一、 填空题 (本题共 6小题,小题 4分,分 24分 . 把答案在题中横线

(1) 若 0→x 时, 1) 1(4

12--ax 与 x x sin 是等价无穷小,

(2) 设函数 y=f(x)由方程 4ln 2y x xy =+所确定, 则曲线 y=f(x)在点 (1,1)处的切线方 程

(3) x y 2=的麦克劳林

(4) 设曲线的极坐方程为 ) 0(>=a e a θρ ,则曲相应于 θ从 0变到 π2的 一段弧与极轴所围成的图的面积为 __________. (5)

??????----=111111111T αα,则 ααT .

(6) 设三 阶 方阵 A,B 满

, 其中 E 为 三阶 单 位 矩阵 ,

??????-=102020101A ,则 B =________. 二、选择题 (本题共 6小题,每小题 4分,满 24分 . 每小题给出的四个选项中,只一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括

(1) 设 }{},{},{n n n c b a 均

→n n c lim , 则必有 (A) n n b a <对任意 n="" 成立="" .="" (b)="" n="" n="" c="" b=""><对任意 n="" 成立="">

(C) 极限 n n n c a ∞→lim 不存在 . (D) 极限 n n n c b ∞

→lim 不存在 . [ ] (2) 设 dx x x a n n n n n +=?+-2310

1, 则极限 n n na ∞→lim 等于 (A) 1) 1(23++e . (B) 1) 1(231-+-e .

(C) 1) 1(231++-e . (D) 1) 1(23-+e . [ ]

(3) 已知 x x y ln =是微分方

x x y y ?+='的解,则 ) (y x ?的表达式为 (A ) . 22

x

y - (B) . 22x y

(C) . 22

y

x - (D) . 22y x [ ] (4) 设函数 f(x)在 ) , (+∞-∞内连续,

(A) 一个极小值点和两个极大

(B) 两个极小值点和一个极大

(C) 两个极小值点和两个极大

(D) 三个极小值点和一个极大值

(5) 01x x 02tan , 则 (A) . 121>>I I (B) . 121I I >>

(C) . 112>>I I (D) . 112I I >> [ ]

(6) 设向量组 I :r ααα, , , 21 可由向量

(A) 当 s r <时,向量组 ii="">

(C) 当 s r <时,向量组 i="">

[ ]

三 、 (本题满分 10

设函数 , 0, 0, 0, 4sin 1, 6, arcsin ) 1ln() (23>=<>

?????--+-+=x x x x x ax x e x x ax x f ax 问 a 为何时, f(x)在 x=0处连续; a 为何值时, x=0是 f(x)的可去间

四 、 (本题满分 9

设函数 y=y(x)由参数方程 ) 1(, 21ln 2112>??

???=+=?+t du u e y t x t u 所确定,求 . 922=x dx y d

五 、 (本题满分 9

计算不定积分 . ) 1(2arctan x xe x

?+

六 、 (本题满分 12

设函数 y=y(x)在 ) , (+∞-∞内具有

(1) 试将 x=x(y)所满足的微

2=++dy dx x y dy x d 换为 y=y(x)满的微 分方

(2) 求变换后的微分方程满足初始条

'=y y 的解 . 七 、 (本题满分 12

讨论曲线 k x y +=ln 4与 x x y 4ln 4+=

八 、 (本题满分 12

设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ) 21, 22(

,其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的 交为 Q ,且线段 PQ

(1) 求曲线 y=f(x)的方

(2) 已知曲线 y=sinx在 ], 0[π上的弧长为 l ,试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s.

九 、 (本题满分 10

有一平底容器, 其内侧壁是由线 ) 0)((≥=y y x ?绕 y 旋转而成旋曲 (如图) , 容的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求,当以 min /33m 的速率向容器内注入液体时,液 面的面积以 min /2m π的率均

(1) 根据 t 时刻液面的面积,写出 t 与 ) (y ?间的关系

(2) 求曲线 ) (y x ?=

(注:m 表示长度单位米, min 表示时间

十 、 (本题满分 10

设 函 数 f(x)在 闭 区 间 [a,b]上 连 续 , 在 开 区 间 (a,b)内 可 导 , 且 . 0) (>'x f 若 极 限 a

x a x f a x --+→) 2(lim 存在,

(2) (2

2ξξf dx x f a b b a =

-?;

(3) 在 (a,b) 内存在与 (2)中 ξ相异的点 η,使 ?-=

-'b a dx x f a

a b f . ) (2) )((22ξξη 十

??????=60028022a A 相似于对阵 Λ,试确定常

十二 、 (本题满分 8

已知平面上三条不同直线的方程分

:1l 032=++c by ax ,

:2l 032=++a cy bx ,

:3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要

2003年数学二试题评析

2003 一、（本题共6小题，每小题4分，分24分. 答案

1241 若(1,ax),1时， 与是

124ax(1,)【】 根据等价无穷量的定义，相当知lim,1，反

意在计算过程中应尽可地应用无

112224【】 当xsinx~x时，，. x,0(1,ax),1~,ax4

112,ax24(1,ax)14是，根据

【】 本题属常规题型，完全似例题见《数

42 设函数y=f(x)由方程xy，2lnx,y确定，则线y=f(x)

【】 先求出在点(1,1)处的导数，后利用点斜式

4【】 等式xy，2lnx,y两边直接对x求导，得

23 ,,y，xy，,4yy， x

将x=1,y=1代入上式，有 ,y(1),1. 故过点(1,1)处的切线方程为

y,1,1,(x,1)x,y,0.，即

【】 本题属常规题型，综考查了隐函求导与求切线

题见《数学复习指南》P.55 【2.13】

n(ln2)xn3 y,2x的麦克劳公式中项的

(n)【】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数

(n)(0)fn中.x项的系数是 !n

x2(x)xnx【】 因为 ,,,y,2ln2y,2(ln2)？,y,2(ln2)，，，于是有

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(n)ny(0)(ln2)(n)nn,. y(0),(ln2)，故麦克劳林公式x项的系数是 nn!!【】 题属常规

a,4 设曲线的极坐标方程为,,e(a,0) ，则该曲线相应

14,a一段弧与极轴所成的图形的

,12【】 利用极坐标的面积计算

【】 所求面积为

2,2,1122a, S,,,d,,ed,() ,,0022

2,112a,4,a =e,(e,1). 04a4a

【】 本题考查极坐标下平图形的面积计，也可化为

过程比较复杂. 完全类似例见《数学复

1,11，，

,,TT5 设,,,,,,11,1,为3维列向量，是

,,1,11，，

T,,= 3 .

T【】 本题的关键是矩阵,,的秩为1，必可分解为一

量一般可选第一行（或任一非行），列向量元素则为各行

1,11，，1，，1，，,,T,,,,【】 由,,,,11,1,1,,1,11,=，知，于是 ,,1,,,,,,,,1,,,,11,11，，，，，，

1，，

,,T,,,,,1,11,1,3. ,,

,,1，，

a，，1,,a2,,【】 一般地，若n阶矩阵A的秩

,,an，，完全类似例题见《数学复习指》P.389 【2.11】和《考研数学

26 设三阶方阵A,B满，其中E为

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101，，1,,，则 . B,A,020,,2,,,201，，

【】 先化简分

2【】 由

2(A,E)B,A，E，

易知矩阵A+E可逆，

再两边取行列式，得 ， A,EB,1

001

1因为 A,E,010,2, 所

【】 本题属基本题型，综考查了矩阵运与方阵的行

先化简再计算. 完全类似题见《考研数

（本题共6小题，每小题4，满分24分. 每小题给

项符合题目要求，把选项前

1设{a},{b},{c}均为非

(A) b,ca,b对任意n成. (B) 对任

(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ D ] limaclimbcnnnnn,,n,,

【】 本题考查极限概念，极限值数列前面有限的大小无关，可即排

而极限0,,是型未定式，可能存在也可能存在，举反说明即；极限limaclimbcnnnnn,,n,,属型，必

21【】 用举反例法，取,c,n(n,1,2,？)ab,1，，，则

(A),(B),(C)，

【】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑反例，通过排除法找确选项. 完全类似方见《数

n3nn,1n，12设a,x1，xdx,

33,122 (A) (1，e)，1(1，e),1. (B) .

33,122 (C) (1，e)，1(1，e),1. (D) . [ B ]

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【】 先用换元法计积分，

nn33nn,1nnn，1n，1a,x1，xdx1，xd(1，x)= n,,0022n

33n11nnn22n，1 =(1，),{[1，()],1}， x0，1nnn

33nn,122可见 lim{[1，()],1},(1，e),1.= limnann,,n,,n，1

【】 本题属常规题型，综考查了定积分算与求数列

积分和数列极限的计算均是基础的问题，般教材中均

yxxx3已知,y,，,(),()是微分方的解，则的表

22yy （A） .. (B) ,22xx

22xx (C) (D) [ A ] ..,22yy

x【】 将代入微分方程，再令中间变量为u，求出,(u)表达

x而可计

yxx【】将,y,，,()代入

lnx,111 ,，,(lnx),(lnx),,，即 . 22lnxlnxlnx

21xy令 lnx=u，有 .,(),(u),,，故 =

【】 本题巧妙地将微方程的解与求数关系结合起，具

问题本身并不复杂，要仔细计

4设函数f(x)在(,,,，,)内连续，导函数的图形

(A) 一个极值点和

(B) 两个极值点和一

(C) 两个小值

(D) 三个极小值点和一个极大

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y

O x

【】 答案与极值点个数关，而可能的值点应是导数

共4个，是极大值点还是极值可进一步由极值的第一

【】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的有3个，而 x=0 是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧数符号不

一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为，右侧一导数为负，可见x=0为值点，故f(x)共有两个小值点

【】 本题属新题型，类似考2001年学一、二中曾

知f(x)的图象去推导,的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在登学

班上介绍过.

,,tanxx445设I,dxI,dx,, 则 21,,00xtanx

(A) I,I,1. (B) 1,I,I. 1212

(C) I,I,1.1,I,I. (D) [ B ] 2121

【】 直接计算I,I是困的，可应用不

tanxx【】 因为当 x>0 时，有tanx>x，于是 ,1,1，，

,,tanx,x,44I,dx,I,dx,， ， 21,,004tan4xx

,可见有 I,I,I且，可除(A),(C),(D)，

【】 本题没有必要去证明I,1，为用排除法，(A),(C),(D)均不正

一定为

6设向量组I：,,,,？,,,,,,？,,可向量组II：线

(A) 当r,sr,s时，向组II必线性相关. (B) 当，向

(C) 当r,sr,s时，量组I必线性相关. (D) 时，

[ D ]

【】 本题为一般教材上有的比较两向量个数

r,s,,,,？,,,,,,？,,可向量组II：线示，则当时，向量I必线

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或其逆否命题：若向量组I：可由向量II：线性表示，

组I线性无关，则必有. 可见正确项为(D). 题也可通过举反例排除

010,,,,,,【】 用排除法：如，

011,,,,,,线性无关，排除(A)；，则可由线表示，

110,,,,,,性无关，排除(B)；，可由,,,

关，排除(C). 故

【】 本题将一已知定理改造选择题，如考生熟知此定

若记不清楚，也可通过构造适当的反找到正确选项。定理见《数学复习

10

,3,ln(1，ax),,x,0,x,arcsinx,设函

问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断

f(0,0),f(0),f(0，0).

33ln(1，ax)ax【】 f(0,0),limf(x),lim,lim ,,,x,x,x,000x,arcsinxx,arcsinx

223ax3ax = lim,lim,,2x,0x,011,x,11,21,x

23ax =lim,,6a. ,1x,02,x2

ax21exax，,,(00)lim()limffx，,, ，，,,x0x0xsinx4

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ax2axe，x,ax,1ae，2x,a24lim,4lim,2a，4. = 2，，,,x0x02xx

2令，有 ,6a,2a，4，得或. f(0,0),f(0，0)a,,1a,,2

当a=-1时，，即f(x)

当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断

【】 本题为基本题型，考了极限、连续间断等多个

计算有一定难度，计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行化. 完全类似例见《数学题型

9

2,2x,1，2t,dy, 设数y=y(x)由参数方程u1，2lnt.(t,1)所确定，

【】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方求导的公式进行计可. 注意当x=9 ，可相

1，2lntdye22etdx【】由,,,,4t，， dt1，2lntt1，2lntdt

dy2et

dyedt1，2lnt得 ,,,,dxdx4t2(1，2lnt)

dt

2,e121dyddy1所以 ,=,,, ()22，2t4tdx(12lnt)dxdtdx

dt

e =. ,224(12ln)t，t

2当x=9时，由x,1，2t及t>1得t=2, 故

2dyee .,,,,2222x,9t,2dxtt4(12ln)16(12ln2)，，

【】完全类似例题见《数学复习指南》P.53 【2.9】, 《考研数学大

9

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arctanxxe 计算不定积

2【】 被积函数含有根号，典地应作代换：x=tant, 被积

角函数arctanx，同样可考虑作变

arctanxtxeetantt2== dxsectdtesintdt.3,,3,2222(1，)，x(1tant)

tt又 esintdt,,edcost,,

tt = ,(ecost,ecostdt),

ttt =， ,ecost，esint,esintdt,

1tt故 esintdt,e(sint,cost)，C. ,2

arctanxxe1x1xarctan因此 e(,)，Cdx= 3,222221，x1，x(1，)x

xarctan(x,1)e =，C. 221，x

【】本题也

arctanxxexarctanx dedx= ,3,222x1，(1，)x

arctanarctanxxxee =,dx 3,2221，x(1，)x

arctanxxe1arctanx =de, ,22xx1，1，

arctanarctanarctanxxxxeexe =,,dx， 3,22221，x1，x(1，)x移项整理得

xarctanarctanx(x,1)exe ，C.dx= 3,22221，x(1，)x

本题的关键是含有反三角函数，作换arctanx,t或tant=x,

复习指南》P.86【3.23】以及P.90习题12.

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12

设函数y=y(x)在,内具有二

2dxdx3(1) 试将x=x(y)所

分方程；

3(2) 求变换后的微分方

dy11dxdx【】 将转化

dx

2dxddxd1dx= (),(),2,dxydydydydy

,,,,,y1y =. ,,,23,,,yy(y)

然后再代入

dx1【】 (1) 由函数的求

2dxddx,,,,d1dx,y1y==. (),(),,,,232,,,,dxydyyy(y)dydydy

代入原微分方程得

,,y,y,sinx. ( * )

(2) 方程( * )对应的齐

xx, Y,Ce，Ce. 12

设方程( * )的特解为

* y,Acosx，Bsinx，

11*代入方程( * )，求得,,y,,sinxA,0,B,,y,y,sinx，

1x,x* y,Y，y,Ce，Ce,sinx. 122

3由,y(0),0,y(0),C,1,C,,1，得. 故所初值

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1x,x y,e,e,sinx.2

【】 本题的核心是第一步方程变换，完全似例题见《数学复习

12

4 讨论曲线y,4x，lnx与

4【】 问题等价于讨论方程lnx,4lnx，4x,k,0几个不同实根. 本题相当函数作图题，通过单调性、极值的论即可定

4【】 设lnx,4lnx，4x,k， y ,(x),

3x,，x4(ln1)则有 ,,(x),. 4-k x

不难看出，x=1是的驻点. O 1 x ,(x)

当,,0,x,1时，，即单调减少；当x>1时，，即调,(x),0,(x),(x),0,(x)增加，故为数的最小

当k<4，即4-k>0，无实根，两条曲线无

当 k=4，即4-k=0时，,(x),0唯一实根，即

当 k>4，

3lim,(x),lim[lnx(lnx,4)，4x,k],，,； ，，00x,x,

3， lim,(x),lim[lnx(lnx,4)，4x,k],，,x,，,x,，,

故,(x),0(1,，,)有两实根，分别位(0,1)与内，即两

【】 讨论曲线与坐标轴的点，在构造辅函数时，应

开来，使得求导不含参

完全类似例题见《数学复习指南》P.192的【7.24】和《学题

P.89的【6.18-19】以及《文登数学全真模试卷》数学二P.1第二

12

21 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22

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交点为Q，且

(1) 求曲

(2) 已知曲线y=sinx在上的弧长为，试表示曲线y=f(x)的弧s. [0,,]ll【】 (1) 先求出法线方程与点坐标Q，

微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再

b22利用弧长公式,,s,x，ydt进行计算即可. ,a

【】 (1) 曲线y=f(x)在

1 Y,y,,(X,x)， ,y

其中(X,Y)为法上任意一

x， Y,y，,y

x故Q点的坐标为(0,y，). 由题设知 ,y

1x(y，y，),0，即 2ydy，xdx,0.,2y

22积分得 x，2y,C (C为任意常数).

1由y,知C=1，故

22 x，2y,1.

(2) 曲线y=sinx

,,222 l,1，cosxdx,21，cosxdx.,,00

曲线y=f(x)的参数方程为

x,cost,,,, 0,t,. 2,y,sint,2,2,

,,1122222故 ， s,sint，costdt,1，sintdt,,0022

,令t,,u，则 2

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,011222 s,1，cosu(,du),1，cosudu,,,0222

l2 = ,l.422

,【】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到，而

完全类似例题见《数学复习指南》P.176的【6.22】和《学题型集与练习题集》P.174的【12.18】以及P.172的【】，

二-P.74的第七题.

10

有一平底容器，其内侧是由曲线

轴旋转而成的旋转曲面（图），容的底面圆的

3根据设计要求，当以3m/min的速率向容

2液面的面积将以,m/min的速率均扩大（假设注入

(1) 根据t时刻液面面积，写

(2) 求曲

(注：m表示长度

2【】 液面的面积将以,m/min的速率均匀扩大，因此t时刻面面积应为：2,2，,t，而液面为圆，其积可直接计算出来，由此可导出t与,(y)之间的关式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t刻的液体体积3t，

【】 (1) 设在t时刻，液面的度为y，由题设知此时液面的面

y22 (2) 液面的高度为y时，液体的体积为,,(u)du,3t,3,(y),12. ,0

上式两边

2 ,,,,(y),6,(y),(y),,(y)6,(y).,，即

解此微分方程，得

,y6 ,(y),Ce，其中C为任意常数，

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由知C=2, ,(0),2

故所求曲线方程为

,y6 x,2e.

【】 作为应用题，本题比好地综合考查定积分在几

求解。

完全类似例题见《文登数学全真拟冲刺试卷》学一P.78第四

本题的特殊情形)和《数学最后

10

设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导，,

(2)fx,alim存在，证明： ，x,ax,a

(1) 在(a,b)内f(x)>0;

(2) 在(a,b)内存在点，使 ,

22,ba,2 ； ,bf(,)f(x)dx,a

(3) 在(a,b) 内存在

b,222 ,f()(ba)f(x)dx.,,, ,a,,a

(2)fx,a【】 (1) 由lim存在知，f(a)=0, 利

的结论显含f(a),f(b)，将要证的结论写拉格朗日中值定理柯西

明. (3) 注

(2)fx,a【】 (1) 因为,lim存

于是f(x)在(a,b)内单调增加，故

f(x),f(a),0,x,(a,b).

x2(2) 设F(x)=,g(x),f(t)dt(a,x,b)xg(x),f(x),0F(x),g(x),, 则，故满,a

足柯西中值定理的条

222,F(b),F(a)b,a(x) ， ,,baxx,,g(b),g(a),f(t)dt,f(t)dt(f(t)dt),,,aaa

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22,ba,2即 . ,bf(,)f(x)dx,a

(3) 因，在上应用拉格朗日中值定

,内存在一点，使，从而由(2) 的结论得 (a,,)f(,),f(,)(,,a),

22b,a,2 ， ,b,f(,)(,,a)f(x)dx,a

b,222即有 ,f,()(b,a),f(x)dx. ,a,,a

【】 证明(3)，关键

22b,2b,a,222 ,f,()(b,a),f(x)dx ,,,ba,,,af(,)(,,a)f(x)dx,a

, （ 根据(2)

,， ,f(,),f(a),f(,)(,,a)

可见对f(x)在区间应用拉格日中值定理

完全类似的例题见《数学复指南》P.120【4.41】 和《考研数

18-19】.

10

220，，

,,若矩阵A,82a相似于角阵，试确常数a的值；

,,006，，

,1PAP,,.

【】 已知A相似于对角矩阵，应先求A的特征值，根据特征的重数与线性无关向量的个数相同，转化为特征矩的秩，而

题.

【】 矩阵A的特征多项式为

,,2,20

2 ,E,A,,8,,2,a,(,,6)[(,,2),16]

00,,6

2 =(,,6)(,，2)，

故A的特征值为,,,,6,,,,2. 123

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由于A相似于对角矩阵，故对应有两个线性

，于是有 3,r(6E,A),2r(6E,A),1.

4,202,10，，，，

,,,,由 6E,A,,84,a,00a， ,,,,

,,,,000000，，，，

知a=0.

于是对应于的两个线性关的特

01，，，，

,,,, ,,2.,0,， 12,,,,

,,,,10，，，，

当,,,2时， 3

,4,20210，，，，

,,,, ,2E,A,,8,40,001， ,,,,

,,,,00,8000，，，，

1，，2x，x,0,,12,,解方程组,2.,,,2得对

011，，,1,, 令PAP,,.，则P可逆，

,,100，，

【】 完全类似的例题见《考研

模拟试卷》数学二P.36第

8

已知平面上三

l:ax，2by，3c,0 ， 1

l:bx，2cy，3a,0 ， 2

l:cx，2ay，3b,0 . 3

试证这三条直线交于一点的充分必要条为a，b，c,0. 【】 三条相交于一点，相当于对应性方程

阵与增广

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【】 ：必要性

设三条直线交于一，则线性

ax，2by,,3c,,, (*) bx，2cy,,3a,,

,cx，2ay,,3b,,

a2b，，a2b,3c，，,,,,有唯一

,,,,c2a,3bc2a，，，，

A,0.

a2b,3c

222由于 A,b2c,3a,6(a，b，c)[a，b，c,ab,ac,bc]

c2a,3b

222 =3(a，b，c)[(a,b)，(b,c)，(c,a)],

222但根据题设 (a,b)，(b,c)，(c,a),0，故

a，b，c,0.

充分性：由(A),3.a，b，c,0，从必要性的证

由于

a2b22 ,2(ac,b),,2[a(a，b)，b]b2c

1322 =,2[(a，b)，b],0， 24

故秩(A)=2. 于是，

秩(A)=秩(A)=2.

因此方程组(*)唯一解，即

：必要性

x，，0,,设三直线交于一点y(x,y)，为Ax=0的

,,1，，

a2b3c，，

,, A,b2c3a. ,,

,,c2a3b，，

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于是 . A,0

a2b3c

222 而 A,b2c3a,,6(a，b，c)[a，b，c,ab,ac,bc]

c2a3b

222 =,3(a，b，c)[(a,b)，(b,c)，(c,a)],

222但根据题设 (a,b)，(b,c)，(c,a),0，故

a，b，c,0.

充分性：

ax，2by,,3c,,, (*) bx，2cy,,3a,,

,cx，2ay,,3b,,

将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方

ax，2by,,3c,, (* *) ,bx，2cy,,3a.,

a2b22因为 ,2(ac,b),,2[a(a，b)，b]b2c

222 =-[a，b，(a，b)],0,

故方程组(* *)有唯一解，所方程组(*)有

【】本题将三条直线的位置系转化为方程

化为矩阵的秩计算，进而化为行列式计算，综合

完全类似例题见《学最后冲

注： 1.《数学复习指南》 （2003版，理工类）

主编:

2.《数学题型集粹与练习

主编:

3.《文登数学全真模拟试》（2003版，理工类）

主编:

4.《数学最后冲刺》（2003版，理工类）世

主编:

5.《考研数学大串讲》（2002版，理工类）

主编: 黄

(文登

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2003年考研数学二真题

2003年考研数学(二)真题评注 一、空题(本题共6小，每小题4分，满分24分.

124(1) 若时， 与是等价无穷小，则a= . (1,ax),1x,0xsinx

4xy，2lnx,y(2) 设函数y=f(x)方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处切线方程

xny,2(3) 麦克劳林

a,,,e(a,0)(4) 设曲的极坐标程为 ，则该曲线上相从0变到的,2,一段与极轴所

1,11，，

,,TT,,,,11,1(5) 设为3维向量，是的转

,,1,11，，T= . ,,

2(6) 设三阶方阵A,B满足，其中E三阶单位矩

101，，

,,A,020，则 . B,,,

,,,201，，

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24. 每小题给出的四个选中，只有一项符合题目要求，把所选项

{a},{b},{c}lima,0limb,1limc,,(1)为非负数列，且,,,则

b,ca,b(A) 对任意n成. (B) 对任

limaclimbc(C) 极限不

n3nn,1n，1a,x1，xdxlimna(2)设, 则极

33,122(1，e)，1(1，e),1 (A) . (B) .

33,122(1，e)，1(1，e),1 (C) . (D) . [ ]

1

yxxx,y,，()(),,(3)已知是微分程的解，则的表

22yy. (A) . (B) ,22xx

22xx (C) (D) [ ] ,..22yy

(4)设函数f(x)在内连续，其导函数的图如图所示，则f(x)

(A) 一个极值点和

(B) 两个极值点和一

(C) 两个小值

(D) 三个极小值点和一个极大

y

O x

,,xtanx44I,dxI,dx(5)设,, 则 12,,00tanxx

I,I,1.1,I,I. (A) (B) 1212

I,I,1.1,I,I.(C) (D) [ ] 2121

,,,,？,,,,,,？,,(6)设向量组I:由向量组II:性表

(A) 当时，向量组II必线相关. (B) 当时，向量组II必线

(C) 当时，向量组I必线相关. (D) 当时，向量组I必线

[ ]

三 、(

,3,ln(1，ax),,x,0,x,arcsinx,设函

2

问a为何值时，f(x)在x=0处连续;a为

四 、(

2,x,1，2t,2dy,u1，2lnt 函数y=y(x)由参

五 、(

xarctanxedx. 计算

六 、(

, 设函数y=y(x)在内具有二

2dxdx3(1) 试将x=x(y)所

分方程;

3,y(0),0,y(0),(2) 求变后的微分方程

七 、(

4y,4x，lnx 论曲线与

八 、(

21(,) 设位于第一象限的曲

(1) 求曲

(2) 已知曲线y=sinx在上弧长为，试用表曲线y=f(x)

九 、(

x,,(y)(y,0)绕y 有

轴旋转而成的旋转曲面(图)，容的底面圆的

3根据设计要求，当以速率向容内注入液体

2液面的面积将以的速率均匀扩(假设注入液体

容器内无液体).

,(y)(1) 根据t刻液面的积，写出t

x,,(y)(2) 求曲线的方程.

3

(注:m表示长度

十 、(

,设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区(a,b)内可导，且

fx,a(2)存

(1) 在(a,b)内f(x)>0;

(2) 在(a,b)内存在点，使 ,

22,ba2, ; ,bf(,)f(x)dx,a

,相异的点，使 (3) 在(a,b) 内存在与(2)中,

b,222,,,,f()(ba)f(x)dx. ,a,,a

十 一、(

220，，

,,,A,82a若矩阵相似对角阵，试

,,006，，

,1 PAP,,.

十二 、(本题满分8分)

已知平面上三

l: ax，2by，3c,0， 1

l: bx，2cy，3a,0， 2

l: cx，2ay，3b,0. 3

试证这三条直线交于一的充分

4

2003年数学二试题解析

2003年

一、 填空题 (本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 把

(1) 若 0→x 时, 1) 1(4

12

--ax 与 x x sin 等价无穷,则 a=. 【 】 根据等价无穷小

1(lim 4

1

2

0=-→x

x ax x ,反过

应用无穷小量

【 详解 】 当 0→x 时, 2

4

12

4

1~1) 1(ax ax -

--, 2~sin x x x . 于是,根

1lim sin ) 1(lim 22

04

12

0=-=-=-→→a x

ax x x ax x x ,故 a=-4.

(2) 设函

ln 2y x xy =+所确定,则曲线 y=f(x)点 (1,1)的切线方程 . 【 分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数,然后利点斜式写切

ln 2y x xy =+两直接对 x 求

y x y '=+

'+342

, 将 x=1,y=1代入上式,有 . 1) 1(='y 故过点 (1,1)处的切线方

【 评注 】 本题属常规型,综合考查隐函数求导与切线

(3) x

y 2=的

x 项的

) 2(l n n n

.

【 分析 】 本题相当于先求 y=f(x)点 x=0处的 n

(n f ,则麦克劳林公式中 n

x 项的系数是

. !

)

0() (n f n 【 详解 】

) 2(ln2, )

(= ,于是有

n

n y ) 2(l n ) 0()

(=,故

x 项的系数是

. !

) 2(ln! ) 0() (n n y n

n = 【 评注 】 本题属常规型,在一般教

(4) 设曲线的极

ρ ,则该曲线上相应于 θ 0变到 π2的一段弧与极

) 1(414-a

e a

π . 【 分析 】 利极坐标下的面

12

即可 . 【 详解 】 所求面积为

θθθρπθ

πd e d S a ??==

20220221) (21 =

=πθ20241a e a ) 1(414-a

e a

π. 【 评注 】 本题考查极坐标平面图形的面积计,也可化为参数方程面积,

(5) 设 α为 3维列向量, T

α是 α的

?

?????----=111111111T αα,则

ααT .

【 分析 】 本题的关键是矩阵 T

αα的秩为 1,必可分解为一列乘一的形式,行向量一般可选第一行(任一 非零行) ,列向的元素则

【 详解 】 由 ??????????----=111111111T

αα=[]111111-??????????-,知 ?????

?????-=111α,于是

[]. 3111111=??

??

?

?????--=ααT

【 评注 】 一般地,若 n 阶矩阵 A 的秩为 1,则必有 []. 21

2

1n n b b b a a a A ?????

?

??????=

(6) 设三阶方阵 A,B 满足 E B A B A =--2

,其中 E 为阶单

?

?????-=102020101A ,则 =B 21 . 【 分析 】 先化简分

知,

E A B E A +=-) (2,即 E A B E A E A +=-+) )((,

易知矩阵 A+E可逆,于是有 . ) (E B E A =- 再两边取行列式,得 1=-B E A ,

因为 20

02010

1

00=-=-E A , 所以 =B 2

1

.

【 评注 】 本题属基本题型,综考查了矩阵运算与阵的行列式,此类题一

二、选择题 (本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 每小题给出的选项中,只有一项符合题目要,把所选

(1) 设 }{},{},{n n n c b a 均为非负列,

→n n a , 1lim =∞

→n n b , ∞=∞

→n n c lim , 则必有

(A) n n b a <对任意 n="">

(C) 极

→lim 不存在 . (D) 极限 n n n c b ∞

→lim 不存在 . [ D ]

【 分析 】 本题考查极限概念, 限值与数前面有限项的大小无关, 可立即排除 (A),(B); 而

→lim 是 ∞

?0型未定式,可能存在也可能存在,举反例

→lim 属 ∞?1型,必

【 详解 】

, 1=n b , ) , 2, 1(2

1

==n n c n , 则可立即排除 (A),(B),(C), 因此正确项为 (D). 【 评注 】 对于不便直接证明的问,经常考

(2)

a n n n

n n +=?+-2310

1

, 则极限 n n na ∞→lim 等于 (A) 1) 1(2

3++e . (B) 1) 1(2

31-+-e .

(C) 1) 1(2

31++-e . (D) 1) 1(2

3-+e . [ B ]

【 分析 】 用换元

【 详

dx x x a n n n n n +=?+-23101=) 1(23

10

n n n

n x d x n ++?+

=}1]) 1

(1{[1) 1(1

23

10

2

3

-++=++n n n n n n n x n

, 可见 n n na ∞→lim =. 1) 1(}1]) 1

(1{[lim 23

12

3

-+=-++-∞→e n n n n

【 评注 】 本题属常规题型,综合查了定积分计算与列的极限两个知识点,但定

最基础的问题,一教材中

(3) 已知 x x y ln =

是微分方程 ) (y x x y y ?+='的解,则 ) (y

x

?的表达式为 (A ) . 22x

y - (B) . 22

x y

(C) . 22

y

x - (D) . 22y x [ A ]

【 分析 】 将 x x y ln =

代入微分方程,再令 ?的中间变量 u ,求出 ) (u ?的表达,进

x

?. 【 详

代入微分

x

x y y ?+=',得

) (lnln 1ln 1ln 2x x x x ?+=-,即 x

x 2

ln 1) (ln-=?.

令 lnx=u,有 21) (u u -=?,故 ) (y x

?=. 22x

y -

【 评注 】 本题巧妙地将微分方程解与求函数关系结来,具有一定的综合,但

细计算应该

(4) 设函数 f(x)在 ) , (+∞-∞内续,其导函数的图如图

(A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 个极小值点和极大值点 . (C)

(D) 三个极小值点和一个极大

【 4个,是极大值点还是 小值可进一步取极值的第一

【 详解 】 根据导函的图形可知,一阶导数为零的点有 3,而 x=0 则导不存在点 . 三个一阶数为 零的点左右两侧数符号不一致,必为极值点,且两个小点,一个极大值点;在 x=0左侧一阶导数为正,右侧一 阶导数负,可见 x=0为极值点,故 f(x)共有两个极小值

【 评注 】 本题属新题型,类似考题 2001年数学、二中出现过,当时考查

(5) 设 ?

=

40

1tan π

dx x

x I , x x

I ?=402tan π

, 则

(A) . 121>>I I (B) . 121I I >>

(C) . 112>>I I (D) . 112I I >> [ B ] 【 分析 】 直接计算 21, I I 是困难的,可应用不等式 tanx>x, x>0.

【 详 解 】 因 为

1tan >x x , 1tan

t a n 401π

π

>=?dx x x I , 4

tan 4

2π

π

<=?x x="" i="" ,="">

2π

I ,可排除 (A),(C),(D),故选 (B). 【 评注 】 本题没有必要去证明 11<时,向量组 ii="" 必线性相关="" .="" (b)="" 当="" s="" r="">时,量组 II 必线性相关 . (C) 当 s r <时,向量组 i="" 必线性相关="" .="" (d)="" 当="" s="" r="">时,向量组 I 必线性相

[ D ]

【 分析 】 本题为一般教材上均的比较两向量个数的定理:若

s βββ, , , 21 线性表示,则 s r >,向量

II :s βββ, , , 21 线性表,且向量组 I 线性关,则必有 s r ≤. 可见正确选项为 (D). 本题也

【 详解 】 用排除法:如 ???

?

??=???? ??=???? ??=10, 01, 00211ββα,

???? ??=???? ??=???? ??=01, 01, 00121βαα, 21, αα可由 1β线性表示, 但 1β

??=???? ??=???? ??=10, 01, 01211ββα,

1α可由 21, ββ线性表示,但 1α线性无,排除 (C). 故

【 评注 】 本题将一已知定理改造选择题,果考生熟知此定理应该可接找到答案,若记不清楚,

三 、 (本题满分 10分)

设函数 ,

0, 0, 0, 4sin

1, 6, arcsin )

1ln() (2

3>=<>

??

???

--+-+=x x x x

x ax x e x

x ax x f ax 问 a 为何值时, f(x)在 x=0连续; a 为何值时, x=0

【 分析 】 分段函数在段点 x=0连续,要求既

). 00() 0() 00(+==-f f f

【 详

x ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin ) 1ln(lim ) (lim ) 00(3

0300-=-+==----→→→ =1

3lim 113lim 2

20

2

2

--=--

-

-

→→x ax x

ax x x

=. 62

13lim

2

2

0a x ax x -=--→ 4

sin

1

lim ) (lim ) 00(200x

x ax x e x f f ax x x --+==+++→→

=. 4222lim 41lim 42

0220+=-+=--+++→→a x a x ae x

ax x e ax x ax x

令 ) 00() 00(+=-f f ,有 4262

+=-a a ,

当 a=-1时, ) 0(6) (lim 0

f x f x ==→,即 f(x)在 x=0处连续 .

当 a=-2时, ) 0(12) (lim 0

f x f x ≠=→,因而 x=0是 f(x)的可去间断点 .

【 评注 】 本题为基本题型,考查了极、连续与间等多个知点,其中左右极计算有一定难度,在计算过 中应尽量利

四 、 (本题满分 9分)

设函数 y=y(x)由

21ln 2112>??

??

?=+=?+t du u e y t x t u

所确定,求 . 9

22=x dx y d

【 分析 】 本题为参数方程求二阶导数,按参数方程求导的公进行计算即可 . 注

t 的取值 .

【 详解 】由 t

et

t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=?+=+, t dt dx 4=, 得 , ) ln 21(24ln 212t e

t t et

dt

dx dt dy dx dy +=+==

所以 dt

dx dx dy dt d dx y d 1) (22==t t t e 41

2) ln 21(122

??+-? =. ) ln 21(42

2t t e

+-

当 x=9时,由 2

21t x +=及 t>1得 t=2, 故

. )

2ln 21(16) ln 21(42

2

2

29

2

2+-

=+-

===e

t t e

dx y d t x 五 、 (本

. )

1(2

arctan x xe x ?

+

【 分析 】 积函数含有根号 2x +,典型地应作代换:x=tant, 或积函数含有反

dx x xe x ?+2arctan )

1(=tdt t t e t 22sec )

tan 1(tan ?

+=. sin tdt e t ?

又 t d e tdt e t

t cos sin ?

?

-=

=) cos cos (tdt e t e t

t ?

--

=tdt e t e t e t

t t sin sin cos ?

-+-,

故

. ) c o s (s i n 2

1s i n C t t e t d t e t

t

+-=

? 因此

x xe x

?+2arctan ) 1(=C x x x e x ++-+) 1(2122arctan =

. 2) 1(2

arctan C x

e x x ++-

【 评注 】

x xe x ?

+2arctan )

1(=x x x arctan 2

?

+

=

x e x

xe x x ?

+-+2

arctan 2

arctan )

1(

=

x x de x x xe arctan 2

2

arctan 1?

+-+

=x xe x

e x

xe x x x ?

+-+-

+2

arctan 2

arctan 2

arctan )

1(,

移项整理得

dx x xe x ?

+2

arctan )

1(=

. 2) 1(2

arctan C x

e x x ++-

本题的关键是含有反三角函数,作代换 t x =arctan 或 tant=x.

六 、 (本题满分 12分)

设函数 y=y(x)在 ) , (+∞-∞

(1) 试将 x=x(y)所满足的

2=++dy dx x y dy

x d 变换为 y=y(x)满的微分方程; (2) 求变换后微分

3

) 0(, 0) 0(=

'=y y 的

dy dx 转化为 dx dy 比较简单, dy dx =

y dx

dy '=11

,关键是应注意: ) (22dy dx dy d dy x d ==dy

dx

y dx d ?') 1( =

3

2) (1y y y y y ''

'-

='?'''-.

然后再代入

【 详解 】 (1) 由反函数的求导公式知

y dy dx '

=1

,于是

2dy dx dy d dy

x d ==dy dx y dx d ?') 1(=32) (1

y y y y y '''-='?'''-. 代入原微分方程得

. sin x y y =-'' ( * )

(2) 方程 ( * )所对应的齐次方程 0=-''y y 的通解

x B x A y sin cos *

+=,

代入方程 ( * ),求得 21, 0-

==B A ,故 x y sin 2

1*

-=,从而 x y y sin =-''的通

121*x e C e C y Y y x

x -+=+=-

由 23

) 0(, 0) 0(='=y y ,得 1, 121-==C C .

. s i n 2

1x e e y x

x --=- 【 评 】 题的核心是

七 、 (本题满分 12分)

讨论曲线 k x y +=ln 4与 x x y 4

ln 4+=的交点个数 .

【 分析 】 问题价于讨

=-+-k x x x 有几个不同的实 . 本相当于一数作图题,通 调性、极值的讨论即可确实根的个

【 详解 】 设 =) (x ?k x x x -+-4ln 4ln 4

则有 . )

1(ln4) (3x

x x x +-=

'? 不看出, x=1是 ) (x ?的驻 . 当 101时, 0) (>'x ?,即 ) (x ?单调增

当 k<4,即 4-k="">0, 0) (=x ?无实

当 k=4,即 4-k=0时, 0) (=x ?有唯一实根,即曲线只有一个交点;

+∞=-+-=+

+→→]4) 4(ln[lnlim ) (lim 30

k x x x x x x ?; +∞=-+-=+∞

→+∞

→]4) 4(ln[lnlim ) (lim 3k x x x x x x ?,

故 0) (=x ?有两个实根,分位于 (0,1) ) , 1(+∞,即

【 评注 】 讨论曲线与坐标轴的交, 在构辅助函数时, 应尽量将分析的参数分离开来, 使求导后不

八 、 (本题满分 12分)

设位于第一象限的

1

, 22(,其上任一点 P(x,y)的法线与 y 交点为 Q ,且

(1) 求曲

(2) 已知曲线 y=sinx在 ], 0[π上的弧长为 l ,试用 l 表

【 分析 】 (1) 先求出法线方程与交点坐标 Q ,再由题设线 PQ 被 x 轴分,可转化为分方程,求解此微分方 程即

a

?

'+'=

22进

【 详解 】 (1) 曲线 y=f(x)在点 P(x,y)处的法线方程为 ) (1

x X y y Y -'

-

=-, 其中 (X,Y)为法线上任

y

x y Y '+

=, 故 Q 的坐标

y '

+

由题设知 0) (21='

++y x

y y ,即 . 02=+xdx ydy 积分得 C y x =+2

2

2 (C

由 2

1

2

2=

=

x y

知 C=1,故曲线 y=f(x)的方程

2

=+y x

(2) 曲线 y=sinx在 [0, π]上的弧长

20

2

dx x dx x l ??

+=+=

π

π

曲线 y=f(x)的参数方程为

??

?

??==, s i n 22

, c o s t y t

x . 20π≤≤t

故 dt t dt t t s ??

+=+=202

20

22

sin 2

1cos 21sin π

π

, 令 u t -=

2

π

,则

du u du u s ?

+=-+=

20

20

2

2

cos 2

1) (cos 21π

π

=

. 4

2

2

2l l

=

【 评注 】 注意只在第一象考虑曲线 y=f(x)的弧长,所以

π

,而不是

九 、 (本题满分 10分)

有一平底容器,其内侧壁是由曲线 ) 0)((≥=y y x ?绕 y 旋转而成的旋转曲

m 的速率

液面的面积

m π的速率均匀扩大(假设注液体前,

(1) 根据 t 时刻液面的面积,写出 t 与 ) (y ?之关系式; (2) 求

(注:m 表示长度单

【 分析 】 液面的面积将以 min /2m π的速匀扩大,因此 t 刻液

2,而液面为圆,面 积可直接计算出来,由此可导出 t 与 ) (y ?之间的关式;又液体的积可根据旋转体的体积公式积分计算,已知 t 时刻的液体体积为 3t ,它们之也可

【 详解 】 (1) 设在 t 时刻, 面的高度为 y , 由题设知此时液面的面积

, 从而 . 4) (2

-=y t ? (2) 液面

22-==?

y t du u y

??π

上式两边

) () (6) (2y y y ??π?'=,即 ). (6) (y y ?π?'=

解此微分方程,得

y

Ce y 6

) (π

?=,其中 C 为任意常数,

由 2) 0(=?知 C=2, 故所求曲线方程为

. 26

y

e

x π

=

【 评注 】 作为应用题,本比较好地综合考了定积分在几何的应

十 、 (本题满分 10分)

设函数 f(x)在闭区间 [a,b]上

x a x f a x --+→) 2(lim 存在,

(2) 在 (a,b)内存在点 ξ,使

)

(2) (2

2ξξf dx x f a b b a =

-?; (3) 在 (a,b) 内存与 (2)

?-=-'b a dx x f a

a b f . ) (2) )((22ξξη 【 分析 】 (1) 由 a

x a x f a x --+→) 2(lim 存在知, f(a)=0, 利用单性可证明 f(x)>0. (2) 要证的结论显含 f(a),f(b),应将 要证的论为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明 . (3) 意利用 (2)的结论

x --+→) 2(lim 存在,故 . 0) () 2(lim ==-+→a f a x f a x 又 0) (>'x f ,于

). , (, 0) () (b a x a f x f ∈=>

(2) 设 F(x)=2x , ) () () (b x a dt t f x g x a ≤≤=

?, 则 0) () (>='x f x g ,故 ) (), (x g x F 满

是在 (a,b)内存在点 ξ,使 ξ=''=--=--???x x a b a a a dt t f x dt t f dt t f a b a g b g a F b F ) ) (() () () ()

() () () (222, 即 )

(2) (2

2ξξf dx x f a b b a =

-?. (3) 因 ) () () 0() () (a f f f f f -=-=ξξξ,在 ], [ξa 上应用拉格朗日中理,知在 ) , (ξa 内存在一点 η,使 ) )(() (a f f -'=ξηξ,从而由 (2) 的结

) )((2) (2

2a f dx

x f a b b a -'=

-?ξηξ, 即有 ?-=-'b a

dx x f a a b f . ) (2) )((22ξξη 【 评注 】 证

?-=-'b a dx x f a a b f ) (2) )((2

2ξξη?) )((2) (22a f dx x f a b b a

-'=-?ξηξ ) )(() (a f f -'=?ξηξ (

) )(() () (a f a f f -'=-?ξηξ,

可见对 f(x)在区间 ], [ξa 上应用拉格

十 一、 (本题满分 10分)

若矩阵 ????

??????=60028022a A 相似于对角阵 Λ,试确常数 a 的值;并可矩阵 P 使 . 1Λ=-AP P 【 分析 】 已知 A 相似于对阵,应先求出 A 的特征值,再根据特征值的重数与线性无关特征量的个数相同, 转化

【 详解 】 矩阵 A 的特征多项式为

]16) 2)[(6(60

028022

2---=------=-λλλλλλa A E

=) 2() 6(2+-λλ,

故 A 的特征值为 . 2, 6321-===λλλ

由于 A 相似于对角矩阵 Λ,故对应 621==λλ应有两线性

2) 6(3=--A E r ,于是

由 ????

??????-→??????????---=-00000012000480246a a A E , 知 a=0.

于是对应于 621==λλ的

??????????=1001ξ, . 0212????

??????=ξ 当 23-=λ时,

????

??????→??????????-----=--0001000128000480242A E , 解方程 ???==+, 0, 02321x x x 得对

??????-=ξ

令 ????

??????-=001220110P ,则 P 可逆,并

十二 、 (本题满分 8分)

已知平面上三

:1l 032=++c by ax ,

:2l 032=++a cy bx ,

:3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点充分必要

【 分析 】 三条直线相交于一点,相于对应线性方程组唯一解,进而转化为数矩阵

【 详解 】 方法一 :必要性

设三条直线 321, , l l l 交于

??

???-=+-=+-=+, 32, 32, 32b ay cx a cy bx c by ax (*)

有唯一解,故系数矩阵 ??????????=a c c b b a A 222与增广矩阵 ????

??????---=b a c a c b c b a 323232的秩

a c a c b c

b a

---++++=---= =]) () () )[((3222a c c b b a c b a -+-+-++,

但根据题设 0) () () (222≠-+-+-a c c b b a ,故

. 0=++c b a

充分性:由 0=++c b a ,则从必要性证明可知, 0=,故

由于 ]) ([2) (22222b b a a b ac c

b b a ++-=-= =0]43) 21[(222≠++

-b b a , 故秩 (A)=2. 于是,

秩 (A)=秩 ) (=2.

因此方程组 (*)有唯一解,即三直线 321, , l l l 交于一点 .

方法二 :必要性

设三直线交于一点 ) , (00y x ,则 ????

??????100y x 为 Ax=0的非零解,其

??????=b a c a c b c b a A 于是 0=A .

而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b

a c a c b

c

b a A ---++++-== =]) () () )[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,

但根据题设 0) () () (2

22≠-+-+-a c c b b a ,故

. 0=++c b a

充分性:考虑线性

???-=+-=+-=+, 32, 32, 32b ay cx a cy bx c by ax (*)

将方程组 (*)的三个方程相,并由 a+b+c=0可知,方

???-=+-=+.

32, 32a cy bx c by ax (* *)

因为 ]) ([2) (22222b b a a b ac c

b b a ++-=-= =-0]) ([222≠+++b a b a ,

故方程组 (* *)有唯一解,所以方组 (*)有唯一

【 评注 】本题将三条直线的位置关系转化方程组的解判定,解的判定问题又化为矩阵的秩计算,进而 转为行列式

2003年数学二试题评析

2003年

一、 填空题 (本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 把

(1) 若 0→x 时, 1) 1(4

12

--ax 与 x x sin 等价无穷,则 a= . 【 】 根据等价无穷

1(lim

4

1

2

0=-→x

x ax x ,反过来求 a. 注

意在计算过程中应尽可地应用无

【 详解 】 当 0→x 时, 2

4

12

4

1~1) 1(ax ax -

--, 2~sin x x x . 于是,根

1lim sin ) 1(lim 22

04

120=-=-=-→→a x

ax x x ax x x ,故 a=-4.

【 评注 】 本题属常规题型,全类似例题见《数

(2) 设函数 y=f(x)由方程 4ln 2y x xy =+所定, 则曲线 y=f(x)在点 (1,1)处的切线

【 分析 】 先求出在点 (1,1)处的数,然后利用点式写

【 详解 】 等式 4ln 2y x xy =+两边

y x y '=+

'+342

, 将 x=1,y=1代入上式,有 . 1) 1(='y 故过点 (1,1)处的切线方

【 评注 】 本题属常规题型, 综合考查隐函数求导求切线方两个知识点, 类 题见《数学复习指南》 P.55 【

(3) x

y 2=的

x 项的

) 2(l n n n

.

【 分析 】 本题相当于先求 y=f(x)点 x=0处的 n

(n f

,则麦克劳林公式

中 n

x 项的系数是

. !

)

0() (n f n 【 详解 】

) 2(ln2, )

(= ,于是有

n

n y ) 2(l n ) 0()

(=,故

x 项的系数是

. !

) 2(ln! ) 0() (n n y n

n =

【 评注 】 本题常规题型,在一般教材

(4) 设曲线的极坐标方程为 ) 0(>=a e a θρ ,则该曲相应于 θ从 0变到 π2的 一

) 1(414-a

e a

π . 【 分析 】 利用极标下的面积

d S ?=) (212

即可 .

【 详解 】 所求面积为

θθθρπθ

πd e d S a ??==

20220221) (21 =

=πθ20241a e a ) 1(414-a

e a

π. 【 评注 】 本题考查坐标下平面图形面积计算,也可为参

过程比较复杂 . 完全类似例见《数学复习指》 P.200 【

(5) 设 α为 3维列向量, T

α是 α的

??????----=111111111T αα,则

ααT .

【 分析 】 本题的关键是矩阵 T

αα的秩为 1,必可分解为一列乘一的形式,行向 量一般可选第一(或任一非零行) ,列向的元素则

【 详解 】 由 ??????????----=111111111T

αα=[]111111-??????????-,知 ?????

?????-=111α,于是

[]. 3111111=??

??

?

?????--=ααT

【 评注 】 一般地,若 n 阶矩阵 A 的秩为 1,则必有 []. 21

2

1n n b b b a a a A ?????

?

??????=

完全类似例题见《数学复习指南》 P.389 【 例 2.11】和《考研数学大串讲》 P.162 【 例 13】 .

(6) 设三 阶 方阵 A,B 满 足 E B A B A =--2

, 其中 E

????

?

?????-=102020101A ,则

=B 2

1 . 【 分析 】 先简分解出阵 B ,再取行列式

知,

E A B E A +=-) (2,即 E A B E A E A +=-+) )((,

易知矩阵 A+E可逆,于是有 . ) (E B E A =- 再两边取行列式,得 1=-B E A ,

因为 20

02010

1

00=-=-E A , 所以 =B 2

1

.

【 评注 】 本题属基本题型,综合考查了矩运算与方阵的列式,此问题一般都应 先再计算 . 完全类似例题见《考数学大

二、选择题 (本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 每小题给出的选项中,只有一 项符合题目求,把所

(1) 设 }{},{},{n n n c b a 均为非负列,

→n n a , 1lim =∞

→n n b , ∞=∞

→n n c lim , 则必有

(A) n n b a <对任意 n="">

(C) 极

→lim 不存在 . (D) 极限 n n n c b ∞

→lim 不存在 . [ D ]

【 分析 】 本题考查极限概念, 限值与数前面有限项的大小无关, 可立即排除 (A),(B); 而

→lim 是 ∞?0型未定式, 可能存在也能不存在, 举例说

n n c b ∞

→lim 属 ∞?1型,必

【 详解 】 举反例

, 1=n b , ) , 2, 1(2

1

==n n c n ,则可立排除 (A),(B),(C),此正

【 评注 】 对于不便直接证明的问, 经常考虑用反例, 通过排除到正确选项 . 完 全类

(2)

a n n n

n n +=?+-2310

1

, 则极限 n n na ∞→lim 等于 (A) 1) 1(2

3++e . (B) 1) 1(2

31-+-e .

(C) 1) 1(2

3

1++-e . (D) 1) 1(2

3-+e . [ B ]

【 分析 】 先用换元计算积分,再

dx x x a n n n n n +=?+-23101=) 1(23

10

n n n

n x d x n ++?+

=}1]) 1

(1{[1) 1(1

23

10

2

3

-++=++n n n n n n n x n

, 可见 n n na ∞→lim =. 1) 1(}1]) 1

(1{[lim 23

12

3

-+=-++-∞→e n n n n

【 评注 】 本题属常规题,综合考查了积分计算与求数的极

积分和数列极限的计算均是基础的问题,一般教材中均

(3) 已知 x x y ln =

是微分

x

x y y ?+='的解,则 ) (y x ?的表达式为 (A ) . 22x

y - (B) . 22

x y

(C) . 22y

x - (D) . 22

y x [ A ]

【 分析 】 将 x

x

y ln =代入微分方程,再令 ?的间变量为 u , ) (u ?的表式,

x ?.

【 详解 】

代入微分

x

x y y ?+=',得

) (lnln 1ln 1ln 2x x x x ?+=-,即 x

x 2

ln 1) (ln-=?. 令 lnx=u,有 21) (u u -=?,故 ) (y x ?=. 22

x

y -

【 评注 】 本题巧妙地将分方程的解与函数关系结合起,具

问题本身并不复杂,要仔细计

(4) 设函数 f(x)在 ) , (+∞-∞内续,其导函数的图如图

(A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 个极小值点和极大值点 . (C)

(D) 三个极小值点和一个极大

【 共 4个,是极大值点还极小值可进一由取极值的第

【 详解 】 根据导函的图形可知,一阶导数为零的点有 3,而 x=0 则是数 存在点 . 三个一阶数为零的点左右两侧数符号不一致, 必为极值点, 且两极值点, 一个极大值点;在 x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导为负,可见 x=0为极值点,故 f(x)共有两个极小值

【 评注 】 本题属新题型, 类似考题 2001年数学、 中曾出现过, 当时考查是已 知 f(x)的图推导 ) (x f '的图象,本题是其问题 . 完全

(5) 设 ?

=

40

1tan π

dx x

x I , dx x x

I ?=402tan π

, 则

(A) . 121>>I I (B) . 121I I >>

(C) . 112>>I I (D) . 112I I >> [ B ] 【 分析 】 直计算 21, I I 是困难的,可应用不等式 tanx>x, x>0. 【 详

1tan >x x , 1tan <>

x

, 从 而

1ππ

>=?dx x x I , 4

tan 402π

π

<=?x x="" i="">

可见有 21I I >且 4

2π

I ,可排除 (A),(C),(D),故应选 (B). 【 评注 】 本题没必要去证明 11

(6) 设向量 I :r ααα, , , 21 可由向量组 II :s βββ, , , 21 线性表,则 (A) s r <时,向组 ii="" 必线性相关="" .="" (b)="" 当="" s="" r="">时,组 II 必线性相关 . (C) 当 s r <>

【 分 析 】 本 题为 一 般教 材 上 均有 的 比 两 组向 量 个 数 定

r ααα, , , 21 可由向

或其逆否命题:若向量组 I :r ααα, , , 21 可由

组 I 线性无关,则必有 s r ≤. 可见正确选项为 (D). 本题也可过举反

【 详解 】 用排除法:如 ????

??=???? ??=???? ??=10, 01, 00211ββα, 则 21100ββα?+?=, 但 2

1, ββ线性关,排

??=???? ??=???? ??=01, 01, 00121βαα,则 21, αα可由 1β线性表示,

??=???? ??=???? ??=10, 01, 01211ββα, 1α可由 21, ββ线性表示,但 1α线无 关,排

【 评注 】 本题将一已知定理改造成选择题, 如考熟知此定应该可直接到答案, 若记不清楚,可通过构造适当的反例找到正确选项。定理见《数

三 、 (本题满分 10分)

设函数 ,

0, 0, 0, 4sin

1, 6, arcsin )

1ln() (2

3>=<>

?

?

???

--+-+=x x x x

x ax x e x x ax x f ax 问 a 为值时, f(x) x=0处连续; a 为何

【 分析 】 分段函数在段点 x=0连续,要求既

). 00() 0() 00(+==-f f f

【 详

x ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin ) 1ln(lim ) (lim ) 00(3

0300-=-+==----→→→ =1

3lim 13lim 2

20

2

2

--=--

-

-

→→x ax x ax x x

=. 62

13lim

2

2

0a x ax x -=--→ 4

sin

1

lim ) (lim ) 00(200x ax x e x f f ax x x --+==+++→→

=. 4222lim 41lim 420220+=-+=--++

+→→a x a

x ae x

ax x e ax x ax x

令 ) 00() 00(+=-f f ,有 4262

+=-a a ,

当 a=-1时, ) 0(6) (lim 0

f x f x ==→,即 f(x)在 x=0处连续 .

当 a=-2时, ) 0(12) (lim 0

f x f x ≠=→,因而 x=0是 f(x)的可去间断点 .

【 评注 】 本题为基本题型,考查了极、连续与间等多个知点,其中左右极 计算有一定难度,在计算过中应尽量利

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》 P.22 【 例 1.38-39】 , 《考研数学大讲》 P.15 【 例 23】 , 《文登学

四 、 (本题满分 9分)

设函数 y=y(x)由

21ln 2112>??

???=+=?+t du u e y t x t u

所确定,求 . 9

22=x dx y d

【 分析 】 本题为参数方程二阶导数,按数方程求导的公进行

x=9 时,可应地确

【 详解 】由 t

et

t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=?+=+, t dt dx 4=, 得 , ) ln 21(242t e

t et

dt

dx dy dx dy +===

所以 dt

dx dx dy dt d dx y d 1) (22==t t t e 41

2) ln 21(122

??+-? =. ) ln 21(42

2t t e

+-

当 x=9时,由 2

21t x +=及 t>1得 t=2, 故

. )

2ln 21(16) ln 21(42

2

2

29

2

2+-

=+-

===e

t t e

dx y d t x 【 评注 】 完类似例题见 《数学复指南》 P.53 【 例 2.9】 , 《考

五 、 (本题

. )

1(2

arctan x xe x ?

+

【 分析 】 被积函数含有根号 2x +,典型地

角函数 arctanx ,同

【 详解 】 设 t x tan =,则

x xe x ?+2arctan )

1(=tdt t t e t 22sec )

tan 1(tan ?

+=. sin tdt e t ?

又 t d e tdt e t

t cos sin ?

?

-=

=) cos cos (tdt e t e t

t ?

--

=tdt e t e t e t

t t sin sin cos ?

-+-,

故

. ) c o s (s i n 2

1s i n C t t e t d t e t

t +-=

? 因此

x xe x

?+2arctan )

1(=C x x x e x ++-+) 1(2122arctan =

. 2) 1(2

arctan C x

e x x ++-

【 评注 】

dx x xe x ?

+2arctan )

1(=x x x arctan 2

?

+

=

x e x

xe x x ?

+-+2

arctan 2

arctan )

1(

=

x x x x xe arctan 2

2

arctan 1?

+-+

=x xe x

e x

xe x x x ?

+-+-

+2

arctan 2

arctan 2

arctan )

1(,

移项整理得

x xe x ?

+2

arctan )

1(=

. 2) 1(2

arctan C x

e x x ++-

本题的关键是含有反三角函数,作代换 t x =arctan 或 tant=x, 完全类似例题见《数学

复习指南》 P.86【 例 3.23】以及 P.90习题 12.

六 、 (本题满分 12分)

设函数 y=y(x)在 ) , (+∞-∞

(1) 试将 x=x(y)所满足的

2=++dy dx x y dy

x d 变换

分方程;

(2) 求变换的微分

3

) 0(, 0) 0(=

'=y y 的

dy dx 转化为 dx dy 比较简单, dy dx =

y dx

dy

'=11

,关键是

2dy dx dy d dy

x d ==dy dx

y dx d ?') 1( =3

2) (1y y y y y ''

'-

='?'''-. 然后再

【 详解 】 (1) 由反函数的求导公式知

y dy dx '

=1

,于是

2dy dx dy d dy

x d ==dy dx y dx d ?') 1(=32) (1

y y y y y '''-='?'''-. 代入原微分方程得

. sin x y y =-'' ( * )

(2) 方程 ( * )所对应的齐次

x

e C e C Y -+=

x B x A y sin cos *

+=,

代入方程 ( * ),求得 21, 0-

==B A ,故 x y sin 2

1*

-=,从而 x y y sin =-''的通

121*x e C e C y Y y x

x -+=+=-

由 23

) 0(, 0) 0(='=y y ,得 1, 121-==C C .

. s i n 2

1x e e y x

x --=- 【 评注 】 本题的核心是一步方程变, 完全似例题见 《数学

七 、 (本题满分 12分)

讨论曲线 k x y +=ln 4与 x x y 4

ln 4+=的交点个数 .

【 分析 】 问题价于讨

=-+-k x x x 有几个不同的实 . 本相当 于函数作图题,单调性、极值的讨论即可确实根的个

【 详解 】 设 =) (x ?k x x x -+-4ln 4ln 4

则有 . )

1(ln4) (3x

x x x +-=

'? 不看出, x=1是 ) (x ?的驻 . 当 101时, 0) (>'x ?,即 ) (x ?单调 加,

当 k<4,即 4-k="">0, 0) (=x ?无实

当 k=4,即 4-k=0时, 0) (=x ?有唯一实根,即曲线只有一个交点;

+∞=-+-=+

+→→]4) 4(ln[lnlim ) (lim 3

k x x x x x x ?; +∞=-+-=+∞

→+∞

→]4) 4(ln[lnlim ) (lim 3k x x x x x x ?,

故 0) (=x ?有两个实根,分位于 (0,1) ) , 1(+∞,即

【 评注 】 讨论曲线与坐标轴的点,在构辅助函数时,应尽量将析的参数分离 开来,使求导后

完全类似例题见《数学复习指南》 P.192的【 例 7.24】和《学题型集粹练习题集》 P.89【 例 6.18-19】以及《文登数全真模拟

八 、 (本题满分 12分)

设位于第一象限的

1

, 22(,其上任一点 P(x,y)处法线与 y 轴的 点为 Q ,且 PQ 被 x 轴平分 . (1)

(2) 已知曲线 y=sinx在 ], 0[π上的弧长为 l ,试用 l 表

【 分析 】 (1) 先求出法线方程与交点坐标 Q , 再由题设线 PQ 被 x 轴分, 可转化为 微分方程, 求解此微分方程可曲线 y=f(x)的方程 . (2) 将曲线 y=f(x)

a

?

'+'=

22进

【 详解 】 (1) 曲

) (1x X y

y Y -'-=-, 其中 (X,Y)为线上任意一点的

y x y Y '

+=, 故 Q 点

由题设知 0) (21='

++y x y y ,即 . 02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C为任意常数 ). 由 2

12==x y 知 C=1,故曲线 y=f(x)的方

(2) 曲线 y=sinx

. cos 2cos 20202

dx x dx x l ??+=+=π

π

曲线 y=f(x)的参数方程为

??

???==, s i n 22, c o s t y t x . 20π≤≤t 故 dt t dt t t s ??+=+=

2022022sin 21cos 21sin ππ

, 令 u t -=2π

,则

du u du u s ?+=

-+=202022cos 21) (cos 21

ππ =. 4222l l

=

【 评注 】 注意只在第一象考虑曲线 y=f(x)的弧长,所以

π,而不是 从 0到 . 2π

完全类似例题见《数学复习指南》 P.176的【 例 6.22】和《数题型集粹与习题集》 P.174【 例 12.18】以及 P.172的【 解题提

二 -P.74的第七题 .

九 、 (本题满分 10分)

有一平底容器,其内侧壁是

轴旋转而成的旋转曲面(图) ,器的底面圆

根据设计要求,当以 min /33

m 的速率

液面的面积将以 min /2m π速率均匀扩

容器内无液体) .

(1) 根据 t 时刻液面

(2) 求曲线 ) (y x ?=的方程 .

(注:m 表示长度单

【 分析 】 液面的面将以 min /2m π的速率均匀扩大,因此 t 时刻液面面应:t ππ+22,而液面为,其面积可直接计算出,由此可导出 t 与 ) (y ?之的系式;又 液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算, 已知 t 时刻的液体体

【 详 解 】 (1) 设 在 t 时 刻 , 液 面 高 度为 y , 则 由 题 设知 此

(2) 液面的高度为 y 时,液体的体

上式两边

) () (6) (2y y y ??π?'=,即 ). (6) (y y ?π?'=

解此微分方程,得

y

Ce y 6) (π?=,其 C 为任意

故所求曲线方程为

. 26y e x π

=

【 评注 】 作为应用题,本比较好地综合考了定积分在几何上应用

完全类似例题见《文登数学全真模拟冲刺试卷》数学一 P.78的第题 (实际考题于 本题的特殊情形 ) 和《数学最后冲

十 、 (本题满分 10分)

设 函 数 f(x)在 闭 区 间 [a,b]上 续 , 在 开 区 (a,b)内 可 导 ,

a

x a x f a x --+→) 2(lim 存在,

(2) 在 (a,b)内存在点 ξ,使

)

(2) (2

2ξξf dx x f a b b a =

-?; (3) 在 (a,b) 内存与 (2)

?-=-'b a

dx x f a a b f . ) (2) )((22ξξη 【 分析 】 (1) 由 a

x a x f a x --+→) 2(lim 存在知, f(a)=0, 利用调性即可证明 f(x)>0. (2) 要证 的结论显含 f(a),f(b),应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯中值定理的式进

【 详解 】 (1) 因为 a

x a x f a x --+→) 2(lim 存在, 故 . 0) () 2(lim ==-+→a f a x f a x 又 0) (>'x f ,

). , (, 0) () (b a x a f x f ∈=>

(2) 设 F(x)=2x , ) () () (b x a dt t f x g x

a ≤≤=?, 则 0) () (>='x f x g ,故 ) (), (x g x F 满

足柯西中值定理的条件,于是在 (a,b)内存在点 ξ,使

ξ=''=--=--???x x a b a a a dt t f x dt t f dt t f a b a g b g a F b F ) ) (() () () ()

() () () (222, 即 )

(2) (2

2ξξf dx x f a b b a =

-?. (3) 因 ) () () 0() () (a f f f f f -=-=ξξξ, 在 ], [ξa 上应用拉格朗日中理, 知在 ) , (ξa 内存在一点 η,使 ) )(() (a f f -'=ξηξ,从而由 (2) 的结

) )((2) (2

2a f dx

x f a b b a -'=

-?ξηξ, 即有 ?-=

-'b a dx x f a a b f . ) (2) )((22ξξη 【 评注 】

?-=-'b a dx x f a a b f ) (2) )((2

2ξξη?) )((2) (22a f dx x f a b b a

-'=-?ξηξ ) )(() (a f f -'=?ξηξ (

) )(() () (a f a f f -'=-?ξηξ,

可见对 f(x)在区间 ], [ξa 上应用拉格

完全类似的例题见《数学复习指南》 P.120【 例 4.41】 和《考研数学大串讲》 P.54【 例 18-19】 .

十 一、 (本题满分 10分)

若矩阵 ????

??????=60028022a A 相似对角阵 Λ,试确定数 a 的值;并求可逆

【 分析 】 已知 A 相似于对角矩阵, 应先求 A 的特征值, 再根据特值的重数与线性 无关向量的个数相同,转化为特征矩阵的秩,进而确定

【 详解 】 矩阵 A 的特征多项式为

]16) 2)[(6(60

02

8022

2---=------=-λλλλλλa A E =) 2() 6(2+-λλ,

故 A 的特征值为 . 2, 6321-===λλλ

由于 A 相似于对角矩阵 Λ,故对应 621==λλ应两个线性关的特征向量, 2) 6(3=--A E r ,于是

由 ????

??????-→??????????---=-00000012000480246a a A E , 知 a=0.

于是对应于 621==λλ的

??????????=1001ξ, . 0212????

??????=ξ 当 23-=λ时,

????

??????→??????????-----=--0001000128000480242A E , 解方程 ???==+, 0, 02321x x x 得对

??????-=ξ 令 ????

??????-=001220110P ,则 P 可逆,并有 . 1Λ=-AP P 【 评注 】 完全类似的例题见《考研数串讲》 P.222【 例 18-19】和《文数学全真 拟

十二 、 (本题满分 8分)

已知平面上三

:1l 032=++c by ax ,

:2l 032=++a cy bx ,

:3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点充分必要

【 分析 】 三条直线相交于一点,相于对应线性方程组一解,进而转化为系矩 阵

【 详解 】 方法一 :必要性

设三条直线 321, , l l l 交于

??

???-=+-=+-=+, 32, 32, 32b ay cx a cy bx c by ax (*)

有唯一解,故系数矩阵 ??????????=a c c b b a A 222与增广矩阵 ????

??????---=b a c a c b c b a 323232秩均

由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b a c

a c

b c b a

---++++=---= =]) () () )[((3222a c c b b a c b a -+-+-++,

但根据题设 0) () () (222≠-+-+-a c c b b a ,故

. 0=++c b a

充分性:由 0=++c b a ,则从必要性证明可知, 0=,故秩 . 3) (<>

b b a ++-=-= =0]4

3) 21[(222≠++

-b b a , 故秩 (A)=2. 于是,

秩 (A)=秩 ) (=2.

因此方程组 (*)有唯一解,即三直线 321, , l l l 交于一点 .

方法二 :必要性 设三直

??????100y x 为 Ax=0的非零解,其

??????=b a c a c b c b a A 于是 0=A .

而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b

a c a c b c

b a A ---++++-==

=]) () () )[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,

但根据题设 0) () () (2

22≠-+-+-a c c b b a ,故

. 0=++c b a

充分性:

??

???-=+-=+-=+, 32, 32, 32b ay cx a cy bx c by ax (*)

将方程组 (*)的三个方程相,并由 a+b+c=0可知,方

?

??-=+-=+. 32, 32a cy bx c by ax (* *) 因为 ]) ([2) (22222b b a a b ac c

b b a ++-=-= =-0]) ([222≠+++b a b a ,

故方程组 (* *)有唯一解,所以方组 (*)有唯一

【 评注 】 本题将三条直线的位置关系转为方程组的的判定, 而解的判定问题转 化为矩阵的秩计算,进而化为行列式

完全类似例题见《数学

注: 1.《数学复习指南》 (2003版,理工

主编 : 陈文灯、黄先开

2. 《数学题型集粹与练题集》 (2003版,理

主编 : 陈文灯、黄先开

3. 《文登数学全真模拟卷》 (2003版,理工

主编 : 陈文灯、黄先开

4. 《数学最后冲刺》 (2003版,理工类)世界图书出版公司

主编 : 陈文灯、黄先开

5. 《考研数学大串讲》 (2002版,理工

主编 :

(文登学校供稿 )

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