段姐007
—— 学霸分割线 ——
对于拉格朗日乘数法，还有外一种解法，感兴趣的同可以
后面的结果步骤与之前的第一种方法同，这里就不说，只绍一个不同的方法供大家了解，这种方法的几何意义，学霸们可以
回到正常思路中，我们继续看
例四这个题姑姑在下面的频中用了不一样的方法，大注
—— 多元函数求极值 ——
四海八荒最懂高数的九
今天的视频有三个
时间稍微有点长
没流量的赶紧找wifi
没wifi的赶紧找
什么？没男票？
那赶紧找啊
求极值 上
▼
求极值 中
▼
求极值 下
▼
-?END -
二元函数求极值
?6.7二元函数的极
在管理科、经济学、以及许多工程与科技问题中，常需要研究函数的最大与最值问，它们统称值问题。需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为策量，相应的问
教学目的与要求:1、理解二元函数极值的概
2、弄清二元函极值与最值相关的概
3、正确判断所点是否为驻点、极值
4、会用充分条件判定二元函数的极值， 教重点:1、熟练掌握二元函数的极与最值
2、掌握二元函数取得极值的必要条件充分判别法， 教学难点:求最值实际题会建
教学方法:启发式讲授:
问题(最实际问题会建立模型)1、2010年我校“宣传”工作，通过讲座和简进行品宣传，我初步统计，收入R万元与投讲座X万元和印刷简章Y万元之间有如下关系(验式)求:最优(
22划。 Qxyxyxyxy(,)1020.2530.37105,，，,,
问题(最值际问题会建立模型)2、某商店卖两种牌子的果，本地牌子每瓶进价1元，地牌子瓶进1.2元，店估计，如果本地子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖瓶本
瓶外地牌子的果汁问:店主每天
取得最大收益,fxyxxyyxy(,)(1)7054)(1.2)(8067),,,，，,，, 教学程:在际问题中，往往会到二元函的最大值，最小值问题，与一元数相类似讨论二元函数的最值，最小值极大值，极小值的密切的关系，复习1、一元函数的极值:(1)出函在区间(，)内的所有极
'通过求导数=0 ，查找驻点和不可导点获fx()
得;(2)计算函数在各个极值嫌疑、
的函数值;(3).比较这些函数值大小，其中最大就最
一般情况下，如何求二元函的极呢,仿照一元函数的极值的讨论，们有如
定义:设函数在点的某邻域内有
域内恒有，则称为函数的极fxyfxyfxyfxy(,)(,),((,)(,)),,fxy(,)fxy(,)000000
大(小)值(极大值与极小值统称为值，函数取得极值的点(,)xy00称为
定理1(极值存在的必要条件)若函数在有极值，且fxy(,)(,)xy00数在该点点处有极值，则它在该点的一阶偏导
''偏导数必然为零，则有，。 fxy(,)0,fxy(,)0,yx0000
证明:不妨设函数在点处有极大值，
均有，成立。特别地，取而的点，有f(x,y),f(x,y)(x,y),(x,y)y,yx,x000000
也有成立，这表明一元函数在处取得极大值，因
''(类似地可证。 fxy(,)0,fxy(,)0,yx0000
''使同时成立的点称为函数的驻点，fxy(,)0,(,)xyzfxy,(,)fxy(,)0,yx0000
由定理1知，偏导数存在的函的极值点必为驻点，但驻点不一是极
定理2(极值存在的充分条件)设函数zfxy,(,)在点Pxy(,)某邻000域内具有一阶、二阶连续偏导数，且点Pxy(,)是函数的
''''''''fxyfxy(,)(,)0,,，若记，Bfxy,(,)，Cfxy,(,)，Afxy,(,)xyxyyyxx0000000000
2则:(1)当时，点Pxy(,)极值
是极大值点;当(或)Pxy(,)A,0C,0000
时，是极小值点; Pxy(,)000
2(2)当时，点非极值
2(3)当时，点可能是极值点也
22例1 求函数的极
zxy,,,,220,,x解:由方程组 解
, 又zzz,,,,2,1,2xxxyyy
2故在点处，，从而，， (1,0)ABC,,,,2,1,2BAC,,,,30A,,20
所以函数在点处取得极
由定理1与定理2可得，求
fxy(,)0,,,x第一步、由
即可求得一切驻点; (x,y),(x,y)？？(x,y)1122nn第二步、对于每一个驻点， (x,y)(1,2,)in,ii
求出二阶偏导数的值 A,B,C
2第三步、由的符
按定理2的结论判定是否是极
第四步、考察函数是否
若有加以判别是否为极值点( 注意1(点不一定是极值点，如点( z,xy(0,0)注意2(极值点也不一定是驻点，对可导函数
223例2(求函数的极值( fxyxxyxyy(,)22,,，，
解:先解方程组
'2,fxyy,,，,2220,x ,'2fxxyy,,，,2430,y,
31求得驻点为， ppp(0,0);(,);(2,2),123164
'''''求二阶偏导函数，， Bfy,,,24Cfyx,,,64Af,,2xyyyxx
2在点处，，所以不是极值
2在点处，，所以不是极值点; (2,2)(2,2)BAC,,,280
3172在点处，，因为， (,),A,0BAC,,,,01642
31315所以是极小值点;极小值为: (,),f(,),,,164164256二、二元数的最大
与一元函数类似，若在有界闭区域D上连续，则zfxy,(,)zfxy,(,)D上必最大值和
具体求法:求出D内的一切可能极值，以及边界上的大值和最小值，然后进行较，确定大值和最值。但在解决实际问题时，若在D内驻点唯一，由问题性质，即确唯一驻点就
所求最值点，不必比较。
例3、某工厂生产A、B两种产品，其售单价分别为元，p,12p,18AB元(总成本C(单位:万元)是两种产品产和(单位:
22数，，问两种产品产量为多少，可
大利润是多少,
解:收益函数Rxypxpyxy(,)1218,,，,,， AB
22利润函数: LxyRxyCxyxyxxyy(,)(,)(,)(1218)22,,,，,,,
',Lxyxy(,)1240,,,,,x由 ,'Lxyxy(,)1840,,,,,y,解 得驻点，即: L(2,4)48,(2,4)
由题意知，最大利润存在，而驻点唯一，故生2千产品A，4千件产品B时，利润最大，最
函数的最大值与最小值求最值方
? 将函数在区域内的
? 求出在边界
? 将这些点的函数值求，并且互相比较，定出函数的
实际问题求最值:
的最值一定在区域的内部取得，而
只有一个驻点，那么可以肯定该驻
例3 用铁皮制作无盖长方体水箱，且长、宽、高分别为.若x,y,z体积 时,怎样
分析:使其表面积最小时的用最省.注意条件等式的运用，
以减少未知数.
11解: 用料, 其中. Sxyyzzxxy,，，,，，2()64()x,y,0xy
6464,,Sy,,,y,0,x22,,xx,,22 令
z,2 唯一驻
z,2所以:=4米，=4米;米时用料最省。 yx
例题4:2010年我校“宣传”工作，通过讲座和简章行品
我初步统计，收入R万元与投
X万元和印刷简章Y元之间有如下关系(经验
22 X、Y的价格分别是25元/单位，Qxyxyxyxy(,)1020.2530.37105,，，,,
37元/单位;获利100元/位，生产的固定成本2000元。求:
大利润)的宣传策划。
解:总成本: Cxyxy(,)25372000,，，
总收益: RxyQxy(,)100(,),
所以利润函数:
LxyRxyCxy(,)(,)(,),,
22 ,，，,,,，，100(1020.2530.37105)(25372000)xyxyxyxy
22,，，,,,10002000300010005002000xyxyxy
'Lyx,，,,1000200020000x 'Lxy,，,,1000300010000y
唯一驻点:;，所以讲座5单位，简8
行品牌宣传最大利润15000。
若二元函数在某区域内连续且
就是函数在该区域上的最大值点或最小值吗, 小结:1、求二元函数极值点的一般
fxy(,)0,,,x第一步、由
即可求得一切驻点; (x,y),(x,y)？？(x,y)1122nn
第二步、对于每一个驻点(x,y)(1,2,)in,， ii
求出二阶偏导数的值 A,B,C
2第三步、由的符
按定理2的结论判定是否是极f(x,y)ii值，确定极大值极小
第四步、考察函数是否
若有加以判别是否为极值点(
2、函数的最大值与最小值求最值方法: ? 将函数在区域内的全部极值点求出; Df(x,y)
? 求出在边界
? 将这些点的函数值求，并且互相比较，定出函数的
实际问题求最值:
根据问题的性质，知道函数的最值
只有一个驻点，那么可以肯定该驻
作业:习题6.7
探索求一元函数极值和最值方法
“探索求一元函数值和最值方法”的学习
一、前言
函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重特征。因，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十重的。 二、
1.探索可能的极值
(1)回顾相关定义、定
a.极值定义:若函数f在点x的领域U(x)对切x?U(x)有f(x)?(?)f(x)，则称
数f在点x确取得极大(
b.费马定理:设函数f在点x的某领内有定义，且在点x可。点x为f的极值点，000则必有f’ (x)=0。称这样的点
(2)思考并回答下列问。进一步分析可能的极值点
a.可导点成为极值点一定稳定点吗,(是。通过费马理可
b.函数的不可导点也能称为极值吗,(能。例如y=| x|在x=0处取极
3c.函数的稳定点一定是极值点吗,(不定。例如y=x，x=0为稳定，但非
d.函数的不可导点一定是极值点吗,(一定。例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是
e.函数在点x处不可导，它包了哪几种情况,(?连续不可导?不连
f.除此之外，还有没其他类型的点极值点,(没
2 稳定点，例如y=x，x=0处
(3)由上面的问题得到极值点的范
连续不可导，例
2 不可导点 x x?0
不连续点，例如y=
,1 x=0
2.探索确定极值点的方
由极值点的范可知极值点分连续点和间断点。对于剪短点，只满足在x某域0内始终有f(x)?f(x)或者f(x)?f(x)，至于连续部分函数意，这样间断点x就为大或极000小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定即。下面主要讨论连续点
231/30(1)a.考察函数y=x，y=x，y=x易知在x=0处连续，在U(x)可
2?y=x x<0时，f’><>
x>0时，f’ (x)>0，函数严格
3 ?y=xf’ (x) ?0函数单调
仅在x=0时，f’ (x)=0
1/3 ?y=xf’ (x)>0.函数严格递增 且x=0处
223由y=x在x=0处连续以及两领域的增减性可知y=x在x=0处取
1/3以及y=x由f(x)的增减性可知在x=0处取
0b.启发得定理:设f在x连续，在某领域U(x)内可导则 0000?若x?U(x)，f’ (x) ?0，当x?U(x)，f’ (x) ?0，则f点x处取得极大值 —+00000?
(单调性可以验证)
0连续，在U(x)内可导，知该定理适用于稳定点或连续不可导。 注:由件在x0022(2)a.考察函数y=x，y=-x易知前在x=0处取得极值，后者在x=0处取极大值，而二者在x=0处的导数值都为0。观察二者的二阶导数符特点。列表如下: 函数 一
2y=x 0 +
2Y=-x 0 —
b. 设f在x的某领域U(x)内一可导，在x= x处二节可导，且一阶导为零。
导数非零。则有?若二阶数小于零，则f在x处取得极
?若二阶导大于零则f在x处取得极小值(泰勒公式可验) 034(n)(3)a.一步察f(x)=x和f(x)=x等更高
b.启发得定
?当n为奇数时，f在x不取极值 (泰勒公
注:该定理为充分条件，例如f(x)= 在x=0处取
0 x=0
(k)因为f(x)<0无法用该定理。>
(4)综上，在确定x是否为f(x)极点时，首先观察，若不连续则用定判断，
再观察在x处是否可导，若不可导直接用理1判断，若可导计f’ (x) ?0，显然不为00极值点，若f’ (x)=0再按相应
3.探索确定区上连续函数的最值的
(1)回顾有界区间上连续函数的最
若f在闭区间[a,b]连续，则f在[a,b]上有最值与
2(2)考察函数f(x)=x, f(x)=| x|在[-1,2]上最值和最小的分布，以及f(x)=sinx在[0,π]内最值和最小值的分
函数 最小值点 最大值
2f(x)=x X=0极小值点 X=2点 f(x)=| x| X=0极小值
(3)得出结论:a.若函数f在(a，b)内取得大极值则相应的极大或极小值中某一个也为f在[a,b]内的最
b.除极或极小值可能成为最大或最小值外，端点值可能 最大或最小值 (4)求f闭区[a,b]的最值的方法:先求出f在其中的极值，端点值，再比较所求极，点值的大小，
2(5)进一步观察函数f(x)=x和f(x)=| x|[-1,2]上极点的个数。可以看到二者都只有一个极值点，这个极值点正
(6)得到另一个求最值的特殊方法:当f在区
的相应最值点。
三、学习感想
通过探索学习，我不仅对求极值、最值的方法有了更全面的更深刻认识，
论的过程中，我体会到了积极主动提问、思考、求证的乐趣。只要常常思考，总会发现新的题没解决些问题的过程，可能会遇到障，这时讨论、请教和不放弃时解决问题的关键。总在习中要善于发现
数统学院0912班第8学习小组
主
成:杨恒
【doc】求多元函数极值的二次型方法
求多元函数极值的二次型方
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322
123123123 (,,)122fxxxxxxxxx=++++
2
12 1
312
f
xx x
j, =+ j, 21 2
212
f
xx x
j, =+ j, 3
3
22 f
x
x
j, =+ j, 1
0
f
x
j,
=
j,2 0
f
x
j,
=
j,3 0
f
x
j,
=
j,
0
(0,0,1)x=jV1
(24,144,1)x=jVjV
322 123123123
(,,)122fxxxxxxxxx=++++
2
12
1
6
f
x
x
j, =
j, 2
12 12 f
xx j, =
j,j,
2
13 0
f
xx j, =
j,j,
2
2
2
2
f
x
j, =
j, 2
23
0
f
xx
j,
=
j,j, 2
2
3
2
f
x
j,
=
j,
Hessian
1
6120 ()1220
002 f
x
Hx
i?i? i?i? =i?i? i?i? i?i? 0
(0,0,1)x=jV0
0120
()1220 002
f
Hx
i?i?
i?i?
=i?i?
i?i?
i?i?
0
()f
Hx1
0H=
2
012
1440
122
H==jV<3
0120
12202880 002
H==jV<0
()f
Hx0
(0,0,1)x=jV
1
(24,144,1)x=jVjV1
144120 ()1220f
Hx
i?i?
i?i?
=
i?i?
i?i?
i?i?
0
()f
Hx1
1440H=> 0
()f
Hx
12
(,,...,)n fxxx000
12
(,,...,)0n fxxx>000 12
(,,...,)n fxxx12
(,,...,)n fxxx
-22-
002
3
?6?6?:?????6?h???O?b???4
???O?b?E?4
??2.?????????=???Q?????????X?????O?????s?????q?????????4?m???????'???6???s?u???.?)?U?[?4?Q??
?????m?9?.?)?U?[???????????m?.?)?U?[???????????[???7???????O, ?9?????m?9???????????7?6?S???x?????????6???D???g?????-?4
???g???????u???4?m?9?????6?g???????E?=
=
?m?????b???9???????????6???6
???6?6???????E?4?g???????9?????2???????.?[???Q
?6?o?????????.?[???Q?E?n?????Q?6?D???9????
?2???;???-?b?6???h???-?b?????x?????????E?=?Q???????m?9???????????m?9?(?d?E?)?U???)?U?6??.
???????????-?g???4
???1???s
?6???-?????????l???4???-?????.?H?[?w?[?4?f???=???????????w?L?6?=?4[1][M]1999151~152
?f???-?????????4?????????.?H???w?[?4?f???=???????????w?L?6?=?4[2][M]1988236 ???C?.?1?-?????????4?????(???.?H?[?w?[?7???4?f???=???????????w?L?6?=?4[3][M]2001320~321
???G???4?g?9???????Q???????=?U?????????b?????4?????h???=???h?????????4?6?.?[?=?4[4][J]200619159~60
???????4?=?U?????????b?????4???????????????4?6?.?[?=?4[5][J]200424128~30 ???????4?????-?4???+?????????b?????U?????????b?4?g?e???]?4?6?.?[?=?4[6][J]200318219~20
?????6?????0?4?=?U?????????b???????9?4?????.?1?????????4?6?.?[?=?4[7][J]20035410~12
?7???6?x?????=?S?=?U???????b?????+??????
2
012
1440
122
H==>3
144120
12202880
002
H==>1
()f
Hx1
(24,144,1)x=jVjV
(24,144,1)6913fjVjV=jV
R
1
x2
x22
121212
151426825Rxxxxxx=++jVjVjV
22
12121212
(151426825)()fxxxxxxxx=++jVjVjVjV+
22
121212
151325825xxxxxx++jVjVjV
21
1
12
2
13840
258100
f
xx
x
f
xx
x
j,i? =jVjV=i?j,i?
i?
j,i?=jVjV=
i?j,i?
1
35
12
x=2 1
6
x=
351 (,) 126 Hessian
22
2
112 22
2
212 48
810 ff
xxx A
ff
xxx
i?i?j,j,
i?i?
j,j,j,jVjVi?i?i?i?==i?i?i?i?jVjVj,j,i?i?
i?i?i?i?j,j,j,i?i?
HessianAf
351
(,)
126
35
12
1
6
TheQuadraticFormMethodofTheExtremeValueofMultivariableFunction ChengGuoLiuYa-ya
?.1.DepartmentofMathematics,ShangluoUniversity,Shangluo,Shaanxi,726000;2.Depar
tmentofBasicCourses,Xi'
?[anUniversityofScienceandTechnology,Xi'an,Shaanxi,710054 Abstract:Throughthequadraticformtheory,asolutiontotheextremeproblemoffunctionofs
everalvariablesis
given.
Kyxff;Qf;Mx
?i???z???=?a????[]
-2-
ewords:Etremevalueomultivariableunctionuadraticormatri
求多元函数极值的二次型方法(1)
.引言 0对于二元函 数 在定义域内求 值 问题,通常利用 导数的相关知识 解决.
取得极 值的必要条件为在点 , 与 均存在且 , . 为数的驻点.另一方面 若 在点 某邻域内具有直到二的连续偏导
.令 , , ,则 () 时, 取得极值,且当 时取极小值, 时
1() 时,
在点 处 无极值; 2() 时,不能确定 是否是 的
3但是,上述方法对三元及其以上的多 函数 求极值并适,文利用二次型的理论,来解决多元 三 元 (及以上 函数求极值
.预备知识 1定 义 1
[1]
含有
个变量 的二次齐次函
可写成 当 为实
则二次型 可表成 ,其中 为对称
定 义 2[2]
设实二次型
,对于任意一组不全为零的实
如果都有 ,则该二次型为正的,矩阵 为 正定矩阵 ;如
该二次型为负定的,矩阵 为负定矩阵;如
则该二次型为半正定 半负定 的, 矩
, () 阵 为半正定 半负定 矩阵;如果不半正定又不是半负定,则该二次型为不定,矩阵
() 定 义 3
[3]
设
元数值函数 在 点可导,则
求 多 元 函 数 极 值 的 二 次 型
程
国 刘 亚 亚
(商洛学院数学系,陕西
; 西安科技大学基础部,陕西 西
1. 7260002. 710054摘 要:利用二型的理论,给出解决多元数极问题一种方法. 关键词:多元函数极值;二次型;矩阵 中图分类号:文献标识码:文
A
16720520200805002004
——————————————— 收日期:作者简介:国(—) ,男,甘肃临泽人,商洛学院数学系助教,主要研究向为线性代
3第 卷第 期() 河西学院学报 ()
2452008Vol.24No.52008(, ) z
f x y =(, ) f x y 00(, ) x y 00(, ) x y x f y f 00(, ) 0x f x y =00(, ) 0y f x y =00(, )
x y (, ) z f x y =
00(, ) x y 00(, ) 0x f x y =00(, ) 0y f x y =00(, ) xx
f x y A ′ =00(, ) xy f x y B ′ =00(, ) yy f x y C ′ =2
0A C B >(, ) f x y 00(, ) x y 0A>0A<20a c="" b=""><(, )="" f="" x="" y="" 00(,="" )="" x="" y="">
0A C
B =00(, ) x y (, ) f x y n 12, ,..., n x x x 12(, ,..., ) n f x x x 2111a x =+121213131, 122... 2n
n
n n a x x a x x a x x ++++22222... nn n
a x a x ++ji ij a a =2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+12(, ,..., ) n f x x x 21111212... a x a x x =+++21121212222211... ... n n n n n n a x x a x x a x a x x a x x +++++++
222, 1... n
n n nn n ij i j i j a x x a x a x x =++=∑ ij a f 12... n x x X x =
112112122212... ... ... ... ... ...
... n
n
n n nn
a a a a a a A a a a =f T f X A X =A 12(, ,..., ) () T T n f x x x X A X A A ==12, ,..., n c c c 12(, ,..., ) 0n f
c c c >A 12(, ,..., ) 0n f c c c
2008-01-02
198
为函数
在点 的梯度,记作 ,即
.
定 义 4
[4]
设 元 数值函数
在 点有连续的二
为函数 在 点
() 是由 个二阶偏导数构的
.多元函数极值的判别方法 2多元函数极的别
(必要条件)若点 是函数 的极
存在,则 在该点的梯
证明 用反证法 不妨设 为极大值,而 ,
. 不妨设
,则存在 的某一 邻域,使得这一
,矛盾.故有 .
定 理 2
(充分条件)设函数 在点 的某邻域
连续偏导数,且
在该点的梯度 ,则
() 为正定矩阵时, 为 的极小值. 1()当 负
2()当 为不定矩阵时,
3证明
考虑
在 点 展开式:
=.
+将此式用矩
=+因为 ,当 ,且 分小
程国,刘亚亚:求多元函极
00012()
() ()
, , ... , n
f x f x f x x x x 12(, ,..., ) n y f x x x =0x 0() gradf x 00001
2()
() ()
() , , ... , n
f x f x f x gradf x x x x =
n 12(, ,..., )
n y f x x x =00
012(, ,..., ) n x x x x =2
2
2
00021
12
12
2
2
0002021
2
22
2
2
000212
()
() () ... () ()
()
... () ...
...
...
...
() ()
()
...
n
f n n n n
f x f x f x x x x x x f x f x f x H x x x x x x f x f x f x x x x x x =12(, ,..., ) n y
f x x x =0x Hessian 0() f H x 2n n 000
12(, ,..., ) n x x x x =12(, ,..., ) n y f x x x =(1,2,..., ) i
f i n x =12(, ,..., ) n y f x x x =0() 0gradf x =000
12(, ,..., ) n f x x x 0() 0gradf x ≠
i x 0() 0i
f x x ≠ 0() 0i
f x x >0i x δ00
(0) i i x x h h δ<><>
01212(, ,..., ) (, ,..., ,..., n i f x x x f x x x h <>
) n x 0() 0gradf x =12(, ,..., )
n y f x x x =00
012(, ,..., ) n x x x x =12(, ,..., ) n y f x x x =0() 0gradf x =0() f H x 0
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f H x 000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x Taylor 12(, ,..., ) n f x x x 2
0000001
, 1
() () 1
() () ()() 2
n
n
i
i
i i j j
i i j i
i j
f x f x f x x x x x x x x x x ==++
∑
∑ 2
0() O x x 12(, ,..., ) n f x x x 0000001
() ()() () ()() 2
T f f x gradf x x x x x H x x x ++20()
O x x ()
f x =() x x ≠ x x -21-
00grad 000
-由此可以看出 是否为 的值,
为正定或负定.当 为正定矩阵时, 即 为 的极小值 ;
-, 当 为
-,即 为 的 极
大值;当 为不定矩阵时,
多元函数求极值的步骤 2.2多元函数
在定义域内求极值,可
()令 ,求出
()求出 在 点的海
()判定 正定或负定.若 正定,则 在 点
3定,则
在 点取得极大值.
应用 2.3例 求三
1. 解
,
,
令 , , 得驻点 , 各
, ,
,
,
,
得海森()矩阵 . 在点 处,有阵 ,而 各阶顺序主 子式 , , ,故 不定, 不极值 点. 点 ,有矩阵 ,而 的
年第 期
2008512(, ,..., ) n f x x x 00
0120001(, ,..., ) () ()() 2
T n f f x x x x
x H x x x ≈ 0
0012(, ,..., ) n
f x
x x 12(, ,..., ) n f x x x 000() ()() T
f x x H x x x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0
12(, ,..., ) 0n f x x x >000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 0() f
H x 0
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x 1
2()
() ()
() , , ... , 0n
f x f x f x gradf x x x x =
=12(, ,..., ) n f x x x 0x 12(, ,..., ) n f x x x 0x Hessian 0() f H x 0() f
H x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x 0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 0x 322
123123123(, , ) 122f x x x x x x x x x =++++2
121312f
x x x =+212212f
x x x =+3322
f
x x =+10f x =20f x =3
0f x =0(0,0,1) x =1(24,144, 1) x =322
123123123(, , ) 122f x x x x x x x x x =++++2
12
16f x x =2
12
12f
x x =2
130f
x x =2
2
2
2f
x
=2
23
0f
x x =2
23
2f
x
=Hessian 1612
0() 12
200
02f
x H
x =0(0,0, 1) x =00
120
() 12
200
2
f H x =0() f H x 10H =2012
144012
2
H =
=<>
12202880002
H ==<0() f="" h="" x="" 0(0,0,="" 1)="" x="1(24,144," 1)="" x="">
() 12
20f H x =0() f H x 11440H =>0() f H x 12(, ,..., ) n f x x x 00012(, ,..., ) 0n f x x x >000
12(, ,..., ) n f x x x 12(, ,..., ) n f x x x -22-
2
3, ,故 正定, 是极小
例 2. 某公司可通过电台和报纸两方式做销售种商品的广.根据统计资料,销售收入 (万元)电台 广告费 (万)及报纸广告费 (万
在广告费用无限的情况下,求最优广
解
利润等于收入与费用之
=根据极值存在
,
得 , ,即驻点为
.利润函 驻点处的海森()矩阵 ,易验证海森()矩阵 为负矩阵,所以 在驻点 处达到极大值,也是大值 即最优 广告策为:电台广告费用和报
. 时可获得
参考文献
同济大学学教研室.线性代数(第三) .北京:高等教育出版, :. [1][M]1999151~152北大学数学
[2][M]1988236华东师范大学数学系.数学分析(
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[7][J]20035410~12程国,亚亚:求
2012
144012
2
H =
=>3144120
12202880002
H ==>1() f H x 1(24,144, 1) x =(24,144, 1) 6913f =R 1
x 2x 22
121212151426825R x x xx x x =++2
2
12
121212(151426825) ()
f x x x x x x x x =+++2
2
12
12
1
2
151325825x x x x x x ++211122
13840
258100f x x x f
x x x ====13512x =216x =351(, ) 126
Hessian 2221
12
2
2
221
2
48810
f f x x x A f
f x x x =
=
Hessian A f 351(
, ) 126
35121
6
The Quadratic Form Method of The Extreme Value of Multivariable Function
Cheng Guo Liu Ya-ya
(1.Department of Mathematics, Shangluo University, Shangluo,Shaanxi,726000;2. Department of Basic Courses, Xi'
)
an University of Science and Technology, Xi'an,Shaanxi,710054Abstract:Through the quadratic form theory, a solution to the extreme problem of function of several variables is given.
K y x f f ; Q f ; M x
责任编辑:张
-2-
e w ords:E treme v alue o multivariable un ction uadratic orm atri
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