夢De预見
先说两个故事：
惨绝人寰的消息：。
故事1 开学了
还有更丧心病
1985年至2034年50 年中最的个学期就
故事2
说明老师我很聪明的一个故事： 一天我不幸被两小屁孩蒙上双眼，他们准备了两个屁孩，其中一个是高中，另具是初中生，的是我猜两个孩中谁是高中，谁是中生，只问一个
我问：二次函数y=x+2x+1可以同
2
时有最小值又有
答曰：当然不可能。
那你无疑只是个笨
初中生都是笨蛋。
老师好聪明
为什么呢？
课题：二次函数
预备知识 （1）符号“
f ”
预备知识
1）符号“f ”2）区
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大值为4, 求a 的值.
2
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]
3
a =8或a =-3
2
2
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大值
3
的值. a =8
2
（2）设y=x(2a-x),x∈[0,2]最大
2
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大值
3
的值. a =8
（2）设y=x(2a-x),x∈[0,2]最大值为a , 求a 的取值范围. (0≤a ≤2) (注意开口方向)
2
2
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大值
3
的值. a =8
（2）设y=x(2a-x),x∈[0,2]最大值为a , 求a 的取值范围. (0≤a ≤2) (注意开口方向) 2
例2 （1）y=x2
+2ax+1,x∈[-1,2]
例2 （1）y=x2
+2ax+1,x∈[-1,2]
求a 的求a 的
2
例2 （1）y=x+2ax+1,x∈[-1,2]最大值为4, 求a 的
1
值
a =-1或a =-4
2
（2）已知函数y=x-2x,x ∈[t,t+1],函
例2 （1）y=x+2ax+1,x∈[-1,2]
2
例2 （1）y=x+2ax+1,x∈[-1,2]最大值为4, 求a 的
1
值
a =-1或a =-4
2
2
（2）已知函数y=x-2x,x ∈[t,t+1],函
2
例2 （2）已知函数y=x-2x,x ∈[t,t+1],求
2
例2 （1）y=x+2ax+1,x∈[-1,2]最大值为4, 求a 的
1
值
a =-1或a =-4
2
（2）已知函数y=x-2x,x ∈[t,t+1],求函数在[t,t+1]
y min
上取最小值
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2
2
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大
a
3
的值. a =8
（2）设y=x(2a-x),x∈[0,2]最大值为a , 求a 的取值范围. (0≤a ≤2) (
1
值. （轴动区间定） a =-1
2
2
2
（2）已知函数y=x-2x,x ∈[t,t+1],函
y
2
min
?t 2-1(t <0)>
=?-1(0≤t ≤1) ?t 2-2t (t >1) ?
例3 y=4mx-2x+1,x ∈[-1, 3]最小值为7
例3 y=4mx-2x+1,x ∈[-1, 3]最小值为7
2
（轴动区间定）
例3 y=4mx-2x+1,x ∈[-1, 3]最小值为7
2
例4 置最低？
例4 置最低？
（轴动区间定）（注意
为何值时, 二次函数y=x(2m-3x)+4m的顶点位
为何值时, 二次函数y=x(2m-3x)+4m的顶点位（低中
例4 m为何值时, 二次函数y=x(2m-3x)+4m的顶点位置低？ （最中的最
2
练习 设y=-x-4x+1,x∈[t-1,t+1], 试出函
2
练习 设y=-x-4x+1,x∈[t-1,t+1], 试写出数
?-t 2-6t -41(t <-3) y="">
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?5(-3≤t ≤-1)
?-t 2-2t +4(t >1) ?
[t-1,t+1]
课后回顾 二次
预备知识 （1）符号“f ” （2）区间
例1 （1）已知y=ax+2ax+1,x∈[-3,2]最大值
2
2
3a =的值. 8
（2）设y=x(2a-x),x∈[0,2]最大值为a , 求a 的取值范围. (0≤a ≤2) (注意开口方向)
2
例3 例4 练习
a =-1或a =-
1
4
2）已知函数y=x2-2x,x ∈[t,t+1],函
?t 2-1(t <0)>
min
=?
?-1(0≤t ≤1) ? ?
t 2-2t (t >1) 2-2x+1,x ∈[-1, 3]最小值为7求m 的. （注意讨论m=0） 为何值, 二次
（最低中的最低） （m=6）
设y=-x2-4x+1,x∈[t-1,t+1], 试写出数
?-t 2-6t -41(t <-3y>
=?
) ?5(-3≤t ≤-1) ? ?
-t 2-2t +4(t >1) （ y=4mx m
（2）求a 使函数y=2x2+5ax+2a的图象的
（3）求函数y=2msinx-cos2x 的最大值. （10）函数y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R) 的小值
53π（4）当函数y=sin2x+acosx+a -(0≤x ≤) 取最大值1, 求a. 822
（5）设关于x 的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的小值为f(a). ①用a 写出的f(a)表达
1
的a, 并对这个a, 求y 的最小值. 2
韦达定理的一道 易错题：
α, β是方程x 2-2mx +3m +4=0的两个实根，求(α-2) 2+(β-2) 2的取值范围.
【doc】求多元函数极值的二次型方法
求多元函数极值的二
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6
TheQuadraticFormMethodofTheExtremeValueofMultivariableFunction ChengGuoLiuYa-ya
?.1.DepartmentofMathematics,ShangluoUniversity,Shangluo,Shaanxi,726000;2.Depar
tmentofBasicCourses,Xi'
?[anUniversityofScienceandTechnology,Xi'an,Shaanxi,710054 Abstract:Throughthequadraticformtheory,asolutiontotheextremeproblemoffunctionofs
everalvariablesis
given.
Kyxff;Qf;Mx
?i???z???=?a????[]
-2-
ewords:Etremevalueomultivariableunctionuadraticormatri
求多元函数极值的二次型方法(1)
.引言 0对于二元函 数 在定义域内求极 值的 问题,通常用 数的相关知识
取得极 值的必要条件为在点 , 与 均存在且 , .点 称为函数的驻点.另一方面 在点 某邻域具有直到阶的
.令 , , ,则 () 时, 在 点 取得极值,当 时取极小
1() 时,
在点 处 无极值; 2() 时,不能 是否是
3但是,上述方法对三元及其以上的多元 函数 求值并不适用,本文利用二次型的理论,解决多 三 (及以 函
.预备知识 1
[1]
含有
个变量 的二次齐次函数 称为二
可写成 当 为实数时, 称为
则二次型 可表示成 ,其
定 义 2[2]
设实二次型
,对于任意一组不全为
如果都有 ,则该二次型为正定的,矩阵 为 定阵 ;如果
该二次型为负定的,矩阵 为
则该二次型为半正定 半
, () 阵 为半正定 半负定 矩阵;如果它既不是半正定又不是半负,则二次为不定,
() 定 义 3
[3]
设
元数值函数 在 点可
求 多 元 函 数 极 值 的
程
国 刘 亚 亚
(商洛学院数学系,
; 西安科技大学基础部,
1. 7260002. 710054摘 要:利用二次型的理论,给出解多元函数极值问题的一种法. 关键词:多元数极;二次型;阵 中图类号:文献标识:文章
A
16720520200805002004
——————————————— 收稿日期:作者介:程国(—) ,男,甘肃临泽人,洛学院学系助,主要研方向
3第 卷第 期() 河西
2452008Vol.24No.52008(, ) z
f x y =(, ) f x y 00(, ) x y 00(, ) x y x f y f 00(, ) 0x f x y =00(, ) 0y f x y =00(, )
x y (, ) z f x y =
00(, ) x y 00(, ) 0x f x y =00(, ) 0y f x y =00(, ) xx
f x y A ′ =00(, ) xy f x y B ′ =00(, ) yy f x y C ′ =2
0A C B >(, ) f x y 00(, ) x y 0A>0A<20a c="" b=""><(, )="" f="" x="" y="" 00(,="" )="" x="" y="">
0A C
B =00(, ) x y (, ) f x y n 12, ,..., n x x x 12(, ,..., ) n f x x x 2111a x =+121213131, 122... 2n
n
n n a x x a x x a x x ++++22222... nn n
a x a x ++ji ij a a =2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+12(, ,..., ) n f x x x 21111212... a x a x x =+++21121212222211... ... n n n n n n a x x a x x a x a x x a x x +++++++
222, 1... n
n n nn n ij i j i j a x x a x a x x =++=∑ ij a f 12... n x x X x =
112112122212... ... ... ... ... ...
... n
n
n n nn
a a a a a a A a a a =f T f X A X =A 12(, ,..., ) () T T n f x x x X A X A A ==12, ,..., n c c c 12(, ,..., ) 0n f
c c c >A 12(, ,..., ) 0n f c c c
2008-01-02
198
为函数
在点 的梯度,
.
定 义 4
[4]
设 元 数值函数
在 点有连续的二阶偏
为函数 在 点的海
() 是由 个二阶偏导数构成
.多元函数极值的判别方法 2多元函数极值判
(必要条件)若点 是函数 极
存在,则 在该点的梯度必
证明 用反证法 不妨设 为极大值,而 ,则存在某一 ,使 .
. 不妨设
,则存在 的某一 邻域,使得在一
,矛盾.故有 .
定 理 2
(充分条件)设函数 在点 的某个
连续偏导数,且
在该点的梯度 ,则
()当 为正定矩阵时, 为 的极小值. 1()当 为定矩阵时,
2()当 为不定矩阵时,
3证明
考虑
在 点 展开式:
=.
+将此式用矩阵
=+因为 ,当 ,且 充
程国,刘亚亚:求多元函数
00012()
() ()
, , ... , n
f x f x f x x x x 12(, ,..., ) n y f x x x =0x 0() gradf x 00001
2()
() ()
() , , ... , n
f x f x f x gradf x x x x =
n 12(, ,..., )
n y f x x x =00
012(, ,..., ) n x x x x =2
2
2
00021
12
12
2
2
0002021
2
22
2
2
000212
()
() () ... () ()
()
... () ...
...
...
...
() ()
()
...
n
f n n n n
f x f x f x x x x x x f x f x f x H x x x x x x f x f x f x x x x x x =12(, ,..., ) n y
f x x x =0x Hessian 0() f H x 2n n 000
12(, ,..., ) n x x x x =12(, ,..., ) n y f x x x =(1,2,..., ) i
f i n x =12(, ,..., ) n y f x x x =0() 0gradf x =000
12(, ,..., ) n f x x x 0() 0gradf x ≠
i x 0() 0i
f x x ≠ 0() 0i
f x x >0i x δ00
(0) i i x x h h δ<><>
01212(, ,..., ) (, ,..., ,..., n i f x x x f x x x h <>
) n x 0() 0gradf x =12(, ,..., )
n y f x x x =00
012(, ,..., ) n x x x x =12(, ,..., ) n y f x x x =0() 0gradf x =0() f H x 0
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f H x 000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x Taylor 12(, ,..., ) n f x x x 2
0000001
, 1
() () 1
() () ()() 2
n
n
i
i
i i j j
i i j i
i j
f x f x f x x x x x x x x x x ==++
∑
∑ 2
0() O x x 12(, ,..., ) n f x x x 0000001
() ()() () ()() 2
T f f x gradf x x x x x H x x x ++20()
O x x ()
f x =() x x ≠ x x -21-
00grad 000
-由此可以看出 是否为 的极值,
为正定或负定.当 为正定矩阵时,
-, 当 为负
-,即 为 的 极
大值;当 为不定矩阵时,
多元函数求极值的步骤 2.2多元函数
在定义域内求极值,可按
()令 ,求出 的所
()求出 在 点的海森()矩阵 2;
()判定 正定或负定.若 正定,则 取得极小
3定,则
在 点取得极大值.
应用 2.3例 求三元
1. 解
,
,
令 , , 得驻点 , 的
, ,
,
,
,
得海森()矩阵 . 在点 处,有矩阵 ,而 的各阶顺序主 子式 , , ,故 不定, 不是极 点. 在点 处,有矩 ,而 的阶顺
年第 期
2008512(, ,..., ) n f x x x 00
0120001(, ,..., ) () ()() 2
T n f f x x x x
x H x x x ≈ 0
0012(, ,..., ) n
f x
x x 12(, ,..., ) n f x x x 000() ()() T
f x x H x x x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0
12(, ,..., ) 0n f x x x >000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f
H x 0
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 1
2()
() ()
() , , ... , 0n
f x f x f x gradf x x x x =
=12(, ,..., ) n f x x x 0x 12(, ,..., ) n f x x x 0x Hessian 0() f H x 0() f
H x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x 322
123123123(, , ) 122f x x x x x x x x x =++++2
121312f
x x x =+212212f
x x x =+3322
f
x x =+10f x =20f x =3
0f x =0(0,0,1) x =1(24,144, 1) x =322
123123123(, , ) 122f x x x x x x x x x =++++2
12
16f x x =2
12
12f
x x =2
130f
x x =2
2
2
2f
x
=2
23
0f
x x =2
23
2f
x
=Hessian 1612
0() 12
200
02f
x H
x =0(0,0, 1) x =00
120
() 12
200
2
f H x =0() f H x 10H =2012
144012
2
H =
=<>
12202880002
H ==<0() f="" h="" x="" 0(0,0,="" 1)="" x="1(24,144," 1)="" x="">
() 12
20f H x =0() f H x 11440H =>0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 00012(, ,..., ) 0n f x x x >000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x -22-
2
3, ,故 正定, 是极小值
例 2. 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广.根据统计资料,销售入 (万元)与电 广费用 (元)及报广告费 (元)之
在广告费用无限的情况下,求最优广告
解
利润等于收入与费用之差,
=根据极值存在的必
,
得 , ,即驻点为
.利润函数 在驻点处的海森()矩阵 ,易验证海森()矩阵 为负矩阵,所以 在驻点 处到极值,也是最大 最优 广告略为:电广告费用和报广告费
. 时可获得最
参考文献
同济大学数学教研室.线性代数(第三版) .北京:高等教育出版, :. [1][M]1999151~152北京大学学系.高代数(第二版) .北
[2][M]1988236华东师范大学数学系.数学分析(第三)下 .京:高教
[3][M]2001320~321董丽华.利用正定矩阵法解决多元函数的极值问 .连云港职业技术学院学报. , () :. [4][J]200619159~60杨杰.多元数的
[5][J]200424128~30郭学军.正定性与二次函数的最值及二元函数的值 .天中学刊. , () :. [6][J]200318219~20莉,黄玉洁.函数极值及应用 .
[7][J]20035410~12程国,刘亚:多元函数极值
2012
144012
2
H =
=>3144120
12202880002
H ==>1() f H x 1(24,144, 1) x =(24,144, 1) 6913f =R 1
x 2x 22
121212151426825R x x xx x x =++2
2
12
121212(151426825) ()
f x x x x x x x x =+++2
2
12
12
1
2
151325825x x x x x x ++211122
13840
258100f x x x f
x x x ====13512x =216x =351(, ) 126
Hessian 2221
12
2
2
221
2
48810
f f x x x A f
f x x x =
=
Hessian A f 351(
, ) 126
35121
6
The Quadratic Form Method of The Extreme Value of Multivariable Function
Cheng Guo Liu Ya-ya
(1.Department of Mathematics, Shangluo University, Shangluo,Shaanxi,726000;2. Department of Basic Courses, Xi'
)
an University of Science and Technology, Xi'an,Shaanxi,710054Abstract:Through the quadratic form theory, a solution to the extreme problem of function of several variables is given.
K y x f f ; Q f ; M x
责任编辑:张飞
-2-
e w ords:E treme v alue o multivariable un ction uadratic orm atri
求多元函数极值的二次型方法
第24卷第5期（2008）河西学院学报Vol.24No.5（2008）
求多元函数极值的
程
（1. 商洛学院数学
国刘亚亚
726000；2. 西安科技大学基础，
摘要：利用二次型的理论，给出解决多元函数极值问题的一种方法．关键词：多元数极；二型；矩阵图
文献标识码：A
文章编号：1672－0520（2008）05－0020－04
0．引言对于二
=f (x , y ) 在定义域内求极值的问题，通常利用导数的相知识
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 某邻域内具有直到二阶的连
(x 0, y 0) 取得极值的必要条件为在点(x 0, y 0) ，f x 与f y 均
称为函数的驻点．另一方
′′′(x 0, y 0) =A ，f xy (x 0, y 0) =B ，f yy (x 0, y 0) =C ，则f y (x 0, y 0) =0．令f xx
（1）A C （2）A C （3）A C
2
B >0时，f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 取得极，且A>0取极小
f (x , y ) 在点(x 0, y 0)
2
B =0时，不能确定(x 0, y 0) 是否是f (x , y ) 的极值点．
但是，上述方法对三元及其以上的多元函数求极并不适用，本文利用二次型的理，来解多元(三元及以
1．预备知识定义1
[1]
含有
n 个变量x 1, x 2,..., x n 的二次齐次函数f (x 1, x 2,..., x n ) =a 11x 12+a 22x 22+... +a nn x 2n
1, n
+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+... +2a n
x n 1x n 称为二次型．取a ji =a ij ，则2a ij x i x j =a ij x i x j +a ji x j x i ，于是
f (x 1, x 2,..., x n ) 可写成=a 11x 12+a 12x 1x 2+... +a 1n x 1x n +a 21x 2x 1+a 22x 22+... +a 2n x 2x n +... +a n 1x n x 1+
x 1a 11a 21... a 1n
n
2x 2a 21a 22... a 2n
a , A =n 2x n x 2+... +a nn x n =∑a ij x i x j a ij 为实数，f
i , j =1... ... ... ... ...
T x n a n 1a n 2... a nn
则二次型f 可表示成f =X A X ，其中A 为
定义2如果都有f
[2]
,
设实二次型
f (x 1, x 2,..., x n ) =X T A X (A T =A ) ，对于意一组不为零的
(c 1, c 2,..., c n ) >0，则该次型为正定的，矩阵A 为正定矩阵；如
f (c 1, c 2,..., c n ) ≥0(≤0) , 则二次为半正(
该二次型为负定的，矩阵A 负
阵A 为半正定(半负定) 矩阵；如果它既不是半正定又不是半负定，则该次型不定的，矩
定义3
[3]
设
n 元数值函数y =f (x 1, x 2,..., x n )
———————————————收稿日
作者简介：程国（1983—），男，甘肃临泽人，商洛学院数学系教，要研方向为性
-20-
程国，刘亚亚：求多元函数
f (x 0)
, x 1gradf (x 0) =
f (x 0) f (x 0)
, ... , x 2x n
f (x 0)
, x 1
为函数
y =f (x 1, x 2,..., x n ) 在点x 0
．
f (x 0) f (x 0)
, ... , x 2x n
y =f (x 1, x 2,..., x n )
2
定义4
[4]
设n 元数值函数
2
在x 00
=(x 10, x 0
2,..., x n ) 点有连
f (x 0)
2x 1
2
f (x 0) f (x 0)
2x 2
x 1x 2
2
... ... ...
f (x 0) f (x 0)
为函数y
x 1x n
2
2
f (x 0) ...
H f (x 0) =x 2x 1
2
x 2x n ...
2
=f (x 1, x 2,..., x n ) 在x 0的
...
2
f (x 0) f (x 0)
x n x 1x n x 2
...
f (x 0)
2x n
H f (x 0) 是由n 2个二阶偏导成的n 阶
2．多元函数极值的判别方法2.1多元极值的判别
（必要条件）若
000
=(x 1, x 2,..., x n ) 是函数y =f (x 1, x 2,..., x n )
f x i
(i =1,2,..., n ) 存在，则y =f (x 1, x 2,..., x n ) 在该的梯度必
000
0，则存在某一x i ，使证明用反证法. 不妨f (x 1, x 2,..., x n ) 为
f (x 0) x i
≠0．
不妨设
f (x 0) x i
00
>0，则存在x i 0的某一δ邻域，使得在这一邻域内，当x i
00000
f (x 1, x 2,..., x n )
2,..., x i +h ,..., x n ) ，矛．故
定理2
（充分条件）设函数y =f (x 1, x 2,..., x n )
在点x 000
=(x 1, x 2,..., x 0
n ) 的某个邻域内具
连续偏导数，且
（1）当H f （2）当H f （3）当H f 证明
考虑
y =f (x 1, x 2,..., x n ) 在该点
(x 0) 为正定矩阵时，f (x 1, x 2,..., x n ) 为f (x 1, x 2,..., x n ) 的小值．(x 0)
000
(x 0) 为不定矩阵时，f (x 1, x 2,..., x n ) 不是f (x 1, x 2,..., x n ) 的极值．
f (x 1, x 2,..., x n )
n
f (x 1, x 2,..., x n ) ＝f (x 0) +∑
i =1
f (x 0) x i
(x i
x ) +
0i
1
∑2
i , j =1
n
2
f (x 0) x i x j
(x i x i 0)(x j x 0) +O (x j
x 0) ．
2
将此式用矩阵形
f (x 1, x 2,..., x n ) ＝f (x 0) +gradf (x 0)(x x 0) +(x x 0) T H f (x 0)(x x 0) +O (x x 02)
2
因为grad f (x 0)
1
=0，当(x x 0) ≠0，且x x 0
充分小时，上
-21-
河西学院学报
00
f (x 1, x 2,..., x n ) －f (x 1, x 2,..., x 0x 0) T H f (x 0)(x x 0) n ) ≈(x
2008年第5期
12
由此可以看出f (x
1, x ,..., x ) 是否为f (x 1, x 2,..., x n ) 的极值，要取决
T
x 0) 是否
为正定或负定．当H f (x 0) 为正定矩阵时，f (x 1, x 2,..., x n ) -0
000000
f (x 1, x 2,..., x n ) >0, 即f (x 1, x 2,..., x n ) 为f (x 1, x 2,..., x n ) 的极小值；
f (x 1, x 2,..., x n ) －f (x 1, x 2,..., x n )
大值；当H f
>0，即f (x 1, x 2,..., x n ) 为f (x 1, x 2,..., x n ) 的极
000
(x 0) 为不定矩阵时，f (x 1, x 2,..., x n ) 不是f (x 1, x 2,..., x n ) 的极值．
2.2多元函数求极值的
f (x 1, x 2,..., x n ) 在定域求极值，按
f (x )
, x 1
f (x ) f (x )
, ... , =0，求出f (x 1, x 2,..., x n ) x 2x n
(x 0) ;
的所有驻点x 0;
（1）令gradf (x ) =
（2）求出f (x 1, x 2,..., x n ) 在x 0点的海森（Hessian ）矩阵H f （3）判定H f
定，则
(x 0) 正定或负定．若H f (x 0) 正定，则f (x 1, x 2,..., x n ) 在x 0点取得极值；
f (x 1, x 2,..., x n ) 在x 0点
322
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+x 2+x 3+12x 1x 2+2x 3的极值．
2.3应用例1.
=2x 3+2
x 1x 2x 3f f f =0，=0，=0得驻点x 0=(0,0,1) ，x 1=(24,144, 1)
322
f (x 1, x 2, x 3) =x 1+x 2+x 3+12x 1x 2+2x 3
2
f
=3x 1+12x 2，
2
f
=2x 2+12x 1，
f
f f
2
2
2
x 12
2
=6x 1，=2，
f
2
x 1x 2
2
=12，
2
f
x 1x 3f
23
=0，
f
x
x 2x 3
=0，
x
=26x 112
00．21220
0，而H f (x 0) 的各阶顺
得海森（Hessian ）矩阵H
f
(x ) =12
200
在点x 0=(0,0, 1) 处，有矩阵H f (x 0) =12
H 2=
012
12
0120
=144<0，h 3=""><0，故h f="" (x="" 0)="">
002
144120
在点x 1=(24,144, 1) 处，有
20
0，而H f (x 0) 的各阶顺序主子
-22-
程国，刘亚亚：求多元函数
H 2=
012
12
144120
=144>0，H 3=1220=288>0，故H f (x 1) 正定，x 1=(24,144, 1) 是极小值点．2
002
极小值为f (24,144, 1) =6913．
22
x 2（万元）之间的关系有如下经验公式R =15+14x 1+26x 28xx 2x 5x 1212,
例2. 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某商品的广告．根据统计资料，销售收入R （元）与台广告费
在广告费用无限的情况下，求最优广告
解
利润等于收入与费用之差，利润函数为：
f =(15+14x 1+26x 2
=15+13x 1+25x 2
8x 1x 28x 1x 2
2x 12x 1
f x 1f
2
2
5x 2) 5x 2
2
2
(x 1+x 2)
=138x 24x 1=0
，
根据极值存在的必
=258x 110x 2=0x 2
351351x =x =(, ) ．利润函数在驻点处的海森（Hessian ）矩
126126
A =
f 2x 1
2f x 1x 2
22
351
处达到极大值，也是最大值. 即最优广告策略为：电台广告费和纸广告费用别
126
时可获得最大利润．
f
x 2x 1
2
f x 22
=
48810
，易验证海森（Hessian ）矩阵A 负
351, ) 126
参考文献
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[3]华东师范大学数学系．数学分析（第三版）下册[M]．北京：等教出版
[4]董丽华．利用正定矩阵法解决多元函数的极值问题[J]．连云港职业技术院学报．2006，19（1）：59~60．[5]杨文．多元函数极值问题[J]．辽工学院
[6]郭学军．正定性与二次函数的最值及二元函数的极值[J]．天中学刊．2003，18（2）：19~20．[7]龙莉，黄洁．元函数的极及其应用[J]．鞍山范学
The Quadratic Form Method of The Extreme Value of Multivariable Function
Cheng Guo Liu Ya-ya
（1.Department of Mathematics, Shangluo University, Shangluo,Shaanxi,726000;2. Department of Basic Courses, Xi'
an University of Science and Technology, Xi'an,Shaanxi,710054）
Abstract:Through the quadratic form theory, a solution to the extreme problem of function of several variables is given.
K e y w ords:E x treme v alue o f multivariable f un ction ; Q uadratic f orm ; M atri x
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二元函数求极值
?6.7二元函
在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数最大值与最小值问题，它统称值问题。需求最的函数为标函数，函数的自变量决策变
教学目的与要求:1、理解二函
2、弄清二元函数极值与最
3、正确判断所给点是否为
4、会用充分条件判定二元函数的极值， 教学重点:1、熟掌握元函数的值
2、掌握二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法， 教难点:求最值实问
教学方法:启发
问题(最值实际问题会建立模型)1、2010年我校“三宣传”工作，通过讲和简章进行品牌宣传，我初统计，收入R万元与入讲X万元和印简章Y万元间有如
22划。 Qxyxyxyxy(,)1020.2530.37105,，，,,
问题(最值实际问题会建立模型)2、某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进1元，外地牌子每瓶进价1.2元，主估计，如果本牌子每瓶卖元，地牌子的每卖元，则天可出瓶本地
瓶外地牌子的果汁问:店主每天以什么价格卖两牌子
取得最大收益,fxyxxyyxy(,)(1)7054)(1.2)(8067),,,，，,，, 教学过程:在实际问中，往往会遇到二元函数的最大值，最小值题，与函数相类似讨论二元函数最大值，小值与极大值，极值的密切的关系，复1、一元函极值:(1)求出函数在
'通过求导数=0 ，查找驻点
得;(2)计算函数在各个极值嫌疑点、不可导点和驻点及间端点,
的函数值;(3).比较这些函数值的大小，其最大者就是最大值，最小者就是最值。复2、二函数定:函
一般情况下，如何求二元函数的极值呢,仿照一元数的值的讨论，我
定义:设函数在点的某邻域内有定义，且在该邻zfxy,(,)Pxy(,)000
域内恒有，则称为函数的极fxyfxyfxyfxy(,)(,),((,)(,)),,fxy(,)fxy(,)000000
大(小)值(极大值与极小值统称为极值，使函数取得极的点(,)xy00
定理1(极值存在的必要条件)若函数在处有极值，且fxy(,)(,)xy00函数在该点点处极值，它在该的一阶偏数都存
''偏导数必然为零，则有，。 fxy(,)0,fxy(,)0,yx0000
证明:不妨设函数在点处有极大值，依定义，在该点的邻
均有，成立。特别地，取而的点，有f(x,y),f(x,y)(x,y),(x,y)y,yx,x000000
也有成立，这表明一元函数在处取得极大值，因而必 fxyfxy(,)(,),f(x,y)x,x00000
''(类似地可证。 fxy(,)0,fxy(,)0,yx0000
''使同时成立的点称为函数的驻点，fxy(,)0,(,)xyzfxy,(,)fxy(,)0,yx0000
由定理1知，偏导数存在的函数的极值点必为驻，驻点不一定
定理2(极值存在的充分条件)设函数zfxy,(,)点Pxy(,)的某000域内具有一、二阶连
''''''''fxyfxy(,)(,)0,,，若
2则:(1)当时，点Pxy(,)是极值点，且当(或)
是极大值点;当(或)Pxy(,)A,0C,0000
时，是极小值点; Pxy(,)000
2(2)当时，点非极值点; Pxy(,)BAC,,0000
2(3)当时，点可能是极值点也可能不是极值点。 Pxy(,)BAC,,0000
22例1 求函数的极值( zxxyyxy,,，,，2
zxy,,,,220,,x解:由方程组 解得驻点 ; (1,0),zxy,,，，,210,y,
, 又zzz,,,,2,1,2xxxyyy
2故在点处，，从而，， (1,0)ABC,,,,2,1,2BAC,,,,30A,,20
所以函数在点处取得极小值 (1,0)Z(1,0)1,,
由定理1与定理2可得，求二元函数极值点一
fxy(,)0,,,x第一步、由方程组 求得一切
即可求得一切驻点; (x,y),(x,y)？？(x,y)1122nn第二步、于每一
求出二阶偏导数的值 A,B,C
2第三步、由的符号，确定极
按定理2的结论判定是否是极值，确定极大值或小
第四步、考察函数是否有导数不存的
若有加以判别是否为极值点( 注意1(驻点不一定是值点，如在点( z,xy(0,0)意2(极点也不定是驻点，若对
223例2(求函数的极值( fxyxxyxyy(,)22,,，，
解:先解方程组
'2,fxyy,,，,2220,x ,'2fxxyy,,，,2430,y,
31求得驻点为， ppp(0,0);(,);(2,2),123164
'''''求二阶偏导函数，， Bfy,,,24Cfyx,,,64Af,,2xyyyxx
2在点处，，所以不是极值点。 (0,0)(0,0)BAC,,,40
2在点处，，所以不是极值点; (2,2)(2,2)BAC,,,280
3172在点处，，因为， (,),A,0BAC,,,,01642
31315所以是极小值点;极小值为: (,),f(,),,,164164256、二元数
与一元函数类似，若在有界闭区域D上连续，则在zfxy,(,)zfxy,(,)D上有最
具体求法是:求出D内的一切可能极值，以及边界上的最大值和最小值，后进行比较，以确定最大和最值。但在解决际问时，若在D内驻点唯一，由问题性质，即可确定
所求最值点，不
例3、某工厂生产A、B两种产品，其销售单价分别元，p,12p,18AB元(总成本C(单位:万元)两种产品
22数，，问两种产品产量为多少时，可获利润最大,
大利润是多少,
解:收益函数Rxypxpyxy(,)1218,,，,,， AB
22利润函数: LxyRxyCxyxyxxyy(,)(,)(,)(1218)22,,,，,,,
',Lxyxy(,)1240,,,,,x由 ,'Lxyxy(,)1840,,,,,y, 得驻
由题意知，最大利润存在，而驻点唯一，故生产2千件产品A，4千件品B，利最大，大
函数的最大值与最小值求
? 将函数在区域内的全部极值点
? 求出在边界上的极值; Df(x,y)
? 将这些点的函数值求出，并且互相
实际问题求最值:
的最值一定在区域的内部取得，而函数在内根据问题
只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是
例3 用铁皮制作无盖长方体水箱，且其长、宽、高分别为.若x,y,z体积 时,怎用
分析:使其表面积最小时的用料最省.注意条等
以减少未知数.
11解: 用料, 其中. Sxyyzzxxy,，，,，，2()64()x,y,0xy
6464,,Sy,,,y,0,x22,,xx,,22 令 同时 ,xyxy,,64,,6464,,x,. Sx,,,0. y22y,y,,,
z,2 唯一驻点(4，4)
z,2所以:=4米，=4米;
例题4:2010年我校“三宣传”工作，通座和简章进
我初步统计，收入R万
X万元和印刷简章Y万元之间有
22 X、Y的价格分别是25元/单位，Qxyxyxyxy(,)1020.2530.37105,，，,,
37元/单位;获利100元/单位，生产的固成本2000元。
大利润)的宣传
解:总成本: Cxyxy(,)25372000,，，
总收益: RxyQxy(,)100(,),
所以利
LxyRxyCxy(,)(,)(,),,
22 ,，，,,,，，100(1020.2530.37105)(25372000)xyxyxyxy
22,，，,,,10002000300010005002000xyxyxy
'Lyx,，,,1000200020000x 'Lxy,，,,1000300010000y
唯一驻点:;，所以讲座5单位，简章8单位时进xy,,5,8L(5,8)15000,
行品牌宣传最大利润15000。
若二元函数在某区域内连续且有唯一的极值点，那
就是函数在该区域上的最大值点或最小值点吗, 小结:1、求二函数值点的一般
fxy(,)0,,,x第一步、由方程组 求得一切
即可求得一切驻点; (x,y),(x,y)？？(x,y)1122nn
第二步、对于每一个驻点(x,y)(1,2,)in,， ii
求出二阶偏导数的值 A,B,C
2第三步、由的符号，确定极
按定理2的结论判定是否是极f(x,y)ii，定极大值或
第四步、考察函数是否有导数不存的
若有加以判别是否为
2、函数的最大值与最小值求最值方法: ? 将函数在区域的全极值点求
? 求出在边界上的极值; Df(x,y)
? 将这些点的函数值求出，并且互相
实际问题求最值:
根据问题的性质，知道函数的最值一定在区域D的内取得，而函数在D
只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是数在
作业:习题6.7
