Z随机变量 的定义为:

，对任何 。 Z(s),max{X(s),Y(s)}s,S

证明 。 E(Z),E(X)，E(Y)

YYXX证 (1)如果 ， 是连续型随机变量，设 ， 的联合概率密度为

， ， 。 ,,,x,，,f(x,y),,,y,，,

则有

，,，, E(Z),E(max{X,Y}),max{x,y}f(x,y)dxdy,,,,,,

,xf(x,y)dxdy，yf(x,y)dxdy,,,,x,yx,y

，,，,，,，, 。 ,E(X)，E(Y),xf(x,y)dxdy，yf(x,y)dxdy,,,,,,,,,,,,

YYXX(2)如果 ， 是离散型随机变量，设 ， 的联合概率分布为

， ， 。 i,1,2,3,？j,1,2,3,？P{X,x,Y,y}ij

则有

,,

E(Z),E(max{X,Y}),max(x,y)P{X,x,Y,y} ,,ijijij,11,

,,,,

,xI(x,y)P{X,x,Y,y}，yI(x,y)P{X,x,Y,y} ,,,,iijijjijijij,11,ij,11,

,,,,

,xP{X,x,Y,y}，yP{X,x,Y,y},E(X)，E(Y) 。 ,,,,iijjijij,11,ij,11,

,,1xy0xy,,ijij,,,,( 其中，I(xy) ，I(xy) 。) ,,ijij0x,y1x,yijij,,

选取适当的样本空间 巧解古典概率题

选取适当的样本空间 巧解古典概率题

摘 要:笔者在进行概率统计课程教学的过程中,发现学生对古 典概率题的解答,计算往往十分繁杂。特别在计算中常常会用到排 列组合的计算公式,计算量大不说,而且容易出错。但只要我们充 分掌握了对古典概率的要求,在解题时只要能选取适当的样本空 间,复杂的排列组合计算也是可以避免的。

关键词:古典概率 样本空间 巧解

在解答古典概率题时,首先要计算样本空间 ω的样本点数即基本 事件数 n 和某一事件 a 的有利事件数 m ,这样就可以计算出事件 a 发生的概率为 p(a)= 。这个看似简单的公式,但我们往往会计算 很复杂,而且在计算中常常会用到排列组合的公式计算,就会使一 些问题的计算量很大,容易计算错误,而功亏一篑。

那么我们能不能用一些简单的方法来解决这个矛盾呢?答案是肯 定的。只要我们在分析问题时能选取适当的样本空间,就可以巧解 这一类问题。我们通过以下几个问题来进行探讨:

例一 将 1,2, ?, n 这 n 个数字任意排列,试求:

(1) 2在 1前面的概率;

(2) 1,2,3依次出现的概率。

解:(1)方法一 . n个数字作为样本空间的基本事件的考虑对象, 则 n个数任意排列,有 n !种排法,即样本空间的样本点数为 n! 。 2一定排在 1之前这个事件的有利事件数为 c2n(n-2) !种排法,

所以所求概率为 :

方法二 注意到题中的要求是求 2排在 1前面的概率,所以我们只 关心的是 1和 2这两个数字的排法, 1和 2两个数字任意排,有两 种排法,则样本空间 ω={(1,2), (2,1) },即 ω包含两个样本点。 设 a={2在 1前面},于是 a={(2,1)}只包含一个样本点,所以所求 概率为 :

p (a ) =

(2)方法一 . 考虑 n 个数字任意排列的情况, n 个数字任意排列有 n !种不同排法,所以样本空间的样本点数为 n ! ,而对于事件 a={1,2,3依次出现 }的有利事件数可以这样来计算:“ 1,2,3依次出 现”可以依次出现在 n 个位置的三个位置上,所以有 c3n 种站位方 法,这三个位置被 1,2,3依次占据后,其余 n-3个数字可按任意次 序在余下的 n-3各位置上站位,有(n-3) !种排法。因此,事件 a 的有利事件数为 c3n (n-3) ! ,因而“ 1,2,3依次出现”的概率为:方法二 我们不用考虑 n 个数字的排列,因为我们只需考虑 1,2,3这三个数字的排列情况,所以我们可以选取适当的样本空间,这时 我们只以 1,2,3做考虑对象,所以 1,2,3任意排列有 3!种不同排 法。即:ω={(1,2,3) , (1,3,2) , (2,3,1) , (2,1,3) , (3,1,2) , (3,2,1) },样本空间中包含 6个样点。如果 a={1,2,3依次出现}, 那么 a 仅包含了 1个样本点, 即 a={(1,2,3) }, 所以事件 a={1,2,3依次出现 }的概率为:

p(a)=

由本例我们可以看到:有关这类数字的排列而产生的概率的问题, 只要我们能根据具体情况,适当选取样本空间,就可以通过简单的 计算来解答,从而避免了复杂的排列组合计算。

例二.袋中有 a 个黑球, b 个白球,现将球随机地一个一个不放回 地摸出来,求第 k 次摸出的球是黑球的概率(1≦ k ≦ a+b) 。

解:方法一 将球看成是各不相同,因为取球是不放回的,所以应 考虑排列。每 k 个排列好的球构成一个基本事件,此时样本空间所 包含的样本点数为 aka+b.设 ak={第 k 次摸出黑球}这相当于在第 k 个位置上放一个黑球 (有 c1a=a种放法) , 在其余 k-1个位置上摆 放从余下的 a+b-1个球中任取 k-1个球,所以事件 ak 包含的有利 事件数为 aa ,于是事件 ak 的概率为:

方法二 设 ak={第 k 次摸出黑球 }。因为我们只考虑的是最后摸出 的一个球是白球还是黑球,所以,考虑样本空间时只对最后一个球 进行考虑。这样我们可以选取适当的样本空间。首先把 a+b个球加 以编号,前 a 个球为黑球,后 b 个球为白球,设 wi 表示第 k 次摸 出第 i 号球,则样本空间 ω={w1, w2,? wa+b},即样本空间的样 本点数为 a+b。容易知道每一个球都等可能的在第 k 次被摸到,所 以 ak={第 k 次摸出黑球 }的样本点为 ak={w1, w2,? wa},因此, ak 的有利事件数为 a 。故由古典概率的计算公式可求出事件 ak 的 概率为:

比较本例的两种解法可以发现,方法二中样本空间的取法最小, 再小就不能保证等可能性了。方法一中选取的样本空间较大,没有 方法二直观、简单。

例三 n个老同学随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:

(1) a={甲、乙坐在一起,且乙在甲的左边 };

(2) b={甲、乙、丙坐在一起 }。

解:方法一 围成圆圈的椅子不编号, n 个人围圆桌而坐的不同方 法为 n 个不同的元素排列圆圈的排列数,即样本空间的样本点的总 数为:n= =(n-1) !

(1)因为乙坐在甲的左边,将甲、乙两人看成一人,所以事件 a 的有利事件数就是 (n-1) 个不同元素排成圆圈的排列数, 即 = (n-2) !所以事件 a 的概率为:

(2)类似地,将甲、乙、丙看成一人,这时有 =(n-3) !种 排法。当 n ≧ 4时,甲、乙、丙 3人共有 3!种不同的排法。由乘法 原则可知 b 的有利事件数为(n-3) ! 3! ,所以事件 b 的概率为:特别地,当 n=3时,甲、乙、丙总是在一起的有:

p(b)=1

方法二 (1)将椅子编号,任何人坐了不同编号的椅子都看成是 不同的排法, 所以样本空间 ω的样本点数为 n! 。 甲有 n 种不同的坐 法,乙坐在甲的左边,其余的人共有(n-2) !种坐法。所以事件 a 的有利事件数为 n (n-2) ! ,故事件 a 的概率为:

(2)当 n ≥ 4时,甲有 n 种坐法,乙、丙与甲相邻而坐占了 2个 位子,其余的人共有(n-3) !种坐法;而乙和丙可能在甲的两边, 有 2种坐法;可能都在甲的右边,有 2种坐法, ;也可能都在甲的 左边,也有 2种坐法。所以甲、乙、丙的相对位子共有 6种,因此 事件 b 的有利事件数为 6n (n-3) ! 。故事件 b 的概率为:

特别地,当 n=3时,事件 b 是必然事件,故 p (b ) =1

方法三 (1)我们只需考虑甲、乙两人的座位关系,所以我们可 以选取适当的样本空间, 不妨假设甲已坐定, 这时乙的坐法有 (n-1) 种。这(n-1)个位置都是等可能的,即这时的样本空间 ω的样点 总数为 n-1. 而 a={甲、乙坐在一起,且乙在甲的左边}的有利事 件数只有一种,所以事件 a 的概率为:

(2)类似地,甲坐定后,乙、丙共有(n-1) (n-2)种坐法,所 以这时样本空间的样本点数的总数为 (n-1) (n-2) 。 而 b={甲、 乙、 丙坐在一起}的有利事件数为 6,所以事件 b 的概率为:

特别地,当 n=3时, p(b ) =1

从本例可看出,用计算排列的方法来做是比较复杂的。但是当我 们选取适当的样本空间后,不用排列组合而十分简便地得到结果。 例四 任取一个正整数,求该数的平方的个位数是 1的概率。 本例在学生解答时常常把正整数全体取为样本空间,而这样的样 本空间是无限的,就谈不上等可能性了,所以如果把全体正整数取 为样本空间我们就不能用古典概率来计算,因此,我们只能选取适

当的样本空间。我们首先考虑,一个正整数的平方的个位数只取决 于该整数的个位数,它们可以是 0, 1,2,?, 9这十个字中的任一 个。所以我们就可以把样本空间取为 ω={0, 1,2,?, 9},设 a= {任取一个正整数, 该数的平分的个位数是 1}, 而在 {0, 1,2, ?, 9}这十个数字中, 显然只有 1和 9这两个数字的平方的个位数是 1, 所以事件 a 的有利事件数为 2,即 a={1,9}。故所求的事件 a 的概 率为:

本例说明对一些特别的问题,如果我们不会选取适当的样本空间, 不仅计算困难,而且是不能用古典概率的方法来解决。而当我们选 取适当的样本空间后,就使问题的解答简单、直观。

如果我们对这种方法理解和熟悉后,我们在计算条件概率时是可 以运用这种思想的。在事件 a 发生的前提下,选取 b 的适当样本空 间,并在这个适当的样本空间中计算 b 发生的概率,从而计算出 p (b ︱ a ) 。这种方法常常叫做缩减样本空间法。

例五 在 1,2,3,4,5这五个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次。 求在第一次取到偶数的条件下, 第二次取到奇数的概率。 首先我们来对问题进行分析:用(i , j, )表示第一次取出数码 i 且第二次取出数码 j ,则随机试验所产生的样本空间为:

ω={(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (2, 1) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 4) , (3, 5) , (4, 1) , (4, 2) ,

(4, 3) , (4, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) }

如果把“第一次取得偶数”记为事件 a ,这个条件作为随机试验的 先决条件,这时样本空间为:

ωa={(2, 1) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (4, 1) ,

(4, 2) , (4, 3) , (4, 5) }

这个空间我们就常常叫做“缩减的样本空间” ,它是把 ω中第 1数 是奇数的 12个样本点除去后,剩下的 8个样本点所构成的新样本 空间(不考虑第 2个号码是奇数还是偶数) 。因此,我们仅考虑第 一次抽样的随机试验所组成的样本空间 ω={1,2,3,4,5},则第一 次抽去一个偶数后,其样本空间缩减为 ωa={i , 1,3,5},其中 i 取偶数 2或 4. 空间 ω可以用条件概率公式来计算概率, 缩减的样本 空间可以用古典概率公式直接计算概率。

解:方法一 设 a={第 1次取出偶数}

b={第 2次取出奇数}

因为两次取数的随机试验所构成的样本空间 ω的样点的总数为 a25个,其中事件 a 的有利事件数为 c12c14

所以,

又在 ω中第一次取出偶数且第二次取出奇数的样点的点数为 c12c13,所以

由条件概率公式可得:

方法二 我们缩减样本空间考虑时, ωa 所包含的样本点数为

c12c14(或 a25-c13c14) 个,其中第 2个数码是奇数的样本点数为 c12c13(或 a25-c13c14-a22) 个。故由古典概率计算公式可得:方法三 我们首先考虑第一次抽样时的样本空间,这时的样本空间 ω={1,2,3,4,5},如果第一次抽取一个偶数后,样本空间缩减为:ωa={i , 1,3,5},其中 i 取 2或 4。在缩减的样本空间 ωa 中, 第二次抽取到奇数的样本点为 1,3,5, 即有利事件数为 3。由古典概 率公式可得:

p (b ︱ a ) =

本例中的方法一是条件概率公式直接计算,较方法二、方法三计 算量大,对方法二、方法三来说,都采用了缩减样本空间法。但应 注意这两种方法是从不同的角度进行缩减。这种解法所选取的原样 本空间不同,就如前面所介绍选取适当样本空间那样。方法二是考 虑两次取数的试验所产生的样本空间(称之为细分) ,方法三是考 虑一次取数的试验所产生的样本空间(称之为粗分) 。这两种解法 想比较,方法二容易被接受,但样本点数较多时,计算较麻烦。方 法三不容易掌握,但计算简洁。

例六 袋中装有 2n-1个白球, 2n 个黑球,一次取出 n 个球,发现 都是同一种颜色的,求这种颜色是黑色的概率。

解:方法一 我们以袋中 2n-1个白球和 2n 个黑球为考虑的对象。 这时从 4n-1个球里一次取出 n 个球有 cn4n-1种不同的取法,所以 样本空间 ω的样本点数为 cn4n-1

设 a={取出的 n 个球是同色球} b={取出的 n 个球是黑色球}由古典概率计算公式可得:

p (a ) = p(ab ) =

所以由条件概率公式计算可得:

方法二 设 a={取出的 n 个球是同色球}, b={取出的 n 个球是黑 色球},现在仅考虑 a 的前提条件下,我们可知 a 的缩减样本空间 ωa 仅为 cn2n+cn2n个样本点,这时 b 包含的样本点数为 cn2n 个。 所以,所求的概率为:

通过以上的例子我们可以看到,在古典概率计算中,只要我们充 分掌握了对古典概率的要求,在解题时只要能选取适当的样本空 间,复杂的排列组合计算也是可以避免的。当然,以上的例子是笔 者经过有意识的选择的,但这种注意样本空间选取的思想是很有用 的,掌握它也不困难,但却往往不被人所重视。因此笔者想以此文 提出,希望能引起重视,并能对关心古典概率的人们有所帮助。 [参考文献 ]

[1]《概率论与数理统计教程》 高等教育出版社 . 魏宗舒等编 [2]《概率论与数理统计解题方法技巧归纳》 华中理工大学出版 社 . 毛钢源编

[3]《概率统计题解》北京大学出版社 耿素云编

[4]《概率论与数理统计中的典型例题分析与习题》 . 高等教育出 版社 龙永红主编

[5]《概率论解题方法与技巧》 国防工业出版社 . 薛留根编 (作者单位:贵定师范数学系)

A4}为样本空间S的一个分割

12111( ) 1. 設{A,A,A,A}為樣本空間S的一個分割,若P(A)=、P(A?A)=、P(A?A)=,則事件A發生的機率P(A)= (A) (B) 1234223241133246

11(C) (D)。 812

33( ) 4. 二個袋中各有20個球,球上各標有1、2、……、20,今隨機從兩袋中各取一球,則二球號碼之差為5的機率為 (A) (B) 4080

33(C) (D)。 16020

( ) 5. A、B為二事件;且A'、B'分別為A、B之餘事件,又P(A)=0.4、P(B)=0.5、P(A?B)=0.3,則P(A?B)+P(A'?B')之值為 (A)0.4 (B)0.5

(C)0.6 (D)1。

( ) 7. 設A、B為二事件,且A、B為互斥,則 (A)P(A?B)=0 (B)P(A?B)=0 (C)P(A?B)=P(A)×P(B) (D)P(A?B)=P(A)×P(B)。

12( ) 8. 若方程式x+ax+b=0的係數a、b,分別是擲骰子甲與骰子乙所得的點數代入而得,則方程式恆有二相等實根的機率為何, (A) 18111(B) (C) (D)。 1236

13773( ) 9. 丟擲二粒骰子,其點數和小於8之機率為 (A) (B) (C) (D)。 1812184

1312( )10. 一袋中有4紅球、4白球、2黑球,由其中一次取出三球,則其為2紅球1白球的機率等於 (A) (B) (C) (D)。105105

( )11. 設有編號1,2,3,4四杯不同的酒,如果先飲第2杯再飲其它三杯則一定不會醉,否則依任何其它順序喝完這四杯酒則一定會醉。今有

3!413，3!一不知情的人連續喝完了四杯酒,那麼他會喝醉的機率為 (A) (B) (C) (D)。 4!4!4!4!

131917( )12. 袋中有5顆黃色球,4顆黑色球,3顆紅色球和1顆綠色球,從中任取兩球,則球色相同的機率為何, (A) (B) (C) 78666623(D)。 78

1( )13. 設將5張卡片分別用自然數1,2,3,4,5編號,若以抽取3張卡片之自然數作為三角形之三個邊,則能構成三角形之機率為 (A) 5332(B) (C) (D)。 1055

75417( )14. 由「1,2,3,4,5,6,7,8,9」的數字中,任取相異二數,其和為偶數的機率為 (A) (B) (C) (D)。 1812936

5283( )15. 「庭院深深深幾許」七個字重新排列,三個「深」字均不相鄰的機率為 (A) (B) (C) (D)。 714721

5711( )16. 甲、乙、丙……等10個人圍圓桌而坐,則甲、乙、丙3人均不相鄰的機率為 (A) (B) (C) (D)。 312212

91101113( )17. 已知20個產品中有5個為不良品,今由這20個產品隨機抽出3個,則含有不良品的機率為 (A) (B) (C) 228228228137(D)。 228

8741422( )18. 設A、B為S中的二事件,若P(A?B)=、P(A')=、P(A?B)=,則P(B)= (A) (B) (C) (D)。 5515151533

24484824( )19. 五對夫婦圍一圓桌而坐,求夫婦相鄰且男女相間的機率為 (A) (B) (C) (D)。 10!10!9!9!

1115( )20. 甲、乙各擲一個公正骰子,則甲的點數小於乙的點數的機率為 (A) (B) (C) (D)。 24312

253061( )22. 一袋中有10個白球、4個紅球,今隨機一次取出三球,則至少含有1紅球的機率為 (A) (B) (C) (D)。 779191

1710( )23. 設袋中有10個球,分別為1、2、3、……、10等號碼,自袋中任取3球,則此三球中數字最大者為8的機率為 (A) (B) (C) 510277(D)。 40

361233,B( )24. 設A、B為樣本空間中兩互斥事件,且P(A)=,P(A?B)=,則P(A?)= (A) (B) (C) (D)。 4763428

2421( )25. 甲、乙、丙、丁四人猜拳:刀、石、布:一次,則此四人恰有1人勝的機率為 (A) (B) (C) (D)。 932727

216143( )26. 自6對夫婦中任選4人,則所選4人中恰有一對為夫婦的機率為 (A) (B) (C) (D)。 11113333

2345( )27. 一袋中有3白球、5紅球,由袋中一次取出三球,至少含有2紅球的機率為 (A) (B) (C) (D)。 7777

131111117( )28. A、B、C 3人射箭射中紅心之機率分別為、、。若3人各射一箭,則紅心至少被射中一箭之機率為 (A) (B) (C) 236181818

(D)1。

1

6319363193( )29. 設有10個是非題,若任意猜選,求至少答對6題之機率為 (A) (B) (C) (D)。 256512256512

532532332( )30. 某職棒球員之打擊率為3成,求此球員5次打擊,打中3次之機率為 (A) (B) (C) C(0.3)(0.7)C(0.7)(0.3)C(0.3)(0.7)335332(D)。 C(0.7)(0.3)5

1111117( )31. 設{A,A,A,A}為樣本空間S的一個分割,若P(A)=,P(A?A)=,P(A?A)=,則P(A)= (A) (B) (C) (D)。1234223241621264312

( )32. 在一個抽獎的箱子內,有100支相同的籤,其中只有5支有獎,今有甲、乙、丙三人依次排在第一、二、三位抽籤,設取後不放回,三人中獎的機率依次為P、P、P,則 (A)P是三者中最小的 (B)P=P (C)P>P (D)P>P。 1231122313

631571( )33. 同時擲6枚均勻硬幣一次,至少出現一個正面的機率為 (A) (B) (C) (D)。 641682

11391125( )34. 同時擲3顆均勻骰子一次,則至少出現1個6點的機率為 (A) (B) (C) (D)。 3636216216

( )36. 袋中有8個球,球上分別刻有1,2,3,……,8的數字,現在同時自袋中任取3個球,其數值最大者設為x:例如:取到2、3、6號球,

1351則x=6:,則x=5的機率P(x=5)= (A) (B) (C) (D)。 1428728

1315731( )37. 連擲一均勻硬幣五次,至少出現兩次正面的機率為 (A) (B) (C) (D)。 1681632

1315( )39. 不同色的筷子5雙,任取4支,恰成2雙的機率為 (A) (B) (C) (D)。 5211042

703997703997( )40. 從一副撲克牌52張中隨機抽出3張,至少含有1張黑桃的機率為 (A) (B) (C) (D) 1700340017003400

5111111( )41. 設A、B為同一樣本空間S的二事件,已知P(A)=、P(B)=、P(A?B)=,則P(A'?B)= (A) (B) (C) (D)。34234612

35322021( )42. 某甲解題能力為,則在6題中恰解出4題的機率為 (A) (B) (C) (D)。 324324324327

1111( )45. 甲、乙、丙、丁4人排成一列,則甲在乙、丙左邊的機率為 (A) (B) (C) (D)。 6432

3( )46. 設有A、B、C三球隊進入決賽爭取冠軍席次。若A隊得冠軍的機會是B隊的兩倍,是C隊的三倍,則C隊獲得冠軍的機率為 (A) 13232(B) (C) (D)。 131111

40526421( )48. 甲、乙2人競技,得勝機率分別為及,在五次競技中(設每次競技都分出勝負),甲恰勝三次的機率為 (A) (B) (C) 3324324324380(D)。 243

( )49. 某人投籃帄均每五次投中三次,設此人在n次投籃中至少投中一次的機率大於0.999,則n之最小值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。(已知log2=0.3010)

11( )51. A、B、C為樣本空間S之三事件,若P(A)=P(B)=P(C)=,且P(A?B)=P(B?C)=0,P(A?C)=,則A、B、C三事件至少有一事件48

5731發生的機率為 (A) (B) (C) (D)。 8482

11( )52. 袋中有九個球,分別印有1,2,3,……,9等號碼。今自袋中同時任取三個球,設此三球中數字最大者為x,則x=7之機率為 (A) (B) 3735(C) (D)。 2828

29517( )53. 同時擲兩顆均勻骰子一次,點數和小於10之機率為 (A) (B) (C) (D)。 636366

1111( )55. 擲一均勻硬幣四次,恰出現一次正面的機率為 (A) (B) (C) (D)。 46816

( )56. 設袋中有10個大小相同的球,其中2個是白球,3個是紅球,5個是黑球,某人自袋中隨機取3球:同時取出:,則此3球皆異色之

1111機率為 (A) (B) (C) (D)。 6543

1312( )57. 由「1,2,3,4,5」五個數中任選二數,其和為偶數的機率為 (A) (B) (C) (D)。 25510

1111( )58. 3男3女排成一列,則同性不相鄰的機率為 (A) (B) (C) (D)。 461210

243247125( )60. 50個燈泡中有10個是壞的,今自其中任意取出3個,則含有壞燈泡的機率是 (A) (B) (C) (D)。 2549049013

3793231( )61. 設A、B為樣本空間S中的二事件,若P(A)=,P(B)=,P(A?B)=,則P(A'?B)= (A) (B) (C) (D)。5555101010

3431( )62. 一均勻硬幣連擲10次,出現3次正面、7次反面,則第11次投擲出現正面的機率為 (A) (B) (C) (D)。 117210

2

1111( )63. 甲、乙、丙……等6人排成一列,則甲在乙、丙左邊的機率為 (A) (B) (C) (D)。 34612

1( )64. 自裝有2白球、3紅球、5黑球之袋中,每次取出一球,取出後不放回,連取三次,所取三球依序為黑球、白球、黑球的機率為 (A) 20

311(B) (C) (D)。 1001824

( )65. 一袋中有5白球、8黑球,今由袋中一次取出三球,取出後不放回,再取三球,則第一次取出3白球,第二次取出3黑球的機率為

17752(A) (B) (C) (D)。 143429286858

717717( )66. 某生解題平均每2題做對1題,則某生解8題恰對6題的機率為 (A) (B) (C) (D)。 6464128128

5112( )67. 甲、乙、丙3人合住一室,每天抽籤決定1人打掃,試求在3天中,恰好每人各打掃1天的機率為 (A) (B) (C) (D)。69318

14166580( )68. 某甲參加競賽,每次得勝的機率為,則某甲參加四次競賽至少勝一次的機率為 (A) (B) (C) (D)。 818138181

( )69. 一個袋子中有5顆紅色球、3顆白色球、2顆藍色球和1顆黃色球。如果球的大小、重量都一樣,從袋中取出兩球,球的顏色相同的

914149機率是多少, (A) (B) (C) (D)。 45451155

11232513( )70. 若某人同時擲5枚均勻硬幣一次,則至少有2枚出現正面的機率為何, (A) (B) (C) (D)。 32321616

5714673( )72. 若30個燈泡中有10個燈泡是壞的,今從這30個燈泡中任意取出3個燈泡,則含有壞的燈泡的機率是 (A) (B) (C) 203203203

140(D)。 203

1111( )74. 投擲2個公正骰子,在已知出現點數和大於7之下,出現兩骰子點數相等之機率為 (A) (B) (C) (D)。 2345( )75. 袋中有5顆白球與6顆黃球,自袋中取出一球確定顏色後,另找同色的一球而將兩球同時再放回袋中。假設各球被取出的機率相等,

180776535今連取三次,求第一次取到黃球,第二次取到白球而第三次取到黃球的機率為 (A) (B) (C) (D)。1331780286396

( )76. 設有甲乙兩袋球,甲袋有紅球3個、白球4個,乙袋有紅球4個、白球5個,今任選一袋,取一球放入另一袋,再由被放入球之袋

4402220123012401中取一球,則取得紅球之機率為 (A) (B) (C) (D)。 5040504050405040

( )77. 使用某種體溫感應器,沒發燒的人被測出有發燒的機率為0.09,發燒的人被測出為沒發燒的機率為0.05,已知一群體有6%的人發燒,

從中任找1人檢測,求被測出有發燒的機率為 (A)0.1416 (B)0.0876 (C)0.0524 (D)0.0278。 ( )78. 設甲袋有3紅球、2白球,乙袋有2紅球、4白球,今任選一袋,取出一球放入另一袋,再由被放入球之袋中取出一球,則取得白球

169167341349之機率為 (A) (B) (C) (D)。 630630315315

19( )79. 10張彩券中有3張中獎,今甲從中先抽出1張,但甲抽出後不放回,再由乙抽出1張,則甲、乙都中獎的機率為 (A) (B) 10010

14(C) (D)。 1545

王家有2男1女三個小孩,陳家有1男3女四個小孩,今任意抽選一家並從這家挑出一個小孩當花童,假設每一家被選中的機會均( )80.

1713117等,且每一家中小孩被選中的機會均等,求被選出的小孩為男孩的機率為 (A) (B) (C) (D)。 24242424

111347( )81. 設A、B為二事件,A'、B'分別表其對應的餘事件,若機率P(A)=,P(B)=,P(A?B)=,則P(A'|B')為 (A) (B) (C) 234858

5(D)。 8

1111( )82. 投擲兩顆均勻的骰子,在出現的點數和為8之條件下,其中有一顆為4點的機率為 (A) (B) (C) (D)。 561236

( )83. 一個盒子內有5個紅球和3個黑球,從盒內任取一球,假如選取的是紅球,則將它放回;假如選取的是黑球,則將此黑球及另外加

3152777上兩個黑球同時放回盒中;再取一球,則第2個球為黑球之機率為 (A) (B) (C) (D)。 166419264

1112( )84. 某人拜訪有2個小孩的夫婦,已知該夫婦有一女孩,求另一個孩子為男孩的機率為 (A) (B) (C) (D)。 2343( )85. 設某地居民感染肝炎的機率為15%,今利用某種血液生化檢驗,根據以往經驗,在檢驗結果中有99%是檢驗正確的,今任選1人作

檢驗,則此人被檢驗為沒肝炎的機率為 (A)0.8515 (B)0.8415 (C)0.853 (D)0.843。

( )86. A、B、C三人由A開始,順序自52張撲克牌中抽取一張,取出後不放回,設A、B、C取得人像老K之機率分別為P(A)、P(B)、P(C),

則 (A)P(A)>P(B)>P(C) (B)P(A)<>P(B)=P(C)。

( )87. 設P(A)=0.4、P(B)=0.3且P(B|A)=0.6,求P(A?B)之值為 (A)0.46 (B)0.52 (C)0.48 (D)0.42。 ( )88. 設條件機率P(A|B)=0.3、P(A)=0.3、P(B)=0.4,B'為B之餘事件,則P(B'|A)之值為 (A)0.3 (B)0.4 (C)0.5 (D)0.6。

343276579737( )89. 某人投籃進球的機率為,則此人連投三次都不進的機率為 (A) (B) (C) (D)。 101000100010001000

3

1111( )90. 擲一公正骰子兩次,在出現點數和大於8的條件下,第一次擲得點數等於第二次擲得點數的機率為 (A) (B) (C) (D)。6543

10978( )91. 連擲一均勻硬幣四次,在至少二次出現正面的條件下,首次或末次出現正面的條件機率為 (A) (B) (C) (D)。891011

211231371( )92. 若P(A)=,P(B)=,P(A?B)=,則P(A'|B)= (A) (B) (C) (D)。 5545202020

111( )93. 設某個家庭中有四個小孩,其中至少有一個是女孩,假設生男生女的機會均等,問四個都是女孩的機率為 (A) (B) (C) 71012

1(D)。 15

( )94. 一袋中有黑球8個、白球7個、紅球5個,今由袋中每次隨機取出一球,取出後不放回,連續取三次,則依序取得紅球、白球、黑

7979球的機率是 (A) (B) (C) (D)。 200200171171

1112( )95. 投擲兩顆公正骰子,若第一顆出現點數為5,則第二顆出現點數是偶數的機率為 (A) (B) (C) (D)。 2343

239( )96. 在某次考試中,甲班英文及格的有,數學及格的有,而英文或數學至少有一科及格的有,已知某生英文及格時,求其數學5410

7352也及格的機率為 (A) (B) (C) (D)。 581510

( )97. 設P(A?B)=0.2,P(A|B)=0.5,P(B|A)=0.4,求P(A?B)之值為 (A)0.6 (B)0.7 (C)0.8 (D)0.9。

2( )98. 擲一枚不公正硬幣,已知出現正面的機率為。若出現正面,則自{2,4,6,8}中任選一數,若出現反面,則自{1,3,5,7,9}中任選一數;5

981917試求被選中的數為3的倍數之機率為 (A) (B) (C) (D)。 25255050

( )99. 假設某團體5%的男生有色盲、2.5%的女生有色盲。在男女人數各半的假設下,從此團體的色盲群中隨機抽取1人,其是男生的機

12率為 (A)2.5% (B)5% (C) (D)。 33

( )00. 假設第一袋中裝有4個白球與3個黑球,第二袋中裝有3個白球與5個黑球,自第一袋中取出1球,未加觀察即放入第二袋,求自

2525423第二袋中取出1球為白球之機率為 (A) (B) (C) (D)。 9566363

( )01. 某公司有A、B、C三個生產工廠,A廠生產35%,而不良率為4%;B廠生產25%,而不良率為6%;C廠生產40%,而不良率為

3%。今自這些工廠生產的混合產品中隨機抽選一件,則抽到良好產品的機率為 (A)0.948 (B)0.953 (C)0.959 (D)0.964。

111( )02. 有一經紀商長期分析某一股票行情,分上漲、不變、下跌三種,若某日股票行情上漲,則次日行情有機會上漲、機會不變、326

1111機會下跌;若某日股票行情不變,則次日行情有機會上漲,機會不變、機會下跌;若某日股票行情下跌,則次日行情有機3336

11會上漲、機會不變、機會下跌。假設今日:星期一:此股票下跌,則後天:星期三:此股票上漲之機率為何,:假設此期間不23

51113休市: (A) (B) (C) (D)。 618336

( )03. 某專科學校有5%的男生及1%的女生身高超過180公分,全校有60%為女生,若任選一學生其身高超過180公分,求此生為女生之

3333機率為 (A) (B) (C) (D)。 11131417

( )04. 設{A,B,C}為樣本空間S的一個分割,D為任意事件,若P(A)=0.1,P(B)=0.3,P(C)=0.6;又P(D|A)=0.04,P(D|B)=0.03,P(D|C)=0.02,

則P(D)= (A)0.035 (B)0.03 (C)0.025 (D)0.02。

2( )05. 設某處大門上鎖的機率為,又6把鑰匙中只有1把能打開門鎖,今從此6把鑰匙中任取3把來開此大門,求大門被打開的機率為 3

1243(A) (B) (C) (D)。 2354

43( )06. 甲袋內有4紅球、3白球,乙袋內有5紅球、8白球,今任選一袋,再從選中之袋取出1球,若機會均等,則取出紅球的機率為 (A) 91

898741(B) (C) (D)。 18218291

515( )07. 一袋中有3個紅球、5個白球,連續三次由此袋中取出一球:取出後不放回:,則所取出球中有2紅球之機率為 (A) (B) 5656

515(C) (D)。 256256

( )08. 有甲、乙、丙三個袋子,甲袋中有3紅球、5白球,乙袋中有3紅球、1白球,丙袋中有2紅球、3白球,今任選一袋取出1球,已

20141516知取出為紅球,則紅球取自甲袋的機率為 (A) (B) (C) (D)。 61616161

1111( )09. 擲兩顆均勻骰子,在點數和為7的條件下,其中有一顆骰子出現5點的機率為 (A) (B) (C) (D)。 3468( )10. 一袋中有3紅球、4白球、5黃球,今由袋中每次取出1球,取出後不放回,連續取三次,則所取3球依序為紅球、白球、黃球的機

4

1151率為 (A) (B) (C) (D)。 144111822

33( )11. 設一袋中有大、小相同的4白球、2黑球,今由袋中每次取出1球,取出後不放回,連續取三次,則取得2白球的機率為 (A) (B) 54

21(C) (D)。 52

3513211( )12. A、B為同一樣本空間S之二事件,若P(A)=、P(B)=、P(A?B)=,則P(A|B)= (A) (B) (C) (D)。 8845543( )13. 某工廠有甲、乙、丙三部機器,其產品分別占總產量的25,、40,、35,;又甲、乙、丙所生產的產品不良率分別為1,、1.5,、

2,。今若任選一產品,其為不良品,則其來自哪一部機器的機率最大, (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三者相同。 ( )14. 有甲、乙、丙三個袋子,甲袋裝有3紅球、5白球,乙袋裝有3紅球、1白球,丙袋裝有2紅球、3白球,今任選一袋,再由袋中取

817961出一球,則此球是紅球的機率為 (A) (B) (C) (D)。 801201740

111,( )16. 擲兩顆正常骰子,設第一顆出現點數為a,第二顆出現點數為b,在a + b10的條件下,a = 5的機率為 (A) (B) (C) 643

1(D)。 2

1113215( )17. A、B為樣本空間S中之二事件,已知P(A)=,P(B)=,P:A?B:=,則P:A' | B:= (A) (B) (C) (D)。4243263

( )18. 今有摸獎彩券總共100張,其中10張可得獎,每張彩券被抽出的機率相同,若由甲先抽,乙後抽,則甲乙2人何者中獎機率較高,

(A)甲 (B)乙 (C)一樣 (D)不一定。

( )19. 設某班男女學生人數相等,已知男生中的30%與女生中的20%戴眼鏡;若從該班戴眼鏡的學生中任意抽取一人,則此人為男生的機

1233率為何, (A) (B) (C) (D)。 2345

( )20. 袋中有大小相同的紅球4個、白球5個、黑球3個,現自袋中任意取出2球:一次1球,取兩次,取出不放回:,則2球同色的機率

1941017為 (A) (B) (C) (D)。 11663333

( )21. 設一燈泡公司有三個生產工廠甲、乙、丙,其中甲廠生產40%;乙廠生產30%;丙廠生產30%,而各廠所生產的燈泡被檢驗出為不

良品的比例分別為甲廠2%;乙廠4%;丙廠3%,試求任選此公司所生產的一個燈泡,其為不良品的機率為 (A)0.025 (B)0.029

(C)0.034 (D)0.038。

( )22. 某工廠有三部機器A、B、C,產量分別占全部產量的60%、30%、10%,又設A、B、C三部機器所生產的不良品率,依次為2%、

491233%、4%;由全部產品中任取一產品,發現其為不良品,則此不良品產自A機器的機率為 (A) (B) (C) (D)。2525255

( )23. 假設某地區72歲的老人能活到82歲的機率是10%,今在該地區隨機抽取3位現年72歲的老人,則恰有2位能活到82歲的機率為

(A)1.2% (B)2.7% (C)3.6% (D)4.2%。

( )24. 設有一件工作需要經過A、B兩個步驟才能完成,且B步驟必須在A步驟完成後才可開始,已知A完成的時間有10天、15天、20

1111天三種可能性,其發生的機率依序分別為、、;B完成的時間有5天、10天、15天三種可能性,其發生機率依序分別為、3262

111211、。若A、B兩步驟工作時間彼此互不影響,則這件工作至少要25天方可完成之機率為 (A) (B) (C) (D)。448342

512111( )25. 設A、B為樣本空間S中之二獨立事件,已知P(A)=、P(A?B)=,則P(B)= (A) (B) (C) (D)。 2364312

55521( )26. 甲、乙2人再活10年的機率分別為及,設甲、乙2人的存活互不影響,則恰有1人再活10年的機率為 (A) (B) (C) 6331218

7(D)。 18

1232( )27. 甲、乙、丙3射手射擊,命中率分別為、、,今3人同向一靶射擊,每人一發,互不干擾,則靶上恰中一發的機率為 (A) 2343

13111(B) (C) (D)。 42424

21( )28. 運動會中,甲和乙兩人各只參加一項不同的比賽,兩人得金牌的機率分別為和,比賽結束後,甲和乙至少有一人得金牌的機率25

6798為何, (A) (B) (C) (D)。 10101010

32( )29. 甲、乙兩位警察射擊一兇犯,已知甲之命中率為,乙之命中率為。今甲、乙兩位警察同時對兇犯各發一槍,則此兇犯被擊中的43

57211機率為何, (A) (B) (C) (D)。 3121212

1217( )30. 甲、乙兩人投籃,互不影響,其投籃的命中率分別為與,若甲、乙兩人各投一球,則至少有一人投進的機率為何, (A) (B) 43612

35(C) (D)。 46

5

111111( )31. A、B為獨立事件,P(A)=、P(A?B)=,則B事件的機率P(B)= (A) (B) (C) (D)。 323456

11125( )32. A、B為二獨立事件,且P(A)=,P(A?B)=,則下列何者不成立, (A)P(B)= (B)P(A'?B')= (C)P(A?B)= 23363

2(D)P(B'|A')=。 3

12111133( )33. 設A、B為樣本空間S中之二獨立事件,且知P(A)=、P(B)=,則P(A?B)= (A) (B) (C) (D)。 52205204

111( )34. 甲、乙、丙三位考生參加聯考,被錄取的機率分別為、、,若3人錄取與否互不影響,現3人同時參加聯考,則至少有1人345

594743被錄取的機率為 (A) (B) (C) (D)。 606055

11( )35. 甲、乙2人射擊同一目標,彼此互不影響,甲的命中率為,乙的命中率為,今二人同時向目標射擊,恰有1人命中目標的機率34

5711為 (A) (B) (C) (D)。 261212

13115( )36. 設A、B、C 3人同時向一目標射擊,彼此互不影響,其命中目標的機率分別為、、,則此3人恰有1人擊中目標的機率為 (A) 43636

35375(B) (C) (D)。 72729

( )37. 設A與B為獨立事件,且P(A)=0.4,P(B)=0.5,求P(A'?B)= (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5。

1193112( )38. 甲、乙2人解題能力分別為及,今2人同解一題,互不影響,則恰有1人解出的機率為 (A) (B) (C) (D)。54202205

( )39. 擲三枚公正的硬幣,若出現x個正面,則可獲得2x元,若皆未出現正面則輸8元,則期望值為 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 元。

( )40. 某人同時擲三個均勻硬幣一次,規定出現k個正面可得2k–1元:k =1,2,3:,若無正面出現則須付15元,則此人作此試驗的期望值

3111為 (A) (B) (C) (D) 元。 4248

( )41. 發行每張10元的彩券1000張,其中有2張獎金各1000元,6張獎金各500元,45張獎金各100元,購買此彩券1張得獎金的期望

值為 (A)9.5 (B)9.2 (C)9 (D)8.8 元。

( )42. 自裝有5元硬幣4枚、10元硬幣3枚、50元硬幣3枚的袋中,隨機取出2枚硬幣,則所取2枚硬幣幣值和的期望值為 (A)24 (B)32

(C)36 (D)40 元。

( )43. 同時擲五個均勻硬幣一次,每出現一個正面可得獎金10元,則作此試驗獲得的期望值為 (A)20 (B)21 (C)24 (D)25 元。

160140( )44. 自裝有6白球、4紅球的袋中,一次取出2個球,每個球被取到的機會相同,若取出2球同色可得100元,則期望值為 (A) (B) 33

(C)45 (D)40 元。

( )45. 擲二均勻硬幣為戲,若出現二正面可得獎金1000元,若出現一正面可得獎金600元,若無正面出現,須付出2000元,則作此遊戲

的數學期望值為 (A)40 (B)50 (C)80 (D)100 元。

( )46. 擲三顆公正的骰子一次,若三骰出現同一點數可得1800元,若只有二骰出現同一點數可得540元,若出現三骰均不同點數,則須付

360元,作此試驗的期望值為 (A)25 (B)50 (C)60 (D)75 元。

11( )47. 某人投籃命中之機率為,若投籃n次至少投中一次的機率大於,則n之最小值為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6。:log2=0.3010:25

( )48. 設袋中有大小相同的紅球3個、白球7個。現自袋中任取一球,若取到紅球可得50元,取到白球可得10元,試問任取一球可得金

額的期望值為多少元, (A)12 (B)22 (C)30 (D)42。

( )49. 同時投擲二粒公正的骰子一次,若二粒骰子出現的點數相同可得220元,否則需賠50元,則此次投擲所得金額的期望值為多少元,

(A) –85 (B) –5 (C)5 (D)85。

( )50. 在某次考試中,有一試題採單選題,而此題有(A)、(B)、(C)、(D)四個答案,其中只有一個答案是正確的。若答對此題可得5分,答

34錯則倒扣S分。假設某考生決定「靠運氣瞎猜其中一答案」,為了讓該考生在此題上得分的期望值為0,則S之值為 (A) (B) 43

55(C) (D)。 43

( )51. 若袋中裝有50元硬幣3枚及10元硬幣7枚,且每枚硬幣被取出的機率均等。今某人自此袋中同時任取2枚硬幣,則此人所得金額

的期望值為多少元, (A)20 (B)36 (C)44 (D)50。

( )52. 設兄弟2人擲一骰子,先擲出么點者可得1100元,今由弟弟先擲,則弟弟的期望值為 (A)500 (B)600 (C)1000 (D)1200 元。

721( )53. 同時擲3粒均勻的骰子,則其點數總和的期望值為 (A) (B) (C)21 (D)7。 22

( )54. 某人同時擲二骰子一次,若點數和為質數,可得10元,否則賠2元,則他得到錢數的期望值為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 元。

( )55. 擲四枚均勻硬幣一次,每出現一個正面可得獎金20元,每出現一個反面則須付10元,則其數學期望值為 (A)10 (B)15 (C)20

(D)25 元。

( )56. 設某燈泡工廠生產了1000個燈泡,其中含有8個不良品,今從中隨機取出200個燈泡,則含不良品的數學期望值為 (A)1.6 (B)2

(C)2.4 (D)3。

( )57. 一筒中裝有1號籤1枝、2號籤2枝、3號籤3枝、……、10號籤10枝,今由筒中任抽出1枝籤,若抽得r號籤可得r元:r=1,2,……,10:,

則抽出1枝籤獲得的期望值為 (A)7.5 (B)7 (C)6.4 (D)6 元。

( )58. 彩券每張售價為200元,總共發行10000張,其中有1張獎金300000元,有10張獎金20000元,有100張獎金3000元,有1000

張獎金200元,則買彩券1張可得獎金期望值是多少元, (A)50 (B)100 (C)150 (D)200 元。

6

1. B 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A 9. B 10. B 11. B 12. B 13. B 14. C 15. A 16. B 17. D 18. D 19. B 20. D 21. C

22. D 23. D 24. C 25. B 26. C 27. D 28. B 29. D 30. A 31. A 32. B 33. A 34. C 35. C 36. B 37. A 38. A 39. C 40. C 41. C

42. C 43. C 44. B 45. C 46. D 47. A 48. D 49. D 50. B 51. C 52. D 53. D 54. A 55. A 56. C 57. D 58. B 59. D 60. A 61.

C 62. D 63. A 64. C 65. B 66. A 67. B 68. C 69. B 70. D 71. B 72. B 73. D 74. D 75. D 76. A 77. A 78. C 79. C 80. C

81. D 82. B 83. D 84. D 85. D 86. C 87. A 88. D 89. B 90. B 91. D 92. B 93. D 94. B 95. A 96. C 97. B 98. C 99. D 100.

D 101. C 102. B 103. B 104. C 105. B 106. D 107. B 108. B 109. A 110. D 111. A 112. A 113. C 114. D 115. B 116. C 117.

B 118. C 119. D 120. C 121. B 122. C 123. B 124. D 125. C 126. D 127. D 128. B 129. D 130. C 131. B 132. C 133. B 134.

D 135. C 136. C 137. B 138. A 139. B 140. C 141. A 142. D 143. D 144. B 145. B 146. D 147. B 148. B 149. B 150. D 151.

C 152. B 153. B 154. A 155. C 156. A 157. B 158. B

7

关于概率中样本空间选取的两点体会

关于概率中样本空间选取的两点体会

刘 琳 , 刘 平

()河北交通职业技术学院 ,河北 石家庄 050091

[ 摘 要 ] 从古典概型中事件概率的计算和事件的相互独立性两个方面 ,通过举例较深入地分析了样本

空间选取的重要性 ,并指出在概率计算中要充分利用概率概念 .

[ 关键词 ] 样本空间 ;古典概型 ;独立性

() [ 中图分类号 ] O2111 1 文章编号 ] 167221454 20050420134203 [ [ 文献标识码 ] C

样本空间是概率中的一个基本概念 , 但在概率学习中往往被忽视 , 其实它的选取在问题解决中起着 很关键的作用 , 同时也和其它概率概念有着密不可分的联系 . 本文将从两个方面讨论它的重要性. 1 古典概率的计算

Ω 在古典概率的概率计算中 , 需要计算样本空间 和其子集 A 两者包含的样本点个数 . 而在讲授古 典概型时 , 还没有学习概率性质 , 故此时不能用概率性质去解古典概率问题 . 当然 , 学习概率性质后 , 许 多古典概型的概率计算会变得容易些. 因此 , 我们在讲授古典概型时 , 习题要安排适当 , 要求不能太多 , 即不能太多太难. 一般教科书中在此处都介绍一些排列组合公式 , 但并不是说全部古典概型的概率计算 非用那些公式不可 , 而是有排列组合的思想也可解很多习题 . 此时 , 样本空间的选取很重要. 下面我们将 通过几个例子说明.

( ) 例 1 几个朋友随机地围绕圆桌而坐 , 求其中甲 、乙两人坐在一起 座位相邻的概率 .

解 很自然会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用 , 但我们不用这种办法 .

设甲已先坐好 , 考虑乙怎么坐法 . 显然乙总共有 n - 1 个位置可坐 , 这 n - 1 个位置都是等可能的 , 而 2 有利场合 , 乙坐在甲的边上 , 有 2 个 , 因此所求概率为 . n - 1

ωωωωΩ 如把上述解法做细致的分析 , 那就是我们取样本空间 = {,, ?,} ,表示乙坐在除甲以 外1 2 n - 1 i

ωωΩ 的 i 个位置上 , 它满足有限与等可能的要求 , 我们要求概率的事件 A 表示为 的子集{,} . 显 1 n - 1 然 ,

() Ω对例 1 这样选取的样本空间 有限并等可能是最小的了 , 再要小的话 , 事件 A 就“装不”进去 , 或者 就无法保证等可能性了 . 用其它方法做这道题目选取的样本空间只会更大 , 比上述解法复杂 , 值得指出 的是在我们的解法中用不到排列组合.

( ) ( ) 例 2 袋中有 a 只黑球 , b 只白球 , 把球随机地一只只摸出来 不放回. 求第 k 次 1 ?k ?a + b摸出 黑球的概率 .

解 此题是概率论中的一道重要题型 , 可以有排列和组合两种做法 , 且当 k = 2 时是全概率公式的 典型应用 .

( 我们这里可以这样考虑 :取样本空间为第 k 次摸出的球的全部可能的结果 形象地说 , 不要从摸球

) 人的角度看问题 , 而从球的角度看问题 , 是哪一个球在第 k 次被摸到. 详细地说 , 设把 a + b 个球加以编

ωωωωΩ 号 , 前 a 个球为黑球 , 后 b 个球为白球 . 样本空间 = {1 ,2 , ?,a + b } ,i 表示第 k 次摸出第 i 个球 , 易

ωω见每一个球都可能第 k 次被摸到 , 且被摸到的可能性相同 . 我们要求的是事件 A = {, ?,} 的概率 ,1 a

a ( ) 所以 P A = . a + b

关键的一点在于我们抓住了刻画出欲求概率的事件的本质特点 , 而把无关的因素都丢掉不予考 虑了.

例 3 设 m ×n 个球 , 其中一个是黑球 , 一个是白球 , 其余都是红球 . 把这 m ×n 个球任意地放入 m 个袋中 , 每袋放 n 个球. 求黑球和白球恰在同一袋的概率 .

解 这道题目的叙述看似十分复杂 , 但同样可用前面的方法容易地解决 . 首先注意到题目所述等价

( 于随机地把 m ×n 个球依次排列 例如第一个袋的球排在最初 n 个位置上 , 接下来 n 个位置上排第二个

) 袋的球等等, 我们只要关心黑球与白球的位置 . 设黑球已先放好 , 白球的可能位置共 m n - 1 个 , 显然它 n - 1 们是等可能的. 有利场合 , 即白球落入黑球所在的袋中 , 有 n - 1 个 , 故所求概率为 . m n - 1

上述例题都可以用计算排列组合的方法来做 , 不难设想 , 对例 3 这将是很困难的 , 但是我们充分把 握了对古典概率的要求 , 做到了不用排列组合而十分简便地得到结果. 当然我们的例子是经过有意识地 选择的 , 但这种注意样本空间的选取的思想是很有用的 , 掌握它也不困难.

事件的独立性2

概率中独立性的概念很重要 , 许多时候给我们解题带来很多方便 . 但要检验两个事件是否相互独

( ) ( ) 立 , 却非易事. 特别在应用题中 , 往往不能 或者很难证明 , 而是采取假定 或者默认的办法 . 例如 , 两个 人同时射击某一目标是否命中目标 , 默认它是相互独立的 , 但实际上并一定是这样 . 它与样本空间的选 取是有关系的. 现举例说明如下 :

例 4 设 100 件某一产品中有 5 件不合格品 , 而 5 件不合格品中又有 3 件是次品 , 2 件是废品 . 现任

( ) 意在 100 件产品中抽取一件 设 100 件产品都以同等可能被抽到, 求抽得的是废品的概率和已知抽得 的是不合格品 , 它是废品的概率.

解 设 A 表示抽得的是废品事件 , B 表示抽得的是不合格品事件 .

我们从两种不同的观点来考虑条件概率 : ( )PA ?B ( ) A ?F 有定义 , 并且 PA = B . 此时 ( )P B () (Ω(Ω) ) i认为可测空间 , F没有变 , 其概率变了 , 即 P 换为 P, 此时概率空间为 , F , P, 它对任意B B ( ) P2 1 A ?B 2 ( ( ) ) ( ) P A = = , P A | B = PB A = = , ( )100 50 5 P B

( ) ( ) 即 P A | B ?P A , B 发生对 A 发生产生了影响 , 事件 A 与 B 不相互独立 .

ΩΩΩΩ() ii 认为可测空间变了 ,变为1 = ?B , 而 F 变为 F1 = { C ?B ?C ?F} , 这样 ,1 中的样本点缩

(Ω) Ω 小了 , 它是由 中除去不在 B 中的样本点组成的. 于是我们得到了另一概率空间 1 , F1 , PB ′, 其中 PB ′

( ) PA ( ) 的定义为 :对任意 A ?F1 , PB ′A = . ( )P B

这两种观点其实没有什么不同 , 前一观点较简单 , 它把样本空间这一事实掩盖了 , 把应当除去的样

Ω Ω Ω本点保留 了 下 来 . 然 而 , 对 中 的 任 何 A , 中 的 A ?B 中 的 A . 但 在 新 的 样 本 空 间 就 是 1

(Ω) , F, P′, 下 ,1 1 B

( ) A 2 2 P ( ( ( ) ) ) P A = ,P A | B = P′A = B = , ( ) 5 P B 5

( ( ) ) 即 P A | B = P A , 事件 A 与事件 B 相互独立.

这说明 , 事件之间的相互独立与否与样本空间的选取有关 . 下例中的概率计算选取了适当的样本空

间 , 同时照顾到事件之间的独立性 , 使得问题迎刃而解 .

例 5 n 对夫妇任意地排成一列 , 求每一位丈夫都排在他的妻子后面的概率 .

( ) 解 此题如果从古典概率考虑 , 是一个相当困难的排列问题 :排列的总数是 2 n!. 下求有利场合的 个数. 首先把 n 个丈夫进行排列 , 共有 n !种可能. 然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍 , 她显然

只有 1 种可能的位置 , 即排在最前面 . 接着让排在第二位的丈夫的妻子进入队伍 , 现在她的丈夫之前已 有两人 , 因此她有 3 种位置可选择. 排在第三位的丈夫的妻子进入队伍有 5 种位置可选择 , 依次下去 , 最

( ( ) ) (后一位丈夫的妻子有 2 n - 1 个位置选择 . 因此有利场合总数是 n ! ×1 ?3 ?5 ?2 n - 1= n ! 2 n - ( ) n ! 2 n - 1! ! 1 ) 1! ! , 所以要求的概率是 = .n ( ) 2 n! 2

( ) 但是应用独立性的概念 :以 A 记事件第 i 对夫妇丈夫排在妻子的后面 , 我们就是要求 P AA?A . i 1 2 n

1 ( ) 首先由对称性 P A i = ,因为对每一对夫妇来说 , 或丈夫在前或妻子在前 , 两者是等可能的. 另外还可进2

一步假定 A, A, ?, A 是相互独立的 ,即默认每对夫妇都是独立的 ,因为不可能有任何理由可以断定某对 1 2 n

夫妇丈夫与妻子位置的先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位置的先后. 所以有

1 ( ) ( ) ( ) ( ) P A 1 A 2 ?A n = P A 1 P A 2 ?P A n = .n 2

此做法充分利用了概率论的概念 , 从而计算简单 , 显然优越得多 .

[ 参 考 文 献 ]

() [ 1 ] 梁之舜 ,等 . 概率论及数理统计 上[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1990 .

() [ 2 ] 和燕 . 如何正确理解两事件的相互独立性 [J ] . 高等数学研究 ,2004 ,7 4:48 - 49 .

Two Idea s on Choosing Sa mple Space of Theory of Proba bil ity

L I U L i n , L I U Pi n g

( )Hebei Co mmunicatio ns Vocatio nal & Technical College , Shijiazhua ng 050091 , China

Abstract : We deeply di scuss t he impo rt ance of choo sing sa mple sapce in t wo side s : o ne i s t he calculatio n of cla ssical mo del of p ro babilit y , t he o t her i s t he independency of event s , a nd t he co ncep t of p ro babilit y sho uld be f ully used in t he calculatio n of p ro ba bilit y.

Key words : sa mple sp ace ; cla ssical mo del of p ro babilit y ; independency

对于概率中样本空间的两点注释

对于概率中样本空间的两点注释

蔡敏徐州工程学院221008

。 上述例题都可以用计算排列组合的方 法来做。只是对于有的例题(如例 3)略

微复杂，因为我们充分把握了古典概率的 都是等可能的，而乙坐在甲的边上有 2 个 摘 要要求而把问题简单化了。因此，掌握古典 从古典概型中事件概率的计算和事件的独立 坐法,因此所求概率为。概型中样本空间选择的思想非常有用。 性两方面，通过举例较深入地分析了样本空 如把上述解法做细致的分析，我们取 2 、事件的独立性间选取的重要性，并指出在概率计算中要充 样本空间Ω ={ω1,ω 2,.,ωn-1}，ωi表 事件的独立性是概率中一个很重要的 分利用概率概念。 示乙坐在除甲以外的 i 个位置上，它满足 概念，对于我们解决一些问题带来了方便 关键词和简洁。但有时要判断两个事件是否独立 有限与等可能的要求，我们要求的概率事 样本空间古典概型概率计算;;也并非易事。在有些题目中，我们往往不 件A表示为Ω的子集{ω1,ωn -1}。显然, 中图分类号:O2111 1能或很难判断它的独立性，而是直接采取 对例1这样选取的样本空间Ω(有限并等可 Abstract假定或默认的方法处理。例如，两人同时 能) 是最小的了，再要小的话,事件 A 就 射击同一目标是否命中目标，我们默认它 Wedeeplydiscusstheimportanceofchoosingsample无法保证等可能性了。用其它方法做这道 sapceintwoideas:oneisthecalculationofclassical 是相互独立的，但事实并非如此，这要取 题目选取的样本空间只会更大，比上述解 modelofprobability,theotheristheindenpendency 决于样本空间的选取。下举例说明之: 法复杂，值得指出的是在我们的解法中用 ofevents,andtheconceptofprobabilityshouldbe 例4 设100件某一产品中有5件不合格 fullyusedinthecalculationofprobability.不到排列组合。 品，而 5 件不合格品中又有 3 件是次品，例 2 袋中有 a 只黑球，b 只白球,把球 2件是废品，现任意在100件产品中抽取一 Key words随机地一只只摸出来(不放回)。求第 k 次 samplespace;classicalmodelofprobability;the 件(设 100 件产品都以同等可能被抽 (1 ? k ? a+b)摸出黑球的概率。 calculationofprobability到)，求抽得的是废品的概率和已知抽得 解:此题是概率论中的一道重要题 的是不合格品，它是废品的概率。 型，可以有排列和组合两种做法，且当 解 设 A 表示事件抽得的是废品，B 表 样本空间是概率中的一个基本概念，k=2 时是全概率公式的典型应用。这里我 示事件抽得的是不合格品。 但在概率学习中往往被忽视，其实它的选 们可以这样考虑: 取样本空间为第 k 次， 下通过取不同的样本空间来求事件的 取在问题解决中起着很关键的作用，同时 摸出的球的全部可能的结果。设把 a+b 个 概率 : 也和其它概率概念有着密不可分的联系。 球加以编号，前 a 个球为黑球,后 b 个球为 (1 )我们认为可测空间(Ω,F )没本文将从古典概型事件概率的计算与数事 白球。样本空间Ω ={ω 1,ω 2,.,ω a+b}， 件的独立性中讨论它的重要性。 ω i表示第 k次摸出第 i个球，那么每一个 1 、古典概率的计算 变，其概率变了，即 P 换为 P ，此时概球都可能第 k 次被摸到，且被摸到的可能 B在古典概率的概率计算中,需要计算样 率空间为(Ω,F ，P )，它对任意的 A性相同。我们要求的是事件A={ω1,.,ωa} B本空间Ω和其子集 A 两者包含的样本点个 的概率，所以 P(A)=.数。而在讲授古典概型时, 还没有学习概 ? F 有定义，并且，此时 率性质，故此时不能用概率性质去解古典 解决此类问题关键的一点在于我们抓 概率问题。当然，学习概率性质后，许 住了古典概率事件的本质特点，而把无关 多古典概型的概率计算会变得容易些。一 的因素都丢掉不予考虑了，因此，问题简单 即 P(A|B)? P(A)事件 B 的发生对事件 般教科书中在此处都介绍一些排列组合公 化了。 A 产生影响，所以事件 A 与 B 不相互独式，但并不是说全部古典概型的概率计算 例 3 设 m × n 个名片，其中一个是甲 立 。 (2)我们认为可测空间变了，样本非用那些公式不可，而是有排列组合的思 的，一个是乙的，其余都是丙的。把这m× 空 想也可解很多习题。此时, 样本空间的选

n个名片任意地放入m个抽屉中，每个抽屉 取很重要。下面我们将通过几个例子说 间Ω变为Ω = Ω IB 而 F 变为 F ={CIB:C ?1 1 放 n 个。求甲的和乙的恰在同一抽屉的概 明 。 F}，因此，样本空间Ω 中的样本点缩小1 率 。 解:这道题目的叙述看似十分复杂，例 1 幼儿园里 n 个小朋友随机地围绕 了，它是由Ω 中除去不在 B 中的样本点1 但 构成。这样我们就得到了另一样本空间圆桌而坐, 求其中甲、乙两个小朋友坐在 ′′ 同样可用前面的方法容易地解决。首先注 一起(座位相邻)的概率。 解:很自然会(Ω ,F ,P )其中 P 的定义为:对任 1 1 BB意到题目所述等价于随机地把 m × n 个名 把这个问题看作圆周排 意片依次排列，我们只要关心甲的与乙的位 列的一个简单应用，但我们不用这种方 事实上，以上两种做法并没有区别，置。设甲的先放好，乙的可能位置共 mn- 法。设甲先坐好，考虑乙的坐法。显然 只是前一种做法较为简单，它把样本空间1个，显然它们是等可能的，而甲的放入乙 乙总共有 n-1 个位置可坐，这 n-1 个位置 的所在的抽屉中有 n-1 个，故所求概率为 下转第 156 页

中国科技信息 2007 年第 23 期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Dec.2007 现代服务

后在独立性方面不存在严重缺陷，与控股 上接第 152 页上接第 153 页

股东(或实际控制人)及其全资或控股企 这一事实掩盖了，把应该除去的样本点保 诉系统,这样可以减少矛盾和冲突,防患于未业不存在同业竞争;做到财务独立，资产

留了下来。然而，对Ω中的任何 A ，Ω 然 。 完整，人员独立，加强对财务监督，防 (四) 制定合理的正向激励策略和负向 中的 AIB 就是Ω 中的 A。而在新的样本 范风险，保护财产的安全完整。 1 ′激励策略。正向激励策略是通过一系列行 空间(Ω ,F ,P )下6、充分利用国家税收优惠政策，增 1 1 B为标准,以及与之配套的人事激励政策如奖 强企业竞争能力 励、晋级、升职、提拔等, 鼓励员工更加 为了鼓励技术创新，大力发展高科技， 积极主动工作的策略。负向激励则反之。 即 P(A|B)? P(A)，事件 A 与 B 相互独 实现产业化，进一步促进科研院所的改制， 为了保障激励策略的有效性,应当体现的原 立 。 上例说明事件间的相互独立与否与则包括: 及时性原则、同一性原则、预告 政府出台了一系列的优惠政策，财务人员 样 性原则和开发性原则。无论采用何种激励 应认真学习领会，积极与地方财政、税务及 本空间的选取有关。下面再举例说明在概策略,人力资源部门及其各级主管都应当认 外经贸委等部门沟通，及时掌握国家对转 率计算中选取适当的样本空间，同时照顾 真的做好基础工作:健全完善企业各项规章 制科研机构的政策，主要关注以下几个方 制度, 特别是与绩效有关的培训、奖惩等 到事件间的独立性，使得问题的解法简 面:(一)、退休人员的养老金问题，(二)、 人力资源管理制度。任何一种组织要保证 化 。 医疗保障问题，(三)、住房补贴问题，(四)、 其高效率地安全运行,必须以健全完善的规 例 5 n 对双胞胎任意排成一列，求每 土地出让金问题，(五)、对科技创新加大支 章制度为依托。 一位老大排在老二后面的概率。 持问题，(六)、各种税收优惠政策问题等， (五) 建立健全反馈体系。在绩效管理 解 此题若从古典概型考虑，是一个财务管理人员要仔细研究国家政策，为领 中,不仅要让员工听到管理者的声音,管理者 相当困难的排列问题:设 A 表示 n 对双胞 导决策提供信息与理论支持。随着国际竞 更应该听到员工的声音。因为实施绩效管 胎每一位老大排在老二后面。样本点的总 争日益加剧，高新技术产品业已成为我国 理的最终目的是提高员工的绩效水平从而 数是(2n)!。再求事件A中样本点的个数。首 出口产品的支柱，目前国家鼓励科技企业 最终实现组织利益的最大化。有效的信息 先把n个老大进行排列，共有n!种可能，再 积极参与国际市场的竞争，扩大出口创汇， 反馈应具有针对性、真实性、及时性、主动 让排在第一位的老大的弟弟或妹妹(老二) 财务管理人员更应对出口退税及相关政策 性和适应性的特征。建立健全及时、双向的 排入队伍，显然只有1种可能的位置，即排 进行认真研究，对国家的出口贴息政策及 反馈体系,保证公司的绩效管理信息畅通无 在最前面。接着让排在第二位的老大的弟 中小型企业创新基金的争取积极献计献策， 阻,管理者根据反馈意见提供指导并最终形 弟或妹妹(老二)插入队伍，有3种可能的 增加企业的核心竞争力。 总之，科研院所成意见上的一致。 总之,绩效管理的执行位置。排在第三位的老大的弟弟或妹妹(老 改制要进一步加强制 力不强势必会影 二)有5种可能的位置，依次可推最后一位 度和体制的创新，规范法人治理结构，加 响人力资源管理的推进速度从而影响企业 老大的弟弟或妹妹(老二)有2n-1个位置。强资产清查与核实，优化设计改制方案， 的稳定发展。提升企业绩效管理的执行力 因此， 事件 A中样本点的个数有 减少各种法律障碍，避免同业竞争，降低 需要所有人的参与,首先要从思想上给予重 ，所以要求的 改制成本，减少关联交易。科研院所改制 视,其次理论结合实际,找到最适合本企业的 后，应建立健全科学财务管理体系，加强 概率为。方法。 财务投资风险分析，努力强化财务会计内 但从事件的独立性出发:计 A 表示事 i部控制，实现国有资产的保值增值，创最 件第i对双胞胎中老大排在老二的后面，我大的经济效益，财务管理坚持企业的发展 们就是要求 P(A AA )。首先由对称性 1 2n与股东财富最大化为目标，遵纪守法，不 得。再假定 A ，A ， ，A 是忘总理重托，坚持“诚信为本，操守为 1 2 n 参考文献 重，遵循准则，不做假账”，全面提升 相互独立的。所以有: [1]http://www.lianhuaren.com/Dispbbs.asp?财务管理工作水平和质量。 P(A AA ),boardid=6&ID=7742 1 2n [2]HeinzWeihrich,HaroldKoontzManagement:a 上例利用了事件独立性的概念，从而 globalperspective[M].EconomicSciencePress, 使问题简单化了。

2005: 302.

[3]曹仰锋, 李屹立. 绩效管理遭遇失败的 参考文献

七个原因[J].人才资源开发.2007(03):27. [1]财务成本管理.经济科学出版社.2003年

[4]王怀明.绩效管理.山东人民出版社.2004 4 月 [2]会计制度.经济科学出版社.2001 参考文献[5]黄健忠.绩效管理:难在规划,重在执行 年2月 [3]企业会计准则.经济科学出版 [1]盛骤，谢式千.概率论与数理统计[M]北[J].人才资源开发.2007(03):46 社.2002年 京:高等教育出版社.2004.7 作者简介10 月 [4]天津园区财会.天津园区财会编[2]周盛武.概率论与数理统计[M].北京: 胡长海(1982-),男,重庆大学贸易与行政学院辑出版 社.2002年3月 [5]关于进一步规 煤炭工业出版社.2004.行政管理专业,研究方向为组织设计与组织创 范股票首次发行上市有 关工作的通知.证 新. 作者简介监发行字[2003]116号 李坤,男,重庆大学贸易与行政学院行政管理专 蔡敏(女，1 9 7 9 ,)，硕士，讲师， 业,研究方向为组织设计与组织创新. 主要从事微分几何的研究.

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