吴三桂丶
不等式与不等式组
【知识梳理】
1、 用等号“<”、“>”、“?”、“?”、“?”示不等关系的叫做不等式。 2、 能使不等式成的未知数的
3、 一个含有未知数的不等式的所的解，成这个不等式的解集，
叫做解不等式。
4、 不等式的
(1)如果a>b，那么a+c>b+c;
ab
cc (2)如果a>b，并且c>0，那么ac>bc(或>);
ab
cc (3)如果a>b，并且c<><><);>
5、 类似于一元一次方程，含有一未知数，且未知数的次数是1的
等式。
6、 列不等式的关键是领语句中的数量关系，常用
a是正数 a>0:
a是
7、 一元一次不等式解
1去分母?2去括号?3移项?4合并同类项?5系数化为1。
注意:进行“母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以(或除以)的数的正负，决定是否改变不等号方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论。 8、一元一次不等式是表达现实世界量与量间不等关系的重要数学模，应用等解问题
?审题，弄清题目中数量关系，用字母
?找出中隐含的一个不等关系，注意达不等关
?列出不等式;
?解不等式;
?根据实际问题写出符合题
9、类似于程组，把几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次方组。 10、几个不式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不式组解集。 11、一元次不等式
?分别求出不式组中各个不等
?借助数轴求出这不等式解集
江南水都美域7#201 TEL:28118311
一、选择题(共8小，每小题4分，
1((2002?昆明)将不式组的解集在数轴上表示，
A( B(
C( D(
2((2002?重庆)已知，关于x的等式2x,a?,3的解集如图所
A(0 B(1 C(,1 D(2
3((2004?日照)已知关x的不等式组无解，则a的取
A(a?,1 B(a?2 C(,1,a,2 D(a,,1，或a,2
4(等式ax,a的解为x,1，则a的取值
A(a,0 B(a?0 C(a,0 D(a?0
5(如果m,n,0，么下列结论不正确
A(m,9,n,9 B(,m,,n C( D(
6(于x的方程5x+12=4a的解都是负数，则a的
A(a,3 B(a,,3 C(a,3 D(a,,3
7(若|3x,2|=2,3x，
A(x= B(x C(x? D(x?
8((2011?菏泽)某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来该商品积压，商店准备打折销售，但要证
A(6折 B(7折 C(8折 D(9折
二、填空题(共9小，每小题3分，
9(知关于x的不等式组的整数解5个，
10(商品的售价是150元，这种商品可获利润10%,20%，这种商品的进价为x元，则x的值
江南水都美域7#201 TEL:28118311
11(满足x,5,3x+1
12(如果三个连续自然数的和不大9，那
13(知2x,y=0且x,5,y，则x，y的取值范围
14(若a?0，则不等式ax,b的解集是 _________ (
15(若不等式组解，则m的取
_________ (
16(不等式组的整
17(当a,0时，不等
三、解答题(共7小题，满分61分)
18(解不等式，把解集在数轴上
19(求不等式组的整
20(代数式的值是否能同时于代数式2x+3和1,x
21(
江南水都美域7#201 TEL:28118311
22((2001?陕西)某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费)，达到或超过5千米后，每增1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算)，现某人乘种出租有甲地到乙地，支付车17.2元(求甲、两
23((2002?苏州)附加题:某港潮汐的响，近日每天24小时港
一般货轮于7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港(已知这艘货轮卸完货后吃水深为2.5m(吃水深度即底离开水面的距离)(该港口规定:为保证航行安全，只当船底港内水底间的距离少于3.5m时，才
根据题目中所给的条件，回答下
(1)要该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水不能少于 _________ m，卸货最多只能
(2)已知装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时后，交由乙队接着单独，每小时卸120吨(如果要保证该船能在当天卸完货安全出，则甲队至少应工几小时，才能交给
24((2001?苏州)的门每张10元，一次性使用(考虑到人们的不同需求，了吸引更多的游客，该园林除保原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(人年票从购买日起，可供持票者使用一年)(年分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进人园林时，无再购买门票;B类年票张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元;C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买票，次3元( (1)如你只选择一种买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门上，过计算，出可使进该园次数最多的购票
(2)求一年中进入该园林少超过多少次时，购买A
绝对值三角不等式知识点梳理
课题:绝对值三
备课师:沈良宏 参与
1、教学重点:定理 1的证明
2、教学难点:换元思想
3、学生必须掌握
1. 绝对值及其
(1)绝对值定义:|a |=?
????a (a ≥ 0) -a (a <0) (2)绝对值几意义:实数="" a="" 绝对值="" |a="" |表示数轴上坐标为="" a="" 的="" a="" 到原点="" o="">
(3)轴上两点间的距离公式:设数轴上任意两点 A , B 分
2. 绝对值三
(1)定理 1:如果 a , b 是实数,则 |a +b |≤ |a |+|b |,当且当 ab ≥ 0时,等
推论 2:如果 a , b 是实数,那么 |a |-|b |≤ |a +b |≤ |a |+|b |.
(2)定
4、容易出现的
学生由于对对值的意义理解不到位, 对去掉绝对值符号还存在一定混淆, 同时由对 数的正负掌握理不到位,对加法结果理解不透彻,容易混淆绝对值间的号。同时 容易淆不等中取到等
5、解决方法:
多关注生的课堂反应,找出适当典例作为生的练习,及时反馈学生的错误,及时
方程与不等式知识点梳理
方程与不等式知
分类： 学习技巧
方程与不等是天津中考命题的重要组成部分，属于基础知识的进阶，难度相对于基有所提高，并且是今学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程解决题的必要手段，必要学，本部分
1、一元一次方程
了解元一次方程及其相关概念，握等式的性质，了解解方程的
一次方程的一般步，掌握一元一次
掌握列元一次方程解实际问题中的基本法，熟列一元一次方程解实际问
2．二元一次方
了解二元次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方组表示实际问中的两种 相关的等量关系；了解二元一次方
程组代入法和加减法，能根据二一次方组的具体形式选择适当
用二一次方程组解决问题的基本过，体会学的应用价值，提高分
力．
3．不等式与不
了解一元次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中不等关 系；握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次等式一般步骤，掌一元
能在轴上表示出解集；了解不等组及其关概念，会解由两个一
等式，并会用数轴确定集；会利用不等式解决
4．一元二次方程．
认识一元二次方程及其有关
的数模型作用，进一步提高在际问题中运用方程这种重要数
(一)方程和不等式的
1．方程．(1)等式和
2．等式性质．性质1：等式两边都加
等式；
性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(
3．
4．等式的基本性质，质1：不等式的两边都
不等号的方向不变；
性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，
性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，
(二)方程和不等式的
1．方程的解法．'
(1)元一次方程．任何一个一元一次程，总
(2)一 一元次方程的解法
①直接开平方法：
②配方法
③公式法
④因式分解法 ；
．、
(3)分式方程：分里含有未知数的方
解分方程的一般步骤是：①去分；②解所得的整式方程；③验
原方程的公分母中去，若公分母的值为零就是
若方程是特殊类型的分式
(4)二一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知的方程组，叫二元一次 方程组．二元一次方程的解法有代
2，不等式的解法．
(1)元一次不等式：任何一元一次等式，
(2)一元一次式组：儿个含有相同未知数的元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．几个一元一次不等式的集的公共部分，叫做不等式组的解，解不等式组时，可以把每个不等式的解集在数轴上表示出来，这样它们的公部分便能较易地出来了．两个一元一不等式组的等式的解
(三)列方程(组)
在列方(组)解应用题的过程中，关键是根据题目所条件，找出之间的等量关 系，再列一个
列方程(组)解应用题的一
1．题．就是弄清题意，弄清问中有哪种量，其中哪儿个量是
知的，它们彼此之间遵循哪些
2．设元．选择个或几个未知数，用字母来表示．根据题中给出的数量关系，用所设未知数盼代数式表示其他的未知量．设未数的方法有三种：直接设未知数、接设未知数、设辅助未知数．究竟设什么未知数，要因题而异，酌情处理．未知数设后，可看成已知数，参与析和计算．此，未知时
3．列程(方程组)．根据题目所给条件(包括已知，已经假设未知量及数量关系)， 找出量关系，
4．解方程或方
5-验和答话．检验所得的是否合理，并注意问题的实
二维形式的柯西不等式知识点梳理
课题:二维形式的柯
备课师:沈良宏 参与师:郭晓芳、龙新荣
1、学重点:二维形式柯西不式的证明思路,二维形式柯
2、教学难点:二形式柯西不等
3、学生必须掌握
1. 二维形式的柯
若 a , b , c , d 都是实数,则 (a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥ (ac +bd ) 2,当且
2. 柯西不等式的
设 α, β是两个向量, 则 |α·β|≤ |α||β|, 当且
3. 二维形式的三
设 x 1, y 1, x 2, y 2∈ R x 1+y 1+x 2+y 2≥ (x 1-x 2) +(y 1-y 2) .
注意:
1. 二维柯西不等式的三种形
定理 1是柯西不等式的代数形式,定理 2是柯西不式的向量形式,定理 3是
根据向的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯不等式及二式的三角不等 式均可看作是柯不等式的向
2. 理解并记忆
(1)代数形式中当
(2)向量形式中当存在实
(3)角形式中当 P 1, P 2, O 三点线且 P 1, P 2在
3. 掌握二维柯西不等式
(1) a +b ·c +d ≥ |ac +bd |.
(2) a +b ·c +d ≥ |ac |+|bd |.
(3) a +b ·c +d ≥ ac +bd .
(4)(a +b )(c +d ) ≥ (ac +bd ) 2.
4. 基本不等式与二维柯西不
(1)基不等式是两个正数之间形成的不等关系.二维柯西不等是四个实数之间 的不等关系,从这个意义上讲,二柯西等式是比基
(2)基本式具有放缩功能, 利用它可以比较大小, 证明不等式, 当和 (或积 ) 定值时, 可求积 ( ) 的最值,同样二维形式的柯西不等式也有这些功,利用维形式的柯西不等 求某些函数的
4、容易出现的
在二维形式西不等式相关要点中,对式子 (a2+b2)(c2+d2) ≥ (ac+bd)2取等号的条件容 忽略,由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系,使用公时容易混淆公式中数 据之间关系,数
5、解决方法:
高考数学不等式部分知识点梳理
高考数学不等式部分知识
一、不等式的基
1、
不等式的分类,绝对不等,条件不等式,矛盾
3、同向不等式与异向不
4、同解不等式与不等式的同
二、不等式的基
,对称性, a,b,b,a1、
,传递性, a,b,b,c,a,c2、
,加法单调性, a,b,a，c,b，c3、
,同向不等式相加, a,b,c,d,a，c,b，d4、
,异向不等式相减, a,b,c,d,a,c,b,d5、
a.,b,c,0,ac,bc6、
,乘法单调性, a,b,c,0,ac,bc7、
,同向不等式相乘, a,b,0,c,d,0,ac,bd8、
aba,b,0,0,c,d,,9、,异向不
11a,b,ab,0,,10、,倒
nn11、,平方法则, a,b,0,a,b(n,Z,且n,1)
nn,开方法则, a,b,0,a,b(n,Z,
三、几个重要不
2,1, 若a,R，则a,0，a,0
，2222,2,,当仅当a=b时取等号, a、b,R,则a，b,2ab(或a，b,2ab,2ab)
ab，,3,如果a,b都是正,那么 ,当仅当a=b时取
，极值定,若则1如果P是定值, 那么当x=y时,S值最小,2如
- 1 -
的值最.利用极值定理求最值的必要件, 一
3322? ababab，，?
333333222?由，可推出; abcabc，，?3abcabcabcabcabacbc，，,,，，，，,,,3()()
(,); abc，，,0等
abc，，3?如果a,b,c?{x|x是实数}，么.(当且仅当a=b=c
ba,当仅当a=b时取
2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa,,,,,,,,,,,,,,,,时，或 ,7,含绝对不等式,?? a，a，a,a，a，a若a、b,R,
四、几个著名不
222a，ba，b ,1,平均不等式,如果a,b都正数,那么 ,当仅当a=b时取等号,即,平方
术平均?几何平均?和平均,a、b
2222abab，，abab，，22别地,,
222212222a，b，ca，，b，c,,,幂平均不等式, a，a，...，a,(a，a，...，a),(a,b,c,R,a,b,c时取等)nn,,1212n33,,
22222()()()acbdabcd，,，，注,例如,.
1111111常用不等式的放缩法,? ,,,,,(2)n2nnnnnnnnn，，,,1(1)(1)1
111? nnnnn，,,,,,,11(1)
nnnnn，，，,121
a,a,a,...,a,R,b,b,b,...,b,R;,2,柯西不等
222222222,当且仅当(ab，ab，ab，...，ab),(a，a，a，...，a)(b，b，b，...，b)112233nn123n123naaaa3n12,,,...,时取
,3,生不等式,特例,与凸函数、凹函数,若定义某区间上的f(x),对于定义域中任意两点
- 2 -
xxfxfxxxfxfx，，，，()()()()12121212则称f(x)为凸,或凹,函数. ff()().,,或2222
五、不式证明的几种常用方法,比较、综合、分析法、换元法、反证
六、不等式的解
1,式不等式的解法,根轴法,。步,正化,求根,标轴,穿线,偶
特例,?一元一次不等式,解一元一次不等式,组,及一元二次等式,组,是解其他各类不等式
用。
()10a,,
,
axb,,分()20a,,
,()30a,,情况分
22axbxca，，,,,00()axbxca，，,,00()a,0a,0?一元二次不等
2,,0,,0,,0,,,bac4意的三情况,即或或,最好联
,2,分式不等式的法,先移项通分
fxgx()()0,,fxfx()() ,,,,,0()()0;0fxgx,gx()0,gxgx()(),
,3,无理不等式,转化为有理
,,fx()0,,定义域,, 1 ?fxgx()(),,gx()0,,,,fxgx()(),,
,f(x),0,(),0fx,,(),0fx, 2 3 ??f(x),g(x),g(x),0,(),(),(),0fxgxgx或,,(),0gx22,,f(x),[g(x)],(),[()]fxgx,,
,4,.指数不等式,转化为代
f(x)g(x)f(x)g(x)a,a(a,1),f(x),g(x);a,a(0,a,1),f(x),g(x); f(x)a,b(a,0,b,0),f(x)，lga,lgb
,5,对数不等式,转化为代
fxfx()0()0,,,,,, log()log()(1)()0;log()log()(01)()0fxgxagxfxgxagx,,,,,,,,,,,aaaa,,fxgxfxgx()()()(),,,,
,6,含绝对值
1应分类讨论思想去绝对值,2应用数形思想,3应用化归思
- 3 -
g(x),0,|f(x)|,g(x),,,g(x),f(x),g(x),
g(x),0,|f(x)|,g(x),g(x),0(f(x),g(x)不同时为0)或,f(x),,g(x)或f(x),g(x),
注,常用不等式的法举例,x
112423 ?xxxxx(1)2(1)(1)(),,,,,,,22327
2222(1)(1)12423xxx,,223? yxxyy,,,,,,,,(1)()223279
22111yxxxx,,,sincossin(1sin)类,? ||||||()2xxx，,，,与
- 4 -
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