2017考研数学:2015考研数学高数真题

解析

证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下:

以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。所以对于2017届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。在此对准备2017年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面:

首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，

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凯程考研，为学员服务，为学生引路～

书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。

其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。

基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。

再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能力的目的。

从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。下面以真题中的几道题目为例，例如:数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)

针对以上特点，老师建议各位2017考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。

比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。

对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。一定要注意总结这些基本运算的运算方法。例如，复习行列式的计算时，就要将各种类型的行列式计算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三对角线型，范德蒙行列式等等。

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2017 高数考研大纲

高等数学

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、 单调性、 周期性和奇偶性 复合函数、反函数、 分 段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函 数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷 小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼 准则 两个重要极限:

函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求

1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题的函数关系 .

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 .

3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 .

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念 .

5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极 限之间的关系 .

6. 掌握极限的性质及四则运算法则 .

7. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方 法 .

8. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极 限 .

9. 理解函数连续性的概念 (含左连续与右连续 ) ,会判别函数间断点的类型 .

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质 (有界性、 最大值和最小值定理、介值定理 ) ,并会应用这些性质 .

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函 数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分 中值定理 洛必达 (L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、 拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆 与曲率半径

考试要求

1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲 线的切线方程和法线方程, 了解导数的物理意义, 会用导数描述一些物理量, 理解函数的可 导性与连续性之间的关系 .

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则, 掌握基本初等函数的导数公式 . 了解 微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分 .

3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数 .

4. 会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 .

5. 理解并会用罗尔 (Rolle)定理、拉格朗日 (Lagrange)中值定理和泰勒 (Taylor)定理,了解并 会用柯西 (Cauchy)中值定理 .

6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 .

7. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数

的最大值和最小值的求法及其应用 .

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性 (注:在区间 内,设函数 具有二阶导数 . 当 时, 的 图形是凹的 ; 当 时, 的图形是凸的 ) ,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会 描绘函数的图形 .

9. 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径 .

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基 本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿 -莱布尼茨 (Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、 三角函数的有理式和简单无理函 数的积分 反常 (广义 ) 积分 定积分的应用

考试要求

1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念 .

2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换 元积分法与分部积分法 .

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分 .

4. 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿 -莱布尼茨公式 .

5. 了解反常积分的概念,会计算反常积分 .

6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 (平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、 平行截面面积为已知的立体体积、 功、 引力、 压力、 质心、 形心等 ) 及函数平均值 .

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域 上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、 隐函数的求导法 二阶 偏导数 多元函数的极值和条件极值、 最大值和最小值 二重积分的概念、 基本性质和计算 考试要求

1. 了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义 .

2. 了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质 .

3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全 微分,了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数 .

4. 了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元 函数极值存在的充分条件, 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简 单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题 .

5. 了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法 (直角坐标、极坐标 ). 五、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分 方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用

考试要求

1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 .

2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法,会解齐次微分方程 .

3. 会用降阶法解下列形式的微分方程:和 .

4. 理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理 .

5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法, 并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微 分方程 .

6. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系 数非齐次线性微分方程 .

7. 会用微分方程解决一些简单的应用问题 .

线性代数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质 行列式按行 (列 ) 展开定理

考试要求

1. 了解行列式的概念,掌握行列式的性质 .

2. 会应用行列式的性质和行列式按行 (列 ) 展开定理计算行列式 .

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的 转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初 等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算

考试要求

1. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对 称矩阵和正交矩阵以及它们的性质 .

2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的 行列式的性质 .

3. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件 . 理解伴随矩阵的 概念,会用伴随矩阵求逆矩阵 .

4. 了解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的 概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 .

5. 了解分块矩阵及其运算 .

三、向量

考试内容

向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的 极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的 内积 线性无关向量组的的正交规范化方法

考试要求

1. 理解 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念 .

2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质 及判别法 .

3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大线性无关组及 秩 .

4. 了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行 (列 ) 向量组的秩的关系 .

5. 了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt)方法 .

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克拉默 (Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐 次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的 基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解

考试要求

1. 会用克拉默法则 .

2. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要 条件 .

3. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通 解的求法 .

4. 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念 .

5. 会用初等行变换求解线性方程组 .

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、 性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充 分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

考试要求

1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量 .

2. 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似 对角矩阵 .

3. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 .

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和 规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1. 了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念 .

2. 了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用 正交变换和配方法化二次型为标准形 .

3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法 .

2017考研数学高数部分

2017考研数学高数部分

以下给出了 《高等数学》 每章近 10年 (1997-2006)的具体考题题型, 可以使考生清晰地 了解和把握各章出题的方式、 命题的频率及其分值比重, 在全面复习的过程中, 也不失对重 点知识的明确和强化。

高等数学

(① 10年考题总数:117题 ②总分值:764分 ③占三部分题量之比重:53%④占三部分 分值之比重:60%)

第一章 函数、极限、连续

(① 10年考题总数:15题 ②总分值:69分 ③占第一部分题量之比重:12%④占第一部 分分值之比重:9%)

题型 1 求 1∞型极限 (一 (1), 2003)

题型 2 求 0/0型极限 (一 (1), 1998; 一 (1), 2006)

题型 3 求∞ -∞型极限 (一 (1), 1999)

题型 4 求分段函数的极限 (二 (2), 1999; 三, 2000)

题型 5 函数性质 (奇偶性, 周期性, 单调性, 有界性 ) 的判断 (二 (1), 1999; 二 (8), 2004) 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶 (二 (7), 2004)

题型 7 数列极限的判定或求解 (二 (2), 2003; 六 (1), 1997; 四, 2002; 三 (16), 2006) 题型 8 求 n 项和的数列极限 (七, 1998)

题型 9 函数在某点连续性的判断 (含分段函数 )(二 (2), 1999)

第二章 一元函数微分学

(① 10年考题总数:26题 ②总分值:136分 ③占第一部分题量之比重:22%④占第一 部分分值之比重:17%)

题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题 (二 (7), 2006)

题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定 (五, 1997; 二 (3), 2001; 二 (7), 2005) 题型 3 求函数或复合函数的导数 (七 (1), 2002)

题型 4 求反函数的导数 (七 (1), 2003)

题型 5 求隐函数的导数 (一 (2), 2002)

题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解 (二 (7), 2003)

题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定 (二 (1), 2001; 二 (3), 2002)

题型 8 函数在某点可导的判断 (含分段函数在分段点的可导性的判断 )(二 (2), 1999) 题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程 (一 (3), 1997; 四, 2002; 一 (1), 2004) 题型 10 函数单调性的判断或讨论 (八 (1), 2003; 二 (8), 2004)

题型 11不等式的证明或判定 (二 (2), 1997; 九, 1998; 六, 1999; 二 (1), 2000; 八 (2), 2003; 三 (15), 2004)

题型 12在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明 (九, 2000; 七 (1), 2001; 三 (18), 2005)

题型 13 方程根的判定或唯一性证明 (三 (18), 2004)

题型 14 曲线的渐近线的求解或判定 (一 (1), 2005)

第三章 一元函数积分学

(① 10年考题总数:12题 ②总分值:67分 ③占第一部分题量之比重:10%④占第一部 分分值之比重:8%)

题型 1 求不定积分或原函数 (三, 2001; 一 (2), 2004)

题型 2 函数与其原函数性质的比较 (二 (8), 2005)

题型 3 求函数的定积分 (二 (3), 1997; 一 (1), 2000; 三 (17), 2005)

题型 4 求变上限积分的导数 (一 (2), 1999; 二 (10), 2004)

题型 5 求广义积分 (一 (1), 2002)

题型 6 定积分的应用 (曲线的弧长,面积,旋转体的体积,变力做功等 )(七, 1999; 三, 2003; 六, 2003)

第四章 向量代数和空间解析几何

(① 10年考题总数:3题 ②总分值:15分 ③占第一部分题量之比重:2%④占第一部分 分值之比重:1%)

题型 1 求直线方程或直线方程中的参数 (四 (1), 1997)

题型 2 求点到平面的距离 (一 (4), 2006)

题型 3 求直线在平面上的投影直线方程 (三, 1998)

题型 4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程 (三, 1998)

第五章 多元函数微分学

(① 10年考题总数:19题 ②总分值:98分 ③占第一部分题量之比重:16%④占第一部 分分值之比重:12%)

题型 1多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解 (二 (1), 1997; 一 (2), 1998; 四, 2000; 四, 2001; 二 (9), 2005; 三 (18(Ⅰ )) , 2006)

题型 2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定 (三, 1999; 三 (19), 2004; 二 (10), 2005) 题型 3 多元函数连续、可导与可微的关系 (二 (2), 2001; 二 (1), 2002)

题型 4 求曲面的切平面或法线方程 (一 (2), 2000; 一 (2), 2003)

题型 5 多元函数极值的判定或求解 (八 (2), 2002; 二 (3), 2003; 三 (19), 2004; 二 (10), 2006)

题型 6 求函数的方向导数或梯度或相关问题 (八 (1), 2002; 一 (3), 2005)

题型 7 已知一二元函数的梯度,求二元函数表达式 (四, 1998)

第六章 多元函数积分学

(① 10年考题总数:27题 ②总分值:170分 ③占第一部分题量之比重:23%④占第一 部分分值之比重:22%)

题型 1 求二重积分 (五, 2002; 三 (15), 2005; 三 (15), 2006)

题型 2 交换二重积分的积分次序 (一 (3), 2001; 二 (10), 2004; 二 (8), 2006)

题型 3 求三重积分 (三 (1), 1997)

题型 4 求对弧长的曲线积分 (一 (3), 1998)

题型 5求对坐标的曲线积分 (三 (2), 1997; 六, 1998; 四, 1999; 五, 2000; 六, 2001; 六 (2), 2002; 一 (3), 2004; 三 (19), 2006)

题型 6 求对面积的曲面积分 (八, 1999)

题型 7 求对坐标的曲面积分 (三 (17), 2004; 一 (4), 2005; 一 (3), 2006)

题型 8 曲面积分的比较 (二 (2), 2000)

题型 9 与曲线积分相关的判定或证明 (六 (1), 2002; 五, 2003; 三 (19(Ⅰ )) , 2005) 题型 10 已知曲线积分的值, 求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式 (六, 2000; 三 (19(Ⅱ )) , 2005

题型 11 求函数的梯度、散度或旋度 (一 (2), 2001)

题型 12 重积分的物理应用题 (转动惯量,重心等 )(八, 2000)

第七章 无穷级数

(① 10年考题总数:20题 ②总分值:129分 ③占第一部分题量之比重:17%④占第一 部分分值之比重:16%)

题型 1无穷级数敛散性的判定 (六, 1997; 八, 1998; 九 (2), 1999; 二 (3), 2000; 二 (2), 2002; 二 (9), 2004; 三 (18), 2004; 二 (9), 2006)

题型 2 求无穷级数的和 (九 (1), 1999; 五, 2001; 七 (2), 2002; 四, 2003; 三 (16), 2005) 题型 3求函数的幂级数展开或收敛域或判断其在端点的敛散性 (一 (2), 1997; 七, 2000; 五, 2001; 四, 2003; 三 (16), 2005; 三 (17), 2006)

题型 4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值 (二 (3), 1999; 一 (3);2003)

第八章 常微分方程

(① 10年考题总数:15题 ②总分值:80分 ③占第一部分题量之比重:1%④占第一部 分分值之比重:10%)

题型 1求一阶线性微分方程的通解或特解 (六, 2000; 一 (2), 2005; 一 (2), 2006; 三 (18(Ⅱ )) , 2006)

题型 2 二阶可降阶微分方程的求解 (一 (3), 2000; 一 (3), 2002)

题型 3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解 (一 (3), 1999)

题型 4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解,反求微分方程 (一 (1), 2001)

题型 5 求欧拉方程的通解或特解 (一 (4), 2004)

题型 6 常微分方程的物理应用 (三 (3), 1997; 五, 1998; 八, 2001; 三 (16), 2004) 题型 7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程 (四 (2), 1997; 五, 1999) 凯程教育:

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2017高数考研大纲剖析

2017年考研《数学一》大纲

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试

三、试卷内容结构

高等教学约56%

线性代数约22%

概率论与数理统计约22%

四、试卷题型结构

单选题8小题，每小题4分，共32分

填空题6小题，每小题4分，共24分

解答题(包括证明题)9小题，共94分

高等数学

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系

6.掌握极限的性质及四则运算法则

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质 二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径

考试要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系

掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数 2.

的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分

3(了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数(

4(会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数(

5(理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理(

6(掌握用洛必达法则求未定式极限的方法(

7(理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用(

8(会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间内，设函数具有二阶导数(当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形(

9(了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径( 三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常(广义)积分 定积分的应用

考试要求

1(理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念(

2(掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法(

3(会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(

4(理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式(

5(了解反常积分的概念，会计算反常积分(

6(掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值(

四、向量代数和空间解析几何

考试内容

向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

考试要求

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示

2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件

3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法

4.掌握平面方程和直线方程及其求法

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题

6.会求点到直线以及点到平面的距离

7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念

8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程

9.了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程

五、多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件

多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法

5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法

6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数

7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程

8.了解二元函数的二阶泰勒公式

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题

六、多元函数积分学

考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)

3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

4.掌握计算两类曲线积分的方法

5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分

7.了解散度与旋度的概念，并会计算

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)

七、无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数

考试要求

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念

7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法

8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件

10.掌握，，，及的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数

11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式

八、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程微分方程的简单应用

考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

4.会用降阶法解下列形式的微分方程

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程

8.会解欧拉方程

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题

线性代数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理

考试要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质

2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式 二、矩阵

考试内容

矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算

考试要求

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵

4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

5.了解分块矩阵及其运算

三、向量

考试内容

向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质

考试要求

1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念

2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极 3.

大线性无关组及秩

4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系

5.了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念

6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵

7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法

8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质 四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解

考试要求

l.会用克拉默法则

2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件

3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

考试要求

1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量

2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理

2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形

3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法 概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验

考试要求

1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算

2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式

3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法

二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布

考试要求

1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率

2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布

4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用

5.会求随机变量函数的分布

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质， 1.

理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率

2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件

3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义

4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布

四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征

2.会求随机变量函数的数学期望

五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫大数定律伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理

考试要求

1.了解切比雪夫不等式

2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)

3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布

考试要求

1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念

2.了解分布、分布和分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算

3.了解正态总体的常用抽样分布

七、参数估计

考试内容

点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念

2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法

3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间

八、假设检验

考试内容

显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误

2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

古今名言

敏而好学，不耻下问——孔子

业精于勤，荒于嬉;行成于思，毁于随——韩愈

兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子

己所不欲，勿施于人——孔子

读书破万卷，下笔如有神——杜甫

读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》

书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游 问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹 旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼 书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄

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考研数学2真题高数部分

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

tanx1e,,x,0,xarcsin2f(x),,1(设函数在处连续，则( )( x,0a,2xx,0,ae,

,x2(位于曲线()下方，轴上方的无界图形的面积为( )( 0,x,，,y,xex

21,,,,3(满足初始条件的特解是y(0),1,y(0),yy，y,02( )(

12,,,n，，，，，，lim[1cos1cos1cos]4(=n,,nnnn

( )(

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分()

2,(函数可导，当自变量在x,,1处取得增量时，相应的函,x,,0.1y,f(x)f(u)x

,数增量的线性主部为,(,，则, ,yf(1)

(,),,; (,),(,;

(,),; (,),(,(

,(函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是 f(x)

xx22f(t)dtf(t)dt (A); (B) ; ,,00

xxt[f(t),f(,t)]dtt[f(t)，f(,t)]dt (C) ; (D) ( ,,00

3x,,,,y,f(x)y(0),y(0),0,(设是二阶常系数微分方程满足初始条件y，py，qy,e的

2，ln(1x)lim 特解，则极限 0x,y(x)

(A)不存在; (,)等于,; (C)等于,; (D) 等于,(

，R,(设函数在上有界且可导，则 f(x)

,limf(x),0limf(x),0(A)当时，必有; x,，,x,，,

1

,,limf(x)limf(x),0 (,)当存在时，必有; x,，,x,，,

,limf(x),0limf(x),0 (C) 当时，必有; x,0，x,0，

,,limf(x)limf(x),0 (D) 当存在时，必有( x,0，x,0，

,三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程为，求该曲线对应于处的r,1,cos,,,6

切线与法线的直角坐标方程(

23,2x，x,1,x,0,2y,f(x),x,四、(本题满分,分)设函数， xe0,x,1x2,(e，1),

xF(x),f(t)dt的表达式( 求函数,,1

，Rf(x),0limf(x),1五、(本题满分,分)已知函数在上可导，，，且满足 f(x)x,，,

11f(x，hx)hxlim(),e，求( f(x)h,0f(x)

xdy，(x,2y)dx,0y,y(x)的一个解，使得由曲线六、(本题满分,分)求微分方程

y,y(x)x,1,x,2与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体的体积最xx小(

七、(本题满分7分)某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形,,,,，下部由二次曲线与线段 ,,所围成(当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为,:,，闸门矩形部分

h的高应为多少,

八、(本题满分,分)

x,x(3,x)设，(,,，,，,，…)( 0,x,3nn，1nnn

,的极限存在，并求此极限( 证明:数列,xn

2alnblna1,,,九、(本题满分,分)设b,a,0，证明不等式( 22ba,a，bab十、(本题满分8分)设函数在,,的某邻域具有二阶连续导数，且 xf(x)

,,,f(0)f(0)f(0),0h,0(证明:存在惟一的一组实数，使得当时， a,b,c

2( af(h)，bf(2h)，cf(3h),f(0),o(h)

2

2003年考研数学(二)真题

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上)

124(1,ax),1(1) 若时， 与是等价无穷小，则a= . x,0xsinx

4(2) 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方xy，2lnx,y

程是 .

a,(4) 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的,2,,,e(a,0)

一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

lima,0limb,1limc,,(1)设均为非负数列，且,,,则必有 {a},{b},{c}nnnnnnn,,n,,n,,

(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. a,bb,cnnnn

limaclimbc(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] nnnnn,,n,,

n3nn,1n，1limnaa,x1，xdx(2)设, 则极限等于 nn,0n,,2

33,122(1，e)，1(1，e),1 (A) . (B) .

33,122(1，e)，1(1，e),1 (C) . (D) . [ ]

xyxx,,()y,，,()y,(3)已知是微分方程的解，则的表达式为 yxylnx

22yy,.. (A) (B) 22xx

22xx (C) (D) [ ] ,..22yy

(,,,，,)(4)设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点.

(C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]

y

3

O x

,,xxtan44(5)设,, 则 I,dxI,dx12,,00tanxx

(A) (B) I,I,1.1,I,I.1212

(C) (D) [ ] I,I,1.1,I,I.2121

三 、(本题满分10分)

,3,ln(1，ax),,x,0,x,arcsinx,设函数 f(x),6,x,0,,ax2,e，x,ax,1x,0,,,x,xsin4,

问a为何值时，f(x)在x=0处连续;a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点,

四 、(本题满分9分)

2,x,1，2t,2dy,u1，2lnt.所确定，求 设函数y=y(x)由参数方程(t,1)e,2x,9y,dudx,,1u,

五 、(本题满分9分)

xarctanxedx.计算不定积分 3,22，(1x)

六 、(本题满分12分)

,(,,,，,)y,0,x,x(y) 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.

2dxdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微，(y，sinx)(),02dydy

分方程;

3,y(0),0,y(0),(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 2

七 、(本题满分12分)

4y,4lnx，k讨论曲线与的交点个数. y,4x，lnx

八 、(本题满分12分)

21(,) 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22

交点为Q，且线段PQ被x轴平分.

4

(1) 求曲线 y=f(x)的方程;

(2) 已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s. ll[0,,]

九 、(本题满分10分)

x,,(y)(y,0)有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，

33m/min容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液

2,m/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体). 面的面积将以

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式; (y),

x,,(y)的方程. (2) 求曲线

(注:m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

十 、(本题满分10分)

,f(x),0.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限fx,a(2)存在，证明: lim，x,ax,a

(1) 在(a,b)内f(x)>0;

22,ba2,(2)在(a,b)内存在点，使; ,,bf(,)f(x)dx,a

b,222,,f()(b,a),f(x)dx.(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 ,,,a,,a

5

2004年考硕数学(二)真题

一. 填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. )

(1)nx,(1)设, 则的间断点为 . fx()lim,fx()x,2n,,nx，1

3,xtt,，，31,yyx,()(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值yx()x,3ytt,,，31,,

范围为____..

，,dx,(3)_____.. ,12,xx1

63(5)微分方程满足的特解为_______. ()20yxdxxdy，,,y,x,15

二. 选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. )

2xxx23，,,costdt(7)把时的无穷小量, , 排,,tantdt,,sintdtx,0,,,000列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

,,,,,.,,,,,.(A) (B)

,,,,,.,,,,,.(C) (D) ,,

fxxx()(1),,(8)设, 则

yfx,()(A)x,0是的极值点, 但不是曲线的拐点. fx()(0,0)

yfx,()x,0(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点. fx()(0,0)

yfx,()x,0(C)是的极值点, 且是曲线的拐点. fx()(0,0)

yfx,()x,0(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. fx()(0,0),,

12n222n，，，limln(1)(1)(1)(9)等于 ,,nnnn

222lnxdx2lnxdx(A). (B). ,,11

2222ln(1)，xdxln(1)，xdx(C). (D) ,,,,11

6

,f(0)0,(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得 ,,0fx()

A)在内单调增加. (fx()(0,),

(,0),,(B)在内单调减小. fx()

x,(0,),fxf()(0),(C)对任意的有.

x,,(,0),fxf()(0),(D)对任意的有. ,,

2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx，,，，1sin

2(A). yaxbxcxAxBx,,，，，，(sincos)

2(B). yxaxbxcAxBx,,，，，，(sincos)

2(C). yaxbxcAx,,，，，sin

2(D) yaxbxcAx,,，，，cos,,

三. 解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

(15)(本题满分10分)

x，，12cos，x,,lim1,求极限. ,,,,3x,0x3,,,,，，

(16)(本题满分10分)

2设函数在(,,，,,)上有定义, 在区间上, , 若对任意fxxx()(4),,fx()[0,2]

fxkfx()(2),，k的都满足, 其中为常数. x

(?)写出在上的表达式; fx()[2,0],

kx,0(?)问为何值时, 在处可导. fx()

(17)(本题满分11分)

,x，2fxtdt()sin,设,(?)证明是以为周期的周期函数;(?)求的值域. ,fx()fx(),x

(18)(本题满分12分)

xx,ee，xxtt,,,0,(0)y,曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕xy,02

7

轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为. xt,Vt()Ft()St()

St()(?)求的值; Vt()

St()(?)计算极限. limt,，,Ft()

19)(本题满分12分) (

4222eabe,,,设, 证明. lnln()baba,,,2e

20)(本题满分11分) (

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增

9000kg大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

6k,，6.010).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 表示千克,kmh/表示千米/小时. kg

(21)(本题满分10分)

2,,,zzz22xy,,设,其中具有连续二阶偏导数,求. zfxye,,(,)f,,,,xyxy

8

2005年考研数学二真题

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上)

x(1)设，则=______ . dy|y,(1，sinx)x,,

3

2x(1，)(2) 曲线y的斜渐近线方程为______ . ,

x

1xdx(3)______ . ,,022(2x)1x,,

1,xy，2y,xlnx(4) 微分方程满足y(1),,的解为______ . 9

2(5)当时，与是等价无穷小，则x,0,(x),1，xarcsinx,cosx,(x),kx

k= ______ .

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

3nn(,,,，,)f(x),lim1，x(7)设函数，则f(x)在内 ,,n

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则"M,N"

必有

(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. ,

(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数. ,

(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. ,

(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ ] ,

2,,，2,xtt(9)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交,y,ln(1，t),

点的横坐标是

11(A) . (B) . ln2，3,ln2，388

(C) ,8ln2，3. (D) 8ln2，3. [ ]

1f(x),,(12)设函数则 x

x,1e,1

(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

(B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ] 三 、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分11分)

9

xx,tftdt()(),0f(0),0设函数f(x)连续，且，求极限 lim.x0x,xfx,tdt(),0

(16)(本题满分11分)

1xx如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增y,(1，e)Cy,eCC3122

上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与函数的图象. 过lllCC,Cyxx212所围图形的面积为;与l所围图形的面积为如果总有，C,CS(x)S(y).S(x),S(y)y231212

x,,(y).求曲线的方程 C3

(17)(本题满分11分)

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在ll12点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分32,,, (x，x)f(x)dx.,0

(18)(本题满分12分)

2,,,x,cost(0,t,,) 用变量代换化简微分方程，并求其满足(1,x)y,xy，y,0

,的特解. y,1,y,2x,0x,0

(19)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明:

,,(0,1),f(,),1,,(I)存在 使得;

,,,,,,(0,1)f(,)f(,),1.(II)存在两个不同的点，使得

(20)(本题满分10分)

dz,2xdx,2ydy已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

2y2上的最大值和最小值. D,{(x,y)x，,1}4

10

2006年全国硕士研究生入学考试数学(二) 一、填空题

xx，4sin(1)曲线的水平渐近线方程为 . y,52cosxx,

x1,2tdtx,sin,0,,3,0(2)设函数在处连续，则 . x,0fx,()a,x,

,ax,,0,

，,xdx,(3)广义积分 . 22,0(1)x，

yx(1),,(4)微分方程的通解是 . y,x

dyy(5)设函数由方程确定，则= . yxe,,1yyx,()A,0dx

二、选择题

,,,fxfx()0,()0,,(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的,xxxyfx,()0增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 ,,x0x,ydyfx()0

(A) (B) 0.,,,dyy0.,,,ydy

,,,ydy0.dyy,,,0. (C) (D) 【 】

xftdt()(8)设是奇函数，除x,0外处处连续，x,0是其第一类间断点，则是 fx(),0

(A)连续的奇函数. (B)连续的偶函数

x,0x,0(C)在间断的奇函数 (D)在间断的偶函数. 【 】

1()，gx,,(9)设函数可微，，则等于 hxehg(),(1)1,(1)2,,,gx()g(1)

ln31,,,ln31. (A). (B)

,,ln21.ln21., (C) (D) 【 】

xxx,2(10)函数yCeCexe,，，满足一个微分方程是 12

xx,,,,,, (A) (B) yyyxe,,,23.yyye,,,23.

xx,,,,,, (C) (D) yyyxe，,,23.yyye，,,23.

三 解答题

3x2315(试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当 eBxCxAxox(1)1()，，,，，ox()

3. xx,0时比的高阶无穷小

11

xarcsine16(. 求dxx,e

18( 设数列满足xxxxn0,sin(0,1,2,),,,,,,,nnn11，

; 证明: (1) limx存在,并求极限n，1x,,

1x2xn，1n. (2)lim()计算x,,xn

证明: 当0

2,xl,，1,L21 已知曲线的方程为 (0),t,,2ylt,,4,

L(?)讨论的凹凸性;

L(?)过点(-1，0)引的切线，求切点，并写出切线的方程; (,)xy00

L(?)求此切线与(对应于的部分)及轴所围成的平面图形的面积. xx,x0

12

2007年考研数学二真题

一(选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内)

，) 当时，与等价的无穷小量是 ( ) (1xx,0

1，xx11，,x A. B.ln C. D. 1cos,x1,e1,x

1x()taneex，,,,,(2)函数在区间上的第一类间断点是( ) fx(),x,,,1xxee(),

,,A. 0 B. 1 C. D. ,22(3)如图.连续函数在区间,,3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆yfx,(),,,,

x,2,0,0,2周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下Fxftdt()(),,,,,,,0列结论正确的是: ( )

35B. A.. ,,,F(2),F(2)F(3)F(3)44

35 C. D. ,,F(2),,,F(2)F(3),F(3),44

(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )

fx()fxfx()()，,A. 若存在，则 B. 若存在, limf(0)0,limf(0)0,x,0x,0xx

fx()fxfx()(),,,C. 若存在, 则 D. 存在, limf(0)0,limf(0)0,x,0x,0xx

1x(5)曲线渐近线的条数为 ( ) ye,，，ln(1),x

A.B.C.D. 0 1 2 3

fnn()1,2.......,,,(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则下ufx()(0,)，,fx"()0,n

列结论正确的是 ( )

uuA.若，则必收敛 B. 若，则必发散 uu,uu,,,,,nn1212

uuC. 若，则必收敛 D. 若，则必发散 uu,uu,,,,,nn1212

二(填空题:11,16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上

arctansinxx,____. (11)lim,3x,0x

2,xtt,，coscos,t,曲线上对应于的点处的法线斜率为_____ (12),4yt,，1sin,

13

1n设函数，则y0,_____. y,(13)，，23x，

2x二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y,_____. yyye''4'32,，,(14)

三、解答题:17,24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

fxx(),cossintt,，，,10,是区间上单调、可导函数，且满足，(17)设fx()ftdttdt(),,,,,004sincostt，，，

,1其中是的反函数，求. fffx()

(18)(本题满分11分)

ax,,,，,1,0 设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域. yxa,,x，，

(?)求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积; xVa()

(?)当为何值时，最小,并求此最小值. aVa()

2yxyy''''，,yy(1)'(1)1,,(19)求微分方程满足初始条件的特解. ，，

y,1(20)已知函数具有二阶导数，且,1，函数由方程所确yxe,,1fa()f'(0)yyx,()

2dzdzzfyx,,(lnsin),定.设求，. ,x0x,02dxdx

(21)(本题11分)

设函数[,]ab(,)abfxgx(),()在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，

''''fagafbgb()(),()(),,证明:存在使得. fg()(),,,,,(,)ab，

14

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1,8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

2,(1)设，求的零点个数( ) fxxxx()(1)(2),,,fx()

A0 B1 C2 D3 ，，，，，，，，

ayfx,()(2)曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分( ) xfxdx'()[0,]a,0

A曲边梯形面积. B梯形面积. ABCDABCD，，，，

C曲边三角形面积. D三角形面积. ACDACD，，，，

x(3)在下列微分方程中，以(为任意常数)为yCeCxCx,，，cos2sin2CCC,,123123

通解的是( )

,,,,,,,,,,,,yyyy，,,,440yyyy，，，,440AB. . ，，，，

,,,,,,,,,,,,yyyy,,，,440yyyy,，,,440CD . . ，，，，

lnxfxxx()sin(0),,(4)判断函数间断点的情况( ) x,1

A有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ，，

B有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ，，

C有两个无穷间断点 ，，

D有两个跳跃间断点 ，，

(,),,，,x(5)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是( ) fx(),,n

Axfx()Bxfx()若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. ，，,,,,，，,,,,nnnn

Cfx()xDfx()x 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. ，，,,,,，，,,,,nnnn二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1cos(sin),xf(0),lim1,(9)连续，，则 fx()2xx,0(1)()efx,

sinlnxyyxx，,,0,1(10)曲线在点处的切线方程为. ，，，，，，

15

23(11)求函数的拐点______________. fxxx()(5),,

三、解答题:15,23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

sinsinsinsinxxx,，，，，，，lim求极限. 4x,0x

(17)(本题满分10分)

21xxarcsin求积分 dx,201,x

(19)(本题满分10分)

yfx,()f(0)1,曲线满足对于任意的曲线是严格递增，在轴上，该曲线与t,0tx

xxtt,,,0,(0)直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，xy,0

St()yfx,(),2其体积为,侧面积为.如果二阶可导,且，求曲线. Vt()fx()St()Vt()(21)(本题满分11分)

证明(1)积分中值定理;

3[1,3](2)已知在上连续且可导，证明至少存在一,,,,(2)(1),(2)(),,xdx,()x,2

,,,(1,3)点，. ,,()0使得,

16

2010年考研数学二真题

一 填空题(8×4=32分)

17

18

2011考研数学二真题 一选择题

k1.已知当时，函数 x,0f(x),3sinx,sin3x与cx是等价无穷小，则A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4

23xfxfx(),2()fxxf已知在,处可导，且,则,()0(0)0,2. lim3xx,0

,,,A B C D0 ,f(0)f(0),2f(0)

3.函数f(x),ln(x,1)(x,2)(x,3)的驻点个数为

A0 B1 C2 D3

2,x,,x,4.微分方程y,,y,e，e(,,0)的特解形式为

,x,,x,x,,xA B a(e，e)ax(e，e)

,x,,x2,x,,xC D x(ae，be)x(ae，be)

,5设函数具有二阶连续导数，且，则函数f(x)f(x),0,f(0),0

在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件 z,f(x)lnf(y)

,,,,A B f(0),1,f(0),0f(0),1,f(0),0

,,,,C D f(0),1,f(0),0f(0),1,f(0),0

,,,444则I、J、K的大小关系是6.设 I,lnsinxdx,J,lncotxdx,K,lncosxdx,,,000

A I<><><><>

二填空题

1x1，2xlim(),9. x,02

,x,10.微分方程 y，y,ecosx满足条件y(0),0的解y,

x,11.曲线y,tantdt(0,x,)的弧长s=____________ ,04

19

，,,,,x,0,f(x),,,,012.设函数 ，则 xf(x)dx,0,x,0,,,

三解答题

x2tdtln(1，),0Fx(),15.已知函数，设limF(x),limF(x),0，试求的取,,，x,，,x,0x

值范围。

113x,t，t，,33,11316.设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y,t,t，,33

y=y(x)的凹凸区间及拐点。

17.

18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，

ddy,记是曲线l在点(x,y)外切线的倾角,，求y(x)的表达式。 ,dxdx

111,ln(1，),19.证明:1)对任意正整数n，都有 n，1nn

112)设,证明收敛。 {a}a,1，，？，,lnn(n,1,2,？)nn2n

20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由

112222连接而成。 x，y,2y(y,),x，y,1(y,)22

(1)求容器的容积。

(2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功,

233(长度单位:m;重力加速度为;水的密度为) gm/s10kg/m

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