高英敏

( )青海师范大

摘要 : 在距离线性空间成为赋范线性空间的基础上 ,导出距离线性成为赋准线性空间的是 : 距离 ( ) d x , y还要满足平移不变性 ;距离线性空间成为赋拟范线性空间的条件是 : 此空间应为拟距线性空间 ,且此 距离还满

关键词 : 线性空间 ; 范线空间 ; 赋准范线性空间 ; 赋拟范线性空间 ; 距离

中图分类号 : O177 . 3 文献标识码 : A

Transf era ble con dit ions f rom metric l inear space to

F2normed an d seminormed l inear spaces

GAO Ying2min

()Dept . of Mat hematics , Qinghai No r mal U niversit y , Xining 810008 , China

Abstract : On t he basis of t ransfo r matio n f ro m met ric linear space to no r med linear space , t he t ransferable co n2

( ) ditio n f ro m met ric linear space to F2no r med linear space is t hat t he distance d x , ymust satisf y t ranslatio n in2

variance and t hat f ro m met ric linear space to semino r med linear space is t hat t he space sho uld be semimet ric lin2

ear space and t he quasi2met ric must satisf y t ranslatio n invariance and absolute ho mogeneit y. Key words : linear space ; no r med linear space ; F2no r med linear space ; semino r med linear space ; met ric space

) (α θ) α( θ) () 5d x ,= | | d x ,绝对齐性. 1 问题的提出 则E 就可以构成赋范

) ) ) ( ) ( ) 文1 给了使离

Δ ( ) 为 E

Δ 若 E 是线性空间 ,定了

为一个拟距离线性空间.( ) ( ) ) 1 d x , y?0 ; 且 d x , y = 0 , 当

现在提出的问题

范 、赋拟范线性空间的条件是什么 ? 本在文

3 的启发下 ,对此问题进行了研.( ) ( ) ( ) ( )d x , y?d x , z + d z , y 3 三角形不

) 式. 2 主要结果 在E 上规定

定理 1设 E 是线性空间 , d E

() ) ) ) d 满足距离定义的 1,2,3,在 E 上规定即 () ( ) 由范数的性质 ,证由式 1所义的 d x , y 满 3 ( )2 ( ) ‖x - y ‖= d x , y ) ) ) 足 1,2和 3,从而 E 构成一个距离空间. 即赋范 3 () 则 E 按照式 2所义的 ‖?‖赋准范线性 线性空间一定可构成距离线性空间 ; 但反之未

间的条件是 d 还

证明 必要性) ( ) ( ) () 4d x + z , y + z = d x , y平移不

( ) 设 E 是赋准范线性空间 ,由式 2及准范的

义得 :

3 θ( ) x - y ‖= 0 Ζ x - y =Ζ x = y ; 设 E 是赋拟范线性空间 ,由式 3及拟范的

3 3( ) ) 2d x , y = ‖x - y ‖=‖- y +义可得 :x ‖ =

Δ Δ 3 3 0 ( ) ( ) ) ( )( ‖- y - x ‖= ‖y - x ‖= d y , x ; ?dx , y = ‖x - y ‖?0 ,

3 Δ Δ ) ( ) ( ) 3d x , y = ‖x - y ‖= ‖x - z +时 ] dx , y= ‖x - y ‖= 0 ; z - y Δ Δ 0 3 3 3 ( ) ( ) ( )( ) ( ‖?‖x - z ‖+ ‖z - ‖= d x , z + d z , ?dx , y = ‖x - y ‖= ‖ - y - x y

Δ Δ Δ ) ( ) y ; ‖= ‖y - x ‖= dy , x ;

3Δ Δ 0 ( ) ) ( ( )( ) ( ) ) 4d x + z , y + z = ‖x + z - y + z ‖ ?dx , y = ‖x - y ‖= ‖x - z + z - ΔΔ Δ Δ Δ 3 ( ) y ‖?‖x - z ‖+ ‖z - y ‖= dx , z + ( ) d= ‖x - y ‖= d x , y.

于是赋准范线性空间是

Δ 0 ) ( ) ( ) ( ( 数决

Δ Δ Δ ) ( ) 充

Δ Δ Δ 0 ( ) (α θ) θα α

Δ Δ ) ) ) ) ) αα( θ) 4,由距离公理 1,2,3及 4得 :| | ‖x ‖= | | dx ,.

33) ( θ) ( ?‖ x ‖ = d x ,?0 , 且 ‖ x ‖ 即赋拟范线性空间必是拟距离线性空间 ,且

( θ) θ距离还

3 ( ) θ) (θ( )?‖- x ‖= d - x ,= d , - x = d 充

3 Δ ( θ) ( θ) x - x ,- x = d x ,= ‖x ‖,且设 E 是线性空间 , d是其上的拟距 ,并且

3 (αθ) α() ) ) lim ‖x ‖= lim d x ,= 0 , 足 4,5. 由拟距离的

Δ θ()θ)( θ) ( ) = d y ,- y= d x , - y + d , - y ?d x , α ‖x ‖; || 33Δ Δ Δ ( θ) ( θ) ‖x= ‖x ‖ ‖ - y ‖ x ,+ d - y ,+ = ( ) ( θ) ( ?‖x + y ‖= dx + y ,= dx + y -3 3 Δ Δ Δ ‖+ ‖y ‖.θ( ( θ) (θ) ) ) y ,- y= dx , - y ?dx ,+ d, - y =3 Δ Δ Δ Δ ( ) 这说明由式 2所定义的 ‖?‖,当距离还满 ( θ) ( θ) dx ,+ d- y ,= ‖x ‖+ ‖- y ‖= ‖x

Δ Δ足平移不变性时 ,就满足准范数的条件 ,因此 E 按 ‖+ ‖y ‖.3 Δ 照准范 ‖?‖成为赋准范性空间. () 这说明由式 3所定义的拟范数 ‖?‖,当拟距 即距离线性空间成为赋准范线性空间的条件 ) ) 离还满足条件 4及 5时 , 就可以满足拟范数的

( ) 是 :距离 d x , y 还要满足平移不变性. 件. 于是 ,距离线性空为赋拟范线空间的条件 Δ 理 2 设 E 是线性空间 , d是 E 的拟距 是 :此空间应为拟距离线性空间 ,且此拟距离还满足 Δ ) ) ) 离 ,即 d满足距定义中 2, 3及条 1′. 在 E 平移不变性及绝对齐

上规定 参考文献 : Δ Δ ( )‖x - y ‖= dx , y ( )3

Δ () 1 定光桂. 巴拿赫空间引论 M . :科学出版社 ,1999 . 123 . 则 E 按照式 3所定义的 ‖?‖成赋拟范线性

Δ 2 曹定华 ,朱起定. 囿空间可赋范的条件 J . 长沙电力学院学报 间的条件是 d还满足 :( ) ( ) 自然学版,2002 ,17 2:122 .Δ Δ ( )( ) ( ) 4dx +z , y + z = dx , y 对 平 移 不 3 刘玉波. 赋准范空间上等连续算子族一致有界性 J . 中 ) 变; ( ) ( ) 山大学学报 自科学版,2002 ,41 4:20222 . Δ Δ ) (αθ) α( θ) () 5dx ,= | | dx ,绝对齐性. 4 肇直 ,张恭庆 ,冯德. 线性泛函分析入门 M . 上海 :

证明 必要性

(1)不构成线性空间

习题六

nn1. (1)不构成线性空间。， 例如:设PxPxPP=-1，,,,，,,,-1,V2V，而1212

不满足运算的封闭性。

(2)构成线性空间。验证如下:

设V={n阶实对称矩}，首先验证运算的封闭性，设A，B是V中的任意两个元

，则;再验证满足定义

成线性空间。

(3)不构成性空间。其中不满足运算的第七

2 设，，，则,,,,,,,,R(,)R,,ababab(+)()=((+))，

;而,,,,,,()+()=()+()=(()ababababab,,,,),2，

(+)()((),,,,abab,),2,，

2. (1)不是。， 设，即,,,,,(,),(,)Vaabbaabb=0= 111212nn

，故不满足运算的 ,,，,，，，，(,,),()()abababab而不一定为零111122nn

封闭性。

abcd，，，，(2)是。

acbdab，，,,，，，，22， ，因此它是的子空间。 RABV,A=V，,,,,,,,,0000，，，，

3. 证明:(1)先证线性无关; ,,,,14

设，即得 xx,,，，,01144

xxx，，,0x,0,,1341,,x,0xxx,,,0,,2123 解之得，，得证 ,,x,0xx，,0312,,

,,x,0x,04,,1

ab，，22， (2)再证任意的，都可由,,,,线性表示。 A=R,14,,cd，，

设，则 A=xx,,，，1144

xxxa，，,1111,134,xxxb,,,0110,,123由于其系数行列式，由Cramer,,,10,xxc，,1100,12,

,1000xd,1,

法则得，方程组有解。即

设，即 ,,,,，，xx1144

2311011110,,，，，，，，，，，， ，由此可得 ,，，，xxxx1234,,,,,,,,,,4711100000，，，，，，，，，，

xxx，，,2x,7,,1341,,xxx,,,3x,,3,,2123 解之得， ,,xx，,4x,7312,,,,x,7x,,12,14,

4. 同上可得。(

核空间与像空间构成直和的条件

核空间与像空间构成直和的条

薛晓欢

:太 原 师 范 学 院 计 算 机 系 ,山 西 太 原 :,,,,,,

摘 要 根据线性变换与矩阵间

件 ,即线性变换的特征不

关 键 词 核 空

::中 图 分 类 号 :,,,,, 文 献 标 识 码 , 文 章 编

,,, ,,,,,,,,

:,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,

,: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,

:,,…,::,,…,: , ,,,, ,,,,线性变换核空间和像空间是两类特殊的不变子 φξξξξξξ

,,空间对于任意的线性变换 线性空间是否可以分解 ,, 烌 烄,,这两个殊空间的直 如不能需要上什么 ,, , :,,…,: ,,,,条件本文给出这一问题的解答 ξξξ( :,:用表示所由线性空间,到

,,…,::,:::,:其中是块的线性映射所构成的集合 ,,,,,,,,,,,(, ,,, ,,,(, , ,, ,,,,,若的特征值含零不设为非零特征值,,::,φ引理设则 ,,,? φ ,应的块为且有,,,,,,,对 , ::,,, ,,,,,,,,,,,,( ,， , φφ ,,，, 烄,引理 性 变 换 的 核 空 间 与 像 空 间 的 维说 明, ,,，, , ::,,数满足式在一般情况下却不一定有 , ,, , ,, , ,,,,, φ φ 例如 ,,::::,,,×,,, 烆 烎, , ,, 烌 烄 ,:: , ,,, : :, ,, ,, , , , ::, ,(? ,,,,,, , φ φ ,::,,×, ,烆 烎,线性空间上的同一线性变在不同基下的 是满秩的的秩将决定核空间与像间的 易知,, ,, ,数当有如下结论 (,, ,,(,, ,,矩阵相似因此相 似矩阵可以看做 同线性变换在 ::,引理设 ,,,? φ ξξξ,不同基下的表示矩 阵 又任意矩都复相似于一 ,,…,的一 ,,, , ,::,标准型所以若则存在的一,,,,,,,,, ,且 ? 组基φ ,,…,, 基使 得 在 该 组 基 下 的 表 示 矩 ,,, φ ξξξ:,,…,: ,,,,φξξξ阵 为 ,标准型即,,,,,, ,, 烌 : , ,…, : ,, , , ξξξ ,::::,,,×,,, ,×, :;:收 稿日 期 ,,,,,,,,修 改 日期 ,,,,,,,,烆 ,,,, 烎那么有 :::,,,作 者简 介 薛 晓欢 ,,,,男 山 大同 人 计算机科与技术专

,:,,,,级 本科 生 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, :,,…,:,,,,,,, (,,，,,，,, φ ξξξ

高 等 数

,, ,::,,,…,引理设为则引

,组基且 :,,…,:,,,,,,,, , ,，,,，,, φ ξξξ

:,,…,::,,…,:,,,,, ( ,,, , ,,,,,φ ξξξφξξξ,, ::烄烌 此时也有命题成立( ,, :,,…,: ,,,ξξξ::,命题立即 ,,::::,,,×,,,烆 ,×, 烎,则有 , ,,,,,, φφ,,烄烌:,,…,: (,,,,, ,,,, , 下的表示矩阵为, 若 φξξξ设 在基 , ,…, , , ,φ ξξξ ,至此可 以 得 到 性 变 换 的 核 空 间 与 像 空 间 构 ,,烆

,成直和的条件即以下定理( ,,,

,::,否则若 定理则有等价命题 设, ,,? φ

:,,…,:::,, , ,,,,,(,,，,,，, , φξξξ φ φ::,,…,,, , 存使得的一组基, ,,, ,ξξξφ 改 烌 烄 , , ::,,…,:,,×, ,,，,,，, , ξξξ,:组基下的表示矩阵为或 , ( ,, ::烆 , 烎::,或以零特征值的 的

则有块均为一阶,,,,,,(

,:: ::,::的最高

,::::::,即这与命题矛盾若且证明 命 题 与 命 题 的 等 价 性 显 然命, ,,,, ,,(, ? ?,,φ φξξ,,,…, 征 值不含零则的表在的基, ,,, ::::,φ ξξξ题命题的等价也显然以下只需证明命 ,,阵为(,示矩 , ::::题与命题等价性( ,,,综上定理得证( ::,若命题成立那么由 , 考 文 献 :,,…,::,,…,:, ,,,,, ,,,,φξξξξξξ ,知的特征值不含零 ,,姚 慕

, ,,,,,,,,,,, , φ φ :,,,,,,,,,,,,

::从而命题成立而若,,京学数

,,:,:数版 北 京高等教育出版社 ,,,,,,,,,,,,,,,,:,,…,::,,…,: , ,,,, ,,,φξξξξξξ::,

欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 :上 接 第

另记 :,,,:, ,,,,, , β

因为经初等行变换后有 , , , , 烄 烌 , , , , , , , , 烄 烌, , , , , , , , , , , , (? , , , , 烆烎, , , , 因为 , , , ,

, , , , ,,::,所以,,,,,,,,,,, ，，，，，，, :,:,,,, ,,,,,,,, ,,:,,,:, ,,,,,, , ,而同构映射不改 向 组的性 关系线性表示 ,,,,是 且的一个基,,,,,,, (，，， 所以需研究矩阵 的列向量组成的向量组, 参 考 文 献 :,,,:, ,,,,, , β:,,,:, ,,张 禾 瑞 ,郝 新 高 等 数 ,,版

,::,,,:,

拓扑线性空间中存在非连续线性算子的充要条件

成 都 信 息 工 程 学 院 学 报 第24 卷第 3 期 Vol. 24 No. 3 6 月 2009 年 JOURNAL OF CHEN GDU UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLO GY J un. 2009

() 文章编号 : 167121742 20090320305203

拓扑线性空间存在非连续线性算子的充要条

张武梅

()成都信息工

摘要 :在拓扑线性空间中存非续线泛函的基础上 ,给出了拓扑线性空间中存在非连续线性算

件 ,即拓扑

关 键 :拓扑线性空间 ;非连续线性算子; H. 2

中图分类号 :O177. 3 文献标识码 :A

1 引言

文献[ 1 ]讨论了拓扑线性空间中关于非连续线性泛函的存在性 ,得到了个重要定. 在献[ 1 ]中首先证 明 ,若 E 是一无穷维的拓扑线性空间 ,并且满足 A 公理 ,那么 E 上必在着处处不连续

对仸意拓扑线性空间 E ,若不满 T公

且满足 T公理 ,那么 E 必欧空间拓

性泛函推广到线性算子 ,能不能找到一个拓扑线性空间中存在非连性算子充要条件 ? 文献[ 1 ]接 着在讨论线性算子的连续性与有界性关系中指出 ,若 E 为满足 A 公理的拓扑线性空间 , T 为 E 到另一

E内的线性算子 ,那么 T 连续价 T 有

E 必须满足 A 公理 ,如果弱

察 E 的线性

2 预备知识

[ 2 ] 定义 1线性空 E 称为扑线性空间, 如果它同时又是一个拓扑空间, 使下面两个条

() ( ) 1从 E ×E

() (α) 2从 K ×E E 中的射 , x?ax 是连续的. 其中 K 表示实数域 R 或复

[ 2 ] () 定义 2设 E 和 E是域 K 实数数域上两个线间 ,则从 E 到 E中的映射 T 称为线性算子 1 1 ( ) E= K 时 , T 为线性泛函,如果下面两

() ) ) ) ( ( ( () 1T x + x = T x + T x 对仸意的 x , x ?E 成立. 21 2121 2

(α) α( ) αT x =T x对仸意 ?K 和 x ?E 成立.

[ 3 ] 定义 3设 T 是一个扑线性空间 E 到另一个拓扑线性空间 E内的线性算

() 1称 T 在 x ?E 连续 ,如对仸

() 2称 T 在 E 上连续 ,如果 T 在 E 的每一点连续.

[ 1 ] () 定义 4线性空间 E 内子集 H 称为 E 的 Hamel 基 简记为 H. 2基是指 H 为 E 内的线性无

( ) 的

[ 1 ] 引理 1每个线性空间 E 均存在 Hamel 基.

() ( ) 注 1若 I 为 E 的一线无关

收稿日期 :2008210228

成 都 信 息 工

() 注 2若 I 为 E 一线

[ 1 ] 引理 2若 f 是拓扑线性间 E 性泛函 , f ?0. 那么 , f 在 E 上连续的充要条件是其满足以下仸

() ( ) ( ) () 1N f = { x | f x= 0 , x ?E} 是一个

( ) N f 不稠于 E ;

() ( ) θ3存在 的个

3 主要结

文献[ 1 ]中一个线性泛函是否连续 ,除该泛形式外于其定义的空间上的拓扑结构. 而在一般拓扑 结构下, 有限维线性子空间未必是闭的, 由此

定理 1 拓扑线性

( ) () ( ) ?E 上存在不闭的线真子间 E,

真子空间.

( ) ( ) 证明 :先证条件 ?与 ?的等价性.

( ) ( ) ?] ?显然.

( ) ( ) ?] ?设 E是拓扑线性空间 E 上的不闭的线性真空间. 若存在 x ? E \ E使得 E = E? L 1 0 1 1 (αΓαΓ) { x } ,则结论已证. 否则 ,取 x ?E \ E, 使得 x 是 E的聚点 ,设{ e| ?} 为 E的 H. 2基,

αΓαΓ{ x } 线性无关. 事实上 ,如果{ e| ?} ?{ x }

() βΛαΓβΛ盾. 从而由引理 1 后之注 2可知 ,存在线

() 的一个 H. 2基 ,令 E= L [ H\ x ] , E = E? L { x } , 由于 x 是 E的聚点 ,从而为 E的聚点且 x | E, 故 E0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 为 E

?E 0 , x 0( ) 充分 :泛

( ) ( ) ( ) 必要性 :设 f 是 E 上不连续

( ) αΓ(αΓ) 不连续及 N f 的定义知 x ?0 , 将{ x } 扩充成 E 的 H . 2 ,设为{ e| ?} ?{ x } , 令 E= L { e| ? } , 则 x 是 α0 αE的聚点且 x | E, 从 E为 E 的不闭的线

定理 2 设 E , E均为非平凡的拓扑线性空 ,有 dim E< +="" 则存在着="" e="" 到="" e内的非连续线性算子="" 1="" 1="" 1="" t="" 的充要条件是:="" e="">

证明 :充分性: 若 E 上存在不连的性泛

θ, x ?E 1 0^ ^ Tθ0 (0 ) ( ) , 其中 E的

到 E内的线性算子 T , 则 T 不连续. 事实 ,

必要性 :设 E是 E的子空间 , T 是 E 到 E上的非连续线性子. 设 E的维数为 m ,{ e, e, , e} 是 E 2 1 2 2 1 2 m 2 m ( ) ( ) ( ) 的基 ,则在 E 线泛函{ f | 1 Φ k Φ m } 使得 T x = ?f x e, Π x ?E. 由 T x 不续知 ,对仸意 x ? k k k 0 k = 1 m m ) ) ( ) ( ) ( ( E , 存在{ x } < e="" ,="" 其中="" n="" ,有="" lim="" t="" x="" x="" ,="" 即="" lim="" x="" e??f="" x="" e,="" 那么至存一个="" k="nn0k" nk="" k="" 0k="" k="1" x="" x="" k="1" n="" 0n="" 0(="" )="" (="" )="" (="" )="" k,使得="" lim="" f="" x="" x="" .="" f="" x是不连续的线性泛.="" 0="" k="" nk="" 0k="" 0="" 0="" 0="" x="" n="" 0="" 由定理1="" 与理="" 2="">

定理 3 设 E , E均为非平凡拓扑性

第 3 期 张武梅: 拓线

T 的充要条件

证明了 dim E< +="" 非续性算存的充要条件="" ,但当="" dim="" e="+">

立 ,这是值得研究的一个问题.

参考文献 :

[ 1 ] 定光桂. 拓性空间

[ 2 ] R. 兊里斯库.

[ 3 ] 游兆永 ,龚怀云 ,

() [ 4 ] 董立华. 赋准范间中子强

() [ 5 ] 刘玉波. 赋准范间等度续

Equivalent condition of existence of non2continuous l inear operator

in topological l inear space

ZHAN G Wu2mei

( )School of Mathematics , CU IT , Chengdu 610225 , China

2continuous linear function in the topological space the equivalent condition Abstract :Based on the existence of the non

of the existence of the non2continuous linear operator in the topological space is derived , i. e. there is a unclosed linear

t rue subspace in the topological linear space. Key words :topological linear space ; non2continuous linear operator ; Hamel basis

Banach空间上闭线性子空间强正交可补的充分必要条件

Banach空间上闭线性子空间强正交可

充分必要条件

第9卷第1期

2007年3月

应用泛函分析

垒!垒垒垒LYSISFUNCTIONALISAPPLICATAVo1.9

March

No.1

2007

文章编号:1009—1327(2007)01—0008—04

NecessaryandSufficientConditionsforEvery

ClosedMaximalLinearSubspacetobe

StronglyOrthogonallyComplemented

inBanachSpaces

FANYing',MAHai—feng,WANGYu—wenz

1.SchoolofMathematicsandComputerScience,HarbinCollege,Har&",l150086,Chi,ln

2?SchoolofMathematicsandComputerScience,HarbinNormalUniversity,Harbin150080,Chi,ln

Abstract:WeprovedthateveryclosedmaximallinearsubspaceinaBanachspaceisstrongly orthogonallycomplementedifandonlyifthespaceXisreflexiveandstrictlyconvex. Keywords:maximallinearsubspace;orthogonallycomplemented;Banachspace;reflexive;strict

convexity

CLCnumber:0177.2

1IntrOductiOn

ItiswellknowthateveryclosedlinearsubspaceinaBanachspaceXistopologically

complementedifandonlyifthespaceisisomorphictoaHilbertspace[.In2001,Wang YuwenandWangHui[2]provedthateveryclosedlinearsubspaceinaBanachspaceX(dim() 3)isstronglyorthogonalcomplementedifandonlyifthespaceXisisometrictoaHilbert space[2'引.WeknowthateverymaximallinearsubspaceinBanachspaceXmustbe topologicallycomplementedin,SOinthispaper,weintendtolookforthecriteriaforevery maximalclosedlinearsubspacetobestronglyorthogonallycomplemented. 2DefinitionsandLemmas

LetX,YbeBanachspaces,geometricpropertiesofBanachspace,suchasstrictconvexity, smoothness,andcomplementedsubspace,werefertoJ.Diestel[,andV.Barbuand Th.Ptrecpuan[5~andX.T.Yu[引.

Definition2.1[]Set—valuedmappingFx:;Xdefinedas

F(z)={z?XJ(z,z>一IJzIJ.=IJzIJ.),z?(2.1)

iscalledthedualmappingofX.(z,z>isthedualpairofz.?X.andz?X.From[-3-]we

knowthat

(i)FxiSsurjectiveiffXisreflexive;

(")FxisinjectiveorstrictlymonotoneiffXisstrictlyconvex:

(iii)Fxissingle—valuediffXissmooth;

Receiveddate:2005—11—17

Foundationitem:TheresearchwassupportedbytheScienceRreaschGrant(10553024)ofEducation

DepartmentofHeilongjiangProvinceandNSFGrant(10471032)ofChina

第1期FANYing,etal:NecessaryandSufficientConditionsforEvery…

(iv)Fxishomogeneousset—valuedmapping.

Definition2.2[]LetKCX,theset—valuedmappingx:XKdefinedas

.

(z)一{y?KlI1z—YI1一d(z)}(2.2)

iscalledtheset—valuedmetricprojection,wheredx(z)一infllz—Yl1.

Ifforeachz?X,x(z)?&,Kissaidtobeproximal;ifforeachz?X,x(z)isat

mostasinglepointset,Kissaidtobesemi—Chebyshev;ifKissimultaneouslyaproximaland asemi—Chebyshevset,thenKiscalledaChebyshevset.WhenKisaChebyshevset,x, denotedby,iscalledthemetricprojectionoperator.

Lemma2.1LetXbeanormedlinearspace,YasubspaeeofX,z?X\y,yo?L,thenyo

?y(z)iffFx(z—yo)nY.?,whereY.一{z?Xl(z,>一0,forally?y}.

proof[引.

LetXbeanormedlinearspace,wewritespA,forthespanofasetAandd(x,A)forthe distancefromztothesetA.Thefollowingconceptoforthogonalityisused(seeR.C. JamesEs])

and

z-l-ymeansd(x,sp(y))一llzll,

B-上-Ameansd(x,A)一llzllforallz?B.

Notethatthisorthogonalityinthenormedlinearspaceisnotasymmetricrelation. LetLbeasubspaeeofX,L.definedas

L.一{z?Xld(z)=llzl1.(2.3)

wheredL(z)一infllz—Yll,iscalledthegeneralizedorthogonallycomplementedconeofL. LetbealinearsubspaceofX,ifthereexistsz?Xandz.?0,L—N(x),thenL

issaidtobetheclosedmaximallinearsubspace.

Definition2.3ELetLbeasubspaceofanormedlinearspaceX.Ifthereexistsaclosed subspaceMofXsuchthatX—oM,andM-l-L,i.eMCL.,thenLissaidtobegeneralized orthogonallycomplemented,andMthegeneralizedorthogonallycomplementedofLinX. DefinitiOn2.4[93LetLandXbeasinDefinition2.3,IfL.isalinearspacesuchthatX—

oL.,thenLissaidtobestronglygeneralizedorthogonallycomplemented. Lemma2.2LetLbeaclosedsubspaeeofBanachspaceX,thenLisstronglygeneralized orthogonallycomplementediff

(i)LisChebyshev;

(ii)F(.)isadditiveset.

Ptoofez].

3MainTheorem

The0rem3.1LetXbeaBanachspace.EveryclosedmaximallinearsubspaeeofXis

stronglygeneralizedorthogonallycomplementediffXisreflexiveandstrictlyconvex?

ProofSufficiency.LetXbeareflexiveandstrictlyconvexBanachspace,Laclosed

maxima1linearsubspaceofX,thenLisChebyshev,andthereexistsanXo?X.\{}satisfying

L一{z?Xl(z,z>一0).(3.1)

Ttisobviousthat

L.一{tXolt?R),(3.2)

1O应用泛函分析

第9卷

and

Fx(.)={z?IFx(z)n.?&}

=

{z?J?Rsuchthatt.xo?Fx(z)).

(3.3)

F

.

oranyx,y?F(.),wemayassumethat ,?,thenthereexistf,?Rsatisfyingfz ?Fx(x),f~To?Fx(y)andf?0,

f?0.0ntheotherhand,wehave. 一?,一R),(3.4)

sinceiSStrictIyc.nVex'thenthemapping啪injectiVe, hencey:ty

z,andtherefore

z+=1+ty

Taking+一+ty,bythehomogeneityofF x,wehav

+z一1+?1+()

=

((+一+.(3.5)

c.mbiningwith(3?3),yieldsthatz+?Fx(L.)

,andhence(.)islinearspace,by Lemma2?2,Lisstronglygeneralizedorthogonallycomplemented

.

Necessity?ToshowthatisareflexiveBanachspace

,ByJamesTheorem[8l,itis

neededtoProVethatforeachXo?XowithIIXoII一1,thereexistsanz.?XwithlJz .

1suchthat(z,z0>一lJlJ=1.

only

lJ—

Le一?,z'=}beahyperplanein,theni ?

nfz『I=1.Indeed,forany

?H0,wehave

1一(Xo,>『Iz『I『I『I=『Iz『I,

andhencei

?

n

H

f『Iz『I三三=1.Ontheotherhand,thedefinitionofnorminX?impliesthatfor

tH^一…'r………

arbitrary,?(O,1),thereexistsanz.?Xwith『I五『I一1suchthat andhence(

thatinf

?H0

The

『I.270

:

(Xo,z.>>lJzlJ一,:1一,.

,

薏>=1,in.therw.rds,

definitionof?0andthefactthatinfl xEH0

『I一1suchthat(z,z0>=『Iz

zll一1.

=1impliesthatthereexistsanxo?Xwith

:1iffthereexistsanz.?H.suchthatllz.ll—

Choose.??.,settingL.一x.

ofTheorem.wehave

:

厶0(),(3.6)

andFf()isaclosedlinearsubspaceofX.(3.6)impliesthat-0hasauniquedecomposition:

.:z1+2,.5171?L.,X2?Fx(),

andhenceFx(x.一X1)nLo?n.byLemma2.1,wehavethat1?(2-.),inotherwords

IJ~一To,1lJ=in

,

fIJ.T—O—YIJ.Notethatz1?L.一-0一.impliesthat-0一1??.and Yt厶^一.

一

X0'——一inf

yEL0

_0一Yll:

Letz0一0一z1,then『Iz0『I一『I~一To—z1『I一1,and inf?H0.27lJ一1.(3.7)

第1期FANYing,etal:NecessaryandSufficientConditionsforEvery…11 SOXiSreflexive.

(Xo,z0>=<Xo,一370>一<Xo,z1>:<Xo,一370>=1. ToprovethatXisstrictlyconvex,itissufficienttoshowthateverynon—zerobounded linearfunctionalXo?\{)canreceiveitsnormatmostonepointontheunitsphereinX.

Withoutlooseofanygenerality,wemayassumethatlJzlJ一1.

Supposethat二.?withlJ二0lJ一1,andz.?XwithlJz.lJ一1,suchthatz.?王.and <Xo,二.>一1一<Xo,X.>.

SOXo?Fx().LetL0={z?XJ<xg,z>一0)thenL一{J?R),andhencez0?

Fx(Loo).Likewiseo?Fx().

If二0?z0,thenz0?Fx()hasdecomposition

z.:0+z.=(z.一二.)十二..

Since.一?L.,?Fx(Loo),(3.6)impliesthat.一=,一.,thisyieldsa

contradiction,thusXisastrictlyconvexBanachspace. References:

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andproximinalproperties[J].BullAmerMathSoc,1974,80:831--835? 摘要:

关键词:

Banaeh空间上闭线性子空间强正

可补的充分必要条

范鹰,马海凤,王玉

(1_哈尔滨学

(2.哈尔滨师范

证明了闭的极大线性间是强正交可补的充分必要条件是,空间X是自反

凸的

极大线性子空间;正交可补;Banach空间;自反严

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