A向量共线与三点共线

1、已向量e1、e2不共线，若a=3e1－４e2，b=6e1+ke2，

2、果向量=i－2j,BC =i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上单向量，试确定

3、个非零向量e1，e2不共线，

A、B、D

4、,为不共线的向量，=2+k，=+3，=2-，

5、i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.

6、已知向量e1、e2不共线，

(1)=e1－e2，BC=2e1－８e2，CD=3e1＋３e2，求证：A、B、D三点共. (2)若量λe1－e2与e1－λe2

ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且 BN=BD，求证：M、N、C三

AMB

8、、不共线,点P在O、A、B所在平面内,

9、知m,n∈R,OA,OB为

则 ( )

A.m+n=1 B.m－n=1 C.m+n=－1 D.m2+n2=1

勤学善思

10、A ,B,C三点共线则下列各式

A．=sin2α-cos2α B．=sin2α+cos2α C．=tan2α+sec2α D．=cot2α+csc2α

11、求证A , B ,C三点线?存在不全为零

12、已知点O(0,0)、A(1,1)、B(2,3)，P

P为A点？为B点？t取何值时，P点落在x轴上？落y

13、已知向量a=(-1,3) b=(x,-1)且a∥b 求x

14、已M（1，0），N（0，1），P（2，1），Q（1，y），且MN∥PQ，则y＝_____． 15、已

16、若M(3， -2) ，N (-5， -1)，且 MP=

MN，求P点

17、若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（

） A.-3 B.-1 C.1 D.3

18、若A（－1，－3），B（1－x，2），C（－11，－8）

A.-7 B.-8 C.-9 D.-10

19、已知点A（a,b+c），B（b,c+a），C（c,a+b）.求证：A、B、C三点共线.

20、已知向量=(3,4),=(sinα,cosα),且∥，则tanα=

A．

（）

D．-

B．-

C．

34 3

21、连接两点A(4,1),B(-2,-2)的线段y

A (0,-) B (0,-) C (0,-1) D (0,-)

22 A (4,2) B (-4,-2) C (2,1)或(-2,-1) D (4,2)或(-4,-2)

23454

勤学善思

平面向量中三点共线的证明及其应用

　　用平面向量证明三点共线是一种常见的较为简单的方法（相对于斜率、距离、直线、定比分等的证明方法），但学对三点共线的应用大都

　　理1：向量a（a≠0）与b共线，当且当

　　定2：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2-x2y1=0时，

　　推1：设： c与d为不共线向量，若向量a=x1c+y1d（x1，y1∈R）

　　推2：已知不共线向量OA，OB，OC，且OC=λOA+μOB，则A，B，C三点共线

　　一、证

　　又2×6=4×3 ∴A B∥AC（由定理2），

　　又直线AB，与直线AC有公共点A，故A，B，C三点共线

　　求证：A，B，D三点共线

　　AD=AB+BC+CD=2a+10b=2AB，故AD∥AB（由定理1）

　　又直线AB，与直线AD有公共点A，故A，B，D三点共线

　　二、三

　　（一）题中共线条件明显，

　　例3 若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则

　　AC=OC-OA=-23a+13b，AB=OB-OA=-a+tb

　　由于A，B，C三点共线，有-23t=-13（由推论1），即t=12

　　例4 设OA=（1，-2），OB=（a，-1），OC=（-b，0），（a>0，b>0），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a+2b最小值为

　　AB=（a-1，1），AC=（-b，-1，2），由A，B，C三点共线，得

　　2（a-1）=-b-1（由定理2），即2a+b=1，又a>0，b>0

　　故1a+2b=1a+2b（2a+b）=ba+4ab+4≥24+4=8，

　　当且仅当ba=4ab，即a=14，b=12时取等号.

　　∴1a+2b

　　（二）题中共线条件不

　　例5图

　　解法1：设：AB=a，AC=b，则

　　BP=AP-AB=（m-1）a+211b，

　　BN=AN-AB=14AC-AB=-a+14b，

　　由B，N，P

　　14（m-1）=-211（

　　解法2：由AP=mAB+211AC，AN=13NC，得

　　AP=mAB+211AC=mAB+811AN

　　由B，N，P三点共线，得m+811=1（由推论2），即m=311

　　说明：图中B，N，P

　　例6 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，

　　例6图

　　MO=AO-AM=12（a+b）-1ma=12-1ma+12b

　　MN=AN-AM=-1ma+1nb

　　由M，Q，N

　　12-1m1n=12-1m（由推论1），化简得

　　12m+12n=1mn，即m+n=2

　　说明：图中M，O，N

　　解法2：∵O是BC的中点，∴AO=12（AB+AC）

　　题意AB=mAM，AC=nAN，

　　又∵M，O，N三点共线，∴m2+n2=1（由推论2）即m+n=2

　　明：巧妙灵活地使用三点共线的结，在解题过程中能起到倍

　　学习过程中，我们要善于思考、善于总结、善于整理，样才能更好地解

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点

山东徐鹏

三线点、三点共线是几何中经常遇的问题，直接证明往

证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC线即可，即明AB??AC．

OB、OC的终点A、例1．证明：若向量OA、B、C

图1

使得OC??OA??OB；反之，也成立．

证明：图1，若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB//BC,故存在实数m,使BC?mAB，

OC??mOA?(1?m)OBOC??OA??OB．

OC??OA?(1??)OB．若OC??OA??OB，

．令???m,??1?m,则存在?,?,且????1,使得

－OB＝?(OA－OB)，即BC??BA．又因为BC和BA有公共B,所以A、B、C三

例2．证明：三角形的

证明：如图2，D、E、F

分别是?ABC三边上的中

学数

图２

点．

设CA?a,CB?b,AD?BE?G．设AG?AD,BG??BE．则

AG?AB?BG?(b?a)??BE?(b?a)??(BC?12

CA)?b?a??(

a?b)? 12

(??1）a?(1??)b，又AG??AD??(AC?CD)??(?a?b)???a??b

?????1??2所以?解得

?1??1????22?

????3

???2?3?23

AD?a?23

23(?a?

12b)?

13a?

13b

则CG?CA?AG?a?

CF?

12a?

b，所以CG?CF，所以G在中线CF上，

学数

向量证明三线共点与三点共线问题

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用向量证明三线共点与三点共线问

山东徐鹏

三线共点、三点共线几何中经常到的问题，直接证明往往很困难，用向法解决则简捷得

证明A、B、C三共线，只

线共点一般须证

,例1( 证明:若向、、的终

图1

使得;反之，也

证明:如图1，若、、的终点A、B、C线，则//,故存在实

(令则存在使得,,,,且,，,,1,,,,m,,,1，m,OC,,mOA，(1，m)OB

( OC,,OA，,OB

若，其中则，(从而有OC,，,,1,,,1,,OC,,OA，,OBOC,,OA，(1,,)OB

,OABC,,BA,OB,(,OB)，即(又因为BC和BA有公共点B,所以A、B、C三点

OAOBOC共线，向量、、的终点A、B、C共

例2( 证明:

,ABC证明:如2，D、E、F分别是三边上

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D E

A F B

图,

点(

设(则 CA,a,CB,b,AD,BE,G(设AG,AD,BG,,BE

11 AG,AB，BG,(b,a)，,BE,(b,a)，,(BC，CA),b,a，,(a,b), 22

111,,(，),(,，),,，(,,1)a，(1,,)bAG,AD,ACCD,ab,a,b，又 222

21,,,,,,,,,1,,,,32所以解得 ,,12,,,,,,1,,,,23,,

22111CG,CA，AG,a，AD,a，(,a，b),a，b则 33233

112CF,a，bCG,CF，以，所以G在中线CF上，所以三角形三

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三点共线的证明

如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过圆上任意一点D 三边的高DE , DF , DG ，垂足分别为E ，F ，G ，明：E , F , G

证明：连结CD 、AD ，∵DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，∴∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°

又∵∠3=∠4（内接四边形的外角等于内对

∴∠2=∠5

∵DF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴D 、E 、C 、F 四点共圆，∴∠1=∠2 ∴∠1=∠5

∵DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，∴A 、D 、F 、G 四点共圆，∴∠5=∠6， ∴∠1=∠6，

∵∠1+∠EF A =180°，∴∠6+∠EF A =180°，

∴E 、F 、G 三点共

问题图

解答图

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