范文一:三角函数的应用
1
专题 三角函数的应
例 1: 如图, Rt △ ABD 中, ∠ D =90°, ∠ B =45?, ∠ ACD =60°. BC =10cm. 求
AD 的长.
练习:如图,在 Rt △ ABC 中,∠ C =90°, AC=8, AD 为∠ BAC 的角平 分线,且 3
316=AD ,求 BC 的长
例 2: 已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30°,货轮 以每小时 20海里的速度航行, 1小时后到达 B 处,测得灯塔 M 在北偏西 45°,问该货轮 继续向北航行时,与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ?(精确到 0.1海里, 732. 13≈)
练习:如图, 小明向用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离, 他先在 湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东
65°方向,然后,他从凉亭 A 处沿湖岸向东方向走了 100
米到 B 处,测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 45°方
向(点 A 、 B 、 C 在同一平面上) ,请你利用小明测得的相关
数据,求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间
的距离(结果精确到 1米) .
(参考数据 sin25°≈ 0.4226, cos25°≈ 0.9063, tan25°≈
0.4663, sin65°≈ 0.9063, cos65°≈ 0.4226, tan65°≈ 2.1445)
范文二:三角函数的应用
课题:1.5. 三角函数的应用 课型:新授课 年级:九年级 教学目标:
1、经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。 2、能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明。
3、在经历弄清实际问题题意的过程中,画出示意图,培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气。
教学重点与难点:
重点:体会三角函数在解决问题过程中的作用,发展数学应用意识和解决问题的能力。 难点:根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图。
教法与学法:
通过模拟幸运52智力闯关游戏,引导学生自主先学,学会数学建模;然后让学生通过交流互动、合作探究等环节理解三角函数应用的过程,培养合作交流的意识和严谨的数学精神,提升数学的认识规律的能力,学会利用三角函数解决有关实际问题。
课前准备:计算器、多媒体课件. 教学过程:
一、创设情境,寓知于乐 师:播放幸运52节目的开场视频
处理方式:学生观看视频,观后交流互动,师参与其中,引发思考和提升解决问题的兴趣。
设计意图:通过学生喜欢的电视节目引入,可有效地激发学习兴趣和求知欲望,调动学习积极性,这符合学生的年龄特征和心理特征。
二、幸运闯关,乐中求知 【探究活动一】:
第一关:幸运抢答
【多媒体展示】:
处理方式:以班级分好的六个学习小组为单位,进行抢答,答对一题加1分,答错一题倒扣1
分,学习组长做好统计。
设计意图:
通过学生抢答进一步巩固解直角三角形的知识,同时激发学生的团队精神和参与回答问题的积极性。
【探究活动二】:
第二关:幸运搭档
多媒体展示:
问题:海中有一个小岛A, 该岛四周10海里内暗礁. 今有货轮由西向东航行, 开始在A 岛南偏西55°的B 处, 往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处. 之后, 货轮继续向东航行.
(1)请你根据题意画图并标出已知的边和角;
(2)如果货轮不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?你是怎么想的?与同伴交流.
处理方式:每组选两位同学,一位同学读题,另一位同学快速地说出解决问题的思路,然后再共同写出解答过程,并利用实物投影展示,答对加2分。
设计意图:通过合作完成任务,帮助学生理解题意,有利于建构数学模型,增强学生的合作意识。
【探究活动三】:
第三关:争分夺秒
多媒体展示:
你知道什么是方向角吗?
小明在A 处仰望塔顶, 测得仰角∠1的大小为
30°, 再往塔的方向前进50m 到B 处, 又测得 2的大小为60°, 根据这些他就求出了 仰角∠塔的高度. 你能迅速写出求解过程吗?
处理方式:先让学生理解方向角的概念,然后让学生理解题意,在此基础上每组选一名
代表,根据课件展示的提示,迅速写出求解过程,并通过实物投影展示答案。答对加2分,速度最快的组另加2分。
附:小明的做法:
解:如图, 根据题意可知, ∠A=30°, ∠DBC=60°,AB=50m.设
CD=x,
则∠
ADC=60°, ∠BDC=30°, ∵tan ∠ADC=
AC BC
,tan ∠BDC= x x
∴AC=xtan60°,BC=xtan30° ∴xtan60°- xtan30°=50 ∴x=
50
=
tan 600-tan 300
50-
3
=≈43(m )
答:该塔约有43m 高
老师期望:这道题你能有更简单的解法!
设计意图:通过让学生争分夺秒地完成题目,培养学生的做题速度,有利于学生做事效率的提高,调动学生学习的激情。
【探究活动四】:
第四关:幸运考场
多媒体展示:
某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的400减至350, 已知原楼梯 的长度为4m, 调整后的楼梯会加长多少? 楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
处理方式:学生分别独立作答,教师巡视、观察学生的做题情况,待学生完成后, 教师出示答案并进行面批,适当给出优、良、中、差的等级,以示对学生的反馈。
设计意图: 通过幸运考场的方式,掌握学生对本节课所学知识的掌握情况,
有利于教师
在今后的教学中做到有的放矢。
【探究活动五】:
第五关:幸运大比拼
多媒体展示: A 组 基础过关
1.(2013泰安)如图,某海监船向正西方向航行,在A 处望见一艘正在作业渔船D 在南偏西45°方向,海监船航行到B 处时望见渔船D 在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C 处,望见渔船D 在南偏东60°方向,若海监船的速度为50海里/小时,则A ,B 之间的距离为 (取,结果精确到0.1海里).
2.(2014东营) 热气球的探测器显示,从热气球底部A 处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A 处与高楼的水平距离为120m ,这栋高楼有多高(≈1.732,结果保留小数点后一位)?
B组 能力提升
3.如图, 水库大坝的截面是梯形ABCD, 坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135. (1)求坡角∠ABC 的大小;
(2)如果坝长100m, 那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
处理方式:展示的三道达标测试题(每道题5分,共15分),要求15分钟内完成,完成后教师出示答案,小组之间互换批改,再由组长统计得分,各组每个学生的得分总和即是该组的得分,速度最快的组另加5分。
设计意图:学生通过自评互评,可以全面了解自己的学习过程,感受自己的成长和进步,同时及时反馈、查漏补缺、收获喜悦、实现课堂效益的最大化,做到“堂堂清”。
三、回味无穷, 自得其乐
师:通过这节课的学习,你有哪些收获?先想一想,再分享给大家. 1、三角函数的应用中常见的四个基本图形:
2、多媒体展示解题思路
处理方式:先让学生畅所欲言,尽量调动学困生积极参与,激励学生积极发言,培养她们的自信心,锻炼学生语言表达能力,最后教师总结并强调重点、释疑困惑。
设计意图: 课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.
四、完成作业,乐在其中
必做题:课本20页,随堂练习第1题。 选做题:课本21页习题1.6第4题。 实践作业:
利用三角函数测高。
板书设计:
结束语:实际中的很多问题都可以转化成三角形的问题,我们学习和利用三角函数就是拿到了求解三角形边角问题的金钥匙,使问题的解决更加方便、更快捷。
范文三:三角函数的应用
分课时第 1 课时
教学目标能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题,体会三角函数是描述周期现象的 重要数学模型。
重点难点能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。
引入新课
1、如图,点 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知 振幅为 ,周期为 ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。
(1)求物体对平衡位置的位移 和时间 的函数关系;
(2)求该物体在 时的位置。
2、 一半径为 的水轮如图所示, 水轮圆心 距离水面 , 已知水轮每分钟转动 圈, 如果当水轮 上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。
(1)将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数;
(2)点 第一次到达最高点大约要多长时间?
(参考数据:)
例题剖析
例 1、 一根长 的线, 一端固定, 另一端悬挂一个小球, 小球摆动时, 离开平衡位置的位移 和 时间 的函数关系式是 。
(1)求小球摆动的周期;
(2)已知 ,要使小球摆动的周期是 ,线的长度应当是多少?
(精确到 , 取 )
例 2、心脏跳动时,血压在增加或减小。血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压, 血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 为标准值。
设某人的血压满足函数式 ,其中 为血压 , 为时间 ,试回答下列问题:
(1)求函数 的周期;
(2)此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数 的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较。
课堂小结
能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。
课后训练
班级:高一()班 姓名 __________
一、基础题
1、在图中,点 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向。若已 知振幅为 ,周期为 ,且物体向右运动到平衡位置时开始记时。
(1)求物体对平衡位置的位移 和时间 之间的函数关系;
(2)求该物体在 时的位置。
二、提高题
2、 某城市一年中 个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。 已知 月份的月平均气温最高,为 , 月份的月平均气温最低,为 。求出这个三角函数的表
达式,并画出该函数的图象。
三、能力题
3、如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在 时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 由 下列关系式决定:。 以 为横坐标, 为纵坐标, 画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上 的简图,并且回答下列问题:
(1)小球在开始振动时(即 时)的位置在哪里?
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是什么?
(3)经过多少时间小球往复振动一次(周期)?
(4)每秒钟小球能振动多少次(频率)?
4、在一次气象调查中,发现某城市的温度 的波动近似地按照规则
,其中 是从某日 ∶ 开始计算的时间,且 。
范文四:三角函数的应用
§1.6 三角函数的应用 教案
学习目标 :1、选择恰当的三角函数模型刻画数据蕴含的规律解决一些简单的
实际问题 . 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
2、熟悉数学建模的方法与步骤 .
学习重点 :用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。
学习难点:建立三角函数的模型。实际问题中陌生的背景,复杂的数据处理 . 学习过程 :
一、情境设置
三角函数可以作为描述现实世界中 _________现象的一种数学模型,因此在 解决实际问题中有着广泛的应用。
二、探究研究
例1 如图所示,某地一天从 6时至 14时的温度变化曲线近似满足函
数 b x A y ++=) sin(
?ω的图象。 ⑴求这段时间的最大温差;
⑵写出这段曲线的函数解析式。
三、教学精讲
例2、 |sin |y x =是以 ____________为周期的波浪型曲线 .
练习 :在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体 位移的正方向,若已知振幅为 3cm ,周期为 3s ,且物体向右运动到距平衡位 置最远处开始记时。
⑴求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系。
⑵求该物体在 t=5s时的位置。
O A
)
(时 2011-12-9
例3 受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y
(1). 根据所得的函数模型,求出整点时的水深的近似值(精确到 0.001) 。
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m ,安全条例规定至 少要有 1.5m 的安全间隙(船底与海底的距离) ,该船何时能进入港口?在港 口待多久?(列式,不求解 学方法)
(3) 若船的吃水深度为 4m , 安全间隙为 1.5m , 该船在 2:00开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货, 将船驶向较深的水域? (方法 )
四、巩固练习 1、设 () y f t =是某港口水的深度关于时间 t (时 ) 的函数,其中 024t ≤≤, 下表是该港口某一天从 0至 24时记录的时间 t 与水深 y 的关系 . 经长期观察,函数 () y f t =的图象可以近似地看成函数 sin() y k A t ω?=++的图象 . 根据上述数据,函数 () y f t =的解析式为( )
A . 123sin
, [0,24]6t
y t π=+∈ B . 123sin(
), [0,24]6t
y t ππ=++∈
C . 123sin , [0,24]12t y t π=+∈ D . 123sin(), [0,24]122
t y t ππ
=++∈
五、小结反思
1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉 k wx A y ++=) sin(?的性质。 2、 课后作业
1、 一 个 单 摆如 右 图 ,摆 角 y (弧 度 ) 作 为 时间 t (秒 ) 的 函数 满 足
) 2
2sin(21π+=
t y . (1)求最初位置的摆角(弧度) ;
(2)求单摆的频率 .
(3) 求多长时间单摆完成 5次完整摆动 (往复摆动一次称一次完整摆动) ?
2根据下列条件,求△ ABC 的内角A:
(1)
;
21sin =A (2) ; 2
cos -=A (3) 1tan =A ; (4) . 33tan -=A
3根据下列条件,求(0, 2π)内的角x:
(1) ; 2
3sin
-
=x (2) ; 1sin -=x (3) ; 0cos =x (4) . 1tan =x
4交流电的电压E(单位:伏)与时间 t (单位:秒)的关系可用 E=) 6
100sin(3220ππ+t 来表示,求:
(1) 开始时的电压;
(2) 电压值重复出现一次的时间间隔;
范文五:三角函数的应用
三角函数的应用
知识点1 坡度问题
1、小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC 的坡角为30°,AC 长332米,钓竿AO 的倾斜角是60°,其长为3米,若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°,求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离.
2、如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB ,其正前方矗立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB 落在斜坡上的影子BD 的长为6米,落在广告牌上的影子CD 的长为4米,求铁塔AB 的高(AB ,CD 均与水平面垂直,结果保留根号).
3、为**诞辰110周年献礼,广安市政府对城市建设进行了整改,如图,已知斜坡AB 长2米,坡角(即∠BAC )为45°,BC ⊥AC ,现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE (下面两个小题结果都保留根号).
(1)若修建的斜坡BE 的坡比为:1,求休闲平台DE 的长是多少米?
(2)一座建筑物GH 距离A 点33米远(即AG=33米),小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B 、C 、
A 、G ,H 在同一个平面内,点C 、A 、G 在同一条直线上,且HG ⊥CG ,问建筑物GH 高为多少米?
知识点2 仰/俯角问题
1
1、如图,在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成60°角,在离电线杆6米的B 处安置测角仪,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°,已知测角仪高AB 为1.5米,求拉线CE 的长(结果保留根号).
2、如图,一楼房AB 后有一假山,其坡度为i=1:山坡坡面上E 点处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=25,
米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°,求楼房AB 的高.(注:坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
3、如图,小丽假期在娱乐场游玩时,想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度.她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°,然后,她沿着坡度是i=1:1(即tan ∠CED=1)的斜坡步行15分钟抵达C 处,此时,测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分,图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内,且点D 、E 、B 在同一水平直线上.求出娱乐场地所在山坡AE 的长度.(参考数据:2 1.41,结果精确到0.1米)
知识点3 方向问题
1、马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A 、B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上,在救助船B 的西北方向上,船B 在船A 正东方向140海里处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan36.5°≈0.75).
(1)求可疑漂浮物P 到A 、B 两船所在直线的距离;
(2)若救助船A 、救助船B 分别以40海里/时,30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P 处.
2、如图,海中有一灯塔P ,它的周围8海里内有暗礁.海轮以18海里/时的速度由西向东航行,在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上;航行40分钟到达B 处,测得灯塔P 在北偏东30°方向上;如果海轮不改变航线继续向东航行,有没有触礁
2
的危险?
精 品 教 案 教师:
3、如图,在南北方向的海岸线MN 上,有A 、B 两艘巡逻船,现均收到故障船C 的求救信号.已知A 、B 两船相距100+1)海里,船C 在船A 的北偏东60°方向上,船C 在船B 的东南方向上,MN 上有一观测点D ,测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上.
(1)分别求出A 与C ,A 与D 之间的距离AC 和AD (如果运算结果有根号,请保留根号).
(2)已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:2≈1.41,≈1.73)
知识点4 三角函数与圆的结合
1、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D 是AB 边上一点,以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ,连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F .
(1)求证:BD=BF;
(2)若CF=1,cosB=3,求⊙O 的半径.
5
3
2、如图1,已知O 是锐角∠XAY 的边AX 上的动点,以点O 为圆心、R 为半径的圆与射线AY 相切于点B ,交射线OX 于点C ,过点C 作CD ⊥BC ,CD 交AY 于点D .
(1)求证:△ABC ∽△ACD ;
(2)若P 是AY 上一点,AP=4,且sinA=
课堂练习
1、如图1,将正方形纸片ABCD 对折,使AB 与CD 重合,折痕为EF .如图2,展开后再折叠一次,使点C 与点E 重合,折痕为GH ,点B 的对应点为点M ,EM 交AB 于N ,则tan ∠
ANE= .
3.如图2,当点D 与点P 重合时,求R 的值. 5
2、如图,港口A 在观测站O 的正东方向,OA=4km,某船从港口A 出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处,此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB 的长)为 .
4
3、如图,在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站,A 在B 的正东方向,AB=2(单位:km ).有一艘小船在点P 处,从A 测得小船在北偏西60°的方向,从B 测得小船在北偏东45°的方向.
(1)求点P 到海岸线l 的距离;
(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后,到点C 处,此时,从B 测得小船在北偏西15°的方向.求点C 与点B 之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)
4、如图,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,点P 是直径AB 上的一点(不与A 重合),过点P 作AB 的垂线交BC 于点Q .
(1)在线段PQ 上取一点D ,使DQ=DC,连接DC ,试判断CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.
(2)若cosB=3,BP=6,AP=1,求QC 的长.
5
5、如图,在△ABC 中,AB=BC,以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,交AB 的延长线于点E .
(1)求证:直线DE 是⊙O 的切线;
(2)当cosE=45,BF=6时,求⊙O 的直径.
5
6、如图,AB 为⊙O 的直径,AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ,DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ,BF ⊥AB 交AD 的延长线于点F ,
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)若DE=3,⊙O 的半径为5,求BF 的长.
7、在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达扫描实验.如图,表盘是△ABC ,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A 处有一束红外光线AP ,从AB 开始,绕点A 逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC 后立即以相同旋转速度返回AB ,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB 处旋转开始计时,旋转1秒,此时光线AP 交BC 边于点M ,BM 的长为(-20cm . )
(1)求AB 的长;
(2)从AB 处旋转开始计时,若旋转6秒,此时光线AP 与BC 边的交点在什么位置?若旋转2014秒,交点又在什么位置?请说明理由.
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