He北省藁城市常安学区中学 张 莉
Er次函数是初等函数中的重要函数,在解决各Lei数学问题和实际问题中有着广泛的应用,是Jin几年河北中考热点之一。学习二次函数,对Yu学生数形结合、函数方程等重要数学思想方Fa的培养,对拓宽学生解题思路、发展智力、Pei养能力具有十分重要意义。
Er次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方Xiang、对称轴、最大(小)值、用二次函数模型Jie决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大(小)值、图象与坐标轴的交Dian等主要以填空题、选择题出现。利用二次函Shu解决生活实际问题以及二次函数与几何知识Jie合的综合题以解答题形式出现:一类是二次Tu象及性质的纯数学问题,如2010年河北Zhong考11题,2009河北中考22题,2007河北中考22题;一类是利用二次函数性Zhi结合其它知识解决实际问题的题目,如2010年河北中考26题,2008河北中考25题,2006河北中考24题。
Kao点1:二次函数的有关概念
Yi般的,形如y=ax?+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 例 m
Qu哪些值时,函数数?
(1)抛物线的形状
Er次函数y=ax?+bx+c(a≠0)的Tu像是一条抛物线,当a>0时,抛物线开口Xiang上;当a<>
(2)抛物线的平移
Er次函数y=ax?向右平移h 个单位,向Shang平移k 个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简计算得到二次Han数y=ax?+bx+c。新函数与原来函Shu形状相同,只是位置不同。
(3)抛物线与坐标轴的交点
Pao物线与x 轴相交时y =0,抛物线与y 轴相交时x =0。
(4)抛物线y=ax2+bx+C中a 、b 、c 的作用
Shi以x 为自变量的二次函
a 决定当开囗方向,a>0时,抛物线开口Xiang上;当a<>
a 和b 共同决定对称轴。
C 决定与y 轴交点。
(5)抛物线顶点坐标、对称轴、最大(小)Zhi
Ding点式:y=a(x-h)2+k顶点坐标(h ,k ),对称轴x=h, 最大(小)Zhik 。
Yi般式:y=ax?+bx+c
顶点坐标
,对称轴,最大(小)
值为
。
Li1.(2008河北中考9题) 如图4,Zheng方形对称中心分别在正方形
Han数关系的大致图象是( )
Zhi.若小正方形的边长为,且
De边长为10,四个全等的小正方形的
各边平行或垂
与之间
,则能反映
De顶点上,且它们的各边与正方形
,阴影部分的面积为
Li2. (2009河北中考9题)某车的刹Che距离y (m )与开始刹车时的速度x (m/s)之间满足二次函数为( )
A .40 m/s B.20 m/s
C .10 m/s D.5 m/s
Li3. (2010河北中考11题)如图5,已知抛物线
的对称轴为
,
(x >0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度
DianA ,B 均在抛物线上,且AB 与x Zhou平行,其中点A 的坐标为(0,3),则DianB 的坐标为
A .(2,3) B.(3,2)
C .(3,3) D .(4,3)
Li4. (2011河北中考8题)一小球被Pao出后,距离地面的高度h (米)和飞行时Jiant (秒)满足下面函数关系式h=-5(t-1)+6,则小球距离地面的最大高度是( )
A. 1米 B. 5米 C .6米 D .7米
Li5. (2009河北中考22题)已知抛Wu线0),且t ≠ 0.
2
Jing过点和点P (t ,
(1)若该抛物线的对称轴经过点A ,如图12,请通过观察图象,指出此时y 的最小Zhi,并写出t 的值; (2)若
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t 的Yi个值.
Li6. (2011河北中考26题)如图15,在平面直角坐标系中,点P 从原点O Chu发,沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度Yun动t 秒(t>0),抛物线y=x2+bx+c经过点O 和点P ,已知矩形ABCD 的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0)
,求a 、b 的值,并指出此时抛物线的开Kou方向;
(1)求c ,b (用含t 的代数式表示)
(2)当4<><5时,设抛物线分别与线段ab,cd 交于点m="">5时,设抛物线分别与线段ab,cd>
①在点P 的运动过程中,你认为∠AMP De大小是否会变 化?若变化,说明理由;若Bu变,求出∠AMP 的值
②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系Shi,并求t 为何值时,S=
(3)在矩形ABCD 的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”,Ruo抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部Fen,请直接写出t 的取值范围。
Kao点2:二次函数与一元二次方程、一元二次Bu等式的联系
Li1. 如图,以 40m/s的速度将小球Yan与地面成30°角的方向击出时,球的飞行Lu线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力,Qiu的飞行高度h (单位:m )与飞行时间t (单位:s )之间具有关系h =20t-5t 2。
考虑以下问题
(1)球的飞行高度能否达到 15m?如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20m?如能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到 20.5m?Wei什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
Li2. 某公园要建造一个圆形的喷水池,在Shui池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A Chu安装一个喷头向外喷水. 连喷头在内,柱Gao为0.8m. 水流在各个方向上沿形状相Tong的抛物线路径落下,如图(1)所示.
Gen据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐Biao系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y =-x 2+2x +.
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为Duo少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
Kao点3:求二次函数的解析式
Li1. (2007河北中考22题)如图13,已知二次函数
Tu像经过点A 和点B .
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P (m ,m )与点Q 均在该Han数图像上(其中m >0),且这两点关于Pao物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的距离.
的
Kao点4:二次函数的图象、性质在生活中的应Yong
Li1. (2006河北中考24题)利达经Xiao店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销Shi指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进Xing结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨Shou价为260元时,月销售量为45吨.该经Xiao店为提高经营利润,准备采取降价的方式进Xing促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综He考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支Fu厂家及其它费用100元.设每吨材料售价Weix (元),该经销店的月利润为y (元).
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的Yue销售量;
(2)求出y 与x 的函数关系式(不要求Xie出x 的取值范围);
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定Wei每吨多少元?
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额Ye最大.”你认为对吗?请说明理由.
Li2.(2008河北中考25题) 研究所Dui某种新型产品的产销情况进行了研究,为投Zi商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如Xia成果:第一年的年产量为(吨)时,所需的Quan
部费用
(万元)与
满足关系式
,
,投入市场后当年能全部售出,且
(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利Run=年
Zai甲、乙两地每吨的售价销售额-全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售
Dun时,示甲地当年的年销售额,并求年利润
(2)成果表明,在乙地生产并销售
Dun时,当年的最大年利润为35万元.试确定De值;
,请你用含的代数式表
(万元)与之间的函数关系式;
(为常数),且在乙地
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,Mou投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计Suan帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获De较大的年利润?
参考公式:抛物线
的顶点坐标是.
Li3.(2010河北中考26题) 某公司Xiao售一种新型节能产品,现准备从国内和国外Liang种销售方案中选择一种进行销售.
Ruo只在国内销售,销售价格y (元/件)与Yue销量x (件)的函数关系式为y =(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).
x +
内
150,成本为20元/件,无论销售多少,Mei月还需支出广告费62500元,设月利润Weiw
Ruo只在国外销售,销售价格为150元/件,Shou各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,10≤a ≤40),当月销量Weix (件)时,每月还需缴纳润为w 外(Yuan)(利润 = 销售额-成本-附加费).
(1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 元;
(2)分别求出w 内,w 外与x 间的函Shu关系式(不必写x 的取值范围);
(3)当x 为何值时,在国内销售的月利润Zui大?若在国外销售月利润的最大值与在国
Nei销售月利润的最大值相同,求a 的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售Wan,请你通过分析帮公司决策,选择在国内
Huan是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:抛物线
的顶点坐标是
x 2 元的附加费,设月利
1. 二次函数
Chang数项是 。
,二次项系数是 ,一次项系Shu是 ,
2. 函数y=x 2的图象叫 线,它开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标为 .
3. 把二次函数配方成的形式
Wei ,Ta的图象是 ,开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 。
4. 将抛物线y=x2向左平移2个单位,Zai向下平移3个单位,则新抛物线的解析式为( ).
A. B.
C.
D.
5. 二次函数轴有 个交点。 Li题精讲
,当 时, 。此Pao物线与x
Li1. 已知二次函数的图象如图所示,求其Jie析式。
Li2. 已知二次函数。
(1) 填写下表,画出函数的Tu象;
(2) 根据图象说明:
1. 求方程的解;
2. 当x 取何值时,y>0 ? 3. Dangx 取何值时,y<0>0>
4. 当x 取何值时,y 随x 的增大而Jian少?
Li3. 如图是抛物线形拱桥,当水面在AB 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水面下Jiang1米,水面宽度增加多少?
巩固提高
1. 抛物线 的顶点坐标是 ( )
A. (0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
2.二次函数与x 轴的交点个数是( )
A .0 B.1 C.2 D.3
3. 在同一坐标系中一次函数( )
He二次函数的图象可能为
4.下列图形中,阴影部分面积为1的是( )
5. 如图所示的抛物线是二次函数是 .
的图象,那么的值
6. 已知二次函数程
De部分图象如图所示,则关于的一元二次方的Jie为 .
7. 已知二次函数第 象Xian. 的图象如图所示,则点在
8. 二次函数图象过A 、C 、B 三点,点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐Biao为(4,0),点C 在y 轴正半轴上,QieAB=OC
(1)求C 的坐标;
(2)求二次函数的解析式,并求出函数最大Zhi。
9. 某旅行社团去外地旅游,30人起组团,每人收费800元,旅行社对超过30人的Tuan给予
You惠,即旅行团每增加1人,每人的收费就降Di10元。请计算当旅行团的人数是多少时,Lv行社可以获得最大的营业额?
二次函数经典题型
Er次函数经典题型 (启东教育)
1. 看图,解答下列问题.
(1)求经过 A 、 B 、 C 三点的Pao物线解析 式;
(2)通过配方,求该抛物线的顶点坐标和 Dui称轴;
(3)用平滑曲线连结各点,画出该函数图 Xiang.
2. 已知函数 y =x 2+bx -1De图象经过点(3, 2) (1) 求Zhe个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当 x >0时,求使 y ≥2的 x 的取值范围.
3. 已知抛物线 y =-x 2+mx -m +2.
(1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、 B 分别在原点的两侧,并且 AB
,试求 m 的值;
(2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,Ruo抛物线上存在关于原点对称的两点 M 、 N ,并且 △ MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.
4. 如图,已知点 A (tan α, 0), B (tan β, 0)在 x Zhou正半轴上,点 A 在点 B 的左边, α、 β 是以线段 AB 为 斜边、顶Dian C 在 x 轴上方的 Rt △ ABC 的两个锐角.
(1)若二次函数 y =-x 2
-2
5kx +(2+2k -k 2
)的图象经过 A 、 B 两点,求它的解Xi式;
(2)点 C 在(1)中求出的二次函数的Tu象上吗?请说明理由.
5. 已知抛物线 2y x kx b =++经过点 (23) (10) P Q --, , , . (1)求抛物线的解Xi式.
(2)设抛物线顶点为 N ,与 y 轴交Dian为 A .求 sin A O N ∠ De值.
(3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 M ,求四边形 O A N M
6. 已知抛物线 y=ax2
+bx+c经过 A , B , C 三点,当 x≥0
Shi,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点Zuo标;
(2)画出抛物线 y=ax2+bx+c当 x<>
(3)利用抛物线 y=ax2+bx+c,Xie出 x 为何值时, y>0.
7. 已知抛物线 c bx ax y ++=2
与 y
Zhou的交点为 C ,顶点为 M ,直线 CM 的解析式 y=-x+2 并且线段 CM 的长为 22 (1) 求抛物线的Jie析式。
(2)设抛物线与 x 轴有两个交点 A (X 1 , 0)、 B (X 2 , 0), 且点 A 在 B 的左侧,求线Duan AB 的长。
(3)若以 AB 为直径作⊙ N ,请你Pan断直线 CM 与⊙ N 的位置关系,并Shuo明理由。
(第 6题 )
Er次函数经典题型答案 (启东教育)
1.解:(1)由图可知 A (-1,-1), B (0,-2), C (1, 1) 设所求抛物线的解析式为 y =ax 2
+bx +c
依题意,得 121
a b c c a b c -+=-??=-??++=?
, , 解得 212a b c =??
=??=-?,
, ∴ y =2x 2+x -2.
(2) y =2x 2
+x -2=2(x +4
1
) 2
-
8
17
∴ 顶点坐标为(-4
1,
8
17),对称轴为 x =-4
1
(3)图象略,画出正确图象
2.解:(1)函数 y =x 2+bx -1的图象经过点(3, 2)
∴ 9+3b -1=2,解得 b =-2 . ∴函数解析式为 y =x 2-2x -1
(2) y =x 2-2x -1=(x -1) 2-2 ,图象略, 图象的顶点Zuo标为(1, -2) (3)当 x =3 时, y =2, 根据图象知,当 x ≥3时, y ≥2 ∴当 x >0时,使 y ≥2的 x 的取值范围是 x ≥3.
3.解: (I)设点 A (x 1, 0), B (x 2, 0) , 则 x 1 , x 2是方程 x 2-mx +m -2=0的两根.
∵ x 1 + x 2 =m , x 1·x 2 =m -2 <0 即="" m="">0><>
You AB =∣ x 1 x 2
m 2-4m +3=0 .
Jie得:m =1或 m =3(舍去 ) ,∴ m 的值为 1 . (II )设 M (a , b ) ,则 N (-a ,-b ) .
∵ M 、 N 是抛物线上的两点,
∴ 22
2, 2. a m a m b a m a m b ?-+-+=??---+=-?? ① ②
①+②得:-2a 2-2m +4=0 . ∴ a 2=-m +2.
∴当 m <2时,才存在满足条件中的两点 m="" 、="" n="">2时,才存在满足条件中的两点>
∴ a =.
Zhe时 M 、 N 到 y
You点 C 坐标为(0, 2-m ),而 S △ M N C = 27 ,
∴ 2×12
×(2-m )
. ∴解得 m =-7 .
4. 解:(1)∵ α, β是 Rt △ ABC 的两个锐角,
∴ tan α·tan β=1. tan α>0, tan β>0. 由题知 tan α, tan β是方程 x 2
+
2
5kx -(2+2k -k 2
)=0的两个根,
∴ tanx ·tan β=(2=2k -k 2
)=k 2
-2k -2,∴ k 2
-2k -2=1.
Jie得, k =3或 k =-1. 而 tan α+tan β=-
2
5k >0,
∴ k <0.∴ k="3应舍去," k="-1." 故所求二次函数的解析shi为="" y="-x">0.∴>
+
2
5x -1.
(2)不在. 过 C 作 CD ⊥ AB 于 D . 令 y =0,De-x 2
+2
5x -1=0,
解得 x 1=2
1, x 2=2.
∴ A (
21, 0), B (2, 0), AB =
2
3.
∴ tan α=2
1, tan β=2.设 CD =m .Ze有 CD =AD ·tan α=2
1AD .
∴ AD =2CD .
You CD =BD ·tan β=2BD , ∴ BD =21CD . ∴ 2m +
2
1m =
2
3.
∴ m =53.∴ AD =5
6.
∴ C (10
17
, 5
3
).
当 x =10
17时, y =25
9≠ 5
3
∴ 点 C 不在(1)中求出的二次函数De图象上.
5. 解:(1)解方程组 01342k b k b
=-+??
-=++?
得 23
k b =-??
=-?, 223y x x ∴=--.
(2
)顶点 (14) sin 17
N O N AO N -==
, , ∠
(3)在 223y x x =--中,令 0x =得 3y =-, (03) A ∴-, , 令 0y =得 1x =-或 3, (30) M ∴, .
S
四边形
367.52
O A N O N M S S =+=
+=△ △ (面积单位)
6. 解:(1)由图象,可知 A(0,2), B(4,0), C(5,-3), 得方程组
解得
∴抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图.
(3)由图象可知,当 -1<><4时, y="">0.
7. (1) 解法一:由已知, 直线 CM :y=-x +2与 y 轴交于点 C (0,2) 抛物线 c bx ax y ++=2 过点 C (0,2),所以 c=2,抛物线 c bx ax
y ++=2
的顶点 M ???
?
?
?--a b ac a b 44, 22
Zai直线 CM 上, 所以
20, 224242
-==+=
-?b b a
b a
b
a 或 解得
Ruo b =0,点 C 、 M 重合,不合Ti意,舍去,所以 b =-2。即 M ??
?
??-
a a
12, 1 过 M 点作 y 轴的垂线,Chui足为 Q ,在 2
2
2
QM
CQ
CM CMQ Rt +=?,
中
Suo以, 22)]12(2[) 1(8a
a
--+=,解得, 21±
=a 。
∴所求抛物线为:222
12
+--
=x x y 或 2
22
12
+-=
x x y 以下同下。
(1)解法二:由题意得 C(0 , 2),设点 M 的坐标为 M (x , y )
∵点 M 在直线 2+-=x y 上,∴ 2+-=x y 由勾股定理得 2
2
)
2(-+=
y x CM ,∵ 22=CM
∴ 22) 2(-+y x =22,即 8) 2(22=-+y x 解方程组 {
2
8
) 2(2
2
+-==-+x y y x 得 {
24
11-==x y {
20
22==x y
∴ M (-2, 4) 或 M‘
(2, 0)
Dang M (-2, 4)时,设抛物线解析式Wei 4) 2(2++=x a y ,∵抛Wu线过(0, 2)点, ∴ 2
1-
=a ,∴ 222
12
+--
=x x y
当 M ‘
(2, 0)时,设抛物线解析式为 2) 2(-=x a y ∵抛物线过(0, 2)点,∴ 2
1=
a ,∴ 2
22
12
+-=
x x y
∴ 所 求 抛 物 线 为 :2
22
12
+--
=x x y 或
222
12
+-=
x x y
(2)∵抛物线与 x 轴有两个交点,
∴ 222
12
+-=
x x y 不合题意,舍去。
∴抛物线应为:222
12
+--
=x x y
Pao物线 与 x 轴 有两个 交点 且点 A 在 B 的 左侧 ,∴
222
12
=+--
x x 由 ,得
2421=-=x x AB
(3)∵ AB 是⊙ N 的直径,∴ r =22 , N(-2, 0),又∵ M (-2, 4),∴ MN = 4
She直线 2+-=x y 与 x 轴交于点 D ,则 D (2, 0),∴ DN = 4,可得 MN = DN,∴
?=∠45MDN ,作
NG ⊥ CM 于 G ,在 中, NGD Rt ?2245sin =??=DN NG = r
Ji圆心到直线 CM 的距离等于⊙ N 的Ban径,∴直线 CM 与⊙ N 相切
初中二次函数知识点及经典题型
二次函数的解析式
Er次函数的解析式有三种形式: (1)一般 (2)两根 一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 当抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴有交点时,Ji对应二次好方程
ax2 ? bx ? c ? 0 有实根 x1 和 x2 存在时,根据二次三项式De分解因式
ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,二次函Shu y ? ax2 ? bx ? c 可Zhuan化为两根式
y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3) 顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a, h, k是常数, a ? 0)
Zhi识点八、二次函数的最值
Ru果自变量的取值范围是全体实数,那么函数Zai顶点处取得最大值(或最小 值),即当 x ? ?
b 4ac ? b 2 时, y最值 ? 。 2a 4a
b 是否在自变量取值范 2a 4ac ? b 2 ? ;若不在此范围 4a
Ru果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x 2 ,那么,首先要看 ? 围 x1 ? x ? x 2 内,若在此范围内,Ze当 x= ?
b 时, y最值 2a
Nei,则需要考虑函数在 x1 ? x ? x 2 范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而
2 增大,则当 x ? x2 时, y最Da ? ax2 ? bx2 ? c ,当 x ? x1 时, y最小 ? ax12 ? bx1 ? c ;如 2 果在此Fan围内,y 随 x 的增大而减小,则当 x ? x1 时, y最大 ? ax1 ? bx1 ? c ,当 x ? x2 2 时, y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。
Zhi识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函 数 a>0
二次函数
y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0)
a<>
y y 图 像
0
x
0
x
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; (2)对称轴是 x= ?
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (2)对称轴是 x= ?
b ,顶点坐标是 2a b 4ac ? b 2 (? , ); 2a 4a
b 时,y 2a
b ,顶点坐标是 2a b 4ac ? b 2 (? , ); 2a 4a
b 时,y 2a
性 质
(3)在对称轴的左侧,即当 x<>
(3)在对称轴的左侧,即当 x<>
Sui x 的增大而减小;在对称轴的右侧,即 当 x> ?
Sui x 的增大而增大;在对称轴的右侧, Ji当 x> ?
b 时,y 随 x 的增大而增大,简 2a
b 时,y 随 x 的增大而减 2a
Ji左减右增; (4)抛物线有最低点,当 x= ? 最小值, y 最小值
小,简记左增右减;
b 时,y 有 2a
(4)抛物线有最高点,当 x= ? 最大Zhi, y 最大值
b 时,y 有 2a
4ac ? b 2 ? 4a
4ac ? b 2 ? 4a
2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 中, a、b、c 的含义:
a 表示开口方向: a >0 时,抛物线Kai口向上 a <0>0>
b 与对称轴有关:对称轴为 x= ?
b 2a
c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标:(0, c )
3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二Ci方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ? ? b 2 ? 4ac ,在二次函数Zhong表示图像与 x 轴是否有交 点。 当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个Jiao点; 当 ? <0 时,图像与="" x="">0>
Zhi识点十 中考二次函数压轴题常考公式(必Ji必会,理解记 忆)
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题 方法) Y 如图:点 A 坐标为(x1,y1)Dian B 坐标为(x2,y2) 则 AB Jian的距离,即线段 AB 的长度为
?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2
B
A 0 x
2,二次函数图象的平移
k? ; ① 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k ,确定其顶点坐标 ? h ,
2
k ? 处,具体平移方法如下: ② 保持Pao物线 y ? ax2 的形状不变,将其Ding点平移到 ? h ,
y=ax2
Xiang上(k >0)【或向下(k <0)】平yi|k>0)】平yi|k>
y=ax 2+k
Xiang右(h>0)【或左(h<0)】>0)】>
Xiang右(h>0)【或左(h<0)】 平移="" |k|个单位="" 向上(k="">0)【或下(k <0)】 平移|k="" |个单位="" 向上(k="">0)【或下(k <0)】平移|k>0)】平移|k>
Xiang右(h>0)【或左(h<0)】>0)】>
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
③平移规律
Han数平移图像大致位置规律(中考试题中,只Zhan 3 分,但掌握这个知识点, 对提高答Ti速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
(必须理解记忆)
Shuo明① 函数中 ab 值同号,图像顶点在 y 轴左侧同左,a b 值异号,图像顶Dian必 在 Y 轴右侧异右 ②向左向上移动Wei加左上加,向右向下移动为减右下减
对称点坐标:
Dui称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆, X 轴对称 y 相反, Y 轴对称,x 前Mian添负号; 原点对称最好记,横纵坐标变符Hao。
关于 x 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k Guan于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2
关于 y 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k Guan于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2
关于原点对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于原Dian对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k Guan于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k
2 2
关于顶点对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于顶Dian对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ?
b2 ; 2a
y ? a ? x ? h ? ? k Guan于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k .
2 2
Guan于点 ? m ,n ? 对称
n ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k y ? a ? x ? h ? ? k 关于点 ? m ,
2 2
Gen据对称的性质,显然无论作何种对称变换,Pao物线的形状一定不会发生变化,因此 a Yong 远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式Shi,可以依据题意或方便运算的原则,选择合Shi 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表Da式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,Zai 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
1.二次函数 常数项是 。
,二次项系数是
,一次项系数是
,
2. 函数 y= x2 的图象叫 顶点坐Biao为 .
线,它开口向
,对称轴是
,
3. 把二次函数 为 是
Pei方成 ,它的图象是 ,对称轴是 。 ,Kai口向
的形式 ,顶点坐标
4. 将抛物线 y=x2 向左平移 2 Ge单位,再向下平移 3 个单位,则新抛物Xian的解 析式为( ).
A.
B.
C.
D.
5.如图所示的抛物线是二次函数 是 .
的图象,那么 的值
6.已知二次函数 程 的解为
De部分图象如图所示,则关于 的一元二次方 .
7 已知二次函数 第 象限.
De图象如图所示,则点
在
8.二次函数 x 轴有 个交点。
,当
时,
。此抛物线与
9 抛物线
的顶点坐标是 (
)
A. (0,1)
B.(0,-1)
C.(1,0)
D.(-1,0)
10.二次函数
Yu x 轴的交点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
11.在同一坐标系中一次函数 ( )
和二次函数
的图象可能为
2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图如图所示,若 M=a+b-c, N=4a-2b+c,P=2a-b.则 M,N,P 中,值小于 0 的数有( A.3 个 B.2 个 ) C.1 个 D 0个
Fen析:根据图象得到 x=-2 时对应的函Shu值小于 0,得到 N=4a-2b+c De值小于 0,根据对称轴在直线 x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开Kou向下 得到 a 小于 0,变形即可对于 P 作出判断,根据 a,b,c 的符号Pan断得出 a+b-c 的符号. 解答:解:∵图象开口向下,∴a0,∴M=a+b-c2a,∴2a-b 0
B . b 2 -4ac 0 ,故本选项错误; B 、∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴△ =b 2 -4ac > 0 ,故本选项错误; C 、You函数图象可知,当 -1 0 ;④ b+2a=0 ;⑤ a+b+c 0 ,即 b > 0 .Gu②错误; ③∵抛物线与 y 轴交于正半Zhou,∴ c > 0 .故③正确; ④∵对Cheng轴 x=- b/2a=1 ∴ b+2a=0 .故④正确;⑤根据图示知,当 x=1 时, y > 0 ,即 a+b+c > 0 .故⑤错误. 综上所述,正确的说Fa是①③④,共有 3 个.故选 C . ( 2013 ?乌鲁木齐)已知 m , n , k 为非负实数,且 m-k+1=2k+n=1 ,则代数式 2k 2 -8k+6 的最小值为( A . -2 ) B.0 C.2 D . 2.5
Jie答:解:∵ m , n , k 为非负Shi数,且 m-k+1=2k+n=1 , ∴ m , n , k 最小为 0 ,当 n=0 时, k 最大为: 1/2 ∴ 0 ≤ k ≤ 1/2 ∵ 2k 2 -8k+6=2 ( k-2 ) 2 -2 , ∴ a=2 > 0 ,∴ k ≤ 2 时,代数式 2k 2 -8k+6 的Zhi随 x 的增大而减小 故选: D . ( 2013 ?黔西南州)如图所示,二次Han数 y=ax 2 +bx+c 的图象中,王刚同学观察得出了下 面四条信息:( 1 ) b 2 -4ac > 0 ;( 2 ) c > 1 ;( 3 ) 2a-b 0 ,正确; ( 2 )图象与 y 轴的交点在 1 的下方,所以 c -1 ,又 a 0 ;④( a+c ) 2 0 , -b/2a > 0 ,则 b 0 , 错误; ③当 x=-1 时, y=a-b+c > 0 ,正确; ④∵ a-b+c > 0 ,∴ a+c > b ;∵当 x=1 时, y=a+b+c 0 时, y 随 x 的增大而增大De是( A . y=-x+1 B . y=x 2 -1 C . y=1/x
D . y=-x 2 +1
( 2012 ?兰州)二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠ 0 )的图Xiang如图所示,若 |ax 2 +bx+c|=k ( k ≠ 0 )有两个不相等的实Shu根,则 k 的取值范围是( )
A . k -3
C.k3
.分析:先根据题意画出 y=|ax 2 +bx+c| 的图象,即可得出 |ax 2 +bx+c|=k ( k ≠ 0 )You两 个不相等的实数根时, k 的取值范Wei.
Jie答: 象在 x 轴上方, ∴此时 y=|ax 2 +bx+c|=ax 2 +bx+c ,
Jie:∵当 ax 2 +bx+c ≥ 0 , y=ax 2 +bx+c ( a ≠ 0 )的图
∴此时 y=|ax 2 +bx+c| 的Tu象是函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠ 0 )在 x 轴上方部分的图象, ∵当 ax 2 +bx+c 3, 故选 D . ( 2013 ?镇江)如图,抛物线 y=ax 2 +bx ( a > 0 )经过原点 O 和点 A ( 2 , 0 ). ( 1 )写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐Biao; ( 2 )点( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 )在抛物线Shang,若 x 1 y 2 ; ( 3 )∵对称轴是 x=1 ,点 B ( -1 , 2 )在该抛Wu线上,点 C 与点 B 关于抛物线的对Cheng轴 对称,∴点 C 的坐标是( 3 , 2 ). 设直线 AC 的关系式为 y=kx+b ( k ≠ 0 ).
0=2k+b 2=3k+b
解得
k=2 b=?4
∴直线 AC 的函数关系式是: y=2x-4 . ( 2013 ?枣庄)如图,在Ping面直角坐标系中,二次函数 y=x 2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点, A 点在原点的左侧, B Dian的坐标为( 3 , 0 ),与 y 轴Jiao于 C ( 0 , -3 )点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. ( 1 )求这个二次函数的表达式. ( 2 )连接 PO 、 PC ,并把△ POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP ′ C ,那么是否存在点 P ,使 四Bian形 POP ′ C 为菱形?若存在,请Qiu出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明Li由. ( 3 )当点 P 运动到什么位Zhi时,四边形 ABPC 的面积最大?求出Ci时 P 点的坐标和四边
Xing ABPC 的最大面积.
Fen析:( 1 )将 B 、 C 的坐标代Ru抛物线的解析式中即可求得待定系数的值; ( 2 )由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形 POP ′ C 为菱形,那么 P 点必在 OC 的 垂直平分线上,据Ci可求出 P 点的纵坐标,代入抛物线的解Xi式中即可求出 P 点的坐 标; ( 3 )由于△ ABC 的面积为定值,当四边Xing ABPC 的面积最大时,△ BPC De面积最大;过 P 作 y 轴的平行线,Jiao直线 BC 于 Q ,交 x 轴于 F ,易求得直线 BC 的解析式,可设出 P 点 的横坐标,然后根据抛物线和直线 BC 的解析式求出 Q 、 P 的纵坐标,即可得到 PQ 的 长,以 PQ 为底, B 点横坐标的绝对值为高即可求得△ BPC 的面积,由此可得到关于四边 形 ACPB 的面积与 P 点横坐标的函数关Xi式,根据函数的性质即可求出四边形 ABPC 的最 大面积及对应的 P 点坐标
. ( 2010 ?通化)某公司经销一种Lv茶,每千克成本为 50 元.市场调查发Xian,在一段时间 内,销售量 w (千克)Sui销售单价 x (元 / 千克)的变化而Bian化,具体关系式为: w=2x+240 .设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y (元),解答下列问题: ( 1 )求 y 与 x 的关系式; ( 2 )当 x 取何值时, y 的值最大? ( 3 )Ru果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高Yu 90 元 / 千克,公司想要在这段时 间内获得 2250 元的销售利润,销售Dan价应定为多少元? 分析:( 1 )因为 y= ( x-50 ) w , w=-2x+240 故 y 与 x 的关系式为 y=-2x 2 +340x-12000 . ( 2 )用配方法化简函数式求出 y 的最大值即可. ( 3 )令 y=2250 时,求出 x 的解即可. 解答:Jie:( 1 ) y= ( x-50 )? w= ( x-50 )?( -2x+240 ) =-2x 2 +340x-12000 , ∴ y 与 x 的关系式为: y=-2x 2 +340x-12000 . ( 3 分) ( 2 ) y=-2x 2 +340x-12000=-2 ( x-85 ) 2 +2450 ∴当 x=85 时, y 的值最大.( 6 分) ( 3 )当 y=2250 时,可得方Cheng -2 ( x-85 ) 2 +2450=2250 解这个方程,得 x 1 =75 , x 2 =95 根据题意, x 2 =95 不合题意应舍去 ∴当销售单Jia为 75 元时,可获得销售利润 2250 元. ( 10 分)
( 2010 ?青海)某水果批发商场经销Yi种高档水果,如果每千克盈利 10 元,Mei天可售出 500 千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千 克涨价 1 元,日销售量将 减少 20 千克. ( 1 )现该商场要保证每天盈利 6 000 元,同时又要顾客得到实惠,那么每千Ke应涨价 多少元? ( 2 )若该商场单Chun从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多? 分析:本题的关键是Gen据题意列出一元二次方程,再求其最值. Jie答:解:( 1 )设每千克应涨价 x Yuan,则( 10+x )( 500-20x ) =6 000 ( 4 分) 解得 x=5 或 x=10 ,为了使顾客得到实Hui,所以 x=5 .( 6 分) ( 2 )设涨价 x 元时总利润为 y , 则 y= ( 10+x )( 500-20x ) =-20x 2 +300x+5 000 =-20 ( x 2 -15x ) +5000 =-20 ( x 2 -15x+225/4-225/4 ) +5000 =-20 ( x-7.5 ) 2 +6125 当 x=7.5 时, y Qu得最大值,最大值为 6 125 .( 8 分) 答:( 1 )要保证每天盈利 6000 元,同时又使顾客得到实惠,那么Mei千克应涨价 5 元; ( 2 )若该商Chang单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价 7.5 元,能使商场获利最 多.( 10 分) ( 2010 ?锦州)如图,抛物Xian与 x 轴交于 A ( x 1 , 0 ), B ( x 2 , 0 )两点,Qie x 1 > x 2 ,与 y 轴交于Dian C ( 0 , 4 ),其中 x 1 , x 2 是方程 x 2 -2x-8=0 的两个根. ( 1 )求这条抛物线De解析式; ( 2 )点 P 是线段 AB 上的动点,过点 P 作 PE ∥ AC ,交 BC 于点 E ,连接 CP ,当△ CPE 的 面积最大时,求点 P 的坐标; ( 3 )探究:若点 Q 是Pao物线对称轴上的点,是否存在这样的点 Q ,使△ QBC 成为等腰三 角形?若存Zai,请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐Biao;若不存在,请说明理由.
Fen析:( 1 )先通过解方程求出 A , B 两点的坐标,然后根据 A , B , C 三点的坐标,用待 定系数法求出抛Wu线的解析式. ( 2 )本题要通过求△ CPE 的面积与 P 点横坐标的函数关Xi式而后根据函数的性质来求△ CPE 的Mian积的最大值以及对应的 P 的坐标.△ CPE 的面积无法直接表示出,可用△ CPB 和 △ BEP 的面积差来求,设出 P 点的坐标,即可表示出 BP 的长,Ke通过相似三角形△ BEP 和△ BAC 求出.△ BEP 中 BP 边上的高,Ran后根据三角形面积计算方法即可得出△ CEP 的 面积,然后根据上面分析的步骤即Ke求出所求的值. ( 3 )本题要分三种Qing况进行讨论: ① QC=BC ,那么 Q 点的纵坐标就是 C 点的纵坐标减去或Jia上 BC 的长.由此可得出 Q 点的 Zuo标. ② QB=BC ,此时 Q , C 关于 x 轴对称,据此可求出 Q 点De坐标. ③ QB=QC , Q 点在 BC 的垂直平分线上,可通过相似三角形来Qiu出 QC 的长,进而求出 Q 点的坐标. ( 2009 ?天水)如左图,在平面Zhi角坐标系中,二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a > 0 )的图象的 顶Dian为 D 点,与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A 、 B 两点, A 点Zai原点的左侧, B 点的坐标 为( 3 , 0 ), OB=OC , tan ∠ ACO=1/3 ( 1 )求这个二次函Shu的表达式. ( 2 )经过 C 、 D 两点的直线,与 x 轴交于点 E ,在Gai抛物线上是否存在这样的点 F ,使 以Dian A 、 C 、 E 、 F 为顶点的Si边形为平行四边形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存 在,请说明理由. ( 3 )若平行于 x 轴的直线与该抛物线交Yu M 、 N 两点,且以 MN 为直径De圆与 x 轴相 切,求该圆半径的长度. ( 4 )如图,若点 G ( 2 , y )是该抛物线上一点,点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动 点,当点 P Yun动到什么位置时,△ APG 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和△ APG 的Zui 大面积.
Kao点:二次函数综合题. 专题:压轴题. Fen析:( 1 )求二次函数的表达式,需要Qiu出 A 、 B 、 C 三点坐标.已知 B 点坐标,且 OB=OC ,可知 C ( 0 , 3 ), tan ∠ ACO=
1 3
,则 A 坐标为( -1 , 0 ).将 A , B , C 三点坐标代入关系式,可求得二次函数的表达 式. ( 2 )Jia设存在这样的点 F ( m , n ),已知抛物线关系式,求出顶点 D 坐标,Jin儿求出直 线 CD , E 是直线与 x 轴交点,可得 E 点坐标.四边形 AECF 为平行四边形,则 CE ∥ AF , 则两直线斜率相等,可列等式( 1 ), CE=AF ,可列等式( 2 ), F 在抛物线上,为等式 ( 3 ),根Ju这三个等式,即可求 出 m 、 n 是Fou存在. ( 3 )分情况讨论,当圆在 x 轴上方时,根据题意可知,圆心必定在抛Wu线的对称轴上, 设圆半径为 r ,则 N 的坐标为( r+1 , r ),将其Dai入抛物线解析式,可求出 r 的值.当 Yuan在 x 轴的下方时,方法同上,只是 N 的坐标变为( r+1 , -r ),代Ru抛物线解析式即 可求解. ( 4 ) G 在抛物线上,代入解析式求出 G 点坐Biao,设点 P 的坐标为( x , y ),即( x , x 2 2x-3 )已知Dian A 、 G 坐标,可求出线段 AG De长度,以及直线 AG 的解析式,再根据Dian到 直线的距离求出 P 到直线的距离,Ji为三角形 AGP 的高,从而用 x 表Shi出三角形的面 积,然后求当面积最大时 x 的值.
( 2009 ?青海)矩形 OABC 在Ping面直角坐标系中位置如图所示, A 、 C 两点的坐标分别为 A ( 6 , 0 ), C ( 0 , -3 ),直线 y=-3/4 x 与 BC 边相交于 D 点. ( 1 )求点 D 的坐标; ( 2 )若抛物线 y=ax 2 -9/4x 经过点 A ,试确定此抛物线的表达式; ( 3 )设( 2 )中的抛物线的对Cheng轴与直线 OD 交于点 M ,点 P Wei对称轴上一动点,以 P 、 O 、 M 为顶点的三角形与△ OCD 相似,求符He条件的点 P 的坐标.
Fen析:前两问由抛物线性质,用待定系数求出Dian D 的坐标和抛物线的表达式;最后一问 找三角形相似,作辅助线过点 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 P 2 ,再根据相似三 角形比例关系求出 P 点Zuo标.
( 2009 ?临沂)如图,抛物线经过 A ( 4 , 0 ), B ( 1 , 0 ), C ( 0 , -2 )三点. ( 1 )求出抛物线的解析式; ( 2 ) P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ⊥ x 轴,垂足为 M ,是否存Zai P 点,使得以 A , P , M Wei顶点的三角形与△ OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存Zai, 请说明理由; ( 3 )在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D ,使得△ DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标.
. 分析:( 1 )已知抛物线经过 A ( 4 , 0 ), B ( 1 , 0 ),可设抛物线解析式的交点式,再 把 C ( 0 , -2 )代入即可; ( 2 )∵△ OAC 是直角三角形,以 A , P , M 为顶点的三角形与其相似,由于点 P 可能在 x 轴的上方,或者Xia方,分三种情况,分别用相似比解答; ( 3 )过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E ,将△ DCA 分割成两个三Jiao形△ CDE ,△ ADE ,它们 的Di相同,为 DE ,高的和为 4 ,就可Yi表示它们的面积和,即△ DCA 的面积,运用代数 式的变形求最大值.
( 2009 ?江苏)如图,已知二次函数 y=x 2 -2x-1 的图象的顶点为 A .二次函数 y=ax 2 +bx De图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C ,它的顶点 B 在函数 y=x 2 -2x-1 的图象 的对称轴上. ( 1 )求点 A 与点 C 的坐标; ( 2 )当四边形 AOBC 为菱形时,求函数 y=ax 2 +bx 的关系式.
. 分析:( 1 )二次函数 y=ax 2 +bx 的顶点在已知二次函数抛物线 De对称轴上,可知两个函 数对称轴相等,因Ci先根据已知函数求出对称轴. y=x 2 -2x-1= ( x-1 ) 2 -2 ,所以顶点 A 的坐标为( 1 , -2 )对称轴为 x=1 , 所以二次函数 y=ax 2 +bx 关于 x=1 对Cheng,且函数与 x 轴的交点分别是原点和 C 点, 所以点 C 和点 O 关于直线 l 对称,所以点 C 的坐标为( 2 , 0 ); ( 2 )因为四边形 AOBC 是菱形,根据菱形性质,可以得出点 O 和点 C 关于直线 AB 对 称,点 B 和点 A 关于直线 OC 对称,因Ci,可求出点 B 的坐标,点 B 的坐标Wei( 1 , 2 ), 二次函数 y=ax 2 +bx 的图象经过点 B ( 1 , 2 ), C ( 2 , 0 ),Jiang B , C 代入解析式,可得,
a+b=?2
4a+2b=0
解得
a=?2 b=4
Suo以二次函数 y=ax 2 +bx 的关Xi式 为 y=-2x 2 +4x .
(2009
?武汉)某商品的进价为每件40元,售价为Mei件50元,每个月可卖出210件;如果每Jian商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10Jian(每件售价不能高于65元).设每件商品De售价上涨x 元(x 为正整数),每个月De销售利润为y 元.
(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出Zi变量x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月Ke获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月De利润恰为2200元?根据以上结论,请你Zhi接写出售价在什么范围时,每个月的利润不Di于2200元?
Fen析:(1)根据题意可知y 与x 的函数Guan系式.
(2)根据题意可知y=-10-(x-5.5)2+2402.5,当x=5.5时y You最大值.
(3)设y=2200,解得x 的值.然后Fen情况讨论解.
Jie答:解:(1)由题意得:y=(210-10x )(50+x-40)
=-10x2+110x+2100(00.
Kao点:待定系数法求二次函数解析式;二次函Shu的图象.
Fen析:本题的关键是求出抛物线的解析式,在Ti目给出的图象中可得出A 、B 、C 三Dian的坐标,可用待定系数求出抛物线的解析式,进而可画出x 0时x 的取值范围.
(2011?天水)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y >0,则x 的取值范围是 .
(2007?舟山)抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C ,已知y=-kx+3的Tu象经过点C ,则这个一次函数图象与两坐Biao轴所围成的三角形面积为( )
初中二次函数知识点及经典题型
Er次函数的解析式
Er次函数的解析式有三种形式:
2,1,一般 一般式: y,ax,bx,c(a,b,c是常数,a,0)
2,2,两根 当抛物线不x轴有交点时,即对应二次好方程y,ax,bx,c
2ax,bx,c,0有实根和存在时,根据Er次三项式的分解因式xx12
22,二次函数可转化为两根式ax,bx,c,a(x,x)(x,x)y,ax,bx,c12
。如果没有交点,则不能这样表示。 y,a(x,x)(x,x)12
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2,3, 顶点式: y,a(x,h),k(a,h,k是常数,a,0)知识点八、二次函数的最值
Ru果自变量的取值范围是全体实数,那么函数Zai顶点处取得最大值,或最小
2b4acb,y值,,即当x,,时,。 ,最值4a2a
b如果自变量的取值范围是,那么,首先要看Shi否在自变量取值范,x,x,x122a
24acb,by围内,若在此范围内,则当x=时,,;若不在此范围,x,x,x最值124a2a
Nei,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果Zai此范围内,y随x的增大而x,x,x1222增大,则当时,,当时,;如y,ax,bx,cy,ax,bx,cx,xx,x221121最大最小
2果在此范围内,y随x的增大而减小,则当Shi,,当y,ax,bx,cx,xx,x1112最大
2时,。 y,ax,bx,c22最小
Zhi识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数 函
2数 y,ax,bx,c(a,b,c是Chang数,a,0)
a>0 a<0>0>
y
y
图
像
0 x 0 x
,1,抛物线开口向上,并向上无限延伸; ,1,抛物线开口向下,并向下无限延伸;
bb,2,对称轴是x=,顶点坐标是,顶点Zuo标是,2,对称轴是x=,,2a2a
224acb4acb,,bb,,,; ,,,; ,,4a4a2a2a
bb,3,在对称轴的左侧,即当x<><>
Suix的增大而减小;在对称轴的右侧,即随xDe增大而增大;在对称轴的右侧,质
bb当x>时,y随x的增大而增大,简即当x>时,y随x的增大而减,,2a2a
Ji左减右增; 小,简记左增右减;
bb,4,抛物线有最低点,当x=时,y有,4,抛物线有最高点,当x=时,y有,,2a2a
224acb4acb,,yy最小值,,最Da值,, 最小值最大值4a4a
2a、b、c2、二次函数中,的含义: y,ax,bx,c(a,b,c是常数,a,0)
Biao示开口方向:>0时,抛物线开口向上 aa
<0时,pao物线开口向下>0时,pao物线开口向下>
bb不对称轴有关:对称轴为x=, 2a
Biao示抛物线不y轴的交点坐标:,0,, cc
3、二次函数不一元二次方程的关系
Yi元二次方程的解是其对应的二次函数的图像Bux轴的交点坐标。
2,,b,4ac因此一元二次方程中的,在Er次函数中表示图像不x轴是否有交点。
Dang>0时,图像不x轴有两个交点; ,
Dang=0时,图像不x轴有一个交点; ,
Dang,<0时,图像不x轴没有交点。>0时,图像不x轴没有交点。>
Zhi识点十 中考二次函数压轴题常考公式(必Ji必会,理解记忆)
1、两点间距离公式,当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法,
Y
Ru图:点A坐标为,x,y,点B坐标为,x,y, 1122
22则AB间的距离,即线段AB的长度为 A ,,,,x,x,y,y1212
0 x
B 2,二次函数图象的平移
2 ? 将抛物线解析式转化成顶点式,确Ding其顶点坐标; yaxhk,,,hk~,,,,
2? 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移Dao处,具体平移方法如下: hk~yax,,,
Xiang上(k>0)【或向下(k<>
Xiang右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【Huo左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k="">0)【或下(k<>
平移|k|个单位
22y=a(x-h)y=a(x-h)+kXiang上(k>0)【或下(k<>
?平移规律
Han数平移图像大致位置规律,中考试题中,只Zhan3分,但掌握这个知识点,
Dui提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做Ti的时间,
(必须理解记忆)
Shuo明? 函数中ab值同号,图像顶点在y轴Zuo侧同左,a b值异号,图像顶点必
在Y轴右侧异右
?向左向上移动为加,向右向下移动为减左Shang加右下减
对称点坐标:
Dui称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,
X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号;
Yuan点对称最好记,横纵坐标变符号。
关于轴对称 x
22 关于轴对称后,得到的解析式是; yaxbxc,,,xyaxbxc,,,,
22关于轴对称后,得到的解析式是; yaxhk,,,yaxhk,,,,x,,,,
关于轴对称 y
22 关于轴对称后,得到的解析式是; yyaxbxc,,,yaxbxc,,,
22关于轴对称后,得到的解析式是; yaxhk,,,yaxhk,,,y,,,,关Yu原点对称
22 关于原点对称后,得到的解析式Shi; yaxbxc,,,yaxbxc,,,,
22 关于原点对称后,得到的解析式Shi yaxhk,,,yaxhk,,,,,,,,
关于顶点对称
2b22 关于顶点对称后,得到的解Xi式是; yaxbxc,,,,,yaxbxc,,,2a
22关于顶点对称后,得到的解析式是( yaxhk,,,yaxhk,,,,,,,,
Guan于点对称 mn~,,
22关于点对称后,得到的解析式是 yaxhk,,,yaxhmnk,,,,,,22mn~,,,,,,
Gen据对称的性质,显然无论作何种对称变换,Pao物线的形状一定不会发生变化,因此永a远Bu变(求抛物线的对称抛物线的表达式时,可Yi依据题意或方便运算的原则,选择合适的形Shi,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知De抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其Dui称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写Chu其对称抛物线的表达式( 1.二次函数,Er次项系数是 ,一次项系数Shi ,常数项是 。
2 2. 函数y=x的图象叫 线,它开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标为 .
3. 把二次函数配方成的形式
Wei ,Ta的图象是 ,开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 。
2 4. 将抛物线y=x向左平移2个单位,再向下平移3个单位,则新抛物线的解析式Wei( ).
A. B. C. D.
5.如图所示的抛物线是二次函数的图象,那Me的值是 (
6.已知二次函数的部分图象如图所示,则关Yu的一元二次方程的解为 (
7已知二次函数的图象如图所示,则点在第 象限(
8.二次函数,当 时, 。此抛物线与x轴有 个交Dian。
9 抛物线 的顶点坐标是 ( )
A. (0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
10.二次函数与x轴的交点个数是( )
A(0 B(1 C(2 D(3
11.在同一坐标系中一次函数和二次函数的Tu象可能为( )
2013?遵义)二次函数y=ax2+bx+c(a?0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c,N=4a-2b+c,P=2a-b(则M,N,P中,值小于0的数有( ) A(3个 B(2个 C(1个 D 0个 D(0个
Fen析:根据图象得到x=-2时对应的函数值Xiao于0,得到N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1右边,利用对称Zhou公式列出不等式,根据开口向下得到a小于0,变形即可对于P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b-c的符号(
Jie答:解:?图象开口向下,?a,0,
?对称轴在y轴左侧,?a,b同号,?a,0,b,0,?图象经过y轴正半轴, ?c,0,?M=a+b-c,0当x=-2时,y=4a-2b+c,0,?N=4a-2b+c,0,
Dui称抽大于-1?b,2a,?2a-b,0,?P=2a-b,0,则M,N,P中,值Xiao于0的数有M,N,P(故选:A(
2(2013?漳州)二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图所示,下列结论Zheng确的是( )
2A(a,0 B(b-4ac,0
D(对称轴等于1 C(当-1,x,3时,y,0 (
Fen析:根据二次函数的图象与系数的关系对各Xuan项进行逐一分析即可( 解答:解:A、?Pao物线的开口向上,?a,0,故本选项错误;
2B、?抛物线与x轴有两个不同的交点,??=b-4ac,0,故本选项错误; C、You函数图象可知,当-1,x,3时,y,0,故本选项错误;
D、?抛物线与x轴的两个交点分别是(-1,0),(3,0),?对称轴= ?1+3 =1
2
(2013?张家界)若正比例函数y=mx(m?0),y随x的增大而减小,则它和二Ci函数
2y=mx+m的图象大致是( )
C( A( B( D(
2分析:根据正比例函数图象的性质确定m,0,则二次函数y=mx+m的图象开口方向Xiang下,且与y轴交于负半轴(
Jie答:解:?正比例函数y=mx(m?0),y随x的增大而减小,
?该正比例函数图象经过第二、四象限,且m,0(
2?二次函数y=mx+m的图象开口方向向Xia,且与y轴交于负半轴( 综上所述,符合Ti意的只有A选项(
故选A(
2(2013?岳阳)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,对于下列结论:?a,0;?b,0;?c,0;?b+2a=0;?a+b+c,0(其中正确的个数是( )
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 Kao点:二次函数图象与系数的关系(
Fen析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,Ran后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行Tui理,进而对所得结论进行判断( 解答:解:如图,?抛物线开口方向向下,则a,0(Gu?正确;
??对称轴x=-b/2a=1,?b=-2a,0,即b,0(故?错误;
??抛物线与y轴交于正半轴,?c,0(故?正确;
??对称轴x=- b/2a=1
?b+2a=0(故?正确;?根据图示知,Dangx=1时,y,0,即a+b+c,0(故?错误( 综上所述,正确的说法是???,Gong有3个(故选C(
2(2013?乌鲁木齐)已知m,n,k为Fei负实数,且m-k+1=2k+n=1,则Dai数式2k-8k+6的最小值为( )
A(-2 B(0 C(2 D(2.5
Jie答:解:?m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,
?m,n,k最小为0,当n=0时,k最大Wei:1/2
?0?k?1/2
22?2k-8k+6=2(k-2)-2,
2?a=2,0,?k?2时,代数式2k-8k+6的值随x的增大而减小
故选:D(
2(2013?黔西南州)如图所示,二次函Shuy=ax+bx+c的图象中,王刚同学观Cha得出了下
2面四条信息:(1)b-4ac,0;(2)c,1;(3)2a-b,0;(4)a+b+c,0,其中错误的有( )
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 Fen析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,Ran后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行Tui理,进而对所得结论进行判断(
2解答:解:(1)图象与x轴有2个交点,Yi据根的判别式可知b-4ac,0,正确; (2)图象与y轴的交点在1的下方,所以c,1,错误;
(3)?对称轴在-1的右边,?-b/2a,-1,又a,0,?2a-b,0,正确; (4)当x=1时,y=a+b+c,0,Zheng确;
故错误的有1个(
故选:A(
2(2013?茂名)下列二次函数的图象,Bu能通过函数y=3x的图象平移得到的是( )
2222A(y=3x+2 B(y=3(x-1) C(y=3(x-1)+2 D(y=2x 分析:根据平移变换只改变图形的位Zhi不改变图形的形状与大小对各选项分析判断Hou利用排除法求解(
22解答:解:A、y=3x的图象向上平移2个单位得到y=3x+2,故本选项错误;
22B、y=3x的图象向右平移1个单位得Daoy=3(x-1),故本选项错误;
22C、y=3x的图象向右平移1个单位,Xiang上平移2个单位得到y=3(x-1)+2,故本选项
22错误;D、y=3x的图象平移不能得到y=2x,故本选项正确(故选D(
12(2013?聊城)如图,在平面直角坐Biao系中,抛物线y= 经过平移得到抛物线y= x2
12 ?2x,其对称轴与两段抛物线所围成De阴影部分的面积为( ) x2
A(2 B(4 C(8 D(16
12根据抛物线解析式计算出y= ?2x的Ding点坐标,过点C作CA?y轴于点A,根据Paox2
Wu线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积,然后求解即可(
2(2013?呼和浩特)在同一直角坐标系Zhong,函数y=mx+m和y=-mx+2x+2(m是常数,且m?0)的图象可能是( )
D( C( A( B(
2(2013?达州)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,反比例函数y,b/x与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐Biao系中的大致图象是( )
B( A( D( C(
2(2013?包头)已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图所示,下列Jie论:?b,
220;?4a+2b+c,0;?a-b+c,0;?(a+c),b(其中正确的结论Shi( ) A(?? B(?? C(??? D(????
Fen析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,利用图象将x=1,-1,2代入函数解析Shi判断y的值,进而对所得结论进行判断(
Jie答:解:?图象开口向上,对称轴在y轴右Ce,能得到:a,0,-b/2a,0,则b,0,正确;
??对称轴为直线x=1,?x=2与x=0Shi的函数值相等,?当x=2时,y=4a+2b+c,0,错误;
?当x=-1时,y=a-b+c,0,正确;
??a-b+c,0,?a+c,b;?当x=1时,y=a+b+c,0,?a+c,-b;?b,a+c,-b,?
22|a+c|,|b|,?(a+c),b,正确(
Suo以正确的结论是???(故选C(
2(2013?松北区三模)已知抛物线的解Xi式为为y=(x-2)+1,则当x?2时,y随x增大的变化规律是( )
A(增大 B(减小
C(先增大再减小 D(先减小再增大
2(2013?浦东新区一模)如果抛物线y=ax+bx+c经过点(-1,0)和(3,0),那么对称轴是直线( )
A(x=0 B(x=1 C(x=2 D(x=3 (2013?德州)下列函数中,当x,0时,y随x的增大而增大的是( )
C(y=1/x22A(y=-x+1 B(y=x-1 D(y=-x+1
22(2012?兰州)二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图所示,若|ax+bx+c|=k(k?0)有两个不相等De实数根,则k的取值范围是( )
A(k,-3 B(k,-3 C(k,3 D(k,3
22(分析:先根据题意画出y=|ax+bx+c|的图象,即可得出|ax+bx+c|=k(k?0)有两个不相等的实数根时,k的取值范围(
22解答:解:?当ax+bx+c?0,y=ax+bx+c(a?0)的图象在x轴上Fang,
22?此时y=|ax+bx+c|=ax+bx+c,
22?此时y=|ax+bx+c|的图象是Han数y=ax+bx+c(a?0)在x轴上Fang部分的图象,
22?当ax+bx+c,0时,y=ax+bx+c(a?0)的图象在x轴下方,
22?此时y=|ax+bx+c|=-(ax+bx+c)
22?此时y=|ax+bx+c|的图象是Han数y=ax+bx+c(a?0)在x轴下Fang部分与x轴对称的图象,
2?y=ax+bx+c(a?0)的顶点纵Zuo标是-3,
2?函数y=ax+bx+c(a?0)在xZhou下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3,
2?y=|ax+bx+c|的图象如右图,
?观察图象可得当k?0时,
Han数图象在直线y=3的上方时,纵坐标相同De点有两个,
Han数图象在直线y=3上时,纵坐标相同的点You三个,
Han数图象在直线y=3的下方时,纵坐标相同De点有四个,
2?若|ax+bx+c|=k(k?0)有Liang个不相等的实数根,
Ze函数图象应该在y=3的上边,
故k,3,
故选D(
2(2013?镇江)如图,抛物线y=ax+bx(a,0)经过原点O和点A(2,0)( (1)写出抛物线的对称轴与x轴的交Dian坐标;
(2)点(x,y),(x,y)在抛物线上,若x,x,1,比较y,y的大小; 11221212(3)点B(-1,2)在该抛Wu线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式(
Fen析:(1)根据图示可以直接写出抛物线的Dui称轴与x轴的交点坐标; (2)根据抛物Xian的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物Xian的对称轴是x=1,然后根据函数图象的增Jian性进行解题;
(3)根据已知条件可以求得点C的坐标是(3,2),所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式(
Jie答:解:(1)根据图示,由抛物线的对称Xing可知,抛物线的对称轴与x轴的交点坐标(1,0);
(2)抛物线的对称轴是直线x=1(
Gen据图示知,当x,1时,y随x的增大而减Xiao,
Suo以,当x,x,1时,y,y; 1212
(3)?对称轴是x=1,点B(-1,2)Zai该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称Zhou对称,?点C的坐标是(3,2)(
She直线AC的关系式为y=kx+b(k?0)(
0,2k+b
2,3k+b
解得
k,2
b,?4
?直线AC的函数关系式是:y=2x-4(
2(2013?枣庄)如图,在平面直角坐标Xi中,二次函数y=x+bx+c的图象与xZhou交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点De坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动Dian(
(1)求这个二次函数的表达式(
(2)连接PO、PC,并把?POC沿COFan折,得到四边形POP′C,那么是否存在DianP,使四边形POP′C为菱形,若存在,Qing求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理You( (3)当点P运动到什么位置时,四边XingABPC的面积最大,求出此时P点的坐标He四边形ABPC的最大面积(
Fen析:(1)将B、C的坐标代入抛物线的解Xi式中即可求得待定系数的值; (2)由于Ling形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线Shang,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的Jie析式中即可求出P点的坐标;
(3)由于?ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,?BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的Jie析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的Chang,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即Ke求得?BPC的面积,由此可得到关于四边XingACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的Zui大面积及对应的P点坐标
( (2010?通化)某公司经Xiao一种绿茶,每千克成本为50元(市场调查Fa现,在一段时间内,销售量w(千克)随销Shou单价x(元/千克)的变化而变化,具体关Xi式为:w=-2x+240(设这种绿茶在Zhe段时间内的销售利润为y(元),解答下列Wen题: (1)求y与x的关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大,
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价Bu得高于90元/千克,公司想要在这段时间Nei获得2250元的销售利润,销售单价应定Wei多少元,
Fen析:(1)因为y=(x-50)w,w=-2x+240
2故y与x的关系式为y=-2x+340x-12000(
(2)用配方法化简函数式求出y的最大值即Ke(
(3)令y=2250时,求出x的解即可(
2解答:解:(1)y=(x-50)?w=(x-50)?(-2x+240)=-2x+340x-12000,
2?y与x的关系式为:y=-2x+340x-12000( (3分)
22(2)y=-2x+340x-12000=-2(x-85)+2450?当x=85时,y的值最大((6分)
2(3)当y=2250时,可得方程-2(x-85)+2450=2250
Jie这个方程,得x=75,x=95 12
Gen据题意,x=95不合题意应舍去 2
?当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元( (10分)
(2010?青海)某水果批发商场经销一种Gao档水果,如果每千克盈利10元,每天可售Chu500千克(经市场调查发现,在进货价不Bian的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将Jian少20千克(
(1)现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价Duo少元,
(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这Zhong水果涨价多少元,能使商场获利最多, 分Xi:本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值(
Jie答:解:(1)设每千克应涨价x元,则(10+x)(500-20x)=6 000(4分) 解得x=5或x=10,为了使顾Ke得到实惠,所以x=5((6分)
(2)设涨价x元时总利润为y,
Zey=(10+x)(500-20x)
2=-20x+300x+5 000
2=-20(x-15x)+5000
2=-20(x-15x+225/4-225/4)+5000
2=-20(x-7.5)+6125
Dangx=7.5时,y取得最大值,最大值为6 125((8分)
Da:(1)要保证每天盈利6000元,同时You使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元; (2)若该商场单纯从经济角度看,每千克Zhe种水果涨价7.5元,能使商场获利最多((10分)
(2010?锦州)如图,抛物线与x轴交于A(x,0),B(x,0)两点,且x,x,与1212
2y轴交于点C(0,4),其中x,x是方Chengx-2x-8=0的两个根( 12
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE?AC,交BC于点E,连接CP,当?CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,Shi否存在这样的点Q,使?QBC成为等腰三Jiao形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由(
Fen析:(1)先通过解方程求出A,B两点的Zuo标,然后根据A,B,C三点的坐标,用待Ding系数法求出抛物线的解析式(
(2)本题要通过求?CPE的面积与P点横Zuo标的函数关系式而后根据函数的性质来求?CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标(?CPE的面积无法直接表示出,可用?CPB和?BEP的面积差来求,设出P点的坐标,即可表示出BP的长,可通过相似三角形?BEP和?BAC求出(?BEP中BP边上De高,然后根据三角形面积计算方法即可得出?CEP的面积,然后根据上面分析的步骤即Ke求出所求的值(
(3)本题要分三种情况进行讨论:
?QC=BC,那么Q点的纵坐标就是C点的Zong坐标减去或加上BC的长(由此可得出Q点De坐标(
?QB=BC,此时Q,C关于x轴对称,据Ci可求出Q点的坐标(
?QB=QC,Q点在BC的垂直平分线上,Ke通过相似三角形来求出QC的长,进而求出Q点的坐标(
2(2009?天水)如左图,在平面直角坐Biao系中,二次函数y=ax+bx+c(a,0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,Yux轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan?ACO=1/3
(1)求这个二次函数的表达式(
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以DianA、C、E、F为顶点的四边形为平行四边Xing,若存在,请求出点F的坐标;若不存在,Qing说明理由(
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,Qiu该圆半径的长度(
(4)如图,若点G(2,y)是该抛物线上Yi点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,?APG的面积Zui大,求出此时P点的坐标和?APG的最大Mian积(
Kao点:二次函数综合题(
专题:压轴题(
Fen析:(1)求二次函数的表达式,需要求出A、B、C三点坐标(已知B点坐标,且OB=OC,可知C(0,3),tan?ACO=
1
3
,则A坐标为(-1,0)(将A,B,C三Dian坐标代入关系式,可求得二次函数的表达式(
(2)假设存在这样的点F(m,n),已知Pao物线关系式,求出顶点D坐标,今儿求出直XianCD,E是直线与x轴交点,可得E点坐标(四边形AECF为平行四边形,则CE?AF,则两直线斜率相等,可列等式(1),CE=AF,可列等式(2),F在抛物线上,Wei等式(3),根据这三个等式,即可求出m、n是否存在(
(3)分情况讨论,当圆在x轴上方时,根据Ti意可知,圆心必定在抛物线的对称轴上,设Yuan半径为r,则N的坐标为(r+1,r),Jiang其代入抛物线解析式,可求出r的值(当圆Zaix轴的下方时,方法同上,只是N的坐标变Wei(r+1,-r),代入抛物线解析式即可Qiu解(
2(4)G在抛物线上,代入解析式求出G点Zuo标,设点P的坐标为(x,y),即(x,x-2x-3)已知点A、G坐标,可求出线DuanAG的长度,以及直线AG的解析式,再根Ju点到直线的距离求出P到直线的距离,即为San角形AGP的高,从而用x表示出三角形的Mian积,然后求当面积最大时x的值(
(2009?青海)矩形OABC在平面直角Zuo标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分Bie为A(6,0),C(0,-3),直线y=-3/4 x与BC边相交于D点(
(1)求点D的坐标;
2(2)若抛物线y=ax-9/4x经过点A,试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与?OCD相似,求符He条件的点P的坐标(
Fen析:前两问由抛物线性质,用待定系数求出DianD的坐标和抛物线的表达式;最后一问找三Jiao形相似,作辅助线过点O作OD的垂线交抛Wu线的对称轴于点P,再根据相似三2角形比Li关系求出P点坐标(
(2009?临沂)如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点( (1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM?xZhou,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与?OAC相似,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,Qing说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,Shi得?DCA的面积最大,求出点D的坐标(
(
Fen析:(1)已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),可设抛物线解析式的交点式,Zai把C(0,-2)代入即可;
(2)??OAC是直角三角形,以A,P,M为顶点的三角形与其相似,由于点P可能在x轴的上方,或者下方,分三种情况,分别用Xiang似比解答;
(3)过D作y轴的平行线交AC于E,将?DCA分割成两个三角形?CDE,?ADE,它们的底相同,为DE,高的和为4,就可Yi表示它们的面积和,即?DCA的面积,运Yong代数式的变形求最大值(
2,2009?江苏,如图,已知二次函数y=x-2x-1的图象的顶点为A,二次函数
22y=ax+bx的图象不x轴交于原点OJi另一点C,它的顶点B在函数y=x-2x-1的图象的对称轴上,
,1,求点A不点C的坐标;
2,2,当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax+bx的关系式,
(
2分析:(1)二次函数y=ax+bx的顶Dian在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两Ge函
22数对称轴相等,因此先根据已知函数求出Dui称轴( y=x-2x-1=(x-1)-2,所以顶点A的坐标为(1,-2)对称轴Weix=1,
2所以二次函数y=ax+bx关于x=1对Cheng,且函数与x轴的交点分别是原点和C点, 所以点C和点O关于直线l对称,所以点CDe坐标为(2,0);
(2)因为四边形AOBC是菱形,根据菱形Xing质,可以得出点O和点C关于直线AB对称,点B和点A关于直线OC对称,因此,可求Chu点B的坐标,点B的坐标为(1,2),
2二次函数y=ax+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0),将B,C代入解析Shi,可得, a+b,?2 解得
a,?2 4+2,0 ab
b,4
2所以二次函数y=ax+bx的关系式
2为y=-2x+4x(
(2009?武汉)某商品的进价为每件40Yuan,售价为每件50元,每个月可卖出210Jian;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个Yue少卖10件(每件售价不能高于65元)(She每件商品的售价上涨x元(x为正整数),Mei个月的销售利润为y元( (1)求y与xDe函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月Ke获得最大利润,最大的月利润是多少元, (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月De利润恰为2200元,根据以上结论,请你Zhi接写出售价在什么范围时,每个月的利润不Di于2200元,
Fen析:(1)根据题意可知y与x的函数关系Shi(
2(2)根据题意可知y=-10-(x-5.5)+2402.5,当x=5.5时y有Zui大值( (3)设y=2200,解得x的Zhi(然后分情况讨论解(
Jie答:解:(1)由题意得:y=(210-10x)(50+x-40)
2=-10x+110x+2100(0,x?15且x为整数);
2(2)由(1)中的y与x的解析式配方得:y=-10(x-5.5)+2402.5( ?a=-10,0,?当x=5.5时,y有最大值2402.5(
?0,x?15,且x为整数,
Dangx=5时,50+x=55,y=2400(元),当x=6时,50+x=56,y=2400(元) ?当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元(
2(3)当y=2200时,-10x+110x+2100=2200,解得:x=1,x=10( 12
?当x=1时,50+x=51,当x=10Shi,50+x=60(
?当售价定为每件51或60元,每个月的利Run为2200元(
Dang售价不低于51或60元,每个月的利润为2200元(
Dang售价不低于51元且不高于60元且为整数Shi,每个月的利润不低于2200元(或当售Jia分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的Li润不低于2200元)(
2(2006?南通)已知抛物线y=ax+bx+c经过A,B,C三点,当x?0时,Qi图象如图所示(
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点Zuo标;
2(2)画出抛物线y=ax+bx+c当x,0时的图象;
2(3)利用抛物线y=ax+bx+c,写Chux为何值时,y,0(
Kao点:待定系数法求二次函数解析式;二次函Shu的图象(
Fen析:本题的关键是求出抛物线的解析式,在Ti目给出的图象中可得出A、B、C三点的坐Biao,可用待定系数求出抛物线的解析式,进而Ke画出x,0时抛物线的图象,以及y,0时x的取值范围(
2(2011?天水)抛物线y=-x+bx+c的部分图象如图所示,若y,0,则x的Qu值范围是 (
2(2007?舟山)抛物线y=2(x-2)-6的顶点为C,已知y=-kx+3的图Xiang经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴Suo围成的三角形面积为( )
初中函数经典题型
10(如图,一只蚂蚁从点出发,沿着扇形的Bian缘匀速爬行一周,设蚂蚁的运动时间OOAB为,蚂蚁到点的距离为,则关于的函数图象Da致为( C ) OSStt((
A S S S S
O O O t t t O t O B D. A. C. B. 第(10)题
k17(已知一次函数与反比例函数,其中一Ci函数的图象经过点yx,,2yx,,2y,xP(,5)( k
(1)试确定反比例函数的表达式;
(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图Xiang在第三象限的交点,求点Q的坐标(
1
212(定义a※b=a,b,则(1※2)※3=______(,2
514(函数y=(x,2)(3,x)取得Zui大值时,x=______( 2
317(直线y=ax(a,0)与双曲线y=交于A(x,y)、B(x,y)两点,则4xy,3xy=__,3; 11221221x
18(如图,正方形ABCD边长为1,动点P从A点出发,沿正方形的边按逆时针方向运Dong,当它的运动路程为2009时,点P所在Wei置为______;当点P所在位置为D点Shi,点P的运动路程为______(用含自Ran数n的式子表示)(
DianB;4n,3(录入者注:填4n,1(nWei正整数)更合适)
DC
BA(P)
第18题图
24((本题满分10分)一次函数y=kx,b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)( (1)求该函数的解析Shi;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分Bie为C、D,P为OB上一动点,求PC,PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标(
y
B
DP
OxCA
第24题图
24(解:(1)将点A、B的坐标代入y,kx,b并计算得k,,2,b,4(
?解析式为:y,,2x,4;?????????????????????????5Fen (2)设点C关于点O的对称点为C′,Lian结PC′、DC′,则PC,PC′(
?PC,PD,PC′,PD?C′D,即C′、P、D共线时,PC,PD的最小值是C′D(
'22CCCD,连结CD,在Rt?DCC′中,C′D,,22;
Yi得点P的坐标为(0,1)(????????????????????????10Fen (亦可作Rt?AOB关于y轴对称的?)
25((本题满分12分)一开口向上的抛物Xian与x轴交于A(m,2,0),B(m,2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC?BC(
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的Pao物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原Dian, (3)设抛物线交y轴正半轴于D点,Wen是否存在实数m,使得?BCD为等腰三角Xing,若存
2
Zai,求出m的值;若不存在,请说明理由(
y
D
OABx
C
第25题图
225(解:(1)设抛物线的解析式为:y,a(x,m,2)(x,m,2),a(x,m),4a(????2分 ?AC?BC,由抛物线的对称性可知:?ACB是等腰直Jiao三角形,又AB,4,
112?C(m,,2)代入得a,(?解析Shi为:y,(x,m),2(??????????5分 22
(亦可求C点,设顶点式)
(2)?m为小于零的常数,?只需将抛物线Xiang右平移,m个单位,再向上平移2个单位,
12可以使抛物线y,(x,m),2顶点在Zuo标原点(???????????????7分 2
12(3)由(1)得D(0,m,2),设Cun在实数m,使得?BOD为等腰三角形( 2
??BOD为直角三角形,?只能OD,OB(?????????????????9分 12?m,2,|m,2|,当m,2,0Shi,解得m,4或m,,2(舍)( 2
Dangm,2,0时,解得m,0(舍)或m,,2(舍);
Dangm,2,0时,即m,,2时,B、O、DSan点重合(不合题意,舍)
Zong上所述:存在实数m,4,使得?BOD为Deng腰三角形(???????????12分
22、函数y=的自变量x的取值范围是(B) x,1
A、x=1 B、x?1 C、x,1 D、x,1
916、如图7所示,P(x,y)、P(x,y),??P(x,y)在函数y=(x,0)的图象111222nnnx上,?OPA,?PAA,?PAA???PAA??都Shi等腰直角三角形,斜边OA,n,11212323n1n1AA??AA,都在x轴上, 12n-1n
Zey+y+?y= 。 12n
n16、3
3
x14((2009成都)某航空公司规定,Lv客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如y图所示的一次函数图象确定,那Me旅客可携带的免费行李的最大质量为
(元)y
900
300(kg)
3050xO
(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg
【答案】B
17((2009年陕西省)若正比例函数的Tu像经过点(,1,2),则这个图像必经过Dian【 】
A((1,2) B((,1,,2) C((2,,1) D((1,,2)
【答案】D
15( (2009泰安)如图所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P是线段BC上一点(P不
YuB重合),M是DB上一点,且BP=DM,设BP=x,?MBP的面积为y,则y与x之
Jian的函数关系式为 。 A D22【答案】 y,,x,4x(0,x,6)M5
B P C (第17题图)
x18(已知关于、的一次函数的图象经过平Mian直角坐标系中的第一、三、yymx,,,12,,
m四象限,那么的取值范围是
【答案】 m,1
4((2009年衡阳市)在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行Dao乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经Yi地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出Fa,设步行的时间为t(h),两组离乙地的Ju离分别为S(km)和S(km),图中的Zhe线分别表示12
S、S与t之间的函数关系( 12
(1)甲、乙两地之间的距离为 8 km,乙、丙两地之间的距离为 2 km;
(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及You乙地到达丙地所用的时间分别是多少,
4
(3)求图中线段AB所表示的S与t间的函Shu关系式,并写出自变量t的取值范围( 2
S(km)
8?
6?
4? B 2?
A 0 2 t(h)
【答案】解:(2)第二组由甲地出发首次到Da乙地所用的时间为:
,,8,2,(8,2),2,8,10,0.8(小时)
Di二组由乙地到达丙地所用的时间为:
,,2,2,(8,2),2,2,10,0.2(小时)
(3)根据题意得A、B的坐标分别为(0.8,0)
He(1,2),设线段AB的函数关系式为:
S,kt,b,根据题意得: 2
0,0.8k,bk,10,, 解得: ,,2,k,b b,-8,,
?图中线段AB所表示的S与t间的函数关系Shi为:,自变量t的取值S,10t,822
Fan围是:( 0.8,t,1
2(( 2010年山东菏泽全真模拟1)如Tu所示:边长分别为和的两个正方形,其一边Zai同12
Yi水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀Su穿过大正方形,设穿过的时间为,大t
Zheng方形内除去小正方形部分的面积为(阴影部Fen),那么与的大致图象应为( ) SSt
SS SS
OO O O t tt t
,( ,( ,( ,(
答案:A
5
6((2010 河南模拟)如图是某蓄水池De横断面示意图,分为深水池和浅水池,如果Zhe个蓄水池以固定的流量注水,下面能大致表Shi水的最大深度h与时间t之间的关系的图像Shi( )
答案:C
A(043),1.( 2010年山东菏泽Quan真模拟1) 如图1,在平面直角坐标系中,已知点,点Bx3在正半轴上,且(动点在Xian段上从点向点以每秒个单位的?ABO,30PABAB
x速度运动,设运动时间为秒(在轴上取两点Zuo等边( MN,?PMNt
(1)求直线的解析式; AB
(2)求等边的边长(用的代数式表示),并Qiu出当等边的顶点运动M?PMN?PMNt
Dao与原点重合时的值; Ot
(3)如果取的中点,以为边在内部作如图2Suo示的矩形,DOBODRt?AOBODCE点在线段上(设等边和矩形重叠部分的面积Wei,请求出当ABC?PMNODCES
Miao时与的函数关系式,并求出的最大值( 02??tSSt
yy
APA C E
ONOxx MBDB
(图2) (图1)
3yx,,,43答案:解:(1)直线的解Xi式为:( AB3
?,,ABOA283(2)方法一,,,AOB90,,,ABO30,,
6
APt,3,?,,BPt833,
Shi等边三角形,, ?,,MPB90?PMN
3PM?,,,,,PMtt(833)8,( tan,,PBM3PB
Fang法二,如图1,过分别作轴于,轴于, PQy,QPPSx,S
y13tAQAP,,可求得, A P22 Q
3tPSQO,,,43, NOSx MB2
,,33t(图1) , ?,,,,,PMt438,,,,22 y,,
P A当点与点重合时, MO C G
E, ,,BAO60
MHON xDB
( ?,AOAP2
(图2) ?,4323t,
( ?,t2 y
A P(3)?当时,见图2( 01??t
G C E I设交于点, HPNEC N M F
O xB H D重叠部分为直角梯形, EONG
Zuo于( HGHOB,(图3)
GH,23,,GNH60,,
, ?,HN2
, PMt,,8
, ?,,BMt162
, OB,12
?,,,,,,,ONttt(8)(16212)4,
7
, ?,,,,,,,,OHONHNttEG422
1( ?,,,,,,,Sttt(24)2323632
Sui的增大而增大, St
?当时,( S,83t,1最大
?当时,见图3( 12,,t
She交于点, PMIEC
Jiao于点,交于点, FEOPNECG
Zhong叠部分为五边形( OFIGN
FOt,,4323方法一,作于,, HGHOB,
?,,,,,EFtt23(4323)2323,
, ?,,EIt22
12( ?,,,,,,,,,,,SSSttttt2363(22)(2323)236343?FEI梯形ONGE2
OFt,,,(42)3PCt,,433方Fa二,由题意可得,,,, MOt,,42PIt,,4
12再计算 St,,,(42)3?FMO2
3322St,,St,,(4)(8), ?PMN?PIG44
331222?,,,,,,,,,,SSSSttt(8)(4)(42)3 ???PMNPIGFMO442
2,,,,236343tt(
y1733?S,,,230,当时,有最Da值,( t,S最大22 A P C I E G?当时,,即与重合, Dt,2MPMN,,6N
()M O Bx DN() 设交于点,Jiao于点,重叠部 PMPDIECECG分为Deng腰梯形,见图4( IMNG(图4)
3322S,,,,,6283, 44
St,,2363综上所述:当时,; 01??t
8
2当时,Stt,,,,236343; 12,,t
Dang时,S,83( t,2
173,83, 2
173的最大值是( ?S2
2. 14.(本题满分6分)已知:关于xDe方程2x,kx,1,0(1)求证:方程You两个不相等的实数根; (2)若方程的一Ge根是-1,求另一个根及k值.
9
k18(如图,已知点A、B在双曲线(x,0)上,y,xy
AC?x轴于点C,BD?y轴于点D,ACYuBD交于点P,P
ShiAC的中点,若?ABP的面积为3,则k, 12; ( A
P D B x O C
第18题图
12(在平面直角坐标系中,对于平面内任一Dian若规定以下三种变换:ab,,,,
?,fababf=,,,,(,,,如1313;,,,,,,,,
?,gabbag=,(,,,如1331;,,,,,,,,,
?,hababh=,,,,,,(,,,(如1313,,,,,,,,
An照以上变换有:那么等于( B) fh53,,fgf233232,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
A( B( C( D( ,,53,53,53,,,53,,,,,,,,,
22.(10分)
Xiang应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从Chang家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台,其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台Shu的2倍,购买三种电冰箱的总金额不超((Guo132 000元(已知甲、乙、丙三种电Bing箱的出厂价格分别为:1 200元/台、1 600元/台、2 (
000元/台(
(1)至少购进乙种电冰箱多少台,
(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电Bing箱的台数,则有哪些购买方案,
22、22((本小题满分10分)
x解:(1)设购买乙种电冰箱台,则购买甲Zhong电冰箱台, 2x
(803),x丙种电冰箱台,根据题意,列Bu等式: ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 120021600(803)2000132000,,,,,xxx?( ??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 解这个Bu等式,得( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 x?14
?至少购进乙种电冰箱14台(?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 (2)根Ju题意,得( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 2803xx?,
10
Jie这个不等式,得( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 x?16
You(1)知( x?14
( ?1416??x
又x为正整数,
( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ?,x141516,,
Suo以,有三种购买方案:
Fang案一:甲种电冰箱为28台,乙种电冰箱为14台,丙种电冰箱为38台; 方案二:甲Zhong电冰箱为30台,乙种电冰箱为15台,丙Zhong电冰箱为35台; 方案三:甲种电冰箱为32台,乙种电冰箱为16台,丙种电冰箱为32台( ???????????????????? 10分
15(如图,直线ykxb,,经过A(21),,B(12),,,两点,则不等式y
A 1x 的解集为 ( xkxb,,,,2,,,12xO 2
B
11(如图6所示的计算程序中,y与x之间De函数关系所对应的图 输入x 象应为( D )
取相反数 y y y y 4 4 ×2
O 2 2 O x O - 2 O x x -2 x,4
- 4 - 4
输出y
D B A C 图6
*10(如图1,在直角梯形中,动点从点出Fa,沿,运动至点停止(设PBDABCDBCCD
xx点运动的路程为,的面积为,如果关于的Han数图象如图2所示,则Pyy?ABP
De面积是( A ) ?BCD
A(3 B(4 C(5 D(6
D C
P
A B 5 O x 2
图1 图2
11
9(若一次函数x的函数值随的增大而减小,Qie图象与轴的正半轴相交,那ykxb,,yy么对和的符号判断正确的是( C ) kb
A( B( C( D( kb,,00,kb,,00,kb,,00,kb,,00,
13. 如图所示,在平面直角坐标系中,一Ci函数y=kx+1 y
9的图像与反比例函数的图像在第一象限相交Yu点A, y,xA 过点A分别作x 轴、y轴的垂线,垂足为点B、C.如果四 C Bian形OBAC是正方形,求一次函数的关系式.
O B x
第13题图
2S,,OB913(解:,?,,,,,,,, ?点,的坐标为(,,,) 正方形OBAC
2?点,在一次函数,,,,,,的图像上, ?,,,,,,,解得:,, 3
2?一次函数的关系式是: yx,,1.3
16(对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当a,c且b,d时, (a,b)=(c,d)(定义运算“”:(a,b)(c,d)=(ac,bd,ad,bc)( ,,
Ruo(1,2)(p,q)=(5,0),则p, 1 ,q, -2 ( ,
5(若正比例函数的图象经过点(,2),则Zhe个图象必经过点( D )( ,1
A((1,2) B((,) C((2,) D((1,) ,1,2,1,2
12
21((本题满分8分)
Zai一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲Di运往乙地,到达乙地卸货后返回(设汽车从Jia地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为(km),与x的函数关系如图所示( yy
Gen据图象信息,解答下列问题:
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同,请说Ming理由;
x(2)求返程中与之间的函数表达式; yy/km (3)求这辆汽车从甲地出发4hShi与甲地的距离( 120
O x/h 2 2.5 5
(第21题图) 21((本题满分8分)
Jie:(1)不同(理由如下:
Wang、返距离相等,去时用了2小时,而返回时Yong了2.5小时,
?往、返速度不同( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2Fen)
x(2)设返程中与之间的表达式为ykxb,,, y
1202.5,,kb,,则 ,05.,,kb,
k,,48,,解之,得 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (5分) ,b,240.,
?yx,,,48240(()(评卷时,自Bian量的取值范围不作要求)?????? (6分) 552.xx??
(3)当时,汽车在返程中, x,4
?,,,,,y48424048(
?这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km( ???????????????????????????????????????????????????? (8分)
13
24((本题满分10分)
Ru图,在平面直角坐标系中,,且,点的坐标Shi( (12),,AOBOA,OBOA,2
(1)求点的坐标; B
(2)求过点的抛物线的表达式; AOB、、
SS,(3)连接,在(2)中的抛物线上求Chu点,使得( ABP??ABPABO
y
A B 1
x O 1
(第24题图)
24((本题满分10分)
Jie:(1)过点作轴,垂足为点,过点作轴,Chui足为点, AFBEAFx?BEx?
y 则( AFOF,,21,
, OAOB?P3 P4 ( ?,,,,AOFBOE90?
You, ,,,,BOEOBE90?A B 1 ( ?,,,AOFOBE
( ?RtRt???AFOOEBx PO 1 E F 2 BEOEOB?,,,2( (第24题答案图) OFAFOA
( ?,,BEOE24,
?B(42),( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2分)
2yaxbxc,,,(2)设过点A(12),,,B(42),,O(00),的抛物Xian为(
1,a,,,2abc,,,2,,,3,,?,,,1642abc,解之,得 b,,,,,2,,c,0.,c,0(,
,,
132?所求抛物线的表达式为( ????????????????????????????????????????????????????????????????????? (5分) yxx,,22
(3)由题意,知轴( ABx?
14
11设抛物线上符合条件的点到的距离为,则( SABdABAF,,PABd?ABP22
( ?,d2
?点的纵坐标只能是0,或4( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (7分) P
132令,得(解之,得,或( y,0xx,,0x,0x,322
?P(00),P(30),符合条件的点,( 12
341,132x,令,得(解之,得( y,4xx,,4222
341,341,?P(4),P(4),符He条件的点,( 3422
?综上,符合题意的点有四个:
341,341,P(00),P(30),P(4),P(4),,,,( ???????????????????????????????????????????? (10分) 123422
P(00),(评卷时~无不扣分) 1
2axbxca,,,,0(0)8(定义:Ru果一元二次方程满足,那么我们称这abc,,,0
2axbxca,,,,0(0)个方程为“Feng凰”方程. 已知 是“凤凰”方程,且有Liang个相等的实数根,则下列结论正确的是: (A)
ac, A( B( C( D( ab,bc,abc,,
3x8(如图,点y,、是双曲线上的点,分Bie经过、两点向轴、轴作垂线段,ABAByx
y S,1,SS,,若则 4 ( 12阴影
A
S 1 B
S 2
O x 8题图
15
15(如图,平面直角坐标系中,在边长为1De正方形的边上ABCD
y 有一动点沿运动一周,则的纵坐标与PPyABCDA,,,,A D 2 P 点走Guo的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( D ) PC B 1
y y y y
O 1 2 x
2 2 2 2 15题图 1 1 1 1
O O O O 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 s s s s
A. C. D. B.
x7(矩形面积为4,它的长与宽之间的函数Guan系用图象大致可表示为( B ) y
y y y y
x x x x O O O O
A( B( C( D(
13(一张正方形的纸片,剪去两个一样的小Ju形得到一个“E”图案,如图4所示,设小Ju形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积Wei20,若2?x?10,则y与x的函数图Xiang是:
A
16
14yx,16(已知直线,,的图象如图所Shi,若无论x取何值,yx,,,5yx,,1y12253
37yyy总取、、中的最小值,则的最大值Wei 。 y12317
23(“六一”前夕,某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套,
x并且购进的三种玩具都不少于10套,设购JinA种玩具套,B种玩具套,三种电动玩具y
De进价和售价如右表所示,
x?用含、的代数式表示购进C种玩具的套数; y型 号 , , C
进价(元,套) 40 55 50
售价(元,套) 50 80 65
x?求与之间的函数关系式; y
?假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在Gou销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。
x?求出利润P(元)与(套)之间的函数关Xi式;?求出利润的最大值,并写出此时三种Wan具各多少套。
41123((1)购进C种玩具套数为:50,x,y(或47,x,y)??(2分) 510
405550()2350xyxy,,,,yx,,230(2)由题意得 Zheng理得??(5分)
(3)?利润,销售收入,进价,其它费用
pxyxy,,,,,,,,,(5040)(8055)(6550)(50)200
yx,,230px,,15250又? ?整理得??(7分)
5050(230)803,,,,,,,,xyxxx?购进C种电动玩具的套数为:
x,10,7070,23010x,,据题Yi列不等式组,解得 ?x的范围为,且20,,x20,,x,33,80310,,x,
xx为整数 的最大值是23
px,,15250?在中,,0 ?P随x的增大而增大 k,15
?当x取最大值23时,P有最大值,最大值Wei595元(此时购进A、B、C种玩具分别
17
Wei23套、16套、11套(??(9分)
3(如图,数轴上两点分别对应实数, AB、ab、
B A 则下列结论正确的是( C )
1 a 0 b ,1A( B( ab,,0ab,0
(第3题) C( D( ||||0ab,,ab,,0
xx9(如图,直线与轴交于点,关于的不等Shi的解集是ykxbk,,,(0)(30),kxb,,0( A )
A( B( C( D( x,3x,3x,0x,0
20((本小题8分)
m,5m已知图中的曲线是反比例函数(为常Shu)图象的一支( y,x
m(?) 这个反比例函数图象的另一支在第Ji象限,常数的取值范围是什么,
yx,2的图象在第一象内限的交点为,过点Zuo(?)若该函数的图象与正比例函数AAxZhou的垂线,垂足为,当的面积为4时,求点的Zuo标及反比例函数的解析式( BA?OAB
y
20(本小题满分8分. x 解:(?)这Ge反比例函数图象的另一支在第三象限. ???????????????????????????????????????????????????????????? 1分 O 因为这个反比例函数的图象分布在Di一、第三象限,
18
Suo以,解得. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 m,,50m,5
y (?)如图,由第一象限内的点在正比例Han数的图象上, yx,2A
y=2x 设点的坐标为,则点的坐标为, ABxxx,20,x,0,,,,,,0000A
1x,2,解得(负值舍去). Sxx,?,,?424x 0?OAB002O B ?点的坐标为. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 A24,,,
m,5又点在反比例函数的图象上, y,Ax
m,5,即. ?,4m,,582
8?反比例函数的解析式为. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 y,x
x25(两地相距45千米,图中折线表示某Qi车人离地的距离与时间的函数关AyAB、
Xi(有一辆客车9点从地出发,以45千米/Shi的速度匀速行驶,并往返于两地之BAB、Jian((乘客上、下车停留时间忽略不计)
(1)从折线图可以看出,骑车人一共休息 次,共休息 小Shi;
x(2)请在图中画出9点至15点之间客车Yu地距离随时间变化的函数图象; Ay
(3)通过计算说明,何时骑车人与客车第二Ci相遇(
y/千米
45
30
0 9 10 11 12 13 14 15 x/时
(第25题)
25( 解:(1)两(两( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2分) (2)
y/千米
F 45 30
E 0 9 10 11 12 13 14 15 x/时
19
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (4分) (3)设直线所表示的函Shu解析式为 ykxb,,.EF
Ba分别代入,得 EF(10,0),(11,45)ykxb,,
100kb,,, ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (5分) ,1145kb,,,
k,45,,解得 ,b,,450.,
?直线所表示的函数解析式为 ?????????????????????????????????????????????????????????????? (6分) yx,,45450.EF
Ba代入得 y,30yx,,45450,
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (7分) 4545030.x,,
2( ?,x103
Da:10点40分骑车人与客车第二次相遇. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? (8分) 说Ming:第(3)问时间表达方式可以不同,只要Biao达正确即可得分,不写答不扣分(
310(由于干旱,某水库的蓄水量随时间的Zeng加而直线下降(若该水库的蓄水量V(万米)与
Gan旱的时间t(天)的关系如图所示,则下列Shuo法正确的是(A)(
3V/万米31200A(干旱开始后,蓄Shui量每天减少20万米 10003B(干旱Kai始后,蓄水量每天增加20万米 8003600C(干旱开始时,蓄水量为200万米 4003D(干旱第50天时,蓄水量为1 200万米 200
50O10402030t/天
20
8(小敏家距学校米,某天小敏从家里出发骑Zi行车上学,开始她以每分钟米的速V12001度匀速行驶了米,遇到交通堵塞,耽搁了Fen钟,然后以每分钟米的速度匀速前进V60032
x一直到学校(V,V),你认为小敏离家的Ju离与时间之间的函数图象大致是( ) y12
21
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0)】平移>0)】向右(h>0)】向右(h>0)】>0)】>4时,>