范文一:[侧棱长为a的正三棱锥]已知正三棱锥S
[侧棱长为a的正三棱锥]已知正三棱锥S 篇一 : 已知正三棱锥S
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2,
求正三棱柱的高;
求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比(题型:解答题难度:中档考点:
考点名称:柱体、椎体、台体的表面积与体积 侧面积和全面积的定义:
侧面积的定义:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图的面积,就是空间几何体的侧面积(
全面积的定义:空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积,
柱体、锥体、台体的表面积公式
柱体、锥体、台体的体积公式:
多面体的侧面积与体积:
多面体图像侧面积体积棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形
棱锥正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,
棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形,
旋转体的侧面积和体积:
旋转体图形侧面积与全面积体积圆柱圆柱的侧面展开图的矩形:
圆锥圆锥的侧面展开图是扇形:
圆台圆台的侧面展开图是扇环:
球
篇二 : 正三棱锥的特性什么条件才能成为正三棱锥
正三棱锥的特性
什么条件才能成为正三棱锥
底面为正三角形,三侧面所交形成的棱长相等,就是正三棱锥
还有如下特征:顶点在底面的射影为正三角形的几何中心,即重心、外心、内心等,与顶点的连线即为高,垂直于底面,三个侧面为全等的等腰三角形
特别的,当三侧面所交形成的棱长与底面正三角形的边长相等时,这样的正三棱锥为正四面体
篇三 : 立体几何:已知正三棱锥的侧面积为18?3cm ,高为3cm,
则
立体几何:
已知正三棱锥的侧面积为18?3cm ,高为3cm,则它的体积是多少,为什么,
侧面是3个一样的等腰三角形,底面?ABC是等边三角形。
每个等腰三角形的面积?PBC=18?3?3=6?3。
设BC长为X厘米。
AD长是?3/2X厘米,OD为?3/6X厘米。
PD=?=?
那么:1/2X?=6?3
解得:X=6
底面积=1/2×X×?3/2X=1/2×6×?3/2×6=9?3(平方厘米)。
体积=1/3×9?3×3=9?3。
范文二:[侧棱长为a的正三棱锥]在正三棱锥P
[侧棱长为a的正三棱锥]在正三棱锥P 篇一 : 在正三棱锥P
在正三棱锥P-ABC中,?,?,则此三棱锥的外接球的表面积为。 题型:填空题难度:中档考点:
考点名称:球的表面积与体积 球的体积公式:
V球=;
球的表面积:
S球面=
求球的表面积和体积的关键:
由球的表面积和体积公式可知,求球的表面积和体积的关键是求出半径。
常用结论:
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.
2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的4倍.
3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是.
4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是.
篇二 : 在正三棱锥P
在正三棱锥P-ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,有下列四个论断:?AC?PB;?AC?平面PDE;?AB?平面PDE;?平面PDE?平面ABC(其中正确的个数为A(1个B(2个C(3个D(4个题
型:单选题难度:中档考点:
考点名称:柱、锥、台、球的结构特征 棱柱:
概念:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面,其余各个面都叫棱柱的侧面,两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱,棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
分类:?按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
?按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形…、分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…
棱锥:
概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各个面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面,棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面,棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱,棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高,过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥的概念:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
圆柱的概念:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
旋转轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
圆锥的概念:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体;
圆台的概念:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分;
球的定义:
第一定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体,简称球。
半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
第二定义:球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球的截面与大圆小圆:
截面:用一个平面去截一个球,截面是圆面;
大圆:过球心的截面圆叫大圆,大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离:是过这两点大圆的劣弧长;
小圆:不过球心的截面圆叫小圆。
棱柱的性质:
?棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
?与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质:
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
正棱锥性质:
?正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高也相等;
?正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
圆柱的几何特征:
?底面是全等的圆;?母线与轴平行;?轴与底面圆的半径垂直;?侧面展开图是一个矩形。
圆锥的几何特征:
?底面是一个圆;?母线交于圆锥的顶点;?侧面展开图是一个扇形。
圆台的几何特征:
?上下底面是两个圆;?侧面母线交于原圆锥的顶点;?侧面展开图是一个弓形。
球的截面的性质:
性质1:球心和截面圆心的连线垂直于截面;
性质2:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系:r2=R2-d2.
考点名称:直线与平面平行的判定与性质 线面平行的定义:
若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行。
图形表示如下: 线面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言:
线面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
符号语言:
证明直线与平面平行的常用方法:
反证法,即
判定定理法,即
面面平行的性质定理,即
向量法,平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直,则直线与平面平行,即
考点名称:直线与平面垂直的判定与性质 线面垂直的定义:
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直,就说这条直线l和这个平面α互相垂直,记作直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法:
画线面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示:
线面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
符号表示:
如图所示, 线面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
线面垂直的判定定理的理解:
判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性语句,一定要记准(
如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的(
如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法:
线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化(
证线面垂直的方法?利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面(?利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,?利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面,?用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另
一个平面(?用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面(?用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面的交线垂直于第三个平面(?利用向量证明(
考点名称:平面与平面垂直的判定与性质 平面和平面垂直的定义:
如果两个平面相交,所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直。如图,
面面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
面面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
性质定理符号表示:
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系:
证明面面垂直的方法:
证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化,必要时可添加辅助线,如:已知面面垂直时,一般用性质定理,在一个平面内作出交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后转化为线线垂直,故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法(线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直,证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量(
常用结论:
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,此结论可以作为性质定理用,
从该性质定理的条件看出:只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线,那么这条垂线必在这个平面内,点的位置既可以在交线上,也可以不在交线上,如图(
范文三:正三棱锥
正三棱锥:底面为等边三角形 ,三条侧棱相等,顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等],外心[到底面的三个顶点距离相等],中心是外心、内心还是垂心】;各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等;外切球与内切球的球心在同一点,球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长,即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。
正四棱锥:四个面都是正方形,是特殊的正三棱锥;顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等],外心[到底面的三个顶点距离相等],中心是外心、内心还是垂心】;各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等;外切球与内切球的球心在同一点,球心到顶点的距离等于到面距离的三倍,即外切球球心是内切球球心的半径的三倍长。
正三棱柱:底面是等边三角形,侧棱相等、平行, 且都垂直于底面,侧面都为长方形,上下两面互相平行。
正四棱柱:底面为正方形,侧棱相等、平行, 且都垂直于底面,侧面都为长方形,上下两面互相平行。
范文四:正三棱锥的侧棱等于10CM
2571. 正三棱锥的侧棱等于10cm,侧面积等于144cm,求棱锥的底面边长和斜高。
解析:设底面边长为a,斜高为h’
a,222h',(),10,,2则 ,12,,3a,h',12,2,
a,12a,16,,? 或 ,,h',8h',6,,
572. 斜三棱柱ABC—ABC的底面?ABC中,AB=AC=10,BC=12,A到A、B、C三点的距离1111
都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。 解析:?AA=AB=AC 111
? 点A在平面ABC上的射影为?ABC的外心,在?BAC平分线AD上 1
? AB=AC
? AD?BC
? AD为AA在平面ABC上的射影 1
? BC?AA 1
? BC?BB 1
? BBCC为矩形,S=BB×BC=156 111
取AB中点E,连AE 1
? AA=AB 11
? AE?AB 1
AB22? AE,AA,(),12112
? S,S,20AACCAABB1111
? S=396 侧0573. 四棱锥V—ABCD底面是边长为4的菱形,?BAD=120,VA?底面ABCD,VA=3,AC与
BD交于O,(1)求点V到CD的距离;(2)求点V到BD的距离;(3)作OF?VC,垂足为
F,证明OF是BD与VC的公垂线段;(4)求异面直线BD与VC间的距离。
解析:用三垂线定理作点到线的垂线 在平面ABCD内作AE?CD,E为垂足 ? VA?平面ABCD
? AE为VE在平面ABCD上的射影
? VE?CD
? 线段VE长为点V到直线CD的距离 0? ?BAD=120 0? ?ADC=60
? ?ACD为正三角形
3? E为CD中点,AE= ,4,232
22? VE= VA,AE,21
(2)? AO?BD
? 由三垂线定理VO?BD
? VO长度为V到直线BD距离
22 VO= VA,AO,13
(3)只需证OF?BD
? BD?HC,BD?VA
? BD?平面VAC
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? BD?OF
? OF为异面直线BD与VC的公垂线
(4)求出OF长度即可
在Rt?VAC中
122OC=AC=2,VC= VA,AC,52
VA36? OF=OC?sin?ACF=OC? ,2,,VC55
574. 空间四边形DABC中,P、Q为边CD上两个不同的点,M、N为AB上两个不同的点,连PM、QN,如图,问图中共有多少对异面直线,
解析:为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象,可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD,这六条线段可形成三对异面直线DA与BC,AB与CD,AC与BD。
其次添加线段PM,则除去与PM相交的CD、AB,又可新形成4对异面直线,即PM与DA、BC、AC、BD。
因QN与PM位置等同,当添上QN时,也同样新增4对异面直线。 最后注意到,PM与QN也是异面直线。
? 图中共有3+4+4+1=12(对)异面直线
575. 长方体ABCD—ABCD中,AB=a,BC=b,AA=c,求异面直线BD和BC所成角的余弦1111111值。
解析:显然,通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD和BC所成的角,但同11时又为了使构造出的角便于计算,故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF—DCEF。具体作法是:延长AD,使AD=DF,延长BC至E,使BC=CE,连EF,分别1111111111111111111
////过E、F,作EECC,FFDD,连EF,则长方体CDFE—CDFE为所作长方体。 ,,,,111111111
//? BCDF ,,11
//? BDCF ,,11
? ?BCF就是异面直线BD与BC所成的角。 1111222? BD=a+b 222222? Rt?BDD中,BD=BD+DD=a+b+c 11122222? CF=BD=a+b+c 11222222? BC=b+c,BF=a+4b 111
? ?BCF中 1122222CF,BC,BFc,b1111, cos?BCF= 11222222CF,BC11a,b,c,b,c
(1) 当c>b时, cos?BCF>0 11
? ?BCF为锐角,?BCF就是异面直线BD和BC所成的角 111111
(2) 当c<><0>0>
? ?BCF是钝角 11
? π-?BCF就是异面直线BD和BC所成的角 11110(3) 当c=b时,?BCF=90 11
? BD?BC 11
法二:作异面直线所成角的过程,其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性,也可以达到平移的目的。
如图,分别取BC、BB、BD的中点P、M、Q,连PM、MQ、PQ 111
则 MP?BC,MQ?BD 11
? ?PMQ(或其补角)就是异面直线BD与BC所成的角 11
1122? PMQ中,MP=BC=b,c 122
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21a12222? MQBD=,PQ= c,a,b,c,1242
利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果
1576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点,求证:MN<(ad+bc)。>(ad+bc)。>
11证明:取AC中点P,则MP=BC,NP=AD 22
1? MN
577. 长方体ABCD—A’B’C’D’中,AB=2,BC=BB’=1,M、N分别是AD和BC中点,求异面直线
MN和BC’所成角的大小
解析:?MN?AC,AC?A’C’,?MN?A’C’
? ?BC’A’就是MN与BC’所成的角
? BA’C中,BC’=,BA’=A’C’= 52
222BC'A'C'A'B'10,,? cos?BC’A’= ,2BC'A'C'10,
578. 正方体ABCDABCD中,若E、M、N分别是棱AB、BC及BD的中点,求异面直线DN111111与MC所成的角。 1
解析:连NG、EM、EN、DE
11////? EMAC,NCAC ,,,,122
//? NCEM ,,1
? NE?MC 1
? ?DNE为异面直线DN与MC所成的角 1
6522设AB=a,则DE=EN=GM=,DN= aDD,DN,a1222
222DNENdE30,,? DNE中,cos?DNE= ,2DENE10,
30? 异面直线DN与MC所成的角为arccos. 110
579. 如图,在正方体ABCD——ABCD中,E、F分别是AA、AB的中点,试判断下列各对11111线段所在直线的位置关系:
(1)AB与CC;(2)AB与DC; 111
(3)AC与DB;(4)DC与BD; 111
(5)DE与CF 1
,解析:(1)?C?平面ABCD,AB平面ABCD
又CAB,C平面ABCD ,,1
?AB与CC异面 1
(2)?AB?AB,AB?DC,?AB?DC 1111
(3)?AD?BC,BC?BC,?AD?BC 11111111
则A、B、C、D在同一平面内 11
?AC与DB相交 11D1C1
,(4)?B?平面ABCD,DC平面ABCD
A1B1 又BDC,D平面ABCD ,,1
?DC与BD异面 1EDC
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ABF
G
(5)如图,CF与DA的延长线交于G,连结DG, 1
?AF?DC,F为AB中点,
?A为DG的中点,又AE?DD, 1
?GD过AA的中点E, 11
?直线DE与DF相交 1
580. 求证:空间四边形的两条对角线是异面直线。 证明:如图,假设空间四边形ABCD的对角线AC与BD不是异面直线。 则AC、BD共面于α,则A、B、C、D均在平面α内,这与已知“ABCD是空间四边形(四个
A顶点不在同一平面内)”相矛盾。
故假设错误,因此AC、BD是异面直线。 D点评:反证法是间接证法的一种,在立体几何的证中经 BC常用到。
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范文五:正三棱锥的内切球与外接球
要回答这个问题,先要了解什么是正三棱锥.
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.
满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知,正三棱锥底面为正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念----正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说,正四面体是特殊的正三棱锥,正三棱锥具备的性质正四面体都有,而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在棱柱和棱锥的外接球中,谈到了一种方法,就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中,从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.
这是处理问题的方法之一.
适合这种方法的情况可小结如下:
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.
今天说说第二种方法,就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下:
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第(4)条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.
举一个具体栗子来说明.
外接球球心分析:在正三棱锥的高线上,先假设一个位置,然后构造直角三角形,利用勾股定理求解.
从图看出,此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知,内切球球心也在高线PO上.
下面利用等体积法(即算两次体积)求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了,第一次提起是在线面角和点面距中.
回到这位朋友的问题上来,外接球球心和内切球球心重合吗?
显然,多数情况下是不重合的.
有童鞋可能会问,有没有重合的时候呢?
为了回答这个问题,我们作一般化的推导.
若底边长刚好等于侧棱长,即正三棱锥变为正四面体时,奇迹发生了.
画出图来是这样滴.
此时,两心重合于一点,且该点把三棱锥的高分为3:1,长的那段为外接球半径,短的那一段为内切球半径.
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