Jack_lanj
1. 已知平面
, (x 32=,平面向量 ), , (182--=b 若 a ∥ ,则实数 x 2. 设向量 ) , (), , (3212==b a 若向量 b a +λ与向量 ) 74(--=, 共线,则 =λ
3. 已知向
, (, (x 211==若 24-+与 平行,则实 x 的值是( ) A . -2 B . 0 C . 1 D . 2 4、 (,12), (45), (,10) _____OA k OB OC k A B C 知向量 , ,
5.已知 ) , (), , (), , (73231x C B A --,设 a AB =, b BC =且 a ∥ b ,则 x 的值为
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
6.已知 =(1, 2) , b =(-3, 2)若 k a +2b 与 2a -4b 共
7.已知 , 是平面内的两个
52=,且 ∥ ,求 的坐标
8. n 为何值时,
, (1n a =与 ) , 4(n =共线且方
且 ), 2, 1(, 3==b ∥ ,求 的坐标。
10. 已知向量 ) 2, 1(, 112-=-=-=m ) , (, (,若(+)∥ ,则 m=
11. 已知 , 不共线, b a d b a k c -=+=, ,如果 c ∥ ,那么 k=, c 与 的方向关系是
12. 已知向量 且 ) , (), , (, 221m b a -==a ∥ b ,
13、已知 AB → =a +5b , BC → =-2a +8b , CD → =3(a -b ) ,
A. A 、 B 、 D 三点共
C. B 、 C 、 D 三点共
平面向量共线问题
平面向量共线问
摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新程向量部分的重要内容，本文旨在对平面量平行（即共）相关定理进行推广，得到两个更加具一性的结论，并举例说明它的应用，使问题的决更简捷。 键词：平面
平面向量的共线，这部分内容比较重要，在种考试中也频出现，教材上就两个
（1） 向量≠与向量b 共线?存在一实数λ，使
立。
（2） 向量a =(x 1, y 1)与向
在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。于定理（2）给的结论，向量，)的基底是单位正交向量：，，下我们给出结论中，涉及到基底不一定是单位正交量：，，而是
推论1：若e 1，e 2是不共线的两个向量，a =x 1e 1+y 1e 2，=x 2e 1+y 2e 2，a 与b 共线 ?x 1y 2-x 2y 1=0 证明：与共线，且仅
?x 1=λx 2由平面向量基本定理得：? y =λy 2?1① ② ()
①?y 2-②?x 2消去λ得：x 1y 2-x 2y 1=0
所以，与b 共线?x 1y 2-x 2y 1=0。
上述结论还可以进一步
推论2：对于任意向量e 1，e 2，若=x 1e 1+y 1e 2，=x 2e 1+y 2e 2，那么与共
证明：分两种情况： e 1与e 2平行和e 1与e 2不平行
（1）e 1与e 2平行时，
（2）e 1与e 2不平行时, a 与b 共线，当且仅当a =λ， 有：x 1e 1+y 1e 2=λx 2e 1+y 2e 2
① ?x 1=λx 2由平面向量基本定理
①?y 2-②?x 2消去λ得：x 1y 2-x 2y 1=0
即：当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时，与共线
综合（1）（2）知：与共线?e 1∥e 2或x 1y 2-x 2y 1=0
上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得较完备。 在高考、模拟考、联考等一系列考试中，出现向量共线的问，下面是两个结论针对一考题的应用，所有例题给出种解法，中“另解”应用了述结论，多种解法进行对后，我们可以看应用上述结论可使问题的
例1. （2009重庆卷文）已知向量a =(1, 1) ，b =(2, x )
平行，则实数x 的值是 （ ）
A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2
解法1：因为a =(1, 1) ，b =(2, x ) ，所以a +b =(3, x +1) ，
4-2=(6, 4x -2) 由a +b
6(x +1) -3(4x -2) =0，解得x =2，选D 。
解法2： 因为a +b 与4-2平行，则
a +b =λ(4b -2a ) ，即：(2λ+1) =(4λ-1) ，向量共线的条件知，向量b 共
另解：因为a +b 与4b -2a 平行，即a +b 与-2a +4b 平行，但
1?4-(-2) ?1≠0，1?x -2?1=0，∥b ，所以根
即得x =2，
例2. 已知=(1, 2) ，=(-3, 2) ，当k 为何值
行？平行时它们是同向还是反向？ 解：∵=(1, 2) ，=(-3, 2) 。 ∴k +=(k -3, 2k +2) ，a -3b =(10, -4) ∵k +与-3平行
∴-4?(k -3) -10?(2k +2) =0 1解
11k a +b =-a +b =-?a -3b 此时33
1∴当k =-时，向量k +与a -3b 平行，并且反向． 3
另解：∵a =(1, 2) 与b =(-3, 2) 不平行，且向量k +与-3平行。 )
1k =- ∴-3k -1=0，即 3
第 - 2 - 页 共 6 页
11k +=-+=-?-3 此时33
1∴当k =-时，向量k a +b 与a -3b 平
例3. 设两个非零向量e 1和e 2不线，如果=e 1+e 2，)BC =2e 1-3e 2，CD =2e 1-k e 2，且A 、C 、D
∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存
?3=2λ34k =λ=得?，解
另解：AC =AB +BC =3e 1-2e 2
由A 、C 、D 三点共线，知AC =3e 1-2e 2
43(-k ) -2?(-2) =0，故k = 3
例4. 若，是两个不共线的非零向量，与起点相同，当t 为何1值时，a ，t ，a +b 三量的
解：设OA =a ，OB =t b ，=)1+， 3)
21∴=-=-+，=-=t - 33
要使A 、B 、C 三
即: -21+=λt -λ. 33
第 - 3 - 页 共 6 页
2??2λ=-=-λ??33∴有?1 ? ?1。 ?t =?=λt 2??3
1∴当t =时，三向量终在同一
另解：令OA =a ，OB =t b ，OC =11a +b 。要使a ，t ，a +b 三33))
向量的终点在同一条直线上，只需A 、B 、C 三
21∵=-=-+，=-=-+t 。 33
211-t -?(-1) =0t =∴，即 332
∴当t =
例5. 已知点G 是△ABO的重心，M 是AB 边的中点，PQ 过△ABO的重11时，a ，t ，a +b 三向量
11G ，且OA =a , OB =b , OP =m a , 证：因为M 是AB 边的
又因为G 是△ABO
21所以OG =OM =a +b . 33
由P 、G 、Q 三点线，
所以，有且只有一个实数λ，使=λ. )11?1?而PG =OG -OP =a +b -m a = -m ?a +b ， 33?3?
第 - 4 - 页 共 6 页
)
GQ =OQ -OG =n b -111??a +b =-a + n -?b ， 333??
)?11???1?1?-m a +b =λ-a +n -? ?b ?. 所以 ?33???3???3
1?1-m =-λ??33又因为、
消去λ，整理得3mn =m +n ，故11+=3. m n
另证：∵G 是△ABO的重心，所以OG =1a +b . 3)
又∵OA =a , OB =b , OP =m a , =n 1?1?∴=-= m -?- 3?3?
11??GQ =OQ -OG =-a + n -?b 33??
1??1?1?由P 、G 、Q 三点共，得∥ ，所
去括号，整理得：m +n =3mn
11等式两边同时除以mn 得：+=3 m n
结语：从以上5个例题可以看出灵活应用定理及推论的重要性，一方面使学生对向量共线理解得更，另一方面可使量共线问题得快捷的
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平面向量共线专题
向量的共线定理
一、知识点
????
1、如果b??a(a?0)，则称
????
2、一般地对于两个向量a(a?0),b，有如
如果有一个实数?，使 ， 那么 ； 反之，如果 ，
二、练习
??????
1、设两非零向量e1,e2，不共线，
?????
x、y2、设两非零且不共线向量a,b，实数足(x?y?1)a?(2x?y)b?0 ，
平面向量的基本定理
一、知识点
???
1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面
这一平面内的任一向量，那么有且只
??
其中，不共线的这两个向量e1,e2叫示这一平面
??
2.一个平面向量用一组基底e1,e2表示成??11??2e2的
量a的___________,当e1,e2所在直线___________________,这种分解称为向量a
二、练习
??
1. 设e1,e2是同一平面内所有向量一组基底，则下各组向量中， 不
????????A. e1+e2
??
2．已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中
????11aaＡ．（ － b） Ｂ． －（ － b） 22
????11
Ｃ．－（ a＋b） Ｄ．（ a＋b）
22
??????????
3. 已知e1,e2不共线，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共线，则列各
A. ?1=1， B. ?1=2， C. ?1=3， D. ?1=4
?????
4、已知e1,e2是同一平面内两不共线的向
３e2，＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ点共线，则ｋ
??
a5．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝b，则＝（ ） ????11
Ａ．（ a－ b） Ｂ． －（ a－ b）
22
??1??1
Ｃ．a＋b Ｄ．（ a＋b）
22
????????
6．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b为已知向量，
??
则e1＝ ，e2＝ .
????????
7．当ｋ为何值时，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共，其中e1、e2是同平面
????
8.若向量a的一种正交分解是a=e1+e2，且?2e2
=2
?_____.
一、知识点
1、两个向量和差的
??
已知：a?(x1,y1),b?(x2,x2)，?为一实数
则a?b?(x1i?yj)?(x2i?y2j)=______________________；
同理将a?b=_____________这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于______________________。 2、数乘向量和坐示运算
?????
?a??(x1i?y1j)=__________________ 即?a=______________________ 这就是，实数与向量
???
3、向量AB的
若已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=_______________________________一向量的标等于此向
4、线段定比分点坐标公式 二、练习
1、设a?(1,?3),b?(?2,4),c?(0,5)则3a?b?c=_________________ 2、若点A（-2，1），B（1，3），则AB=___________________________
?
?
?
????????
??
??
???
???
???
??
3知a?(3,?1),b?(?1,2),c?2a?b则C=（ ） A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）
4、求证：设线段AB两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则其中点M（x,y）的坐标公式是：x?
?????
x1?x2y?y2
,y?1。 22
一、知识点
1、两向量平行（共线）的条件
?????
若a//b(b?0)则存在一实数
?????反之，存在唯一实数，
2、两向量平行（共线）
?????
设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，其中b?0则a//b
二、练习
????
1、已知a?(?1,3),b?(x,?1)，且a//b，
11
A．3 B．-3 C． D．?
33
????
2、已知a?(?6,y),b?(?2,1)且a与b共线，
A．-6 B．6 C．3 D．-3
?????
3、已知A(2,?1),B(3,1)与AB平且方向相反的向
????1
A．a?(1,) B．a?(?6,?3) C．a?(?1,2) D．a?(?4,?8)
2
1
4、已知A(1,?3),B(8,)，且A、B、C三点共线，则C
2
A．(?9,1) B．(9,?1) C．(9,1) D．(-9，-1) 5、平面内三个向
（2）求满足?m?n的实数m,n; （3）若(a?kc)//(2b?a)，求实数k.
6、已知△ABC三个顶点ABC的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐标．
向量的数量积（1）
一、知识点
??
1._____________________________ __________叫做a与b的夹角。
????
2.已知两个______向量a与b，我们_________叫a与b的数量积。（
????
记作______ _____即a?b＝______________________其
??
______________________叫做向
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
??
4.平面向量数量积的性质：设ab均为非
①a?b?___________
???????
②当a与b同向时，a?＝ 当a
= 。
③cos?=
?
5. a?的几何意义：______________________________。
?的几何意义：???
6.向量的数量积满足下列运算律：已知
①a?b＝___________（______律）
?????
②?a?b＝___________= = ③a+b?c＝_________ _
????
二、练习
??????
1.已知a=4,b=2且a与b的
???
2.已知a?b＝12，且a=3,b=5，则a,b夹角的余弦
??
3.已知?ABC中，AB?AC?4,AB?AC?8，则这三角
4.a=3,b=5,a+?b与a-?b垂直，则?＝___ ________。
???22
5.?1,?2,(?)??0，则a与 b的夹
??
6.已知a=6,e是单位向量，它们之间
则在方向上的投影为_____ ___， 在方向
ABC中，设AB?c,BC?a,CA?b ????
则a?b+c?a等于 。
????????????
8.有下面四个关系式①0.0＝0；②a?bc=a(b?c);③a?b=b?a,④0.a=0，
??
其中正确的有
9.a=1,b=2则a与b的夹角为120o，则?2?(2?)的值为 。
????????????
10. ?ABC中，AB=a,BC=b,且a?b
?
????????
11.已知向量a、 b满足a=13,b=19,a+b=24,求a?b。
????????12.设e1、e2是两垂直的单位向
???
（１）若//b,求?的值。（２）若a?b,求?的值。
??
向量的数量积（2）
一、知识点
1. 平面向量数量积的
????
已知两个非零向量a=?x1?y1?,b=?x2?y2?,a?b= （坐标形式）。 就是：（文字语）两个向量的
??
如：设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a?= 。
2.平面内两点间的
??2?
①设a=(x,y),则a=________________或a=________________。
②如果有向线段的起点为A(x1,y1)和终点B(x2,y2)，
=_____________
??
3.向量垂直的判定设a=?x1,y1?,b=?x2,y2?,则??_____________ ____ 如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证?ABC是直角三形。 4.
cos?＝___________________(向量表示)＝__________________(坐标表示)
????????????
如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且a?BC,b?CA,则a与b的夹
二、练习
?2????
1.已知a?(?4,3),b?(5,6)则3a?4a?b= 。
???2.已知a?3,4?,b=??5,12?则a与 b夹角的余弦为 。
??????
3.a=?2,3?,b=(?2,4),则a+b?a-b=___ _。
????
4.已知a=?2,1?,b=??，3?且a?b则?＝__________。
????
5．已知a?b?(2,?8)，a?b?(?8,16)，则a?b? 。 ??
6.a=(?4,7);b=(5,2) ???????
则a?b=____ _，a=_____ 2a?3b?a+2b=______ _ 。
?
7.与a=?3,4?垂直的单位向量是____ ___ ，平行的单位向量为 。
????
???
8.a=(2,3),b=(-3,5)则a在b方向
????????????
9. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且a=BC,b=CA则a与b的夹角为_____ 。 10.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以?ABC为 三角形。
????????????
11.已知a+b=2i?8j,a?b=?8i+16j那么a?b=_______（其中i,j为两
??m
?1,)12.若a=(?2,1)与 b=( ?互
5
??
13
、求①与a=(2,1)平行，且大小b
②与?(2,1)垂直，
14.已知点A（1，2），B(4,-1),问y轴上找点C，使∠ABC＝90o若不能，说明
平面向量共线
§2.3.3 平面向量
班 级
【学习目标】
1. 会用坐标表示平面向量的加减数乘运算；用两端点的坐标，
2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐的学习习惯，提高分析问题的
【预习案】 ??????????????（一）知识链接：复习：⑴量e1,e2e2?0是共线的
????????????⑵向量e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，a这个平面
为 。
（二）自主
1、
a?b=__________________________ _。a?b=___________ 。
这就是
?a=_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
???
2、若已知A(x1,y1),B(x2,y2)，
则AB=_____________=___________________
即一个向量的坐标等于
的________________________。
（三）型例题 ??????1、已知a?b??2,?8?，a?b???8,16?，求a
2、知平行四边形ABCD的顶点A??1,?2?，B?3,?1?，C?5,6?，
（1）顶点D的坐标.
（2）若AC与BD的交点为O，试求点O的坐
1 ????
3、已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC中点，D
【训练
A.x?1,y?3 B.x?3,y?1 C.x?1,y??5 D.x?5,y??1
2.
A.?x?2,y?1? B.?x?2,y?1? C.??2?x ， 1?y? D.?x?2,y?1?
3. 已知?a??3,?1?，?b???1,2?，
A.?7,1? B.??7,?1? C.??7 ， 1? D.?7,?1?
4. 点A??1,2?，B?2,3?，C?3,?1?且???AD??2???AB??3???BC?，求D点
5、
A．(6,9) B．(5,4) C．(7,14) D．(9,24)
、
2
2.3.4平面向量
一、学习目标：
1．会推导并熟记两向量共线时标表示的充要条
2．能利用两向量共线的坐标表解决有关综合问
3．过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间相互联系，培养学生辨证思维
二、学习内容
??1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b=λa，那么这个条件是否也能用坐
示呢？
?????设a=(x1, y1), b=(x2, y2)（ b?） 其中b?a
??由a=λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:
??__________________________________.这就是说,当且
????例1 已知a?(4,2)，b?(6,y)，且a//b，
例2: 已知A(?1,?1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、C三点
例3:点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标
(1) 当点P是线段P1P2的点时，求点P的坐
(2) 当点P是线段P1P2的一个三分点时，求点P的
3 2.典型例题
三、反思总结
1．平面向量共线充要条件的种表达形式是什
2．何用平面向量共线的充要条件的坐标形证明三点共线和两直线
3．判断两直线平行与两向平行有什么异
四、当堂检测
??????1.已知AB=a+5b，BC=－2a+8b，CD=3（a－b），则（ ）
A. A、B、D三点共线
C. B、C、D三点共线 B .A、B、C三点共线 D. A、C、D三
??2.若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共
五课后练习与提高
????1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向且为单位向
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
????4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
??????5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，a+2b与2a-b平行，则x
6.已A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量
4
平面向量共线
平面向量共线的
学习目标
1、理解向量共线的概念的基础上，学习坐标表示向量共线的条
2、利用向量共线的坐标表
学习重点:学习用坐标表向量共线的条
学习难点:利用向量共线的坐表示解决有关问
预习案
复习:
AB?若点、的坐标分别为，那么向量的坐标ABxy,xy,，，，，1122
为 .
ab，,ab,,?若，则 ， ，axybxy,,,,,，，，，1122
,a,
※ 探索新知
探究:平面向量共
问题1:两向量平行(共线)的条件是什么,
b,0若()共线，当且仅当存在实数，使 。 ,ab,
b,0问题2:假设()，用坐标该如何表示这两个axybxy,,,,,，，，，1122
向量共线呢,
b,0axybxy,,(,),(,)2、设，
______________________。
探究案
ab//，，by,6,a,4,,2例1、已知，，且，求y. ，，
变式:判断下列向量与
?ab,,(2,3) (3,4)
8? ab,,(2,3) (,4)3
1
例2、向量，，， OAk,,12OB,4,5OCk,10,，，，，，，
当为何值时，三点共线. ABC,,k
PPPP,例3、设点是线段上的一点，的坐标分别是，. Pxy,xy,，，，，12121122
PP?当点是线段的中点时，求
PP?当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. PP12
巩固案
ABABD(2,3),(2,1),C(1,4)(7,4),,,,，1已知判断与是否共线, CD
ab，22ab,1. 已知a,1,2，bx,,1，若与平行，则的值x，，，，
为 .
3、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满
A(心 B(垂心 C(心 D(
2
