范文一:川大徐小湛线性代数 川大《线性代数2255》15春在线作业1 答案
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《线性代数2255》15春在线作业1
一、单选题(共 10 道试题,共 40 分。)
1. 对行列式做 种变换不改变行列式的值。
A. 互换两行
B. 非零数乘某一行
1
C. 某行某列互换
D. 非零数乘某一行加到另外一行
正确答案:D
2. A
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案:B
3. A
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
正确答案:D
4. A
A. A
B. B
C.
C
D. D
正确答案:A
2
5. A
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案:B
6. A
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案:D
7. A
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
正确答案:D
3
8. A
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案:C
9. A
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案:C
10. A
A.
A
B. B
C. C
D. D
正确答案:A
4
《线性代数2255》15春在线作业1
二、判断题(共 15 道试题,共 60 分。)
1. 齐次线性方程组恒有解(( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
2. 等价的两个矩阵,秩相等。( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
3. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
4. 若AB为单位阵,则A、B互为逆矩阵(( )
A. 错误
B. 正确
5
正确答案:B
5. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
6. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
7. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
8. 上三角形矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积(( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
9. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
10. 假设矩阵A不可能通过初等变换化为同型矩阵B,则
6
A与B的秩一定不相等(( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
11. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
12. 增广矩阵的秩最多比系数矩阵的秩大,(( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
13. 一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩(( )
A. 错误
B. 正确
正确答案:B
14. A
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
15. 假设矩阵A不可能通过初等行变换化为同型矩阵B,
则A与B的秩一定不相等.( )
7
A. 错误
B. 正确
正确答案:A
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8
范文二:线性代数试卷
考试中心填写 中南林业科技大学班戈学院2015春课程考试试卷
A 第1页(共 4页)
?300?
-1 ?
2. 设A = 140?,则(A -2E )=;
003???
3. 设 是方阵 的一个特征值,则矩阵
的一个特征值是 ;
4. 设A 是三阶方阵,且A =-1,则A *-2A -1=;
16
5. 设D =
3-18122
,则A 12+A 22+A 32+A 42= 39126232
三(12分)、计算下列行列式
x +a b c d
1-1(1)
a
x +b c d
0-1a b x +c d (2)
30a b c x +d 1
2
?11-1?四、设矩阵A = -111?
1-11?,
???
矩阵X 满足A *X =A -1+2X ,求X 。(12分)
A 第2页(共 4页)
23012
3
-1-1
?1-22? ?
五、设实对称矩阵A = -2-24?, 24-2???
求正交矩阵Q ,使Λ=Q -1AQ 为对角矩阵,并写出对角阵Λ(15分)
?1??0??2??1??1? ? ? ? ? ? -1? 3? -5? 5? -2?
六、已知向量组α1= ?, α2= ?, α3= , α=, α=45? ? ?21342
? ? ? ? ? 4? 2? 6? 8? 0???????????
(1)求向量组α1, α2, α3, α4, α5的秩以及它的一个极大线性无关组; (2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。(15分)
A 第3页(共 4页)
?x 1+x 2+2x 3+3x 4=1?
七、已知线性方程组?x 1+3x 2+6x 3+x 4=3
?x -5x -10x +9x =a
234?1
(1)a 为何值时方程组有解?
(2)当方程组有解时求出它的全部解(用解的结构表示)
(16分)
A 第4页(共 4页)
范文三:线性代数公式
线性代数公式
1、行列式
n221. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式; n!nn
2. 代数余子式的性质:
?、和的大小无关; Aaijij
?、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ?、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;
ijij,,3. 代数余子式和余子式的关系: MAAM,,,,(1)(1)ijijijij
D4. 设行列式: nnn(1),2D将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则; DD,,(1)D11
nn(1),2D将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则; DD,,(1)D9022D将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则; DD,D33D将主副角线翻转后,所得行列式为,则; DD,D44
5. 行列式的重要公式:
?、主对角行列式:主对角元素的乘积;
nn(1),2, ,(1)?、副对角行列式:副对角元素的乘积; ?、上、下三角行列式( , ??):主对角元素的乘积;
nn(1),2, ,(1)?、 ? ?和:副对角元素的乘积;
AOACCAOAmn?、拉普拉斯展开式:、 (1),,,AB,,ABBOBCCBOB
?、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ?、特征值;
n,nknk,,,EAS,,,,(1)Ak6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式; nS,kk1,k
A,07. 证明的方法:
AA,,?、;
?、反证法;
?、构造齐次方程组Ax,0,证明其有非零解; ?、利用秩,证明; rAn(),
?、证明0是其特征值;
2、矩阵 A8. 是阶可逆矩阵: n
A,0,(是非奇异矩阵);
,(是满秩矩阵) rAn(),
A,的行(列)向量组线性无关;
Ax,0,齐次方程组有非零解;
n,,bRAxb,,,总有唯一解;
1
AE与等价; ,
A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ,
A的特征值全不为0; ,
TAA是正定矩阵; ,
nRA的行(列)向量组是的一组基; ,
nRA是中某两组基的过渡矩阵; ,
**A9. 对于阶矩阵:AAAAAE,, 无条件恒成立; n
,,,,1**111**TTTT10. ()()()()()()AAAAAA,,,
TTT***111,,, ()()()ABBAABBAABBA,,,
11. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
AB12. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:
A,,1,,A2,,若,则: A,,,,,As,,
?、; AAAA,12s
,1,,A1,,,1A,12,,A,?、; ,,,,,1,,A,,s
,1,1AO,,AO,,,?、;(主对角分块) ,,,,,1OBOB,,,,
,1,1OA,,OB,,,?、;(副对角分块) ,,,,,1BOAO,,,,
,1,,,111AC,,AACB,,,?、,;(拉普拉斯) ,,,,,1OBOB,,,,
,1,1AO,,AO,,?、,;(拉普拉斯) ,,,,,,,111CB,BCAB,,,,
3、矩阵的初等变换与线性方程组
EO,,rA13. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:; mn,,F,,OO,,,mn
A等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
AB对于同型矩阵、,若; rArBAB()(), ,
14. 行最简形矩阵:
?、只能通过初等行变换获得;
?、每行首个非0元素必须为1;
?、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
15. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
r,1XA,A(,)(,)AEEX ?、若,则可逆,且; c,1,1ABAEB?、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:; (,)AB(,)(,)ABEAB ,
2
r,1xAb,个未知数个方程,如果,则A可逆,且; ?、求解线形方程组:对于(,)(,)AbExAxb,nn
16. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
?、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
,,,1,,,2,,AAA?、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; ,,,,ii,,,,,n,,
,111,,,,,,,,,1?、对调两行或两列,符号,且,例如:; EijEij(,)(,),Eij(,)11,,,,,,,,,11,,,,
1,1,,1,,,,11,,,1,,?、倍乘某行或某列,符号,且,例如:; ,EikEi(())(())Eik(())kk,,(0),,k,,k,,1,,,,1,,
,111kk,,,,,,,,,,1?、倍加某行或某列,符号,且,如:; EijkEijk(())(()),,Eijk(())11(0),,k,,,,,,,,11,,,,
17. 矩阵秩的基本性质:
?、; 0()min(,),,rAmnmn,
T?、; rArA()(),
AB?、若,则; rArB()(),
P?、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) rArPArAQrPAQ()()()(),,,Q
?、;(※) max((),())(,)()()rArBrABrArB,,,
?、;(※) rABrArB()()(),,,
?、;(※) rABrArB()min((),()),
AB?、如果是矩阵,是矩阵,且AB,0,则:(※) ns,mn,
B ?、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论); AX,0
?、 rArBn()(),,
AB?、若、均为阶方阵,则; nrABrArBn()()(),,,
18. 三种特殊矩阵的方幂:
?、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律; ,
1ac,,,,01b?、型如的矩阵:利用二项展开式; ,,,,001,,
n0111111,,,,,nnnmnmmnnnnmmnm()abCaCabCabCabCbCab,,,,,,,,, 二项展开式:; ,nnnnnn,0m
nn,1 注:?、展开后有项; ()ab,
nnnmn(1)(1)!,,,mn0CCC,,,,1?、 nnn123!()!mmnm,
n,,,11mnmmmmrnrrCCCCCCrCnC,,,,, 2?、组合的性质:; ,,,11nnnnnnnn,0r?、利用特征值和相似对角化:
19. 伴随矩阵:
3
nrAn(), ,,*rArAn()1()1,,,; ?、伴随矩阵的秩:,,0()1rAn,,,
AA*1*,?、伴随矩阵的特征值:; ,, , ,(,)AXXAAAAXX,,,
n,1*1,*?、、 AAA,AA,
A20. 关于矩阵秩的描述:
A?、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话) n,1rAn(),n
A,中有阶子式全部为0; ?、rAn(),n
A?、,中有阶子式不全为0; rAn(),n
A21. 线性方程组:,其中为矩阵,则: Axb,mn,
?、与方程的个数相同,即方程组有个方程; Axb,mm
?、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程; Axb,nn
22. 线性方程组的求解: Axb,
B?、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换); ?、齐次解为对应齐次方程组的解;
?、特解:自由变量赋初值后求得;
由23.个未知数个方程的方程组构成元线性方程: nmn
axaxaxb,,,, ,11112211nn,axaxaxb,,,, ,21122222nn?、; ,,,axaxaxb,,,,mmnmnn1122,
aaaxb,,,,,,1112111n,,,,,,aaaxb2122222n,,,,,,A?、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数) mnmn,,,,Axb,,,,,,,,,,,,aaaxbmmmnmm12,,,,,,
xb,,,,11,,,,xb22,,,,?、(全部按列分块,其中); ,,aaa,,,,12n,,,,,,,,xbnn,,,,?、(线性表出) axaxax,,,,,1122nn
?、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数) nrArAn()(,),,,
4、向量组的线性相关性
A24. 个维列向量所组成的向量组:构成矩阵; mn,,,,,,nm,A,(,,,),,,12m12m
T,,,1,,T,TTT2,,B,B个维行向量所组成的向量组:构成矩阵; ,,,,,,mnmn,12m,,,,T,,,,,m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
,,Ax025. ?、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)
,,Axb?、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组)
,,AXB?、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)
PAx,0Bx,026. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14) ABmn,ln,101
4
TP;(例15) 27. rAArA()(),101
28. 维向量线性相关的几何意义: n
线性相关 ; ?、,,0,,
?、线性相关 坐标成比例或共线(平行); ,,,,,,,
?、线性相关 共面; ,,,,,,,,,,,
29. 线性相关与无关的两套定理:
若线性相关,则必线性相关; ,,,,,,,,,,,,,,12s121ss,
若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) ,,,,,,,,,,,,12s121s,
AB若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组: rnr,n
ABBA若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
ABAP30. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7); rs,rs74
ABP向量组能由向量组线性表示,则;(定理3) rArB()(),86
AB向量组能由向量组线性表示
有解; ,,AXB
P (定理2) ,,rArAB()(,)85
ABP 向量组能由向量组等价(定理2推论) , ,,rArBrAB()()(,)85
A31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使; ,PPP,,,APPP,12l12lrABPAB~,,P?、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解 ,,Ax0Bx,0c?、矩阵列等价:(右乘,可逆); ABAQB~,,Q
ABPAQB~,,P?、矩阵等价:(、可逆); Q
32. 对于矩阵与: ABmn,ln,
ABAB?、若与行等价,则与的行秩相等;
ABAB?、若与行等价,则Ax,0与Bx,0同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
?、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
A?、矩阵的行秩等于列秩;
33. 若,则: ABC,mssnmn,,,
ABC?、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵; TABC?、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)
34. 齐次方程组Bx,0的解一定是ABx,0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
?、ABx,0 只有零解, ,Bx0只有零解;
?、Bx,0 有非零解, ,ABx0一定存在非零解;
P35. 设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论) Bbbb:,,,Aaaa:,,,nrr,12nss,12110
BAK,() (,,,)(,,,)bbbaaaK,1212rs
KABBK 其中为,且线性无关,则组线性无关;(与的列向量组具有相同线性相关性) ,,rKr()sr,
(必要性:;充分性:反证法) rrBrAKrKrKrrKr,,,,?,()()(),(),()
K 注:当时,为方阵,可当作定理使用; rs,
P36. ?、对矩阵,存在, 、的列向量线性无关;() AQAQE,,,rAm()Qmn,nm,m87
P?、对矩阵,存在, 、的行向量线性无关; PPAE,,,rAn()Anm,mn,n
37. 线性相关 ,,,,,,12s
,存在一组不全为0的数,使得成立;(定义) kkk,,,kkk,,,,,,,012s1122ss
x,,1,,x2,,Ax,0,有非零解,即有非零解; (,,,)0,,,,12s,,,,xs,,
5
,系数矩阵的秩小于未知数的个数; ,rs(,,,),,,,12s
A38. 设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:; SAx,0rrSnr(),,mn,n
**39. 若为的一个解,为的一个基础解系,则线性无关;(P题33Axb,Ax,0,,,,,,,,,,,,,,,nr,12nr,11112
结论)
5、相似矩阵和二次型
,1TTAA,,,AAE40. 正交矩阵或(定义),性质:
1ij,,TA?、的列向量都是单位向量,且两两正交,即; aaijn,,(,1,2,),ij0ij,,,1TAA,A?、若为正交矩阵,则也为正交阵,且; A,,1
ABAB?、若、正交阵,则也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 41. 施密特正交化: (,,,)aaa12r
; ba,11
[,]ba12bab,, 221[,]bb11
[,][,][,]bababa121rrrr,,,,,,babbb ; rrr121,[,][,][,]bbbbbb112211rr,,
42. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
ABAB43. ?、与等价 经过初等变换得到; ,
,,PAQBP,、可逆; Q
AB,、同型; ,,rArB()()
T,,CACBAB?、与合同 ,其中可逆; TT,xAx 与有相同的正、负惯性指数; xBx,1AB,,PAPB?、与相似 ;
44. 相似一定合同、合同未必相似; TCACB,ABC若为正交矩阵,则,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); ,
AA45. 为对称阵,则为二次型矩阵;
T46. 元二次型为正定: nxAx
,A的正惯性指数为; nTCACE,EC,A与合同,即存在可逆矩阵,使;
,A的所有特征值均为正数;
,A的各阶顺序主子式均大于0;
,,,aA0,0 ;(必要条件) ii
6
范文四:自考线性代数
1 / 48
全国年月高等育自考试教学201010
试性代数试管试试试()
试程代试,04184
T*试明在本卷中表示矩试的试置矩试表示矩试的伴矩试随是试位矩试表示方试的行列式表示矩的秩A,AA,E,|A|A,r(A)A.:,A
一、试试试试试本大试共小试~每小试分共分(102,20)
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
T试试试矩试试1.A3,|A|=1,|-2A|=( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
1:,,,试矩试试2.A=,B=(1,1),AB=( ),,?1::
111:,:,,,,,A.0 B.(1,-1) C. D. ,,,,?1?1?1::::
试试试试矩试称试试反试矩试称试下列矩试中试反试矩试的是称3.An,Bn,( )A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12:,*-1,,试矩试的伴矩试随试4.AA=,A= ( ),,34::
4?31?21242:,:,:,:,1111,,,,,,,,????A. B. C. D. ,,,,,,,,?21?3434312222::::::::
不是下列矩试中初等矩试的是5.( )
101001100100:,:,:,:,,,,,,,,,010010030010A. B. C. D. ,,,,,,,,,,,,,,,,000100001201::::::::试均试试可逆矩试试必有6.A,Bn,( )
可逆 可逆 可逆 可逆A.A+BB.ABC.A-BD.AB+BA试向量试试 7.α=(1,2), α=(0,2),β=(4,2),( )12
试性无试 不能由试性表示A. α, α,βB. βα, α1212
可由试性表示但表示法不惟一 可由试性表示且表示法惟一C. βα,D. βα,, α, α1212
试试试试试矩试称的全部特征试试试试次试性方程试的基试解系所含解向量的试个数8.A3,A0,1,1,(E-A)x=0( )
A.0 B.1 C.2D.3
2x?x+x=0:123,x?x?x=0试试次试性方程试有非零解试试,( )9.λ,123,λx+x+x=0123:
A.-1 B.0 C.1 D.2
T试二次型正定试下列试试中正的是确10.f(x)=xAx,( )
T试任意试列向量都大于零 的试准形的系都大于或等于零数A.nx,xAxB.f
的特征试都大于零 的所有子式都大于零C.AD.A
二、空试填本大试共小试~每小试分~共分(10220)
试在每小试的空格中上正答案。试、不均无分。填确填填
01行列式的试试11._________.12
2 / 48
12:,,,已知试中第一行第二列元素的代余子式试数12.A=,|A|_________.,,23::
1?311:,:,3,,,,试矩试试13.A=,P=,AP=_________.,,,,?2401::::
-1试都是试矩试且试14.A,B3,|A|=2,B=-2E,|AB|=_________.
已知向量试试性相试试数15.α,=(1,2,3),α=(3,-1,2), α=(2,3,k),k=_________.123
13:,:,,,,,25,,,,α=,α+α=,已知试元试性方程试试试方程试的个解且试试试性方程试的通解是16.Ax=b4,r(A)=3, α, α, α3,_________.123113,,,,37,,,,,,,,49::::
11:,:,,,,,α=3,β=0,试试内(Pα,Pβ)=已知是试正交矩向量17.P3,_________.,,,,,,,,22::::
试是矩试的一特征试个试矩试必有一特征试试个18.2A,3A_________.
12:,,,与矩试相似的试角矩试试19.A=_________.,,03::
1?2:,T,,试矩试若二次型正定试试数的取试范试是20.A=,f=xAx,k_________.,,?2k::
三、试算试本大试共小试~每小试分~共分(6954)
0120
1012的试.求行列式21.D=2101
0210
0?10?1?20:,:,,,,,100,B=2?10,试矩试求试足矩试方程的矩试22.A=XA-B=2EX.,,,,,,,,001000::::
112?2:,:,:,:,,,,,,,,,α=1,α=?1,α=6,α=0若向量试的秩试求的试2,k.23.,,,,,,,,1234,,,,,,,,13?k?2k::::::::
2232:,:,,,,,A=1?10,b=1.试矩试24.,,,,,,,,?1210::::
-1求(1)A;
求解试性方程试并将用的列向量试试性表出(2)Ax=b,bA.
2已知试矩试的特征试试试求25.3A-1,1,2,B=A+2A-E,矩试的行列式及的秩(1)AA.
矩试的特征试及与相似的试角矩试(2)BB.
3 / 48
x=2y+2y+y:1123,x=2y?2y+y试可逆试性试试所得的试准形求二次型26.f(x,x,x)=- 4 xx+ 2xx+2xx.123121323,2123,x=2y33:
四、试明试本试分(6)
2试试矩试试足试明的特征试只能是27.nAA=E,A.?1
全国年月高等育自考试教学20107
试性代;试管试,试试数
试程代试,04184
T*试卷试明,在本卷中~表示矩试的试置矩试~表示的伴矩试~随表示矩试的秩~表示的行列式~表示试位AAAAr(A)A| A |AE
矩试。
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,10220
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
试试方试;~~,~其中;,试的列向量~若;~~,~试1.3A=ααααi=1,2,3A| B |=|ααα|=6| A |=( )+2α123i1223A.-12 B.-6 C.6 D.12
3 0 ?2 0
2 10 5 0试算行列式2.=( ) 0 0 ?2 0
?2 3 ?2 3
A.-180 B.-120 C.120 D.180
-1若试试方试且~试3.A3| A |=2| 2A |=( )
1A. B.2 C.4 D.82
试~~~都是试向量~试必有4.αααα3( )1234
~~~试性无试~~~试性相试A.ααααB.αααα12341234
可由~~试性表示不可由~~试性表示C.ααααD.αααα12341234
若试试方试~试次试性方程试的基试解系中解向量的试个数~试5.A6Ax=02r(A)=( )A.2 B.3 C.4 D.5
试、试同试方试~且~试6.ABr(A)=r(B)( )
与相似 与等价 与合同A.ABB.| A |=| B | C.ABD.AB试试试方试~其特征试分试试试7.A32,1,0| A+2E |=( )
A.0 B.2 C.3 D.24
试试若、相似~试下列试法的是8.AB( )
与等价 与合同 与有相同特征试A.ABB.ABC.| A |=| B | D.AB若向量;~,与~~正交~试9.α=1-2,1β=(23t)t=( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
试试试试矩试称的特征试分试试~试10.3A2,1,0( )
正定 半正定 试定 半试定A.AB.AC.AD.A
二、空试;本大试共填小试~每小试分~共分,试在每小试的空格中上正答案。试、不均无分。填确填填10220
3 ?2:,,,2 1 ?1,,0 1试~试AB=_________________.11.A=,B=,,,,0 ?1 0,,,,2 4::
4 / 48
-1试试试方试~且~试12.A3| A |=3| 3A |=______________.三元方程的通解是13.x+x+x=1_______________.123
试;~~,~试与反方向的试位向量是14.α=-122α_________________.试试试方试~且~试试性空试的试是数15.A5r(A)=3W={x | Ax=0}______________.
1-1试试试方试~特征试分试试~~~试16.A3-21| 5A |=______________.2
若、试试方试~且只有零解~且~试17.AB5Ax=0r(B)=3r(AB)=_________________.
2 ?1 0:,,,?1 0 1 试试矩试称所试试的二次型18.f (x, x, x)=________________.,,123,, 0 1 1::
1?1:,:,,,,,2 2试元非试次试性方程试有解~且~试的通解是19.3Ax=bα=α=r(A)=2Ax=b_______________.,,,,12,,,,3 3::::
1:,,,T2试~试的非零特征试是20.α=A=αα_______________.,,,,3::
三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
2 0 0 0 1
0 2 0 0 0 试算试行列式21.5D= 0 0 2 0 0
1 0 0 0 2
2 0 01 0 01 ?4 3:,:,:,,,,,,,0 ?1 00 0 12 0 ?1试矩试试足方程 求22.XX= X.,,,,,,,,,,,,0 0 20 1 01 ?2 0::::::
xxxx+?3?=1:1234,xxxx求非试次试性方程试 3??3+4=4的通解23..,1234,x+5x?9x?8x=01234:
求向量试;~,~~;~~,的秩和一大无试试个极24.α=1,2-1,4α=(9,100,10,4)α=-2-4,2-8.123
2 ?1 2:,,,T 5 a 3已知的一特征向量个;~,~求~及所试试的特征试~出试试于试特征试的全部特征向量并写个25.A=ξ =1,1-1abξ.,,,,?1 b ?2::
?2 1 1 ?2:,,, 1 ?2 1 a试~试定确使26.A=ar(A)=2.,,,, 1 1 ?2 2::
四、试明试;本大试共小试~分,16
若~~是的试性无试解~试明~是试试试次试性方程试的试性无试解27.αααAx=b(b?0)α-αα-αAx=0.1232l3l
全国年月高等育自考试教学20104
试性代;试管试,试试数
试程代试,04184
5 / 48
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,20120
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
aabbbb121212已知试行列式试; ,1.2=m ,=n ,=bbcca+ca+c12121122
;,A.m-n B.n-m C.m+n D.-m+n
试均试试方试~~~试; ,2.A , B , CnAB=BAAC=CAABC=
A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA
试试试方试~试试方试且行列式~~试行列式之试试; ,3.A3B4,|A|=1|B|=-2||B|A|
A.-8 B.-2 C.2 D.8
:,:,100100aaaa3aa:,:,111213111213,,,,,,,,,,,,030310已知aaa~a3aa~~~试; ,4.A=B=P=Q=B=,,,,212223212223,,,,,,,,,,,,aaaa3aa001001313233313233::::::::
A.PA B.AP C.QA D.AQ
已知是一个矩试~下列命试中正的是; ,确5.A3×4
若矩试中所有试子式都试~试秩;,若中存在试子式不试~试秩;,A.A30A=2 B.A20A=2若秩;,~试中所有试子式都试若秩;,~试中所有试子式都不试C.A=2A30 D.A=2A20
试试下列命试中的是; ,6.
只含有一零向量的向量试试性相试个由个试向量试成的向量试试性相试A.B.32
由一非零向量试成的向量试试性相试个两个成比例的向量试成的向量试试性相试C.D.
已知向量试试性无试~~试性相试~试; ,7.α,α,αα,α,αβ123123
必能由~试性表出 必能由~试性表出 必能由~试性表出 必能由试性表出A.ααβB.ααβC.ααβD.βα,α,α,α,α,α123213312123
试试矩试~试试次试性方程试只有零解的充分必要件是条的秩; ,8.Am×nm?n,Ax=0A
小于等于小于等于A.m B.m C.n D.n
试试可逆矩试~试与必有相同特征试的矩试试; ,9.AA
T2 -1*A.A B.AC.A D.A
222二次型;,的正试性指试; ,数10.fx,x,x=x+x+x+2xx12312312
A.0 B.1 C.2 D.3
二、空试;本大试共填小试~每小试分~共分,试在每小试的空格中上正答案。试、不均无分。填确填填10220
20072008行列式的试试_________________________.11.20092010
:,:,1?1320,,T,,试矩试试12.A=,B=,AB=____________________________.,,,,01201::::
TTα=α+试试向量;,~若向量试足;,~试13.43,-1,0,2γ2,β=3,1,-1,4γ=3βγ=__________.
1-1试试试可逆矩试~且?试14.An|A|=,|A|=___________________________.n
试试试矩试~试试非零矩试~若的每一列向量都是试次试性方程试个的解~试15.AnBnBAx=0|A|=__________________.
x+x+x=0:123试次试性方程试的基试解系所含解向量的试个数________________. 16.,xxx2?+3=0123:
?11:,2试试可逆矩试的一特征试是个~试矩试必有一特征试试个17.nA-3_____________.A,,3::
6 / 48
:,
?1?22,,
,,
,,的特征试试~~~试数试矩试18.A=41-2x=________________________.?2x0
,,
,,
?200,,
::
1:,
a0,,
2,,
,,
1,,已知是正交矩试~试。19.A=a+b=_______________________________b0
,,2
,,
,,001
,,
::
二次型;,的矩试是。20.fx=-4x_______________________________, x, xx+2xx+6xx123121323
三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
abc
222试算行列式的试。21.D=abc
333+a+abbc+c
T2已知矩试;~~,~;~~,~求;,~;,。22.B=213C=1231A=BC2A
TTTT试向量试求向量试的秩及一大试性无试试~用试大试性个极并极23.α=(2,1,3,1),α=(1,2,0,1),α=(-1,1,-3,0),α=(1,1,1,1),1234
无试试表示向量试中的其余向量。
7 / 48
:,:,123?14,,,,
,,,,
,,,,-1~~;,解矩试方程。已知矩试;,求24.A=B=.1A2AX=B25012,,,,
,,,,
13?,,,,001,,,,
::::
:x2x+3x+4=123,
,试试何试试~试性方程试有惟一解,有无试多解,在有解试求出其解;在有无试多解试~要求用一特解和试出试并个25.a2xax+2=,23
,
,++=2x2x3x6123:
的基试解系表示全部解,。
:,:,
200100,,,,,,,,,,,,-1试矩试的三特征试分试试个~~~求正的常数的试及可逆矩试~使。26.A=125aPPAP=03a020,,,,,,,,
0a3005,,,,::::
四、试明试;本试分,6
-1-1-1试~~均试试正交矩试~试明;,。27.ABA+BnA+B=A+B
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全国2010年1月高等育自考试教学
《试性代;试管试,》试试及答案数
试程代试,04184
试试部分
TT-1试明,本卷中~表示矩试的试置~表示向量的试置~表示试位矩试~表示方试的行列式~表示方试AAααE|A|AAA
的逆矩试~;,表示矩试的秩rAA.
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,10230
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。 个个将填写号内
2x2y2zxyz
44031,试行列式01==试行列式; ,1.3111111
2
A.B.138
C.2D.3
-1试~~试同试可逆方试~试;,; ,2.ABCABC=
-1-1-1-1-1-1A. ABCB. CBA
-1-1-1-1-1-1C. CABD. ACB试~~~是试列向量~矩试;~~~,如果~试; ,3.αααα4A=αααα.|A|=2|-2A|=12341234A.-32B.-4
C.4D.32
试~~~是三试试向量~试; ,4.αααα 1234
~~~一定试性无试一定可由~~试性表出αααB. ααααA. α12341234
~~~一定试性相试~~一定试性无试αααD. αααC. α1234123向量试;~~,~;~~,~;~~,的秩试; ,5.α=100α=110α=111123
A.1B.2
C.3D.4
试是矩试~;,~试试次试性方程试的基试解系中所含向量的是; ,个数6.A4×6rA=2Ax=0
A.1B.2
C.3D.4
试是矩试~已知只有零解~试以下试试正的是; ,确7.Am×nAx=0
;其中是试试向量,必有唯一解A.m?nB.Ax=bbm;,存在基试解系C.rA=mD.Ax=0?,,452,,?573,,试矩试~试以下向量中是的特征向量的是; ,8.A=A
,,694?,,
TT;~~,;~~,A.111B.113
TT;~~,;~~,C.110D.10-3
9 / 48?,,
111,,?131,,的三特征试分试试个~~~试试矩试; ,9.A=λλλλ+λ+λ= 123123
,,111,,
A.4B.5
C.6D.7
222三元二次型;~~,的矩试试; ,10.f xxx=x+4xx+6xx+4x+12xx+9x123112132233,,,,123143,,,,246046,,,,A.B.
,,,,369369,,,,,,,,123126,,,,
240246,,,,C.D.
,,,,0693129,,,,二、空试;本大试共填小试~每小试分~共分,10220试在每小试的空格中上正答案。试、不均无分。填确填填123
459行列式11.=_________.
6713,,
5200,,
2100,,
-1,,试~试12.A=A=_________.0021
,,0011,,
32-1试方试试足~试;,13.AA-2A+E=0A-2E=_________.试向量空试数;,的试是数14.V={x|x,x,x+x+x=0}_________.123123
试~是非试次试性方程试的解试;,15.ααAx=b.A5α=_________.-4α1221
T试是试矩试~若;,~试;,16.Am×nrAA=5rA=_________.
a11x1,,,,,,1,,,,,,1a1x1=试试性方程试有无试多解~试个a=_________.17.2,,,,,,
,,,,,,11ax?23,,,,,,
试试矩试有一特征试个~试18.nA3|-3E+A|=_________.试向量;~~,~;~~,~且与正交~试19.α=12-2β=2a3αβa=_________.
22二次型的秩试20._________.f(x,x,x)=4x?3x+4xx?4xx+8xx12323121323
2345三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
3456
4567,试算试行列式214D=.
5678?,,231,,?452-1,,试~判断是否可逆~若可逆~求其逆矩试22.A=AA.
,,573?,,
10 / 48
T101试向量;~,~求;,23.α=32αα.
试向量试;~~~,~;~~~,~;~~~,~;~~~,24.α=1236α=1-124α=-11-2-8α=1232.1234;,求试向量试的一大试性无试试~个极1
;,其余向量表示试试大试性无试试的试性试合将极2.
x+x?2x=0:124,4x?x?x?x=0求试次试性方程试的基试解系及其通解25..,1234
,3x?x?x=0123:?,,322,,?010-1,,试矩试~求可逆方试~使试试角矩试26.A=PPAP.
,,423?,,
四、试明试;本大试分,6
已知向量试~~试性无试~试明,~~~试性无试27.ααααααα.,α+α+α+α-α123412233441
答案部分
11 / 48
12 / 48
第2527—试 答案试缺
13 / 48
年月自考试性代;试管试,试年试卷考答案数参20104
14 / 48
15 / 48
16 / 48
年月全自考试性代;试管试,考答案国数参201010
17 / 48
18 / 48
19 / 48
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全国2011年4月高等育自考试教学
试性代;试管试,试试数
试程代试,04184
T*试明,表示矩试的试置矩试~表示矩试的伴矩试~随是试位矩试~表示方试的行列式AAAAE|A|A.
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,10220
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
,下列等式中~正的是; ,确1
,,AB3=,,C5D
,下列矩试中~是初等矩试的试; ,2
,,AB
,,CD
-1,试、均试试可逆矩试~且~试是; ,3ABnC=C
,,AB
,,CD
**,试试试矩试~的秩~试矩试的秩; ,4A3Ar (A)=3Ar (A)=,,A0B1,,C2D3,试向量~若有常数使~试; ,5a,b,,Aa=-1, b=-2Ba=-1, b=2,,Ca=1, b=-2Da=1, b=2,向量试的大试性无试试试; ,极6
,,AB
,,CD
21 / 48
,试矩试~那试矩试的列向量试的秩试; ,7A=A
,,A3B2
,,C1D0
,试是可逆矩试的一特征试~试矩试个有一特征试等于; ,个8A
,,AB
,,CD
,试矩试~试的试试于特征试的特征向量试; ,9A=A
TT,;~~,,;~~,A000B02-1
TT,;~~,,;~~,C10-1D011
22,二次型的矩试试; ,10f(x,x,x)=2x?xx+x1231122
,,AB
,,CD
二、空试;本大试共填小试~每小试分~共分,10220
试在每小试的空格中上正答案。试、不均无分。填确填填
,行列式11__________.
3040
1111
?
0100,行列式中第行各元素的代余子式之和试数4__________.12
53?22
,试矩试~;~~,~试13A=B=123BA=__________.
13,试试方试的行列式~试143A|A|=|A|=__________.2
-1-122,试~试试方试~且~~试15ABnAB=EAB=BA=EA+B=__________.,已知试向量;~~,~;~~,试163=1-3310-1+3=__________.,试向量;~~~,~试的试位化向量试17=1234__________.,试试矩试的各行元素之和均试~且的秩试~试试次试性方程试的通解试18nA0An-1Ax=0__________.
22 / 48
111-1,,~试行列式,试试矩试与相似~若的特征试试193ABA|B|=__________.234
,试是正定矩试~试的取试范试试20A=a__________.三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
,已知矩试~~21A=B=
T求,;,~1AB
T;,2|AB|.
,试~~~且试足~求矩试22A=B=C=AXB=CX.
TTTT,求向量试;,~;,~;,~;,的秩一大试性无试试与个极23=1, 2, 1, 0=1, 1, 1, 2=3, 4, 3, 4=4, 5, 6, 4.
?+?=xx3xx1:1234
,,判试性方程试断是否有解~有解试求出的解它.24??+=2xxx4x2,1234
,?+=?x4x5x1134:
T,已知试矩试的特征试试~~试试的特征向量依次试;~,~252A=1=9=-11
T ;~,~求矩试=71A.
,已知矩试相似于试角矩试~求行列式的试26AΛ=|A-E|.四、试明试;本大试共分,6
,试试试试矩试~称试试反试矩试称试明,27AnBn.
;,试试矩试~称1AB-BA
;,试反试矩试称2AB+BA.
23 / 48
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全国2012年1月自考《》试试试性代数试管试()
试程代试,04184
-1T试明,本卷中~A表示方试A的逆矩试~r(A)表示矩试A的秩~||表示向量的试度~表示向量的试置~E表示试位||
矩试~A|表示方试A的行列式.|
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,10220
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
1,试行列式=2~试=; ,A,B,?6?3
C,D,36
2,试矩试A~X试同试方试~且A可逆~若A;X-E,E~试矩试X=; ,=
-1A,E+AB,E-A
-1C,E+AD,E-A
3,试矩试A~B均试可逆方试~试以下试试正的是; ,确
A,可逆~且其逆试B,不可逆C,可逆~且其逆试D,可逆~且其逆试4,试~~…~是n试列向量~试~~…~试性无试的充分必要件是条12k12k
; ,
A,向量试~~…~中任意向量试性无试两个12k
B,存在一试不全试的数l~l~…~l~使得l+l+…l?00+12k1122kkC,向量试~~…~中存在一向量不能由其余向量试性表示个12k
D,向量试~~…~中任意一向量都不能由其余向量试性表示个12k
5,已知向量试=; ,
TTA,;~~~,B,;~~~,0?2?11?20?11
TTC,;~~~,D,;~~~,1?1?202?6?5?1
6,试向量空试数V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的试是; ,数
A,B,12
C,D,34
7,试是非试次试性方程试Ax=b的解~是其试出试Ax=0的解~试以下试试正的是确
; ,
A,+是Ax=0的解B,+是Ax=b的解
C,-是Ax=b的解D,-是Ax=0的解
26 / 48
-18,试三试方试的特征试分试试~试的特征试试; ,AA
A,B,
C,D,2,4,3
9,试矩试=~试矩试与相似的矩试是; ,AA
A,B,
C,D,
10,以下试于正定矩试述正的是; ,叙确
A,正定矩试的乘试一定是正定矩试B,正定矩试的行列式一定小于零C,正定矩试的行列式一定大于零D,正定矩试的差一定是正定矩试
二、空试填;本大试共小试~每空分~共分,10220
试在每小试的空格中上正答案~试、不均无分。填确填填
311,试A)=-1~B)=2~且A~B试同试方试~试AB))=__________,det?(det?((det?(
12,试试矩试A=~B试试非零矩试~且AB=0~试t=__________,33
k-113,试方试A试足A=E~试里k试正整~试矩试数A的逆A=__________,
n14,试向量空试R的试是数,__________
15,试A是m×n矩试~r (A)=r,试Ax=0的基试解系中含解向量的试个数,__________16,非试次试性方程试Ax=b有解的充分必要件是条,__________17,试是试次试性方程试Ax=0的解~而是非试次试性方程试Ax=b的解~试=__________,
18,试方试A有一特征试试个~试;-8E+A,,8det=__________19,试P试n试正交矩试~x是n试试位试的列向量~试Px||=__________,||
20,二次型的正试性指是数,__________
三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
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21,试算行列式,
-1-1-122,试矩试=~且矩试试足=4+~求矩试,ABABAABAB23,试向量试求其一大试性无试试~其余向量通个极并将
试大试性无试试表示出,极来
24,试三试矩试A=~求矩试A的特征试和特征向量,
25,求下列试次试性方程试的通解,
26,求矩试A=的秩,
四、试明试;本大试共小试~分,16
27,试三试矩试A=的行列式不等于~试明,0
试性无试,
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全国2012年10月自考《》试试试性代数试管试()
试程代试,04184
-1Tαααα试明,本卷中~表示方试的逆矩试~表示矩试的秩~表示向量的试度~表示向量的试置~表示试位矩试~AAr(A)A||||E|
表示方试的行列式.A|A
一、试试试试试;本大试共小试~每小试分~共分,10220
在每小试列出的四试试试中只有一是符合试目要求的~试其代试在试后的括。试试、多试或未试均无分。个个将填写号内
32 / 48
aaa333aaa111213111213
aaa???aaa~试; ,,试行列式1=2=212223313233
aaaaaaaaa???313233213122322333
,,A-6B-3,,C3D6
,试矩试~试同试方试~且可逆~若;,~试矩试; ,2AXAAX-E=EX=
-1,,AE+ABE-A
-1,,CE+ADE-A,试矩试~均试可逆方试~试以下试试正的是; ,确3AB
-1AA A,可逆~且其逆试,不可逆AB -1BBB
-1-1AA BA,可逆~且其逆试,可逆~且其逆试CD -1-1BBAB
αααααα,试~~…~是试列向量~试~~…~试性无试的充分必要件是条n412k12k
; ,
ααα,向量试~~…~中任意向量试性无试两个A12k
ααα,存在一试不全试的数~~…~~使得B0llll+l+…+l?012k1122kk
ααα,向量试~~…~中存在一向量不能由其余向量试性表示个C12k
ααα,向量试~~…~中任意一向量都不能由其余向量试性表示个D12k
TTαβ+,已知向量试; ,52(1,2,2,1),32(1,4,3,0),αβαβ+=???+=??=
TT,;~~~,,;~~~,A0-2-11B-20-11
TT,;~~~,,;~~~,C1-1-20D2-6-5-1,试向量空试数的试是; ,数6V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}
,,A1B2
,,C3D4
αβ,试是非试次试性方程试的解~是其试出试的解~试以下试试正的是确7Ax=bAx=0
; ,
ααββ,是的解,是的解Ax=0BAx=bA++
ααββ,-是的解,-是的解Ax=bDAx=0C
11-1,,3,试三试方试的特征试分试试~试的特征试试; ,8AA24
11112,4,,,,,AB324311,,3,,CD2,4,324
1
2,试矩试~试矩试与相似的矩试是; ,9A=A
?1
11?01?1210,,AB
32
33 / 48
?21
1?2,,CD
11,以下试于正定矩试述正的是; ,叙确10
,正定矩试的乘试一定是正定矩试,正定矩试的行列式一定小于零AB
,正定矩试的行列式一定大于零,正定矩试的差一定是正定矩试CD
二、空试填;本大试共小试~每空分~共分,10220
试在每小试的空格中上正答案~试、不均无分。填确填填
3,试~~且~试同试方试~试,11det (A)=-1det (B)=2ABdet ((AB))=__________
122?
43t,试试矩试~试试非零矩试~且~试,123A=B3AB=0t=__________
311?
k-1,试方试试足~试里试正整~试矩试数的逆,13AA=EkAA=__________
n,试向量空试的试是数,__________14R
,试是矩试~试的基试解系中含解向量的试个数,15Am×nr (A)=r,Ax=0__________,非试次试性方程试有解的充分必要件是条,16Ax=b__________
αβαβA(32)+,试是试次试性方程试的解~而是非试次试性方程试的解~试,17Ax=0Ax=b=__________
,试方试有一特征试试个~试;-,,18A8det8E+A=__________,试试试正交矩试~是试试位试的列向量~试,19Pnxn||Px||=__________
222,二次型的正试性指是数,20fxxxxxxxxxxxx(,,)56422=+++??__________123123121323
三、试算试;本大试共小试~每小试分~共分,6954
1112?
???1141,试算行列式,212461?
1242
2
-1-1-13,试矩试~且矩试试足~求矩试,22A=BABAB=4A+BA
5
αααα===?=(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),,试向量试求其一大试性无试试~其余向量通试大试性无试试表个极并将极231234
示出,来
?143
?253,试三试矩试~求矩试的特征试和特征向量,24A=A
242??
,求下列试次试性方程试的通解,25
xxx+?=50 134 230xxx+?= 124 xxxx+?+=201234
34 / 48
22420??
30611?,求矩试的秩,26A=03001
11210?
四、试明试;本大试共小试~分,16
aaa111213
aaa,试三试矩试的行列式不等于~试明,27A=0212223
aaa313233
aaa 131112 ===aaa,,ααα试性无试,121222323 aaa 313233
全国年月自考《试性代数试管试》答案201210()
35 / 48
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全国2013年1月高等育自考试试性代;试管试,试试答案教学数
一、试试试试试;本大试共10小试~每小试2分~共20分,
,试试同试方试~试必有; ,1,D AB
TTT|A+B|=|A|+|B||AB|=|BA|,,,,ABC(AB)=ABDAB=BA
|AB|=|A||B|=|BA|,
n,试试方试试足~试必有; ,2C ,,CABC=EAB
,,,,ABCDACB=ECBA=EBCA=EBAC=E
?1?1??,ABC=EBC=ABCA=AA=E
|A|=2|?2A|=,试试三试方试~且~试; ,3A A
,,,,ABC4D16?16?4
3,|?2A|=(?2)|A|=?8|A|=?16
,若同试方试与等价~试必有; ,4C AB
nn
R(A)=R(B)|A|=|B|,,与相似,,a=bABCDAB??iiii=1=1ii
α=(1,0,0)α=(2,0,0)α=(1,1,0)~试; ,,试C 5,,123
αααααα,试性无试,可由试性表示AB,,,123312
αααααα,可由试性表示,的秩等于CD3,,,123123
1ααα~可由,试性表示,α=α+0α1231232
βαα,试是非试次方程试的解~是试试试次方程试的解~试一定有一解是个; ,6D ,Ax=bAx=b12
12β+α+αα?αα+αα?β,,,,α+ABCD1212122133
12121212:,Aα+α?β=Aα+Aα?Aβ=b+b?0=bα?β~是的解,α+Ax=b,,12122133333333::
38 / 48
,,200,,Λ=000试试,,与试角试相似~试下列试法的是; ,,若试方试73B A
,,003,,
|A|=0|A+E|=0,,AB
R(A)=2有三试性无试特征向量个,,CDA
|A+E|=00,2,3已知的特征试是,若~试是的特征试~矛盾,A?1A
x+x?x=0,试次方程的基试解系所含向量是个数; ,8C 123
,,,,A0B1C2D3
,n?r=3?1=2
α=(1,1,t)β=(1,1,1),若与正交~试; ,t=9A ,,,,ABC0D1?2?1
内试~,2+t=0t=?2
,,21A=,试矩试称是; ,10,,12,,
,试定矩试,正定矩试,半正定矩试,不定矩试ABCD
21D==3>0D=2>0~~是正定矩试,A2112
二、空试;本大试共填10小试~每小试2分~共20分,
?12|A|=2,试均试三试可逆方试~且~试,|?2BAB|=11,____________AB
?123?12?1222,|?2BAB|=(?2)|B||A||B|=?8|B||A||B|=?8|A|=?8×2=?32
aaaa,四试行列式中试的符试号,____________1221321344
aaaa行试按自然试序排列试数~列试的逆序试数~符试正,号本试超出材范试,教213213244
?,,11?A=,试~试的伴试随,13____________AA=,,12?,,
,,21?A=,,,11,,,,121,,=A023,,R(A)=2,试~且~试,t=14____________
,,10t,,
,,,,121121,,,,=?A023023R(A)=2,,,,~~试,t=1,,,,10t00t1?,,,,
|A|=3|B|=A=[α,α,α]αB=[α,α+α,α+α+α],试三试方试~其中试的列向量~且~若~试15________A123i112123
,____
39 / 48
|B||A|=3=,
xx0+=:13,三元方程试的通解是,16____________,
xx0?=12:
?:,xx=?:1,,13
,,,,,,101101101?,,,k1A=??~~通解是~是任意常数,kxx=?,,,,,,,23110011011???,,,,,,,,1::,xx=33:
,,21A=,试~试的特征试是,17____________A,,14?,,
λ??2122|λE?A|==λ?6λ+9=(λ?3)3,3~的特征试是,A14λ?
|A+2E|=1,2,3,若三试矩试的特征试分试试~试,18____________A
|A+2E|=3×4×5=603,4,5的特征试分试试~,A+2E,,,,200200,,,,==B010A001,,,,x=,若与相似~试,19____________
,,,,01x001?,,,,
tr(A)=tr(B)与相似~试~即~,2+0+x=2+1?1x=0AB
?,,11A=,试试矩试称的正交相似试准形矩试是,20____________,,11?,,
,,λ?0011|λE?A|==λ(λ?2)0,2~的特征试是~的正交相似试准形矩试是,AA,,0211λ?,,三、试算试;本大试共6小试~每小试9分~共54分,1234?
1234
??,试算四试行列式,211234
?1?2?34
12341234?12340468==1×4×6×8=192解,,12340068??
12340008
,,???215,,=?A0422,,,试~是三试方试~且试足~求,22BBAB?A=B?E
,,431?,,
115115?32|A?E|=03?2=03?2==?74?0解,因试~所以可逆~A?E720??4300720???
40 / 48
,,315,,+=?AE05222(A?E)B=(A?E)(A+E),,由~得~~,B=AB?A=B?EAB?B=A?E
,,432?,,
α=(1,1,2,3)α=(1,?1,1,1)α=(1,3,3,5)α=(4,?2,5,6)α=(?3,?1,?5,?7),试~试求向量试23,,,,12345α,α,α,α,α的秩和一大无试试,个极12345
??,,,,1114311143,,,,?????1132102262,,,,=?TTTTT[,,,,]ααααα解,12345,,,,???2135501131
,,,,3156702262???,,,,??,,,,?,,111431021211143,,,,,,??????011310113102262,,,,,,???~,,,,,,000000000000000
,,,,,,000000000000000,,,,,,
α,α向量试的秩是~是向量试的一大无试试,个极212
xxx3?x23++=:1234
,,试四元方程试~试取何试试试方程试有解,在有解试求其通解,并t24x2xx2x?2+?=,1234
,xx2x7?x7t++=1234:
???,,,,,,113231132311323,,,,,,=??????????[A,b]212120145401454,,,,,,解,~
,,,,,,1277t0145t30000t7????,,,,,,
R(A,b)=R(A)=2试~~试方程试有解~此试t=7
x1=x?3x++:134????,,,,1013111323,,,,,x44=x?5x++,????????2340145401454,,,,[A,b]~~,,,,,0000000000xx=,,,,33,
,x=x44:
?:,:,:,113,,,,,,
?,,,,,,445++,,,,,,kkk,k试方程试通解试~是任意常,数1212010,,,,,,,,,,,,001::::::
41 / 48
???,,,,1014?15DP==~~矩试由矩试方程确定~试求,,试矩试25APAP=DA,,,,1102,,,,
??,,,,1414111?1??1==?=PP解,~~A=PDP,,,,||311311P??,,,,
?????5,,,,,,14101415?1?1?1?1?15?1=A=(PDP)(PDP)(PDP)(PDP)(PDP)=PDP,,,,,,3110211,,,,,,??????????,,,,,,,,,,,,141014112814129132111===,,,,,,,,,,,,,1103211313211333373?,,,,,,,,,,,,
f(x,x,x)=?2xx+2xx+2xx,求正交试试~化二次型试试准形,26X=PY123121323
?,,011,,=?A101,,解,二次型的矩试试~
,,110,,
λ?λ?λ?λ?11111121
||1111(1)11(1)111λE?A=λ?=λ?=λ?λ?=λ?λ+?
11011011001
??λλ?λ?λ222=(λ?1)=(λ?1)(λ+λ?2)=(λ+2)(λ?1)λ=λ=1λ=?2~的特征试试~,A12311λ+
(λE?A)x=0λ=λ=1试于~解试次试性方程试,12
??,,,,?xx=x?+:,:111111123:,11,,,,,,,,,?=??=EA111000=1,,0,,,,,,λαα~~~~12xx=,22,,,,,,,,11100001??,,,,::::,x=x33:
?:,?:,:,:,1111/2,,,,,,,,?(,)1αβ=21=?=?=1,,011/2,,,,,,αβαββ=正交化,~~1221122||||β,,,,,,,,10101::::::::
?:,:,:,11/21,,,,,,11121=====1,,1/21,,,,pβpβ试位化,~~1122||||||||266λ?ββ,,,,,,21012::::::
11λ?
11(λE?A)x=0λ=?2试于~解试次试性方程试,3
?1?1λ
42 / 48
??xx=?,,,,?::,132111011,,,,,,,?=???=?EA1210111,,λα~~~,,,,3xx=?,23,,,,,,1120001???,,,,::,xx=33:
?:,1,,11==?1,,pα试位化,,33||||3α,,31::
,,,,??1001/21/61/3,,,,=T=?PAP010P1/21/61/3,,,,令~试是正交矩试~使得~P
,,,,02/61/3002?,,,,
222试试正交试试~二次型化试试准形,f=y+y?2yX=PY123四、试明试;本试6分,
,试明任意个试向量试试性相试,2743
i=1,2,3,4α=(a,a,a)试,试是任意的试向量~,3ii1i2i3
kα+kα+kα+kα=0令~即11223344
k(a,a,a)+k(a,a,a)+k(a,a,a)+k(a,a,a)=0~1111213221222333132334414243akakak+ak0++=:111212313414
,得试次试性方程试~akakak+ak0++=,121222323424
,akakak+ak0++=131232333434:
α,α,α,α方程小于未知量~试次试性方程试有非零解~个数个数试性相试,1234
全国2013年4月高等育自考试试性代;试管试,试试答案教学数一、试试试试试;本大试共5小试~每小试2分~共10分,
aaa111213
aaa212223a,行列式中的代余子式试数; ,1C 22
aaa313233
aaaaaaaa1113222311132122??,,,,ABCDaaaaaaaa3233313331333132
22n,试均试试方试~的充分必要件是条; ,2,(A+B)(A?B)=A?BD AB
,,,,ABCDB=OA=EA=BAB=BA
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2222?,(A+B)(A?B)=A+BA?AB?B=A?BAB=BA
ααα,试向量试试性无试~试下列向量试中试性无试的是; ,3,,A 123
ααα+αα?αα?αα?α,,A,,B,,1213122331αα2α?3αα2α2α+α,,C,,D,,12122323
100
010=1?0ααα+αααα+α,,试试的行列式试~,,试性无试,12131213
101
2xxx0??=:234
,,元试次试性方程试的基试解系所含解向量的试个数; ,44B xxx+0+=,123
,x3x+x0?=124:
,,,,A1B2C3D4??:,:,:,:,0211111011101110,,,,,,,,
=?????????A,1110,,0211,,0211,,0211,~
,,,,,,,,1301130102110000????::::::::,n?r=4?2=2
2,试是试矩试的一特征试~试个必有一特征试试个; ,3C 5?2AA
,,,,ABC4D8?8?4
22是的特征试~试是的特征试,(?2)=4?2AA
二、空试;本大试共填10小试~每小试2分~共20分,
abc+a2bcc1111111
abca2bcc222=3+=2222,已知行列式~试,6____________
abca2bcc3333333+
+abccabc21111111
abccabc2+=2=2×3=62222222,
abccabc23333333+
?|A|<>
2?|A|<>
:,111,,
=A022,,T,试矩试~试,8____________AA=,,003::
:,:,:,100111111,,,,,,
=,,,,,,120022155T,AA=,,,,,,1230031514::::::
α=(1,?2,5)α=(4,7,?2)?2α+3α=,试~~试,9____________1212
44 / 48
?2α+3α=?2(1,?2,5)+3(4,7,?2)=(10,25,?16),12
x2x0+=:12,元试次试性方程试的一基试解系试个,103____________,
x0=3:
?:,x2=x?:212,,:,120,,,1,,=A~~试试次方程试的一基试解系试个,x=x,,,22001,,::0::,x0=3:
?1r(A)=2r(B)=,试试试矩试~~若存在可逆矩试~使~试,113____________APPAP=B
r(B)=r(A)=2矩试与等价~所以,AB
α=(1,2,?1,1)α=(2,0,t,0)α=(?1,2?4,1),已知向量试~~的秩试~试数,t=122____________123α12?1112?1112?11:,:,:,:,1,,,,,,,,α=20t0?0?4t+2?2?0?4t+2?2~向量试的秩试2~,,,,,,,,2
,,,,,,,,α?12?4104?5200t?303::::::::
,t=3
|A|=,试试试矩试~是的一个重特征试~试的一特征试~试它另个,13322____________AA?1
|A|=2×2×(?1)=?4,
α=(1,2,?1)α=(3,2,1)(α,α)=,试向量~~试试内,14____________1212(α,α)=1×3+2×2+(?1)×1=6,12:,100,,
=?A022,,T,试矩试~试二次型,15____________xAx=,,020?::
22T,xAx=x+2x?4xx1223
三、试算试;本大试共7小试~每小试9分~共63分,100a?
=110bD?a,b,c,d,试算行列式~其中试常,数16011c
00?1d
100a100a100a?++
===110b010ab010abD??++解,011c011c001abc
00?1d00?1d00?1d
100a+
=010ab
++,=a+b+c+d001abc
000a+b+c+d
45 / 48
?:,111,,?:,211,,=X022,,~求矩试,,已知17X,,401?::,,010?::
?:,111,,?:,211=,,A022,,=B解,试~~试~XA=B,,401?,,::010?::
???:,:,:,111100111100111100,,,,,,=????(A,E)022010010001010001,,,,,,
,,,,,,010001022010002012?::::::
?:,:,:,220212222200200214,,,,,,
??????010001010001,,,,010001,,,,,,,,002012002012002012::::::
:,:,21410011/22,,,,1=????1,,002010001,,A~~2,,,,00101/21012::::
:,214,,?:,:,:,21141421/2211,,,,,,?==?1002,,,X=BA,,,,,,24012831443/27?::::::,,012::
AQ=C,试试试矩试~将的第列第与列互试得到矩试~再将的第列加到第列得到矩试~求试足试系式1831223CAABB
Q的矩试,
:,100100:,:,:,100100,,,,,,,,001011001011A=BB=CA=C解,由试意有~~所以~,,,,,,,,
010001010001,,,,,,,,
::::::::
:,:,:,100100100,,,,,,
==Q001011001,,,,,,AQ=C试足试系式的矩试,
,,,,,,010001011::::::
:,?:,:,:,023,,1,,,,,,?,,?,,,,1,,103====,,,,,,,,αααααα,α,α,试向量试~~~~判定是否可以由试性表出~若可以~求出19123441234022,,,,,,,,,,,,,,,,3419?::::::::
其表示式,
46 / 48
?2x?x3x+0+=:,:,:,:,:1230213,,,,,,,,,??,,,,,,,,1130x3x?1=?,=++12,,,,,,,,xxxα=xα+xα+xα解,试~即~得~12341122334022,,,,,,,,,2x2x4+=,,,,,,,,23,9341?::::::::
,3x4x+x9?=123:?:,??:,????:,:,,,2130,,130113011301,,,,??,,,,,,,,1301022401120112=???(A,b),,,,,,,,???0224213005320088,,,,,,,,,,,,,,,,34193419013112001414?????::::::::
????:,:,:,130113011002,,,,,,x2=:1,,,,,,010101120101???,,,,,,,~~x1=001100110011,2,,,,,,,,,,,,000000000000,::::::x1=3:αα,α,αα=2α+α+α可以由试性表出~,41234123
xxa?=:12
,xx2a?=,23a,已知元试性方程试~;,定确的试~使~;,在有解试~求出其通解;要求用的一特解和试出试它个20412,
xx3a?=34,
,x?x1+=14:
的基试解系表示,,???:,:,:,
,,,,,,1100a1100a1100a
???,,,,,,01102a01102a01102a=??(A,b),,,,,,解,;,1???00113a00113a00113a,,,,,,,,,,,,100110101a100113a1?+??+::::::?:,
,,1100a
?,,01102a?1,,r(A,b)=r(A)=3~试~~方程试有解~a=??00113a6,,,,00006a1+::??:,??:,,,11001/611001/6,,????,,,,01101/301015/6??(A,b),,,,;,有解试~2????00111/200111/2,,,,,,,,0000000000::::
47 / 48
x=1?x+:14??:,?:,:,,10011,,11,,,,5,???x=?x+,,,,,,2401015/65/61?+,6k,,,,,,~~通解试~试任意常,数k???,00111/21/21,,,,,,1,,,,,,,0000001x=?x+34::::::,2
,x=x44:
22x=Pyf,求正交试试~二次型将化试试准形~指出并是否试正定二次型,21f(x,x)=3x?2xx+3x121122
?:,31,,=A解,二次型的矩试试~,,13?::
λ?312|λE?A|==λ?6λ+8=(λ?2)(λ?4)λ=2λ=4~的特征试试~,A1213λ?
(λE?A)x=0λ=2试于~解试次试性方程试,1
xx=:??:,:,:,11111:,11211,,,,,,=?=?,,EA==λαpα~~~试位化,~111,,,,,,,,,11001||||12?α1::::::::xx=22:
(λE?A)x=0λ=4试于~解试次试性方程试,2
xx=?:?:,:,:,11111?121:,11,,,,,,?=?=EA,,==λαpα~~~试位化,,222,,,,,,,,,110011||||2α2::::::::xx=22:
:,:,?201/21/2T,,=,,P=PAPx=Py令~试是正交矩试~使得~试试正交试试~二次型化试试准形P,,,,041/21/2::::
22,f=2y+4y12
f因试的特征试均大于零~所以是正定二次型,A
:,100,,
=A010,,,求矩试的特征试~判定并能否试角矩试相似;需试明理由,,与22A,,021::
λ?100
3|λE?A|=0λ?10=(λ?1)λ=λ=λ=1解,~的特征试试,A123
021?λ?
48 / 48
:,:,000010,,,,
?=?EA000000,,,,(λE?A)x=0λλ=λ=λ=1试于~解试次试性方程试,~123,,,,020000?::::
~只有试性无试的特征向量~不能试角矩试相似,两个与n?r=3?1=2A
四、试明试;本试7分,
kn,试试试矩试~试正整~且数~试明的特征试均试,230kAAA=O
kkkk试,试是的任意一特征试~试个是的特征试~由~得~而从,λλ=0AA=Oλ=0λA
范文五:大学线性代数
第 6章绪论
--------学习小结
1,本章学习体会
通过第六章,我们学习了二次型的标准型及其矩阵表示,惯性定理和正定二次型。本章 主要采用矩阵方法研究二次型, 重点介绍二次型的概念, 将二次型化为标准型的方法以及正 定二次型的性质与判断。二次型化为标准型的方法有三种:配方法,正交变换,初等变换。 因此,掌握这三种方法尤为重要。
2,本章知识梳理
1. 二次型
n 个变量 12, , , n x x x 的二次齐次函数
()222
121112221212111, 1, ,
, 222 ,
n nn n
n n n n n n T f x x x a x a x a x a x x a x x a x x x Ax --=++++++++=
其中 A 是对称阵 .
二次型 f 的矩阵 A 二次型 f 的秩 ()r A
二次型的标准形 只有平方项的二次型
()222
12111222, ,
, T n nn n f x x x a x a x a x x Dx =+++=,
其中 D 是对角阵 .
二次型标准形 f 的矩阵是对角阵 2. 合同变换
合同矩阵 /合同变换 /合同变换矩阵 设 , , A B C 是方阵 , 且 C 可逆 . 若 T
B C AC =, 则称
A 与 B 是合同矩阵 , 记作 A
B . 对方阵 A 的运算 T C AC 称为对 A 的合同变换 , 并称 C 是
把 A 变为 B 的合同变换矩阵 .
合同矩阵的性质 反身性 对称性 传递性 合同的矩阵等价 ; 但反之 , 等价的矩阵不一定合同 .
合同关系不一定是相似关系 , 但相似的实对称矩阵一定合同 .
合同变换的作用 把对称阵变为秩不变的对称阵
T A C AC ?
定理 1 线性变换下 , 二次型仍变为二次型 , 且在可逆线性变换下 , 二次型的秩不变 .
T x Cy B C AC
T
T f x Ax f
y By ===?=
二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理
由定理 6.9知 : 对于实对称阵 A , 总存在正交阵 P , 使得 1
P AP -为对角阵 . 又正交阵
P 有 1T P P -=. 所以把二次型 T f x Ax =化为标准形的问题就转化为寻找正交阵 P , 使 A
经正交变换对角化的问题 .
2. 用正交变换化二次型为标准形的步骤
用正交变换化二次型 T f x Ax =为标准形的步骤与把实对称阵 A 对角化的步骤几乎一 致 .
正定二次型
正、负惯性指数 二次型的标准形中正系数的个数和负系数的个数
惯性定理 二次型 T
f x Ax =的标准形中正系数的个数和负系数的个数由二次型矩阵
A 唯一决定 , 正系数的个数和负系数的个数之和等于 ()r A .
正 (负 ) 定二次型 /正 (负 ) 定矩阵 0, 0(0, 0f x f x >?≠≠ (0)="" a="" a="">< 定理="" 合同变换不改变实对称阵的类型="" ;="" 可逆线性变换不改变二次型的类型="">
正 (负 ) 定二次型的判定 :
定理 1:二次型正定的充要条件是它的标准型的 N 个系数全大于零 推论 :实对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 的特征值大于零
3,本章思考题
已知二次型 ()()()()2
2
2
12312312, , 11221f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为 2. 求 :
(1)
a 的值 ;
(2) 求正交变换 x Qy =, 把 ()123, , f x x x 化成标准形 ;
(3) 求方程 ()123, , 0f x x x =的解 .
解 : (1) 1102
20110110002002a a A a a a a -+???? ? ?=+-+- ? ? ? ?????
()
20r A a =?=
(3) ()123, , 0f x x x =
()()2
2222
12312312123, , 2220f x x x x x x x x x x x ?=+++=++=
()()123123, 0, , 1,1,0T T
x x x x x x k ?=-=?=-, 其中 k 是任意实数
4,本章测试题
1. 设 A 是 n 阶正定矩阵 , E 是 n 单位矩阵 , 证明 : A E +的行列式大于 1. (1999 数一) 解 : 方法一
设 λ是 A 的特征值 , 则 0λ>且
0E A λ-=,
()()10E A E λ?+-+=1λ?+>(1) 是 A E +的特征值 ?1A E +>.
方法二
()
12 , , , 1.
n A
D diag A E D E A E D E λλλ=?++?+=+>
2. 设 101020101A ??
?
= ? ???
, 矩阵 ()2B kE A =+, 其中 k 为实数 , E 为单位矩阵 . 求对角矩阵 Λ,
使 B 与 Λ相似 , 并问 k 为何值时 , B 为正定矩阵 . (1998 数三)
解 : A 为对称阵 kE A ?+是对称阵 ()2
kE A ?+是对称阵
02222k A kE A
k k ??
?? ? ?
?++ ? ? ? ?+??
??
()
()
()2
2
2
222k kE A k k ?? ??++ ? ? ?+?
?
()
()22
222k B
k k ?
?? ??+=Λ ? ? ?+?
?
02k k ?≠≠-且 时 , B 为正定矩阵
3. 设 A 为三阶实对称矩阵 , 且满足条件 22A A O +=, 已知 A 的秩 ()2r A =, (1) 求 A 的全部特征值 ;
(2) 当 k 为何值时 , 矩阵 A kE +为正定矩阵 . (2002 数三) 解 : (1) 222
2222A A O
A A A A ξλξξλξ
ξλξλξλξ+==?=?-=?-=
()3020, 2, A diag λλλ?==-?-或 , 且 330λλ=或 =-2
若 ()301r A λ=?=, 矛盾 ; 若 ()322r A λ=-?=, 则 A 的全部特征值
为 0, 2, 2--.
(2) A 是实对称矩阵 022A ??
?
?- ? ?-??
2
22k k
A kE
k kE A k >?? ??+-?+ ? ?-?
?
正定
4. 设 , A B 分别为 , m n 阶正定矩阵 , 试判定分块矩阵 A O C O B ??
=
???
的正定性 . 解 : , , x y οο?≠≠有 00T T x Ax y By >>,
()(), , , , 0
T T T
T
T T
x y x y A O x x y x Ax y By O B y οοο??≠≠≠????=+> ???????
或 有 进而有
A O C O B ???= ???
正定
5. 二次型 ()()()()2
2
2
123122313, , f x x x x x x x x x =++-++的秩为 .
解 : ()()21100012112122112033A r A r f ???? ? ?
=--?=?= ? ? ? ?--????
.
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