一阶全微分形式不变性大多元函数分学中的应用

的应用

18sTuDIEslN蔑

阶全微分形式

在多元函数分学中

李乃雄(广西工学

一

般的高等效学教材中关一阶垒微分式不变性只为概念性介

实上,垒微分形式不变性在多元数微分学中是有很多应

一

,全馓分形式不变性

所谓一阶全微分形式不变性,二元函数z一,(,)为倒,是

元论,p是自变量还是中间变量,形式总是一的二元以上

其特点是:无论变量间关系如何复,都可以不对它们进行辨

量来处理,逐步进行微分运,且作微分运所得的结果对

说是线性的.

基于一阶垒微分形式不性的特点,们以之来处或求解多元

很方便及有效的.

二,几个应用

1.求偏导数(特别是隐函数的导数或导数) 用一阶全微分形式变性来求多元函效

的且不容易出

错.下面看两个

倒1:设y~f(x,t),而t是由方程F(x,Y,t)=O所确定的,Y

续偏导数.试证

dx一

对{.微{.:1;

由(1)式得=(假定?0),代入(2)式整理即得塞一群饲&设z=z(x,y)由方程gtar=f(u,),y=g(u,口),z=h,口)确

fx~f(u,口)rdx~f,,du+f,,dv(3) 解:对y=g(u,)

Lz--h(,口)Ldz=+^(5)

啦藕日期tl999—03—01

一

l(g

,,d

如

一

f,,dy:假定J—Ilg.I?.一

如如

帅一

第4卷第1期一阶全微分式不变性在多元函

代入(5)式,得

故

=(^一^.)dx+(^一^)

塞一(^一^函)

对于这种类型的问题,若用复合数求导及函数求导法

无从下手且

易搞错,而用全微分形式不变性处理则简明

设曲线r的方程为一般形式.?曲线的切向量可这样考虑:由全

【Gk+G+Gdz昌0

记={F,F.F},五={,G,G}

则一71l×712一

if志

FFF

G,G

就是所求的切向量

笔者认为这个方法简便且结果的形式于记忆. 例:求f:+在点M(1,一2,1)处的切线方程.I十y十一U 解:

均

x+2ydy

2zd'z=0

记一{,,},五一(1,1,1),则于一1?11Xn一2= '

志

I一II了+I;I

=,一,f—}

所以于(M)={一3,o,3t,故切

13一一!

3.du=0可作为多函数取得极的必要条件——这个结论对

成立

证明(以二元函数

(1)我们孰知,"一,,)在点^(o,Yo)处得极值的必要

【(^)=0

显然有duI)一f~(Mo)dx+(Mo)dy一0

(2)我们知道u=f(x,)在条件,)=0在点Mo(.,Y.)

第4卷第1期对称在积分计算

?1一一所围成的

解l-1关于坐标面一0对称,关于变量为奇函,故…xdv0.

其中D关于坐标—o对称,而掣关于变量为奇函数,故盯xyzd口一0. 8计算曲面积分?(++.),其中s为半球面.一=珂. 解关于坐标面=o和o对,而和分别关于变量z和为奇函数,故+ y)dS一0.又S坐标面z=O上的投影为.+?口.

原积分=s=?n

以上啻蕈子说明,如果解题过程中意积分区域否有某种对称

相匹配的奇,偶性,则以减少一繁琐的计算,提高解题的

散分,得出+佟一..所

[L(Mo)一()?dx=.

例:抛物面z=z+被面x+y+z一1截成一圆,求原点到

解:设原点到选椭圆上任一点M(x,Y,)的距离为d,d=++,依题意,即求d:一 :++:件{__,下的条

令d(d.)=O,并对条

f2xdx+Zydy+2zdz=0

2xdx+2ydy—dz=0

\dz+dy+dz;0

由于dr,由,z不全零,所以上方程

l222l

f22,1f一0

l1l1l

即2(2州_o-所以...z?0),代

(,,z_(…,.2+)

可以验证,在点M.处取得最小值1=~/于,在点M处得最大值1一 ~/于,即原点到椭圆的

一阶全微分形式不变性在多元微分学中的应用

一阶全微分形式不变性在多

应用

第26卷第5期

VoL26NO.5

广东教育学

JournalofGuangdongEducationInstitute

2006年10月

Oct.2OO6

一

阶全微分形式不性在多元微

陈华锋,李治,李燕

(华中农业大学数学与息科学系,湖北武

摘要:利用一阶全微形式不变性解偏导数,以简化较复杂

程,介绍一阶全微分形式不变在求解复函数,隐函

关键词:一阶全微分形

中图分类号-O172文献识码:A文章

引言

从数学的发展历史看,导是伴随着微的诞生而顺理章地产生的.

念,随后才发现,对于处微分问题来说,导数是一个有力工具.于是在传

导数作为微积分的主线.者在多年的微分学的教学过中,感觉到这种

微积分乃至整个数学学科的重要作用.此在讲授微积课程时,笔者建

数与微分两者关系上,调原教材的顺序,采取先定义微分

发展历史(从而符合人类认识规律),使学生先人为主,对微分的重要性

法则时,则求微分和求导并重.以微分工具的推导过程使得有些概念(

阶微分形式等)和有些计算(如隐函数与数形式的函数的数)更易于理解

函数的一阶全微分形不变性以微分的四则算来推导复

1一阶全微分的形

定义

df(u,V)一du+d

不论U,v是自变量还中间变量,多函数z=厂(U,v)的全微

阶全微分的形

式不变性”.

这是一阶全微分的一个非常要的性质,有了个”形式不变性”作保证,对于一

可以按照St,v是自变量求它的微分厂d”+dv,而无顾忌U,v究竟

,Y变化的中间

在微积分的教与学的过程,利用这个质求解较复杂多元函数特别

实用方便,简单

2方法及其应用

2.1在隐函数求导

隐函数存在定理是微积分的难点,一的教材介绍这部分时,尽管

导偏导数的过程复杂,公繁多,导致许学生在求隐函数偏导数时,常会

不变性对方程两边时求微分,则可

收稿日期:2006--04--01

基金项目:湖北省高等学校学研究立

作者简介:陈华锋(1972一),男,湖北应城人,中农业大学数

第5期陈华锋,等:一阶微分形式变性在多

2.1.1隐函数存

设函数F(x,)在点P(x.,Y.)的某一邻内具有连续的偏导,且F(xo,Yo)

程F(x,)一0在点P(x.,Y.)的一邻域内恒能唯确定一个单值连续

它满足条件Y.一f(x.),并有

一一

(1)A

u--F’…

一

般教材对此定理的证对初学者而,既复杂又懂,以下用一

证明设函数F(x,)在点P(,Y.)的一邻域内具有连

于是dF(x,)一dr+dy一0,由于连,且(z.,Y.)?0,由连续函数

某一邻域,在该邻域,F?0,于是

2.1.2隐函数存

设函数F(x,Y,)在点P(,yo,Zo)的某邻域内有连续的偏导

则方程F(x,Y,)一0在P(x.,yo,Zo)的某一域内恒能唯一确定

z----f(x,),它满足条一厂(zo,Yo),并有

一一,:一[3]

.(2)aF’O

yF’一

证明设函数F(x,Y,)在P(,Yo,Zo)的某一邻域内有连续的偏导数,

一

++F’dz=o,由于F:续,且(z.,Y.,)?0,所以

?0,于是得dz=(一)+(一)dy,由一全微分形式不

2.1.3隐函数存

设F(x,Y,U,),G(x,Y,U,v)在P(x.,Y.,U.,IJ0)的某一内有对各个变

F(x.,Y.,U.,IJ0)一0,G(x.,Y.,U.,IJ0)一0,且导数所组成的函数行列(或

-,一一

aFaF

Ouav

aGaG

Ouav

在点P(x.,Y.,,)不等于零,则方程组F(x,Y,”,v)一0,G(x,Y,”,v)=0在

域内恒能唯一确定一组单值续且具有连偏导数的

V一(,),它们满足条件”0一”(z0,Y0),=v(x0,Y0),并有

a”1a(F,G)ll,ll

.,O(x,V)fGffGf’

av1a(F,G)Il,ll

.,O(u,)fG}}GG}’

Oy一

手一F,/FoO(uG孙?一.,,)一II

a”1c3(F,G)}},}l凹.

.,O(y,V)IGyGIIGl’

证明设函数F(x,Y,”,v),G(x,Y,”,v)在点P(x.,Y.,”.,)

数可微,于是{三:::::;

当偏导数所组成的函数行式(或称

-,一一

aFaF

Ouav

aGaG

a”av

在点P(x.,Y.,,IJ0)不等于零时,由续函数的保号性,在P(xo,Yo,”o,Vo)的某

46广东教育学院学

,a(F,G)J一一

aFDF

a”av

aGaG

aav

?O,于是由Cramerc]..法则得

FF.

lGd

u=一iG.

d一

由一阶全微分形

FuFv

dy,dr=一

FuF

dz—

FuF

例l设一v—o,+xv-~],

解由一阶微分形式的不性,对两方程两

fudx+d一dV一dy—O,

1udy+d+dV+V如一o,

f,.f

当系数行列式lI?o时,

lYf

du=一}如一xzv--+yvuzuj,一一如一xu

于是由一阶微分形式的

一一墨丝?一一二一一型!

a一.+.’一.+.’a一.+.’a一.+..

例2已知e一

解由一阶微分形式的变性,对方程两

e一d(--xy)一2dz+edz=0,

dy,

(ez一2)dz=e-~X(xdy~ydx),

由一阶微分形的不变性得

2.2在复合函数求偏导

2.2.1复合函的中间变量均为

设函数:j5(,)及v一(,)都在点t可

尢j5(,),(,)]在应点t可,且其导

—

Ozdu

十

Ozdv[3]7.

.(4)d,ad,.avd,.’t

证明z=f(u,V),{5(,),V—krt(t),都可微,因

dzd+dv,d:j5dt,dr=7/dt,从而,dz=j5+d,,

所以(4)式

2.2.2复合函的中间变量均为

设:j5(,)及v一(,)都在点(,)微,且函数z=f(u,v)在对应

合函数一尢j5(,),(,)]在对应点(,)可微,且可用下列公式计算:

aDzD.aavaaa.a[3]77

…十,一十?)

证明z=f(u,V),一j5(,),v(,)都可

dz=du+dv,d:=:如+dy,dv=~dx+,dy,从而,dz=(j5+)如+(j5+)dy,

所以(5)式

2.2.3复合函的中间变量也

设一j5(,)在点(,)可微,且函数z=f(u,,)在对应点(,,)具有连续偏导数,则复合函数

第5期陈华锋,等:一阶微分形式变性在多

z-----fE~(x,),,]在对应

zI一{{,z

证明z=f(u,,),”=(,)都可微,

dz=fu”j广fdj广f曲,一

所以(6)式

例3设函数—()由方程组{:;0所定,其中

解由一阶微分的形

再用一阶微分的形不变性,++

消去dt可得塞一,F+?o.

注本函数由于变量一环一环,变量问复合关系不甚了,容易导致

分的形式不变性,由于式简单,

3结语

多元函数的一阶全微分式不变性在推复合函数以及函数的求导公

它可以减少相对较为复杂求偏导过程中现的一些问题,对于课堂教学以

一

阶全微分形式不变性的其应用,比如在解高阶偏导数方等,读者可以查

全微分的形式不性对高阶微分

参考文献:

[1]钟五一.一阶微分形不变性的作[J].广东教

[2]陈华锋,李燕,李治.一微分的形式不变在一元微分学中的用[J].孝感学院

[3]同济大学应用学系.微积(下册)[M].北京:高

[4]同济大学应用数学.线性代数(四版)[M].京:高等教育出

[5]林先安.一阶全微分式不变性在多微分学中的应用[J].孝感学院学

TheApplicationoftheInvarianceofTotalDifferential

FormsintheDifferentialCalculusfor

FunctionofSeveralVariables

CHENHua-feng,LIZhi,LIYan

(Dept.ofMath.&Information,HuazhongAgriculturalUniversity,Wuhan,Hubei,430070,P.R.China)

Abstract:Thispaperdiscussesthesimplificationoftheprocessofsolvingproblemsinexploringthe

partialderivativeofcomplicatedimplicitfunction.Anditintroducestheapplicationoftheinvarianceof

totaldifferentialformsinfindingthepartialderivativeofparametricfunctionandimplicitfunction.

Keywords:theinvarianceofdifferentialformoffirstorder;implicitfunction;parametricfunction;

partialderivative

一阶全微分形式不变性在多元函数分学中的应用

一阶全微分

Ξ 在多元函数

() 广西工学院广西柳州 545005 李乃雄

一般高等数学教材中关于一阶全微分形式变性只为概念性介绍, 较少

实, 全微分形式不变性在多元函数微分学中还是很多用, 在此作一些介绍.一、

() 所谓一阶全微分形式不变性, 以二元函 z = f u , v

() () d z = f u , v d u + f u , v d vu v

无论 , 是自变量还是中间变量, 其形式总一样的. 二元以上的函数也有

其点是: 无论变量间的关系如何复杂, 都可以必对它们进行辨认与

来量处理, 逐步进行微分运算, 且作微分运算所得的结果自变的微

说是线性的.

基于阶全微分形式不变性的特点, 我们之来理或求解多元函数微

很方便及有效的.

二、几个应用

()11 求偏导数特别是函数的偏

用一全微分形式不变性来求多元函数特是隐函的偏导数或导数是

错. 下面看

例 1: 设 = (, ) , 而是由方程 (, , ) = 0 所确定 ,

d y f x F t - f t F x

dy = f d x + f d t()x t 1 ()y = f x , t 证明: 对微

f x F t - f t F x dy - f d x d yx () ) ( () t ?0, 代入 2式并整理即得假定 = 由1式得 d t= ft F y + f F d x f t t z5() () () () 例 21 设 = , 由方程组 = , , = , , = , 确定, 求.z z x y x f u v y g u v z h u v 5x

()d x = f u d u + f v d v ()x = f u , v 3

() dy = g d u + g d v () :

()()5 z = h u , v d z = h d u + h d vu v

1 ( f dy ) g v d x -d u = v f u f v J ()() )(由3、4两式得: ?0 假

一阶微分形式不变性在多元函数分学中的应

1 1 () ) ( () h u g v -h v g u d x + h v f u - h u f v d y

对于种类型的问题, 若用复合函数求导隐函数导法来处理, 很多学

易搞错, 而用全微分形式不性来处理

21 求空间曲

() F x , y , z = 0 求曲线的切向量. , 设曲

可这样考虑: 由全

F d x +F y d y + F z d z = 0 x

G d x +G y d y + G z d z = 0 x

? ? 记n 1 = {F x , F y , F z }, n 2 = {G x , G y , G z }

? ? ? i j k ? ? ? n × n = 则是所

G G G x y z

笔者认为这个方法简便且果的形式

2 2 2 x + y + z = 6 () 例: 求在

2x d x + 2y dy + 2z d z = 0 x d x + y dy + z d z = 0 解: 微分得 , 即 d x + dy + d z = 0 d x + dy + d z = 0

? ? ? i j k ? ? ? ? ? ???y z x z x y = 记n 1 = {x , y , z }, n 2 = {1, 1, 1}, 则 T = n 1 ×n 2 = -+= {-i j k y x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1

z , z - x , x - y } ? x -z - 1 1y + 2 () = =所以 = {- 3, 0, 3}, 故切线方程T M - 3 0 3 31d u = 0 可作为多元函数 u 取得极值的必要件—— 这个结对于无条件极值及

成立

() 证明以二

() () () x , y 在点M 0 x 0 , y 0 取得极值的必要条件是 1

() f M = 0x 0

() f y M 0 = 0

() () 显然有d u l (M ) = f x M 0 d x + f y M 0 d y = 0 0

( ) () () () 2我们知道 u = f x , y 在条件 Υx , y = 0 下在点M 0 x 0 , y 0 处取得极值的必要条件为 f x

f (M ) y 0 () M 0 = () (() () () ())?Υx M 0 当然还有 ΥM 0 = 0, Υy M 0 ?0. 对条件 Υx , y = 0

对称性在积分计算中的应用第 4 卷第 1 期 27

2 2 1- x - y 所围

解0.

其中关于坐标面 = 0 对称, 而关于变量为奇函数, 故 x y z d v = 0. 8 x x y z x μ 8

2 2 2() a - x - y . , 其中 S 为上球

(解于坐标面 = 0 和 = 0 均对称, 而和分别关变量和

a2 2 2 2 2 ) y d S = 0 . 又 S 在坐标面 z = 0 的

3原

以上子说明, 如果在解题过程中注意积区域否有某种对称性以及

匹配的奇、偶性, 则可以减少一繁琐的计算,

()上接第 19 页 ()Υx M 0 微分, 得 + = 0. 所以 l= -Υx d x Υy dy dy M () () 0 . 故 () = + =l d xd u M f x M 0 d x f y M 0 dy 0 ( ) y 0 Υ M

() Υ x M 0 () () f x M 0 - f y M 0 ? d x = 0 Υ ( M ) y 0

2 2 例: 抛物面 z = x + y 被平面 x + y + z = 1 截成一椭圆, 求原到这椭圆的最长与最短

2 2 2 2 2 解: 设原点到这椭圆上任一点(, , ) 的距离为 ,

2 2z = x + y 2 2 2 下的条件极值. x + y + z 条

2x d x + 2y d y + 2z d z = 0

2x d x + 2y d y - d z = 0

d x + d y + d z = 0

由 d x , dy , d z 不为零, 所以上方

2x y z 22

2x 2y - 1 = 0

1 1 1

2z = 2x ) ( ( ) ( ) ( ) 即 2 2z + 1x - y = 0. 所以 x = y ?z ?0, 代入条件, 得 . 解得 M 1 x 1 , y 1 , z 1 = 2x + z = 1

- 1+3 -1- 3 3 - 1+3 - 1- ( ( , ) () , ), 2-, 2+3 ,M 2 x 2 , y 2 , z 2 = 3 2 2 2 2

可以验

3 , 即点到椭圆的最长与最短

一阶微分形式不变性的作用

一阶微分形式不

钟五一

()广东教育学院数学系 ,

() 摘要 :通过在积分换元、微分方程求解、一复合函数求全微分、

应举例 ,论述了一阶微分的形式不变在微积分学中的

关键词 :一阶微分的形式不变 ;复合函

() 中图分类号 :O 172 文献标识码 : A 文

( ) [ 1 ] P211一阶微分的形式不变性是微分的个显著而重要的性质. 而目前国内有的微积分教材却其 [ 2 ] [ 3 ] 略了;有的教材虽然有提及 ,应用却较少. 笔者多年的微积分的教学过程中 ,认识到一阶微

() () 不变性不单可用于求多一元复合函数的微分、偏导数 ,解释复合函数偏导的链锁法则 ; 更以学理解积分换元法及求解微分方程时的凑积分因子的思想. 即 :一阶分的形式不性在微积分中的作用不应

一阶微分的形式

( ) ( ) φ( ) 定理 1 设函数 y = f u可 , 无论 u 为自变量还是可微函数中间变: u = x, 其一阶

[ 1 ] ( P211) ( )

( )( ) () 定理 2 仅叙述二元形式设函数 z = f u , v微 , 则无论 u , v 为自

( ) [ 1 ] P396 = φ( x , y) , v = ψ( x , y) , 其一阶微分的形式 :d z = f d u + f d v 不变. u v

2 应用

2 . 1 一阶微分的形式不性与积分

x 2 例 1 求不定积分1 + xd x . co s 2? 1 + x

说明是一典型的用第一换元法求解的积分题. 有关第一换元法的定理虽不 , 但初学者而言却较为抽象 . 用一阶微的形式不变性作引导是个好

2 解若令 y = si n 1 + x, 由一阶微分的

2 )( x d x 2 2 2d 1 + x 21 + xd 1 + x= co s 1 + x 1 + x d y = co s = co s = 222 1 + x 1 + x

2 x 1 + xd x . co s 21 + x

以上过程的反方向即为积分第一换元

2 2 x 1 + xd x = si n 1 + x+ C. co s 2? 1 + x

若教能在讲积分换元时回顾一阶微分的形式变性 , 积分的第一换元法

收稿日期 :2004 - 12 - 13

() 作者简介 :钟五一 1951 - ,女 ,江绍兴人 ,广东教

第 3 期钟五一 :一阶微分形式不变性的作用 35 2 . 2 一阶微分的形式

2 2 ( ) x例 2 求解微分方程 + yx d x + y d y= 0 . co s 2 2 2 2 ( ) x解若令 P x , y= x( ) + y, + y, Q x , y= yco s xco s

P Q 5 5 因为 ?,该微分方程非全微分方程 ,但凑积因子. 凑积分因子对初学者而言是难

2 2 xu = si n + y, 由一阶微分的形

2 2 )( 2 2 d x + y x d x + y d y 222 2 2 2 .x+ yd x+ y= co s xxd u = co s + y = co s + y 222 2 xx 2 + y + y

1 2 2 即 u = si n x为积因 . + y+ C 为本方程

以上程不单求解了微分方程 , 更可以通过一微的形不变性 , 较通俗地

为全微分方程时“积

2 . 3 用一阶微分的形式不变性求解复杂的多元复合函

u u 5 5 φ( ) ψ( ( ) ) 例 3 设 u = f x , y , z, y = x , t, t = x , z可

说本函数由于变量一环套一环 , 稍微杂 , 即使教师

( ) 变量关系图图 1, 依然有为数少的学生变量间的复合关系不

求偏数缺项 ; 但若用一阶微分的形式不性 , 于形式简单 , 思

小.

解由一阶微分的形

( )x d x + f y d y + f z d z , f d u = 1 图 1 用一阶微分的形式不变

由

φ( ) φφ( )d y = dx , t= d x + d t ,2 x t

而

ψ( )( )d t = dx , z ψψ 3= d x +d z .x z

( ) ( ) ( ) ( ) 将 3

φφ(ψψ) du = f d x + f d y + f d z = f d x + f [d x + d x + d z] + f d z x y z x y x t x z z =

( ) ( ) φφψφψ f + f ?+ f ??d x + f ??+ f d z .x y x y t x y t z z

这不但求全微分条理清 , 所

5 u 5 u = f + f φ?+ f ?φψ?, = f φ?ψ?+ f x y x y t x y t z z5 x 5 z

也水到渠成 .

2 . 4 用一阶微分的形式不变性 , 解释多元复

求多元合函数的高阶偏导对大二的学生而言是难点 , 其关键是记不住复合函数的偏导函数合函数. 若教师能将一阶微分的形式不变性作用于偏导函 , 可帮助学生通过比而跨越

y ( ) 例 4 设 z = f x y , 二阶可微 , 求二阶偏导数.x

由一阶微分的形式

x d y - y d x y ( ) ( )1 d x y + f 2 d f 1 y d x + x d y 2 f + f d z = = = 2 x x

1 y ) + f d y ,( ) 2 ( y f - f d x + x f 1 2 1 2 x x

即

5 z y f ,( )y f 1 - 2 4 = 2 x 5 x

25 卷第广东教育学

5 z 1 = x f + f . )( 1 2 5 5 y x

2 2 2 2 5 z 5 z 5 z 5 z 5 z 5 5 z 5 5 z 55 z 5 = , = , = , = 而 . 2 2 5 x 5 x 5 y 5 y 5 x5 x 5 x5 y 5 y 5 y5 x 5 x 5 y5 y

无论是 x 还是对 y 再求偏导 , 均需对偏导函数 f 、f 于变量 x 或 y 再求导 , 其再次偏

可先看其微分 , 由一阶分的形式不

y y ( ) d f = d f x y , = f d x y + f d =1 1 11 12 x x

y f 12 f 12 x d y - y d x ( ) ) ( ) f 11 y d x + x d y+ f 12 ( d x + x f + d y , = 11 y f - 11 2 2 x x x

y y ( )( ) d f = d f x y , = f 21 d x y + f 22 d 2 2 = x x

f 22 y f 22 x d y - y d x ( ) ( ) ) f 21 y d x + x d y+ f 22 ( d x + x f 21 + d y . = y f - 21 2 2 x xx

5 f 1 y f 5 f f 5 f y f 5 f f 12 112 222 222 显然 , 有 , + , , = y f 11 - = x f 11 = y f 21 - = x f 21 + .2 2 5 x x5 y x 5 x x5 y x 结合四则运算法以上 4 个偏导数 , 所求二阶偏导迎刃而解 . 对学生掌握复合函数的高阶

同归的指引 .

综上述 , 笔者认为 , 一阶微分的形式不变性是重要的 , 是微分学这瑰宝库中的一颗闪亮的小

参考文献 :

Γ [ 1 ]菲赫金哥尔茨 M . 微积分学教 [ M ] . 北京 :人民教育

[ 2 ]刘玉琏 ,傅沛仁. 数学分析讲义 [ M ] . 北京 :高等教

[ 3 ]邓东皋 ,尹小玲. 数学分析简明教程 [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1999 . 110 .

The Funct ion of the Invar iance of D if f erent ial

Form of First Order

Z HO N G Wu2yi

()Dep t . of Mat h . , Gua ngdo ng Educatio n In stit ut e , Gua ngzho u , Gua ngdo ng , 510303 , P. R . Chi na

Abstract : Thro ugh t he app licatio n s i n t he i nt egratio n by su b stit utio n , fi ndi ng t he val ue of w hole diff e re ntial equatio n , diff ere ntiat e a nd p a r tial de rivative o r p a r tial de rivative of hi ghe r o r der fo r

() multiva riat e o ne va ria blef unctio n of f unctio n s , t hi s p ap er di sc u sse s t hat t he f unctio n of t he i nva ria nce of diff e re ntial fo r m of fi r st o r de r sho ul d be no t neglect ed i n calc ul u s.

Key words :t he i nva ria nce of diff e re ntial fo r m of fir st o r de r ; f unctio n of f unctio n s ; i nt egrati ng f acto r

关于微分形式不变性的应用

关于微分形式不

苗宗文

()安阳师范学院数学与统计学院 ,河南安阳 455002

() [ 摘要 ]微分式不变性对于隐函数组求偏导 ,无需知道各变量之间的关系 ,只要把所有变都独变量来理 ,就可以给类似这样的求偏导带来许多方便。此外 ,微分形式不性在多元函求极值上也有

[ 关键词 ]微分形式不变

() [ 中图分类号 ]O172. 1 [ 文献标识码 ]A [ 文

2 2 :方程两边同微分 ,有 cos xdy+ ydcos x = 解函数的微分形式

y y重性质 ,通过这性质 ,可以体现出函数的导数 cos ede 2 y y 与函数的微分然定件下是等

y y 2 体使用上有本质上的不。求导需要辨明谁是 () 2 ycos x - ecos edy = ysin xdx 2 谁的函 ,是自变 ,谁是中间变 ,谁是因 dy y si n x ? =y ydx - ecos e 2 ycos x 变量 ,谁对谁导。而微分则对任

dy () 视同仁。特别是利用全微分不变性对隐函数组,很自然地解了。样按微分法则 dx 求偏导 ,无论

( ) 对于由方程 F x , y , z= 0 所确定的隐函把这些变量都看独立变量来微分即可。这样 5 z 5 z 5 z ( ) 数 z = z x , y的偏导 , 。式为 : = - 大的降低解题难度 ,也减少了因解题过程的 5 x 5 y 5 x 疏漏而产生的不必要的错误。 F′x F′y 5 z ,而实际使用

( ) 对于由方程 F x , y= 0 所确的隐数 y 出现两个错误 ,一是漏

dy 置了。即使公式有用错 , 但对公式中出现的 ( ) ( = f x,若其导数 ,一方法为 : 方程 F x , dx ( F′, F′, F′的含义搞不清楚 ,即在方程 F x , y , x y z ) ( ) ( )y= 0 两边同对 x 求导有 F′x , y+ F′x , y x y ) z= 0 中 x , y , z 都是作为独立变量来算 ,此 dy 。其中 y 求导 , y 是 x 的函数 ,故此时的变 = 0 时不能认为变量 z 是量 x , y 的函

( ) 。 z x , y量 y 是按复合函数来对待 ,这对于初学者一直是 2 但用分式不变 ,不用背公式计算一件很困惑的事。如 y对 x 求导 , 不

也不会出错 ,只要把所有变量都看作成独变量 dy 2 y 。因为这里强的是对 x 求导 ,而不是对 y 求即可。 dx 2 2 2 2 2 。而由分形式变性对 y微分 ,则有 dy= ( ) 例 2 :设 z = z x , y是由方程 x+ y+ z= 2 ydy ,即分对任何变量都是一样

必强调 y 是 x 的函数。 ( ) yf 所确定 ,求, y 5 x 5 y2 y z 例 1 :求由方程 ycos x = sin e所确定的隐函 222( ) = yf 两边同微分 ,得 :对 x 解 + y+ zdy y ( ) 数 y = f x

dx 2 xdx + 2 ydy + 2 zdz

[ 收稿日期 ]2009205220

() [ 作者简介 ]苗宗文 1954 - ,男 ,江苏迁人 ,安师范学院数学专业副教授 ,主从事高等数学的教学与

第 5 期苗宗文 :关于微分式不变性的应

z z z 而变量 x , y 变量 z , t 之间关系不易理清。 ( ) ( ) ( )= f dy + yf′d y y y 不清变量之关系 ,求偏导就会陷入困境 ,即使理 ? 2 xdx + 2 ydy + 2 zdz 清 ,但求偏导过程是繁杂 ,二是容易

应用微分形式不变性 ,一切都变得容易了。 z z y dz - z dy ( ) ( 2 )( ) = f dy + yf′y y y例 4 :设 x 为 u , v 的函数 ,而 u = y - z , v = y z z z ) ( ) ( ] d] 2 xdx + [ 2 y - f + f′y 5z 5 z 是自变量 ,求 + z , 1 y y y 5 x 5 y z ( ( ) ) = f′- 2 zdz :对 u = y - z , v = y + z 边同时微分 y 5 zdu = dy - dz 整理得 : z ( ) f′- 2 x=5 x dv = dy + dz 2 z y 5 x 5 x 而 dx = du + dv z z z 5 u5 v5 z ( ) ( )2 y - f + f′ =5 x 5 x y y y ( ) ( )5 y = dy - dz+ dy + dz z (f′ ) - 2 z 5 u 5 v y 5 x5 x 5 x5 x ( ) ( ) 2 隐函数组所确定的函数求

5 u 5 v 5 u 5 v

由于隐函数组中所含变数较多 ,且变量之

关系错综复杂 ,不容易搞清楚 ,因此利用分形 5 z 1 式不变性 ,首先程组微分 ,这样所有变量在 5 x 5 x = - 5 x -5 v 微分面前都视为是各自独立的量 , 避免了 5 u 时出现的许多难点 ,就避免了错误 ,同时

( )u = f x , y , z , t 本例便可以看出 ,

x 5 x 5 ( ) g y , z , t= 0 x , y , z , u , v 之间

5 u 5 v ( ) h z , t= 0

5 u 5 u 是不太可能的 , 但利用微

就很好的解决了这个问题。 5 x 5 y

解 :方程组两边同微分组 3 分形式不变

du = f′dx + f′dy + f′dz + f′dt x y z t ?( ) 1. 设函数 u = f x , y , z在点 x, y, z邻域 0 0 0

g′dy + g′dz + g′dt = 0 ? y z t ( ) 内偏导都存在 ,则点 Mx, y, z为极值点的必 0 0 0 0

?h′dz + h′dt = 0 z t ( ) f′x, y, z= 0 x 000

由 ?、?解得 :

代入 ?使得 : ( ) 2. 设函数 u = f x , y , z求其在约束条件

φ( ) (( ) x , y , z= 0 下的极值这里假设 u = f x , y , zdu = f′dx + f′dy x y

( ) ( ) φ及 x , y , z在 Mx, y, z邻域内偏导 f′h′g′0 0 0 0 z t y ( - - f′g′h′ t y z g′h′- g′h′ g′h′- g′h′ ) dyz t t z z t t z ) ( ) 都存在,点 Mx, y, z为极值点必有 0 0 0 0 f′h′- f′h′ ( )( ) du | M= f′M dx + f′Mdy x 0 y 0 z t t z ( = f′dx + f′- g′dy 0 x y y )g′h′- g′h′ z t t z ( ) + f′Mdz = 0 z 0 5 u5 u = f′, f′h′- f′h′ z t t z x y y ?= f′ - g′ 5 x 5 y g′h′- g′h′

φφφ本题中变量 u 是变量 x , y 的函数是清楚

( ) ( ) () () φ不失一般性可设 ′M?0 ,可得 v = f x , y , z= 2 x?2 y?z = 4 xyz z 0

( ) φ( )φ( )对目标函数 v = f x , y , z= 4 xyz 微分得 = - ′Mdx - ′M dyx 0 y 0 φ( ) φ ( dz | ′M M M0 )′z 0 z 0 d v = 4 yzd x + 4 xzd y + 4 xyd z 2 2 2 2 ( ) φ于

0 微

φ = 2 xd x + 2 yd y + 2 zd z = 0 d( ) ( ) = f′Mdy + f′Mdy x 0 y 0 从而 f′= 4 yz , f′= 4 xz , f′= 4 xy x y z φ( )φ( )′M ′M x 0 y 0 ( ) dx - dy ] + f′M[ - z 0 φ( )φ( )φφφ′M ′M ′= 2 x ,′= 2 y ,′= 2 z , z 0 z 0 x y z f′z φ′] | dx f′ φz?′= yz - xy ?x = 0 f′- x x

x M φ ′z= [ f′- z x z 0φ′由 f′ f′ xy zz?y = 0 f′- y φ= xz - φ?′+ [ f′- ] | dy x ′y y Mz ′ ′ zz0 φ φ 2 x = 0 z - = 0 z 故论是条件极值 , 还是无条件值 , 微分 du = 0 即 2 y 都可作为极值存在的必要条件。 z - = 0 z ( ) φ( )即函 u = f x , y , z在约件x , y , z 2 2 2 ?x= z= yz = x = y > 0 = 0 下的极值存在必要条件 du = 0 ,也即 2 2 2 2 入约束条件 x+ y+ z= a,得 x = y f′z a φ′= 0 x f′- x = z = ,即在半径为 a 的半球内体积最大的长 φ′ z3 f′ zf′- y φφ′= 0 y 2a 方体 ,

3 3 φφf′′- f′′= 0 xz zx 或 [ 参考文 ] φφf′′- f′′= 0 yz zy 5 在半径 a 的半球内求体积为最大的 [ 1 ]同济大学数学教研室 1 等数学 [ M]. 高等教育

(解 :设接长方体之长、为 2 x 、2 y ,高为 z 0 [ 2 ]华东师范大学写 1 数学分析 [ M]. 教育

则体积为

On the Applying of Differential Form Invariance

MIAO Zong2wen

()School of Nathematics and Statistics , Anyang Normal University , Anyang 455002 , China

Abstract :As for applying differential form invariance to implicit function of seeking partial derivative , it is unneces2

sary to know the relation of all variables. As long as you regard all the variables as independent variable , you can

bring a lot of convenience to seeking partial derivative like this. What’s more , differential form invariance can be

applied to multi - function of seeking extreme.

Key words : Differential form invariance ; Seeking partial derivative ; Seeking extreme

[ 责任编

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