC=?ACD;
??BAD+?ADC=180?;??BAD+?ABC=180?(其中能
18
使直线AB?CD成立的是 ((填序号)
8(如图，DF 平分?CDE ，?CDF ,55?，?C ,70?，则________?________(
9(规律探究:同一平面内有直线a 1，a 2，a 3,，a 100，若a 1?a 2，a 2?a 3，a 3?a 4,，按此规律，a 1和a 100的位置是________(
10(已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40?，则另一个角的度数是
11(直线l 同侧有三点A 、B 、C ，如果A 、B 两点确定的直线l ? 与B 、C 两点确定的直线l ??都与l 平行，则A 、B 、C 三点 ，其依据是
12. 如图，AB ?EF 于点G ，CD ?EF 于点H ，GP 平分?EGB ，HQ 平分?CHF ，则图中互相平行的直线有 (
三、解答题
13. (2015春?兴平市期末)如图，已知?A=?F，?C=?D，试说明BD?CE(
14(小敏有一块小画板(如图所示) ，她想知道它的上下边
19
缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?
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15(如图，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知?ADB ,20?，那么?BAF 为多少度时，才能使AB ′?BD ?
16(如图所示，由?1,?2，BD 平分?ABC ，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?
平行线的性质及尺规作图(一)
【学习目标】
1(掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.
2(了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念.
3(了解尺规作图的基本知识及步骤;
4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认
20
识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:两直线平行，同位角相等;
性质2:两直线平行，内错角相等;
性质3:两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”(
(2) 从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质(
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离(
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等(
21
要点三、尺规作图
1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图(
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要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题(
(2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度(
(3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度. 它只可以拉开成之前构造过的长度(
2. 八种基本作图(有些今后学到):
(1)作一条线段等于已知线段(
(2)作一个角等于已知角(
(3)作已知线段的垂直平分线(
(4)作已知角的角平分线(
(5)过一点作已知直线的垂线(
(6)已知一角、一边做等腰三角形(
(7)已知两角、一边做三角形(
22
(8)已知一角、两边做三角形(
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1((2015秋?昌邑市期末)已知:如图，AB?DC，点E 是BC 上一点，?1=?2，?3=?4(求证:AE?DE(
【思路点拨】过E 作EF ?AB ，再由条件AB ?DC ，可得EF ?AB ?CD ，根据平行线的性质可得?1=?5，?4=?6，然后可得?5+?6=?
BEF+?FEC=90?，进而得到结论(
【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等(
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举一反三:
【变式】(2015?泰州)如图，直线l 1?l 2，?α=?β，?1=40?，则?2= (
23
类型二、两平行线间的距离
2(如图所示，直线l 1?l 2，点A 、B 在直线l 2上，点C 、D 在直线l 1上，若?ABC 的面积为S 1，?ABD 的面积为S 2，则( ) (
A (S 1,S 2 B (S 1,S 2 C (S 1,S 2 D (不确定
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合(
举一反三:
【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为
平方厘米(
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类型三、尺规作图
24
3(已知:?AOB (
利用尺规作: ?A ′O ′B ′，使?A ′O ′B ′,2?AOB (
【思路点拨】先作一个角等于?AOB ，在这个角的外部再作一个角等于?AOB ，那么图中最大的角就是所求的角(
【答案与解析】
作法一:如图(1)所示，(1)以点O 圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点A ′，交OB 于点C ;(2)以点C 为圆心，以CA ′的长为半径画弧，?交前面的弧于点B ′;
(3)过点B ′作射线O B′，则?A ′O ′B ′就是所求作的角(
作法二:如图(2)所示，(1)画射线O ′A ′;
(2)以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ;
(3)以点O ′为圆心，以OC 的长为半径画弧，交O ′A?′于点E ;
(4)以点E 为圆心，以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点F ，再以点F 为圆心，?以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B ′;
(5)画射线O ′B ′，则?A ′O ′B ′就是所求作的角(
25
【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部(?作法一在已知角的基础上作图较为简便一些(
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类型四、平行的性质与判定综合应用
4(如图所示，AB ?EF ，那么?BAC ，?ACE ，?CEF ,( )
A (180? B (270? C (360? D (540?
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到?BAC ，?ACE ，?CEF ,360?(
举一反三:
【变式】如图所示，如果?BAC ，?ACE ，?CEF ,360?，则AB 与EF 的位置关系 (
平行线的性质及尺规作图(基础)巩固练习
26
【巩固练习】
一、选择题
1(下列说法:?两直线平行，同旁内角互补;?内错角相等，两直线平行;?同位角相等，两直线平行;?垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) (
A (? B (?和? C (? D (?和?
2(如图所示，AB ?CD ，若?2是?1的2倍，则?2等于 ( ) (
A (60? B (90? C (120? D (150?
3(下列图形中，由AB ?CD ，能得到?1,?2的是( ) (
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4((2016?安徽模拟)如图，AB?CD，DE?CE，?1=34?，则?DCE的度数为( )
A (34? B (56? C(66? D(54?
27
5((南通) 如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，CD ?OE ?AB (如果?B ,40?，?D ,30?，则?AOC 的大小为( ) (
A (60? B (70? C (80? D (120?
6((山东德州) 如图所示，直线l 1//l 2，?1,40?，?2,75?，则?3等于( ) (
A (55? B (30? C (65? D (70?
二、填空题
7(如图，AB ?CD ，BC ?AD (AC ?BC 于点C ，CE ?AB 于点E ，那么AB 、CD 间的距离是________的长，BC 、AD 间的距离是________的长(
8. 画线段AB ，延长线段AB 到点C ，使BC=2AB;反向延长AB 到点D ，使AD=?AC，则线段CD ,______AB(
9. (浙江湖州) 如图所示，已知CD 平分?ACB ，DE ?AC ，?1,30?，则?2,______度(
10(如图，在四边形ABCD 中，若?A+?B ,180?，则?C+?D ,_______(
28
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11(将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则?1+?2,________(
12((2016春?鄂城区月考)如图，已知AB?CD，?α= (
三. 解答题
13(如图，已知AB ?CD ，MG 、NH 分别平分?BMN 与?CNM ，试说明NH ?MG ?
14. 如图，a ?b ?c ，?1,60?，?2,36?，AP 平分?BAC ，求?PAQ 的度数(
15. (2015春?东莞校级期末)如图，已知直线l 1?l2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问?PAC，?APB，
29
?PBD之间的关系是否发生变化(若点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合)，试探索?PAC，?APB，?PBD之间的关系又是如何,
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平行线的性质及尺规作图(二)
【学习目标】
1(掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理;
2(了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念;
3(了解尺规作图的基本知识及步骤;
4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:两直线平行，同位角相等.
性质2:两直线平行，内错角相等.
30
性质3:两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”(
(2) 从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质(
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离(
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等(
要点三、尺规作图
1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图(
要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题(
31
(2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度(
(3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度. 它只可以拉开成之前构造过的长度(
2. 八种基本作图(有些今后学到):
(1)作一条线段等于已知线段(
(2)作一个角等于已知角(
(3)作已知线段的垂直平分线(
(4)作已知角的角平分线(
(5)过一点作已知直线的垂线(
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(6)已知一角、一边做等腰三角形(
(7)已知两角、一边做三角形(
(8)已知一角、两边做三角形(
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1. (2015春?荣昌县期末)如图，已知射线AB 与直线CD
32
交于点O ，OF 平分?BOC，OG?OF于O ，AE?OF，且?A=30?(
(1)求?DOF的度数;
(2)试说明OD 平分?AOG(
【思路点拨】(1)根据两直线平行，同位角相等可得?FOB=?A=30?，再根据角平分线的定义求出?COF=?FOB=30?，然后根据平角等于180?列式进行计算即可得解;
(2)先求出?DOG=60?，再根据对顶角相等求出?AOD=60?，然后根据角平分线的定义即可得解(
【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，(2)根据度数相等得到相等的角是关键(
举一反三:
【变式】(2015?青海)如图，直线a?b ，直线l 与a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，且PM 垂直于l ，若?1=58?，则?2= (
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类型二、两平行线间的距离
2. 下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半. 因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
举一反三:
【变式】下图是一个方形螺线(已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.
类型三、尺规作图
3. 如图所示，已知?α和?β，利用尺规作?AOB ，使?AOB ,2(?α-?β)(
34
【答案与解析】
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作法:如图所示((1)作?COD ,?;
(2)以射线OD 为一边，在?COD ?的外部作?DOA ，使?DOA ,?α;
(3)以射线OC 为一边，在?COA 的内部作?COE ，使?COE ,?β;
(4)以射线OE 为一边，在?EOA 内部作?EOB ，使?EOB ,?β，则?AOB 就是所求作的角(
【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种:一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案;另一种也可以先做差角再做倍数角(
4. (苏州中考模拟) 如图所示，在长为50m ，宽为22m 的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积(
【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则
35
的图形，所以直接求其面积较困难(因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解(
【总结升华】若分步计算则较繁琐(但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解( 举一反三:
【变式】如图?，在宽为20m 、长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地(根据图中数据，可得耕地的面积为 (
)
A (600m 2 B (551m 2 C (550m 2 D (500m 2
书山寻宝 22 学海泛舟
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平行线的性质教案
平行线的性质教案
知识回顾
判定两直线平行的方法有哪些?
怎样用符号语言表述?
自主探究
1.学生画图活动:两条平行线a?b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八角
2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.
角 ?1 ?2 ?3 ?4
度数
角 ?5 ?6 ?7 ?8
度数
3.学生根据测量所得数据作出猜想.
图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?
图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?
图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?
4. 能否将我们发现的结论给予较为准确的文字表述?
平行线具有性质:
性质1: .
性质2: .
性质3: .
讨论这些性质与前面所学的判定有什么不同?
5. 我们能否使用平行线的性质1说出性质2、3成立的道理呢?
因为a?b,所以?1=?4( );
又?2= (对顶角相等)
所以?2=?4.
尝试应用
1.一辆汽车在笔直的公路上行驶,在两次转弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么这两次转弯的角度可以是( )
A、先右转80o,再左转100 o B、先左转80 o ,再右转80 o
C、先左转80 o ,再左转100 o D、先右转80 o,再右转80
2.如图是一块梯形铁片的线全部分,量得?A=100?, ?B=115?, 梯形另外两个角分别是多少度?
课堂展示
1本节课我们学习了哪些?
2.?1和?2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么?1和?2 的大小关系是( )
A.?1=?2 B.?1>?2; C.?1<?2 D.无法确定
3判断题
(1).两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.( )
(2).两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.( )
(3).两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行.( )
拓展提高
1.:如图,BCD是一条直线,?A=75?,?1=53?,?2=75?,求?B的度数.
2.如图,已知:?1=110?,?2=110?,?3=70?,求?4的度数.
作业
1.课本P23 2,3,4.
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