最佳答案一、中国国际地位新变化的表现及突出特点

进入21世纪以来，中国的国际地位出现较为显著和重大的变化。

第一，实力地位显著上升。进入21世纪时，中国的经济实力还只在世界排第七位，GDP约1万亿美元。21世纪的头8年，中国在世界经济的排位几乎是一年上一个名次，2008年跃居世界第三大经济体，2009年或2010年可能成为世界第二大经济体，外汇储备跃居世界第一，成为世界第三贸易大国。经济总量在2008年达到4.4万亿美元，提前12年实现“到2020年经济总量比2000年翻两番的目标”。这一实力地位的变化奠定了中国国际地位变化的基础。

第二，除经济实力外，中国的军事、科技、软实力也持续上升。军事上，美国国防部认为，20多年来中国的军费每年以两位数的速度增长，这么大的投入，使中国的海军、空军等实力比20世纪90年代有显著的提升，军事活动范围扩大。科技上，航天活动取得突破性的进展，令全世界华人骄傲，令整个世界刮目相看。在软实力方面，中国发展模式得到越来越多的发展中国家和发达国家的认可，成为不少国家试图仿效的样板。国际上出现一定程度的汉语热，也说明中国的地位上升了。

第三，在中国实力和国际地位上升的同时，世界其他主要力量的国际地位持续下降，更加显示中国国际地位的显著上升。美国发动的伊拉克战争遭到世界绝大多数国家、包括一些主要盟国的反对，其秘密监狱、虐待战俘等行径使美国的“民主、自由、人权、法制”旗手形象大打折扣，国际地位和声誉显著下降。金融危机又使其自由市场经济模式声誉下降，不得不有所调整。所以奥巴马、希拉里、佩洛西，走遍世界都要“倾听”，他们现在外交的重点是要改变美国在世界的形象。

在美国国际地位下降的同时，俄罗斯实力和国际地位持续下降，其经济实力正由二流国家沦为三流国家。普京2001年曾说，10年前中国的经济实力是苏联的一半，10年后俄罗斯的实力是中国的一半。2008年俄罗斯的经济实力是中国一半的一半。日本近20年来经济停滞不前，国内改革步履维艰，实力地位不进则退。欧盟进入新世纪后停滞不前，经济发展勉强维持低速增长。印度、巴西等新兴大国虽然发展速度不慢，但其实力和国际地位始终无法追赶中国。现在讲“金砖四国”，实际上

四国根本不在一个档次上，那三个国家的经济实力加在一起才相当于中国，甚至还差一点儿。

第四，金融危机以来，中国的实力没有受到根本的伤害，国际地位不降反升。世界普遍寄希望于中国率先走出危机，带领世界复苏。中国2万亿美元外汇储备和银行系统的充足资本，使中国成为危机中世界少数的中坚力量。中国银行和企业的实力和国际地位显著上升，海外收购非常活跃。

第五，十六大以来中国政府提出的“和平发展”战略，使世界各国对“中国威胁”的看法和担忧有所减弱，对中国的信任、肯定和信心有所增强。中国对外关系持续改善和发展，在联合国事务、国际经济金融改革、联合国维和、反恐、防止大规模杀伤性武器扩散、反海盗等方面的行动和表现，受到世界范围的肯定和认可。世界普遍认为，“中国由问题的一方成为解决问题的一方”。

第六，在中国实力和国际地位持续上升的同时，由于意识形态、社会制度、价值观等因素，西方国家对中国的消极态度仍然没有改变。中国总体的国际形象和国际声誉在西方主流舆论中没有根本改善，其基本面仍然是负面的，这在奥运会境外火炬传递、拉萨“3?14”打砸抢烧严重暴力犯罪事件、“毒牛奶”和“毒饺子”等事件中表现得非常清楚。我们在世界的形象有两个：一个是强国，越来越强；另一个是“坏国”，批评我们的社会制度、意识形态不是世界的主流，没有民主、没有人权、没有自由、没有法制、没有信用，这是西方世界比较普遍的看法。这一点我们必须保持清醒的头脑，采取相应的应对措施。

二、国际体系转型对于中国国际地位变化的历史机遇

一是整个国际体系转型是和平转型，而不是战争转型，这个和平转型是长期的渐进过程，对中国渐进式地成为世界主要大国是非常有利的。

二是美国主导的霸权体系在缓慢地走向衰落，但仍有相当大的主导能力。美国缓慢走向衰落的过程，正是中国崛起的机遇。

三是以联合国为主体的全球治理体系尚未形成。不管G8还是G20，都摆脱不了联合国体系。无论未来世界是什么体系，中国在里面都将唱主角。

四是新兴大国群体崛起，这些国家积极合作可为发展中国家争取更多的合理权益，并顺应和平与发展的时代潮流，寻求以协商与合作来修正国际体系，构建国际机制。也就是说，中国作为其中的一员，不是孤军奋战，不是单兵崛起，所遇的阻力会减小。

五是中国和谐世界的理念已经形成，中国未来崛起后的国际角色、国际地位都是建立在和谐世界的框架里，中国一定会成为世界强国，而且不会给世界带来重大的

灾难。实际上这就是和平崛起的要义所在。

三、中国国际地位上升的障碍和挑战

这些障碍和挑战是我们今后20年中影响我们地位变化，甚至会导致我们上升过程中断。对此我们要有充分的认识。

一是内部发展的不平衡性和经济结构的低层次。北京、上海、广州、深圳，这绝对不是中国的全部面貌。经济总量的低层次是中国的特征，中国目前是大国但远没变成强国，要把低水平的量变成高水平上的量，这个问题很大。

二是中国存在各种形式的潜在社会危机。这些危机我们不能小看，如独生子女造成的年龄结构问题，今后中国的劳动力也许会严重短缺，劳动力价格急剧上升，我们所有的竞争力全部改写，这种可能性是存在的。

三是制度建设的滞后性和内外统筹能力的不协调性，包括各个部门统筹能力的协调，这样的制度建设往往都滞后。

四是资源的有限性和生态的脆弱性。我们要成为第二经济大国或第一经济大国，甚至我们要高质量地成为第一经济大国，资源上和生态上都不能支持。

五是我们周边地缘环境极其复杂和多变，像朝鲜和巴基斯坦，谁能预料到它们今后政局会怎样。也许有一天我们被核武器包围了，也可能周边海洋问题变成尖锐问题，也可能生态恶化导致周围国家对我们产生敌对情绪。因为所有的亚洲大河都来自中国，中国如果破坏上游，所有的亚洲国家都受难于中国，现在哈萨克斯坦就在跟我们抢水源。

六是中国统一的艰巨性和长期性，解决达赖问题、台湾问题都是长期性的问题。

七是跨国非传统安全和国内矛盾结合的危险性。

八是中国与主要大国的共同利益和战略利益冲突并存。随着我们个子越来越大，战略空间越来越大，战略冲突部分会上升。这一块必须尽早地考虑，一是要预防这类冲突，二是要使共同利益的增长快于战略利益冲突的扩大。

九是全球治理能力和国民素质的准备不足。当我们走出去的时候，遇到的问题普遍是国民全球意识不足。今天国民大规模走出去带来的危机，都是因为我们国民素质跟不上。

四、中国成为世界强国的方向和路径

第一，和平发展、科学发展、和谐发展。

第二，共同发展、共同安全、共同利益。

第三，量力而行，有所作为；不挑战霸权，不急于称霸；主持公道，保持平衡。过去我们“韬光养晦、有所作为”，现在应该转变为“量力而行、有所作为”。根据中国的实力，我们应该做多少就做多少。主持公道、保持平衡，反霸是要主持公道，但是反霸也不能过，需要保持平衡。

第四，渐进改革，兼顾各方；立足当前，放眼长远。

30年的改革

开放中国发生了巨大变化，每每在重要的时刻，党中央、国务院都非常及时地调整了政策，顺应了形势的变化，维持了持续发展的势头。同时，我们也有一些问题需要面对，到底怎么样面对我们过去近100多年的历史，怎样面对现在我们认为很不公平的国际秩序，怎样面对我们在国际上常常遇到的歧视性的对待，怎样看待我们青年学生当中的民族主义思潮和情绪，这些都是我们在发展过程中遇到的新问题，需要通过发展来进一步解决

大学物理学(第三版)课后习题答案

1-4 在离水面高 h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸 S 处,如题 1-4图所示.当人以

0v (m·1-s ) 的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.

图 1-4

解: 设人到船之间绳的长度为 l ,此时绳与水面成 θ角,由图可知 2

2

2

s h l +=

将上式对时间 t 求导,得

t

s

s t l l

d d 2d d 2=

题 1-4图

根据速度的定义,并注意到 l , s 是随 t 减少的, ∴ t

s

v v t l v d d , d d 0-==-

=船 绳 即 θ

cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-

=船 或 s

v s h s lv v 0

2/1220) (+==船 将 船 v 再对 t 求导,即得船的加速度

1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a =4+3t 2

s m -?,开始运动时, x =5 m

v

=0,求该质点在 t =10s 时的速度和位置. 解:∵ t t

v

a 34d d +==

分离变量,得 t t v d ) 34(d +=

积分,得 12

2

34c t t v ++

= 由题知, 0=t , 00=v ,∴ 01=c

故 22

34t t v +

= 又因为 22

34d d t t t x v +==

分离变量, t t t x d ) 2

34(d 2

+

= 积分得 23

2

2

12c t t x ++

= 由题知 0=t , 50=x ,∴ 52=c

故 52

123

2

++

=t t x 所以 s 10=t 时

m

7055102

1

102s m 190102

3

10432101210=+?+?=?=?+

?=-x v

1-10 以初速度 0v =201

s m -?抛出一小球,抛出方向与水平面成幔 60°的夹角,

求:(1)球轨道最高点的曲率半径 1R ; (2)落地处的曲率半径 2R .

(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系 )

解:设小球所作抛物线轨道如题 1-10图所示.

题 1-10图 (1)在最高点,

o 0160cos v v v x == 21s m 10-?==g a n

又∵ 1

2

11ρv a n =

∴ m

1010) 60cos 20(2

2111=??=

=n a v ρ

(2)在落地点,

2002==v v 1s m -?,

而 o

60cos 2?=g a n

∴ m 8060cos 10) 20(2

2222=?

?==n a v ρ

1-13 一船以速率 1v =30km ·h -1

沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率 2v =40km ·h -1

沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何 ? 在艇上看船的速度又为何 ?

解:(1)大船看小艇,则有 1221v v v

-=,依题意作速度矢量图如题 1-13图 (a)

题 1-13图

由图可知 12

22121h km 50-?=+=

v v v

方向北偏西 ?===87. 364

3

21v v θ (2)小船看大船,则有 2112v v v

-=,依题意作出速度矢量图如题 1-13图 (b),同上法,得

5012=v 1h km -?

2-2 一个质量为 P 的质点,在光滑的固定斜面(倾角为 α)上以初速度 0v 运动, 0v 的方向 与斜面底边的水平线

AB

解 : 物体置于斜面上受到重力 mg ,斜面支持力 N . 建立坐标:取 0v

方向为 X 轴,平行斜 面与 X 轴垂直方向为 Y 轴 . 如图

2-2.

题 2-2图

X 方向: 0=x F t v x 0= ①

Y 方向: y y ma mg F ==αsin ②

0=t 时 0=y 0=y v

2sin 2

1

t g y α=

由①、②式消去 t ,得

2

2

sin 21x g v y ?=

α 2-4 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力 kv (k 为常数 ) 作用, t =0时质点的 速度为 0v ,证明 (1) t 时刻的速度为 v =t m

k e

v ) (0-; (2) 由 0到 t 的时间内经过的距离为

x =(k

m v 0) [1-t m k

e ) (-]; (3)停止运动前经过的距离为 ) (0k m

v ; (4)证明当 k t =时速

度减至 0v 的

e

1

,式中 m 为质点的质量. 答 : (1)∵ t

v

m kv a d d =-=

分离变量,得

m

t k v v d d -= 即 ??-=v

v t m

t k v v 00d d m kt e v v -=ln ln 0

∴ t

k e

v v -=0

(2) ??

---=

=

=t

t

t

m k m k

e k

mv t e

v t v x 0

00) 1(d d (3)质点停止运动时速度为零,即 t →∞,

故有 ?

∞

-=

=

'0

0d k

m v t e

v x t

k

(4)当 t=

k

m

时,其速度为 e

v e v e

v v k

m m k 0

100=

==-?- 即速度减至 0v 的

e

1. 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 10s m -?v ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为

F =(bt a -)N(b a , 为常数 ) ,其中 t 以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,

试计算子弹走完枪筒全长所需时间; (2)求子弹所受的冲量. (3)求子弹的质量. 解 : (1)由题意,子弹到枪口时,有

0) (=-=bt a F , 得 b

a t =

(2)子弹所受的冲量

?-=-=t bt at t bt a I 022

1

d ) (

将 b

a

t =

代入,得 b

a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2

02bv a v I m =

= 2-13 以铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在 铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内 1 cm

,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击

解 : 以木板上界面为坐标原点,向内为 y 坐标正向,如题 2-13图,则铁钉所受阻力为

题 2-13图

ky f -=

第一锤外力的功为 1A

???

=

=-='=s

s

k

y ky y f y f A 1

12

d d d ① 式中 f '是铁锤作用于钉上的力, f 是木板作用于钉上的力,在 0d →t 时, f 'f -=.

设第二锤外力的功为 2A ,则同理,有

?-=

=2

1

2222

21d y k

ky y ky A ② 由题意,有

2

) 21(212k

mv A A =?== ③

即

2

22122k k ky =- 所以, 22=y

于是钉子第二次能进入的深度为

cm 414. 01212=-=-=?y y y

2-15 一根劲度系数为 1k 的轻弹簧 A 的下端,挂一根劲度系数为 2k 的轻弹簧 B , B 的下端 一重物 C , C 的质量为 M ,如题 2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势

解 : 弹簧 B A 、 及重物 C 受力如题 2-15图所示平衡时,有

题 2-15图

Mg F F B A ==

又 11x k F A ?=

22x k F B ?=

所以静止时两弹簧伸长量之比为

1

2

21k k x x =

?? 弹性势能之比为

122222

1112

11

2

k k

x k x k E E p p =??= 2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 1m 和 2m 的滑块组成如题 2-17图所示装置, 弹簧的劲度系数为 k , 自然长度等于水平距离 BC , 2m 与

桌面间的摩擦系数为 μ, 最初 1m 静止于 A 点, AB =BC =h , 绳已拉直, 现令滑块落下 1m ,

求它下落到 B 处时的速率.

解 : 取 B 点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有

]) (2

1

[) (21212212l k gh m v m m gh m ?+-+=

-μ 式中 l ?为弹簧在 A 点时比原长的伸长量,则

h BC AC l ) 12(-=-=?

联立上述两式,得

()2

12

2

211

22m

m kh

gh m m v +-+-=

μ

题 2-17图

2-19 质量为 M 的大木块具有半径为 R 的四分之一弧形槽,如题 2-19图所示.质量为 m 的 小立方体从曲面的顶端滑下, 大木块放在光滑水平面上, 二者都作无摩擦的运动, 而且都从 静止开始,求小木块脱离大木块时的速度.

解 : m 从 M 上下滑的过程中,机械能守恒,以 m , M ,地球为系统,以最低点为重力势 能零点,则有

222

1

21MV mv mgR +=

又下滑过程,动量守恒,以 m , M 为系统则在 m 脱离 M 瞬间,水平方向有

0=-MV mv

联立,以上两式,得

M m MgR v +=

2

习题八

8-1 电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶 点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就 可以使这四个电荷都达到平衡

(即每个电荷受其他三个电荷 的库仑力之和都为零 )?(2)这种平衡与三角形的边长有无关 系 ?

解 : 如题 8-1图示

(1) 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知:q '为负电荷

2

220) 3

3(π4130cos π412a q q a q '=?εε

解得 q q 3

-=' (2)与三角形边长无关.

题 8-1图 题 8-2图

8-2 两小球的质量都是 m ,都用长为 l 的细绳挂在同一点,它

们带有相同电量, 静止时两线夹角为 2θ ,如题 8-2图所示. 设

小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的

解 : 如题 8-2图示

??

?

??

===220) sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式 2

04r q E πε=

,当被考察的场点距源点

电荷很近 (r→ 0) 时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对 此应如何理解

?

解 : 02

0π4r r q E

ε=

仅对点电荷成立,当 0→r 时,带电体不能再视

为点电荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形 状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限 大.

8-4 在真空中有 A , B 两平行板,相对距离为 d ,板面积为 S , 其带电量分别为 +q 和 -q .则这两板之间有相互作用力 f ,有 人说 f =

2

024d

q πε, 又有人说, 因为

f =qE , S

q

E 0ε=

, 所以

f =S

q 02

ε. 试

问这两种说法对吗 ? 为什么 ? f 到底应等于多少

?

解 : 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为

点电荷是不对的,第二种说法把合场强 S

q E 0ε=

看成是一个带

电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个 板的电场为 S

q E 02ε=

, 另一板受它的作用力

S

q S q

q f 02

022εε=

=, 这

是两板间相互作用的电场力. 8-5

一电偶极子的电矩为 l q p

=,场点到偶极子中心 O 点的距

离为 r , 矢量 r

与 l 的夹角为 θ

, (见题 8-5图 ) , 且 l r >>. 试证 P 点

的场强 E 在 r 方向上的分量 r E 和垂直于 r 的分量 θE 分别为

r E =

3

02cos r p πεθ, θE =

3

04sin r p πεθ

证 : 如题 8-5所示,将 p 分解为与 r

平行的分量 θsin p 和垂直

于 r 的分量 θsin p .

∵ l r >> ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量

3

0π2cos r p E r εθ

=

垂直于 r 方向,即 θ方向场强分量

3

00π4sin r p E εθ=

题 8-5图 题 8-6图

8-6 长 l =15.0cm

AB 上均匀地分布着线密度

λ=5.0x10

-9

C ·m -1

的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上

与导线 B 端相距 1a =5.0cm处 P 点的场强; (2)在导线的垂直平 分线上与导线中点相距 2d =5.0cm 处 Q

点的场强. 解: 如题 8-6图所示

(1)在带电直线上取线元 x d ,其上电量 q d 在 P 点产生场强为

2

0) (d π41d x a x E P -=

λε

2

22

) (d π4d x a x E E l l P P -=

=?

?-ελ

]2

12

1[π40

l a l a +

--=

ελ

)

4(π220l a l

-=

ελ

用 15=l cm , 9100. 5-?=λ1m C -?, 5. 12=a cm 代入得

21074. 6?=P E 1

C N -?

方向水平向右

(2)

22

20d d π41d +=

x x

E Q

λε 方向如题 8-6图所示

由于对称性 ?=l Qx

E 0d ,即 Q E

只有 y 分量,

∵ 2

2

2

222

20d

d d d π41d ++=

x x x E Qy

λε 2

2π4d d ελ?==l

Qy

Qy E E ?

-+22

2

3222)

d (d l l x x

22

2

0d

4π2+=

l l

ελ

以 9100. 5-?=λ1cm C -?, 15=l cm , 5d 2=cm 代入得

21096. 14?==Q y Q E E 1C N -?,方向沿 y 轴正向

8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环, 电荷线密度为 λ, 求环 心处 O 点的场强.

解 : 如 8-7图在圆上取 ?Rd dl =

题 8-7图

?λλd d d R l q ==,它在 O 点产生场强大小为

2

0π4d d R R E ε?

λ=

方向沿半径向外

则 ??ελ

?d sin π4sin d d 0R

E E x =

=

??ελ

?πd cos π4) cos(d d 0R

E E y

-=

-= 积分 R

R E x 000

π2d sin π4ελ

??ελπ

=

=? 0d cos π400

=-=?

??ελ

π

R

E y ∴ R

E E x

0π2ελ

=

=,方向沿 x 轴正向. 8-8 均匀带电的细线弯成正方形, 边长为 l , 总电量为 q . (1)求这正方形轴线上离中心为 r 处的场强 E ; (2)证明:在 l r >>处,它相当于点电荷 q 产生的场强

E

解 : 如 8-8图示,正方形一条边上电荷 4

q 在 P 点产生物强 P

E

d

方向如图,大小为

()

4

π4cos cos d 2

2021l r E P +

-=

εθθλ

∵ 2

cos 2

21l r l +

=θ

12cos cos θθ-=

∴ 2

4

π4d 2

22

20l r l l r E P

+

+

=

ελ

P E

d 在垂直于平面上的分量 βcos d d P E E =⊥

∴ 4

2

4

π4d 2

22

22

20l r r

l r l r l

E

+

+

+

=

⊥ελ

题 8-8图

由于对称性, P 点场强沿 OP 方向,大小为

2

) 4(π44d 42

22

20l r l r lr

E E P ++

=

?=⊥ελ

∵ l

q 4=λ

∴ 2

) 4(π42

22

20l r l r qr

E P ++

=

ε 方向沿

8-9 (1)点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体中心,试求在该

点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量; (2)如果该场 源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各 面的电通量是多少 ?*(3)如题 8-9(3)图所示, 在点电荷 q 的电 场中取半径为 R 的圆平面. q 在该平面轴线上的 A 点处,求:通过圆平面的电通量. (x

R arctan

=α

)

解 : (1)由高斯定理 0

d εq

S E s

=

?

立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 0

6εq e =

Φ.

(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长 a 2的立方体,使 q 处 于边长 a 2的立方体中心, 则边长 a 2的正方形上电通量 0

6εq

e =

Φ

对 于 边 长 a 的 正 方 形 , 如 果 它 不 包 含 q 所 在 的顶点, 则

24εq e =

Φ,

如果它包含 q 所在顶点则 0=Φe .

如题 8-9(a)图所示.题 8-9(3)图

题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图

(3)∵通 过半 径 为 R 的圆 平 面的 电通 量 等 于通 过半 径 为

2

2x R +的球冠面的电通量,球冠面积 *

]1)[(π22

2

22x

R x x R S +-

+=

∴ )

(π42

2

00

x R S

q +=Φε0

2εq =

[2

2

1x

R x +-

]

*关于球冠面积的计算:见题 8-9(c)图

ααα

??=0

d sin π2r r S

ααα

?

?=0

2

d sin π2r

) cos 1(π22α-=r

8-10 均匀带电球壳内半径 6cm , 外半径 10cm , 电荷体密度为 2×510-C ·m -3

求距球心 5cm , 8cm ,12cm 各点的场强. 解 : 高斯定理 0d ε∑=?q

S E s

, 0

2π4ε∑=q

r E

当 5=r cm 时, 0=∑q , 0=E

8=r cm 时, ∑q 3

π4p

=3(r ) 3

内 r - ∴ ()

2

02

3π43π4r

r r E ερ

内

-=

41048. 3?≈1C N -?, 方向沿半径向外. 12=r cm

时 , 3

π

4∑=ρq -3

(外 r )

内 3r ∴ ()

42

03

31010. 4π4π4?≈-=

r r r E ερ

内

外 1C N -? 沿半径向外 .

8-11 半径为 1R 和 2R (2R >1R ) 的两无限长同轴圆柱面,单位 长度上分别带有电量 λ和 -λ, 试求 :(1)r <1r ;="" (2)="" 1r="">

2R ; (3) r >2R 处各点的场强.

解 : 高斯定理 0

d ε=?q

S E s

取同轴圆柱形高斯面,侧面积 rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =?

对 (1) 1R r < 0,="" 0="=∑E" q="" (2)="" 21r="" r="" r="">< λl="" q="∑" ∴="">

E 0π2ελ=

沿径向向外

(3) 2R r > 0=∑q ∴ 0=E

题 8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分 别为 1σ和 2

σ

解 : 如题 8-12图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分 别为 1σ与 2σ,

两面间, n E

) (21210σσε-=

1σ面外, n E

) (21210σσε+-= 2σ面外, n E

) (21210

σσε+=

n

:垂直于两平面由 1σ面指为 2σ面.

8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ρ, 若在球 内挖去一块半径为 r

图所示.试求:

两球心 O 与 O '点的场强, 并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解 : 将此带电体看作带正电 ρ的均匀球与带电 ρ-的均匀小 球的组合,见题 8-13图 (a). (1) ρ+球在 O 点产生电场 010=E

,

ρ- 球在 O 点产生电场 d π4π43

03

20

r E ερ=

∴ O 点电场 ' d 33

030OO r E ερ

= ;

(2) ρ+在 O '产生电场 ' d

π4d 430301E ερπ='

ρ-球在 O '产生电场 002='E

∴ O ' 点电场 0

03ερ='E

' OO

题 8-13图 (a) 题 8-13图 (b)

(3)设空腔任一点 P 相对 O '的位矢为 r ', 相对 O 点位矢为 r (如

题 8-13(b)图 )

则 0

3ερr

E PO =

,

3ερr E O P '

-=' ,

∴ 0

003' 3) (3ερερερd

OO r r E E E O P PO P

=

='-=+='

∴腔内场强是均匀的. 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10-6

C

成,两电荷距离 d=0.2cm,把这电偶极子放在 1.0×105

N ·C

-1

解 : ∵ 电偶极子 p

在外场 E 中受力矩

E p M

?=

∴ qlE pE M ==max 代入数字

4536max 100. 2100. 1102100. 1---?=?????=M m N ?

8-15 两点电荷 1q =1.5×10-8C , 2q =3.0×10-8

C , 相距 1r =42cm, 要把它们之间的距离变为 2r =25cm,需作多少功

?

解 : ??==?=222

1

0212021π4π4d d r r r r

q q r r q q r F A εε ) 1

1(2

1r r - 61055. 6-?-=J

外力需作的功 61055. 6-?-=-='A A J

题 8-16图

8-16 如题 8-16图所示,在 A , B 两点处放有电量分别为 +q ,-q 的点电荷, AB 间距离为 2R ,现将另一正试验点电荷 0q 从 O 点经过半圆弧移到

C

解 : 如题 8-16图示

0π41

ε=

O U 0) (=-R

q R q 0π41ε=

O U ) 3(R q R q -R

q 0π6ε-= ∴ R

q

q U U q A o C O 00π6) (ε=

-= 8-17 如题 8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 λ的正电荷 , 两直导线的长度和半圆环的半径都等于 R . 试求环 中心

O

解 : (1)由于电荷均匀分布与对称性, AB 和 CD 段电荷在 O 点 产生的场强互相抵消,取 θd d R l =

则 θλd d R q =产生 O 点 E

d 如图,由于对称性, O 点场强沿 y 轴负

方向

题 8-17图

θεθ

λπ

π

cos π4d d 22

20??-==R R E E y R

0π4ελ

=

[) 2sin(π-2sin π

-]

R

0π2ελ

-=

(2) AB 电荷在 O 点产生电势,以 0=∞U

?

?===A B

20

0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ

同理 CD 产生 2ln π40

2ελ

=U 半圆环产生 0

034π4πελ

ελ==

R R U

∴ 0

032142ln π2ελελ+=

++=U U U U O

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以 2×104

m ·s -1

的匀 速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度. (电子质量

0m =9.1×10

-31

kg ,电子电量 e =1.60×10-19

C)

解 : 设均匀带电直线电荷密度为 λ,在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ=

电子受力大小 r

e eE F e 0π2ελ

=

= ∴ r

v m

r e 2

0π2=ελ

得 132

0105. 12π2-?==

e

mv ελ1m C -? 8-19 空气可以承受的场强的最大值为 E =30kV·cm -1

,超过 这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容 器,极板间距离为 d =0.5cm

,求此电容器可承受的最高电

解 : 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ 4105. 1d ?==E U V

8-20 根据场强 E

与电势 U 的关系 U E -?=

,求下列电场的场 强:(1)点电荷 q 的电场; (2)总电量为 q ,半径为 R 的均匀带

电圆环轴上一点; *(3)偶极子 ql p =的 l r >>处 (见题 8-20图

)

解 : (1)点电荷 r

q

U 0π4ε=

题 8-20 图

∴ 02

00π4r r q r r U E

ε=??-= 0r 为 r 方向单位矢量. (2)总电量 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点电势

2

2

0π4x

R q U +=

ε

∴ i x R qx

i x U E

2

/32

20π4+=

??-=ε

(3)偶极子 l q p

=在 l r >>处的一点电势

2

00

π4cos ])

cos 2

1(1)

cos 2

(1[π4r ql l

l

r q

U εθθθε=

+-

-=

∴ 3

0π2cos r p r U E r

εθ

=

??-

= 3

0π4sin 1r p U r E εθ

θθ=

??-

=

8-21 证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板 (题 8-21图 ) 来说, (1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而 符号相反; (2)

相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等

证 : 如题 8-21图所示,设两导体 A 、 B 的四个平面均匀带

电的电荷面密度依次为 1σ, 2σ, 3σ, 4σ

题 8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在 A 、 B 内部的闭合柱面为高 斯面时,有

0) (d 32=?+=?S S E s

σσ

∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反; (2)在 A 内部任取一点 P ,则其场强为零,并且它是由四个均 匀带电平面产生的场强叠加而成的,即

022220

4

030201=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ03=σ ∴ 1σ4σ=

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同. 8-22 三个平行金属板 A , B 和 C 的面积都是 200cm 2

, A 和 B 相 距 4.0mm , A 与 C 相距 2.0 mm. B , C 都接地,如题 8-22图所 示.如果使 A 板带正电 3.0×10-7

C ,略去边缘效应,问 B 板和

C 板上的感应电荷各是多少 ? 以地的电势为零,则 A 板的电势

是多少 ?

解 : 如题 8-22图示,令 A 板左侧面电荷面密度为 1σ,右侧面 电荷面密度为 2σ

题 8-22图

(1)∵ AB AC U U =,即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 2

1

===

AC

AB

AB AC E E σσ 且 1σ+2σS

q A =

得 , 32S

q A =σ S

q A 321=σ

而 711023

2

-?-=-=-=A C

q S q σC

C

10172-?-=-=S q B σ

(2) 30

1103. 2d d ?===AC AC AC A E U εσV

8-23 两个半径分别为 1R 和 2R (1R <2r )="" 的同心薄金属球壳,="" 现给内球壳带电="">

q

(1)

外球壳上的电荷分

(2)

先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球

*(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的

解 : (1)内球带电 q +;球壳内表面带电则为 q -, 外表面带电 为 q +,且均匀分布,其电势

题 8-23图

??

∞∞=

=?=2

2020

π4π4d d R R R q

r r q r E U εε (2)外壳接地时,外表面电荷 q +入地,外表面不带电,内表 面电荷仍为 q -.所以球壳电势由内球 q +与内表面 q -产生:

0π4π42

02

0=-

=

R q R q U εε

(3)设此时内球壳带电量为 q ';则外壳内表面带电量为 q '-, 外壳外表面带电量为 +-q q ' (电荷守恒 ) ,此时内球壳电势为 零,且

0π4'

π4' π4' 2

02

01

0=+-+

-

=

R q q R q R q U A εεε 得 q R R q 2

1

=' 外球壳上电势

()2

2

021202

02

0π4π4' π4'

π4' R q

R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+

-

=

8-24 半径为 R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联, 在与球心相距为

R d 3=处有一点电荷 +q ,试求:金属球上的

感应电荷的电量.

解 : 如题 8-24图所示,设金属球感应电荷为 q ',则球接地 时电势 0=O U

8-24图

由电势叠加原理有:

=

O U 03π4π4' 00=+R

q

R q εε 得 -

='q 3

q

8-25 有三个大小相同的金属小球, 小球 1, 2带有等量同号电 荷,相距甚远,其间的库仑力为 0F .试求:

(1)用带绝缘柄的不带电小球 3先后分别接触 1, 2后移去,小 球 1, 2之间的库仑力;

(2)小球 3依次交替接触小球 1, 2很多次后移去,小球 1, 2

之

解 : 由题意知 2

02

0π4r q F ε=

(1)小球 3接触小球 1后,小球 3和小球 1均带电 2

q q =',

小球 3再与小球 2接触后,小球 2与小球 3均带电 q q 4

3=''

∴ 此 时 小 球

1

与 小 球

2

间 相 互 作 用 力

00220183π483π4

F r

q

r q q F =-=εε (2)小球 3依次交替接触小球 1、 2很多次后,每个小球带电量 均为 3

2q .

∴ 小球 1、 2间的作用力 0029

4π42

22F r q q F ==ε *8-26 如题 8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是 S ,

相距为 d ,分别维持电势 A U =U , B U =0不变.现把一块带有电 量 q 的导体薄片平行地放在两极板正中间,片的面积也是 S , 片的厚度略去不计.求导体薄片的电势.

解 : 依次设 A , C , B 从上到下的 6个表面的面电荷密度分别 为 1σ, 2σ, 3σ, 4σ, 5σ, 6σ如图所示.由静电平衡条件,电荷 守恒定律及维持 U U AB =可得以下 6个方程

题 8-26图

?

??????

???

???

++++==+=+-==+=+===+6

543215432

06

54

30021

00

1σσσσσσσσσσεσσσσεσσd U

S q S q

d

U U C S S q B A

解得 S

q 261==σσ

S q d U

2032-

=

-=εσσ S

q d

U

2054+

=

-=εσσ

所以 CB 间电场 S

q d U E 00

4

22εεσ+

=

=

) 2d (212d 02

S

q U E U U CB C ε+=== 注意:因为 C 片带电, 所以 2

U U C

≠

, 若 C 片不带电, 显然 2

U U C =

8-27 在半径为 1R 的金属球之外包有一层外半径为 2R 的均匀 电介质球壳,介质相对介电常数为 r ε,金属球带电 Q .试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势.

解 : 利用有介质时的高斯定理 ∑=?q S D S

d

(1)介质内 ) (21R r R <场强 303π4,="" π4r="">

Q E r r Q D r εε =

=内 ;

介质外 ) (2R r <场强>

03π4, π4r r

Q E r Qr D ε =

=外

(2)介质外 ) (2R r >电势 r

Q E U 0r π4r d ε=

?=?∞

外

介质内 ) (21R r R <>

2

020π4) 11(π4R Q R r q

r εεε+

-=

) 1

1(π42

0R r Q r r -+=

εεε (3)金属球的电势 r d r d 2

2

1

?+?=??∞R R R

E E U 外 内

?

?

∞

+=22

2

2

0π44πdr R R R

r r Qdr r Q εεε

) 1

1(π42

10R R Q r r -+=

εεε 8-28 如题 8-28图所示, 在平行板电容器的一半容积内充入相 对介电常数为 r ε的电介质.试求:在有电介质部分和无电介 质部分极板上自由电荷面密度的比值.

解 : 如题 8-28图所示,充满电介质部分场强为 2E

,真空部

分场强为 1E

,自由电荷面密度分别为 2σ与 1σ

由 ∑=?0d q S D

得 11σ=D , 22σ=D 而 101E D ε=, 202E D r εε=

d

21U E E =

=

∴ r D D εσσ==

1

2

1

2

r d r d ?+?=??

∞∞r

r

E E U 外 内

题 8-28图 题 8-29图

8-29 两个同轴的圆柱面, 长度均为 l , 半径分别为 1R 和 2R (2R >1R ) ,且 l >>2R -1R ,两柱面之间充有介电常数 ε的均匀电介 质 . 当两圆柱面分别带等量异号电荷 Q 和 -Q 时,求: (1)在半径 r 处 (1R <2r=, 厚度为="" dr="" ,="" 长为="" l="" 的圆柱薄壳中="" 任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量;="" (2)电介质中的总电场能量;="" (3)圆柱形电容器的电容.="" 解="" :="" 取半径为="" r="" 的同轴圆柱面="" )="" (s="" 则="" rld="" s="" d="" s="" π2d="">

(=?

当 ) (21R r R <时, q="" q="∑" ∴="">

Q

D π2=

(1)电场能量密度 2

222

2π82l

r Q D w εε==

薄壳中 rl

r

Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===

(2)电介质中总电场能量 ??===2

1

1

2

2

2ln π4π4d d R R

V R R l Q rl r Q W W εε

(3)电容:∵ C

Q W 22

=

∴ )

/ln(π22122R R l

W Q C ε=

= *8-30 金属球壳 A 和 B 的中心相距为 r , A 和 B 原来都不带

电.现在 A 的中心放一点电荷 1q ,在 B 的中心放一点电荷 2q , 如题 8-30图所示.试求:

(1) 1q 对 2q 作用的库仑力, 2q 有无加速度;

(2)去掉金属壳 B ,求 1q 作用在 2q 上的库仑力,此时 2q 有无加 速度.

解 : (1)1q 作用在 2q 的库仑力仍满足库仑定律,即

2

210π41r q q F ε=

但 2q 处于金属球壳中心,它受合力 .. 为零,没有加速度. (2)去掉金属壳 B , 1q 作用在 2q 上的库仑力仍是 2

2

10π41r q q F ε=,

但此时 2q 受合力不为零,有加速度.

题 8-30图 题

8-31图

8-31 如题 8-31图所示, 1C =0.25μF , 2C =0.15μF ,

3C =0.20μ

F . 1C 上电压为 50V .求:AB U .

解 : 电容 1C 上电量

111U C Q =

电容 2C 与 3C 并联 3223C C C += 其上电荷 123Q Q =

∴ 35

50

25231123

23

2?=

=

=C U C C Q U 86) 35

25

1(5021=+

=+=U U U AB V 8-32

1C 和 2C 两电容器分别标明 “ 200 pF、 500 V” 和 “ 300 pF、

900 V” ,把它们串联起来后等值电容是多少 ? 如果两端加上 1000 V

?

解 : (1) 1C 与 2C 串联后电容

120300

200300

2002121=+?=+=

'C C C C C pF (2)串联后电压比

2

3

1221==C C U U ,而 100021=+U U ∴ 6001=U V , 4002=U V

即电容 1C 电压超过耐压值会击穿,然后 2C 也击穿. 8-33 将两个电容器 1C 和 2C 充电到相等的电压 U 以后切断电 源,再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相 联.试求:

(1)每个电容器的最终电荷; (2)电场能量的损失.

解 : 如题 8-33图所示,设联接后两电容器带电分别为 1q , 2q

题 8-33图

则 ?????

??==

-=-=+2

1221

12121201021U U U C U C q q U C U C q q q q

解得 (1) =1q U C C C C C q U C C C C C 2

121222

1211) (, ) (+-=+-

(2)电场能量损失

W W W -=?0

) 22() 2121(2

2

21212

221C q C q U C U C +-+= 2

2

1212U C C C C +=

8-34 半径为 1R =2.0cm 的导体球, 外套有一同心的导体球壳, 壳的内、外半径分别为 2R =4.0cm和 3R =5.0cm,当内球带电荷

Q =3.0×10

-8

C

(1)整个电场储存的能量;

(2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值.

解 : 如图,内球带电 Q ,外球壳内表面带电 Q -,外表面带电

Q

题 8-34图

(1)在 1R r <和 32r="" r="" r=""><>

0=E

在 21R r R <时>

01π4r r Q E ε

=

3R r >时 3

02π4r r Q E ε

=

∴在 21R r R <>

?

=21

d π4) π4(21222001R R r r r

Q W εε ?

-==2

1

) 1

1(π8π8d 2

1022

02R R R R Q r r Q εε 在 3R r >区域

?∞

==323022

20021π8d π4) π4(21R R Q r r r

Q W εεε

∴ 总能量 ) 1

11(π83

210221R R R Q W W W +-=+=ε

41082. 1-?=J

(2)导体壳接地时,只有 21R r R <时>

0π4r r Q E ε

=

, 02=W

∴ 42

10211001. 1) 1

1(π8-?=-==R R Q W W ε J

(3)电容器电容 ) 1

1/(

π422

102

R R Q

W C -==ε 121049. 4-?=F

习题九

9-1 在同一磁感应线上,各点 B

的数值是否都相等 ? 为何不

把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度 B

的方向 ? 解 : 在同一磁感应线上,各点 B

的数值一般不相等.因为磁

场作用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度 B

的方向有 关,而且与电荷速度方向有关,即磁力方向并不是唯一由磁

场决定的,所以不把磁力方向定义为 B

的方向.

9-2 (1)在没有电流的空间区域里,如果磁感 应线是平行直线,磁感应强度 B

的大小在沿磁 感应线和垂直它的方向上是否可能变化 (即磁 场是否一定是均匀的 )?

(2)若存在电流,上述结论是否还对 ?

解 : (1)不可能变化,即磁场一定是均匀的.

如图作闭合回路 abcd 可证明 21B B

=

∑==-=?0d 021I bc B da B l B abcd

μ

∴ 21B B

=

(2)若存在电流,上述结论不对.如无限大均匀带电平面两

侧之磁力线是平行直线,但 B 方向相反,即 21B B

≠.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的 磁场

?

答 : 不能,因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称

性,但不是稳恒电流,安培环路定理并不适用.

9-4 在载流长螺线管的情况下,我们导出其内部 nI B 0μ=,外 面 B =0,所以在载流螺线管

外面环绕一周 (见题 9-4图 ) 的环路积分

外 B L

·d l =0

但从安培环路定理来看,环路 L 中有电流 I 穿过,环路积分应 为

外 B L

·d l =I

0μ

这是为什么 ?

解 : 我们导出 nl B 0μ=内 , 0=外 B 有一个假设的前提,即每匝电流 均垂直于螺线管轴线.这时图中环路 L 上就一定没有电流通 过,即也是 ∑==?L

I l B 0d 0μ 外 ,与 =?=?L

l l B 0d 0d

外 是不矛盾

的.但这是导线横截面积为零,螺距为零的理想模型.实际 上以上假设并不真实存在, 所以使得穿过 L 的电流为 I , 因此 实际螺线管若是无限长时,只是 外 B

的轴向分量为零,而垂直 于轴的圆周方向分量 r

I

B πμ20=

⊥

, r 为管外一点到螺线管轴的距

离.

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转, 能否肯定 这个区域中没有磁场 ? 如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场 ?

解:如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转,不能肯定 这个区域中没有磁场,也可能存在互相垂直的电场和磁场, 电子受的电场力与磁场力抵消所致.如果它发生偏转也不能 肯定那个区域存在着磁场,因为仅有电场也可以使电子偏 转.

9-6 已知磁感应强度 0. 2=B Wb ·m

-2

x

轴正方向,如题 9-6图所示.试求:(1)通过图中 abcd 面的磁 通量; (2)通过图中 befc 面的磁通量; (3)通过图中 aefd 面的磁 通量.

解: 如题 9-6图所示

题 9-6图

(1)通过 abcd 面积 1S 的磁通是

24. 04. 03. 00. 211=??=?=S B

ΦWb

(2)通过 befc 面积 2S 的磁通量

022=?=S B

Φ

(3)通过 aefd 面积 3S 的磁通量

24

. 054

5. 03. 02cos 5. 03. 0233=???=θ???=?=S B ΦWb

(或 曰

24. 0-Wb )

题 9-7图

9-7 如题 9-7图所示, AB 、 CD 为长直导线, C B

为圆心在 O 点 的一段圆弧形导线,其半径为 R .若通以电流 I ,求 O 点的磁 感应强度.

解:如题 9-7图所示, O 点磁场由 AB 、 C B

、 CD 三部分电流 产生.其中

AB

产生 01=B

CD 产生 R

I

B 1202μ=

,方向垂直向里

CD 段产生 ) 23

1(2) 60sin 90(sin2

4003-πμ=-πμ=

??R I I B ,方向 ⊥向里 ∴ ) 6

231(203210π

πμ+-=

++=R I B B B B ,方向 ⊥向里. 9-8 在真空中,有两根互相平行的无限长直导线 1L 和 2L ,相 距 0.1m ,通有方向相反的电流, 1I =20A,2I =10A,如题 9-8图 所示. A , B 两点与导线在同一平面内. 这两点与导线 2L 的距

离均为 5.0cm .试求 A , B

两点处的磁感应强度,以及磁感应

题 9-8图

解:如题 9-8

图所示 , A B

方向垂直纸面向里

42

01

0102. 105

. 02)

05. 01. 0(2-?=?+

-=

πμπμI I B A T

(2)设 0=B

在 2L 外侧距离 2L 为 r 处 则

02)

1. 0(22

0=-

+r

I r I

πμπμ 解得 1. 0=r m

题 9-9图

9-9 如题 9-9图所示,两根导线沿半径方向引向铁环上的 A ,

B 两点,并在很远处与电源相连.已知圆环的粗细均匀,求

环中心 O 的磁感应强度.

解: 如题 9-9图所示,圆心 O 点磁场由直电流 ∞A 和 ∞B 及两 段圆弧上电流 1I 与 2I 所产生,但 ∞A 和 ∞B 在 O 点产生的磁场为 零。且

θ

-πθ==21221R R I I 电阻 电阻 . 1I 产生 1B

方向 ⊥纸面向外

π

θπμ2)

2(2101-=

R I B ,

2I 产生 2B

方向 ⊥纸面向里

π

θμ22202R I B =

∴ 1)

2(212

1

=-=

θ

θπI I B B 有 0210=+=B B B

9-10 在一半径 R

=1.0cm

自上而下地有电流 I =5.0 A 通过,电流分布均匀 . 如题 9-10图 所示.试求圆柱轴线任一点 P 处的磁感应强度.

题 9-10图

解:因为金属片无限长,所以圆柱轴线上任一点 P 的磁感应 强度方向都在圆柱截面上,取坐标如题 9-10图所示,取宽 为 l d 的一无限长直电流 l R

I

I d d π=, 在轴上 P 点产生 B d 与 R 垂直, 大小为

R

I R R I

R I B 200

02d 2d 2d d πθμ=πθ

μ=πμ=

R

I B B x 202d cos cos d d πθ

θμ=θ=

R

I B B y 202d sin ) 2cos(d d πθθμ-=θ+π

=

∴ 5

2

02022

21037. 6)]2sin(2[sin22d cos -ππ-?=πμ=π--ππμ=πθθμ=?

R

I R I R I B x T

0) 2d sin (22

2

0=πθ

θμ-

=?ππ-R

I B y ∴ i B

51037. 6-?= T

9-11 氢原子处在基态时, 它的电子可看作是在半径 a =0.52×10-8cm

的轨道上作匀速圆周运动,速率 v =2.2×108cm ·s -1.求电子在轨道中 心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值.

解:电子在轨道中心产生的磁感应强度

3

004a a

v e B πμ ?=

如题 9-11图,方向垂直向里,大小为

1342

00==

a

ev

B πμ T 电子磁矩 m P

在图中也是垂直向里,大小为

242102. 92

-?===

eva

a T e P m π 2m A ? 题 9-11图 题 9-12

图

9-12 两平行长直导线相距 d =40cm,每根导线载有电流

1I =2I =20A,如题 9-12图所示.求:

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点 A

处的磁感应

(2)通过图中斜线所示面积的磁通量. (1r =3r

=10cm,

l

=25cm)

解:(1) 52

01

0104)

2

(2)

2

(2-?=+

=d I d I B A πμπμ T⊥纸面向外

(2)

r l S d d =

612010110102. 23ln 31ln 23ln 2]) (22[1211

-+?=π

μ=πμ-πμ=-πμ+πμ=?

l

I l I l I ldr r d I r I r r r ΦWb 9-13 一根很长的铜导线载有电流 10A ,设电流均匀分布 . 在 导线内部作一平面 S ,如题 9-13图所示.试计算通过 S 平面的 磁通量 (沿导线长度方向取长为 1m 的一段作计算 ) .铜的磁导 率 0μμ=.

解:由安培环路定律求距圆导线轴为 r 处的磁感应强度

∑μ=?l

I l B 0d

2

202R

Ir r B μπ=

∴ 2

02R Ir B πμ=

题 9-13 图

磁通量 6002

) (1042-===?=Φ??π

μπμI R Ir S d B R s m Wb 9-14 设题 9-14图中两导线中的电流均为 8A , 对图示的三条闭 合曲线 a , b , c ,分别写出安培环路定理等式右边电流的代数 和.并讨论:

(1)在各条闭合曲线上,各点的磁感应强度 B

的大小是否相 等 ?

(2)在闭合曲线 c 上各点的 B

是否为零 ? 为什么 ?

解: μ=?a

l B 08d

μ=?ba

l B 08d

=?c

l B 0d

(1)在各条闭合曲线上,各点 B

的大小不相等.

(2)在闭合曲线 C 上各点 B 不为零.只是 B

的环路积分为零而

非每点 0=B

.

题 9-14图 题 9-15图

9-15 题 9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截 面, 内、 外半径分别为 a , b , 导体内载有沿轴线方向的电流 I , 且 I 均匀地分布在管的横截面上.设导体的磁导率 0μμ≈,试 证明导体内部各点 ) (b r a < 的磁感应强度的大小由下式给="">

r a r a b I

B 22220)

(2--=

πμ

解:取闭合回路 r l π2= ) (b r a

则 π=?l

r B l B 2d

2

22

2

)

(a b I a r

I ππππ--=∑

∴ )

(2)

(2

2220a b r a r I B --=πμ 9-16 一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱 (半径为 a ) 和一同 轴的导体圆管 (内、外半径分别

为 b , c ) 构成,如题 9-16图所示.使用时,电流 I 从一导体流 去,从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截 面上,求:(1)导体圆柱内 (r

b ) ,(3)导体圆筒内 (b c ) 各点

处磁感应强度的大小

解: ∑μ=?L

I

l B 0d

(1)a r <>

2

02R

Ir r B μπ=

2

02R Ir B πμ=

(2) b r a < i="" r="" b="" 02μπ="">

r

I B πμ20=

(3)c r b < i="">

c b r I r B 0222

202μμπ+---=

)

(2)

(2

2220b c r r c I B --=πμ (4)c r > 02=r B π

0=B

题 9-16

图 题 9-17图

9-17 在半径为 R 的长直圆柱形导体内部,与轴线平行地挖 成一半径为 r 的长直圆柱形空腔,两轴间距离为 a , 且 a >r , 横截面如题 9-17图所示.现在电流 I 沿导体管流动,电流均

匀分布在管的横截面上,而电流方向与管的轴线平行.求:

(1)

(2)

解:空间各点磁场可看作半径为 R ,电流 1I 均匀分布在横截 面上的圆柱导体和半径为 r 电流 2I -均匀分布在横截面上的圆 柱导体磁场之和.

(1)圆柱轴线上的 O 点 B 的大小: 电流 1I 产生的 01=B ,电流 2I -产生的磁场

2

22

020222r R Ir a a I B -=

=πμπμ

∴ )

(22

2

2

00r R a Ir B -=πμ

(2)空心部分轴线上 O '点 B 的大小:

电流 2I 产生的 02

='B , 电流 1I 产生的 222

022r R Ia a B -πμ=')

(22

20r R Ia -=πμ ∴ )

(22200r R Ia

B -=

'πμ

题 9-18图

9-18 如题 9-18图所示, 长直电流 1I 附近有一等腰直角三角形 线框,通以电流 2I ,二者

共面.求△ ABC 的各边所受的磁力.

解: ??=A

B

AB B l I F d 2

d

a

I I d I a

I F AB πμπμ22210102== 方向垂直 AB 向左 ??=C

A

AC B l I F d 2 方向垂直 AC 向下,大小为

?

++πμ=πμ=a

d d

AC d

a

d I I r I r

I F ln 22d 210102 同理 BC F

方向垂直 BC 向上,大小

?

+πμ=a

d d Bc r

I l

I F 2d 1

02 ∵ ?=45

cos d d r l

∴ ?++π

μ=?πμ=a

d a

BC d a

d I I r r I I F ln

245cos 2d 210120

题 9-19图

9-19

在磁感应强度为 B

的均匀磁场中, 垂直于磁场方向的平

面内有一段载流弯曲导线,电流为 I ,如题 9-19

图所示.求

解:在曲线上取 l

d

则 ??=b

a

ab B l I F d

∵ l d 与 B 夹角 l d <,>

π>=B 不变, B

是均匀的.

∴ ???=?=?=b a

b a

ab B I B l I B l I F

) d (d

方向⊥ 向上,大小 BI F ab

=

题 9-20图

9-20 如题 9-20图所示,在长直导线 AB 内通以电流 1I =20A, 在矩形线圈 CDEF 中通有电流 2I =10 A , AB 与线圈共面, 且 CD ,

EF

都与 AB 平行.已知 a =9.0cm,b =20.0cm,d =1.0

cm

(1)导线 AB

的磁场对矩形线圈每边所作用的

(2)

解:(1)CD F

方向垂直 CD 向左,大小

41

02100. 82-?==d

I b

I F CD πμ N 同理 FE F

方向垂直 FE 向右,大小

51

02100. 8)

(2-?=+=a d I b

I F FE πμ N

CF F

方向垂直 CF 向上,大小为

?

+-?=+πμ=πμ=a d d

CF d

a

d I I r r I I F 5210210102. 9ln 2d 2 N ED F

方向垂直 ED 向下,大小为

5

102. 9-?==CF ED F F N

(2)合力 ED CF FE CD F F F F F

+++=方向向左,大小为

4102. 7-?=F N

合力矩 B P M m

?=

∵ 线圈与导线共面

∴ B P m

//

0=M

.

题 9-21图

9-21 边长为 l

=0.1m

B =1T 的均匀磁场中,线圈平面与磁场方向平行 . 如题 9-21

图所示,使线圈通以电流 I =10A,求: (1) 线圈每边所受的安培力; (2) 对 O O '轴的磁力矩大小;

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功.

解: (1) 0=?=B l I F bc

B l I F ab

?= 方向 ⊥纸面向外,大小为

866. 0120sin ==?IlB F ab N

B l I F ca

?=方向 ⊥纸面向里,大小

866. 0120sin ==?IlB F ca N

(2)IS P m =

B P M m

?= 沿 方向,大小为

22

1033. 44

3-?===B l I ISB M m N ?

(3)磁力功 ) (12ΦΦ-=I A

∵ 01=Φ B l 2

24

=Φ ∴

22

1033. 44

3-?==B l I

A

J

9-22 一正方形线圈,由细导线做成,边长为 a ,共有 N 匝, 可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动.现在线

圈中通有电流 I , 并把线圈放在均匀的水平外磁场 B

中, 线圈

对其转轴的转动惯量为 J . 求线圈绕其平衡位置作微小振动 时的振动周期 T .

解:设微振动时线圈振动角度为 θ

(>=<θb p="">

, ) ,则

θθsin sin 2B NIa B P M m ==

由转动定律 θθθ

B NIa B NIa at J 2222sin d -≈-=

即 0222=+θθJ B

NIa dt

d ∴ 振动角频率 J B

NIa 2=

ω

周期 IB

Na J T 222π

ω

π

==

9-23 一长直导线通有电流 1I =20A ,旁边放一导线 ab ,其中 通有电流 2I =10A, 且两者共面, 如题 9-23图所示. 求导线 ab 所 受作用力对 O 点的力矩. 解:在 ab 上取 r d ,它受力

ab F ⊥

d 向上,大小为

大学物理学(第三版)上课后习题答案

第一章 运动的描述

1-1 ||与 有无不同 ? 和 有无不同 ? 和 有无不同 ? 其不同 在哪里 ? 试举例说明.

解:(1) 是位移的模, 是位矢的模的增量,

即 , ;

(2)

是速度的模,即

.

只是速度在径向上的分量 .

∵有 (式中 叫做单位矢),则

式中 就是速度径向上的分量,

∴ 不同如题 1-1图所示 .

题 1-1图

(3)表示加速度的模,即 , 是加速度 在切向上的分量 . ∵有 表轨道节线方向单位矢),所以

式中 就是加速度的切向分量 .

(的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论 )

1-2 设质点的运动方程为 =() , =() ,在计算质点的速度和加速度时, 有人先求出 r =,然后根据 =,及 =而求得结果;又有人先 计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即

=及

=你认为两种方法哪一 种正确?为什么?两者差别何在?

解:后一种方法正确 .

因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有 ,

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点, 其一是概念上的错误, 即误把速度、 加速度定 义作

其二,可能是将 误作速度与加速度的模。在 1-1题中已说明 不是速 度的模,而只是速度在径向上的分量,同样, 也不是加速度的模,它只是加 速度在径向分量中的一部分 。或者概括性地说,前一种方

法只考虑了位矢 在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢 及 速度 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在 平面上运动, 运动方 程为

=3+5, =2+3-4.

式中 以 s计, , 以 m 计. (1)以时间 为变量,写出质点位置矢量的表示 式; (2)求出 =1 s 时刻和 =2s 时刻 的位置矢量,计算这 1秒内质点的位 移; (3)计算 =0 s时刻到 =4s 时刻 内的平均速度; (4)求出质点速度矢 量表示式,计算 =4 s 时质点的速 度; (5)计算 =0s 到 =4s 内质点的 平均加速度; (6)求出质点加速度矢 量的表示式,计算 =4s 时质点的加 速度 (请把位置矢量、位移、平均速 度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加 速度都表示成直角坐标系中的矢量 式 ) .

解:(1)

(2)将 , 代入上式即有

(3)∵

∴

(4)

则

(5)∵

(6)

这说明该点只有 方向的加速度, 且为 恒量。

1-4 在离水面高 h 米的岸上,有人用 绳子拉船靠岸,船在离岸 S 处,如题 1-4图所示. 当人以 (m·) 的速率收 绳时,试求船运动的速度和加速度的 大小.

图 1-4

并解:设人到船之间绳的长度为 , 此时绳与水面成 角,由图可知

将上式对时间 求导, 得

题 1-4图

根据速度的定义, 注意到 , 是随 减少 的,

∴

即

或

将 再对 求导,即得船的加速度

1-5 质点沿 轴运动, 其加速度和位置的关系为 =2+6, 的单位为 ,

的单位为 m. 质点在 =0处,速度为 10, 试求质点在任何坐标处的速度 值.

解:∵

分离变量:

两边积分得

由题知, 时, , ∴

∴

1-6 已知一质点作直线运动,其加 速度为 =4+3

, 开始运动时,= 5 m, =0,求该质点在 =10s 时 的速度和位置.

解:∵

分离变量,得

积分,得

由题知, , , ∴

故

又因为

分离变量,

积分得

由题知

, , ∴

故

所以 时

1-7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动,运动方程为

=2+3, 式中以弧度

计, 以秒计,求:(1) =2 s 时,质点的切向和法向加速度; (2)当加速度 的方向和半径成 45°角时,其角位移是多少 ?

解:

(1)时,

(2)当加速度方向与半径成 角时,有

即

亦即

则解得

于是角位移为

1-8 质点沿半径为 的圆周按 =的规律运动, 式中 为质点离圆周上 某点的弧长 , , 都是常量,求:(1)时刻质点的加速度; (2) 为何值时,加 速度在数值上等于 .

解:(1)

则

加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

即

∴当 时,

1-9 半径为 的轮子,以匀速 沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘上任意点 的

运动方程为

=,

=, 式中 /是轮子

滚动的角速度,当 与水平线接触的瞬间开始计时.此时 所在的位置 为原点,轮子前进方向为 轴正方向; (2)求 点速度和加速度的分量表 示式.

解:依题意作出下图,由图可知

题 1-9图

(1)

(2)

1-10 以初速度 =20抛出一小球, 抛出方向与水平面成幔 60°的夹角,

求:(1)球轨道最高点的曲率半径 ; (2)落地处的曲率半径 .

(提示:利用曲率半径与法向加速度 之间的关系 )

解:设小球所作抛物线轨道如题 1-10图所示.

题 1-10图

(1)在最高点,

又∵

∴

(2)在落地点,

,

而

∴

1-11 飞轮半径为 0.4 m ,自静止启动,其角加速度为 β=0.2 rad ·,求 = 2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解:当 时,

则

1-12 如题 1-12图, 物体 以相对 的 速度 =沿斜面滑动, 为纵坐标, 开始时 在斜面顶端高为 处,物体以

匀速向右运动,求 物滑到地面时的 速度.

解:当滑至斜面底时, ,则 , 物运动过程中又受到 的牵连运动影 响,因此, 对地的速度为

题 1-12图

1-13 一船以速率 =30km ·h -1沿直线向东行驶,

另一小艇在其前方以速率 = 40km ·h -1

沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何 ? 在艇上看船的速度又为何 ? 解:(1)大船看小艇,则有 ,依题意作速度矢量图如题 1-13图

(a)

题 1-13图

由图可知

方向北偏西

(2)小船看大船,则有 ,依题意作出速度矢量图如题 1-13图 (b),同上法,得

方向南偏东

1-14 当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 m 的甲板上,篷 高 4 m 但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在篷前 3 m ,如雨滴的 速度大小为 8 m·s -1,求轮船的速率.

解:依题意作出矢量图如题 1-14所示.

题 1-14图

∵

∴

由图中比例关系可知

第二章 运动定律与力学的守恒定律

2-1 一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为 的物体,另一边穿在质量 为 的圆柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加

速上升,柱体相对于绳子以匀加速度 下滑,求 , 相对于地面的加速度、 绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力 (绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的 摩擦不计 ) .

解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为 ,其对于 则为牵连加速度,又知 对绳子的相 对加速度为 ,故 对地加速度,由图 (b)可知,为

①

又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力 在数值上等于绳的张力 ,由牛顿定律,有

②

③ 联立①、②、③式,得

讨论 (1)若 ,则 表示柱体与绳之间无相对滑动.

(2)若 ,则 ,表示柱体与绳之间无任何作用力,此时

, 均作自由落体运动.

题 2-1图

2-2 一个质量为 的质点,在光滑的固定斜面(倾角为 )上以初速度

运动,

的方向与斜面底边的水平线 平行,如图所示,求这质点的运动轨道.

解 : 物体置于斜面上受到重力 ,斜面支持力 . 建立坐标:取 方向为 轴,平行斜面与 轴垂直 方向为 轴 . 如图

2-2.

题 2-2图

方向:

①

方向:

②

时

由①、②式消去 ,得

2-3 质量为 16 kg 的质点在

平面内运动,受一恒力作用,力的分量为 =

6 N, =-7 N,当 =0时, 0, =-2 m·s -1, =0.求

当 =2 s 时质点的 (1)位矢; (2)速度.

解:

(1)

于是质点在 时的速度

(2)

2-4 质点在流体中作直线运动, 受与速度成正比的阻力 (为常数 ) 作用, =0

时质点的速度为 ,证明 (1) 时刻的速度为 =; (2) 由 0到 的时间 内经过的距离为

=() [1-]; (3)停止运动前经过的距离为 ; (4)证明当

时速度减至 的 ,式中 m 为质点的质量.

答 : (1)∵

分离变量,得

即

∴

(2)

(3)质点停止运动时速度为零,即 t → ∞ ,

故有

(4)当 t=时,其速度为

即速度减至 的 .

2-5 升降机内有两物体,质量分别为 , ,且 =2.用细绳连接,跨过

滑轮 , 绳子不可伸长, 滑轮质量及一切摩擦都忽略不计, 当升降机以匀加速 =

g 上升时,求:(1) 和 相对升降机的加速度. (2)在地面上观察 , 的 加速度各为多少 ?

解 : 分别以

, 为研究对象,其受力图如图 (b)所示.

(1)设 相对滑轮 (即升降机 ) 的加速度为 ,则 对地加速度 ;因绳不可伸长,故 对

滑轮的加速度亦为 ,又 在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以

在水平方向对地加速度亦为

,由牛顿定律,有

题 2-5图

联立,解得 方向向下

(2) 对地加速度为

方向向上

在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即 ∴

,左偏上.

2-6一质量为 的质点以与地的仰角 =30°的初速 从地面抛出,若忽略空气 阻力,求质点落地时相对抛射时的动量的增量.

解 : 依题意作出示意图如题 2-6图

题 2-6图

在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下 ,

而抛物线具有对 轴对称性,故末速度与 轴夹角亦为 ,则动量的增量为

由矢量图知,动量增量大小为 ,方向竖直向下.

2-7 一质量为 的小球从某一高度处水平抛出,落在水平桌面上发生弹性碰 撞.并在抛出 1 s ,跳回到原高度,速度仍是水平方向,速度大小也与抛出时相 等. 求小球与桌面碰撞过程中, 桌面给予小球的冲量的大小和方向. 并回答在碰 撞过程中,小球的动量是否守恒 ?

解 : 由题知,小球落地时间为

.因小球为平抛运动,故小球落地的瞬时向下的速度大小为

,小球上跳速度的大小亦为 .设向上为 轴正向,则动量的增量

方向竖直向上,

大小

碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中,小球受到地面给予的冲力作用.另外,碰撞前初动量方 向斜向下,碰后末动量方向斜向上,这也说明动量不守恒.

2-8 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 N , 式中 的单位是 s , (1)求 4s 后, 这物体的动量和速度的变化, 以及力给予物体的冲量. (2)为了使这力 的冲量为 200 N·s ,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一

个具有初速度 m ·s -1的物体 , 回答这两个问题.

解 : (1)若物体原来静止,则

, 沿 轴正向,

若物体原来具有 初速,则

于是

,

同理,

,

这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得 的动量的增量 (亦即冲量 ) 就一定相同,这就是动量定理.

(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即

亦即

解得 ,

(舍去 )

2-9 一质量为 的质点在 平面上运动,其位置矢量为

求质点的动量及 =0 到 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的 改变量.

解 : 质点的动量为

将 和 分别代入上式,得

, ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 , 当子弹在枪筒内被加速时, 它所受 的合力为 F =()N(为常数 ) ,其中 以秒为单位:(1)假设子弹运行到

枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间; (2)求子弹所受的冲 量. (3)求子弹的质量.

解 : (1)由题意,子弹到枪口时,有

, 得

(2)子弹所受的冲量

将 代入,得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2-11 一炮弹质量为 ,以速率 飞行,其内部炸药使此炮弹分裂为两块,爆炸 后由于炸药使弹片增加的动能为 ,且一块的质量为另一块质量的 倍,如两者 仍沿原方向飞行,试证其速率分别为

+, -

证明 : 设一块为 ,则另一块为 ,

及

于是得

①

又设 的速度为

, 的速度为 ,则有

②

③

联立①、③解得

④ 将④代入②,并整理得

于是有

将其代入④式,有

又,题述爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,故只能取

证毕.

2-12 设 . (1) 当一质点从原点运动到 时,

求 所作的功. (2)如果质点到 处时需 0.6s , 试求平均功率. (3)如果质点的质量为 1kg ,试求动能的变化.

解 : (1)由题知, 为恒力,

∴

(2)

(3)由动能定理,

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度 成正比,在铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内 1 cm,问击第二次时能击入 多深,假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.

解 : 以木板上界面为坐标原点,向内为 坐标正向,如题 2-13图,则铁钉所受阻力为

题 2-13图

第一锤外力的功为

①

式中 是铁锤作用于钉上的力, 是木板作用于钉上的力,在

时, .

设第二锤外力的功为 ,则同理,有

② 由题意,有

③

即

所以,

于是钉子第二次能进入的深度为

2-14 设已知一质点 (质量为 ) 在其保守力场中位矢为

点的势能为

, 试求质点所受保守力的大小和方向. 解 :

方向与位矢 的方向相反,即指向力心.

2-15 一根劲度系数为 的轻弹簧 的下端,挂一根劲度系数为 的轻弹簧

,

的下端

一重物 , 的质量为 ,如题 2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之 比和弹性势

能之比.

解 : 弹簧 及重物 受力如题 2-15图所示平衡时,有

题 2-15图

又

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

2-16 (1)试计算月球和地球对 物体的引力相抵消的一点 , 距月球表面的距离

是多少 ? 地球质量 5.98×1024kg , 地球中心到月球中心的距离 3.84×108m , 月球 质量 7.35×1022kg ,月球半径 1.74×106m . (2)如果一个 1kg 的物体在距月球和 地球均为无限远处的势能为零,那么它在 点的势能为多少 ?

解 : (1)设在距月球中心为 处 ,由万有引力定律,有

经整理,得

=

则 点处至月球表面的距离为

(2)质量为 的物体在 点的引力势能为

2-17 由水平桌面、 光滑铅直杆、 不可伸长的轻绳、 轻弹簧、 理想滑轮以及质量 为 和 的滑块组成如题 2-17图所示装置, 弹簧的劲度系数为 , 自然长度等 于水平距离 , 与桌面间的摩擦系数为 ,最初 静止于 点, = =,绳已拉直,现令滑块落下 , 求它下落到 处时的速率.

解 : 取 点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有

式中 为弹簧在 点时比原长的伸长量,则

联立上述两式,得

题 2-17图

2-18 如题 2-18图所示, 一物体质量为 2kg ,

以初速度 =3m ·s -1从斜面 点处

下滑,它与斜面的摩擦力为 8N

,到达 点后压缩弹簧 20cm 后停止,然后又被弹

回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度. 解 : 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有

式中 , ,再代入有关数据,解得

题 2-18图

再次运用功能原理,求木块弹回的高度

代入有关数据,得

,

则木块弹回高度

题 2-19图

2-19 质量为 的大木块具有半径为 的四分之一弧形槽, 如题 2-19图所示. 质 量为 的小立方体从曲面的顶端滑下, 大木块放在光滑水平面上, 二者都作无摩 擦的运动,而且都从静止开始,求小木块脱离大木块时的速度.

解 : 从 上下滑的过程中,机械能守恒,以 , ,地球为系统,以最低点为重力势能零点,则 有

又下滑过程,动量守恒,以

, 为系统则在 脱离 瞬间,水平方向有

联立,以上两式,得

2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞, 试证碰后两小球 的运动方向互相垂直.

证 : 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有

即

①

题 2-20图 (a) 题 2-20图 (b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有

亦即

②

由②可作出矢量三角形如图 (b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理,且以 为斜边,故知 与 是 互相垂直的.

2-21 一质量为 的质点位于 () 处,速度为 , 质点受到一个沿 负方向的力 的作用, 求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力 矩.

解 : 由题知,质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以,质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为 =8.75×

1010m 时的速率是 =5.46×104 m ·s -1

,它离太阳最远时的速率是 =9.08×

102m ·s -1 这时它离太阳的距离 多少 ?(太阳位于椭圆的一个焦点。 )

解 : 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 —— 即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近 日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有

∴

2-23 物体质量为 3kg , =0时位于 , ,

如一恒力 作用在物体上 , 求 3秒后, (1)物体动量的变化; (2)相对 轴角动量的变化. 解 : (1)

(2)解 (一 )

即

,

即

,

∴

∴

解 (二 ) ∵ ∴

题 2-24图

2-24 平板中央开一小孔,质量为 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质

量为 的重物. 小球作匀速圆周运动,

当半径为 时重物达到平衡. 今在 的 下方再挂一质量为 的物体, 如题 2-24图. 试问这时小球作匀速圆周运动的角 速度 和半径 为多少 ?

解 : 在只挂重物时 ,小球作圆周运动的向心力为 ,即

①

挂上 后,则有

②

重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.

即

③

联立①、②、③得

2-25 飞轮的质量 =60kg ,半径 =0.25m ,绕其水平中心轴 转动,转速为 900rev ·min -1.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 , 可使飞轮减速. 已知闸杆的尺寸如题 2-25图所示, 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:

(1)设 =100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动 ? 在这段时间里飞轮转了几 转 ?

(2)如果在 2s 内飞轮转速减少一半,需加多大的力 ?

解 : (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图 (如图 (b)).图中 、 是正压力, 、 是摩擦力, 和 是杆在 点转轴处所受支承力, 是轮的重力, 是轮在 轴处所受支承力.

题 2-25图(a )

题 2-25图 (b)

杆处于静止状态,所以对 点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有

对飞轮,按转动定律有 ,式中负号表示 与角速度 方向相反.

∵

∴

又∵

∴

①

以 等代入上式,得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里,飞轮转了 转.

(2),要求飞轮转速在 内减少一半,可知

用上面式 (1)所示的关系,可求出所需的制动力为

2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动.设 大小圆柱体的半径分别为 和 ,质量分别为 和 .绕在两柱体上的细绳分 别与物体 和 相连, 和 则挂在圆柱体的两侧,如题 2-26图所示.设 =0.20m, =0.10m , =4 kg , =10 kg , ==2 kg ,且开始时 , 离地均为 =2m .求:

(1)柱体转动时的角加速度;

(2)两侧细绳的张力.

解 : 设

, 和 β分别为

, 和柱体的加速度及角加速度,方向如图 (如图 b) .

题 2-26(a)图 题 2-26(b)图

(1)

, 和柱体的运动方程如下:

①

②

③

式中

而

由上式求得

(2)由①式

由②式

2-27 计算题 2-27图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱 体, 其质量为 , 半径为 , 在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转, 忽略桌面与物体 间的摩擦,设 =50 kg , =200 kg,M=15 kg, =0.1 m

解 : 分别以

, 滑轮为研究对象,受力图如图 (b)所示.对 , 运用牛顿定律,有

①

②

对滑轮运用转动定律,有

③

又,

④

联立以上 4个方程,得

题 2-27(a)图 题 2-27(b)图

题 2-28图

2-28 如题 2-28图所示,一匀质细杆质量为 ,长为 ,可绕过一端 的水平轴 自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求:

(1)初始时刻的角加速度;

(2)杆转过 角时的角速度 .

解 : (1)由转动定律,有

∴

(2)由机械能守恒定律,有

∴

题 2-29图

2-29 如题 2-29图所示,质量为 ,长为 的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水 平轴 无摩擦地转动, 它原来静止在平衡位置上. 现有一质量为 的弹性小球飞 来, 正好在棒的下端与棒垂直地相撞. 相撞后, 使棒从平衡位置处摆动到最大角 度 30°处.

(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速 的值;

(2)相撞时小球受到多大的冲量 ?

解 : (1)设小球的初速度为 ,棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ,而小球的速度变为 ,按题意,小 球和棒作弹性碰撞,所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律,可列式:

①

②

上两式中 ,碰撞过程极为短暂,可认为棒没有显著的角位移;碰撞后,棒从竖直位置上摆到最 大角度 ,按机械能守恒定律可列式:

③

由③式得

由①式

④

由②式

⑤

所以

求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.

题 2-30图

2-30 一个质量为 M 、半径为 并以角速度 转动着的飞轮 (可看作匀质圆盘 ) , 在某一瞬时突然有一片质量为 的碎片从轮的边缘上飞出,见题 2-30图.假定 碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.

(1)问它能升高多少 ?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能.

解 : (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

设碎片上升高度 时的速度为 ,则有

令 ,可求出上升最大高度为

(2)圆盘的转动惯量 ,碎片抛出后圆盘的转动惯量 ,碎片脱离前,盘的

角动量为 ,碎片刚脱离后,碎片与破盘之间的内力变为零,但内力不影响系统的总角动量,碎片与破 盘的总角动量应守恒,即

式中 为破盘的角速度.于是

得 (角速度不变 )

圆盘余下部分的角动量为

转动动能为

题 2-31图

2-31 一质量为 、半径为 R 的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上,可绕轴 自由转动.另一质量为 的子弹以速度 射入轮缘 (如题 2-31图所示方向 ) .

(1)开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值 ?

(2)用 , 和 表示系统 (包括轮和质点 ) 最后动能和初始动能之比.

解 : (1)射入的过程对 轴的角动量守恒

∴

(2)

2-32 弹簧、 定滑轮和物体的连接如题 2-32图所示, 弹簧的劲度系数为 2.0 N ·m -1; 定滑轮的转动惯量是 0.5kg ·m 2,半径为 0.30m ,问当 6.0 kg质量的物体落下 0.40m 时,它的速率为多大 ? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长.

解 : 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒,以最低点为重力势能零点, 弹簧原长为弹性势能零点,则有

又

故有

题 2-32图 题 2-33图

2-33 空心圆环可绕竖直轴 自由转动, 如题 2-33图所示,

其转动惯量为 , 环半径为 ,初始角速度为 .质量为 的小球,原来静置于 点,由于微小

的干扰, 小球向下滑动. 设圆环内壁是光滑的,

问小球滑到 点与 点时, 小球 相对于环的速率各为多少 ?

解 : (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒,当小球滑至 点时,有

①

该系统在转动过程中,机械能守恒,设小球相对于圆环的速率为 ,以 点为重力势能零点,则有

②

联立①、②两式,得

(2)当小球滑至 点时,∵ ∴

故由机械能守恒,有

∴

请读者求出上述两种情况下,小球对地速度.

第三章 相对论

3-1 惯性系 S ′相对惯性系 以速度 运动.当它们的坐标原点 与 重合时, ==0,发出一光波,此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何 ? 用 直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.

解 : 由于时间和空间都是均匀的,根据光速不变原理,光讯号为球面波.波阵面方程为:

题 3-1图

3-2 设图 3-4中车厢上观测者测得前后门距离为 2.试用洛仑兹变换计算地面 上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.

解 : 设光讯号到达前门为事件 ,在车厢 系时空坐标为 ,在车站 系:

光信号到达后门为事件 ,则在车厢 系坐标为 ,在车站 系:

于是

或者

3-3 惯性系 S ′相对另一惯性系 沿 轴作匀速直线运动,取两坐标原点重合 时刻作为计时起点.在 S 系中测得两事件的时空坐标分别为 =6×104m, =2×10-4s , 以及 =12×104m, =1×10-4s . 已知在 S ′系中测得该两事件同时发生. 试 问:(1)S′系相对 S 系的速度是多少 ? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是 多少 ?

解 : 设 相对 的速度为 ,

(1)

由题意

则

故

(2)由洛仑兹变换

代入数值,

3-4 长度 =1 m 的米尺静止于 S ′系中,与 ′ 轴的夹角 =30°, S ′系相对 S 系沿 轴运动,在 S 系中观测者测得米尺与 轴夹角为 45. 试求:(1)S′ 系和 S 系的相对运动速度 .(2)S系中测得的米尺长度.

解 : (1)米尺相对 静止,它在 轴上的投影分别为:

,

米尺相对 沿 方向运动,设速度为 ,对 系中的观察者测得米尺在 方向收缩,而 方向的长度不 变,即

故

把 及 代入

则得

故

(2)在 系中测得米尺长度为

3-5 一门宽为 ,今有一固有长度 (>) 的水平细杆,在门外贴近门的平面 内沿其长度方向匀速运动. 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此 门,则该杆相对于门的运动速率 至少为多少 ?

解 : 门外观测者测得杆长为运动长度, ,当 时,可认为能被拉进门,则

解得杆的运动速率至少为:

题 3-6图

3-6两个惯性系中的观察者 和 以 0.6c(c表示真空中光速 ) 的相对速度相互 接近,如果 测得两者的初始距离是 20m ,则 测得两者经过多少时间相遇 ?

解

: 测得相遇时间为

测得的是固有时

∴

,

,

,

或者, 测得长度收缩,

3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 和 中,甲测得在同一地点发生 的两事件的时间间隔为 4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s.求:

(1) 相对于 的运动速度.

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.

解 : 甲测得 , 乙测得 ,坐标差为 ′

(1)∴

解出

(2)

∴

负号表示 .

3-8 一宇航员要到离地球为 5光年的星球去旅行. 如果宇航员希望把这路程缩短 为 3光年,则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少 ?

解 :

∴

3-9 论证以下结论:在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点, 在有相对 运动的其他惯性系中,这两个事件一定不同时.

证 : 设在 系 事件在 处同时发生,则 ,在 系中测得

,

∴

即不同时发生.

3-10 试证明:

(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的,则对一切惯性系来说这两 个事件的时间间隔,只有在此惯性系中最短.

(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的,则对一切惯性关系来说这两个 事件的空间间隔,只有在此惯性系中最短.

解 : (1)如果在 系中,两事件 在同一地点发生,则 ,在 系中, , 仅当 时,等式成立,∴ 最短.

(2)若在 系中同时发生, 即 , 则在 系中, , 仅当 时等式成立, ∴ 系中 最短.

3-11 根据天文观测和推算,宇宙正在膨胀,太空中的天体都远离我们而去.假 定地球上观察到一颗脉冲星 (发出周期无线电波的星 ) 的脉冲周期为 0.50s, 且这 颗星正沿观察方向以速度 0.8c 离我们而去.问这颗星的固有周期为多少 ?

解 : 以脉冲星为 系, ,固有周期 . 地球为 系,则有运动时 ,这里 不是地球上某点观测到的周期,而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考虑因飞行远离信号的传

递时间,

∴

′

则

3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个 介子以速度 =0.998c飞向地球.假 定该 介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10-6s .试分别从下面两 个角度,即地球上的观测者和 介子静止系中观测者来判断 介子能否到达地 球.

解 : 介子在其自身静止系中的寿命 是固有 (本征 ) 时间, 对地球观测者, 由于时间膨胀 效应,其寿命延长了.衰变前经历的时间为

这段时间飞行距离为

因 ,故该 介子能到达地球.

或在 介子静止系中, 介子是静止的.地球则以速度 接近介子,在

时间内,地球接近的距离为

经洛仑兹收缩后的值为:

,故 介子能到达地球.

3-13 设物体相对 S ′系沿 轴正向以 0.8c 运动,如果 S ′系相对 S 系沿 x 轴正 向的速度也是 0.8c ,问物体相对 S 系的速度是多少 ?

解 : 根据速度合成定理, ,

∴

3-14 飞船 以 0.8c 的速度相对地球向正东飞行,飞船 以 0.6c 的速度相对地 球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时 飞船在自己的天窗处相隔 2s 发射两 颗信号弹.在 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少 ?

解 : 取 为

系,地球为 系,自西向东为 () 轴正向,则 对 系的速度 ,

系对 系的速度为 ,则 对 系 (船 ) 的速度为

发射弹是从 的同一点发出,其时间间隔为固有时 ,

题 3-14图

∴ 中测得的时间间隔为:

3-15 (1)火箭 和 分别以 0.8c 和 0.6c 的速度相对地球向 +和 -方向飞 行.试求由火箭 测得 的速度. (2)若火箭 相对地球以 0.8c 的速度向 +方 向运动,火箭 的速度不变,求 相对 的速度.

解 : (1)如图 ,取地球为 系, 为 系,则 相对 的速度 ,火箭 相对

的速度

,则 相对

() 的速度为:

或者取 为 系,则 , 相对 系的速度 ,于是 相对 的速度为:

(2)如图 ,取地球为 系,火箭 为 系, 系相对 系沿 方向运动,速度 ,

对

系的速度为

, , , 由洛仑兹变换式 相对 的速度为:

∴ 相对 的速度大小为

速度与 轴的夹角 为

题 3-15图

3-16 静止在 S 系中的观测者测得一光子沿与 轴成 角的方向飞行. 另一观测 者静止于 S ′系, S ′系的 轴与 轴一致,并以 0.6c 的速度沿 方向运动.试 问 S ′系中的观测者观测到的光子运动方向如何 ?

解

: 系中光子运动速度的分量为

由速度变换公式,光子在 系中的速度分量为

光子运动方向与 轴的夹角 满足

在第二象限为

在 系中,光子的运动速度为

正是光速不变.

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为 0.1c ,须对它作多少功 ?(2)如果将电 子由速率为 0.8c 加速到 0.9c ,又须对它作多少功 ?

解 : (1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得

J=

(2)

)

3-18 子静止质量是电子静止质量的 207倍,静止时的平均寿命 =2×10-6s , 若它在实验室参考系中的平均寿命 = 7×10-6s ,试问其质量是电子静止质量的 多少倍 ?

解 : 设 子静止质量为 ,

相对实验室参考系的速度为 , 相应质量为 , 电子静止质量为 , 因

由质速关系,在实验室参考系中质量为:

故

3-19 一物体的速度使其质量增加了 10%,试问此物体在运动方向上缩短了百分 之几 ?

解 : 设静止质量为 ,运动质量为 ,

由题设

由此二式得

∴

在运动方向上的长度和静长分别为 和 ,则相对收缩量为:

3-20 一电子在电场中从静止开始加速,试问它应通过多大的电势差才能使其质 量增加 0.4%?此时电子速度是多少 ? 已知电子的静止质量为 9.1×10-31kg .

解 : 由质能关系

∴

=

所需电势差为 伏特

大学物理学第三版课后题答案[1]

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以v 0(m·s 速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

-1

) 的

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 l

2

=h 2+s 2

将上式对时间t 求导，得

2l

d l d s =

2s d t d t

题1-4图

根据速度的定义，并注意到l , s 是随t 减少的，

∴ v 绳

=-

d l d s

=v 0, v 船=- d t d t

即 v 船

=-

v d s l d l l =-=v 0=0d t s d t s cos θ

lv 0(h 2+s 2) 1/2v 0

=或 v 船=s s

将v 船再对t 求导，即得船的加速度

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t m ?s

-2

，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，求该质

点在t ＝10s 时的速度和位置．

解：∵ a =

d v

=4+3t d t

分离变量，得 d v =(4+3t ) d t

积分，得

3

v =4t +t 2+c 1

2

由题知，t

=0, v 0=0 ,∴c 1=0

故 v

3=4t +t 2

2

又因为 v =

d x 3=4t +t 2 d t 2

分离变量， d x

3

=(4t +t 2) d t

2

1

=2t 2+t 3+c 2

2

积分得 x

由题知 t

=0, x 0=5 ,∴c 2=5

故 x

1

=2t 2+t 3+5

2

所以t =10s 时

v 10=4?10+

3

?102=190m ?s -12

1

x 10=2?102+?103+5=705m

2

-1

1-10 以初速度v 0＝20m ?s

抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径R 1；(2)落地处的曲率半径R 2．

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图 (1)在最高点，

v 1=v x =v 0cos 60o a n 1=g =10m ?s -2

又∵ a n

1

=

v 12

ρ1

v 12(20?cos 60?) 2

ρ1==

a n 110∴

=10m

(2)在落地点，

v 2=v 0=20m ?s -1,

而 a n

2

=g ?cos 60o

∴

2v 2(20) 2

ρ2===80m

a n 210?cos 60?

-1

-1

1-13 一船以速率v 1＝30km ·h 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v 2＝40km ·h 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何? 在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有v 21

=v 2-v 1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-13图

由图可知 v 21

2

=v 12+v 2=50km ?h -1

方向北偏西 θ

v 3

=1==36. 87?

v 24

=v 1-v 2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

(2)小船看大船，则有v 12

v 12=50km ?h -1

2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度v 0运动，v 0的方向与斜面底边的水平线

AB

平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N . 建立坐标：取v 0方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴. 如图

2-2.

题2-2图

X

方向： F x =0 x =v 0t ①

Y

方向： F y =mg sin α=ma y ②

t =0时 y =0 v y =0

y =

由①、②式消去t ，得

1

g sin αt 2 2

y =

12

g sin α?x 2

2v 0

2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数) 作用，t =0时质点的速度为v 0，证明(1) t 时刻的速度为v ＝v 0e

k -() t m

；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为

m v x ＝(0

k

) ［1-e

-(

k ) t m

］；(3)停止运动前经过的距离为v 0(

m

) ；(4)证明当t =k 时速度减至v 0的k

1

，式中m 为质点的质量． e

答: (1)∵ a

=

-kv d v

= m d t

分离变量，得

d v -k d t

=v m

t -k d t d v =?即 ?v 0v 0m

v

v -kt ln =ln e v 0

k -m t

∴ v

=v 0e

(2) x

=?v d t =?v 0e

t

k

-t

d t =

mv 0-k t

(1-e ) k

(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞，

故有 x '=?v 0e

∞

k -t

d t =

m v 0

k

(4)当t=

m k

时，其速度为

v =v 0e

k m -?=v 0e -1=

v 0

e

即速度减至v 0的

1. e

-1

2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0m ?s

，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F

=(a -bt )N(a , b 为常数) ，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

F =(a -bt ) =0, 得t =

(2)子弹所受的冲量

a b

1

I =?(a -bt ) d t =at -bt 2

02

t

将t =

a

代入，得 b

a 2I =

2b

(3)由动量定理可求得子弹的质量

I a 2

m ==

v 02bv 0

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，

能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同． 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为

y 坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2-13图

f =-ky

第一锤外力的功为A 1

A 1=?f 'd y =?-f d y =?ky d y =

s

s

1

k

① 2

→0时，f '=-f

．

式中

f '是铁锤作用于钉上的力，f 是木板作用于钉上的力，在d t

设第二锤外力的功为

A 2，则同理，有

y 2

A 2=?ky d y =

1

12k ky 2-22

②

由题意，有

1k

A 2=A 1=?(mv 2) = ③

22

即

12k k

ky 2-= 222

所以，

y 2=2

于是钉子第二次能进入的深度为

?y =y 2-y 1=2-1=0. 414cm

2-15 一根劲度系数为k 1的轻弹簧A 的下端，挂一根劲度系数为k 2的轻弹簧B ，B 的下端

一重物C ，C 的质量为M ，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比．

解: 弹簧A 、B 及重物C 受力如题2-15图所示平衡时，有

题2-15图

F A =F B =Mg

又 F A =k 1?x 1

F B =k 2?x 2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x 1k 2

=?x 2k 1

弹性势能之比为

E p 1E p 2

1

k 1?x 12

k

==2

1k 12k 2?x 22

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m 1和m 2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k ，自然长度等于水平距离BC ，m 2与桌面间的摩擦系数为μ，

最初m 1静止于

A 点，AB

＝BC ＝h ，绳已拉直，现令滑块落下m 1, 求它下落到B 处时的速率．

解: 取B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

-μm 2gh =

式中?l 为弹簧在

11

(m 1+m 2) v 2-[m 1gh +k (?l ) 2] 22

A 点时比原长的伸长量，则

?l =AC -BC =(2-1) h

联立上述两式，得

v =

2(m 1-μm 2)gh +kh 2

m

1+m 2

2-1

2

题2-17图

2-19 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

mgR =

11mv 2+MV 22

2

又下滑过程，动量守恒，以m , M 为系统则在m 脱离M 瞬间，水平方向有

mv -MV =0

联立，以上两式，得

v =

2MgR

m +M 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?

解: l '

3

=3=l 0-β2=5-β2, 则=-β2

5

∴ v =1-

94c =c 255

3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π介子以速度v =0.998c飞向地球．假定该π介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10s ．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和π介子静止系中观测

-6

者来判断π介子能否到达地球．

解: π介子在其自身静止系中的寿命?t 0

=2?10-6s 是固有(本征) 时间，对地球观测者，由于时间膨

胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

?t =

?t 0

v 21-2

c

=3. 16?10-5s

这段时间飞行距离为d =v ?t =9470m

因d >6000m ，故该π介子能到达地球．

或在π介子静止系中，π介子是静止的．地球则以速度v 接近介子，在?t 0时间内，地球接近的距离为

d '=v ?t 0=599m

d 0=6000m 经洛仑兹收缩后的值为：

'=d 0d 0

v 2

1-2=379m

c

'，故π介子能到达地球． d '>d 0

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

?E k =E k =mc 2-m 0c 2=m 0c 2(γ-1) =m 0c 2(

1-v

c 2

2

-1)

=9. 1?10-31?(3?108) 2(

1-0. 1

2

-1)

=4. 12?10-16J=2. 57?103eV

'(2) ?E k

=E k 2-E k 1=(m 2c 2-m 0c 2) -(m 1c 2-m 0c 2)

1-v

c

222

=m 2c 2-m 1c 2=m 0c 2(

-

1-v c

212

) )

=9. 1?10-31?32?1016(

1-0. 9

2

-

1-0. 8

2

)

=5. 14?10-14J =3. 21?105eV

4-5 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为时质点的状态分别是：

(1)x 0

A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果t =0

=-A ；

A

处向负向运动； 2

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x

=

(4)过x =-

A 2

处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ?

?x 0=A cos φ0?v 0=-ωA sin φ0

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

φ1=π

φ2=πφ3=

π

3

32

φ4=

5π4

2π

t +π) T 2π3

x =A cos(t +π)

T 22ππ

x =A cos(t +)

T 32π5

x =A cos(t +π)

T 4x =A cos(

4-8 图为两个谐振动的x -t 曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

3

=0时，x 0=0, v 0>0, ∴φ0=π, 又, A =10cm , T =2s

2

2π

=πrad ?s -1 即 ω=T

3

故 x a =0. 1cos(πt +π) m

2

A 5π, v 0>0, ∴φ0=由题4-8图(b)∵t =0时，x 0= 23

解：由题4-8图(a)，∵t

2

55

又 φ1=ω?1+π=π

325

∴ ω=π

6

55π

) m 故 x b =0. 1cos(πt +

63

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0. 20m ，位相与第一振动的位相差为已知第一振动的振幅为0. 173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．

t 1=0时，x 1=0, v 1<0, ∴φ1="">

π

π

6

，

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A 2=A 12+A 2-2A 1A cos 30?

=(0. 173) 2+(0. 2) 2-2?0. 173?0. 2?3/2

=0. 01

∴ 设角

A 2=0. 1m

AA 1O 为θ

，则

2

A 2=A 12+A 2-2A 1A 2cos θ

2

A 12+A 2-A 2(0. 173) 2+(0. 1) 2-(0. 02) 2

cos θ==

即 2A 1A 22?0. 173?0. 1

=0

即θ

=

π

2

，这说明，A 1与A 2间夹角为

π

2

，即二振动的位相差为

π2

.

4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

π?

x =0. 4cos(2t +) m ?1

6 ?5

?x 2=0. 3cos(2t -π) m

6?

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ?φ∴

=

π

5

-(-π) =π66

A 合=A 1-A 2=0. 1m

0. 4?sin

5π

A sin φ1+A 2sin φ2=

tan φ=1=

5A 2cos φ1+A 2cos φ230. 4cos +0. 3cos

66

π

∴ φ=

6

-0. 3sin

其振动方程为

π

x =0. 1cos(2t +

(作图法略)

π

6

) m

5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

y =A cos(Bt -Cx ) ，其中A ，B ，C 为正值

(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

y =A cos(Bt -Cx ) (x ≥0)

将上式与波动方程的标准形式

y =A cos(2πυt -2π

比较，可知：

x

λ

)

波振幅为

A ，频率υ=

B 2π

，

波长λ=

2πC =

，波速u =λυ=

B ， C

波动周期T

1

υ

=

2πB

．

(2)将x =l 代入波动方程即可得到该点的振动方程

y =A cos(Bt -Cl )

(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为

?φ=

2π

λ

(x 2-x 1)

将x 2-x 1=d ，及λ=

2πC

代入上式，即得

?φ=Cd ．

5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为(1)波的波速、频率和波长；

y =0.05cos(10πt -4πx ) ，式中x , y 以米计，求： t 以秒计．

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x =0.2m 处质点在t =1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相? 这一位相所代表的运动状态在

t =1.25s时刻到达哪一点?

解: (1)将题给方程与标准式

y =A cos(2πυt -

2π

λ

x )

相比，得振幅

A =0. 05m ，频率υ=5s -1，波长λ=0. 5m ，波速u =λυ=2. 5m ?s -1．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

v max =ωA =10π?0. 05=0. 5πm ?s -1

a max =ω2A =(10π) 2?0. 05=5π2m ?s -2

(3)x

=0. 2 m处的振动比原点落后的时间为

x 0. 2==0. 08s u 2. 5

故x

=0. 2m , t =1s 时的位相就是原点(x =0) ，在t 0=1-0. 08=0. 92s 时的位相，

即 φ=9. 2π．

设这一位相所代表的运动状态在t =1. 25s 时刻到达x 点，则

x =x 1+u (t -t 1) =0. 2+2. 5(1. 25-1. 0) =0. 825

5-16 题5-16图中(a)表示t =0时刻的波形图，(b)表示原点(x =0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x =2m处质元的振动曲线．

解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T

=2s , A =0. 2m ，且t =0时，y 0=0, v 0>0，

故知φ0

=-

π

2

, 再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x 轴负向传播，

且λ

=4m ，若取y

=A cos[2π(

t x

+) +φ0] T λ

题5-16图

则波动方程为

t x π

y =0. 2cos[2π(+) -]

242

-3

-2

-1

5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm 的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10J ·m ·s ，频率为300 Hz ，波速为300m ·s ，求 ：

(1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I

-1

=u

I 10-3

=18. 0?=6?10-5J ?m -3 ∴ =u 300

w max =2=1. 2?10-4 J ?m -3

11u ==πd 2λ=πd 2

44ν

1300

=6?10-5?π?(0. 14) 2?=9. 24?10-7J

4300

5-18 如题5-18图所示，S 1和S 2为两相干波源，振幅均为A 1，相距(1) S 1外侧各点的合振幅和强度； (2) S 2外侧各点的合振幅和强度

(2) W

λ

4

，S 1较S 2位相超前

π2

，求：

解：（1）在S 1外侧，距离S 1为r 1的点，S 1S 2传到该P 点引起的位相差为

2π?λ?

r -(r +) ?=π 11?λ?4?

?φ=

π

2

-

A =A 1-A 1=0, I =A 2=0

（2）在S 2外侧. 距离S 2为r 1的点，S 1

S 2传到该点引起的位相差.

?φ=

π

2

-

2π

λ

(r 2+

λ

4

-r 2) =0

2

A =A 1+A 1=2A 1, I =A 2=4A 1

5-19 如题5-19图所示，设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播，它在B 点的振动方程为

y 1=2?10-3cos 2πt ; C 点发出的平面横波沿CP 方向传播，它在C 点的振动方程为

CP ＝0.5 m ，本题中y 以m 计，设BP ＝0.4m ，波速u =0.2m·s y 2=2?10-3cos(2πt +π) ，t 以s 计．

求：

(1)两波传到P 点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P 处合振动的振幅； *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P 处合振动的振幅．

-1

，

解: (1) ?φ

=(φ2-?1) -

2π

λ

(CP -BP )

=π-

ω

u

(CP -BP )

=π

-

2π

(0. 5-0. 4) =0 0. 2

题5-19图

(2)P 点是相长干涉，且振动方向相同，所以

A P =A 1+A 2=4?10-3m

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

A =

2

A 12+A 2=2A 1=22?10-3=2. 83?10-3

6-13 试说明下列各量的物理意义．

（1）

1kT 2

（2）

3kT 2

（3）

i kT 2

（4）

i M i

RT （5）RT

2M mol 2

（6）

3

RT 2

解：(1) 在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为

1

k T ． 2

(2) 在平衡态下，分子平均平动动能均为

3kT 2

.

(3) 在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量均为

i kT 2

.

(4) 由质量为M ，摩尔质量为M mol ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为

M i

RT .

M mol 2

(5) 1摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能为

i RT 23RT 2

.

(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能能之总和为

，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动

3RT 2

.

6-20 容器中储有氧气，其压强为p ＝0.1 MPa(即1atm) 温度为27℃，求

(1)单位体积中的分子n ；(2)氧分子的质量m ；(3)气体密度ρ；(4)分子间的平均距离e ；(5)平均速率v ；(6)

方均根速率

v 2

；(7)分子的平均动能ε．

解：(1)由气体状态方程

p =nkT 得

p 0. 1?1. 013?105

n ===2. 45?1024m -3 -23

kT 1. 38?10?300

(2)氧分子的质量

m =

M mol 0. 032-26

kg ==5. 32?1023

N 06. 02?10

M

RT 得 M mol

(3)由气体状态方程

pV =

M mol p 0. 032?0. 1?1. 013?105ρ===0. 13 kg ?m -3

RT 8. 31?300

(4)分子间的平均距离可近似计算

=

1

n

=

1

2. 45?1024

=7. 42?10-9 m

(5)平均速率

=1. RT 8. 31?300

≈1. =446. 58 m ?s -1

M mol 0. 032

(6) 方均根速率

2≈1. 73

RT

=482. 87m ?s -1

M mol

(7) 分子的平均动能

=

55

kT =?1. 38?10-23?300=1. 04?10-20J 22

-3

-5

6-23 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg) ，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d ＝3×10m) ．

-10

解：由气体状态方程

p =nkT 得

p 1. 38?10-3-317

m n ===3. 33?10

kT 1. 38?1023?300

由平均自由程公式 =

12d n

2

=

1

2π?9?10

-20

?3. 33?10

17

=7. 5 m

7-10 如题7-10图所示，一系统由状态a 沿acb 到达状态b 的过程中，有350 J 热量传入系统，而系统作功126 J．

(1)若沿adb 时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?

(2)若系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热? 热量传递是多少

?

题7-10图

解：由abc 过程可求出b 态和a 态的内能之差

Q =?E +A

?E =Q -A =350-126=224 J

abd

A =42 J

过程，系统作功

Q =?E +A =224+42=266J 系统吸收热量

ba 过程，外界对系统作功A =-84J

Q =?E +A =-224-84=-308J 系统放热

7-14 理想气体由初状态(p 1, V 1) 经绝热膨胀至末状态(p 2, V 2) ．试证过程中气体所作的功为

A =p 1V 1-p 2V 2

γ-1，式中γ为气体的比热容比.

答：证明： 由绝热方程

pV γ=p 1V 1γ=p 2V 2γ=C 得p =p 1V 1γ1V γ

A =?p d V V 1V 2

A =?V 2

V 1d v p 1V 1γ11p 1V 1r =-(γ-1-γ-1) v γ-1V 2V 1γ

=-p 1V 1V 1γ-1[() -1] γ-1V 2

p 1V 1γ又 A =-(V 2-γ+1-V 1-γ+1) γ-1

p 1V 1γV 1-γ+1-p 2V 2γV 2-γ+1 = γ-1

所以 A =p 1V 1-p 2V 2

γ-1

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算

(1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?

(3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率 η=1-T 2

T 1

η=1-

(2)低温热源温度不变时，若 300=70% 1000

η=1-300=80% T 1

要求 T 1=1500K ，高温热源温度需提高500K

(3)高温热源温度不变时，若 η=1-T 2=80% 1000

要求 T 2=200K ，低温热源温度需降低100K

7-23 把0℃的0.5kg 的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：

(1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大?

(3)水和热源的总熵变多大? 增加还是减少?(水的熔解热λ=334 J ?g -1) 解：(1)水的熵变

Q 0. 5?334?103

?S 1===612 J ?K -1 T 273

(2)热源的熵变

Q -0. 5?334?103

?S 2===-570 J ?K -1 T 293

(3)总熵变

?S =?S 1+?S 2=612-570=42 J ?K -1

熵增加

大学物理学第三版课后题答案

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示(当人以

,1v(m?)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小( s0

图1-4 解: 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知 l,

222 l,h，s

将上式对时间求导，得 t

dlds2l,2s 题1-4图 dtdt

s根据速度的定义，并注意到,是随减少的， lt

dldsvv,v? ,,,,, 0绳船dtdt

vddslll0即 v,,,,,v,0船ddcos,tsts

221/2lvhsv(，)00v,,或 船ssv将再对求导，即得船的加速度 t船

,2axv1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 ,4+3 m,s，开始运动时，,5 m t

=0，求该质点在,10s 时的速度和位置( t

dv 解:? a,,4，3tdt

分离变量，得 dv,(4，3t)dt

32积分，得 v,4t，t，c 12

v,0由题知，, ,?c,0 t,001

32故 v,4t，t2

dx32v,,4t，t又因为 dt2

32分离变量， dx,(4t，t)dt2

123x,2t，t，c积分得 22

x,5c,5由题知 , ,? t,002

123故 x,2t，t，5 2t,10s时 所以

3,21v,4，10，，10,190m,s102 123x,2，10，，10，5,705m102

,1v1-10 以初速度,20m,s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60?的夹角， 0

RR求:(1)球轨道最高点的曲率半径;(2)落地处的曲率半径( 21

(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示(

题1-10图

(1)在最高点，

ov,v,vcos60 x10

,2a,g,10m,sn1

2v1又? ,an1,1

22v(20，cos60:)1,,,110a? n1

,10m

(2)在落地点，

,1v,v,20, m,s20

o而 a,g，cos60n2

22v(20)2? ,,,,80m2a10，cos60:n2

-1-1vv1-13 一船以速率,30km?h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率,40km?h 12

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

,,,v,v,v 解:(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 2121

题1-13图

22,1由图可知 v,v，v,50km,h2112

v31,,arctan,arctan,36.87: 方向北偏西 v42

,,,v,v,v(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 1212

,1v,50km,h 12

,vv2-2 一个质量为的质点，在光滑的固定斜面(倾角为)上以初速度运动，的方向P00

与斜面底边的水平线 AB

,v解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标:取方向为轴，平行斜mgXN0面与轴垂直方向为轴.如图2-2. YX

题2-2图

x,vtF,0方向: ? X0x

F,mgsin,,ma方向: ? Yyy

v,0y,0时 t,0y

12 y,gsin,t2由?、?式消去，得 t

12y,gsin,,x 22v02-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力(为常数)作用，=0时质点的kvkt

k,()tmvv速度为，证明(1) 时刻的速度为,;(2) 由0到的时间内经过的距离为 vett00

k,()tmvm0mx,(),1-,;(3)停止运动前经过的距离为v;(4)证明当t,mk时速e()0kk

1v度减至的，式中m为质点的质量( 0e

,kvdva,,答: (1)? mdt分离变量，得

dv,kdt, vm

vtvktd,d即 ,,,0v0vm

ktv,mln,lne v0

k,tm? v,ve0

kktmv,t,t0mmx,vdt,vedt,(1,e)(2) 0,,0k(3)质点停止运动时速度为零，即t??，

k,mv,t0m,x,vedt,故有 0,0k

m (4)当t=时，其速度为 k

kmv,,,10mkvveve,,, 00e

1v即速度减至的. 0e

,1vm,s2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 0

=()N(为常数)，其中以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，F a,ba,btt

试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量((3)求子弹的质量( 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

aF,(a,bt),0,得 t,b(2)子弹所受的冲量

t12()d I,a,btt,at,bt,02

a将代入，得 t,b

2a,I 2b

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2Ia m,,v2bv00

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在

铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为 y

题2-13图

f,,ky第一锤外力的功为A 1

1k,ddd ? ,,,,,Afyfykyy1,,,ss02

,,式中f是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在时，f,,f( dt,0

A设第二锤外力的功为，则同理，有 2

y1k22d ? ,,,Akyyky22,122由题意，有

1k2() ? A,A,,mv,2122

1kk2即 ky,,2222

y,2所以， 2

于是钉子第二次能进入的深度为

,y,y,y,2,1,0.414cm 21

kk2-15 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端 ABB12一重物，的质量为，如题2-15图(求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 MCC

解: 弹簧及重物受力如题2-15图所示平衡时，有 A、BC

题2-15图

F,F,Mg AB

F,k,x又 A11

F,k,x B22

所以静止时两弹簧伸长量之比为

,xk12, ,xk21

弹性势能之比为

12kx,11Ekp212 ,,1Ek2p12kx,222

mm2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为和12

m的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为，自然长度等于水平距离，与BCk2

mm桌面间的摩擦系数为，最初静止于点，,,，绳已拉直，现令滑块落下,AAB,BCh11求它下落到处时的速率( B

解: 取点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 B

1122 ,,mgh,(m，m)v,[mgh，k(,l)]212122式中为弹簧在点时比原长的伸长量，则 A,l

,l,AC,BC,(2,1)h 联立上述两式，得

22，，，，2m,,mgh，kh2,112 v,m，m12

题2-17图

m2-19 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2-19图所示(质量为的MR

小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从

静止开始，求小木块脱离大木块时的速度(

mm解: 从上下滑的过程中，机械能守恒，以，，地球为系统，以最低点为重力势MM能零点，则有

1122mgR,mv，MV 22

mm又下滑过程，动量守恒，以,为系统则在脱离瞬间，水平方向有 MM

mv,MV,0联立，以上两式，得

2MgR v,，，m，M

3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行(如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?

3222,解: l,3,l1,,,51,,,则,1,,05

94v,1,c,c? 255

,,v3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球(假定该介子

-6在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 2×10s(试分别从下面两个角度，即地球上的观

,,测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球(

,6,t,2，10s,解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，0

由于时间膨胀效应，其寿命延长了(衰变前经历的时间为

,t,50 t,,3.16，10s,2v1,2c

d,v,t,9470m这段时间飞行距离为

,d,6000m因，故该介子能到达地球(

,,,tv或在介子静止系中，介子是静止的(地球则以速度接近介子，在时间内，地球接0

,d,v,t,599m近的距离为 0

d,6000m经洛仑兹收缩后的值为: 0

2v, d,d1,,379m002c

,,d,d,，故介子能到达地球( 0

3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为

0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

12222 ,E,E,mc,mc,mc(,,1),mc(,1)000kk2v1,2c

13182,,9.1，10，(3，10)(,1) 21,0.1

,163,4.12，102.57，10eVJ=

2222,(2) ,E,E,E,(mc,mc),(mc,mc)kkk201021

11222,mc,mc,mc,) ()21022vv21,,1122cc

1131216,,，，，,9.110310() 22,,10.910.8

,145,5.14，10J,3.21，10eV

x4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数AT表示(如果时质点的状态分别是: t,0

x,,A(1); 0

(2)过平衡位置向正向运动;

Ax,(3)过处向负向运动; 2

Ax,,(4)过处向正向运动(

2

试求出相应的初位相，并写出振动方程(

,,xAcos,00解:因为 ,v,,,Asin,00,

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相(故有

,2 ,,,x,Acos(t，,)1T

,323 ,,,x,Acos(t，,)22T2

2,,, ,x,Acos(t，),33T3

,,525 ,,x,Acos(t，,)44T44-8 图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程( x,t

题4-8图

3解:由题4-8图(a)，?时， x,0,v,0,？,,,,又,A,10cm,T,2st,00002

,2,1即 ,,,,rad,sT

3故 x,0.1cos(,t，,)ma2

5A,,0,由题4-8图(b)?时，x,v,？, t,0,00023

,0,0,2t,0时，x,v,？,， ,,11112

551又 ,,,，，,,, 132

5,? ,, 6

55,故 x,0.1cos(t，)m ,b634-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动0.20m

,的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振0.173m6

动的位相差(

题4-11图

解:由题意可做出旋转矢量图如下(

由图知

222A,A，A,2AAcos30:211

22,(0.173)，(0.2),2，0.173，0.2，3/2

,0.01

? A,0.1m 2

设角AAO为,，则 1

222A,A，A,2AAcos, 1212

222222A，A,A(0.173)，(0.1),(0.02)12cos,,,即 2AA2，0.173，0.112

,0

,,,AA即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为. ,,212224-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

,,x,0.4cos(2t，)m1,6 ,5,xt,0.3cos(2,,)m26,

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

,5解:? ,,,,(,,),, 66

? A,A,A,0.1m12合

,,50.4sin0.3sin，,,,AsinAsin，3661122,tan ,,,,5,AcosAcos3,,，21220.4cos0.3cos，66

,? , ,6

其振动方程为

,x,0.1cos(2t，)m 6

(作图法略)

5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为=cos()，其中，，AAByBt,Cx

为正值恒量(求: C

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;

(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程; l

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差( d

解: (1)已知平面简谐波的波动方程

() y,Acos(Bt,Cx)x,0将上式与波动方程的标准形式

x,,, cos(22)y,At,,比较，可知:

B,波振幅为，频率， ,A2,

B2,波长，波速u,,， ,,,,CC

12,波动周期T( ,,B,

(2)将代入波动方程即可得到该点的振动方程 x,l

y,Acos(Bt,Cl) (3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为 t

,2, ,,(x,x)21,

2,x,x,d将，及代入上式，即得 ,,21C

,,,Cd(

x5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为=0.05cos(10)，式中,以米计，yy,t,4,x

以秒计(求: t

(1)波的波速、频率和波长;

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度; (3)求x=0.2m=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运t

动状态在=1.25s时刻到达哪一点? t

解: (1)将题给方程与标准式

,2,, y,Acos(2t,x),

,1,1mm，频率，波长，波速( 相比，得振幅sm,sA,0.05,,5,,0.5u,,,,2.5

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

,1v,,A,10,，0.05,0.5, m,smax

222,2a,,A,(10,)，0.05,5, m,smax

(3) m处的振动比原点落后的时间为 x,0.2

x0.2s ,,0.08u2.5

mt,1,0.08,0.92ss故,时的位相就是原点()，在时的位相， x,0.2t,1x,00

,,9.2即 π(

x设这一位相所代表的运动状态在s时刻到达点，则 t,1.25

x,x，u(t,t),0.2，2.5(1.25,1.0),0.825 11

x5-16 题5-16图中(a)表示=0时刻的波形图，(b)表示原点(=0)处质元的振动曲线，试求此t

x波的波动方程，并画出=2m处质元的振动曲线(

msy,0,v,0解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知,，且时，， T,2A,0.2t,000

,x,,故知,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿轴负向传播， ,02

txm且，若取 y,Acos[2,(，)，,],,40T,

题5-16图

则波动方程为

tx, y,0.2cos[2(，),],242

-3-2-15-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10J?m?s，频

-1率为300 Hz，波速为300m?s，求 :

(1)波的平均能量密度和最大能量密度?

(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?

解: (1)? I,wu

,3I10,5,3w,,18.0，,6，10? J,mu300

,4,3w,2w,1.2，10 J,mmax

11u22,,,,,,,(2) WVwdwd44,

1300,52,7,6，10，,，(0.14)，,9.24，10 J4300

,SSASS5-18 如题5-18图所示，和为两相干波源，振幅均为，相距，较位相超前221114

,，求: 2

S(1) 外侧各点的合振幅和强度; 1

S(2) 外侧各点的合振幅和强度 2

SSrSS解:(1)在外侧，距离为的点，传到该点引起的位相差为 P21111

,,,2，，,,,,r,(r，),, 11,,24,，，

2A,A,A,0,I,A,0 11(2)在S外侧.距离S为r的点，SS传到该点引起的位相差. 22211

2,,, ,,,(r，,r),0,2224,

22A,A，A,2A,I,A,4A 1111

5-19 如题5-19图所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为BBPB

,3y,2，10cos2,t;点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为CCPC1

,3y,2，10cos(2,t，,)，本题中以m计，以s计(设,0.4m，,0.5 m，波速BPyCPt2

-1u=0.2m?s，求:

(1)两波传到P点时的位相差;

(2)当这两列波的振动方向相同时，处合振动的振幅; P*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，处合振动的振幅( P

,2,,, 解: (1) ,,(,),(CP,BP)21,

, ,,(CP,BP),u

2,,,(0.5,0.4),0 ,0.2

题5-19图

(2)点是相长干涉，且振动方向相同，所以 P

,3mA,A，A,4，10 P12(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为，这时合振动轨迹是通过?，?象限的直线，0所以合振幅为

22,3,3 A,A，A,2A,22，10,2.83，10121

6-13 试说明下列各量的物理意义(

13i(1) (2) (3) kTkTkT222

Mii3(4)RT (5) (6) RTRT2M22mol

1解:()在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为T( k12

3()在平衡态下，分子平均平动动能均为. kT22

i()在平衡态下，自由度为的分子平均总能量均为. kT3i2

MiMRT()由质量为，摩尔质量为，自由度为的分子组成的系统的内能为. M4imolM2mol

i(5) 摩尔自由度为的分子组成的系统内能为. RT1i2

3(6) 摩尔自由度为的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的132

3平均平动动能之总和为. RT2

6-20 容器中储有氧气，其压强为p,0.1 MPa(即1atm)温度为27?，求 (1)单位体积中的分子n;(2)氧分子的质量m;(3)气体密度;(4)分子间的平均距离e;(5),

2ε平均速率v;(6)方均根速率;(7)分子的平均动能( v

p,nkT解:(1)由气体状态方程得

5p0.1，1.013，1024,3n,,,2.45，10m ,23kT1.38，10，300

(2)氧分子的质量

M0.032,26molm,,,5.32，10 kg23N6.02，100

MpV,RT 得 (3)由气体状态方程Mmol

5Mp0.032，0.1，1.013，10,3mol,,,,0.13kg,m RT8.31，300(4)分子间的平均距离可近似计算

11,9me,,,7.42，10 3324n2.45，10(5)平均速率

RT8.31，300,1 m,sv,1.60,1.60,446.58M0.032mol

(6) 方均根速率

RT2,1 m,sv,1.73,482.87Mmol(7) 分子的平均动能

55,23,20,,kT,，1.38，10，300,1.04，10 J22

-3 -5 6-23 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27?时单位体积

-10 中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d,3×10m)(

p,nkT解:由气体状态方程得

,3p1.38，1017,3n,,,3.33，10 m23kT1.38，10，300

1,,由平均自由程公式 22,dn

1,,,7.5m ,2017,2，9，10，3.33，10

a7-10 如题7-10图所示，一系统由状态沿到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，acb而系统作功126 J(

(1)若沿时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? adb

a(2)若系统由状态沿曲线返回状态时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还bab

是放热?热量传递是多少?

题7-10图

a解:由过程可求出态和态的内能之差 abcb

Q,,E，A

,E,Q,A,350,126,224 J

过程，系统作功 A,42abdJ

Q,,E，A,224，42,266 系统吸收热量 J

过程，外界对系统作功 baA,,84J

Q,,E，A,,224,84,,308 系统放热 J

7-14 理想气体由初状态经绝热膨胀至末状态(试证过程中气体所作的功(p,V)(p,V)1122为

pVpV,1122A,，式中为气体的比热容比. ,,,1

答:证明: 由绝热方程

1,,,,pV,pV,pV,C 得 ppV,112211,V

V2 A,pdV,V1

,VvpVd112,11 ApV,,,(,)11r,,1,,1,V1v,VV,121

pVV,,1111,,[(),1] ,,1V2

,pV,,，1,,，111A,,(V,V)又 21,,1

,,,，1,,,，1pVVpVV,111222, ,,1

pVpV,1122A,所以 ,,1

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率;

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

T2解:(1)卡诺热机效率 ,,1, T1

300 ,,1,,70%1000

(2)低温热源温度不变时，若

300 ,,1,,80% T1

要求 T,1500K，高温热源温度需提高 K5001

(3)高温热源温度不变时，若

T2,1,,80% , 1000

T,200要求 K，低温热源温度需降低 K1002

7-23 把kg0?的0.5的冰块加热到它全部溶化成0?的水，问: (1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ?的庞大物体，那么热源的熵变化多大?

,1J,g(3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热 ) ,,334解:(1)水的熵变

3Q0.5，334，10,1,S,,,612,K J1T273

(2)热源的熵变

3Q,0.5，334，10,1,S,,,,570,K J2T293

(3)总熵变

,1 ,S,,S，,S,612,570,42,KJ12

熵增加

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