Today感动
向心加速度是匀速圆运动中的教学难点，这是由于学生因长接受标运算而产生的思维定势，认为速圆周运动中物体运动速率不变，
?v=0，于是有a=?v=0。 ?t
矢量合成法
如图1所示，物体自半径为r的圆a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率va=vb=v，则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四边法则作出其矢量图如图1。由余弦定理
X
?v=v2+v2-2v2cosθ=2v-cos
2=-cos 2
∴?v=2vsinθ
2
当θ→0时， sinθ
2=θ
2，故?v=vθ ?vθv2
=v=vω=于是有a= ?t?tR
向心加速度公式的推导
向心加速度公式
关于向心加速度公式的推导方法甚多，下提供几种有别于课本的推
矢量合成法如图1所示，物体自半径r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为?t，若物体在a、b点速率为va=vb=v，则其速度的增量?v=vb-va=vb+(-va)，由平行四边法则作出其矢量图如图1。由余弦定理可
可见当θ?0时，α=90?，?v的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切方向，?v的方向指向圆心.因?v的方向即为加速的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆
。. .
运动合成法
众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的心力作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆方向作匀加速运动.若有向心力，则物将沿初速度方向速运.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度向的匀速运的合运动.如2所，物体自a至b的运动，可看先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α加速运动至b，由图可
当?t?o时ac方向的运动可以略.故物体只有指向
位移合成法
如图3所示，设物体自a点经?t沿圆周运动至b，其位移ab可成是切位移s1和法向位移s2的矢量.由以上分析可知，其法向运动为匀加
由图知:?acb??adb，故有ac?ab=ab?ad，
4
类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为?s(如图4).若所经时间为?t，则在此段时间内的平速率显然这速率描述的位置矢矢端的运动速率，当?t趋近于零时，这个平均速就表示位置矢量的矢在时刻的即时速率，如果转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀率的，易知其速
(1)式中t为旋转周期.再如图5是物由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。现将其速度移至图6，容看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量旋.，而图6则是度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，
由图6可知，这个速度变化率其实就是的旋转速率，其旋转半径是速率v的大小，故
比较图5图6可以看出当?t?o时?v的向和?s的方向相垂直.故速度的方向和速度方向相
向心加速度公式推导集萃
向心加速度公式
, 作者:lsm77 来源:本站原创 点击数:5671 更新时间:2005-3-12 文章录入:lsm77 ,
【字体: A 】
向心加速度公式推
向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由学生长期接受标量运算而产生思维定势，认为匀速圆周运
物体运动速率不变，故其
因此我们在教学中必须强调两点，的量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故?v?0，另一速度变的向就是加速度的方向。因此在教学中须说清楚?v方向。教材中引进速度三角形的方法，实际上已经考虑到了
两点。关于向心加速度公式的推导方法甚，下面提供几种有别于课本
1 矢量合成法
如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时为?t，若物体在a、b的速率为va=vb=v，则其
的增量?v=vb-va=vb+(-va)，由平行四边形法则作出其量图如图1。由余弦定理
可见当θ?0时，α=90?，即?v的方向和vb垂，由于vb方向为圆周切线方向，?v的方向指向圆心.因?v的
即为加速度的方向，可见匀速周运动中加速度的
。. .
2 运动合成法
众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向心向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心向作匀加速动.若没有向心，则体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿心方向的加速直线运沿度方向的匀速运动的合动.如图2所示，物体自a至b的运动，可成先由a以速度v
运动至c，再由c以加速度α匀加速运
当?t?o时ac方向的运动可以略.故物体只有指向
3 位移合成法
如图3所示，设物体自a点经?t沿圆周运动至b，其移ab可看成是切向位移s1和法位移s2的矢量和.由以上分
知，其法向运动为
由图知:?acb??adb，故有ac?ab=ab?ad，
4 类比法
设有一位置矢量r绕o点旋转，其由a至b时发生的位移为?s(如图4).若所经时间为?t，则在此时内的平均速率显然这个速率描述的位置矢量矢端运动速率，当?t近于零时，这个平均速率就表示位置矢
矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是角速的，则其矢端的运动是匀速率的，易知其速
(1)式中t为旋转周期.再如图5是物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。现其速度平至6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5示的是位置矢量的旋.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加
是速度的变化
由图6可知，这个速度变化率其实就是的旋转速率，其旋转半就是速率v的大小，
比较图5图6可以看出当?t?o时?v的方和?s的方向相垂直.故加速
介绍上述方法目的在于使广大学生对向心加速度这难点有深刻的了解，也可以从得到启迪，对拓宽思路有所裨
向心加速度公式推导集萃
向心加速度是匀速圆周运动中的教难点，这是由于学
产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运
因此我们在教学中必须强调两点，的矢量性，速度的
化，故?v?0，另一是速度变化方向就是加速度的方
清楚?v的方向。教材中引进了速三角形的方法，实
点。关于向心加速度公式的推导方甚多，下面提供几种
供大家参考。
1
如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速运动至b，所经时间为?t，若物体在a、b点的速率
a=vb=v，则其速度的增量?v=vb-va=vb+（-va），由平行四边形法则出其矢量图如图1。由余弦定理
b垂直，由于vb方向为周切线方可见当θ?0时，α=90?，即?v的向v向，故?v的方向指向圆心.因?v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周
中加速度的方向指向圆心，。. . 2
众所周知，物体作圆周运动的条件是到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以想，若没初度则物体将向着圆心方向作匀加速动.若没有向心，则物体将沿初速方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿
方向的匀加速直线运动和初度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物自ab运动，可看成先由a以速度v匀速运动c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图
当?t?o时ac方向的运动可以略.故物体只有指向
3
如图3所示，设物体自a点经?t圆周运动至b，其位
s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，
由图知：?acb??adb，故有ac?ab=ab?ad，
4
设有一位置矢量r绕o旋转，其矢端由a至b时发生的位移为?s（如图4）.若所经时间为?t，则在此时间内的平均速率显然这个速率描述
位置矢量矢端的运动速率，当?t近于零时，这个平
矢端在某一时刻的即时速率，如果转是匀角速的，则
的，易知其速率
（1）式中t为旋转周期.再如图5是物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。将其速度移图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5示的是位置矢量的转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然
度是速度的变化
由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋
就是速率v的大小，有 比较图5图6可以看出当?t?o时?v的方向和?s的方向相垂直.
介绍上述方法目的在于使广大学生向心加速度这个难
以从中得到启迪，对拓宽思路
(江苏武进湟里中学 213151 李虎驼)
向心加速度公式推导[精华]
向心加速度公式
向心加速度公式推
向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由学生长期接受标量运算而产生思维定势，认为匀速圆周运
物体运动速率不变，故其
因此我们在教学中必须强调两点，的量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故?v?0，另一速度变的向就是加速度的方向。因此在教学中须说清楚?v方向。教材中引进速度三角形的方法，实际上已经考虑到了
两点。关于向心加速度公式的推导方法甚，下面提供几种有别于课本
1 矢量合成法
如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时为?t，若物体在a、b的速率为va=vb=v，则其
的增量?v=vb-va=vb+(-va)，由平行四边形法则作出其量图如图1。由余弦定理
可见当θ?0时，α=90?，即?v的方向和vb垂，由于vb方向为圆周切线方向，?v的方向指向圆心.因?v的
即为加速度的方向，可见匀速周运动中加速度的
。. .
2 运动合成法
众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向心向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心向作匀加速动.若没有向心，则体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿心方向的加速直线运沿度方向的匀速运动的合动.如图2所示，物体自a至b的运动，可成先由a以速度v
运动至c，再由c以加速度α匀加速运
当?t?o时ac方向的运动可以略.故物体只有指
