范文一:理论力学(范钦珊)第九章习题答案
第9章 动量矩定理及其应用
9-1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动,质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动,图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处(图a);求小球对O点的动量矩。
2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A,质心为C,且AC = e;轮子半径为R,对轮心A的转动惯量为JA;C、A、B三点在同一铅垂线上(图b)。(1)当轮子只滚不滑时,若vA已知,求轮子的动量和对B点的动量矩;(2)当轮子又滚又滑时,若vA、ω已知,求轮子的动量和对B点的动量矩。
解:1、LO=mωs2(逆) 2、(1)
v(a)
e
p=mvC=m(vA+ω
e)=mvA(1+)R
v(R+e)2
LB=mvC(R+e)+JCω=mvA+(JA-me2)
A
RR
(b)
(2)p=mvC=m(vA+ωe)
习题9-1图
LB=mvC(R+e)+JCω=m(vA+ωe)(R+e)+(JA-me2)ω=m(R+e)vA+(JA+meR)ω
9-2 图示系统中,已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动,其大、小半径分别为R、r,对O轴的转动惯量为JO;物块A、B的质量分别为mA和mB;试求系统对O轴的动量矩。 解:
LO=(JO+mAR2+mBr2)ω
习题9-2图
9-3 图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg,并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放,计算刚释放时,杆的角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。
解:令m = mOA = 50 kg,则mEC = 2m 质心D位置:(设l = 1 m) d=OD=
l
2
55l=m 66
F刚体作定轴转动,初瞬时ω=0 JOα=mg?+2mg?l JO=ml2+即3ml2α=
1
3
1
?2m?(2l)2+2ml2=3ml2 12
习题20-3图
习题20-3解图
5
mgl 2
α=5g=8.17rad/2s
6l525 t aD=l?α=g
6
36
由质心运动定理: 3m?aD=3mg-FOy
t
2511
g=mg=449N(↑) 3612n
=0, FOx=0 ω=0,aDFOy=3mg-3m
9-4 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C,其半径分别为R和r,对自身转轴的转动惯量分别为J1和J2。被提升重物A的质量为m,作用于轮C的主动转矩为M,求重物A的加速度。
解:对轮C: J2αC=M-FTr 对轮B和重物A:
'R-mgR (J1+mR2)α=FT
运动学关系: a=rαC=Rα (M-mgr)rR2
a=2222
J1r+J2R+mRr
习题9-4图
题9-4解图
9-5 图示电动绞车提升一质量为m的物体,在其主动轴上作用一矩为M动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J1和J2;传动比r2 : r1 = i;吊索缠绕在鼓轮上,此轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计,求重物的加速度。
解:对轮1(图a):
J
J1α1=M-Fr1
对轮2(图b):
习题9-5图
(b)
习题9-5解图
(J2+mR2)α2=F'r2-mgR r1α1=r2α2;α1=iα2
Mi-mgR
α2=
J2+mR2+J1i2
(Mi-mgR)R
重物的加速度:a=Rα2= 22
J2+mR+J1i
9-6 均质细杆长2l,质量为m,放在两个支承A和B上,如图所示。杆的质心C到两支承的距离相等,即AC = CB = e。现在突然移去支承B,求在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变量ΔFA。
解:JAα=mge,(ml+me)α=mge
13
22
习题9-6图
maC=mg-FA
3ge2
aC=eα=2 2
l+3e3mge2
FA=mg-2
l+3e2mg3mge2mg3e2-l2
?FA=-FA=2-=2mg
2l+3e222(l+3e2)
α
习题9-6解图
9-7 为了求得连杆的转动惯量,用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套管,并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动,如图a、b所示。摆动100次所用的时间为100s。另外,如图c所示,为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d,将连杆水平放置,在点A处用杆悬挂,点B放置于台秤上,台秤的读数F = 490N。已知连杆质量为80kg,A与B间的距离l=1m,十字头销的半径r = 40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯量JC。
习题9-7图
解:图(a),θ<>
=-mg(d+r)θ JAθ
+mg(d+r)θ=0 JAθ
+mg(d+r)θ=0 θ
JA
ωn= T=
2π
mg(d+r)
JA=2π
JA
mg(d+r)
ωn
(1) (2)
JA=JC+m(d+r)2
由图(b): ∑MA
Fl5
=0,d===0.625m
mg8
代入(1)、(2),注意到周期T=2s,得
JC=
mg(d+r)g2
-m(d+r)=m(d+r)[-(d+r)]π2π2
9.8
=80?0.665?(2-0.665)
π
=17.45kg?m2
(b) 习题9-7解图
9-8 图示圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳,绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落,其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度υ和绳子的拉力FT。
解:法1:图(a) maA=mg-FT JAα=FTr aA=rα JA=mr2 解得
FT=
1mg3
(1) (2) (3)
12
(拉)
(4)
习题9-8图
aA=g(常量)
23
由运动学 vA=2aAh=
2
gh(↓) 3
法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变,故可对瞬心C用动量矩定理:
=mgr JC? (5) JC=JA+mr2=mr2
a =A 又 ?
r
3
2
FT
C2
aA=g(同式(4))
3
再由 maA=mg-FT
得
1FT=mg
3
(拉)
(a)
2
vA=aAh=gh(↓)
3
9-9 鼓轮如图,其外、内半径分别为R和r,质量为m,对质心轴O的回转半径为ρ,且ρ2 = R ·r,鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动,F力与斜面平行,不计滚动摩阻。
试求质心O的加速度。
解:鼓轮作平面运动,轴O沿斜面作直线运动:
ma(1) θ O=F-Ff-mgsin mρ
α=Fr+FfR 纯滚:aO=Rα
代入(2)
2
(2) (3)
习题9-9图
a
mρ?O=Fr+FfR
R
2
(4)
f 解(1)、(4)联立,消去Ff,得
2
FR(R+r)-mgRsinθ
aO= 22
m(R+ρ)
题9-9解图
9-10 图示重物A的质量为m,当其下降时,借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R,滚子C的半径为r,二者总质量为m′,其对与图面垂直的轴O的回转半径为ρ。求:重物A的加速度。
习题9-10图
解:法1:对轮: JOα=TR-Fr m'aO=F-T
对A:
maA=mg-T
又:aA=aH绳=a 以O为基点:
tnnt
aH+aH=aO+aHO+aHO
(1)
(2) (3)
tH
F'
a=a-aO=Rα-rα=(R-r)α(→)
aA=(R-r)α(↓) (4) 由上四式联立,得(注意到JO=m'ρ2)
aA=
mg(R-r)2
m'(ρ2+r2)+m(R-r)2
=
g
m'(ρ2+r2)?+1m(R-r)tHtHO
FaA
(a)
g
aO
法2:对瞬心E用动量矩定理(本题质心瞬心之距离为常数)
JEα=T(R-r) maA=mg-T 又aA=(R-r)α
JE=JO+m'r2=m'(ρ2+r2) 可解得:aA=
g
m'(ρ2+r2)?+1m(R-r)2
(b)
HO
9-11 图示匀质圆柱体质量为m,半径为r,在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为
常数,滚动阻碍系数为δ,求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。
解:JDα=M-Mf (1)
Mf=δFN
FN=mg
JD
3
=mr2 2
α=
ar
代入(1),得
2(M-δmg)
a=
3mr
习题9-11图
(a)
又:ma=F
F=
2(M-δmg)
3r
9-12 跨过定滑轮D的细绳,一端缠绕在均质圆柱体A上,另一端系在光滑水平面上的物体B上,如图所示。已知圆柱A的半径为r,质量为m1;物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。 解:对轮C: JCα=FTr
m1aC=m1g-FT T′
对物块B:ma=F
2B
T
1
且:aC=aB+rα;JC=m1r2
2m1+22 m1
解得:a= ;ga=gCB
m1+3m2m1+3m2
m1m2
FT=g
m1+3m2
习题9-12图
A
T
题9-12解图
9-13 图示匀质圆轮的质量为m,半径为r,静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F,并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f。试求轮子中心O经过距离s所需的时间和此时轮子的角速度。
解:图(a),轮O平面运动: maO=F1
0=FN-mg JOα=F1r
由(2),
FN=mg
动滑动时,
F1=fFN=fmg
(4)代入(1),得
aO=fg (4)代入(3),得(JO=mr2)
2fg
α=r
12
(1) (2) (3)
习题9-13图
(4) (5)
(6)
由(5)代入下式:
s=
1
aOt2 2
(a)
得 t=
2s fg
2
2fgs(逆) r
ω=αt=
9-14 图示匀质细杆AB质量为m,长为l,在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计,试求杆的初始角加速度。
l
解:法1:P为AB杆瞬心,PC=,图(a):
2
l
JPα=mg?sinθ
21
JP=ml2
3
∴α=
3g
sinθ 2l
(1)
习题9-14图
法2:AB杆平面运动
C=FB m x
C=FA-mg m y
ll
JCα=FA?sinθ-FBcosθ
22ll
xC=sinθ,yC=cosθ
22l-l ,y C=cosθ?θ C=sinθ?θx
22-l 2+lcosθ?θ =lcosθ?θ C=sinθ?θx
222l 2-lsinθ?θ =-lsinθ?θ
C=-cos
θ?θy
222
(2)
(3)
(4)
(5) (6) (7) (8)
(∵初瞬时θ =0)
=α θ
将(5)、(6)、(7)代入(2)、(3)、(4)得
l
mcosθ?α=FB 2
x
(b)
l
msinθ?α=FA-mg 21ll
ml2?α=FAsinθ-FBcosθ 12223gsinθ
解得:α=,与(1)式相同。
2l
-
(9) (10)
9-15 圆轮A的半径为R,与其固连的轮轴半径为r,两者的重力共为W,对质心C的回转半径为ρ,缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点D。均质平板BE的重力为Q,可在光滑水平面上滑动,板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力F,试求平板BE的加速度。
习题9-15图
习题9-15解图
解:对轮C:JCα=FfR-FTr;JC=
W2
ρ g
W
aC=FT-Ff;aC=rα gQ
aBE=F-Ff;aBE=(R-r)α 对板BE: g
求得:aBE
*9-16 图示水枪中水平管长为2l,横截面面积为A,可绕铅直轴z转动。水从铅直管流入,以相对速度υr从水平管喷出。设水的密度为ρ,试求水枪的角速度为ω时,流体作用在水枪上的转矩Mz。
F(R-r)2g
=222
Q(R-r)+W(ρ+r)
解:水平管上各点科氏加速度相同
aC=2ω ?vr aC=2ω vr
科氏惯性力均布,其合力(如图):
FIC=ρ?lA?aC=2ωvrρlA
Mz=2?FIC?
l
=2ρ?l2Aωvr 2
'FIC
IC
(a)
习题9-16图
*9-17 图示匀质细长杆AB,质量为m,长度为l,在铅垂位置由静止释放,借A端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量,试求刚释放时点A的加速度。
解:图(a),初瞬时ωAB=0,以A为基点,则
aC=aCx+aCy=aA+aτCA
即aCx=aA-aτCAcosθ=aA-αcosθ
l
aCy=aτCAsinθ=αsinθ 2
l
2
(1) (2)
习题9-17图
由平面运动微分方程:
maCx=mgsinθ
(3) (4)
∴aCx=gsinθ
maCy=mgcosθ-FN
l
JCα=FN?sinθ
2
1l
即ml2α=FN?sinθ 122
(5)
3gsin2θ解(2)、(4)、(5)联立,得 α= (6)
l(1+3sin2θ)
l
由(1)、(3),得 aA-cosθ?α=gsinθ
24sinθ
(6)代入,得 aA=g
1+3sin2θ
(a)
*9-18 匀质细长杆AB,质量为m,长为l,CD = d,与铅垂墙间的夹角为θ,D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放,试求刚释放时,质心C的加速度和D处的约束力。
解:初始静止,杆开始运动瞬时,vD必沿支承处切向,即沿AB方向,所以aD此时沿AB方向,如图(a),以D为基点:
nt
由aCx+aCy=aD+aCD +aCDtaCx=aCD=d?α1
(1) (2)
(3) (4)
习题9-18图
由AB作平面运动:
maCx=mgsinα-FN
maCy=mgcosα
1
ml2?α1=FNd 12
ocα 由(3),aCy=gs
解(1)、(2)、(4)联立
aCx
12gd2sinα
=2
l+12d2
mgl2sinα
FN=l+12d
(a)
9-19 如图所示,足球重力的大小为4.45N,以大小v1=6.1m/s,方向与水平线夹400角的速度向球员飞来,形成头球。球员以头击球后,球的速度大小为v1'=9.14m/s,并与水平线夹角为200角。若球-头碰撞时间为0.15s。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。
'-v1) 解:击球前后球的动量改变为?p=m(v1
4.45
?p=[9.14cos20o-(-6.1cos40o),-9.14sin20o-(-6.1sin40o)]
g
=0.454(13.26,0.795)=(6.02,0.361)N·s 设?p与水平夹角α
?py?px
=tanα=
0.361
=0.06 6.02
2y
习题9-19图
α=3.431o
(a)
s ?p=?p+?p=6.03 N·F=
2
x
?p6.03
==40.2N t0.15
人头受力F与?p反向,即向左下方。
9-20 边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动,并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速v0;木箱碰撞后其质心的瞬时速度vC与瞬时角速度ω。
习题9-20图
(a) (b)
解:碰前方箱以初速度v0平移,碰后箱绕A点转动直到翻倒,碰撞中箱只在A点受冲
量,重力等其它有限力的冲量可忽略不计,因此碰撞前后箱对A点的动量矩守恒。
设箱的质量为m 1222
JA=md+JC=ma2+m(a)=ma2
623
a2
对A动量矩守恒:mv0=ma2ω
23
3v
ω=0 (1)
4a
若箱刚能完成翻转,则转到最高点时ω=0,从碰后到最高点机械能守恒,即
2
ωvC转到最高处
(c)
a122mg+ma2ω2=mga 2232
29v01-12
=mg()a 由(1)得,ma?
3216a2
23v0
=0.207ag
16
v0=1.ag
由此,ω=
3v0ga
=0., vC=ω=0.ag(方向如图示) 4aa2
*9-21 台球棍打击台球,使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力,试求满足上述运动的球棍位置高度h。
习题9-21图
解:设杆给球的冲量为I,受击后球心速度为v,球的角速度为ω,球质量为m。
动量定理:I=mv (1)
2
对质心动量矩定理:I(h-r)=mr2ω(2)
5
纯滚动:v=rω
(3)
(1)、(3)代入(2),消I、v得
(a)
(b)
h-r=
277r h=r=d 5510
*9-22 匀质杆长为l,质量为m,在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E碰撞。碰撞前杆的质心速
度为vC,恢复因数为e。试求碰撞后杆的质心速度v'C
与杆的角速度ω。 解:碰后E点不动,v'n
=evC 杆只有D点受冲量,故相对D点动量矩守恒
mvlm2ml2
C?4=(12l+16
)ω
由此可解出:ω=12vC
7l
设碰后C点速度v'C
出向上,由图(a)可知 v'C=v'l3
D-
4ω=(e-7
)vC 由此式知,当e>37时,v'C
确实向上,若e<>
7
时,vC'应向下。
v'A
B
(a)
习题9-22图
范文二:材料力学课后答案范钦珊
材料力学课后答案范钦珊
普通高等院校基础力学系列教材包括“理论力学”、“材料力学”、“结构力学”、“工程力学静力学材料力学”以及“工程流体力学”。目前出版的是前面的3种“工程力学静力学材料力学”将在以后出版。这套教材是根据我国高等教育改革的形势和教学第一线的实际需求由清华大学出版社组织编写的。从2002年秋季学期开始全国普通高等学校新一轮培养计划进入实施阶段新一轮培养计划的特点是加强素质教育、培养创新精神。根据新一轮培养计划课程的教学总学时数大幅度减少为学生自主学习留出了较大的空间。相应地课程的教学时数都要压缩基础力学课程也不例外。怎样在有限的教学时数内使学生既能掌握力学的基本知识又能了解一些力学的最新进展既能培养学生的力学素质又能加强工程概念。这是很多力学教育工作者所共同关心的问题。现有的基础教材大部分都是根据在比较多的学时内进行教学而编写的因而篇幅都比较大。教学第一线迫切需要适用于学时压缩后教学要求的小篇幅的教材。根据“有所为、有所不为”的原则这套教材更注重基本概念而不追求冗长的理论推导与繁琐的数字运算。这样做不仅可以满足一些专业对于力学基础知识的要求而且可以切实保证教育部颁布的基础力学课程教学基本要求的教学质量。为了让学生更快地掌握最基本的知识本套教材在概念、原理的叙述方面作了一些改进。一方面从提出问题、分析问题和解决问题等方面作了比较详尽的论述与讨论另一方面通过较多的例题分析特别是新增加了关于一些重要概念的例题分析著者相信这将有助于读者加深对于基本内容的了解和掌握。此外为了帮助学生学习和加深理解以及方便教师备课和授课与每门课材料力学教师用书 lⅣ程主教材配套出版了学习指导、教师用书习题详细解答和供课堂教学使用的电子教案。本套教材内容的选取以教育部颁布的相关课程的“教学基本要求”为依据同时根据各院校的具体情况作了灵活的安排绝大部分为必修内容少部分为选修内容。每门课程所需学时一般不超过60。范钦珊2004年7月于清华大学前言为了减轻教学第一线老师不必要的重复劳动同时也为了给刚刚走上材料力学教学岗位的青年教师提供教学参考资料我们将“材料力学”教材中全部习题作了详细解答编写成册定名为“材料力学教师用书”。全书包括教材中的全部11章内容的习题解答即:材料力学概述轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴向载荷作用下材料的力学性能圆轴扭转时的强度与刚度计算梁的强度问题梁的变形分析与刚度问题应力状态与强度理论及其工程应用压杆的稳定问题材料力学中的能量方法动载荷与疲劳强度概述以及新材料的材料力学概述。
范文三:3理论力学课后答案(范钦珊刘燕王琪著)清华大学出版社
第1篇
第1章
工程静力学基础
受力分析概述
1-1图a、b所示,Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F分别对两坐标系进行分解和投影,并比较分力与力的投影。
习题1-1图
(c
)
(d)
解:(a)图(c):F=Fcosα i1+Fsinα j1
分力:Fx1=Fcosα i1,Fy1=Fsinα j1
投影:Fx1=Fcosα
,
Fy1=Fsinα
讨论:?=90°时,投影与分力的模相等;分力是矢量,投影是代数量。(b)图(d):
分力:Fx2=(Fcosα?Fsinα cot?)i2投影:Fx2=Fcosα
,
讨论:?≠90°时,投影与分量的模不等。
1-2试画出图a和b,Fy2=
Fsinα
j2
sin?
Fy2=Fcos(??α)
习题1-2图
(a-2)
(a-3)
(b-1)
比较:图(a-1)与图(b-1)不同,因两者之FRD
值大小也不同。
1-3试画出图示各物体的受力图。
习题1-3
图
(a-1)
或
(a-2)
(b-1)
(c-1)
或
(b-2)
(e-1)
(f-1)
(f-2)(f-3)
1-4图a所示为三角架结构。荷载F1作用在铰B上。杆AB不计自重,杆BC自重为W。试画出b、c、d所示的隔离体的受力图,并加以讨论。
习题1-4图
(b-2)
(b-3)
(c-1)
F1
(d-2)
1-5图示刚性构件ABC由销钉A和拉杆D支撑,在构件C点作用有一水平力F。试问如果将力F沿其作用线移至D或E(如图示),是否会改为销钉A的受力状况。
解:由受力图1-5a,1-5b和1-5c分析可知,F从C移至E,A端受力不变,这是因为力F在自身刚体ABC上滑移;而F从C移至D,则A端受力改变,因为HG与ABC
为不同的刚体。
习题1-5图
(a)
(b)
1-6试画出图示连续梁中的AC和CD
梁的受力图。
(c)
习题1-6图
(a)
(b)
1-7画出下列每个标注字符的物体的受力图,各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计,所
有接触面均为光滑面接触。
(b-1)(b-3)
(b-2)
(a-3)
(c)
2
N
2
1-7e
Cy
FRD
RBy
RD
Cy
1-7f
FAx
F′FBx
1-7g
F
T2
Dx
FTF
EyT3
FFCy
′Ex
Ay
By
Bx
FCy
′Bx
1-7i
FFAy
FRB
FAy
1-7j
RC
FB
RD
RG
F
RH
第3章静力学平衡问题
3-1图示两种正方形结构所受荷载F均已知。试求其中1,2,3各杆受力。
解:图(a):2F3cos45°?F=0
F3=
2
F(拉)2
F1=F3(拉)
F2?2F3cos45°=0
F2=F(受压)图(b):F3=F3′=0F1=0
F2=F(受拉)
习题3-1
图
(a-1)
(a-2)
(b-1)
(b-2)
3-2图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上,点B与拴在桩A上的绳索AB连接,在点D加一铅垂向下的力F,AB可视为铅垂,DB可视为水平。已知α=0.1rad.,力F=800N。试求绳AB中产生的拔桩力(当α很小时,tanα≈α)。
习题3-2
图
(b)
解:∑Fy=0,FEDsinα=F
∑Fx=0,FEDcosα=FDB
FED=FDB=
F
sinα
F
=10Ftanα
由图(a)计算结果,可推出图(b)中:FAB=10FDB=100F=80kN。
3-3起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成,绞车D和E分别控制桁架BC和重物W的运动。桁架BC用铰链连接于点C,并由钢索AB维持其平衡。重物W=40kN悬挂在链索上,链索绕过点B的滑轮,
长度AC=BC,不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB的函数来表示钢索AB并沿直线BC引向绞盘。
的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC。
习题3-3图
(a)
解:图(a):∑Fx=0,FABcos
即
??
?Wsin?=0,FAB=2Wsin22?
∑Fy=0,FBC?W?Wcos??FABsin=0
2
?
FBC=W+Wcos?+2Wsin2=W+Wcos?+W(1?cos?)=2W
2
3-4杆AB及其两端滚子的整体重心在G点,滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上,如图所示。对于给定的θ角,试求平衡时的β角。
解:AB为三力汇交平衡,如图(a)所示ΔAOG中:AO=lsinβ,∠AOG=90°?θ∠OAG=90°?β,∠AGO=θ+β
l
lsinβlsinβ13==由正弦定理:,sin(θ+β)sin(90°?θ)sin(θ+β)3cosθ)
即
即
3sinβcosθ=sinθcosβ+cosθsinβ2tanβ=tanθ
1
β=tanθ)
2
习题3-4图
注:在学完本书第3章后,可用下法求解:
∑Fx=0,FRA?Gsinθ=0∑Fy=0,FRB?Gcosθ=0
l
∑MA(F)=0,?Gsin(θ+β)+FRBlsinβ=0
3
1
解(1)、(2)、(3)联立,得β=arctan(tanθ)
2
(1)(2)(3)
3–5起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起,滑轮A用不计自重的杆AB和
AC支承,不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平衡时杆AB、AC所受力(忽略滑轮的尺寸)。
解:以A为研究对象,受力如图(a)所示,其中:FT=G。
∑FAB=0,FAB?FTcos30°+Gsin30°=0
FAB=G(cos30°?sin30°)=7.32kN
F(a)
∑FAC=0,FAC?Gcos30°?FTsin30°=0
FAB=G(cos30°+sin30°)=27.32kN
求此时工件H
所受的压紧力。
习题3-5
图
3–6图示液压夹紧机构中,D为固定铰链,B、C、E为铰链。已知力F,机构平衡时角度如图所示,
BC
F习题3-6图
(a)
FH(c)
(b)
解:以铰B为研究对象,受力如图(a)。
∑Fy=0,FBCsinα?F=0;FBC=
以铰C为研究对象,受力如图(b)。
F
sinαFCBsin2α
(1)
∑Fx=0,FCB?FCEsin2α=0;FCE=
以铰E为研究对象,受力如图(c)。
(2)
∑Fy=0,FH?FECcosα=0;FH=FECcosα
由于FBC=FCB;FEC=FCE,联立式(1)、(2)、(3)解得:FH=
(3)
F
2sin2α
3–7三个半拱相互铰接,其尺寸、支承和受力情况如图所示。设各拱自重均不计,试计算支座B的约束力。
FF(b)
习题3-7图(a)
解:先分析半拱BED,B、E、D三处的约束力应汇交于点E,所以铰D处的约束力为水平方向,取CDO为研究对象,受力如图(a)所示。
∑MC(F)=0,FDa?Fa=0;FD=F
以AEBD为研究对象,受力如图(b)。
′=0;FB=2F∑MA(F)=0,3aFB?3aF?3aFD
3-8折杆AB的三种支承方式如图所示,设有一力偶矩数值为M的力偶作用在折杆AB上。试求支承处的约束力。
3—8
图
(a)
(b)
(c)
(d)
解:图(a):FA=FB=
M2lM
图(b):FA=FB=
l
MlM=l
2Ml
由图(c)改画成图(d),则
FA=FBD=
∴
FB=FBD
FD=2FBD=
3-9齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡,试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。
习题3-9
图
F(a)
FBy
解:ΣMi=0,?500+125+FAy×0.5=0
FAy=750N(↓),FBy=750N(↑)
(本题中FAx,FBx等值反向,对力偶系合成结果无贡献。)
3-10试求图示结构中杆1、2、3所受的力。
解:杆3为二力杆图(a):ΣMi=0
F3?d?M=0
F3=
Md
F=F3(压)图(b):ΣFx=0F2=0ΣFy=0
F1=F=
M
(拉)d
(a)
习题3-10图
(b)
3–11图示空间构架由三根不计自重的有杆组成,在D端用球铰链连接,A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上,若拴在D端的重物P=10kN,试求铰链A、B、C的反力。
解:
F习题3-11图(a)
取铰D为研究对象,受力如图(a)。
∑F∑F
∑F
x
=0,FBcos45°?FAcos45°=0;FB=FA
(1)(2)(3)
y
=0,?FCcos15°?2FAsin45°cos30°=0
z
=0,?FCsin15°?2FAsin45°sin30°?P=0
联立式(1)、(2)、(3)解得:FB=FA=?26.39kN,FC=33.46kN
3–12图示空间构架由三根不计自重的有杆组成,在O端用球铰链连接,A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上,若拴在O端的重物P=10kN,试求铰链A、B、C的反力。
解:
习题3-12图(a)
取铰O为研究对象,受力如图(a)。
∑F
∑F
x
=0,FBcos45°?FCcos45°=0;FB=FC
z
=0,?FAcos45°?P=0;FA=?2P=?14.14kN
=0,?FAsin45°?2FBsin45°=0;FB=
∑F
y
FC=7.07kN
3–13梁AB用三根杆支承,如图所示。已知F1=30kN,F2=40kN,M=30kN·m,q=20N/m,试求三杆的约束力。
解:
(d)
(c)
(1)图(a)中梁的受力如图(c)所示。
∑F=0,?F∑M(F)=0
xB
C
cos60°+F1cos60°=0;FC=F1=30kN
,
8FA+8F1sin60°?M+4F2+3FCsin60°+1.5×3q=0
;
FA=?63.22kN
∑MA(F)=0,8FB+M+4F2+5FCsin60°+6.5×3q=0;FA=?88.74kN
(2)图(b)中梁的受力如图(d)所示。
∑M∑M∑M
OBD
(F)=0,6FC+4F1?M?2F2cos30°=0;FC=?3.45kN(F)=0,8FC+6F1?M+4FDsin45°+2F2sin30°=0;FD=?57.41kN(F)=0,4FC?M+2F1?2F2sin30°?4FBsin45°=0;FB=?8.42kN
2
kN/m。试求当汽3
3-14一便桥自由放置在支座C和D上,支座间的距离CD=2d=6m。桥面重1
车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l。设汽车的前后轮的负重分别为20kN和40kN,两轮间的距离为3m。
解:图(a)中,
2
q=1kN/m
3
F=40kN(后轮负重)ΣMD=0
q(6+2l)×3?Fl=0
习题3-
14
图
即
5
×(6+2l)×3?40l=03l=1mlmax=1m
3-15图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮、绳索等组成,H,G,E处为铰链连接,固连在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑直槽上。已知物块M重力P和水平力Q,尺寸如图所示,若不计其余构件的自重和摩擦,试求固定铰支座A和C的反力以及杆EF上销钉K的约束力。
FCx
习题3-15图
(a)
Hy
Cx
(b)
Dy
解:取系统整体为研究对象,其受力如图(
a)所示。
∑MA(F)=0,3aP+6aQ?4aFCy=0;FCy=∑Fy=0,FAy?P?FCy=0;FAy=
7P+6Q)4
3(P+2Q)4
∑F
x
=0,Q+FAx+FCx=0
H
(1)
取轮E和杆EF为研究对象,其受力如图(b)所示。
∑M
(F)=0,3aP?aFT?2aFKcos45°=0(FT=P);FK=2P(FT=P)
取杆CD为研究对象,其受力如图(c)所示。
∑MD(F)=0,22aFK?4aFCy?4aFCx=0;FCx=
将FAx的值代入式(1),得:FAx=
P?6Q
4
2Q?P4
3-16滑轮支架系统如图所示。滑轮与支架ABC相连,AB和BC均为折杆,B为销钉。设滑轮上绳的拉力P=500N,不计各构件的自重。求各构件给销钉B的力。
FBx
C
(a)
习题3-16
图
解:取滑轮为研究对象,其受力如图(a)所示。
∑F∑F∑F∑F
yx
=0,FBy?FT=0(FT=P);FBy=P=500N=0,FBx?P=0;FBx=P=500N
43,tan?=)。34
(1)(2)
取销钉B为研究对象,其受力如图(b)所示(tanθ=
yx
′=0=0,FBAsinθ?FBCsin??FBy′=0=0,FBAcosθ+FBCcos??FBx
联立式(1)、(2)解得:FBA=700N;FBC=100N
3-17图示结构,3-1由曲梁ABCD和杆CE、BE、GE构成。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20kN,q=10kN/m,M=20kN·m,a=2m,设各构件自重不计。求A、G处反力及杆BE
、CE所受力。
Gy
习题3-17图
(a)
(b
)
解:取系统整体为研究对象,其受力如图(a)所示。
∑M(F)=0,aFGx+M?aF?2aq=0;F∑F=0,F?F+F=0;F=70kN∑F=0,F+F?2aq=0
2
Ax
Ax
Gx
Ax
y
Ay
Gy
Gx
=50kN
(1)
取杆GE为研究对象,其受力如图(b)所示。
∑F=0,F?Fcos45°=0;F=2kN∑M(F)=0,M+aFEB?aFECcos45°=0;F∑M(F)=0,M?aFGy=0;F=10kN
x
Gx
EC
EC
GE
Gy
EB
=40kN
将FGy的值代入式(1),得:FAy=30kN
3-183-1
刚架的支承和载荷如图所示。已知均布载荷的集度q1=4kN/m,q2=1kN/m,求支座A、B、C
三处的约束力。
Ex
解:取CE为研究对象,其受力如图(a)所示。
∑M
E
(F)=0,
4FC?20q2=0FC=5kN
取系统整体为研究对象,其受力如图(c)所示。
(a)
∑MA(F)=0,
10FC?18q1+6FBy=0
FBy=3.67kN
∑F
y
=0,
FAy+FBy?6q1+FC=0FAy=15.33kN
∑Fx=0,
FAx+FBx?4q2=0
(1)
取CDEFB为研究对象,其受力如图(b)所示。
(b)
∑M
F
(F)=0,7FC?24q2?4.5q1+3FBy+6FBx=0;FBx=?0.67kN
将FBx的值代入式(1),得:FAx=4.67kN
3-19试求图示多跨梁的支座反力。已知:(a)M=8kN·m,q=4kN/m;(b)M=40kN·m,q=10kN/m。
习题3-19图
习题3-19图
解:
F(c
(e
(d
(
f
(1)取图(a)中多跨梁的BC段为研究对象,受力如图(c)所示。
∑M
y
B
(F)=0,4FC?3×6q=0;FC=18kN
A
取图整体为研究对象,受力如图(d)所示。
∑M(F)=0,MA?M+8FC?7×6q=0;M∑F=0,F?6q+F=0;F=6kN∑F=0,FAx=0
A
Ay
C
Ay
x
=32kN?m
(2)取图(b)中多跨梁的CD段为研究对象,受力如图(e)所示。
∑M
y
C
(F)=0,4FD?M?2q=0;FD=15kN
B
取图整体为研究对象,受力如图(f)所示。
∑M(F)=0,2FB+8FD?M?16q=0;F=40kN∑F=0,F+F?4q+F=0;F=?15kN∑F=0,FAx=0
A
Ay
B
D
Ay
x
3-20厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房(垂直于纸面方向)沿轨道行驶,吊车梁重力大小W1=20kN,其重心在梁的中点。跑车和起吊重物重力大小W2=60kN。每个拱架重力大小W3=60kN,其重心在点D、E,正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压在合力为10kN,方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m时,铰支承A、B二处的约束力。
习题3-20图
(b)
解:图(a):ΣML=0,Fr?8?2W2?4W1=0
8Fr?2×60?4×20=0,Fr=25kN图(b):ΣMA=0,
FBy×12?10×5?W3×2?W3×10?W2×4?W1×6=0
(1)
12FBy?50?120?600?240?120=0,FBy=94.2kN
ΣFy=0,FAy=106kN
ΣFx=0,FBx+FAx=10kN图(c):ΣMC=0
,
(2)
(c)
?(W3+Fr′)×4?FBx×10+WBy×6=0,FBx=22.5kN
代入(2),得
FAx=?12.5kN
3-21图示为汽车台秤简图,BCF为整体台面,杠杆AB可绕轴O转动,B、C、D三处均为铰链。杆DC处于水平位置。试求平衡时砝码重W1与汽车重W2的关系。
(b)
习题3-21图
(a)
:ΣFy=0,FBy=W2解:图(a)
′?a=0图(b):ΣMO=0,W1?l?FBy
由式(1)、(2),得
W1a
=W2l
(1)(2)
3-22立柱AB以球铰支于点A,并用绳BH、BG拉住;D处铅垂方向作用力P的大小为20kN,杆CD在绳BH和BG的对称铅直平面内(如图所示)。求系统平衡时两绳的拉力以及球铰A处的约束力。
FH
习题3-22图
解:取整体为研究对象,受力如图(a)所示。
y
(a)
H
G
∑M(F)=0,5FHcos60°sin45°?5FGcos60°sin45°=0;F=F∑M(F)=0,2×5FHcos60°cos45°?5P=0;F=F=28.3kN∑F=0,FAx=0
∑F=0,F?2Fcos60°cos45°=0;F=20kN∑F=0,F?2Fsin60°?P=0;F=69kN
x
H
G
xy
Ay
H
Ay
z
Az
H
Ay
3-23正方形板ABCD用六根杆支撑,如图所示,在A点沿AD边作用一水平力F。若不计板的自重,
求各支撑杆之内力。
F习题3-23图
(a)
解:取整体为研究对象,受力如图(a)所示。
∑M∑M∑M∑M∑M∑M
BB′CC′AA′ADCD
(F)=0,F2cos45°a+Fa=0;F2=?2F(F)=0,F5cos45°a?Fa=0;F5=2F(F)=0,(F2+F4)cos45°a=0;F4=2F(F)=0,(F3+F4cos45°)a=0;F3=?F(F)=0,(F6+F5cos45°)a=0;F6=?F(F)=0,(F1+F6)a=0;F1=F
B′C′
3-24作用的齿轮上的啮合力F推动胶带轮绕水平轴AB作匀速转动。已知胶带紧边的拉力为200N,松边为拉力为100N,尺寸如图所示。试求力F的大小和轴承A、B的约束力。
习题3-24图
(a)
解:图(a):ΣMz=0,Fcos20°×120=(200?100)×80,F=70.95NΣMy=0,?Fsin20°×100+300×250+FBx×350=0,FBx=-207N(↓)ΣFx=0,FAx+FBx?Fsin20°+300=0,FAx=-68.4N(↓)ΣMx=0,?Fcos20°×100?FBy×350=0,FBy=-19.04NΣFy=0,FAy+Fcos20°+FBy=0,
FAy=-47.6N
F=70.95N;FRA=(?68.4i?47.6j)N;FRB=(?207i?19.04j)N
3-25水平轴上装有两个凸轮,凸轮上分别作用已知力F1(大小为800N)和未知力F。如轴平衡,求力F的大小和轴承A、B
的约束力。
(a)
习题3-25图
解:取整体为研究对象,受力如图(a)所示。
∑M∑M
yx
(F)=0,20F1?20F=0;F=F1=800N(F)=0,100FBz+40F=0;FBz=?320N
∑M(F)=0,?100FBx?140F=0;F=?1120N∑F=0,FAx+FBx+F=0;FAx=320N∑F=0,F+F+F=0;F=?480kN
z
1Bx
xz
1
AzBzAz
3-26图示折杆ABCD中,ABC段组成的平面为水平,而BCD段组成的平面为铅垂,且∠ABC=∠BCD=90°。杆端D用球铰,端A用滑动轴承支承。杆上作用有力偶矩数值为M1、M2和M3的三个力偶,其作用面分别垂直于AB、BC和CD。假定M2、M3大小已知,已知AB=a、BC=试求M1及约束力FRA、FRD的各分量。b、CD=c,杆重不计。
解:图(a):ΣFx=0,FDx=0ΣMy=0,M2?FAz?d1=0,FAz=ΣFz=0,FDz=?
M2
d1
M3d1
习题3-26图
(a)
M2d1
ΣMz=0,M3+FAy?d1=0,FAy=?ΣFy=0,F=M3
Dy
d1
ΣMx=0,?M1?FAy?d3+FAz?d2=0,M1=
d3d
M3+2M2d1d1
3-27如图所示,组合梁由AC和DC两段铰接构成,起重机放在梁上。已知起重机重力的大小P1=
50kN,重心在铅直线EC上,起重载荷P2=10kN。如不计梁自重,求支座A、B和D三处的约束反力。
RG
R
F习题3-27图(a
)
FFAx
RB
D
RD
(b)(c)
解:(1)研究对象和受力图(a):
∑MF(F)=0,2FRG?1FP?5W=0,FRG=50 kN(2)研究对象和受力图(b)
∑MC(F)=0,6FRD?1FR'G=0,FRD=8.33 kN
(3)整体作研究对象,受力图(c)
∑MA(F)=0,12FRD?10W?6FP+3FRB=0,FRB=100 kN
∑Fx=0,FAx=0∑
Fy=0,FAy=?48.33 kN
3-28图示构架中,物体P重1200N,由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上,尺寸如图。不计杆和滑轮的自重,求支承A和B处的约束力,以及杆BC的内力FBC。
FB
(a)
Dx
习题3-28图
F(b)
解:
(1)整体为研究对象,受力图(a),FT=W
∑MA=0,FRB?4?W(2+r)?FT(1.5?r)=0,FRB=1050 N∑Fx=0,FAx=FT=W=1200 N∑Fy=0,FAy=150 N
(2)研究对象CDE(BC为二力杆),受力图(b)∑MD=0,FBCsinθ×1.5+W?r+FT(1.5?r)=0
FBC=
?W?1200
==?1500 N(压力)
4sinθ
5
3-29在图示构架中,A、C、D、E处为铰链连接,BD杆上的销钉B置于AC杆光滑槽内,力F=200N,力偶矩M=100N·m,各尺寸如图,不计各构件自重,求A、B、C
处所受力。
Ey
Cx
FAy
习题3-29图(a)(b)(c)
解:
(1)整体为研究对象,受力图(a)
∑ME=0,1.6FAy?M?F(0.6?0.4)=0,FAy=?87.5 N(2)研究对象BD,受力图(b)
∑MD=0,FNB?0.8sin30°?M?0.6F=0,FNB=550 N(3)研究对象ABC,受力图(c)
'
∑MC=0,1.6sin60°?FAx?0.8FAy?0.8FNB=0,FAx=267 N'∑Fx=0,FAx?FNBcos30°+FCx=0,FCx=209 N'∑Fy=0,FAy+FNBsin30°+FCy=0,FCy=?187.5 N
3-30平面桁架的尺寸和支座如图所示。试求其各杆之内力。
解:
(1)取图(a)中桁架为研究对象,求支座的约束力,受力如图(c)所示。由对称性可得:
习题3-30
图
FA=FE=60kN
取节点A为研究对象,受力如图(d)所示。
∑Fy=0,FA+F1sin60°=0;F1=?69.28kN∑F
x
(
=0,F2+F1cos60°=0;F2=34.64kN
取节点B为研究对象,受力如图(e)所示。
2
(d(f
13
(e
4
∑F∑F∑F∑F∑F
y
=0,(F3+F1′)sin60°+40=0;F3=23.09kN=0,(F3?F1′)cos60°+F4=0;F4=46.19kN=0,(F5+F3′)sin60°?40=0;F5=23.09kN=0,(F5?F3′)cos60°+F6?F2′=0;F6=34.64kN=0,FA+F7sin60°=0;F7=?69.28kN
x
取节点C为研究对象,受力如图(f)所示。
y
x
取节点E为研究对象,受力如图(g)所示。
y
(g
(2)取图(b)中桁架为研究对象,求支座的约束力,受力如图(h)所示。
∑M∑F
H
=0,20×2+10×4?8FA=0
(h
y
=0,FA+FH?20?10?10=0
解得:FA=10kN;FH=30kN其中零杆有:F3=F4=F11=0
取节点A为研究对象,受力如图(i)所示。
(i8
1
=0;F1=?22.36kNy
52
F+F=0;F2=20kNF=0,21∑x
5
∑F
=0,FA+F1
2
7
(j
(l
由节点C和节点B可得:
12(k
F5=F1=?22.36kN;F9=F2=20kN
取节点D为研究对象,受力如图(j)所示。
∑F∑F
x
=0,F7=F5=?22.36kN=0,(F5+F7)
1
+F6+10=0;F6=10kN5
y
取节点H为研究对象,受力如图(l)所示。
∑Fy=0,FH+F12∑F
x
=0,F13+F12
1
?10=0;F12=?44.72kN2
=0;F13=40kN由节点F可得:F10=F13=40kN
取节点G为研究对象,受力如图(k)所示。
′?F7′?F8)∑Fx=0,(F12
2
=0;F8=?22.36kN3-31求图示平面桁架中1、2、3杆之内力。
习题3-31图
解:
(1)取图(a)中桁架为研究对象,求支座B处的约束力,受力如图(c)所示。
C
B∑M
A
=0,4FB?100×2?50×3=0
解得:FB=87.5kN
用截面将杆1、2、3处截开,取右半部分为研究对象受力如图(d)所示。
(c
1
∑Fy=0,FB?F22?50=0;F2=53kN∑MC=0,FB?F3=0;F3=FB=87.5kN
C
B∑Fx=0,F1+F2
1
+F3=0;F1=?125kN2
(
d
(2)取图(b)中桁架为研究对象,用截面将杆1、2处截开,取右半部分为研究对象,受力如图(e)所示。
∑MA=0,10a?2asin30°F2=0;F2=10kN∑MB=0,atan30°F1?10a=0;F1=103kN
再用截面将杆3处截开,取右半部分为研究对象受力如图(f)所示。
A
e
∑M
A
=0,10a+2aF3=0;F3=?5kN
B
(f
A
—15—
∑∑3-33图示桁架所受载荷F1=F,F2
=2F,尺寸a为已知。试求杆件CD、GF、和GD的内力。
解:截面法,受力如图(a)所示。
∑M∑F
D
=0,FGF=0
1
?F2=02
习题3-33图
(a
y
=0,FGD
FGD=22F
∑F
x
=0,
1
?FCD=0;FCD=?F2
F1?FGD
3-34两物块A、B放置如图所示。物块A重P1=5kN。物块B重P2=2kN,A、B之间的静摩擦因数
fs1=0.25,B与固定水平面之间的静摩擦因数fs2=0.20。求拉动物块B所需力F的最小值。
解:取A为研究对象,受力如图(a)所示。
∑F∑F
y
=0,FTsin30°?P1+FNA=0=0,FA?FTcos30°=0
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
F习题3-34图
x
FAmax=fs1?FNA
取B为研究对象,受力如图(b)所示。
∑F∑F
y
′A=0=0,FNB?P2?FN′?FB=0=0,F?FA
x
(a
FBmax=fs2?FNB
解式(1)——(6),得:
A′
Fmin=
fs1+fs2
P1+fs2P2=2.366kN
fs1tan30°+1
(b
—16—
3-35起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm,鼓轮半径r=30cm,制动轮与制动块间的摩擦因数fs=0.4,被提升的重物重力的大小G=1000N,手柄长l=300cm,a=60cm,b=10cm,不计手柄和制动轮的自重。求能够制动所需力F的最小值。
解:取轮与重物为研究对象,受力如图(a)所示。
Ox
Oy
∑M
O
=0,Gr?FfR=0
(1)
取杆AB为研究对象,受力如图(b)所示。
′a?Ff′b?FL=0(2)MA=0,FN
∑
Ffmax=fs?FN
解式(1)——(3),得:
(3)
习题
3-35
图
(a
Fmin=
Gra
(?b)=280NLRfs
(b
3-36尖劈起重装置如图所示。尖劈A的顶角为α,B块上受力FQ的作用。A块与B块之间的静摩擦因数为fs(有滚珠处摩擦力忽略不计)。如不计A块和B块的自重,试求保持平衡时主动力FP的范围。
解:(1)B几乎要下滑时,FP=Fmin
图(a),∑Fy=0
FN1cosα+F1sinα?FQ=0
(1)(2)
(3)(4)
习题3-36图
图(b),∑Fx=0
′1sinα?Fmin=0?F1′cosα+FN
F1=fFN1
解(1)、(2)、(3),得:
Fmin=
sinα?fcosα
FQ
cosα+fsinα
(2)B几乎要向上滑时,FP=Fmax图(c),∑Fy=0
FN2cosα?F2sinα?FQ=0
(5)(6)
(7)(8)
图(d),∑Fx=0
′2sinα?Fmax=0F2′cosα+FN
F2=fFN2
解(5)、(6)、(7),得:
Fmax=
sinα+fcosα
FQ
cosα?fsinα
若令tan?m=f,由(4)、(8),得:
tan(α
??m
)FQ≤FP≤tan(α+?m)FQ
—17
—
3-37砖夹的宽度250mm,杆件AGB和GCED在点G铰接。砖重为W,提砖的合力FP作用在砖夹的d(2)图(a):
∑Fy=0,F=
(2)(3)
2
∑Fx=0,FN1=FN2
F≤fFN1FN1=FN2≥
FW=f2f
(4)
WW
?d≥0,d≤110mm22f
′1d=0,95W+30×(3)图(b):∑MG=0,FP×95+F′×30?FN
3-38图示为凸轮顶杆机构,在凸轮上作用有力偶,其力偶矩为M,顶杆上作用有力FQ。已知顶杆与导
轨之间的静摩擦因数为fs,偏心距为e,凸轮与顶杆之间的摩擦可忽略不计。要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住,试问滑道的长度l应为多少?
解:(1)对象:凸轮;受力图(b)
′2=∑MO=0,FN
W
e
(1)(2)(3)(4)
(2)对象:顶杆,受力图(a)
∑Fy=0,FQ+2Fs=FN2
Fs=Fs1=Fs2Fs=fsFN1
式(1)、(3)代入(2),得
M
e
∑MC(F)=0,FN1?l=FN2?e=MFQ+2fsFN1=FN1=
Ml
MM=le
习题3-38
图
代入式(4),得
FQ+2fs?l=
2Mefs
M?FQe
2MefsM?FQe
即lmin=
3-39为轻便拉动重物P,将其放在滚轮O上,如图所示。考虑接触处A、B的滚动摩阻,则作用在滚轮上的滚动阻力偶的转向是
(A)MfA为顺时针转向,MfB为逆时针转向;(B)MfA为逆时针转向,MfB为顺时针转向;(C)MfA、MfB均为逆时针转向;(D)MfA、MfB均为顺时针转向。
。
解:选择(C)
—18
—
习题3-39图
因为滚轮相对于地面和相对于重物均为顺时针滚动,所以A、B处的滚动摩阻力偶均为逆时针转向。
3-40图示物块重5kN,与水平面间的摩擦角?m=35°,今欲用力F推动物块,F=5kN。则物块将(A)不动;
(B)滑动;
(C)处于临界平衡状态;(D)滑动与否不能确定。
解:选择(A)
因为重力与力F大小相等,故其合力的作用线与接触面法线之
间的夹角为30o,小于摩擦角,所以物块静止不动。
3-41在平面曲柄连杆滑块机构中,曲柄OA长r,作用有一矩为M的力偶,小滑块B于水平面之间的摩擦因数为f。OA水平。连杆与铅垂线的夹角为θ,力与水平面成β角,求机构在图示位置保持平衡时力P的值。(不计机构自重,θ>?m=arctanf)
解:取杆AB为研究对象,受力如图(a)。M
rcosθ
取物块B为研究对象,设其有向右运动的趋势,受力如图(b)。(FB=FA)
∑M
O
=0,M?FAcosθr=0;FA=
a)
习题3-41
图
F(c)
∑F∑F
F(b)
y
=0,FN?Psinβ?FBcosθ=0=0,FBsinθ?Pcosβ?F1=0
x
F1max=f?FN
Msinθ?cosθfMsin(θ??m)
解得:Pmin=?=
rcosθcosβ+sinβfrcosθcos(β??m)
取物块B为研究对象,设其有向左运动的趋势,受力如图(c)。
∑F
x
=0,FBsinθ?Pcosβ+F2=0
F2max=f?FN
Msinθ+cosθfMsin(θ+?m)
?=
rcosθcosβ?sinβfrcosθcos(β+?m)
Msin(θ??m)Msin(θ+?m)
所以:≤P≤
rcosθcos(β??m)rcosθcos(β+?m)
其余方程不变,解得:Pmax=
*3-42某人骑自行车匀速上一坡度为5%的斜坡,如图所示。人与自行车总重力的大小为820N,重心在
点G。若不计前轮的摩擦,且后轮处于滑动的临界状态,求后轮与路面静摩擦因数为多大?若静摩擦因数加倍,加在后轮上的摩擦力为多大?为什麽可忽略前轮的摩擦力?
解:设斜坡的倾角为θ,则有tanθ=1,
20
受力如图所示。
∑M∑F
B
=0,
=0,F?Psinθ=0
N2
(1080?460)Pcosθ+700Psinθ?FN1?1080=0
AB
Fmax=fs?FN1
1080sinθ
解得:fs==0.082
620cosθ+700sinθ
若静摩擦因数加倍,则加在后轮上的摩擦力为:
F=Psin
θ=40.95N
—19—
习题3-42解图
*3-43匀质杆AB和BC在B端铰接,A端铰接在墙上,C端则靠在墙上,如图所示。墙与C端接触处的摩擦因数f=0.5,两杆长度相等并重力相同,试确定平衡时的最大角θ
。铰链中的摩擦忽略不计。
习题3-43图
(a)
(b)
解:取整体为研究对象,受力如图(a)所示。设杆长为l。
∑MA=0,FN2lsin∑MB=0,FNlsin
Fmax=f?FN
θlθ?2Pcos=0222
(1)
取杆BC为研究对象,受力如图(b)所示。
θlθθ+Pcos?Flcos=02222θθ
(2?fcot=022
(2)(3)
解式(1)——(3),得:cos
θ
=0,不合题意,舍去;2θ
cot=4,θ=28.07°2cos
3-44如图所示,圆柱体A与方块B匀重100N,置于倾角为30°的斜面上,若所有接触处的摩擦因数均fs=0.5,试求保持系统平衡所需的力F1的最小值。
解:取圆柱体A为研究对象,受力如图(a)所示。
∑F=0,Psin30°?F?F∑M=0,(F?F)r=0
x
A
A
AB
A
N2
=0
(1)(2)(3)
习题3-44图
FAB=fsFN2
取方块B为研究对象,受力如图(b)所示。
∑F∑F
xy
′2=0=0,Psin30°?FB?F1+FN′=0=0,FN3?Pcos30°?FAB
(4)(5)(6)
FB=fsFN3
解式(1)——(6),得:
F1=Psin30°(2?fs)?Pfscos30°=31.7N
(b)
*3-45如图所示,均质圆柱重W,半径为r,搁在不计自重的水平
杆和固定斜面之间。杆A端为光滑铰链,D端受一铅垂向上的力F作用,圆柱上作用一力偶,已知F=W,圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦因数fS皆为0.3,不计滚动阻碍。当α=45°时,AB=BD。试求此时能保持系统静止的力偶矩M
的最小值。
习题3-45图
—20—
解:取杆AD为研究对象,受力如图(a)所示。(设杆长l
∑M
A
=0,Fl?FN
B
l
=0;FNB=2W2
取圆柱O为研究对象,受力如图(b)所示。
∑MO=0,FEr+M?FB′r=0∑F∑F
xy
(1)(2)
(a)
′=0=0,FNEcos45°?FEsin45°?FB
′B?FNEsin45°?FEcos45°?W=0(3)=0,FN
327
;FB=W
设E处的静摩擦力先达到最大值:FE=fsFNE由式(2)、(3)解得:FE=
′(b)
′r?FEr=0.212Wr由式(1)得:Mmin=FB
*3-46ABC和DEF组成,两根弯杆由BE杆的B、E两处用铰链连接,擦因数应为多大(FD
(c)
N
(a)
(b)
习题3-46图
解(1)研究对象重物,受力图(a)
∑Fy=0,2F=FQ,F=
FQ2
(a)(b)
F≤Fmax=fsFN,fs≥
FQ
2FN
(2)研究对象吊环,受力图(b)∑Fx=0,FD=FA
∑Fy=0,2FDcos60°=FQ,FD=FQ
(3)研究对象弯杆CFED,受力图(c)
'
∑ME=0,FD×0.6?F×0.2?FN×0.15=0
(c)
式(a)、(b)、(c)代入,得
0.6FQ?0.1FQ?0.15
FQ
≥0,fs≥0.152fs
—21—
第2篇
第4章
工程运动学基础
运动分析基础
4-1小环A套在光滑的钢丝圈上运动,钢丝圈半径为R(如图所示)。已知小环的初并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ,且0<θ<π,速度为v0,试确定小环A
2
的运动规律。
解:asinθ=an=v,a=
R
2
v2
Rsinθ
A
dvv2,vdvt1at==acosθ=∫v0v2=∫0RtanθdtdtRtanθ
vRtanθds
v==0
dtRtanθ?v0tstvRtanθ0ds=∫0∫0Rtanθ?v0tdt
Rtanθ
s=Rtanθln
Rtanθ?v0t
习题4-1图
4-2已知运动方程如下,试画出轨迹曲线、不同瞬时点的2??x=4t?2t
1.?,
2
?y=3t?1.5t?
2.?
?x=3sint
?y=2cos2t
解:1.由已知得
?=4?4t?x?
?=3?3t?y
?=?4x???
?=?3y??
3x=4y
v=5?5ta=?5
(1)
为匀减速直线运动,轨迹如图(a),其v、a图像从略。2.由已知,得
arcsin
x1y=arccos322
4
9
化简得轨迹方程:y=2?x2
轨迹如图(b),其v、a图像从略。
(2)
(b)习题4-2图
4-3点作圆周运动,孤坐标的原点在O点,顺钟向为孤坐标的正方向,运动方程为
1
s=πRt2,式中s以厘米计,t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一2
次到达y坐标值最大的位置时,求点的加速度在x和y轴上的
投影。
2
解:v=s?=πRt,at=v?=πR,an=v=π2Rt2
R
y坐标值最大的位置时:∵s=1πRt2=πR,∴t2=1
22ax=at=πR,ay=
?π2R
习题4-3图
-1-
4-4滑块A,用绳索牵引沿水平导轨滑动,绳的另一端绕在半径为r的鼓轮上,鼓轮以匀角速度ω转动,如图所示。试求滑块的速度随距离x的变化规律。
解:设t=0时AB长度为l0,则t时刻有:
(ωt+arctan
rr
?arctanr=l0?x2?r2
22l0x?r
对时间求导:
ωr??=?x
?r2x
=?
?xx
xx2?r2
ωrxx?r
2
2
x2?r2
4-5凸轮顶板机构中,偏心凸轮的半径为R,偏心距OC=e,绕轴O以等角速转动,从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程,求其速度和加速度,并作三者的曲线图像。
解:(1)顶板A作平移,其上与轮C接触点坐标:
y=R+esinω t(ω为轮O角速度)
y
?=eωcosω tv=y
?=?eω2sinω ta=?y
(2)三者曲线如图(a)、(b)、(c)。
习题4-5图
(a)(b)(c)
4-6绳的一端连在小车的点A上,另一端跨过点B的小滑车车绕在鼓轮C上,滑车
离地面的高度为h。若小车以匀速度υ沿水平方向向右运动,试求当θ=45°时B、C之间
??各为多少。绳上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数θ
解:1.∵P点速度与AB长度变化率相同
?d12xxv
vP=(h2+x2)2=?=(θ=45°,x=h时)
dt2h2+x22?P=2.同样:aP=v
??2dxxxv2
()==dth2+x222h22h
1
?=0,x=h)(∵?x
3.tanθ=
xx
,θ=tan?1hh
习题4-6图
1?x?hx?θ==x2h2+x21+2
h?2?2hxxv2??θ=2=?2(顺)(h+x2)22h
4-7图示矢径r绕轴z转动,其角速度为ω,角加速度为α。试用矢量表示此矢径
端点M的速度、法向加速度和切向加速度。
-2-
解:vM=dr=ω×r
dtdv
?×r+ω×vM=α×r+ω×(ω×r)aM=M=ωdtaMt=α×r
aMn=ω×(ω×r)=ω×v
4-8摩擦传动机构的主动轮I的转速为n=600r/min,它与轮II的接触点按箭头所示的方向移动,距离d按规律d=10-0.5t变化,单位为厘米,t以秒计。摩擦轮的半径r=5cm,R=15cm。求:(1)以距离d表示轮II的角加速度;(2)当d=r时,轮II边缘上一点的全加速度的大小。解:
(1)ω2d=πnr,ω2=πnr
3030d
?π600×5×0.550ππnrdrad/s2α2=?==
d230d230d2
2
2
42
244
(2)a=r+ω=r2500π+πn=59220cm/s2
r4304
习题4-8图
4-9飞机的高度为h,以匀速度v沿水平直线飞行。一雷达与飞机在同一铅垂平面内,
雷达发射的电波与铅垂线成θ角,如图所示。求雷达跟踪时转动的角速度ω和角加速度α与h、v、θ的关系。
v
解:tanθ=vt
?θv,?=vcos2θ=ω=θcos2θhh
vv2
??=?sin2θθ=?2sin2θcos2θα=ω
hh
h
习题4-9图
由其上固连的销钉C固定的滑块C带动槽4-10滑座B沿水平面以匀速v0向右移动,
杆OA绕O轴转动。当开始时槽杆OA
求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。vtvt解:tan?=0,?=arctan0rad
b
b
bv
?=2022rad/sω=?
b+v0t
32bv0t
?=?2α=ω222
(b+v0t)
4-11.设ω为转动坐标系Axyz的角速度矢量,i、j、k为动坐标系的单位矢量。试证明:
?dj??dk??diω=??k?i+??i?j+??
?dt??dt??dt
?j?k?
-3-
证:∵
dj
?k=(ω×j)?k=ω?i=ωxdtdk
?i=(ω×k)?i=ω?j=ωydtdi
?j=(ω×i)?j=ω?k=ωkdt
∴等式右侧=ωxi+ωyj+ωzk=ω
证毕
第5章点的复合运动分析
5-1曲柄OA在图示瞬时以ω0绕轴O转动,并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知,试求曲杆O1BC的角速度。
解:1、运动分析:动点:A,动系:曲杆O1BC,
牵连运动:定轴转动,相对运动:直线,绝对运动:
圆周运动。
2、速度分析:va=ve+vr
va=2lω0;va=ve=lω0
ve
(顺时针)ω==ω
O1BC
O1A
习题5-1图
5-2图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道,其半径R=10cm,圆心O1在导杆
BC上。曲柄长OA=10cm,以匀角速ω=4πrad/s绕O轴转动。当机构在图示位置时,曲柄与水平线交角φ=30?。求此时滑杆CB的速度。
解:1、运动分析:动点:A,动系:BC,牵连运动:平移,相对运动:圆周运动,绝对运动:圆周运动。
2、速度分析:va=ve+vr
va=O1A?ω=40πcm/s;
vBC=ve=va=40π=126cm/s
5-3图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接,滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度ω转动,两轴间的距离是OO1=d。试求滑块滑道中的相对运动方程,以及摇杆的转动方程。解:分析几何关系:A点坐标
(1)x1cos?=rcosωt+d
(2)x1sin?=rsinωt
(1)、(2)两式求平方,相加,再开方,得:1.相对运动方程
x1=r2cos2ωt+2rdcosωt+d2+r2sin2ωt=d2+r2+2rdcosωt
将(1)、(2)式相除,得:2.摇杆转动方程:
rsinωtrcosωt+d
rsinωt
?=arctan
rcosωt+dtan?=
习题5-3图
5-4曲柄摇杆机构如图所示。已知:曲柄O1A以匀角速度
绕轴O转动,O,O1O2=b,O2O=L。试求当O1A水平位置时,杆BC的速度。
解:1、A点:动点:A,动系:杆O2A,牵连
运动:定轴转动,相对运动:直线,绝对运动:圆
周运动。C
R2ω1Rv=Rω;
Aa
1
vAe=
vAa
b+R
22
=
+R
22
2、B点:动点:B,动系:杆O2A,牵连运动:定轴转动,相对运动:直线,绝对运
动:直线。
vBe=vAe
O2BLR2ω1
=
O2Abb2+R2
b2+R2LR2ω1
=bb2
vBC=vBa=vBe
5-5如图示,小环M套在两个半径为r的圆环上,令圆环O′固定,圆环O绕其圆周
上一点A以匀角速度ω转动,求当A、O、O′位于同一直线时小环M的速度。
解:1、运动分析:动点:M,动系:圆环O,
牵连运动:定轴转动,相对运动:圆周运动,绝对
运动:圆周运动。
2、速度分析:va=ve+vr
ve=rω
vM=va=vetan30°=rω
习题5—5图
5-6图a、b所示两种情形下,物块B均以速度υB、加速度aB沿水平直线向左作平
移,从而推动杆OA绕点O作定轴转动,OA=r,?=40°。试问若应用点的复合运动方法求解杆OA的角速度与角加速度,其计算方案与步骤应当怎样?将两种情况下的速度与加速度分量标注在图上,并写出计算表达式。
解:(a):
1、运动分析:动点:C(B上);动系:OA;绝对运动:直线;相对运动:直线;牵连运动:定轴转动。
2、v分析(图c)
vB=ve+vr(1)
ve=vBsin?
习题5—6图
ωOA=
vevsin?
=B(2)OCOCvr=vBcos?
3、a分析(图d)
aB=aen+aet+ar+aC(3)
(3)向aC向投影,得
?aBsin?=?aet+aC
2
sin2?vB
其中aC=2ωOAvr=
OC
aet=aBsin?+aC
αOA
aet=OC
(b):
1、运动分析:动点:A(OA上);动系:B;绝对运动:圆周运动;相对运动:直线;牵连运动:平移。
2、v分析(图e)
va=ve+vr
va=
vBsin?vavB
=
OArsin?
ωOA=
3、a分析(图f)
aan+aat=ae+ar
上式向ae向投影,得
aancos?+aatsin?=ae
naa
22vavB==rrsin2?
aat=(aB?aancos?)/sin?αOA
aataat==OAr
5-7图示圆环绕O点以角速度ω=4rad/s、角加速度α=2rad/s2转动。圆环上的套管A在图示瞬时相对圆环有速度5m/s,速度数值的增长率8m/s2。试求套管A的绝对速度和加速度。
解:1、运动分析:动点:A,动系:圆环,牵连运动:定轴转动,相对运动:圆周运动,绝对运动:平面曲线。
2、速度:(图a)
OA=2rcos15°=2×2cos15°
ve=OA?ω=4cos15°×4=16cos15°vr=5m/s
2
va=ve+vr2+2vevrcos15°=20.3m/s
习题5—7图
3、加速度:(图b)
aat+aan=aen+aet+arn+art+aC
aan=aen+arncos15°+aCcos15°?artsin15°(1)aat=aet+artcos15°+aCsin15°+arnsin15°(2?aen=OA?ω2=4cos15°×42=64cos15°?22?an=vr=5?rr2?
?aC=2ωvr=2×4×5=40?t
?ar=8
?aet=OA?α=8cos15°??
代入(1)
naa=116.5cos15°?8sin15°=110.46m/s2
(a)
代入(2)
aat=16cos15°+52.5sin15°=29.04m/s2
aa=aan)2+(aat)2=114m/s2
(b)
5-8图示偏心凸轮的偏心距OC=e,轮半径r=e。凸轮以匀角速ω0绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角。试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。
解:1.动点:A(AB上),动系:轮O,绝对运动:直线,相对运动:圆周,牵连运动:定轴转动。
2.va=ve+vr(图a)
ve=2eω0,va=vetan30°=
243
,vr=2va=eω0(↑)eω0
33
3.aa=ae+arn+art+aC(图b)
(a)
(b)
向arn投影,得
aacos30°=aecos30°+arn?aC
arn?aC2vr22
aa=ae+=2eωe+(?2ω0vr)
cos30°3e
2
=2eω0+
2
3(
16
2
eω0?2ω0
422
eω0)=eω0(↓)39
5-9如图所示机构,O1A=O2B=r=10cm,O1O2=AB=20cm。在图示位置时,O1A
杆的角速度ω=1rad/s,角加速度α=0.5rad/s2,OlA与EF两杆位于同一水平线上。EF杆的E端与三角形板BCD的BD边相接触。求图示瞬时EF杆的加速度。
解:1.运动分析:动点:E(EF上),动系:轮BCD,
绝对运动:直线,相对运动:直线,牵连运动:平移。
2.加速度分析:aa=ar+aen+aet沿BC垂直方向投影:
aacos30°=asin30°?acos30°
52
aa=aettan30°?aen=?10=?7.11cm/s
te
ne
习题5—9图
5-10摇杆OC绕O轴往复摆动,通过套在其上
的套筒A带动铅直杆AB上下运动。已知l=30cm,当θ=30°时,ω=2rad/s,α=3rad/s2,转向如图所示,试求机构在图示位
置时,杆AB的速度和加速度。CC
解:1.运动分析:动点:A,动系:杆OC,绝对运动:直线,相对运动:直线,牵连运动:定轴转动。2.速度分析(图a)
va=ve+vr
l120cm/s
ve=ω?=
cosθv
vAB=va=e=80cm/s
cosθ
习题5—10
图
(a)(b)
vr=vetan30°=40cm/s
3.加速度分析(图b):aa=ar+aen+aet+aC沿aC方向投影:aacos30°=aC?aet
aAB=aa=
2l2
(2ωvr?α=64.76cm/s
cos30°5-11如图所示圆盘上C点铰接一个套筒,套在摇杆AB上,从而带动摇杆运动。已知:
R=0.2m,h=0.4m,在图示位置时θ=60°,ω0=4rad/s,α0=2rad/s2。试求该瞬时,摇杆AB的角速度和角加速度。
解:1.运动分析:动点:C,动系:杆AB,绝对运动:圆周运动,相对运动:直线,牵连运动:定轴转动。
2.速度分析(图a)
va=ve+vr
va=ω0R=0.8m/sve=0
ωAB=0
(a)
习题5-11图
3.加速度分析(图b)
aat+aan=ar+aet
沿aa方向投影:aan=aet=ω02R=3.2m/s2;αAB=
n
aet3.2
==9.24rad/s2(逆时针)hsinθ0.23
5-12在图示机构中,已知O1A=OB=r=250mm,且AB=O1O;连杆O1A以匀角速度ω=2rad/s绕轴O1转动,当φ=60°时,摆杆CE处于铅垂位置,且CD=500mm。求此时摆杆CE的角速度和角加速度。
习题5-12图
解:1.运动分析:动点:D,动系:杆CE,绝对运动:圆周运动,相对运动:直线,牵连运动:定轴转动。
2.速度分析(图a)
va=ve+vr
va=vA=ω?O1A=50cm/s
ve=vasin?=25cm/s;ωCE=ve=3=0.866rad/s
CD2
vr=vacos?=25cm/s
3.加速度分析(图b):aa=
ar+aen+aet+aC
沿aC方向投影:aacos?=aC+aet
aet6.7ω2r2;cm/sa=aacos60°?aC=?2ωCEvr=50?253=6.7αCE===0.134rad/s2
2CD50
t
e
5-13图示为偏心凸轮-顶板机构。凸轮以等角速度ω绕点O转动,其半径为R,偏心距OC=e,图示瞬时?=30°。试求顶板的速度和加速度。
(b)
(a)
习题16-13
图
解:1.动点:轮心C,动系:AB、平移,绝对运动:图周,相对运动:直线。2.图(a):va=ve+vr
ve=eω
3
eω(↑)2
1
eω2(↓)2
2
vAB=ve=vacos?=
3.图(b):aa=ae+ar
aAB=ae=aasin?=eω2sin30°=
5-14
平面机构如图所示。已知:O1A=O2B=R=30cm,AB=O1O2,O1A按规律?=πt
24
绕轴O1转动,动点M沿平板上的直槽(θ=60°)运动,BM=2t+t3,式中φ以rad计,BM以cm计,t以s计。试求t=2s时动点的速度和加速度。
解:1.运动分析:动点:M,动系:平
板,绝对运动:未知,相对运动:直线,牵连运动:平移。t=2s时:
ππrad/s,rad,??==30°ω=?=66πrad/s2α=
12
B
B
2.速度分析(图a)
va=ve+vr
vr=2+3t2=14cm/s
习题5-14图
ve=vA=ωR=5πcm/s;
vM=va=ve+vr=5π+14=29.7cm/s
n
3.加速度分析(图b):aM=aa=ar+ae+aet
aet=αR=2.5πcm/s2;aen=ω2R=5π2cm/s2;ar=6t=12cm/s2
6
25π22t
aMx=aen==8.22cm/s;aMy=ae+ar=2.5π+12=19.85cm/s
6
5-15半径为R的圆轮,以匀角速度ω0绕O轴沿逆时针转动,并带动AB杆绕A轴转
动。在图示瞬时,OC与铅直线的夹角为60°,AB杆水平,圆轮与AB杆的接触点D距A为3R。求此时AB杆的角加速度。
解:1.运动分析:动点:C,动系:杆AB,绝对运动:圆周运动,相对运动:直线,牵连运动:定轴转动。
2.速度分析(图a)
va=ve+vr
va=Rω0=ve
ωAB=vr=0
veω0
=2R2
习题5-15图
3.加速度分析(图b)aa=ar+aen+aet
沿铅垂方向投影:aacos60°=aetcos30°?an
esin30°
aet32ω0212;2
=ω0(ω0R+a=tan30°(aa+a)=R)=ω0RαAB=
4CA22t
e
ne
T形构件作水平往复5-16曲柄O1M1以匀角速度ω1=3rad/s绕O1轴沿逆时针转动。
运动,M2为该构件上固连的销钉。槽杆O2E绕O2轴摆动。已知O1M1=r=20cm,l=30cm。
(b)
(a)
习题5-16图
解:1.运动分析:动点:M1,动系:杆AB,绝对运动:圆周运动,相对运动:直线,牵连运动:平移。
速度分析(图a):va1=ve1+vr1
va1=rω1=60cm/s;ve1=va1sinθ=30cm/s
加速度分析(图b):aa1=ar1+ae1
沿铅垂方向投影:ae1=aa1cosθ=3ω12r=903cm/s2
2
2.运动分析:动点:M2,动系:杆O2E,绝对运动:直线,相对运动:直线,牵连运动:定轴转动。
速度分析(图a)
:va2=ve2+vr2
va2=ve1=30cm/s;ve2=va2cos?=15cm/s;
v
vr2=va2sin?=15cm/s;ωOE=
e2cos?=0.75rad/s2
l
nt
加速度分析(图b):aa2=ar2+ae2+ae2+aC2
沿aC方向投影:?aa2cos?=?aet2+aC;aet2=ae1cos30°+aC2=135+2×15×0.75=157.5cm/s2
αO2E
aet2157.532=cos?==4.55rad/sl60
第6章刚体的平面运动分析
6-1图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动,沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度α绕轴O转动,当运动开始时,角速度ω0=0,转角?0=0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。
解:xA=(R+r)cos?
yA=(R+r)sin?
(1)(2)
α为常数,当t=0时,ω0=?0=0
1?=αt2
2
(3)
即起始位置AP水平,起始位置,P与P0重合,
记∠OAP=θ,则AP从起始水平位置至图示AP位置转过
?A=?+θ
因动齿轮纯滚,故有CP0=CP,即
R?=rθθ=
R
?,r
?A=
R+r
?r
∩∩
习题6-1图
(4)
将(3)代入(1)、(2)、(4)得动齿轮以A为基点的平面运动方程为:
α2?
?xA=(R+r)cos2t?
α2?
?yA=(R+r)sint
2?
?1R+r2??A=2rαt?
6-2杆AB斜靠于高为h的台阶角C处,一端A以匀速v0沿水平向右运动,如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ表示杆的角速度。
解:杆AB作平面运动,点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P,点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为
习题6-2图
ωAB
v0v0cosθv0cos2θ===APACh
习题6-2解图
6-3图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时,轮A与垫滚B的角速
度ωA与ωB有什么关系?设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。
解:
vvωA=A=
RRvvωB=B=
2R2RωA=2ωB
ω习题6-3图
习题6-3解图
=v
6-4直径为3mm的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC一端与滚子铰接,另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时,滚子的角速度ω=12rad/s,θ=30°,?=60°
,BC=270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。
解:杆BC的瞬心在点P,滚子O的瞬心在点DvB=ω?BD
ωBC=
vBω?BD=BPBP12×60cos30°=
270sin30°=8rad/s
vC=ωBC?PC
=8×0.27cos30°=1.87m/s
习题6-4图
习题6-4解图
6-5在下列机构中,那些构件做平面运动,画出它们图示位置的速度瞬心。
习题6-5图
解:图(a)中平面运动的瞬心在点O,杆BC的瞬心在点C。图(b)中平面运动的杆BC的瞬心在点P,杆AD做瞬时平移。
习题6-5解图
(a)1
AB,曲柄OA的角速度ω=3rad/s。试求当示。?=902
6-6图示的四连杆机械OABO1中,OA=O1B=
°而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时,杆AB和曲柄O1B解:杆AB的瞬心在O
ωAB=
vA
=ω=3rad/sOA
vB
=3ω=5.2rad/sl
习题6-6解图
习题6-6
图
vB=3lωωO
1B=
6-7绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动,线上的点A有向右的速度vA=0.8m/s,试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度,并问此时卷轴是向左,还是向右方滚动?
解:如图
ωO=
vA0.8
==1.333rad/s
0.9?0.30.6
8
vO=0.9ωO=0.9×=1.2m/s
6
习题6-7
图
卷轴向右滚动。
6-8
图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动,在两齿条间夹一齿轮,其半径为r,求齿轮的角速度
及其中心O的速度。
解:如图,以O为基点:
v1=vO+ωOrv2=vO?ωOr
解得:
v1+v2
2v?vωO=12
2rvO=
习题6-8图习题6-8解图
6-9曲柄-滑块机构中,如曲柄角速度ω=20rad/s,试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA=400mm,AC=CB=200mm。
习题6-9图
解:OA定轴转动;AB、CD平面运动,DE平移。1.当?=90°,270°时,OA处于铅垂位置,图(a)表示?=90°情形,此时AB瞬时平移,vC水平,而vD只能沿铅垂,D为CD之瞬心
vDE=0
同理,?=270°时,vDE=0
2.?=180°,0°时,杆AB的瞬心在B
?=0°时,图(b),vC=
1
vA(↑)2
(a)
此时CD杆瞬时平移
vDE=vD=vC=
1
vA=4m/s(↑)2
(b)
习题6-9解图
同理?=180°时,vDE=4m/s(↓)
6-10杆AB长为l=1.5m,一端铰接在半径为r=0.5m的轮缘上,另一端放在水平面上,如图所示。轮沿地面作纯滚动,已知轮心O速度的大小为vO=20m/s。试求图示瞬时(
OA
水平)B点的速度以及轮和杆的角速度。
解:轮O的速度瞬心为点C,杆AB的速度瞬心为点P
v20ωO=O==40rad/s
r0.5
A
vA=ωO2r=202m/s
ωAB=
vA202sin45°
=AP1.5cosθ=102=14.1rad/s
vBcosθ=vAcos(45°+θ)
习题6-10图
vB=202(cos45°?sin45°tanθ)=12.9m/s
6-11图示滑轮组中,绳索以速度vC=0.12m/s下降,各轮半径已知,如图示。假设绳在轮上不打滑,试求轮B的角速度与重物D的速度。
解:轮B瞬心在F点
vE=vC
ωB=
vE
60×2×10?3
11
vD=vB=vE=vC=0.06m/s
22
=
0.12
=1rad/s0.12
F
习题6-11图
6-12链杆式摆动传动机构如图所示,DCEA为一摇杆,且CA⊥DE。曲柄OA=200mm,CO=CE=250mm,曲柄转速n=70r/min,CO=2003mm。试求当?=90°时(这时OA与CA成60°角)F、G两点的速度的大小和方向。
习题6-12图
习题6-12解图
解:动点:OA上A;动系:DCEA;绝对运动:圆周;相对运动:直线;牵连运动:定轴转动。
πn1.4π
m/s=
303
v0.7π7πωe=e==rad/s
CA3×0.412
vA=OA?ω=0.2×
10.7vA=m/s23
7π
m/svE=vD=0.254ωe=48
ve=
vG=vEcos30°=
7π?=0.397m/s(→)482
vF=vG=0.397m/s(←)
6-13平面机构如图所示。已知:OA=AB=20
cm,半径r=5cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时,OA水平,其角速度ω=2rad/s、角加速度为零,杆AB处于铅垂。试求该瞬时:
(1)圆轮的角速度和角加速度;
(2)杆AB的角加速度。
解:
(1)圆轮的角速度和角加速度
vA=OA?ω=40cm/s
杆AB瞬时平移,ωAB=0
C
vB=vA=40cm/s
v
ωB=B=8rad/s
rn
aB=aBA=0
a
αB=B=0
r
(2)杆AB的角加速度。
习题6-13解图
(b)
tt
aA?aBA=0,aBA=aA=OA?ω2=80cm/s2
αAB
t
aBA==4rad/s2
AB
6-14图示机构由直角形曲杆的角加速度。
ABC,等腰直角三角形板CEF,直杆DE等三个刚体和二个链杆铰
接而成,DE杆绕D轴匀速转动,角速度为ω0,求图示瞬时(AB水平,DE铅垂)点A的速度和三角板CEF
解:
(1)求点A的速度
vA
tnF
E
(a)
(b)
习题6—14解图
vE=DE?ω0=aω0三角板CEF的速度瞬心在点FvC=vE=aω0
曲杆
ABC的速度瞬心在点O
vA=
vC
?OA=2aω0OC
tntnaF+aF=aE+aFE+aFE
(2)求三角板CEF的角加速度
将上式沿水平方向投影
ntaF=aFE=0(因为vF=0)
t
aFE==0FE
α
CEF
6-15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接,DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度ω=8rad/s,且OA=25cm,DE=100cm,若当B、E两点在同一铅垂线上时,O、A、B三点在同一水平线上,∠CDE=90?,求杆DE的角速度和杆AB的角加速度。
解:
(1)求杆DE的角速度
vA=OA?ω=200cm/s
杆AB的速度瞬心在点B
ω
A
D
C
ωA
BA
vC=
vA
=100cm/s2
对杆CD应用速度投影定理
vD=vCsin30°=50cm/sωDE
v
=D=0.5rad/sDE
tn
aB=aA+aBA+aBA
(a)
(b)
习题6—15解图
(2)求杆AB的角加速度
将上式沿铅垂方向投影
0=a,
t
BAαAB
taAB==0AB
6-16试求在图示机构中,当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时,B点的速度和加速度(切向和法向)。
2曲柄OA以等角加速度α0=5rad/s转动,并在此瞬时其角速度为ω0=10rad/s,OA=r=200mm,O1B=1000mm,AB=l=1200mm。
解:1.v:vA=rω0
(1)
t
vB//vA∴ωAB=0vB=rω0=0.2×10=2m/s
2.a:aB+aB=aA+aA+aBA上式沿AB方向投影得:
n
t
n
t
ntntaBsinθ+aBcosθ=aAsinθ+aAcosθtntnaB=aAtanθ+aA?aBtanθ
(a)
t
即
2
=rω0?0.169+rα0?
2
v
?0.169O1B
2B
θ
2
×0.169+0.2×5=3.70m/s210.20.2
==0.169)(tanθ=
22.4.2?0.2
=(0.2×102?
n
aB
aa22==4m/s2
1
(b)
aB:aB?
??a=4m/s
(方向如图)
t2??aB=3.7m/s
n
B
2
习题6-16
解图
B
6-17图示四连杆机构中,长为r的曲柄OA以等
角速度ω0转动,连杆AB长l=4r。设某瞬时∠O1OA=∠O1BA=30°。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度,并求连杆中点P的加速度。解:1.v:vA=rω0
由速度投影定理知:vB=0
ωO1B=0ωAB=
vArω0ω0
==ABl4
t
n
t
t
2.a:aB=aB=aA+aBA+aBA上式向aA投影
tnaBcos60°=aA+aBAtn22aB=2(aA+aBA)=2(rω0+lωAB)
BBA
ω02?52?2
=2??rω0+4r(4??=2rω0
??
αO1B
t
aB==O1B
taB2cos30°
52?rω0t
2acos30°2=B==ω0
5r5r2
PA
A
(b)
tt
cos30°=aBA=aB
352532
?rω0=rω0224nt
aP=aA+aPA+aPA
2
,aPAaA=rω0
习题6-17
解图
n
r21t5322t
=2rωAB=ω0rω0,aPA=aBA=
288
?1532?n2t222
aP=(aA+aPA)+(aPA)2=?(1+)2+()??(rω0)=1.56rω0
88??
6-18滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动,通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l=800mm,轮子半径r=200mm。当AB与铅垂线成角θ=30°时,求此时点A的加速度及连杆、轮子的角加速度。
解:1.v:点O为杆AB的速度瞬心
ωAB=
vBv
=B=5rad/sOBlsinθ
n
t
2.a:aA=aAB+aAB
n2aABl=20m/s2=ωAB
tnaAB=aABcotθ=203m/s2
t
a203===43.3rad/s2
l0.8
(a)
αAB
naAB
aA==40m/s2
sinθ
αA=
aA40==200m/s2r0.2
(b)
6-19图示曲柄摇块机构中,曲柄OA以角速度ω0绕O轴转动,带动连杆AC在摇块B内滑动;摇块
及与其刚性连结的BD杆则绕B铰转动,杆BD长l。求在图示位置时,摇块的角速度及D点的速度。
解:
vA=OA?ω0vBA=vAsin30°=
vA2
C
vω
ω摇块=ωAC=BA=0
2OA4
ωl
vD=DB?ω摇块=0
4
习题6-19解图
6-20平面机构的曲柄OA长为2a,以角速度ω0绕轴O转动。在图示位置时,AB=BO且∠OAD=90°。求此时套筒D相对于杆BC的速度。
解:1.分析滑块B
vA=2aω0,vBe=aω0
v
C
vBa
vBe2aω0==cos30°4aω0
=
3
2.杆AD作平面运动
vA=vDacos30°,vDa
3.分析滑块D
vDe=vBa=
2aω02aω0
,vDr=vDa?vDe=36-21曲柄导杆机构的曲柄OA长120mm,在图示位置∠AOB=90°时,曲柄的角速度ω=4rad/s,角加速度α=2rad/s2。试求此时导杆AC的角加速度及导杆相对于套筒B的加速度。设OB=160mm。
解:1.v:分析滑块B(动系)
vA=OA?ω
va=vB=vAcosθ=OA?ωcosθ=vrvBA=vAsinθ=OA?ωsinθωAC=
vOA?ωsinθ
==ωsin2θABOA
2.a:分析滑块B(动系)tnaA=OA?α,aA=OA?ω2
tnnt
aa=aB=aA+aA+aBA+aBA
=aC+ar
160
4
2
将上式沿AC方向投影(tanθ
=120=3习题6-21
解图
tnn
ar=aAcosθ?aAsinθ+aBA
2
=OA?αcosθ?OA?ω2sinθ+ωAC
OA将加速度的矢量方程沿垂直AC的方向投影:sinθ
=?545.28mm/s2
ttnaBA?aAsinθ?aAcosθ=?aC
t
aBA==2.87rad/s2
AB
a
tBA
=asinθ+acosθ?aC=574.08mm/s,αAC
tAnA
2
第3篇工程动力学基础
质点动力学
第7章
7-1图示滑水运动员刚接触跳台斜面时,具有平行于斜面方向的速度40.2km/h,忽略摩擦,并假设他一经接触跳台后,牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。
解:接触跳台时
40.2×103
v0==11.17m/s
3600
设运动员在斜面上无机械能损失
v=v02?2gh0=.172?2×9.8×2.44=8.768m/svx=vcosθ=8.141m/s,h1=t1=
v2y2g
=0.541m=0.332s12
gt22
2(0.541+2.44)
=0.780s
9.8
习题7-1
解图
习题7-1
图
vy=vsinθ=3.256m/s
vO
vyg
(h1+h0)=
t2=
2(h1+h0)
=g
t=t1+t2=1.112s
x=vxt=8.141×1.112=9.05m
7-2图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾,把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处,如图所示。水柱的初速度υ0=25m/s,若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台,且不计空气阻力,试问水龙头的仰角α应为多少?水柱射到屋顶平台上的水平距离s为多少?
解:(1)t1=
15v0cosα
12
gt1=202
(1)(2)
v0sinα?t1?
(1)代入(2),得
500cos2α?375sinαcosα+44.1=0
500cos2α+44.1=375cosα?cos2α390625cos4α?96525cos2α+1944.81=0cos2α=0.22497,α=61.685°
vsinα
(2)t2=0(到最高点所经过时间)
g
习题7-2
图
S=(v0cosα?t2?15)×2=23.26m
7-3图示三角形物块置于光滑水平面上,并以水平等加速度a向右运动。另一物块置于其斜面上,斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为fs,且tanθ>fs,开始时物块在斜面上静止,如果保持物块在斜面上不滑动,加速度a的最大值和最小值应为多少?
解:1、物块不上滑时受力图(a)
FNsinθ+Fscosθ=ma
FNcosθ?mg?Fssinθ=0
临界:Fs=fsFN
(3)代入(1)、(2),消去FN,得
amax=
sinθ+fscosθcosθ?fssinθ
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
2、物块不下滑时受力图(b):
FNsinθ?Fscosθ=maFNcosθ?mg+Fssinθ=0
临界:Fs=fsFN
(7)代入(5)、(6),消去FN,得
amin=
sinθ?fscosθcosθ+fssinθ
7-4图示物体的质量为m,悬挂在刚度系数为k的弹簧上,平衡时弹簧的静伸长为δst。开始时物体离开平衡位置的距离为a,然后无初速度地释放。试对图中各种不同坐标原点和坐标轴列出物体的运动微分方程,写出初始条件,求出运动规律,并比较所得到的结果。
解:(a)受力图(e),且mg=kδst(1)
(2)Fk=k(δst+x)
mx=mg?Fk
..
(3)
(1)、(2)代入(3),得
mx+kx=0
..k
x+x=0mk2
记ωn=,则
m
x=Asin(ωnt+?)
..
(4)
(5)
?
初始条件:t=0时,x=a,x=0(6)代入(5),得
xa=asin(
kπ
+);m2
(6)
习题7-4
图
(b)受力图(e)
mx=mg?FkFk=kx
..
k
x=gmk
令ωn=,则
m
x+
..
mgk
?=0初始条件:t=0时,x=a+δst,x
x=Asin(ωnt+?)+xb=asin(
kπmg
++m2k
(e)(f)
(c)受力图(f)
mx=Fk?mg
Fk=k(δst?x)..
代入上式,即
mx+kx=0
..kx+x=0m
xc=Asin(ωnt+?)
?=0当t=0时,x=?a,x..
xc=?asin(kπ+);m2
(d)受力图(f)
mx=Fk?mg
Fk=?kx
mx+kx=?mg
..kx+x=?gm
mg
k
?=0当t=0时,x=?(a+δst),xx=Asin(ωnt+?)?....
xd=?asin(kπmg;t+?m2k
7-5图示质量为m的平板置于两个反向转动的滑轮上,两轮间的距离为2d,半径为R。若将板的重心推出,使其距离原对称位置O为x0,然后无初速度地释放,则板将在动滑动摩擦力的作用下作简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为f。试求板振动的运动规律和周期。
解:1、图(a)
(1)∑Fy=0,FN1+FN2=mg
∑MO
即=0,FN2d?FN1d?mgx=0x
d
x1由(1)、(2)解得:FN2=mg(1+2d
x1FN1=mg(1?2d
1xF1=fFN1=fmg(1?2d
1xF2=fFN2=fmg(1+2dFN2?FN1=mg
F1?F2=mx..
..(2)习题7-5
图即mx+
..fmgx=0dfgx+x=0d
ωn=fg
d
2π=2πωn(a)振动周期:T=dfg
—3
—
范文四:南航理论力学范钦珊PPT第11章 质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质 点 系 动 能 定 理
2014年 12月 15日 Monday
第 11章 质点系动能定理
一、常力的功 ?
? 运动路程
正功 负功
二、变力的功
元功:W d 变力的功:∫=W W d (自然形式)
(矢量形式)
(直角坐标形式) 解析表达式
三、几种常见力作的功
mg
F F F z y x ?===, 0, 0可见:与质心运动路径无关
δk F ) (0l r k ?=
0) (r F l r k ??=
可见:
元功 力 F 所作的功 1?2?力偶
无限小位移 =i r d C r d iC
r d +?d d ?=C M r i iC C r d ?d 元功
力系元功
力系作功
R
F 主矢 C
M 质心主矩
一、质点的动能
22
1mv ? ? ? 异:同:平方 标量 一次方 矢量
二、质点系的动能
T 柯尼希定理
注意:?
r i C i v v v +=
三、刚体的动能 221C
mv =221ω
z J =221C mv 2
2
1ωCz J +221ω
Pz J =
[例 11-1]
平移 解:
平移 平面运动 解:[例 11-2]
[思考 ]
√
[思考题 ]
R
一、质点动能定理
微分形式 积分形式 二、质点系动能定理
微分形式 积分形式
讨论:
内力
内力作功之和 内力作功之和 例如:
例如:
z z z 理想约束
z z
z
[例 11-3] 卷扬机
解:
受力分析 g g 21, , m m M s
N , , , F F F F Oy Ox 理想约束 P
运动分析
v
C
P
质点系动能定理 P
解题步骤:
整个系统) 力的功
z
z理想约束
z内力作功和
动能 质点系动能定理
[例 11-4] 行星齿轮机构
解:
受力分析 力的功
运动分析
动能
ωl v = 1
质点系动能定理
[例 11-5]解:受力分析 力的功
运动分析 功能
0e =∑x
F
质点系动能定理 思考:
思考:
一、势力场
与运动路径无关
例如:
有势力 保守力 由所在位置确定
二、势能
V
z
00=z 质点系 刚体 零势能点
z
自然位置
z
0 r
0 r
无穷远处
三、机械能守恒定律
有势力
∑12W
有势力的功的计算
即:初始 终 了 势能之差
T +V =E
即:保守系统 机械能保持不变 机械能守恒定律
[例 11-6]
解:
受力分析 = V 平衡位置
运动分析 =T r r R v C ωθ
=?=) (机械能守恒定律 常数
常数
=V
运动微分方程 思考:
整体运动的变化 所受的作用力 动 量 定 理
动 能 定 理
动量矩定理
一、 一、基本量计算 p
O L Oz L Oz L 平移 O L
z L 定轴转动 平移 平面运动 O L Oz L 定轴转动 平面运动 T T T T
C
v [例 1]ωmL p 6
1
=ω2
9
1mL L Oz =(逆时针)
2
218
1ω
mL T =
[例 2]O
[思考 ]纯滚动 )
(→=mv p ω2
2
1mR mvR L Oz +=(顺时针)
2224
121ω
mR mv T +=
[例 3] )
(2
9
→=ωmR p ω2
13mR L Oz =(逆时针)
2
2
7ω
mR T =
[思考 ]
力偶 zz
[例 4]
) / (cosR r PS ?θ
二、
二、基本定理
常矢量 常 数 质心运动定理
定轴 定点 质心 质心轴 常矢量 常 数
范文五:南航理论力学范钦珊PPT第9章 质点系动量定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 9 章 质 点 系 动 量 定 理
2014年 12月 3日
质点系动力学普遍定理概述 理论上:
实际上:◆
◆
质点系动力
学普遍定理
物理量 特征量
质量分布
注意:◆ ◆ ◆
内力 外力 0
i
=∑F
i =∑O
M
第 9章 质点系动量定理
?
?
?
? ? ? ?
一、动量
zz
动量 机械运动强弱程度 —— v m zv —— 矢量和 p
—— 矢量和 p
即:Cx x mv p =C Cy y y
m mv p &==C Cz z z
m mv p &==C x
m &=
[例 9-1]
(a)
(b)
(c)
[例 9-1]=p 解:(a)
方向 ω2l m ?=C mv ω
2
ml
==p (b)C
mv 方向 (c)
=p C mv 0
=
∑=Cix i x v M p Ci i M v , Ci i Ciy i y y M v M p &∑∑==Ci i Ciz i z z
M v M p &∑∑==Ci i x M &∑=
[例 9-2] 椭圆规机构
解:=p B
A m m v v +=B B A A m m v v +
?
ωsin 2lm p x ?=?
ωcos 2lm p y ==p B
A m m v v +j
i p ?ω?ωcos 2sin 2lm lm +?=
思考:
二、动量定理
即:
(动量的微分等于力的元冲量)
0=F 常量 x 0=x F =x mv
常矢量 =v m
即:
外力系的主矢
质点系的动量定理 i
i
F
+
e
i
F
=
即:
外力系的主矢
结论:
∑=?e
12I
p p
常矢量 0e
=∑F ==0p p 常量 0e =∑x
F
==x x p p 0注意:
质点系动量守恒定律
[例 9-3]解:
选 研究对象 受力分析 受力分析:∑=0
e
x
F
x x p p 0=运动分析 运动分析:r
a v v v +=质点系动量守恒定律 0
=
解题步骤:
研究对象
受力分析
运动分析
质点系动量定理 守恒定律
外力 绝对量
[思考 ]
[思考题 ]
v
v
[思考题
]
[思考题 ]
即:外力系的主矢 质心运动定理
质量不变 C m v p =
投影形式 讨论:
?
可见:质点系质心的 运动相当于一个质点的运动 ∑=
F
a m e
∑=
F
a C m 质点动力学基本方程
例如:
C v
外力
例如:
外力 —— 静 滑动摩擦力
思考:外力
z
匀速直线运动 ∑=0
e
F
==C C v a , 0z
质心位置 00=C v =C r z
在该轴上的速度投影 ∑=0e x
F
==Cx Cx v a , 0z
沿该轴的位置坐标 00=Cx v =C x
Ci i M a , 直角坐标投影式:
第一类:思考:第二类:
[例 9-4]受力分析
运动分析 m 1g m 2g F x F y
M
解:
质心运动定理 周期函数 m 1g m 2g F x
F y
M
[例 9-5]
解:
受力分析
运动分析
质心运动守恒定理
常数 CA CO M
m Mr
+M m mr +
[例 9-6]
受力分析 运动分析 a
1y
F 解:
条件 e
m g m g m 221+>
ωa 1
y
F
如何
a
1
y F
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