范文一:必修一教材分析
新课程湘教版高中地理必修一教材分析与教学建议
“地理1”在高中地理课程中的地位
(1)高中地理课程是学生学习地球科学知识、认识人类活动与地理环境的关系、进一步掌握地理学习和地理研究方法、树立可持续发展观念的一门基础课程;课程内容的设计以可持续发展为指导思想,以人地关系为主线,以当前人类面临的人口、资源、环境、发展等问题为重点。
“地理1”主要是自然地理,重点阐明人类赖以生存和发展的自然环境及其对人类活动的影响。 “地理1”是高中地理课程知识和理论的基础。
(2)高中地理必修课程的三个模块,虽相互独立,但都是按照人地关系和可持续发展的思想统一设计的。
地理1——主要说明自然环境对人类活动的影响(即“地”对“人”的影响);
地理2——主要说明人类活动对地理环境的影响(即“人”对“地”的影响);
地理3——主要说明在一定区域内如何协调人地关系、实现区域的可持续发展(即人地关系的综合表现)。
“地理1”内部结构分析
内容结构:
本模块的主题是自然环境及其对人类活动的影响,包括宇宙中的地球、自然环境中的物质运动和能量交换、自然环境的整体性和差异性、自然环境对人类活动的影响等四部分。
形式结构
从教材内容来看,“地理I”每一节由正文和非正文两部分组成。而非正文则包括地图、地理景观照片、地理示意图、阅读和活动等五个部分。
地理教材的局部分析:
亦微观教材分析,是针对整体教材中的某一单元进行的分析,或者某一章、某一节、乃至某一节课的知识内容。大致步骤如下:
根据整体分析中对教材形成的整体把握,按照一定的依据划分教学因子—弄清知识的内部结构,建立知识联系的图解模型—教学因子的能力结构分析—教材对学生进行情感、态度、价值观培养的分析—针对教学因子详细地设计课程资源开发利用规划。
针对某一节内容划分具体知识点的方法(教学因子):
1 地理知识的逻辑联系划分法:有先有后(时间、空间)
2地理技能程序的划分法
3中心问题式划分法:以问题的方式设计教学因子
在任何地理知识的学习过程中,都可以把知识处理为一个个地理问题,但在这些问题中,总有一个问题是最重要的—中心问题,要解决中心问题,就会有一系列的次要问题需要解决。中心问题与次要问题相连,一步步推进,最终解决
中心问题。
4地理学基本思想、方法划分法
在地理学的发展中有很多学术流派,这些学术流派都有思考地理问题的基本方式,地理教学可以借鉴这些思维方式引导学生进行地理学习,从中发展地理思维 生态学派
区域学派
景观学派
经济学派
人地关系论
地球表面复合系统
5 以主体课程资源为中心的划分法
6研究性学习划分法:用模仿科学家做科学研究的方式进行的学习
选题,收集材料,提出假说,数据 验证 解决问题
7突出区域特征的划分方法
这在必修3中适用,在各区域部分突出区域的空间性、地理环境的整体性、地理环境的差异性、因地制宜发展区域的基本思想。
知识的结构化方法
两种方法:
1 依据局部教材的内部联系:主要指各教学因子内部及它们之间的知识联系,以及因子与教材其他部分的知识联系,即因子内部、因子之间、因子外部3个层次的知识联系,主要指一定因子划分方法下的知识之间的逻辑联系,同时也考虑学生的认知联系。
2 依据教材的表述结构:文字、图像、练习活动
文字:最主要的表述形式;图像:提供地理信息并启发学生思考;练习:主要使学生自主思考,探究问题,同时也为检查巩固知识
A以文字为主体 B以图像为主体
课程资源的开发与利用
前提:需正确处理教材与课程资源的关系:主辅关系
原则:选择课程资源有以下原则,与该教学因子相关,与学生知识水平相适应,有利于提出地理问题、进行地理探究,有利于培养学习兴趣,使学生自主学习,有利于形成地理知识的联系,发展学生能力。
分类:
比较性课程资源:
相关学科课程资源:
联系实际生活的课程资源:自然地理环境、人文地理环境、社区课程资源、家庭课程资源
开发生活实际课程资源就是要使地理课尽量结合实际,使学生感到身边有很多现象孕育着地理原理。教师要引导学生学会应用所学地理知识、规律和原理,从地理视角去观察、分析身边熟悉的地理现象和地理事物,思考对策,学以致用,使学生切实感受到学习地理“对生活有用”、“对社会有用”和“对终身发展有用”。 当地理和学生的生活实际相结合时,地理才是活的,富有生命力的,才能激发起学生学习和解决地理问题的兴趣。
综合性课程资源的设计
原因:
为提高课程资源的有效性,在开发课程资源时,常以教学因子的教学需要为基础,教师围绕教学因子的三维目标,综合利用各种课程资源,设计制作成具有很强教学针对性的综合课程资源,每一个资源部分都能说明一个具体的地理问题,学生通过课程资源的分析与探究获得地理知识与地理能力。
步骤:
整体分析与局部教材分析的关系:
从教材整体出发对教材的分析,即整体分析,为教师认识教材的目的、特点及功能提供了可能,是实现教材的整体功能的保证,同时也是进行局部教材分析的基础与前提。
但是,只进行整体分析也是无法正确使用教材的,因为地理教学是按章、节、课的形式进行的,教材也是按章、节的形式组织成的。对这些局部教材的分析,是教学过程的需要,也是对教材整体分析的具体化过程。没有局部教材的分析,进行整体分析也就失去了意义。同时,局部教材分析又可以对整体分析的结果加以检验与完善。
在整个分析过程中,教学因子的划分尤为重要,教学因子成为所有教学活动的依据。 教材系统分析法的基本思想程序:
1 在弄清教科书的主要内容、分析其内部结构的基础上,建立起地理教科书的知识体系
2根据教学的实际进行有计划、有目的的课程资源的开发利用,建立起地理课程知识体系
在教科书知识体系与课程体系的形成中,完善教材的教学功能
在两个知识体系的基础上,分析教材的过程与方法、情感态度与价值观,保证三维一体目标的实现。
范文二:人教a版高中数学必修一教材分析
篇一:人教A版高中数学必修1全套教案
课题:
1.1 集合
教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方
面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。
课 型:新授课
教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
教学重点:集合的基本概念与表示方法;
教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程:
1
一、引入课题
军训前学校通知:8月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容
二、新课教学
(一)集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。
3. 思考1:课本P3的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情
2
况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样
5. 元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a?A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作a?A(或a A 6. 常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
(二)集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?;
例1((课本例1)
3
思考2,引入描述法
说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
(2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如:{x|x-32},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?;
例2((课本例2)
说明:(课本P5最后一段)
思考3:(课本P6思考)
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z。
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(三)课堂练习(课本P6练习)
4
三、归纳小结
本节课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。
四、作业布置
书面作业:习题1.1,第1- 4题
课题:
1.2集合间的基本关系
教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课 型:新授课
教学目的:(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用Venn图表达集合间的关系;
(4)了解与空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系。
教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别;
教学过程:
五、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,
5
填以下空白:
(1)0 N;(2
;(3)-1.5 R
2、类比实数的大小关系,如5<7,2?2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢,(宣
布课题)
六、新课教学
(一) 集合与集合之间的“包含”关系;
A={1,2,3},B={1,2,3,4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:A?B(或B?A)
读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A
当集合A不包含于集合B时,记作
A B
用
A?B(或B?A)
(二)
6
A?B且B?A,则A?B中的元素是一样的,因此A?B ?A?B即 A?B?? B?A?
练习
结论:
任何一个集合是它本身的子集
(三) 真子集的概念
若集合A?B,存在元素x?B且x?A,则称集合A是集
合B的真子集(proper subset)。
记作:A B(或B A)
读作:A真包含于B(或B真包含A)
举例(由学生举例,共同辨析)
(四) 空集的概念
(实例引入空集概念)
不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:? 规定:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 结论:
1A?A 2A?B,且B?C,则A?C ??
(六) 例题
(1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是
它的真子集。
(2)化简集合A={x|x-32},B={x|x?5},并表示A、B的
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关系;
(七) 课堂练习
(八) 归纳小结,强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
(九) 作业布置
1、 书面作业:习题1.1 第5题
2、 提高作业:
1 已知集合A?{x|a?x?5},B?{x|x?2},且满足A?B,求实数a?
的取值范围。
2 设集合A?{?四边形},B?{平行四边形},C?{矩形},
D?{正方形},试用Venn图表示它们之间的关系。
课题:
1.3集合的基本运算
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型:新授课
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教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;
教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”;
教学过程:
七、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合是否也可以“相加”呢,
思考(P9思考题),引入并集概念。
八、新课教学
1. 并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union)
记作:A?B读作:“A并B”
即: A?B={x|x?A,或x?B}
Venn图表示:
(重复元素只看成一个元素)。 例题(P9-10例4、例5)
问题:在上图中我们除了研究集合A与B的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的,我们称其为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集(intersection)。
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记作:A?B 读作:“A交B”
即: A?B={x|?A,且x?B}
交集的Venn图表示
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,
是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题(P9-10例6、例7)
拓展:求下列各图中集合A与B的并集与交
集
A
集
3. 补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作U。
补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集,
记作:CUA 即:CUA={x|x?U且x?A}
补集的Venn图表示
说明:补集的概念必须要有全集的限制
例题(P12例8、例9)
4. 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算,运算结
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果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,
在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发
去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论:
A?B?A,A?B?B,A?A=A,A??=?,A?B=B?A
A?A?B,B?A?B,A?A=A,A??=A,A?B=B?A (CUA)?A=U,(CUA)?A=?
若A?B=A,则A?B,反之也成立
若A?B=B,则A?B,反之也成立
若x?(A?B),则x?A且x?B
若x?(A?B),则x?A,或x?B
6. 课堂练习
(1)设A={奇数}、B={偶数},则A?Z=A,B?Z=B,A?B=?
(2)设A={奇数}、B={偶数},则A?Z=Z,B?Z=Z,A?B=Z
(3)集合A?{n|nm?1?Z},B?{m|?Z},则A?B?__________22
5(4)集合A?{x|?4?x?2},B?{x|?1?x?3},C?{x|x?0,或x?} 2
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那么A?B?C?_______________,A?B?C?_____________;
九、归纳小结(略)
篇二:人教A版高中数学必修1教材分析
人教A版高中数学必修1教材分析
【1.3.1】 函数的基本性质——单调性与最值
【本教材内容的地位和作用】 函数思想是贯穿高中数学的一根主线,函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面,它是对以前所学具体函数的一次总结,又是函数知识的一次拓展,对后续学习指、对数函数、三角函数、导数有重要的指导作用。另一方面,函数的单调性是初等数学与高等数学(导数)衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数的单调性在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此,函数单调性的教学,在教材体系中有着不可替代的位置,又有着重要的现实意义。
函数的单调性是函数的重要性质之一,它是研究函数值与自变量变化的一种关系,既要求学生结合函数的图象(直观性)来研究函数单调性,也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义(严谨性)来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义;判断、证明函数单调性;求函数的最大(小)值,利用单调性和最大(小)值来解决实际问题,培养学生的函数思想,数形结合思想以及应用数学意识。
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【本教材内容的内部知识结构】
知识点:
1、单调性的概念
2、增函数、减函数的定义
内部知识结构:
1、函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
2、 增函数:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function)(
减函数:如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数(decreasing function)( 单调性证明方法解析:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1 任取x1,x2?D,且x1<x2;?2 作差f(x1),f(x2);?3 变形(通常是因式分解?
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和配方);?4 定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负);?5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(
【教材内容要点】
*教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别,结合函数图形熟记几种常见函数的基本性质
*教学难点:函数概念的理解。
【教学目标】
*兴趣:利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,增进对数学应用价值的认识,激发学习数学兴趣与热情。
*能力:1、通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大(小)值,由此得出函数最大(小)值的定义。理解函数最值的定义,掌握求最值的基本方法和基本步骤,能解决相关实际问题。
2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质,利用函数的性质来画函数的图象(草图),培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
*知识:通过观察一些函数图象的特征,形成函数单调性的直观认识。 再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义,能够熟练应用定义判断与证
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明函数在某区间上的单调性。
*情感、态度、价值观:
1、函数单调性和最大(小)值的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神,体验到思考与探索的乐趣,培养学生勇于探索,善于研究的精神,挖掘其非智力因素的资源,培养学生良好的思维品质。
2、(通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程(
【学情分析】学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义,表示法,图象,也学习了一次函数,二次函数,反比例函数的函数值y与变量x之间的关系,特别是学习了二次函数的最大(小)值,这为理解函数的单调性和最大(小)值奠定了一定的基础。但另一方面,以前对函数的单调性和最大(小)值的研究是一种定性的研究,侧重于直观的思维,而本节内容是要对函数单调性和最大(小)值的定量的研究,侧重于逻辑思维能力,这给学生的学习带来了较大的困难。因此,在教学过程中,多创设熟悉的问题情景:如在引课中利用建造一个长方形的花坛,构造熟悉的二次函数,上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中,
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多给学生思考问题的时间和空间,引导学生观察,归纳,总结。特别利用数形结合,定性与定量相结合,尽量让学生用数学语言来描述,以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法:当介绍了增函数的定义之后,让学生自己得出相应减函数的定义;当介绍了函数最大值的定义之后,让学生自己得出函数最小值的定义;便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法:“函数
而减少,在 (0,+?)上y随x的增大而减少,则函数 在(-?,0)上y随x的增大在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大(小)值,”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性,”。还有一些比较复杂的问题:“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论,去探究,教师积极引导,培养学生的自主探究能力。
篇三:新课标人教A版高一数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
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说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
(?)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(?)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
?语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
?数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}
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(3)图示法(文氏图):
4、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a?A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
6、集合的分类:
1(有限集 含有有限个元素的集合2(无限集 含有无限个元素的集合3(空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?B或B? A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n2(“相等”
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关系(5?5,且5?5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B?A?B且B?A
? 任何一个集合是它本身的子集。A?A
?真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A)
?如果 A?B, B?C ,那么 A?C
? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1(交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(
记作A?B(读作”A交B”),即A?B={x|x?A,且x?B}(
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A?B(读作”A并B”),即A?B={x|x?A,或x?B}(
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3、交集与并集的性质:A?A = A,A?φ= φ, A?B = B?A,A?A = A,A?φ= A , A?B = B?A.
4、全集与补集
(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中 所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。 记作: CSA ,即 CSA ={x | x?S
且 x?A} (3)性质:?CU(C UA)=A ?(C UA)?A=Φ ?(C UA)?A=U (4)(C UA)?(C UB)=C U(A?B) (5)(C UA)?(C UB)=C U(A?B)
二、函数的有关概念
1(函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x),x?A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域(
注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的
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集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式(
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域(由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:?定义域一致;?表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什
21
么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x?A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点
的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法:
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
?、对称变换:
(1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=?f(x)
22
?的图象如:书上P21例5
?1?(2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y?a与y?a??? ?a?
(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如y?logax与y??logax?log1x x?xx
a
?、平移变换: 由f(x)得到f(x?a) 左加右减; 由f(x)得到f(x)?a 上加下减
(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。
4(区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示(
5(映射
定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A?B”
给定一个集合A到B的映射,如果a?A,b?B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
23
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,?集合A、B及对应法则f是确定的;?对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
?对于映射f:A?B来说,则应满足:(?)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(?)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(?)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法:必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征(
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在
24
不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况(注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集(
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u?M),u=g(x),(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x?A) 称为f是g的复合函数。
7(函数单调性
(1)(增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,
都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)
,f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) (或f(x1),f(x2))。
25
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2?D,且x1<x2;2 作差f(x1),f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
复合函数单调性:口诀:同增异减
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(4)判断函数的单调性常用的结论
?函数y??f(x)与y?f(x)的单调性相反;
?当函数y?f(x)恒为正或恒有负时,y?1f(x)与函数y?f(x)的单调性相反;
?函数y?f(x)与函数y?f(x)?C(C为常数)的单调性相
26
同;
?当C 0(C为常数)时,y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相同;
当C < 0(C为常数)时,y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相反;
?函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)仍是增(减)函数;
?若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)也是增(减)函数; 若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)也是减(增)函数;
nff(x)?0f(x
)k?f(x)(k?0)?设,若、、(x)(n?1)都是增函数,1
而f(x)是减函数.
8(函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数(
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数(
注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
27
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则,x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称(
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(,x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x),f(x) = 0,则f(x)是奇函数(
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=?f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)?f(x)=0或f(x)/f(-x)=?1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
? 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调
28
性恰恰相反.
?奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
?若f(x)为偶函数,则f(?x)?f(x)?f(|x|).
?若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)?0.
?定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和(或差)”.如设f(x)是定义域为R的任一函数, 则F(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x),G(x)?. 22
?复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
?既奇又偶函数有无穷多个(f(x)?0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
29
10(函数最大(小)值(定义见课本p30页)
(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
(2) 利用图象求函数的最大(小)值;
(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1(根式的概念:
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0
=0。
注意:
(1)?a
(2)当 n
?a ,当 n
?|a|??
2(分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义,规定:a?
30
正数的正分数指数幂的意义:a_m
nmnn?a,a?0 ?a,a?0?a?0,m,n?N?,且n?1) ?1 am
n(a?0,m,n?N?,且n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质
(1)aa?arsr?s(a?0,r,s?R)
31
范文三:高中数学必修一教材分析1
高中数学必修一教材分析
作为新课程高中数学的起始模块—必修一,它是由“第一章集合和函数概念、第二章基本初等 函数、第三章函数的应用”三部分内容组成 . 下边为了便于讨论,我们分章对于教材作一一分析 . 1 集合
集合是近代数学中的一个重要概念,集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础, 它不仅与高中数学的许多内容有着联系,而且已经渗透到自然科学的众多领域,应用十分广泛。中 学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素,用集合语言可以简明地表述数学概念, 准确、简捷地进行数学推理 .
本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章,这种 安排与以往的教材的处理有很大的区别 . 例如, 集合的基本关系, 是将集合的包含和相等关系放在一 起,并给出子集的概念;集合的基本运算,是将集合的交、并、补放在这一节,并给出全集的概念, 这样安排给学生展现出知识间的联系,便于学生学习 .
教学目标
集合语言是现代数学的基本语言 . 使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容(集合 的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础),因此高中数学课 程中只是将集合作为一种语言来学习 .
⑴了解集合的含义,明确元素与集合的“属于”关系 . 掌握描写某些数集的专用符号 .
⑵理解集合的表示法,能用集合语言对事物进行准确,能选择自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题 .
⑶理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 . 培养分析、比较、归纳的逻辑思维 能力 .
⑷了解全集与空集的含义 .
⑸理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集 .
⑹理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 .
⑺能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 .
教学重点和难点
教学重点
(1)了解集合的含义与表示 .
(2)理解集合间的包含与相等含义,子集与真子集的概念 .
(3)理解交集与并集、全集与补集的含义 .
教学难点
(1) 运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合 . (集合法的恰当选择)
(2)属于关系与包含关系的区别 .
(3)交集与并集的概念的理解,交集与并集的符号之间的区别与联系 .
知识结构与教学安排
2 函数
20世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下,函数进入了中学 数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容,他认为:“函数 概念,应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心,将全部数学教材集中在它周围,进行充分地 综合。”在高中课程中,函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用,包括概率 统计中的随机变量等, 以及选修系列 3、 4中的大部分专题内容, 都与函数有着密切的联系。 用函数 (映 射 ) 的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。反过来,通过这些内容的学习,可以加深对 于函数思想的认识。实际上,在整个高中数学课程中,都需要不断地体会、理解“函数思想”给我 们带来的“好处”。
教学目标
⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 .
⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念 .
⑶了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 .
⑷能根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 .
⑸了解简单的分段函数,并能简单应用 .
⑹了解映射的概念 .
⑺了解增函数、减函数的概念,理解函数的单调性,能利用单调性的定义判断函数的单调性 . ⑻理解二次函数的图象变换,掌握二次函数的性质,并会利用二次函数的图象和性质求最值 . (9)了解函数奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性,能根据函数的奇偶性解决有关问题 . (10)能运用函数的图象理解和研究函数的性质 .
教学重点和难点
教学重点
(1)理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 .
(2)理解函数的概念,函数的表示法 .
(3)理解函数单调性、奇偶性的概念,学会判断和证明函数的单调性、奇偶性 .
(4)掌握用函数的单调性求一些函数的最大值
教学难点
(1)对抽象符号 ()
f x 的理解,分段函数的表示及图像 .
(2)应用定义证明单调性 .
(3)利用数学本质正确判断函数的奇偶性 .
知识结构与教学安排
课时安排
本章教学时间约需要 13课时,具体分配如下:
1.1 集合 约 4课时 1.2 函数及其表示 约 4课时 1.3 函数的基本性质 约 3课时 实习作业 约 1课时 小结 约 1课时 3 指数函数和对数函数
函数是贯穿中学数学的核心内容 , 本章继第一章学习完函数概念和基本性质后 , 较为系统地研究 最重要的两个基本初等函数 :指数函数和对数函数 . 通过这些函数的研究 , 使学生进一步认识到函数 是刻画现实世界变化规律的重要模型 , 是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应 关系的数学模型 . 并要求结合实际问题 , 感受运用函数概念建立模型的过程与方法 .
教学目标
⑴理解有理指数幂的含义,了解无理指数幂及实数指数幂的意义 , 掌握幂的运算 .
⑵了解指数函数模型的实际背景 .
⑶理解指数函数的概念和意义 , 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象 , 探索并理解指 数函数的单调性和特殊点 .
⑷在解决实际问题的过程中 , 体会指数函数是一类重要的函数模型 .
⑸理解对数的概念及其性质 , 知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数 . ⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用 .
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系 , 初步理解对数函数的概念 , 体会对数函数是一类重要的 函数模型 .
⑻能够画出具体的对数函数的图象 , 了解对数函数的单调性与特殊点 .
⑼了解反函数的定义 , 知道指数函数 x y a =与对数函数 log (0, 1) a y x a a =>≠互为反函数 . ⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点,会区别它们变化的速度的不同 .
教学重点和难点
教学重点
(1)指数函数、对数函数的概念和运算性质 .
(2)指数函数和对数函数的图象和性质 . 幂函数的一些性质 (3)对数式与指数式的互化 教学难点
(1) 分数指数幂的概念理解 . (2) 对数函数概念的理解
(3)底数 a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响 .
2.3 幂函数 约 1课时
小结 约 1课时
4 函数的应用
函数是高中数学的起始课程,函数的重要性主要表现在两个方面:一是函数思想的价值;二是 函数的应用价值 . 从两个方面学习函数的应用, 一是函数与其它数学内容的联系:再一个是函数与实 际的联系 . 力图在理念、方法和能力上为高中阶段的学习奠定基础 .
教学目标
⑴结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方 程根的联系 .
⑵根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解二分法是求方程 近似解的常用方法 .
⑶能利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 .
教学重点和难点
教学重点
(1)函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数的观点处理问题的意识
(2)通过“二分法”求方程的近似解 .
(3) 将实际问题转化为函数模型, 比较常数函数、 一次函数、 指数函数、 对数函数模型的增长差异, 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学难点 (1)函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透 .
(2)怎么选择数学模型分析解决实际问题。
知识结构与教学安排
本章教学时间约需要 9课时,具体分配如下:
3.1 函数与方程 约 3课时 3.2 函数建模及其应用 约 4课时 实习作业 约 1课时 小结 约 1课时
范文四:高中数学必修一教材分析1[1]
高中数学必修一教材分析
作为新课程高中数学的起始模块—必修一,它是由“第一章集合和函数概念、第二章基本初等函数、第三章函数的应用”三部分内容组成. 下边为了便于讨论,我们分章对于教材作一一分析.
1 集合
集合是近代数学中的一个重要概念,集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础,它不仅与高中数学的许多内容有着联系,而且已经渗透到自然科学的众多领域,应用十分广泛。中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素,用集合语言可以简明地表述数学概念,准确、简捷地进行数学推理.
本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章,这种安排与以往的教材的处理有很大的区别. 例如,集合的基本关系,是将集合的包含和相等关系放在一起,并给出子集的概念;集合的基本运算,是将集合的交、并、补放在这一节,并给出全集的概念,这样安排给学生展现出知识间的联系,便于学生学习.
教学目标
集合语言是现代数学的基本语言. 使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容(集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础),因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.
⑴了解集合的含义,明确元素与集合的“属于”关系. 掌握描写某些数集的专用符号. ⑵理解集合的表示法,能用集合语言对事物进行准确,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
⑶理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
⑷了解全集与空集的含义.
⑸理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. ⑹理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ⑺能使用Venn 图表达集合的关系及运算.
教学重点和难点
教学重点
(1)了解集合的含义与表示.
(2)理解集合间的包含与相等含义,子集与真子集的概念.
(3)理解交集与并集、全集与补集的含义. 教学难点
(1)运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合. (集合法的恰当选择) (2)属于关系与包含关系的区别.
(3)交集与并集的概念的理解,交集与并集的符号之间的区别与联系.
知识结构与教学安排
2 函数
20世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下,函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容,他认为:“函数概念,应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心,将全部数学教材集中在它周围,进行充分地综合。”在高中课程中,函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用,包括概率统计中的随机变量等,以及选修系列3、4中的大部分专题内容,都与函数有着密切的联系。用函数(映射) 的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。反过来,通过这些内容的学习,可以加深对于函数思想的认识。实际上,在整个高中数学课程中,都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
教学目标
⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型. ⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念.
⑶了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
⑷能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. ⑸了解简单的分段函数,并能简单应用. ⑹了解映射的概念.
⑺了解增函数、减函数的概念,理解函数的单调性,能利用单调性的定义判断函数的单调性. ⑻理解二次函数的图象变换,掌握二次函数的性质,并会利用二次函数的图象和性质求最值. (9)了解函数奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性,能根据函数的奇偶性解决有关问题. (10)能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
教学重点和难点
教学重点
(1)理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. (2)理解函数的概念,函数的表示法.
(3)理解函数单调性、奇偶性的概念,学会判断和证明函数的单调性、奇偶性. (4)掌握用函数的单调性求一些函数的最大值 教学难点
(1)对抽象符号f (x ) 的理解,分段函数的表示及图像. (2)应用定义证明单调性.
(3)利用数学本质正确判断函数的奇偶性.
知识结构与教学安排
课时安排
本章教学时间约需要13课时,具体分配如下:
1.1 集合 约4课时 1.2 函数及其表示 约4课时 1.3 函数的基本性质 约3课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时
3 指数函数和对数函数
函数是贯穿中学数学的核心内容, 本章继第一章学习完函数概念和基本性质后, 较为系统地研究最重要的两个基本初等函数:指数函数和对数函数. 通过这些函数的研究, 使学生进一步认识到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型, 是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型. 并要求结合实际问题, 感受运用函数概念建立模型的过程与方法.
教学目标
⑴理解有理指数幂的含义,了解无理指数幂及实数指数幂的意义, 掌握幂的运算. ⑵了解指数函数模型的实际背景.
⑶理解指数函数的概念和意义, 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性和特殊点.
⑷在解决实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型.
⑸理解对数的概念及其性质, 知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数. ⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的函数模型.
⑻能够画出具体的对数函数的图象, 了解对数函数的单调性与特殊点.
⑼了解反函数的定义, 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) 互为反函数. ⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点,会区别它们变化的速度的不同.
教学重点和难点
教学重点
(1)指数函数、对数函数的概念和运算性质.
(2)指数函数和对数函数的图象和性质. 幂函数的一些性质 (3)对数式与指数式的互化 教学难点
(1) 分数指数幂的概念理解. (2) 对数函数概念的理解
(3)底数a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.
课时安排
本章教学时间约需要14课时,具体分配如下:
2.1 指数函数 约6课时 2.2 对数函数 约6课时 2.3 幂函数 约1课时 小结
约1课时
4 函数的应用
函数是高中数学的起始课程,函数的重要性主要表现在两个方面:一是函数思想的价值;二是函数的应用价值. 从两个方面学习函数的应用,一是函数与其它数学内容的联系:再一个是函数与实际的联系. 力图在理念、方法和能力上为高中阶段的学习奠定基础.
教学目标
⑴结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.
⑵根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解二分法是求方程近似解的常用方法.
⑶能利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
教学重点和难点
教学重点
(1)函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数的观点处理问题的意识 (2)通过“二分法”求方程的近似解.
(3)将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 教学难点(1)函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透. (2)怎么选择数学模型分析解决实际问题。
知识结构与教学安排
本章教学时间约需要9课时,具体分配如下:
3.1 函数与方程 约3课时 3.2 函数建模及其应用 约4课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时
范文五:高中数学必修一教材分析
高中数学必修一教材分析
李涛 陕西师大附中 710061
作为新课程高中数学的起始模块—必修一,它是由“第一章集合、第二章函数、第三章指数函数和对数函数、第四章函数应用”四部分内容组成. 尽管“集合、函数、指数函数和对数函数”这三部分内容属于我国高中数学课程的传统内容,但和《全日制普通高级中学数学教学大纲(2002年
)》版教材(下称《大纲》版教材)相比,《高中数学课程标准》版教材(由于我省各地市使用颁布
的数学教材均为北师大版,所以,下边的讨论均以北师大版教材为基础,并简称其为《标准》版教材)以《高中数学课程标准》为基础对其所涉及的相当一部分内容作了新的处理,在要求上也有了一定程度的变化.“第四章函数应用”内容包括“函数与方程、实际问题的函数建模”两部分,这是新课程中增加的新内容,旨在突出“函数与方程”的数学思想、强调数学的实际应用.下边为了便于讨论,我们分章对于教材作一分析.
1 集合
集合是近代数学中的一个重要概念,集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础,它不仅与高中数学的许多内容有着联系,而且已经渗透到自然科学的众多领域,应用十分广泛。中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素,用集合语言可以简明地表述数学概念,准确、简捷地进行数学推理.
本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章,这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如,?2集合的基本关系,是将集合的包含和相等关系放在一起,并给出自集的概念;?3集合的基本运算,是将集合的交、并、补放在这一节,并给出全集的概念,这样安排给学生展现出知识间的联系,便于学生学习.
1.1 课程标准要求
(1)集合的含义与表示
? 通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
? 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.
(2)集合间的基本关系
? 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
? 在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)集合的基本运算
? 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
? 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
? 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 1.2 教学目标
集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容(集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础),因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.
1.2.1 知识与技能
?了解集合的含义,明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号.
?理解集合的表示法,能用集合语言对事物进行准确,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
?理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
?了解全集与空集的含义.
?理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.
?理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
?能使用Venn图表达集合的关系及运算.
1.2.2 过程与方法
?从学生比较熟悉的实例入手,通过列举丰富的实例,了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
?创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会,以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、图形语言、集合语言各自的特点,进行相互转换并掌握集合语言.
?借助几何直观,运用Venn图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算,从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题,体现数形结合的思想.
1.2.3 情感、态度、价值观
?在运用集合语言解决问题的过程中,逐步养成事实求是,扎实严谨的科学态度,学会用数学思维方法解决问题.
?通过直观感知,类比联想和抽象概括,让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序,培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识.
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构
第一章 集合 现代数学的基石
集合是一种数学语言 集合的含义与表示
集合的基本关系 集合间的内在联系
集合的基本运算
集合间的三种基本运算
交全
集集
与与
并补
集 集
1.3.2 教学顺序
列举法
描述法 集合的含义及表示
Venn图
包含 集合 集合的基本关系
相等
交集
集合的基本运算 并集
补集
1.3.2 课时安排
?1 集合的含义与表示 约1课时 ?2 集合的基本关系 约1课时 ?3.1 交集与并集 约1课时 ?3.2 全集与补集 约1课时 复习小结 约1课时 1.4 教学重点和难点
1.4.1 教学重点
(1)集合的概念与表示.
(2)集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念.
(3)交集与并集、全集与补集的概念.
1.4.2 教学难点
(1)运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合.
(2)属于关系与包含关系的区别.
(3)交集与并集的概念的理解,交集与并集的符号之间的区别与联系.
1.5 教学建议
1.5.1 把握课标、教材的定位,明确教学目标
?集合作为一种数学语言来学习,尽管集合是数学的一个重要概念,但教材中给出的集合的概念只是一个描述性的说明,在教学中注意通过实例使学生对集合的概念有一个初步认识
?不抠概念,只要求能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具 体问题
1.5.2 充分利用几何直观
?注重图形(Venn图和数轴)的直观作用。利用图形帮助学生理解集合的有关概念,并能够用图形直观地认识集合的运算性质(这些性质不予证明)。
1.5.3 集合教学中要注意的问题
?用学生熟悉的例子学习集合,不引入陌生问题
?熟练准确地运用集合语言,是要靠长期积累的,这里只是初步掌握,将在后面学习中提高,切忌“一步到位”
?不强调细枝末节,如集合的“三性”(确定性,无序性,互异性)
2 函数
20世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下,函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容,他认为:“函数概念,应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心,将全部数学教材集中在它周围,进行充分地综合。”在高中课程中,函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用,包括概率统计中的随机变量等,以及选修系列3、4中的大部分专题内容,都与函数有着密切的联系。用函数(映射)的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。反过来,通过这些内容的学习,可以加深对于函数思想的认识。实际上,在整个高中数学课程中,都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
函数各章除三角函数外,基本集中在必修1中,分为第二章、第三章、第四章。本章是第二章,不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,将函数的思想方法贯串于初中学的几种基本函数的再认识过程;而在第三章将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,具体体会两种函数模型的知识和研究规律;第四章结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解,体会函数与方程的有机联系。
显然,本章是整个函数体系的根部,其函数概念是高中数学的核心概念,是函数体系生成的种子;其三要素问题,会成为把握各种函数(如指数函数、对数函数)内涵的基点;其表示法为各种函数(如指数函数、对数函数)的运用示范了三种常见形态,且引出的分段函数是进一步理解函数概念、进而提高各种函数(如指数函数、对数函数)运用能力的绝好材料;而映射的学习,强调了函数概念的动态性和在两个集合间进行信息沟通的功能,有利于函数的理论研究,从而推动各种函数(如指数函数、对数函数)的理论学习和研究,这显然弥补了变量观点下函数概念的不足;函数单调性在各种函数研究中有着特殊的地位,本章在初中函数值变化的基础上,进行了数式刻画,就严格的概念、判断、证明等进行专门学习和训练,随后还学习了奇偶性及其判断,为各种函数(如指数函数、对数函数)的运用做好准备;本章还专门设置了“二次函数再认识”一节,既是为各种函数(如指数函数、对数函数)走向综合运用作进一步的知识准备,也是由函数新的理论层面(概念、表示、性质)来重新理解和描述已学函数模型的一个较为完整的过程,为下一章指数函数、对数函数的研究提供方法上的示范,随后还渗透了幂函数,使下一章集中更多精力研究指数函数和对数函数。
本章第一节着重联系函数与生活的关系,并展现生活中变量关系的丰富性,把函数作为变量关系的特殊化;函数概念的展开过程把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来处理,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法.这些处理,实际上在有效地发展着学生对实际问题的抽象意识和对变量数学的认识,从而为发展学生的函数意识和函数建模能力作必要的分解和铺垫;这种意识层的铺垫,加上本章以一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数为模的建模渗透,以及下一章以指数函数、对数函数为模的建模渗透,即可促成第四章中通性意义上的函数建模训练及三个分解步骤的展开。
总之,本章是函数的核心部位,也是必修1的核心部位。前面学习的集合为本章“函数的再认识”提供了背景;而本章着重研究了函数的一般性知识,为后面进行的具体函数理论研究作了基础性和工具性的准备,同时,也为后面进行实际应用作了理论和意识层的准备,也为建模训练作了感性积累。
2.1 课程标准要求
? 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
? 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
? 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
? 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合
具体函数,了解奇偶性的含义。
? 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
231/2 ?通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x, y=x, y=1/x, y=x的图象,了解它们的变化情况。
2.2 教学目标
2.2.1 知识与技能
?了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.
?能用集合与对应的语言刻画函数概念.
?了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
?能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
?了解简单的分段函数,并能简单应用.
?了解映射的概念.
?了解增函数、减函数的概念,理解函数的单调性,能利用单调性的定义判断函数的单调性.
?理解二次函数的图象变换,掌握二次函数的性质,并会利用二次函数的图象和性质求最值.
1,2312?了解幂函数的概念,结合函数的图象,了解幂函数的图yxyxyxyxyx,,,,,,,,,
象的变化情况.
?了解函数奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性,能根据函数的奇偶性解决有关问题.
?能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
2.2.2 过程与方法
?在复习初中函数定义的基础上,从贴近学生实际出发,结合具体的实例理解函数的定义,会求简单函数的定义域和值域,并会用集合、区间、不等式表示它们.
?通过学习函数常用的三种表示方法及相关实例进一步理解函数的概念.同时在学习映射概念的基础上明确两者之间的区别与联系——函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
?在作二次函数图象的过程中,学会体会图象之间的变换规律,理解二次函数图象与的abc,,关系.
?先给出几个特殊函数的图象,通过图象直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立.在此基础上建立奇偶函数的概念.
2.2.3 情感、态度、价值观
?引导学生从集合、对应出发来理解抽象的函数概念,学会函数的表示方法.从众多现实问题中抽象出本质属性,培养学生的严谨意识及分析问题、处理问题的能力.
?通过实例,感受函数概念在客观实际中的重要意义,进一步体会数形结合的重要性.
?从图象的变化过程,学会认识事物由简单到复杂,由具体到抽象的变化规律.
?通过研究奇偶函数的性质体会函数图象的对称性与函数解析式的关系. 函数的奇偶性将这两者紧紧联系起来,体现了数学上的对称美及数与形的完美结合,并从中提高分析问题、解决问题的能力.
2.3 知识结构与教学安排
2.3.1 知识结构与教学顺序
生活中的变量
映射 函数概念(再认识)
函数的表示法 分段函数
函数的单调性
最值 奇偶性
二次函数 (简单的)
(再认识) 幂函数
2.3.2 课时安排
本章教学时间约9课时。
?1 生活中的变量关系 1课时
?2 对函数的进一步认识
?2.1 函数概念 1课时
?2.2 函数的表示法 1课时
?2.3 映射 1课时
?3 函数的单调性 1课时
?4 二次函数性质的再研究 2课时
?5 简单的幂函数 1课时
小结与复习 1课时
2.4 教学重点和难点
2.4.1 教学重点
(1)理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.
(2)函数的概念,函数的表示法.
(3)函数单调性的概念,判断和证明函数的单调性.
(4)二次函数图象的平移变换规律及应用;二次函数解析式的配方以及二次函数在给定区间上的值域问题;含参数的二次函数在给定区间上的值域问题.
(5)幂函数的概念、奇偶函数的概念.
2.4.2 教学难点
(1)对抽象符号的理解,分段函数的表示及图像. fx()
(2)应用定义证明单调性的代数推理论证能力的培养与提高.
(3)含参数的二次函数在给定区间上的值域问题.
(4)利用数学本质正确判断函数的奇偶性.
2.5 教学建议
2.5.1紧扣教材特点
“亲和力”:以生动活泼的呈现方式,激发兴趣和美感,引发学习激情;
“问题性”:以恰时恰点的问题引导数学活动,培养问题意识,孕育创新精神;
“科学性”与“思想性”:通过不同数学内容的联系与启发,强调类比,推广,特殊化,化归等思想方法的运用,学习数学地思考问题的方式,提高数学思维能力,培育理性精神;
“时代性”与“应用性”:以具有时代性和现实感的素材创设情境,加强数学活动,发展应用意识.
2.5.2教材的整体把握与分点处理建议
本章是函数的起始和核心单元,重点、难点密集.许多知识点运用广泛,且稍加变化就衍生出灵活的题型,如果不加拓展,学生解题实践中往往对常见的问题也很困难。也许正因为如此,过去和现在的所有教材,对概念部分都只涉及函数的皮毛,对最内核的理解和运用慎之又慎,特别是三要素的求解。因此本章内容的处理要特别的瑾慎.
1.函数“对应”本质的把握,应该成为本章教学的重要原则
“?1生活中的变量关系”给出了变量间的多种对应关系,“2.1函数概念”中的定义却淘汰了其它对应,把关注点抽象到函数对应的特定内涵上;至“2.2函数的表示法”,函数的外形(即对应
法则)发生很大的变化(生活、表格、图示、分段、绝对值等),但统领它的仍是不变的函数对应f
特征;接下来的“映射”、“生活中的映射(阅读材料)”,是在非空数集和泛化为“非空集合”AB
后,函数的对应特征在应用层面的一种扩张;到“?3函数的单调性”将显示函数具有一一对应特征时的巨大应用优势,到“?4二次函数的再研究”将显示非一一对应的函数复杂之一斑,此时图示函数将成为化难为易的法宝;这两种对应特殊化就出现了“?5简单的幂函数”,图示后,成为奇偶性概念产生的契机;而最后,“函数概念的发展(阅读材料)”的副标题“从解析式到对应关系”则对全章作了总结,将“函数”本质定格在“对应”层面.
由此可见,如果我们在处理本章知识时,能从“对应”的层面着眼,手中就有了一根主线,它时时切中各点的本质,使我们考虑问题时易于把握相互的轻重关系,作出合理的安排.
2.理论研究的必要性与应用意识的结合
“?1生活中的变量关系”,及“2.1函数概念”中的概念例释和例题都是实际或物理学背景,构成最大胆也是最独特的设计方案,这种从实际到实际、再到实际的极端处理,对于彰显函数意识和应用意识这一新课标理念,效果是显著的。但从实现这一理念的操作环节来看,是否可以来得缓一点呢,因为函数概念的理性认识过浅,可能会严重妨碍后续具体函数的理论研究。因此,我们的建议是,仍然遵循从实际到理论、再由理论回到实际的程序,即:在函数各种概念建立之前,可提供充分的精典实例,让学生感知概念的实际意义,但概念建立后,主要还是从函数自身的理论体系上加以梳理和研究,训练巩固以后,再作为工具回到实际问题中展现数学的力量.
3.重视图像作用的发挥
在教学中,要重视图形在数学学习中的作用,挖掘函数图形对函数概念和性质的理解,对数学理解、数学思考的功能。我们可以经常提出这样一些问题:从函数图象中你“看到了”什么,发现了什么,有什么联想,等等。当然,我们也要注意几何直观的局限性,以及用几何直观代替逻辑证明的错误做法.
4.难点部位避免搞一次到位,采用立足初中、分步提高的办法
本章许多点需要螺旋式上升,不能一次到位,如函数三要素的求解等。这样的知识点一定要遵从课标,但是否要遵从教材就要视学生的情况而定。对基础较好的学校或班级,建议补充课时若干,突破这些重难点,教学的原则是分散难点,突出重点,削枝强干.
2.5.3关于信息技术整合的建议
必要性:信息技术应为数学的学与教服务,教学中不应为用信息技术而用,尤其是上公开课、研究课等,绝大部分都用信息技术,但是否每节课都需要呢?是不是计算机用得越多就越好呢?答案
都应是否定,是否真的需要,要看信息技术能否在课堂上为教学目标服务,起到传统方法达不到的效果.
整体性:一节课要用信息技术,到底什么地方用,用多少,如何用,要从这节课的整体考虑,计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的,要把它用得恰到好处。传统教学的优势应该保留,如教师示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流,教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等等。理想的教学应该是把教师与计算机的优势同时充分发挥出来,把计算机辅助教学与传统教学完美地结合在一起。为此就需要教师全新的教学设计。教学设计应遵循的原则,我们认为应该是“优势互补”的原则,既发挥计算机的优势,又发挥教师的主导作用。一句话能说明白的,一个教具能演示清楚的,不一定非用计算机演示。全新的教学设计并不是和传统的教学对立起来,而是把几方面的优势更好地结合起来.
2.5.4关于必修内容与选修内容衔接问题的建议
函数是贯穿于高中数学课程的主线之一,也是高中数学最基本的研究内容之一.在本章,学生将在义务教育阶段函数学习的基础上对函数概念有进一步的认识,并研究函数的性质。在必修1和必修4中学生还将继续学习一些常用的函数模型,如指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等,而选修2-1和选修2-2中学生还将学习导数及其应用。导数及其应用这部分内容将在必修数学的基础上,提供一种函数研究的新工具.
在必修内容教学中,如何处理好与选修内容的衔接呢,
1.重视概念教学,突出形数结合,为选学内容中概念理解作好准备
函数选学中的核心概念是导数的概念,掌握它的关键是理解函数的导数是函数单调性的更高级别的抽象。这里面的逻辑演变可以是:的单调性,即增加与增加的方向间关系增yfx,()yx,y量与增量的比值,即的平均变化率增量趋于零时,平均变化率有极限,x,xyfx,()yfx,()
即瞬时变化率,即的导数. yfx,()
这里的“极限”并不作严格的概念处理,但须突出其实际背景和几何意义.因此,如果不能将y=f(x)的单调性及其几何意义理解到位,显然不能理解好导数概念的.事实上,由此点可对其它概念的教学作一迁移思考.
2.重视基本初等函数的技能训练和思维训练,为导数求法作好准备
选学中有若干函数的求导公式,常用的原函数涉及到三次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等,他们的导函数将集中在二次函数等初等函数模型上。因此要解好相关导函数的运用问题,关键在必修课中要解决好这些初等函数相关基本技能的训练。
3.注意把握好研究单调性或最值时的初等方法和导数方法的度及分工。
当导数方法纳入高中数学主体结构后,用单调性定义讨论和证明函数单调性(即初等方法)的要求就大为降低,新课标更明确了这一点。由于导函数一般会较之原函数(特别是整式函数)简单,因而导数方法往往显得更为简捷。但这仅限于可导函数而已。因此,必修内容中函数单调性的研究仍要重视,但一般函数(大多可导)的单调性讨论不必讨论过深,一次函数、二次函数或反比例函数即可,主要掌握原理和步骤以及单调性的理解和判断,而同时应关注一些常见的不可导函数的单调性的问题,如离散函数的单调性.
对于函数的值域(最值)的研究也有类似的问题,它与单调性问题构成两类最重要的基本问题。 3 指数函数和对数函数
函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究最重要的两个基本初等函数:指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步认识到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法. 3.1 课程标准要求
(1)指数函数
14? 通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。
? 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
? 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
? 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,参见例2,。
(2)对数函数
? 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
? 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
x ? 知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数(a > 0, a?1). a
1.2 教学目标
1.2.1 知识与技能
?理解有理指数幂的含义,了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
?了解指数函数模型的实际背景.
?理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.
?在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
?理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
?了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
?了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
?能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.
x?了解反函数的定义,知道指数函数与对数函数互为反函数. ya,yxaa,,,log(0,1)a
?掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点,会区别它们变化的速度的不同. 1.2.2 过程与方法
?在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,结合具体实例,引入有理指数幂及其运算性质,进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程.
?通过具体的指数函数图象,由特殊到一般地研究指数函数的性质.
?通过对数与指数之间的关系,理解对数概念,并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推出对数的运算性质.
?通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数,并由对数函数的图象研究对数函数的性质,并通过类比指数函数,加深对对数函数的理解.
?借助函数图象,研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系. 1.2.3 情感、态度、价值观
?在从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的推广过程中,以及指数函数和对数函数等内容的学习过程中,体会事物从特殊到一般,从低级到高级的发展规律,树立辨证唯物主义观念,养成实事求是的科学态度,培养科学的思维方式.
?在利用本章知识在解决实际问题的过程中,认识到知识来源于生活并最终服务于生活,提高学习数学的兴趣,树立学生学好数学的信心.
?本章内容蕴涵了许多数学思想方法,如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等,通过这些思想方法在具体问题中的运用,体会这些数学思想方法,培养学生更加开阔的数学视野,逐步
认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义.
?通过实例,提高解决实际问题的能力,发挥个人的能力,构建数学模型,养成独立思考问题的能力.
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构与教学顺序
指数运算性质 对数运算性质
指数概念的扩 充
正整数整数 有理数实数 对 数
指数幂 指数幂 指数幂 指数幂
整数指有理数指指数函正整数指
数函数 数函数 数 数函数
对数函数
指数函数概念的扩充
指数函数的性质 对数函数的性质
1.3.2 课时安排
本章教学时间约需要14课时,具体分配如下:
?1 正整数指数函数 1课时
?2 指数扩充及其运算性质 3课时
2(1 指数概念的扩充
2(2 指数运算的性质
?3 指数函数 3课时
3(1指数函数的概念
1xx 3(2指数函数和的图像和性质 y,2y,()2
3(3 指数函数的图像和性质
?4 对数 2课时
4(1 对数及其运算
4(2 换底公式
5 对数函数 3课时 ?
5(1 对数函数的概念
5(2 的图像和性质 yx,log2
5(3 对数函数的图像和性质
?6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1课时
小结与复习 1课时
1.4 教学重点和难点
1.4.1 教学重点
(1)分数指数幂的概念、指数的运算性质.
(2)对数的概念和运算性质.
(3)指数函数和对数函数的图象和性质.
1.4.2 教学难点
(1)分数指数幂的概念.
(2)底数对指数函数与对数函数的函数值变化的影响. a
(3)指数函数、对数函数以及幂函数增长的比较.
1.5 教学建议
1.5.1注意与初中内容及选修内容的衔接
?与初中内容的衔接
本章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中的内容没有学习好或遗忘的过多,学习本章就有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的,如函数的概念、函数图象的描绘;又如指数概念的扩充,如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识,有理数指数幂就无法给出,运算性质也是如此,因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系,做好初、高中数学的衔接和过渡工作。
?与选修的衔接
必修1是对函数概念的再认识阶段,即用集合、映射的思想理解函数的一般定义,加深对函数概念的理解,在此基础上研究了指数函数、对数函数,从而使学生获得较为系统的函数知识,并初步培养了函数的应用意识,为今后必修4学习三角函数、必修5学习数列选修中学习导数及其应用,概率 ,坐标系与参数方程,打下良好的基础,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高,也是进
一步学习、参加生产和实际生活中需要具备的基础知识(总体上,函数的学习经历了一个不断螺旋上升的过程。因此,要注意必修与选修的的联系,也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。
1.5.2 准确把握教学要求
与以往教材比较,本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化,归纳起来有如下几点:
?以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质,不要求学生了解无理指数幂,不要求用有理指数幂逼近无理指数幂;本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算,并体会“用有理数逼近无理数”的思想。
?以往教材在对数换底公式上没有要求;这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
?以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质;这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
?以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数;这里对反函数的处理,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,只通过比较同底的指数
x函数和对数函数,说明指数函数和对数函数互为反函数,不要求一般yxaa,,,log(0,1)ya,a
地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数。
?以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求;这里要求学生在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
教学中要切实关注上述变化,把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景,通过实例体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义,以及了解这些函数模型的广泛应用上,而不要过分地追求那些细枝末节(如求定义域、值域,讨论复合函数的单调性、奇偶性等)。
1.5.3突出指数与对数函数是现实世界中的重要数学模型,强调它们的实际背景和应用价值
把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法,强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型,这是本章学习要求的重要变化。因此,要加强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学;要利用适当的事例,让学生体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义;另外,还可以要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实
例,去了解这些函数模型的广泛应用。
1.5.4引导学生体会数学知识结构的严谨性
本章中,指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理性、严谨性的要求,教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质,是在整数指数幂的基础上,先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质;然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下,再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。指数幂的运算性质的每一次推广,都需要考虑严谨性的要求。 1.5.5充分发挥函数图象的几何直观作用,加强数形结合思想教学
数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法,它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质(例如增长模式)是十分重要的,同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷,并且可以构建一种动态环境,为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。因此,本章内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的数学载体.教学中应充分注意发挥函数图象的作用,让学生自己作出函数图像,通过观察图象变化规律来研究函数的性质。 1.5.6恰当使用信息技术
教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质,但本章中有许多内容适合使用信息技术,例如指数、对数值的计算;借助计算工具,比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异;借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象,探索并理解它们的单调性与特殊点,等等。都体现了加强与信息技术整合的要求(因此,只要条件允许,教学中就应当充分使用信息技术。
1.5.7加强学科联系,体现学科综合优势
当前数学课程改革的思路之一是课程设置应注重学生对社会的适应性,并将培养学生创新精神和实践能力摆到突出地位。“数学的应用价值和思维价值正在相互交融。数学对少数人有用的时代已经过去,它正在成为今日社会的一张‘通行证’”。很明显,教材在这一单元内容的选择上非常注重贴近生活实际和和与其他学科间的沟通,如生物,物理、化学、考古、社会等大量的实际案例。这是因为,综合能力的培养是建立在学科知识综合基础上进行的,是建立在与其他学科相关知识联系的基础上进行的。因此,首先就要求教师有这种综合意识,并努力挖掘与本学科有关的其他学科的知识,启发引导学生主动参与这种迁移学习活动,并加强“综合实践活动”课的力度。 4 函数应用
函数是高中数学的起始课程,函数的重要性主要表现在两个方面:一是函数思想的价值;二是
函数的应用价值.为了充分体现《普通高中数学课程标准》的精神,有效地落实《普通高中数学课程标准》的目标,在北师大版高中数学教材中单独设立了“函数应用”一章.在本章里,将从两个方面学习函数的应用,一是函数与其它数学内容的联系:再一个是函数与实际的联系.力图在理念、方法和能力上为高中阶段的学习奠定基础.
1.1 课程标准要求
(1)函数与方程
? 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与 方程根的联系.
? 根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求 方程近似解的常用方法.
(2)函数模型及其应用
? 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
? 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用.
1.2 教学目标
函数是应用广泛的数学模型.它非常有用,主要表现在两个方面:一方面,在数学中,函数是基本的研究对象,与其它研究对象有着密切联系;另一方面,在日常生活中,函数可有效地描述、刻画、反映客观规律,一旦将客观现象用函数表示出来,就可以对现象给予分析和解释,明确现象的规律和特征.通过本章的学习,将促进学生对函数的全面理解,加强应用数学的意识. 1.2.1 知识与技能
?结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.
?根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解二分法是求方程近似解的常用方法.
?能利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
1.2.2 过程与方法
?在用函数的过程中进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型,理解函数的概念、性质和函数思想方法.
?在用数学解决问题的实践中,了解数学建模的意义,提高学生分析问题解决问题的能力,感受数学应用的层次,发展应用意识,体验数学建模的过程与步骤. 1.2.3 情感、态度、价值观
?通过本章的学习,激发学习数学的兴趣和问题意识,在集中尝试用数学解决实际问题中,增强解决问题的自信心.
?通过本章的学习,在用数学的眼光观察生活、社会与自然的过程中,更加热爱生活,使生活更加有情趣.
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构
函数应用
数学应用:函数与方程 实际应用:函数建模
实际问题的函数表示 利用函数性质判定方程
的实数解的存在性 fx()0,
利用函数性质
解决实际问题 用二分法求方程解的近似值
选定初始区间
函数建模
取区间的中点 实际情景
是 中点函数 提出问题
值为零
否
函数模型 M
不合乎实际 否 检验 N
合乎实际 是
结束 实际问题结果
1.3.2 教学顺序与课时安排
?1 函数与方程
?1.1 利用函数性质判定方程解的存在 约1课时 ?1.2 利用二分法求方程的近似解 约1课时 ?2 实际问题的函数建模
?2.1 实际问题的函数刻画 约1课时 ?2.2 用函数模型解决实际问题 约1课时 ?2.3 函数建模案例 约1课时 复习小结 约1课时 1.4 教学重点和难点
1.4.1 教学重点
(1)函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透.
(2)二分法求方程的近似解.
(3)函数建模.
1.4.2 教学难点
(1)函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透.
(2)函数建模.
1.5 教学建议
1.5.1 从两个方面展开数学应用,突出用数学知识解决问题
?一是函数与其它数学知识的有机联系,在本章中集中研究的是从函数特征判定方程实数解的
存在性及求方程的近似解;二是函数与实际问题的联系,用函数解决实际问题。
?对学生来讲,函数与方程的关系容易接受,理解求方程实数解的问题就是求函数的零点问题
不会有太大的困难。但当遇到实际问题的时候,学生往往显得没有信心,甚至束手无策,在教学中,
先引导学生解决一些简单问题,再去面对需要数学建模全过程的实际问题。 1.5.2 适时渗透数学思想,准确把握尺度
?在本章的第一节“函数与方程”的教学中,是渗透“函数与方程思想”、“数形结合思想”的
最好机会。“方程fx()0,的解”“函数yfx,()的图象与轴交点的横坐标”;“方程,xfxgx()(),的解”“函数yfx,()的图象与ygx,()的图象交点的横坐标”。这正是“函数与,
方程思想”的本质,应作为这一部分内容教学的重点。
?同时,本章的教学还与以下四个词有联系:连续、近似、逼近、模型。它们是数学的四个基本概念,也是重要的数学思想,但在高中阶段,只是在教学中适当渗透,不必去解词析义,而是通过设计适当的教学环节使学生适当有所感受即可。
[参考文献]
[1]严士健,张奠宙.王尚志.《普通高中数学课程标准解读》.江苏教育出版社,2004年4月第1版. [2]严士健,王尚志.严士健,李延林.《数学1》(必修).北京师范大学出版社,2003年3月第3版. [3] 严士健,李延林. 《数学1》(必修)教师教学用书. 北京师范大学出版社,2007年6月第4版.