Super--爺
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.间，该余项称为拉格朗日型的
（：f(n)(x.)是f(x.)的n阶
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（据拉格朗日中值理
f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示数f(x)且要写出
P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所
)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的
Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定
Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中
Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这ξx.和x间。Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为计算的需要，故x往往要取一个定值，此
麦克林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当数在此区间内时，可以开为一个关于x多项式和一个余项
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
其Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这
P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的体表达式，就可以把泰公式写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：导
最后可得：
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦劳林展开式并舍弃余
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单
证明：这公把复数写为了幂指数形式，实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，已把系数含有土i的项用乘分配律写在一起，剩余的写一起，好cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导欧拉公式。有兴趣的可自行
[编辑本段]
e始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞著名学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无
计算函数的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为的对数,这叫作自然
以 x=1
此级收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是 将指数函 ex 扩大的义域到复数 z=x+yi
透过这个级数
由此,De Moivre定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另
所以,
我们仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系多项式的根,这结是Hermite在1873年得
甲)差分.
考离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成或 (un).数列 u 的差分还个数,它在 n 所取的值以定义为 以后我们干脆就把
(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的
注:说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却恰当,因为这样才跟续的函数具有完全平行的类推. 差分算子
(i) [
(ii) (常数) [分方程根本定
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.
(iv) 叫做
(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn之差数列(即「导
(乙).和分
给个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢我们有下面重要的结
定1 (差和分根本定理) 如果我们能够
和分也具有线
甲)微分
给一函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的数,
若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 f 的导函,叫做微分算子. 微分算子的
(i) [
(ii) (常数) [分方程根本定
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指数数 ax 之导函
(乙)积分.
设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算影的面积.我办法是对 [a,b] 作
;其对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极
若这个极限值存在,我们就记为的何意义就是阴影的面
(事实上,连续性也「差不多」
积分算子也具有
定2 若 f 为一连续函数,则存在.(事实上,连
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,们欲求积分如果我可
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点差异,即和分的上限要很小
上面理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆操作,就好像加与法,乘法与除法是互逆的操作
我们知差与微分的操作比和分与积分单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那对vn及 g 代入上下限就到答案了.换句话说,我可以较简单差及微分操来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.顿与莱布尼慈对微积分大的贡
甲)Taylor展开公式
这别散与连续的类推.是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本可能很复杂而不易对付,于是我们法子去一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「
取 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我看出,要使用近想法,我们还需要
两个问题:即如何选取简函数及逼近的尺
() 连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一 n 次项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」, ,
此式就做 f 点 x0 的 n 阶 Taylor 展式. g x0 点附近跟 f 很靠近,于是我就用 g 局部地来代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的数时,则 f可成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身. 值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情,此时 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且于 f 的图形之直线.因 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯」的精神,是
利Talor展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函表,对数表等),这些都意料事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯
复次们注意,选取多项函数作为逼近的简单函数,很简单:在众多初等函数中,三角数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则算,其它函就有这么简单. 当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另更有用更重要简单函数.例如,三角多,再配合上某种逼近尺度,我们就得 Fourier 数展,这在应用数上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级展开是采用最小方差的逼近度,这在高等数学中经常出现,而在统计学
注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又
Maclaurin展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或数代换)就好了.因此们大从头就只对 x=0 点作 Taylor
(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就
给一列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得gt与ft在 t=0 点具有 n 阶的「差」.所谓在 0 点具有 n 阶差近
答是此式就是离散情形的Maclaurin公式. )分部积分公式Abel分部和分公式的
(一) 分部
设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则
(二) Abel
设(un),(v)为两个数列,令sn=u1+......+un,则 面个公式分别是莱布尼慈导
D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式的结论.注到,这两个莱尼公式,一个很对称,另一个则
(丁)复利与连续复利 (这也分是离散与连续之间的类
(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后本利和yn= 显这个
根(丙)之(二)得知yn=y0(1+r)n 这就是复利的公
(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和
令 ,就得到连续复利的概念,此时
换话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是分方程 y'=ry的解
由们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方及微分方程,解方程式整个点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的
()Fubini重和分定理与Fubini重分定理(也离散与连续之间的类
() Fubini重分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可这样求:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦
(
当然,变数再多
(己)Lebesgue积分的概念
() 散的情形:给个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的小来分堆,相同的分在一堆,从每堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得
(二)续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积. Lebesgue的想法是对 f 的影域作
函值 yi-1 到yi之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和 让影的分割加细,上述近似和的若存
泰勒公式的余项
f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其f(n)是f的n阶导数] 泰勒余项可以写成以下几种不同
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) =
f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f
泰勒简介
18纪期牛顿学派最优秀代表人物之的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家会会员，并两年后获法学博士位。同年（即1714年）任皇家学秘书，四年后因康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。后在1731年1 2月29日
泰勒主要作1715年出版的《正的和反量方法》，书内以下列形式述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式内v为独立量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则常数。上述式以现代形式表示为：这公式是从格雷戈里－牛顿值发展而的，x＝0时称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强了此公式之重要性，而称之为微分学基本定理，泰勒于
有虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工直至十九世纪二十年代才由柯西完
泰勒理有限差分理论，使任何变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为要。他过求解方程导出了基本频率公式，开创了究问题先。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常分方程的奇异解，曲问题
1715年，他出版了另一名著《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密形式展开其线性透 视
【word】 关于泰勒（Taylor）中值定理的一个证明
关于泰勒(Taylor)中值理的一个
第29卷第1期
2008年3月
内蒙古农业大学
JournalofInnerMongoliaAgriculturalUniversity
Vo1.29No.1
Mar.2008
关于泰勒(Taylor)中值理的一个
刘俊英,雪莲
(1.内蒙古农大学职技术学院,呼和浩特014109;2.内蒙古师范大学
摘要:泰勒(Taylor)中值定理是微分学中1个重要的定理之一,在一般的学分析或高等数学教材中,
明是先构造函数n次勒(Taylor)多项式,然后再给出证明.本文给出1个别于传统的证明.教学实
种证明学生易于掌握.
关键词:微分中值定理;皮亚诺余项;拉格朗13
中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:1009—3575(2008)01—0199—04
APROVINGMETHODOFTAYLORMEDIANTHEOREM
LIUJun—ying,XUELian
(1.VocationalandtechnicalcollegeofInnerMongoliaagriculturaluniversity014109,China;
2.MathmaticsciencecollegeofInnerMongolianorm~university010022,China)
Abstract:TheTaylormedJantheoremisoneofthemostimportanttheoremsindifferentialcalculus.Inmanytextbooksofmathemat-
icsanalysisorhighermath,theprovingmethodsofTaylormediantheorem,ge
powermultinomi— nerally,arefirstformingafunctionofn—
alandthenprovingit.However,thepaperpresentsanotherdifferentmethodofprovingthemediantheorem.Bypractice,itisindica—
tedthatthismethodiseasiertobeper,(.)+.)(一.)来近似地表达,(),其误差是
当—.时,比一.
高阶的无穷小量,即:
,()=p()+o(一0)
这种近似表达存在以下不足之
.
首先是精度不
用它来做近似计算时,不能
体估算出误的大小.因此,对于精确度要较高且需要估
时候,就必须用高次多项式来近似
函数,同时给出误差公
泰勒(Taylor)中值定理解
泰勒(Taylor)中定理:如果函数,()在含有.的某个开区间(a,b)具有直到(rg+1)阶的
在(a,6)内)可以表示为(一.)的一个rg次
即:
$收稿日期:2007—05—14
作者简介:俊英(1967一),女,讲师,硕士研究生,从事高等数学教学与
内蒙古农业大学2008
=
f(xo)0)(一‰)+.+‰)n+Rn?
R()=等(一‰)”(介于与之间)拉格朗日()
或R()=o【(一‰)】皮亚诺(Pe口加)
带有皮亚诺(Peano)余项泰勒(Taylor)中值定理的
=
f(xo)一%)++...++0【(
因为‰)=.)一.)
nm一
—
—
O
所以有=‰)+..其中.是当—.时无穷小量.
)=.)+‰)(—.)+.(—.)……………………………….(1)
并且满足-(—X0)=o(x一‰)
因此?式可写成:’
Xo) )=o)+o)(—o)+0(—
=
.(.)+.)(—.)+R.()…………………………….(2)
所以:
R.()=,()一.)一.)(一.)
Rj()=)一f-(.)
所以:
.R.().Rj().)
T_-
于寺=+
R1():(‰):+0c2(一):,其中0c2是当—时的无穷
所以?式可写成:
):‰)+‰)(一‰)+(一‰):+.[(一‰):]
:)+..)(一)+(一%):+R2()……………………(3)
:
()=)一f(xo)一‰)(一‰)
可
~xo)(一
‰)
()=)一/.)一.)(—.)
()=弋)一弋.)
()=.弋)
所以:
且有R2(‰)=0
且有R;(‰)=0
且有(‰)=0
.
R:().R;().().()‰)
石丁『-
于=
R2()=(—.3+0/3(—.3其中,当—时的无穷
所以,?式又可写为:
=
))++.+o[.]
第1期刘俊英:关于泰勒(Taylor)中
++)3+R3
.
?
用数学归纳法,谷易得
=
f(xo)+)+.+…(4)
证毕.
带有拉格朗日(Lagrange)余项泰勒(Taylor)中值定理的
用R()来代替(4)式中O[(一)”],可以
=
f(xo)+ffxo)()+.+)
(Nf()含的个开区间(n,b)内具有(凡+1)的导数,所以R()
一
f(xo)一)一一…”
且有:R(0)=0,R:(0)=0,R二(0)=0,…,R’”‘(0)=0
R’()=‘()…………………………………………………………………(5)
所以:()=鲁(一)+1)++.[(一)一],其中n+.是—.时的无
对两个函数R()(一)”在以及为端点的区间上应用柯西中
足柯西中值定理的条件).得
=
0=—n—1(.在.与.之间)(一
)(一)一(+)(1一).
对两个函数R()及(凡+1)(一)”在以及.为端点区间上应用柯西中
一
起代入上式,即
R(.)R(.)一R(.)
(n+1)(一0)”(n+1)(.一0)”
照此方法继续做下去,经过(n+1)次后,得
R()R’’()
(一0)”一(n+1)!
:—鱼(在与.之间)
n(n+1)(一)一,
(在与之间,因而也在.与之间),
再由(5)式得:”()=()
n+1)
所以Rn赫(一)
证毕.
通过证明可以道,用导数概念,极限和无穷小量的关系定理以及阶无穷小概念可以直接
(Taylor)中值理.证明过程简捷,易于接受,也反应出函数与其某一变化过程中极限值之
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泰勒中值定理的证明及应用探析
学园 ｌ ＵＸＥ ＹＵ ＡＮ
２０ １ ３ 年 ２第３ 期
泰勒
中值 理定的证 明及应
陆 伟 刘佳依王 帅 京理南 工学紫 金
要】 过通 “ 谈拉对朗 格中定理和柯西值中理定的明”的证细分析详，其在柯值定理 的中 明中提 了供一种 为较简单的于罗基定理尔的 证明法，方 方法此不相简对单， 明 易了懂 本文通过。对种这法的方利来证明用勒 泰定 理 ，
进一 步 进数 学研究 域 领 勒泰 值 定 理应的
【 关键 】词勒泰中
值勒公泰式
【
中 分图号 类 ０１ 】 ７２
【 文标识献码】 Ａ
【文编章 】号 １ ６ ７４—４ ８１ ０（ ０ １２ ３）２ ３ｏ一０ ５ ７一 Ｏ ２
间 时区 ，＿ 厂 （ ） 口就Ｊ 以表不 为 Ｘ －Ｘ（０ ） 中一 个 的ｎ
等高学为作必科修 目 在等学教重要的地位中， 泰勒而值中理定在微积中对于分多不较解决的易题都问能对相 为单的现 实， 泰勒值定中理应的也用以在可价公中式
最用好替于换的 无价穷 小 从，而 弥 在补算 中计用
与一个
余 项 ｘ）（ 的总和 ：
（
） （Ｘｏ ） 十 厂 （ ） （ ）一 ＋ 掣（ｘ －Ｘ ０ ） ２ ＋ …
＋
一
的不足
做。勒泰值中理定研究的析工 就可以更好，服地 务 高等数于领域其他重学定理的研究要用。因此应，对 勒 泰中定值理证明在的高教等育中显
。一
：
（ｘ － ｘｏ） ｋ －Ｒ （ ．
中： 其
㈩
＝
ｆ ／， ／
Ｉ
、 ！
（
）
川 （ 拉格日余朗 项） ， 是（ ） ＝０［（ Ｘ －Ｘ 。） ］ （ 皮 面用有含亚诺皮余 的泰勒项公进
亚诺余 项 ）。
关
于泰 中值定勒理 的证
设 函数
厂 ）（ 在开 间（ Ｃ，ｄ） 有内直 ＋到阶１的导 数 ，设 ，ｂａ 为 ｃ ，（ｄ）内任的两意
／（ ） ｆ－ （ＸＯ ） ， （ 粕 （）Ｘ － ｏＸ） 掣＋
＋…＋ ．
．
Ｘ
－ Ｘ） ：
） ＋㈩喜 （ｂ － ａ
（ 其中 于介ａ ｂ，
也就是 说 ：
（
ｂ－
ａ掣
—
—（Ｘ － Ｘ ０ ）”＋ ｏ［ （ 一粕 一 ］） 一
＇ｆ（ ｘ ｏ ）： ｉ ｌａ ｒ （ ｘｆ） － ｆ （ ｏｘ ） （ ｘ ｆ） － ｆ ｘ （ｏ）
．
．
．
．， （
＋）
／
（ ６ ）： Ｉｆ （） ＋ 掣 （ 一６ ｘ） Ｋ ＋（６ 一） ］删 （１） 无穷
小量 也就， 是：厂 ）（Ｉ （
： ） ＋
（２）
６ ｃ ，这里 的６ ｃ １ 是 ．
当时的
（
ＸＯ ） （ Ｘ －Ｘｏ ）ａ ＋
（ １ ）
（
ｘ 一 ‰ ）
而
且 满足 ｄ：１ （ 一 ＝０ （ Ｘ） Ｘ－０
?ｏ．
．
注：
公 中 所涉的及数 Ｋ即值为公 式 （１ 中所）决定 ， 在公式 （ ２ ）的中 Ｋ只是作为一值定常数值 出现。 以，所 厂（ ｂ ）＝ （ ａ ＝） （ｂ） ，罗尔定由分
）＋ ｎ（ （ ６ ＿ 一
将（１ ） 式写成 厂（ ： ）＝ ＿厂 （ Ｘ ０
）
（）（ 一 ）
（ ） ２
＋ ０ Ｘ －（ Ｘ ０）； ｆ （ｊ ｃ） ＝ 厂Ｉ（ｚ ０ ） ＿ ｆ （ ．］ ｃ ０） （ 一）＋ Ｒ （ ）
? ．
Ｒ．１ ｘ） （
（ ）
（ Ｘ ０）
（ ０） Ｘ（ －Ｘ ０ ，）且Ｒ
（ ０ ） ＝Ｏ； Ｒ １ ｘ（ ） ＿－ｆ （ Ｘ —）Ｉ 厂 （ ｘ ｏ ０
（ ６＿矿 １） ＿ １ ）
．
．． １ ｍ — 鱼ｉ ： ｌ ｍｉ ！ ： ｌｉ ｍ ．ｆ ｉ（ ｘ） － ｆ ＇（ Ｘ ｏ ） ｌ ｉ
ｍ
一
Ｘｏ ）
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（６ 一 ） 一 （ 一 １＋ ）（Ｋ６ 一 ） ： ［
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２ １
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１
（
） ：
据根： 。 （ ） ：［ 得
Ｋ＝
一 （＋ ）Ｋ１］ （ 一６ ） ： ０ （ ≠６ ）
（ 于介口 ｂ之， 间） 。
（
一 ）０
＋
ａ （２ 一粕 ）２ ａ ２ 是 当．
?． ．
时 的 穷 无小 量。
可
以将（ ）２式 成 ： 写
证 明
完 成 。
厂 （ ） （ Ｘ Ｏ ）（ ） （ － Ｘ ０ ）Ｘ＋ 掣 （ｘ －ｘｏ ）
０＋ ［（ Ｘ－ Ｘ ０ ）］
由此
可见 ，这种证方不法仅于各种数适值， 对于 ｎ ＝ Ｏ 情的况也是适用的 ，即对于格拉朗 日中定理具
用 的并 ，且相 于 格朗日 值中定 更理简单 明 了。 二 关 泰于勒 值 中定 的再 一
厂 （ ） （ Ｘ ０ ） （ ） （ Ｘ－ Ｘ ０ ＋） 掣 （ｘ－ Ｘ ｏ ）
Ｒ＋２（ ）（ ３ ）
假设函
数 厂 （ ） 某在个开
ａ） 存在内Ｘ 。 ，且 区间 内拥 有直 到（ ＋ １阶 ）导的数 ，
Ｒ ２ （
） （ ） Ｘ （ ）ｏ ， （） Ｘ Ｘ－） 一
） ，目． Ｉ （ ） ０ ＝。
一
厶 ：
５一— ７
园 Ｉ学 ＵＸＥ Ｙ ＵＡ Ｎ Ｒ
＇２ （ ｚ） ＝ （）－ ｆ （ Ｏ Ｘ－） － ｆ” （ ０ ） （ Ｘ Ｘ －０） 且， Ｒ
（ ｘ ） ０＝
。２ ０
１３年 第 ２３ 期
所，以过通上推理述， 可以到得 ：
ｉ ｎｓ ｘ 一＝ Ｘ ３ Ｘ＋ ５…
一
＋
（ 一 ） １
＋
＋Ｉ …（ ）
Ｒ
（” ）＿ －ｆ ”（ ） － ｆ（ ｘ ０ ）且 ，Ｒ （ ｏ ）０ ＝。 Ｒ ” （ ）． ＿ ｌｉ ｍ
． ” （ ） ： ｌ ｉｍ 一
）
一（∞ ＜＜。＋ ） 。 ｍ ＝ｌ ｉ ｍ Ｐ￣（ ｘ
：
）
ｓｉ ｎ （ ＋
）
ｓｉ ｎ（ ０ ＋ ｎ２＋ ｌ
ｘ－ ￣－ ｏｘ 一 ）
一 ）
６
３
１
其中，
（ ０ ＜ ＜１ ）
．
＝
ｘ２ ｎ Ｉ ＋ — －
是 于
＝
，
＝）
（ Ｘ －Ｘ ｏ
＋） ０ ３ （【Ｘ －Ｘ ０ ） 其中， ３ 是当 ｘ ０的时无穷小。 所量以可将 （以３ 式）
例题 ３： ｆ
－—
ｄｘ 进求解行。 ，
（ ） （ 粕 ，）（ ｘ ｏ ）（ Ｘ －Ｘ ０ ）＋掣 （Ｘ －Ｘ ０ ） ｚ
＋ （Ｘ －Ｘ ０ ） ＋ｏ ￣ （ Ｘ－ ０ ） Ｘ］
：解因
中
值却等于 １ ，此 因，ｘ ＝Ｏ是
的去可间点 断对，
（ ） （ ‰ ） ， （ Ｘ ｏ ） （ Ｘ － Ｘ ） ０＋掣 （Ｘ －Ｘ ０ ） ｚ ＋
用采数归学纳 法，
＋ （Ｘ Ｘ －０ 叶 （ Ｘ －Ｘ０ ｏ［ ｘ（ —
于函补在充 ＝Ｏｘ时的 值 １ 为， 以函所数兰 二＿ （在 一， ∞ ＋∞ ）是内连续 的根。据原函 存数的在定理分可析出得： 此数一定存在原函数 函，是由于 但 原函数并能
初函等的数相关式形表 示不妨，试利用级幂数的式
（一∞ ，＋ ｏ 。）表示 中 出
?? ．
的原
函 数。
Ｘ ０） ｌｏ 证
ｘ ：ｅ１ ＋ ｘ ＋Ａ ．． ＋．ｘ ：
２ １ ｎ ！ ” ！
＝ｌｎ ＋ ——＋ — ＋—…
＋ —一 一 。
—（一 ｏ ＜ｏ ｘ ＜＋ｏｏ ） ，
关 勒中定理的证值方明法有。多如果教做 到 解讲过程简单的易懂、 合 情乎理 就，能使学够在整生教个授 学课过 中，程 始自终地至动与参并随教师的解思路进行讲 思考索，最终达到
三 关 于 勒 中泰定值理 的
?
? —
—ｅ
一 １ ．
ｘ
根据
等 式 边两的积分 以
在
等数研高究领 域，关 勒泰值中的定应比较用 广 泛下面通过，道几题来例介绍关于泰中值定理的应用勒 。 １ ：题函数ｆ求（ ） ＝ 的 马
：’ 解． ’ｆ ‘ （ ） Ｘ ｅｘ ．，? ．ｆ‘ （ ）＝ １ ，０ ｆ‘ ¨ （）＝ ｅ ｘ， ｆ ‘（ ）¨ｅ＝８ ｘ ０ （＜＜１） 。
四 结束 语 综所述 上本，通过文泰对勒定值的证 理及
析， 得 出了 道例题 多应用中，的泰勒 中值定 理运
易使 学生更对 所 授 型题 具更有好的理 解 ， 这样 仅 不大
了师课授堂课效率的 ，提高生了的 学习效率 ，有更 助于学 对 于高 等生学 数学 动主性 辑逻 维 的形思成 ，
的学 学 习兴趣观 也有 好 很的果效， 样 这就 有更 于现实 高 等学数教学课 堂 的 重要 义。 参文献 １［ 齐］ 玲春 、李晓培． 关 罗 于尔 Ｒ（ ｏｌｌ ｅ中）定值 理
据
例
题２ ：ｆ（ ＝ｓ） ｉｎ ｘ开
：? ．解? ‘ （ ） ：ｓｉ ｎ （ ＋ ｎ ｉ ｔ
，
）
－．
．
，‘ （ ”０） 可 以
取 、０ １０、、 １一，… （ｎ ０ ＝， １２，，３ ，４， … ）。 从 而 由 得此 到级 数 一 Ｘ３＋ 百 Ｘ
３
一
［２］ 杨喜娟 、许声树 ．元二数函勒公式泰“ 中间 ”近 渐 ［性Ｊ ］ ． 数 学理 与应论用 ，２０ ０ （８ １） ３［］ 成王． 伟分积柯型西中 定值理中间点的渐近 质 性 Ｊ ］［． 北 服京装院学 （报自科学版 ） 然，２ ００ （９ ４） ［ ］ 杜４光．争ｎ 积阶分一第 中定理 “值中点函数”的 析性 ［ Ｊ ］． 荆楚
学报， ０２１ ２ （ ４）
…
（ 一＋１ ） Ｌ一
—
上‘ ‘一。
敛收径半： ＝＋Ｒ ｏ 。 。 于对任 意数、 （ 介 于 ０与 之 间 ）， 则 ：有
Ｉ （ Ｒ） Ｉ ＝
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责 任编辑 ：照高］
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迤 订
５— ８
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明
第!"卷第#期
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岳阳师范学院学报（自然科
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中值定理泰勒公式罗必塔法则的统
王贵保
卢占会
（华北电力大学计算科学与信息系，
摘
要：借助插值的想，先给出函数（的泰勒公式的行列式表达式，推了柯西中值定理，据此
朗日中值定理、泰公式、罗必塔法则均是该结论的推论，从而对经典的中值定理、泰勒公式、罗必塔法则给出
关键词：中值定理；泰勒公式；罗必塔
文献标识码：?
文章编号：（$%%$）!%%@—A$%B%#—%%C!—%C
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F*=G"64A9J040,+D7,-)09J0(*04；U,1-(*.(*4)-,；H’T(8L69,-*)-0
中理、泰勒公式、罗必塔法则是微积中的重要结论，定理是研究导数应用的基础；泰公式是微分中值定的推广，它是用多项式逼近函数的有利工具，有了它就可以用多项式近似代替许不易处理函数；罗必塔法则对处理未定型的极限问题特别有用，它证明也依于中值
在的微积分中，中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定、柯西中值定理）泰勒公式、罗塔法则的结论都是独证明的，本文借助插值的思想，对中值定理、泰勒公式、罗必塔法则给出统一明，从而大简化了经典的证明，同时也看到了中值定理、泰勒公式、罗必塔法则内在的
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收稿日期：$%%$—%$—%C
作者简介：王贵保：男（!&C"—），山西人，华北电力大学计算机科学与息系教授，主要研究方向：
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岳阳师范学院学（自
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证明
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证明
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岳阳师范学院学（
推论!（罗必塔法
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再取极限可得。"，
推论(（罗必塔法则的推
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（#）在点"的某域内（
（!）（!）#’$’%不再成立最小的自
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（!）#
（&）存在（或为无穷大）；%&’!!"$（!）
（()"）
（（!）#!）#
那么%&’’%&’!!"$（!）!!"证明参
在定理中取!#’!"，再取极限
［"］同济大学数学教研室编，高等学（第四版）（上册）［)］高等教育出版社，*北京：#%%%*［#］米凯拉德捷+数学析的数值方法［)］科学出版社，+
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统
作者：
作者单位：刊名：英文刊名：年，卷()：被引用
王贵保， 卢占会
华北电力大学计算科学与信息系,
岳阳师范学院学报(自然科
JOURNAL OF YUEYANG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2002，15(3)0次
1.同济大学学教
1.期刊论文 黎东 利用中值定理和泰勒公式求函数极限 -和田师
用必达法则求未定式极限是有效的,但对某些0/0型的极限它并不方便,甚至用它不能求出.这种极限,可利用泰勒公式和中值
2.期刊论文
借助值的思想,首先给出函数f(x)的泰公式的行列式表达式,推广了柯西中值定理据此拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗必塔法则均是该结论推论,而对经典的中值定理、泰勒公式、罗必塔给出了统一
3.期刊论文
本在[1]-[4]的基础上对中值定理"中间点"的近在二维空间泰勒公及矢量函数中值定理中作进一步的推广,证明由二元函数泰勒公式决定θ,有limθh.k→0=1/n+1,特别地当n=0时,limθh.k→0=1/2,同时,在矢量函中值定理中也类似的结,最后讨论及证明了由二元函数泰勒中值定理中值点的几何意义.在数值取样具有一定
4.期刊论文 郑亚敏.小娜.Zheng Yamin.Li Xiaona 二元函数中值定理"中值点"
在元函数拉格朗日中值定和柯西定理"中值点"渐近性的定量刻画的基础上,利用泰勒公式给出二元函数拉格朗日值定和柯西中值定理"中值点"渐近性
5.期刊论文 积分柯西中值定理中值点的变化趋势 -闽
利用泰勒公式,讨了当区的两个端点都趋于其内一定点时,积分型柯西中值定理中点的变化趋势,得到了具有一
6.期刊论文 戴立.吴亭.DAI Li-hui.WU Ting 积分第一中值定理中间点
利勒公式,对Jacobson B,李文,吴亭的渐近定理、渐近速度定理的证明方法进行了改进,并对其相应结果进行了推广,研究了当区间的两端点都于其内一定点时,积分第一中值定理中间点的近性及其收敛
7.刊论文 王远民.詹.梁俊奇.Wang Yuanmin.Zhan Yu.Liang Junqi 中值定理"
利用泰勒公式,给出中值定理"中值点"渐性质的一个定
8.刊论文 高志锋.白洪远.薛京东.GAO Zhi-feng.BAI Hong-yuan.XUE Jing-dong 关于中值定理中点的渐
本文从一道习题起,利用泰勒公式,讨论中值理中值点的渐
9.期刊论文 钱忠.仁福 柯西中值定理"中间点”的渐近性 -淮海工学院
利用泰勒公式和必塔法则,推得柯西中值定理"间点”的一个渐
10.期刊论文 戴立辉.刘龙章.DAI Li-hui.LIU Long-zhang 积分型Cauchy中
讨了当区间的两个点都趋其内一定点时,积分型Cauchy中值定理"中间点"ξ的渐性,推广并改进了文献[1]之
本
授使用：中共汕尾委党
下载时间：2010年8月8日
泰勒中值定理的证明及应用探析
泰勒中值定理的证明及应用
【摘 要】过对“谈拉格朗日中值定理和西中值定理的证
详析，其在柯西中值定理的证中提供了一较为简单的基于罗尔定理的证明方法，此方法不仅相对简单，且明了易懂。本文通过对这种方法的利用来明泰勒值定理，旨在进一步促进数学研究领域泰勒
【关键词】泰勒中值定理 泰勒公
【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)23-0057-02
高数学作为必修科目在高等教学中占有重要的地位，泰中值定理在微积分对于较多不易解决的问题都能相对较为简单的实，泰勒中值定理的应用也可在等价公式中找到最好用于替换的等价无穷小，从而弥了在计算中常用公式的不足。做好泰勒中值定理的研究分工作，就可以更地服务于等数学领域其他重要定理的研究应用。因此，对于泰勒中值定理的证高等教育中就得尤为重
一 关于泰勒中值定理的证
证明完成。
由此可见，这种证明法不仅用于各种数值，对于n=0的情况也是适用的，即对于拉格朗日中值定理具有样的作用，并且相对于拉格朗日中值
二 关于泰勒中值定理的再一证
证明完成。
于泰勒中值定理的证明方有多种。如教师做到讲解过程的简单易懂、合乎情理，就能够使学生在整个教学授课过程中，自始至终地主动参并跟教师的讲解思路进行思考探索，最终达到
三 关于泰勒中值定理的应
在高等数学研领域，关于泰勒中值定理的应用比较广泛，下面通过几道例来介绍关于泰勒中值定理
例题1:求函数f(x)=ex的
四 结束语
上所述，本文通过对泰勒中值定理的证明及应分析，得出了在多题的应用中，泰勒中值定理的运用更容使学生对于所授题型具更好的理解，这样不仅大大提高了教师课堂授课的效率，也提高了学生的学习效率，更有助于学生对高等数学学习动性逻思维的形成，对于锻炼学生的主观学习兴趣也有很好的效果，样就更有利实现高
学课堂的重要意义。
参考文献
[1]齐春玲、晓培.于罗尔(Rolle)中值定理条件的研究[J].河南科技
[2]杨喜、许声.二元函数泰勒公式“中间点”的渐近性[J].
[3]王成.积分型柯西中值定理中间点的渐性质[J].北
院学报(自然科学版)，2009(4)
[4]杜争光.n阶分第一中值定理“中点函数”的分析性质[J].
〔责任编辑:高
