范文一:双曲线的渐近线教案
§2.3.3双曲线的渐近线
学习目标
知识与能力:掌握双曲线的渐近线方程并能熟练求解
过程和方法:通过学习,培养学生的观察、归纳、分析能力
情感态度与价值观:引导学生通过类比思想发现共渐近线的双曲线方程
的特点
重点、难点:双曲线的渐近线方程及对共渐近线双曲线系方程的求解 教学方法:启发引导式
教学安排:1课时
教学过程:
一、课前回顾
双曲线几何性质回顾表格(学生填写)
二、知识归纳
(1)若双曲线方程为(a>0,b>0),则该双曲线的渐进线方程为
。
(2)若双曲线方程为(a>0,b>0),则该双曲线的渐进线方程为
。
2、等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
(2)等轴双曲线的渐进线方程为y=±x,且两条直线互相垂直。
例1:若等轴双曲线的一个焦点是F(-6,0),则它的方程为
分析,学生求解)
3、共渐近线的双曲线系方程(学生讨论)
(1)与双曲
线(a>0,b>0)共渐近线的双曲线系方程可设
为。(老师
(2)与双曲
线(a>0,b>0)共渐近线的双曲线系方程可设
为
例2求与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程. 解:设所求双曲线方程为 将点代入,得 则所求双曲线方程为
三、课堂练习
1.双曲线
A. B. 的渐近线方程为( C ) C. D.
2.已知,直线x是双曲线的一条渐近线,则
3.已知双曲线的渐近线方程为
x,求此双曲线的离心率。
四、拓展延伸(高考链接)
已知双曲线
的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( A ) A. B. C. D.
五、作业
课本 习题2.3 A
组 3,6
范文二:双曲线的渐近线
双曲线的渐近线
环节一:探索发现特殊双曲线x2?y2?1的渐近线,给出渐近线的概念
师:同学们好!上节课我们研究了双曲线简单的一些几何性质:范围、对称性、顶点等。请大家思考:方程x2?y2?1是什么?
生:双曲线的方程。
师:请大家在练习本上画出相应的双曲线的草图。
(学生根据自己对双曲线的理解,在练习本上画图。教师巡视,发现问题。找几名学生板书。)
(学生可能出现的情况:开口过大或过小,形状类抛物线或圆弧)
师:画完之后看看和黑板上的图一样不一样,再和周围同学的对比一下,有没有区别。(用展示吗?)
(学生发现差异)
师:虽然是草图,也应该尽量画的准确,抓住双曲线的特点。板书的几名同学谈谈画图的依据。
生:找到顶点(?1,0),再找到(2,1)点,根据范围和对称性,以及对双曲线的形状的印象画出来。
师:这么画合理不合理呢?请大家用手中的图形计算器画出双曲线,观察形状,和我们自己画的有什么差异。
(学生用图形计算器画出图形,对比,分析产生差异的原因)
师:可以我们画出的图形和标准图形差距比较大,差异在哪里?
生:随着x的变化,图形的变化趋势不同。
师:产生差异的原因是什么?我们忽略了什么?
生:没有充分利用方程去画。
师:利用方程我们应该可以找到更合理的画图依据。请同学们观察、研究方程,看看它还能体现出曲线的什么几何性质。
(学生经过独立思考、讨论,可能有如下发现:由x2?y2?1,得到
分析出点(x,y)所在的区域;
将方程改写为y?x2?y2?(x?y)(x?y)?0,
发现双曲线与直线y??x无限贴近)
师:什么是双曲线与直线“无限贴近”?
生:随着x的增大,双曲线无限接近于直线,但是不相交。
师:真的是这样吗?你能否运用图形计算器,或者运用所学过的知识,从“数”的角度进行说明?
(给大家几分钟时间进行思考、讨论,教师巡视、指导)
(学生板书、用图形计算器或者实物投影展示,可能的情况有:由y?极限的思想说明随着x增大,y和x越来越接近;图形计算器将双曲线上点到直线的距离变化列表展示;将点到直线的距离用函数表示,利用单调性来说明;个人认为在此可以把以上每种想法都展示出来,因为属于不同学生的不同研究思
路,每一种说明都要落实如何用代数式体现“无限接近”“不相交”) 师:双曲线x2?y2?1的各支向外延伸时,与直线y??x无限接近,但永不相交,我们把直线叫做双曲线的渐近线。(板书)
师:以前我们似乎也遇到过这样的情况,你能举例说明吗?
生:指数函数、反比例函数、对勾函数等等。
师:(引导学生思考每种函数的渐近线是什么,从“数”上如何体现“无限接近,永不相交) x2y2
环节二:探索一般的双曲线2?2?1(a?b?0)的渐近线方程。 ab
x2y2
师:是不是所有的双曲线都有渐近线?如果有,双曲线2?2?1(a?b?0)的渐ab
近线方程是什么?
(学生可以运用图形计算器,从特殊方程入手,从而发现一般双曲线的渐近线方程,也可以类比得到x2?y2?1的渐近线方程的过程
:
bx2y?b(2?1)?y?y??x。) aa22
师:(演示精确说明的过程即课本62页“探究与发现”)(有无必要?)
bx2y2
师:这样,我们得到了一般双曲线2?2?1(a?b?0)的渐近线方程:y??x。从“形”aab
的角度看,双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交。从“数”的角度看,双曲线方程与它的渐近线方程之间有什么关系呢? x2y2
生:斜率的绝对值是虚半轴长与实半轴长之比;将2?2?1的“1”改写为“0”ab
即得到渐近线方程。
师:大家都说的非常好!这样我们通过方程研究了双曲线的一个很有特点的几何性质:渐近线。研究的过程体现了由“数”到“形”的解析几何基本思想。现在你能不能相对精确地画出双曲线的草图呢?
生:确定双曲线的定点及渐近线,使双曲线经过顶点并且与渐近线无限靠近,但不相交。
师:(PPT演示这个过程)
x2y2
环节三:探索双曲线2?2?1(a?b?0)的渐近线的性质及结论。 ab
师:你还可以得到哪些和渐近线有关的结论?
(学生可能的结论有:焦点在y轴上的双曲线方程;渐近线斜率越大,双曲线开
x2y2
口越大;2?2??(??0)表示有相同渐近线的双曲线方程等等) ab
师:关于渐近线,还有一些有趣的结论,课下我们可以继续挖掘。下课!
范文三:双曲线的渐近线
第二章 第3节
§2.3 双曲线的渐近线
学科数学 课时安排 1 第几课时 1 年级高二 班次__ 课型概念课
授课时间__ 编写人徐亮亮 审核人__
学习目标:
掌握双曲线的渐近线。
课前预习:
双曲线的渐近线:
课中学习:
重点:双曲线的渐近线.
难点:双曲线的渐近线的应用.
探究1:求双曲线的渐近线:
(1)x2y2
4?9?1
(2)x2
4?y2
9?4
(3)x2
4?y2
9??1
(4)x2y2
4?9??10
探究2:求双曲线x2?y2?1的渐近线和离心率。
当堂检测: 求与双曲线x2
4?y2?1有共同的渐近线,且经过点(4,1)的双曲线的方程。
课后练习:
一、基础题:
求以y??3x为渐近线,且经过点(1,6)的双曲线的方程。
二、提高题:
1、求以y??1
2x为渐近线,且焦距为10的双曲线的方程。
2
、求经过点(4,的等轴双曲线的方程。
范文四:双曲线的渐近线
双曲线的渐近线
授课教师 周 平
教学设计与实施过程 点评剖析
本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方教师不仅是在对教材的重
程等性质之后,探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐组与深入挖掘。通过教师与
近线,进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理,并应教材的相互作用,提供到课
用双曲线的渐近线,辅助画出双曲线,理解离心率的大小对双曲堂上与学生交流的课程内
线张口大小的影响。 容已经不再是教材静态的、
传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内,与椭单一的内容,而是内容更为教圆性质进行类比的方法来教学,我认为双线的渐近线是双曲线的丰富,思想更为鲜活,内涵材特性,并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式,很适合更为深刻,更重要的是改变处在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的传统数学课堂中教师不厌理 研究性学习的课程来进行教学。 其烦的反复讲解的教学方
式,而是通过问题情境,让
学生进行思考、探究、合作、
交流,激发学生的理性思
维,说理有据,不但学生之
间讨论的热情增高,同时,
学生之间的知识也得到了
互相补充,互相促进,加强
了对知识的理解。
提倡知识与技能、过程与方
法(在过程中培养能力、形
成意识)、情感态度价值观
经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内的有机整合,强调过程与结
在联系,理解双曲线渐近线的定义,掌握双曲线渐近线的方程及果的有机结合。教师首先要教其求法,并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图,体验用曲把学生看成是发展中的人,学线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略,感悟有限与无关注学生全面和谐的发展,目限,曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。 每个学生都有其发展的潜标 力,数学教育的最终目的是
育人,利用数学?的特点提
高学生的数学素养,提高整
体素质,而对学生发展的正
确认识也真体表现在我们
在教学中要教什么、给学生
一些什么东西、给学生留下
什么东西,如果过分强调知
识点,过多的反复强化训
练,而缺乏对学生在学习中
需要的学习策略、学习方法
的具体指导,缺乏对“双基”
发展的认识,缺乏对学生潜
力的认识,缺乏对哪些是学
生发展中需要的基本数学
素养的认识,那么,我们的
教学就会失去方向。 问问题情境是以学生自身周题围环境中的现象、自然、社(1)用列表描点法分别画出双曲线与椭圆
情会和其他科学或数学中的境 问题为知识学习的切入点,
是教学得以展开的起点,是。显然,椭圆被框在一个矩形框内,而双曲线都在
我们为了实现教学目标而
营造的特定背景,是数学学框外,向左右上下近伸,但这种延伸与函数的图象 习、数学思维和数学活动产一样吗, 生的具体条件。
在教师指导或引导下,让学
生经历“数学化”、“再创造”(2)一位同学在抄上面题目时,把的等号右边的1
的活动过程,正是为学生的误写为0,他画出的曲线是什么,对比两种曲线的形状与位置关感受、体验和思考提供了有系,你发现了什么,由此你能得到双曲线的那种特性, 效的途径。让学生置身于适
当的学习活动中,学生从自x(3)再观察反比例函数,指数函数y=2,对数函数己的经验和认知基础出发, 在教师的指导或引导下,通,正切函数y=tanx的图象,它们与双曲线
过观察、实验、归纳、类比、
抽象概括等活动,用数学的
思想与方法去组织、去发现有何共同之处。
或猜测数学概念或结论,迸
一步去证实或否定他们的
发现或猜测。 教上课开始,学生点击相关栏目,明确学习目标、利用已制作的“几利用《几何画板》学何画板”上的“双曲线图形”,移动鼠标,观察动态图形,发现变制作双曲线及其渐近线的过化规律,形成感性认识,置身问题情境,网上寻求解答。直观、形象、动态的功能,程 让学生自己动手拖动鼠标、
观察双曲线的点沿着曲线
变化的规律,从而发现其渐
近线的存在并寻找其方程。
教师充分利州网络的
环境下的现代信息技术动
感、直观的效果,激发学习
主动探索与思考的积极性。
教师在网络环境下的引导
作用应通过导学引思,使学
问题一,双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组,不同学生生目标明确、任务清楚、程可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义,生序有条不紊,过程具体落
实。
这八个问题,层层递22yx,,1进,环环相扣,逐步把对渐答:(课本中是从图中可以看出,双曲线的各支向外22ab近线的研究探索推向纵深,
b学生在教师设计的问题情延伸时,与两直线逐渐接近故称之“渐近”,按目前水y,,x境中,不断地提升认识、深a
平理解:就是一条曲线和一条直线无限靠近,但永不相交。也可入探究,主动建构对新知识以这样理解,当双曲线上动点M沿着双曲线无限远离中心时,点的理解。 M到这条直线的距离逐渐变小,而无限趋近于零。我们把两条直我们的教学应该在促
b进学生有意义的数学活动线叫做双曲线的渐近线(课本P109) y,,x中进行,我们要通过创设反a
我们阅读课外参考书时,知道渐近线有比较严格的定义: 映数学事实的恰当情境,要若曲线的上的某点到某直线的距离为d,当点趋向无穷远时 通过逻辑或实证的方法,通d能趋近于0,则这条曲线称为该曲线的渐近线。 过对话与多种方式的交流,按我们目前水平理解:就是一条曲线和一条直线无限靠近,但永在思想交锋中激活学生的不相交, 思维,使学生主动地参与到这就是渐近线的特点。当双曲线的各支向外延伸时,与渐近线逐数学教学活动中。 渐接近, 无论是让学生经历“数接近的程度是无限的,要多近有多近;也可以这样理解:当双曲学化”、“再创造”过程,还线上的动点M 是帮助学生构建和发展认沿着双曲线无限远离双曲线中心时,点M到这条直线的距离逐渐知结构,都需要在师生的互变小,而无限趋近于0 动过程中进行。在师生的互我们在初中学过的反比例函数y=1/x图像,其中x轴即为它的渐动(这种互动也包括生生互近线;还有正切函数y=tanx 动)过程中完成。
,反思传统意义上的数学教的图像,也是其中一条渐近线,又如函数y=x+1/x的渐近x,学,强调的是知识的传授,2
线中,有一条是直线y=x. 技能的训练,教师的主导问题二,如何用量化的方法来证明一条直线是双曲线的渐近线,(实际上是教师的控为什么课本中渐近线不按定义来证明,在证明过程中,哪些地方制)(课堂教学方式基本上体现了数学的“化归思想”, 是灌输式的讲授法,学生的生答:如果按定义来证明,若把曲线看成点的轨迹,就要证明动学习基本上是听讲、模仿、点到直线的距离d越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线记忆、再现教师传授的知的距离表示出来,即通常所说的目标函数,然后看它是否趋向于识,因此,是一个被动接受零。但是目前我们还无法求解,因此,我们把倾斜的线段MQ的计知识、强化储存的过程,忽算,转化成竖直线段MN的计算。 视了学生在学习过程 的主
先取双曲线第一象限内的部分进行整理,这部分方程可写为体性,也就缺乏师生之间生b生之间的互动。对于抽象程22x,ay=(x>a),设M(x,y)是它上面的点,N(x,Y)是直度很高的数学学习来说,这a
bb样一种数学教学活动导致线y=x上与M有相同横坐标的点,即Y=x。这是投射法,体的一个直接结果就是扼制aa
现了数学中降维的转化思想(这在第七章学习点到直线距离公式了学生学习数学的积极情时就已学过)这是第一点; 感,使学生觉 得学习数学
为了让|MN|更简单,即把绝对值符号去掉,又进行了一个估计,枯燥无味,对数学学习畏Y与y的大小问题。 惧、没有兴趣,或越学越没
有兴趣,认为数学就是做
题,数学没有什么用处,学abbb222数学也就 没有用,这就 不1,(),x,a 由y==xx=Y,这是第二点。 xaaa仅在客观上由于教师的控
第三点在计算|MN|=Y-y时,为了便于计算,又一次运用了转化制太多影响了学生的主体
b参与,而且在学生主观上也22x,a思想,技巧是分子有理化,就是|MN|=Y-y=(x-) 缺乏主体参与的意向。 a
建构主义教学论认为:合作2222(x,x,a)(x,x,a)b学习是必要的,因为学习者=, 22ax,x,a需要同其他人联系,以便对
客观世界如何建构的方式ab = 方法取得共识。同时,在学22x,x,a习过程中集体学习具有重
要意义,因为只有通过集体
对复杂的学习情境、个人提
出的假设或学习者自己关
于问题解决的可能性的个
人设想进行讨论,才能有助
于学习者更好地对自己的
思考进行建构。学习者在这
种意义上才能更好地调节
自己的学习,并把学习持续
进行下去。因此应当把学习
对于目标函数|MN|来说,当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x活动置于一个社会环境中,
使学生自主地从情境中和22x,a无限增大,x+也无限增大,|MN|接近于0,而|MQ|是互动中形成知识。在教学中RT?MNQ的斜边,|MQ|>|MN|也随之接近于O,即证明了,双曲线教师应当多多采用谈话交在第一象限部分的射线ON的下放逐渐接近于射线ON。在其他象流作为教学中的重要形式,限内也可证明类似的情况。 以利于教师和学生及学生问题三,从上节课布置的作业,“列表描点,画双曲线之同更好地互动。教学过程
中,要发扬教学民主,让学22yx生成为课堂教学的主人,充,,1”时,如何检验画出的图形是否正确,(特别是表169分发挥其主动性,给予其一格外的其余点是否画得对),由此你能得出双曲线的渐近线在画图定的自主选择参与的权力;时起了什么重要的作用, 同时,要改变过去教学中直生答:利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确地画出双曲线接告诉学生结论的简单做的草图,具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线顶点法,把课堂教学的重心放在及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第引导学生探索上,使学生参一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的部与和体验知识技能由未知分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。 到已知或由不掌握到掌握
b的过程,鼓励学生向教师挑问题四,双曲线渐近线的斜率,与离心率e存在着怎样,战,质疑闷难,允许学生发a
的数量关系,由此,你发现了离心率e的双曲线张口大小有何影表与教师不同的意见和观
bb点。 2响,生答:,e越大,也越大,双曲线|tan,|,,e,1 aa
的形状就从扁狭逐渐变得开阔,由此可知,双曲线的离心率越大,
它的张口越大。
问题五,根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程
生答:根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种:
(1)画出以实轴长,虚轴长为邻边的矩形,写出其对角线方程,
特别要注意对角线的斜率的确定。
22yx ,,1(2)如果给出的双曲线方程为(a>0,b>0)。将双曲22ab
线标准方程等号右边的1改为0,即得双曲线的渐近线方程,再
由此推出y=kx的形式。
22yxb ,,1其渐近线方程为,但是对于y,,x22aba
(a>0,b>0)来说,
a 其渐近线方程则为。 y,,x b
从某种意义上说,当双曲线的两个焦点无限靠近时,双曲线
退化成它的渐近线。
问题六,已知双曲线的渐近线方程,其对应的双曲线方程是
唯一的吗,若不是,它们有何共同特点,请用曲线系方程表示。
22yxb,,1 生答:双曲线的渐近线方程是,但是y,,x22aba
22yxb,,1 以为渐近线的双曲线方程不一定是,而可y,,x22aba
22yxb,,,(,,0) 以是。所以为渐近线的双曲线,y,,x22aba
(,,0)(,,0)焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,而且有无强调师生互动的教学数多个。类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线系。 活动是对学习本质认识不
问题七,你能发现双曲线的渐近线有哪些特殊的性质,等轴断深化的必然结果。因为学双曲线的渐近线、共轭双曲线(实轴与虚轴对换)的渐近线有何生需要在活动中通过互动、特点,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离与那个基本几何量通过交流中的思想交锋来有关,(b) 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几激活思维、建构他们的数学个, 知识的。为此,教师要设计生答:(1)等轴双曲线(即实轴和虚轴等长的双曲线),其渐近线一系列具有可操作性的、而方程为x?y=0,它们互相垂直,且平分双曲线实轴和虚轴所成的且能体现数学内涵的活动,
通过丰富的情境信息和数角,离心率为(P114习题5) 2学关系,引导和组织学生经(2)共轭双曲线 历观察、实验、比较、分析、
抽象概括、推理等活动,在2222yyxx,,1,,1活动中、在真实情境中,在双曲线与双曲线(a>0,b>0)实轴与虚2222abba互相之间的交流中,使学生轴对换。 去认识、理解、获得数学概它们有相同的渐近线,是互为共轭的,课外参考书称为共轭双曲念和结果,建构他们的数学
知识。 线。它们的四个焦点共圆,且它们的离心率,满足e,e12在上述这些活动中,教
师不仅是设计者、组织者,11,=1。 而且是学生的合作者。当学22ee12生遇到困难时,要数学上给
(3)课本P114习题6 ,从双曲线的一个焦点到一条渐近线的予启发指导,要在情感上给距离等于虚半轴的长b。 予鼓励和充分肯定,帮助学
生树立克服困难的自信心。利用数形结合Rt?O?RT?OH |H|=||=b FFAEAE2222同时教师利用现代信息技
术网络环境要给学生创设
一个互动的良好环境,要主
动了积极思考学生在活动
过程中出现的种种问题,包
括心理上的、数学上的、认
知上的,针对学生的问题给
予帮助,更好地、更有效地
在师生互动的过程中帮助
学生构建和发展认知结构。
教师以丰富的情感,人性化
(4)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个, 的语言,对双曲线的渐近线
作描述,这些诗一般的语22yxb,,1言,生动、形象,给学生留解:设双曲线(a>0,b>0)直线y,x,m(m,0)22aba下深刻的印象。数学教育作
为教育的重要组成都分,在222a(b,m)x1b2,(x,m),1发展和完善人的教育活动代入得,化简得x= 22a,2mbab中,起着别的学科不能替代
仅有一解,即双曲线与直线仅有一个交点,但并非切线~ 的作用,在学校教育中,数
学教育主要是在课堂中通
过数学教学活动来进行的。
因此,很重要的是,我们应
该认识到数学教学不仅是
知识的教学,还应该体现数
学的价值、数学的教育价
值,应该促进学生全面和谐
的发展,而在知识教学中要
努力体现数学的思想和本
质。
我们在数学教学活动中要
以发展的观点来认识和进
问题八,请再举出一些与双曲线渐近线有关的命题,并加以证明。 行基本知识和基本技能的因时间关系,作为研究形学习的问题,留给同学们带回去课外思教学,有意识地通过数学知考解决,学有余力的同学可自己去寻找有关渐近线的命题,以下识的学习过程使学生感悟 举几个例子(共同学们参考) 数学的思考方式;要通过数
学推理过程培养学生说理、22yx,,1批判、置疑、求真求实的理(1)设双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线所夹的角22ab性恩维和理性精神;通过数
,学问题的解决培养学生提为α,则它的离心率是cos 出问题、分析和解决问题的2
能力,进而发展学生的应用22ba,b,,2意识和创新精神,以及在解证明:tan,e=1或用数形结合证,,,ctg2a2a决挑战性大的问题中培养明之。 学生克服因难的顽强意志(2)双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个常数。 和锲而不舍的精神;等等。
这,我们的学生在未来的人22yx,,1生历程中,即使有很多不是 证明:设M(x-y)是双曲线的任意一点,则0022ab以数学为事业,也不从事数
学或数学教育的作,会忘记22xy00具体的数学内容,但是,数,,1 22ab学留给他们的思考方式、留
222222 即bx- ay=ab。双曲线的两渐近线方程为bx?ay=0 给他们的精神和态度、意识00
?M点到两渐近线的距离的乘积为和观念,他们终身受益,使
22他们学会认知(学习)、学22|bx,ay||bx,ay||bx,ay|000000 ,,会合作、学会生存、学会做222222a,ba,ba,b事,为促进他们终身学习和
终身发展奠定良好的基础。 22ab =(常数)。 22a,b
22yx,,1(3)过双曲线的一个焦点F作它的渐近线的垂线,22ab
则垂足H在此焦点相对应的准线上。
略证明:取一渐近线bx-ay=1,则自焦点F(c,0)作为它的垂
2a线的方程为ax+by-ac=0联立两方程得x=,原命题得证~亦Hc
2a可用平几知识相似三角形中得H’= c
22yx,,1(4)过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交22ab
2 渐近线于P、Q,则|MP|.|MQ=a
y=y0
22ayyx0,,0 略证:设M(x,y)由 得x=,x= - 00pQ22bab
ay0 b
322222ay,bxab200,,a |MP|.|MQ=|x-x|.|x-x |= PqP22bb
通过学生自主学习、独立思考、获取新知,各合作学习小组对问题讲座对网页上的例题分析,点评内容,消化,通过交流,共同提高认识,取长补短,相互促进,教师在各小组走动巡视,及时发现问题,启发、帮助学生解决问题,提醒学生按程序完成任务,把握时间与进度。
小组合作学习在于交互、共享、感悟、生生互动,师生互动。在这期间,教师深入到学生中,成为“平等中的首席”和学生共同探究,启发引导,促进合作探究学习。
渐近线,这是圆锥曲线中双曲线所特有的一道靓丽的风景线。
他像一位正直慈爱的师长,呵护指引着双曲线成长的人生轨道,
循规蹈矩走向遥远的未来而从不对他强制干涉。
有了渐近线,双曲线的轨道有了可靠的护栏;
课
有了渐近线,我们不难了解到离心率对双曲线张口大小的影后
响; 结
束
有了渐近线,我们可以较准确的画出双曲线的草图; 语
有了渐近线,我们对“曲”“直”之间存在着这种和谐统一之美,有了更深刻的认识和理解。
范文五:双曲线的渐近线
18数学通讯 2001年第8期
双曲线的渐近线
陈庆新
(河北省乐亭县二中,河北 063600)
中图分类号:O123.3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)08-0018-01
在圆锥曲线的诸多几何性质中,渐近线是双曲
线特有的几何性质,因此在讨论有关双曲线的问题时,常与渐近线有关.熟悉渐近线的性质,准确把握渐近线的特殊地位,会给我们解决一些复杂的问题带来很大方便.本文遴选几例,借以说明双曲线渐近线在解题中的应用.
例1 一个正三角形的三个顶点均在双曲线x2-ay2=1的右支上,其中一个顶点与双曲线的右顶
( )点重合,则实数a的取值范围是
(A)a>3. (B)34.分析:作出一个草图,我们会发现,满足题x对称,斜角为30,kAB
.又A,B两点均在3
图1 例1分析图双曲线的右支上,从而应
有kAB>k(k为渐近线的斜率).如图1所示,由题=
30°,从而弦AB的两个端点应分别位于左右两支上,如图3所示.
正确的解法如下:
设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
-x1),|BF2|=e(-+x2).
c∴|AF2|+|BF2|=e(2-x1)
2
2
=e=+x2-42
.8
△ABF2的周长应为
3+3.
例3 给定双曲线x2-图3 例2解答图=1,过点B(1,1)能否作
2
直线l,使l与所给双曲线交于P1及P2,且点B是线段P1P2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
错解 设直线P1P2的方程为y-1=k(x-1)
2
设易知渐近线斜率k=
3
a
.所以有:a>3,故选(A).2
(k不存在时,显然不满足题意),代入x2-
2
]
2
=1
3
=1的左焦点F1作倾斜角为30°的弦AB,求:1)弦|AB|;2)△F2AB的周长(F2为双曲线的右焦点).
1)解 |AB|=3(解法从略).2)错解 如图2所示,
图2 例2错解图
|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2,
∴|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=7,
∴△ABF2
的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=10.错因剖析 上述解答忽视了题设中的隐含条件,错误地构置了图形,误使弦AB的两个端点均位于左支上;事实上,由于双曲线渐近线方程为:y=±
例2 经过双曲线x2-
与120°,又弦AB的倾斜角为x,即其倾斜角为60°
得:(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0(1)
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=2,故有2-=2]k=2,故这样的直线存在,其方
2-k2
程为y=2x-1.
错因剖析 由题知,点B(1,1)位于双曲线的外部(夹在两支之间的区域),且位于渐近线y=x的下方,如图4所示.当kl=2时,kl>,即直线l的倾斜角α应大于渐近线y=x的倾斜角θ,此时,若直线l与双曲线相交,两交点P1,P2应位于
同一支上,又点B(1,1)位于双图4 例3解析图曲线的外部,因此,点B不可能为一“内弦”之中点,因此,这样的直线不存在.
另外,当k=2时,原方程(1)为:-2x2+4x-3=0,即2x2-4x+3=0,其Δ=-8
收稿日期:2001-01-09
),男,河北乐亭人,河北乐亭县二中一级教师.作者简介:陈庆新(1966—