超级爱范儿
先看旋转变换。
有2个右手螺旋平面直角坐标系，UOV和XOY.
2坐标系共原点O。
U0V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间
【可以在纸上画一个XOY坐标系，然后让U轴在XOY的第一象限，画出UOV坐标系
则，
若平面上一P在XOY坐标系下的坐标(X,Y),在UOV坐标系下的坐为(U,V)。 【在XOY,UOV的第一象限的公共部分画一点P,然后由P分别向X,Y,U,V
X = U*COS(θ) - V*SIN(θ)
Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ)
U = X*COS(θ) + Y*SIN(θ)
V = X*SIN(θ) - Y*COS(θ)
这样，
一个在XOY的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UOV中满足
U^2{[BCOS(θ)]^2 +[ASIN(θ)]^2} +V^2{[BSIN(θ)]^2 +[ACOS(θ)]^2} +
2UV[COS(θ)SIN(θ)][A^2 + B^2] - (AB)^2 = 0,
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再看平移变换。
有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V
2坐标系的U,X坐标轴相互平行，V,Y坐标也互平
UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为(S,T)。
则，
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系的标
X = U + S
Y = V + T
U = X - S
V = Y - T
这样，
一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中满足的方程就变成了 [U+S]^2/A^2 + [V+T]^2/B^2 = 1.
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把平移和旋转结合起
有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V
UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为(S,T)。
U0'V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之的
则，
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系的标
X = U*COS(θ) - V*SIN(θ) + S
Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ) + T
U = (X-S)*COS(θ) + (Y-T)*SIN(θ)
V = (X-S)*SIN(θ) - (Y-T)*COS(θ)
这样，
一个在XOY的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 UO'V中满足的方程
答案
已知:椭圆程:见图1，椭圆上任一点A 点坐标(Z,X):(acosα ,bsinα )，则:。若椭圆绕圆心旋转θ ，则根据旋转公式，求A 点在件坐标(Z0X 坐标
A点:Z:acosαcosθ-bsinαsinθ;
X :acosα sinθ +bsinα cosθ。
注意:椭圆顺时针旋转时，公式中的θ 角取负值;逆时旋时，θ
向量的应用求空间坐标旋转变换
向量的应用----求空间坐标
山
摘要:利用向的投影意义推导出空间直角坐标转公式，并举应用——点绕定直线转动的问题。 此方法易理解掌握、计算简单，不仅拓宽了向量知的应用范围，为解决三维直角标转提供了一种方法，同对测绘学、计算机
介绍一种利空间向量求解坐标变换关系方法，化了传统的坐标系之间坐标换关系求解的复杂计算，减小了采样误差对计算结果的影响，为建立种物体之的位姿述提供了有效
关键词:向量;坐标
什么是三维直角坐标转换呢,简单的说:就是空的点在两个不同空间直角标系中的坐标转换关系。求解它的方法多涉及高数内容。笔者经研发现:利向量识也可以求三维
,Z Z 1一(利用向量推导三维直角
OXYZ,已知空间直角坐标系中一点在另一 Pxyz(,,)
Z ,,,,,,,,OXYZ,O的坐标，点在标 空间直坐标系(,,)xyzY,1O OXYZ,系的坐标为，且两个坐标系符合右手旋 (,,)xyz000, X ,,,XZY转则，如图，轴、轴、轴正方向
,,,,,X1O ,(,,)xyz别为n、n、n，设、、 nxyz,(,,)n,,,,,,,,,,,YYYY XYZXXXXY
, 。 ,(,,)xyzn图一 ,,,ZZZZ,X ,x,()()()xxxyyyzzz,，,，,证
,y, ()()()xxxyyyzzz,，,，, ,,,000YYY
,()()()xxxyyyzzz,，,，,z, (公式一) ,,,000ZZZ ,,,,,
,,OXYZ,OOOXYZ,证明:将空间直角坐标系按平移得新空间直角标系，(图一)
,,,,,
,,OPnOXYZ,(,,)xxyyzz,,,在坐标为。根据向量的投影知识在上的投影就是
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,OXYZ,OXYZ,PPOPOPn在坐标系中的横坐标，在上投影是点坐标系中
,,,,,OXYZ,Pn在上的投影就是点在坐标中
,,,,,OPn,X()()()xxxyyyzzz,，,，,,所以 ,,,,,000XXXxOPn,,,,X,,
nX,
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,,
,,,OPn,Y,,,()()()xxxyyyzzz,，,，,yOPn,,,, ,,,Y000YYY,,
nY,
,,
,,,OPn,Z,,,zOPn,,,,()()()xxxyyyzzz,，,，, Z,,,000ZZZ,,
nZ,
,x,()()()xxxyyyzzz,，,，, 即: ,,,000XXX
,y,()()()xxxyyyzzz,，,，, ,,,000YYY
这就是空间点在两个空间直角坐标系坐标变换的公式.其中是点在空间角坐
,()()()xxxyyyzzz,，,，,z, (公式一) ,,,,,,,,,,,OXYZ,OXYZ,OOXYZ,的坐标,000ZZZ是点在间直角坐标的坐标;点在坐标系的坐
,,,,,,(,,)xyzOXOYOZ为.、、分别是、、在空
OXYZ,的单位向量
二(运用——点绕定直线转
,
n,III已知定直线的向量为，点为直线上一点，设空间一点绕直线旋转角Pxyz(,,)Pxyz(,,)0000
,,,,到点(图三)，下面介绍求旋转变换的方法。 Pxyz(,,)
,,,,OXYZ,OXYZ,P在坐标系的坐标变换为在坐标系的标;
,,PIP2(导出点绕轴旋转角到点的两
,,,,,OXYZ,OXYZ,P3. 将点在坐标系的坐标，变换为坐标
,,,,,,,OXYZ,XZY?.建立符合右手旋转新坐标系,求出轴、、正向的单
,,,,OZZZXI以点P为原点，取直线为轴，以过P且垂直于轴、轴直为建立符
,,,,,,,,OXYZ,YZXXnnn旋转新坐标系。设轴、轴、轴正方向的单向量别、、，
,,,,,
,,,nZZYnnnn(,,)xyz轴、轴正方向单位向量分别为、、。由向量计算出轴的单位
,,,,,
,,XZZn,,n0nn,,n0Y且; 由轴分别
,,,
,,(,,)xyzXZnn,,n0垂直轴、轴计算出=，且. ,,,,Z,,YYYYYY
Z ,,,,OXYZ,?表示出点在坐标系的坐标。 Pxyz(,,)P, ,,P ,,,,OXYZ,(,,)xyz设点Pxyz(,,)在坐标系的坐标，根据公式一 111,O , ,Y ,X x,()()()xxxyyyzzz,，,，,得 O ,,,1000XXX
Y ()()()xxxyyyzzz,，,，,y, ,,,1000YYY 图二 X ()()()xxxyyyzzz,，,，,z, ,,,000ZZZ1
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,,?将点绕轴旋转
,,,,,,OXYZ,,在坐标系中，设点绕轴旋转角到点 根据公式二， PZ(,,)xyzPxyz(,,)111222
得 x,xycossin,,,112 y,xysincos,,，112
z,z21
,OXYZ,?表示出点在坐标的
,,,,OXYZ,由题知点在坐标系的坐标，根据公式一 Pxyz(,,)(,,)xyz222
,,,()()()xxxyyyzzzx,,，,，,得 ,,,000XXX2
,,,()()()xxxyyyzzz,，,，,y, ,,,000YYY2,,,,最后整理导出点与点的坐标
22,,,()()()xxxyyyzzz,，,，,z,Z I 例,在空间直角坐系中，曲面:绕 ,,,Czxy,，000ZZZ21,Z yz,,2线I旋转得曲面，求
,Y ,O解:?以直线I上的点为原点，直线I为Z轴， P(0,2,0)O 0
,,以过且垂直于Z轴、Z轴的直线为X轴建立符合右手旋 P0 (0,2,2),,,,,,OXYZ,转
,,,, YX , 图三 XXYZ设轴、轴、轴正方向的单位向量
,,,
,,,XZY设轴、轴、轴正方向的单位向量分别为、、。 nnn,,,XYZ
,,,22I由直线的一个向量(0，1，1)，可得，且 n,,n0n,(0,,),,ZZZ22
,,,,,,,
,,n0由 n,,n0，n ，且n,,n0，得出n， ,(1,0,0),,,,ZXZXXXX1
,,,,,,,22n,,n0由 n,,n0，，且n,,n0，得出n ,,(0,,),,,,YZYXYYY1122
,,,,OXYZ,?表示出点在坐标系的坐标。 Pxyz(,,)
,,,,OXYZ,设点在空间直角坐标系的坐标(,,)xyz，根据公式
x, xyzx，，,，，，,1(2)00 1I Z
,Z 2222 y= xyzyz，，,,,,,,0(2)(0)212222
2222Y O z, xyzyz，，,，,,，,0(2)(0)2 12222 (0,2,2),,,,ZPxyz(,,)Pxyz(,,)?将点,绕旋转角到点。根据公式
,Y X 得 ,X 图三 x,xycossin,,,,,x 1121
y,xysincos,,，,,y 1112
z,z 21
,OXYZ,Pxyz(,,)?表示出点在坐标
,,,,OXYZ,Pxyz(,,)(,,)xyz由题知点在坐标系坐标，据公式
x,,,,,xyzx，，,，，，,1(2)00 2
2222y,,,,,=xyzyz，，,,,,,,0(2)(0)2 2 - 3 - 2222
2222z,,,,,,xyzyz，，,，,,，,0(2)(0)2 22222
整理得 ,xx,, , yz,，2 , zy,,2
222222,,,又 ，得方程 ， 所以所求的曲面方程为。 Czxy,，yxz,,，，2(2)yxz,,，，2(2)2
利用向量知求空间坐标旋转变换，不仅宽了向知识的应用范围，并为求空坐标旋转变换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学、理学等都对测绘、计算机图形
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坐标轴的平移、旋转变换公式推导
坐标轴的平移、旋转公式的
,,,,,,XY如图所示，设P点在坐标系中的坐标为(，)，点在标系
X的坐标为;经平移、旋转后，P点在坐标系中的坐标为(，Y)。根XOY(X，Y)PPOO
,,(X，Y)(X，Y)据求的公式
坐标轴平移、转变
X,X，APPO1
, ,X，OP,Cos(,，,)0
,, ,X，OP,Cos,,Cos,,OP,Sin,,Sin,O
,, ,X，X,Cos,,Y,Sin,OPP
, YYOA,，PO1
, ,Y，OP,Sin(,，,)0
,, ,Y，OP,Sin,,Cos,，OP,Cos,,Sin,O
,, ,Y，X,Sin,，Y,Cos,OPP
,,(X，Y)根据，也可求得，有以下两种方法。 ,、(X，Y)、(X，Y)PPOOPP
,,X、Y方法一:根据上面的两式联立方程，
,，POA,,方法二:如图所示，设，则
,,X,OP,Sin(,，,) P1
,,,OP,Sin,,Cos,，OP,Cos,,Sin, 11
,(Y,Y),Sin,，(X,X),Cos,POPO
,,Y,OP,Cos(,，,) P1
,,,OP,Cos,,Cos,,OP,Sin,,Sin, 11
,(Y,Y),Cos,,(X,X),Sin,POPO
坐标旋转变换公式的推导
出处: http://blog.csdn.net/tangyongkang
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1 围绕原点的旋转
如下图， 在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。 直线op围绕原做逆时针向b
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b)?? (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b)? (1.2)
其中 x = r cos(a)? , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b)??? (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b)??? (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中,? 绕原点沿逆时针方向旋转theta度， 成
设有某点p，在原坐标系中的坐标为 (x, y), 旋转后新坐
oa = y sin(theta)?? (2.1)
as = x cos(theta)?? (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s =? os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t =? ot = ay – ab = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
坐标旋转变换公式的推导
坐标旋转变换公式
翻译自: http://www.metro-hs.ac.jp/rs/sinohara/zahyou_rot/zahyou_rotate.htm
翻译： 汤 永康
出处: http://blog.csdn.net/tangyongkang
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1 围绕原点的旋转
如下图， 在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。 直线op围绕原做逆时针向b
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中 x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转theta度， 成
设有某点p，在原坐标系中的坐标为 (x, y), 旋转后新坐
oa = y sin(theta) (2.1)
as = x cos(theta) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t = ot = ay – by = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
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