范文一:不同晶粒尺寸材料的霍尔佩奇关系
不同晶粒尺寸材料中的H-P 关系 高俊龙材料加工一班 20083795
细化晶粒一直是改善多晶体材料强度的一种有效手段。根据位错理论, 晶界是位错运动的障碍, 在外力作用下, 为了在相邻晶粒产生切变变形, 晶界处
必须产生足够大的应力集中, 细化晶粒可以产生更多的晶界, 如果晶界结构未发生变化, 则需施加更大的外力才能产生位错塞积, 从而使材料强化。Hall- Petch 关系就是在位错塞积模型基础上导出的。
H-P 关系的历史
20世纪50年代初,人们开始研究晶粒尺寸与材料强度的关系,1951年当时还在谢菲尔德大学读书的E. O. Hall在64册装订的《物理学进程表》上发表了三篇文章。在第三篇文章中,他指出了滑动带的长度或裂纹尺寸与晶粒尺寸成正比,即
,式子中的第一项代表了材料的强度,k 是常数。由于技术条件的限制,Hall 只能推出成正比的关系,但是x 的取值没有具体给出。当时Hall 选取的研究对象是锌但是他发现这个关系应用于低碳钢同样成立。英国利兹大学的N. J. Petch 根据自己在1946-1949年的实验研究和Hall 的理论基础发表了一篇论文,这篇论文着重讲述了有关脆性断裂方面的知识,通过测量在低温条件下不同晶粒尺寸的解理强度,Petch 把Hall 提出的数学关系进行了精确地完善,这个重要的数学关系就以他们的名字命名为霍尔佩奇关系。即 σy 代表了材料的屈服极限,是材料发生0.2%变形时的屈服应力σ0.2通常可以用显微硬度Hv 来表示
σ0表示移动单个位错时产生的晶格摩擦阻力
Ky 一个常数与材料的种类性质以及晶粒尺寸有关
d 平均晶粒直径
Hall-Petch 关系图
由于Hall 和Petch 所处的年代技术的落后他们能研究的晶粒尺寸还是很大的,所以早期的H-P 关系是不完善的,只有图中前半部分。后半部分是随着科技的进步,逐渐完善的。近几十年来, 材料的细晶强化研究大量开展。在一般晶粒尺寸范围内, 材料的强度随晶粒尺寸的变化是符
合Hall-Petch 关系的, 但在纳米晶体材料中出现了偏离甚至反Hall-Petch 关系的现象, 因此Hall-Petch 关系的使用
具有一定的局限性。
一般晶粒尺寸材料中的H-P 关系
关于晶粒尺寸的作用,可用位错的观点来说明,在晶体缺陷中已知,位错在晶体中是三位分布的。位错网在滑移面上的线段可以成为位错源。在应力的作用下,位错源可不断地放出位错,使晶体产生滑移。位错在运动过程中,首先必须克服位错网的阻碍,当位错移动到晶界时,又必须克服晶界的障碍,这样才能使变形由一个晶粒转到另一个晶粒上去,使物体产生屈服。由此可知,金属的屈服强度应该取决于使位错源动作所需要的力,位错网给予移动位错的阻力和晶粒之间界的阻力等。由此可见相同体积的金属中,晶粒越细小,晶界就越多,障碍也就越多。这久需要加大外力才能使晶体滑移。所以晶粒越小,材料的屈服极限也就越大。
如图所示
这个图示粗略展示了位错堆积的概念和它对于材料强度的影响。大晶粒的材料可错堆以产生更多位积,以生成把位错从一个晶粒移到另一个晶粒的驱动力。如图在大晶粒中移动位错比在小晶粒中更省力,这使得小晶粒材料展现出更高屈强度
晶粒中得位错塞积图
一般晶粒尺寸材料中得H-P 关系图(d>=100um)
超细晶材料中的H-P 关系
金属材料常温条件下细晶强化已成为公认的事实,H-P 关系一直是毋庸置疑的。但是随着科技和技术的不断更新和进步,材料晶粒的细化已经进入微米亚微米至纳米级别,人们通过不断地实验以及大量的实例发现了偏离H-P 的现象。随着晶粒的不断细化,这种偏离程度也不断增大,
这种偏离现象主要体现在随着晶粒的
不断细化1σ0增大2 k 值下降这是因为, 位错运动平均自由程减小, 晶界、相界对材料性能的影响比粗晶条件下更为显著, 当夹杂物尺寸与晶粒不相上下时, 将使超细晶的强化作用下降。超细晶条件下, 间隙原子的固溶强化和第二相的沉淀强化也可能发生一些变化。
从图中我们可以发现随着晶粒的细化H-P 关系图偏离的程度也就越大这是因为在晶界附近原子状态比较特别, 被确认为有晶界相, 晶界附近存在弹性变形层, 与晶粒内组织相比, 晶界相的动态活度较高。在超细晶状态下, 晶粒细小, 导致晶界面积的大幅度上升, 同时也增加了晶界附近组织在整个组织中的分数。依据非平衡晶界理论] ,非平衡态非固有晶界位错( EGBD) 的增加, 使其晶界可动位错密度加大。可动位错密度的上升有利于位错滑移即材料塑性变形, 在一定程度上将有 利于材料的屈服, 由此将使超细晶状态下H-P 关系的斜率下降。在20世纪80年代之前,这种反常现象很少被提起,最近几年由于晶粒的大幅度细化,这种现象越来越受到人们的重视。
纳米材料中的H-P 关系
霍尔—佩奇(Hall-Petch)公式指出了多晶体材料的强度与其晶粒尺寸之间的关系,晶粒越细小则强度越高。但通常的材料制备方法至多只能获得细小到微米级的晶粒,霍尔—佩奇公式的验证也只是到此范围。如果晶粒更为微小时,材料的性能将如何变化?制得这种超细晶材料,是一个留待解决的问题。自20世纪80年代以来,随着材料制备新技术的发展,人们开始研制出晶粒尺寸为纳米(nm )级的材料,并发现这类材料不仅强度更高(但不符合霍尔一佩奇公式),其结构和各种性能都具有特殊性,引起了极大的兴趣和关注。
霍尔-佩奇公式的强度与晶粒尺寸关系并不延续到纳米晶材料,这是因为霍尔一佩奇公式是根据位错塞积的强化作用而导出的,当晶粒尺寸为纳米级时,晶粒中可存在的位错极少,甚至只有一个,故霍尔一佩奇公式就不适用了;此外,纳米晶材料的晶界区域在应力作用下会发生弛豫过程而使材料强度下降;再者,强度的提高不能超过晶体的理论强度,晶粒变细使强度提高应受此限制。
大量的实验表明。纳米晶体的屈服强度与晶粒尺寸的关系与经典的H —P 关系有着很大的不同。所研究的材料包括Cu 、Pd 、Fe 、Ni 、Ag 、Ti02、Nb3Sn 、Ni —P 、Fe ?Si B一(Mo,Cu) 等。Gleiter 等人发现,纳米晶体材料呈负的H —P 关系,硬度与晶粒尺寸的关系曲线具有负的斜率。然而,与此结果相反,Nieman 等人发现,由气体冷凝法制备的Cu 和Pd 纳米晶体材料具有通常的H —P 行为。随晶粒尺寸减小而硬度下降的现象在纳米晶Cu 、Pd 、Ni —P 及Fe —Mo —Si —B 中均有报道,表现为H —P 关系中K<0。在纳米尺度下的屈服强度与晶粒尺寸的关系为纳米晶体存在一个临界尺寸:当晶粒尺寸超过该临界尺寸时,为正的h —p="" 关系;当晶粒尺寸小于该临界尺寸时,为负的h="" —p="" 关系.="">0。在纳米尺度下的屈服强度与晶粒尺寸的关系为纳米晶体存在一个临界尺寸:当晶粒尺寸超过该临界尺寸时,为正的h>
按照H —P 关系式,由于晶粒尺寸的减少,纳米结构材料的强度或硬度应该提高。但是,应该看到
这一关系式有一定的局限。首先强度值不可能无限地增长,不能超出理论强度的限制。其次,晶界上的
任何弛豫过程都可能导致强度的降低,从而在某一临界粒径下出现反H —P 关系式的现象。第三,H
—P 关系式是以位错的塞积为理论基础的,当晶粒比较小时(纳米尺寸) ,单个的晶粒不能产生多个位
错塞积,H —P 关系式就会失效。因此可以认为纳米结构材料的硬化或软化机制与传统的粗晶材料会
有很大的不同。
总结
材料的强度决定了它不同的用途,事实上人们一直致力于需找一种高强度的材料,晶粒细化是材料强化的常用手段,霍尔佩奇关系是晶粒细化理论的重要理论依据,随着科技和技术的不断更新,H-P 关系也再不断地进步和发展,由本文可以发现,H-P
关系的没一点进步都付出了许多人的努力,将来的科技会更加进步,晶粒细
化可能细化到纳米一下的级别,那时的H-P 关系又将发展到什么样的地步需要我们一直不懈的努力才能揭晓。
参考文献
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A , 1989. 117 : 33243
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的晶粒长大[J].东北大学学报,2006,27(11):1236—1239.
范文二:公式推导
一、静脉注射 (iv)
X o :静注剂量 K :一级消除速度常数
dX
KX dt
=-
0(0)X X =
拉氏变换得 0(0)(0)X X S X X K X X S K S K
-=-?==++ 逆拉氏变换得 ()1
Kt
L
X e
--=,即得 0Kt
X X e -=
00log log 2.303
Kt X K C C e C t C V -∴=
=?=-+ 二、静注时尿药浓度法求药动学参数
从血药 X 变成尿药 X u 是由肾排泄速度常数 K e 控制的。
dX
KX dt
=-
0(0)X
X =
u
e dX K X dt =
(0)0u X =
拉氏变换得 (0)S X X K X -=-
(0)u u e S X X K X -=
0(0)(0)X X S X X K X X S K S K
-=-?=
=++ 0
(0)e u e e u K X X K X K X X S K S S S K +===++
逆拉氏变换得 ()000
1Kt Kt e e e u K X K X K X X e e K K K
--=
+=-- K
X u :t 时间尿中累积药物量 X :t 时间体内药物量 K e :肾排泄速度常数
均为原形药物
iv
X 0 K f
另对于尿药速率可表示为 u
e dX K X dt = 因 0Kt
X X e
-=,故 0Kt u
dX KeX e dt
-= 三、静脉输注(静脉滴注)
dX
K KX dt
=- ()00X =
拉氏变换得 00
K K S S S K =
-?=+ 逆拉氏变换得 ()000
1Kt Kt K K K X e e K K K
--=
+=-- ()01Kt K X
C e V KV
-∴=
=- (I)
当 t → ∞ 时, 0Kt
e -→ 得 0ss K C KV
=
四、血管外给药
a
a a dX K X dt =- (1) X a (0) = FX0 a a dX
K X KX dt
=- (2)
X(0) = 0
拉氏变换得 0
(0)a a a a a a
FX X K S K -=-?=
+ (0)a a X K -=-
a a a a K K FX S K S K S K ?=
=+++ 逆拉氏变换得
()
000a a K t K t Kt Kt
a a a a a a K FX K FX K FX X e e e e K K K K K K
----=
+=---- K 0:滴注速度常数
稳 态 血 药 浓 度 (Steady State) 或称为坪浓度
K Ka
K F 为血管外给药后给药剂量 X 0的吸收分数。
∴ ()
()
a K t Kt a a K FX C e e V K K --=
--
(一)达峰时间和血药峰值 (tmax & Cmax )
对血浓公式求导数,并令等于零。
()
00a K t Kt a
a FX K dC e e dt V K K --'
??=-=??-??
则有 ln ln a K t Kt
a a a Ke K e K K t K Kt --=?-=-
得 max ln ln a a K K
t K K
-=
-
max 00max
K K K
a Kt a FX FX K C e V V K ---??== ???
(二)残数法求 K 与 K a
()
()
a K t Kt a a K FX C e e V K K --=
--
(I)
当 t 充分大且 K a ? K时, e -Kat 首先趋于 0,于是 (I)式变为 (II)式
0Kt a t a K FX C e V K K -=-
(II)
(II)式两边取对数得
0log log 2.303a t a K FX K
C t V K K =-
+- 以 logC t ~ t作图,由 slope 求出 K (回归消除相内尾段直线相上 的四、五点,即取 t 充分大的 C t 数据)
(II)式减去 (I)式得
a K t a r a K FX C e V K K -=-
(III)
r t C C C =-
(III)式两边取对数得
log log 2.303a a r a K K FX C t V K K =-+-
以 logC r ~ t作图,由 Slope 求出 K a (残数线的斜率求 K a )
Kt a r t a K FX C C C e C V K K -=-=
--
0Kt a t a K FX C e V K K -????-??
为 t 时间尾段直线相 (或其外推线) 上的数值, 而 C 则为 t 时间实测的血药浓度值,两者的差值 C r 称为残数值。
以 logC r ~ t作图,由 slope 求出 K a (回归残数线上的四 ~五点) 名词解释
生物药剂学(Biopharmaceutics )是研究药物及其剂型在体内的吸收、分布、代
谢和排泄过程, 阐明剂型因素、 机体的生物因素和药物疗效之间相互关系的科学。
药物吸收(Absorption )指药物从给药部位向循环系统转运的过程。
药物分布(Distribution )是指药物从给药部位吸收入血液后,由血液循环运送到 体内各脏器组织(或靶组织)中的过程。
表观分布容积 (Apparent volume of distribution) 指在药物充分分布的假设前提下, 体内全部药物按血中同样浓度溶解时所需的体液总容积。
蓄积 (Accumulation ) 指当连续用药时, 能引起组织中药物浓度逐渐升高的现象。
首过效应(First pass effect)指在吸收过程和吸收后进入肝转运至体循环过程中, 部分药物被代谢,使进入体循环的原形药物量减少的现象。
血脑屏障(Blood-brain barrier)指脑组织对外来物质有选择地摄取的能力。
药物代谢(Metabolism )指药物在体内吸收、分布的同时伴随着药物化学结构上 的转变。药物代谢又称生物转化(Biotransformation ) ,它可以使药物失去活性和 无活性的药物活化。
清除率 (Clearance ) 指机体在单位时间内能清除掉相当于多少体积的流经血液中 的药物。单位是体积/时间。
肾清除率 (Renal clearance, Cl r ) 代表在一定时间内 (min ) 肾能使多少容积 (ml ) 的血浆中该药物清除的能力。
肠肝循环(Enterohepatic circulation )是指在胆汁中排泄的药物或其他代谢物在小 肠中移动期间重新被吸收返回肝门静脉血的现象。
药物相互作用(Drug interaction)指两种或两种以上的药物合并使用过程中受内 源性物质、 附加剂和食物等影响而导致其药理作用、 疗效以及毒付作用发生变化。
生物利用度(Bioavailability )指药物被吸收进入血液循环的速度与程度。
绝对生物利用度(Absolute Bioavailability)指与静注制剂比较的生物利用度。
相对生物利用度(Relative Bioavailability)指与标准参比制剂中药物吸收总量的 比值。
生物半衰期(Biological half-life)指血浆中药物浓度下降至原来一半所需的时间 值。
药物动力学 (pharmacokinetics ) 指用动力学原理研究药物作用于机体及其在体内 变化规律的一门学科。
消除(Elimination )指药物在体内不复存在的过程,是代谢(Metabolism )与排 泄(Excretion )的总和。
单室模型(Single compartment model)指药物进入机体后,能很快向全身可分布 的体液、 组织和器官分布, 使药物在血液、 组织和脏器间达到分布上的动态平衡, 成为“均一”状态,此时机体可视为一个隔室。
范文三:公式推导
利用“普通最小二乘法”估计模型参数
?-β?X ) 2最小; 1、要使得∑e =∑(Y i -β12i
2
i 1
1
n
n
?,β?为未知量,对未知量求偏导,并令2、式中,X i Y i 为已知量,β12
偏导为0:
?-β?X ) ——①式 ?求偏导,得:-2?∑(Y -β对βi 12i 1
1n
?-β?X ) ——②式 ?求偏导,得:-2X ?∑(Y -β对βi i 12i 2
1
n
令两个偏导的结果为0,得:
?-β?X ) =0 ①式=-2?∑(Y i -β12i
1n
?-β?X ) =Y -β即:∑(Y i -β∑i ∑?1-∑β?2X i =0 12i
1
1
1
1
n n n n
?+β即:∑Y i =∑β∑?2X i =n β?1+β?2∑X i ——③式 1
1
1
1
1
n
n n n n
?-β?X ) =0 ②式=-2X i ?∑(Y i -β12i
1
?-β?X ) = 即:X i ?∑(Y i -β12i
1
n
n
n
n
n
n
n
?-β X i ?(∑Y i -∑β∑?2X i ) =∑X i Y i -∑β?1X i -∑β?2X i 2=0 1
1
1
1
1
1
1
2?X +β?X 2=β??即:∑X i Y i =∑βX +βX ∑2i 1∑i 2∑i ——④式 1i
1
1
1
1
1
n n n n n
注:③式、④式被称为正规方程。
?和β?: 3、联立③式和④式,解方程组,解出β12
方程组:
∑Y =n β?+β?∑X
i
1
2
1
1
n
n
n n
i
n
——③*式
2?? ∑X i Y i =β1∑X i +β2∑X i ——④*式
1
1
1
“③*式?∑X i ”与“④*式?n ”得:
1
2?? ∑Y i ∑X i =n β1∑X i +β2(∑X i )
1
1
1
1
n
n
n
n
n
——③**式
2?? n ∑X i Y i =n β1∑X i +n β2∑X i ——④**式
1
1
1
n n n
“④**式减③**式”得:
2??(X ) 2 n ∑X i Y i -∑Y i ∑X i =n βX -β2∑i 2∑i
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
——⑤式
“③*式”变形,将“⑤式”代入得:
?=β1
∑Y -β?∑X
i
2
1
1
n n
i
n
=
∑Y
1
n
i
n
?-β2
∑X
1
n
i
n
=
∑Y
1
n
i
n
-
n ∑X i Y i -∑Y i ∑X i
1
1
1
n n n
n ∑X i 2-(∑X i ) 2
1
1
n
n n
?
∑X
1
n
i
n
=
(n ∑X -(∑X i ) ) ∑Y i
2
i
2
1
1
1
n n n
n (n ∑X i 2-(∑X i ) 2)
1
1
n n
-
n ∑X i Y i -∑Y i ∑X i
1
1
1
n n
n ∑X i 2-(∑X i ) 2
1
1
n n
?
∑X
1
n
i
n
——⑥式
4、几种常用的关系式: 平均值:=X i n
,=i ;
Y n
离差:x i =X i -, y i =
Y i -; ?-; ?i =Y 估计值的离差:y i
常数求和:∑常数=n ?常数
1
n
? 随机误差项:e i =Y i -Y i
随机误差项的和:∑e i =0
5、⑤式的另一种形式:
n ∑X i Y i -∑Y i ∑X i
1
1
1
n
n
n
?=⑤式:β2
n ∑X -(∑X i )
2i 1
1
n n
=
2
——⑦式 证明:⑦式=∑
i i
i
(X i -)(Y i -)
(X
i
i
-) 2
i
=
∑(X Y -X -+) (X -2X +)
i i
i
i
2i
2
i
i
i
上式=
Y X X Y -X -+) ,根据=,=,有: =
n n X -2X +Y X X Y ∑X Y -X () -Y ) +n () ∑∑∑
2
2
i i
i
i
∑X 2-2∑X i (i
i
i
X i
n
) +n (n
i
) 2
X Y -∑X (∑=
X
∑X -∑X (i i 2
i
∑Y i
i
) )
=
n ∑X i Y i -∑Y i ∑X i
1
1
1
n
n ∑X i 2-(∑X i ) 2
1
1
n n
?的另一个计算公式: 6、β1
?+β?X +e 根据模型有:Y i =β12i i
?+β?各式两边分别相加,得:∑Y i =n β12∑X i +∑e i ?+β?因为:∑e i =0,有:∑Y i =n β12∑X i
?=i -β?所以:
β12
Y n
——⑧式
?x ?i =β7、样本回归函数的另一个形式:y 2i ?+β?X ?=β样本回归函数:Y i 12i
?=-β?,代入,得: 根据⑧式β12
?+β?X =-β?+β?X ?=βY i 12i 22i
?X -β?=β?(X -
) ?-=β所以:Y i 2i 22i ?x ?i =β即:y 2i
?i +e i , 因为:y i =y
拟合优度中总变差的分解推导
?-Y ) +(Y -Y ?) 总方差分解为两部分:Y i -Y =(Y i i i
上式两边可以直接平方加总,得:
∑(Y -Y ) =∑(Y ?-Y ) +∑(Y -Y ?)
2
2
i
i
i
i
2
如何推导?
?-Y ) +(Y -Y ?) ,即:y i =y ?i +e i ; 证明: Y i -Y =(Y i i i
∑(Y -Y ) =∑(Y ?-Y ) +∑(Y -Y ?)
2
2
i
i
i
i
2
?i 2+∑e i 2; ,即:∑y i 2=∑y
?i +e i ) 2=∑y ?i 2+∑e i 2+2∑y ?i e i , 所以:∑y i 2=∑(y
?i 2+∑e i 2成立,?i e i =0即可。因此,要证明∑y i 2=∑y 只需证明上式中2∑y ?x ,代入,有:2y ?i =β因为:y ∑?i e i =2∑β?2x i e i 2i
?x ,代入上式: ?x +e ,所以e =y -β?i +e i =β因为:y i =y 2i i i i 2i
?x e =2β?x (y -β?x ) =2β??x 2) ?i e i =2∑β2∑y (x y -β∑2i i 2i 2i i 2∑i i 2i
2?[x y -β?=2β2∑i i 2∑x i ]
?=根据β2
∑x y
x
i 2i
i
,代入上式,有:
2?[x y -β??[x y -∑x i y i 2βx ]=2β2∑i i 2∑i 2∑i i
x i 2
∑x
2i
]=0
?i 2+∑e i 2。 ?i e i =0,所以∑y i 2=∑y 即2∑y
范文四:公式推导
傅科摆(单摆)计算公式 傅科摆(单摆)的周期公式:T =2πg ,式中T 为在时间周期内完成一个振幅摇摆周期的长度,l 为摆长,指悬点到摆球中心的距离,重力加速度 g 为单摆所在处的测量值。 傅科摆(单摆)的周期公式:T =2πg ,在振幅很小的情况下,单摆的周期与振幅和摆球质量无关。从另一个角度看,单摆回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力,偏角越大回复力越大,加速度越大,在相等的时间走过的弧长也越长,所以周期与振幅和摆球质量无关。
万有引力在近地表面可以被近似地认为是一个定值,故在通常的情况下我们取重力加速度9.832 m/sec2作为应用值。在赤道时的数值为9.780 m/sec2 ,它的数值通常因增加高度而减少。
傅科摆摆球振幅直径(弧长)公式:
R =g
R 是傅科摆摆球振幅直径(摆球重力沿圆
弧切线方向在振幅相等的时间走过的
空间弧长在地面的投影长度),
l 是指傅科摆吊索的长度,
g 是指重力加速度,
圆周的周长公式:
L =2πR
综合以上公式可以得出:
L =2πR =2πl g
平均每周角的周长公式:
L ?=2πg L =360?360?
L 是指傅科摆摆球振幅圈的总周长,
L ?是指傅科摆摆球振幅圈总周长的平均
周角度的平均周长,
l 是指傅科摆吊索的长度,
g 是指重力加速度。
傅科摆的圆周角是360°角,一天的
时间是24小时,那么傅科摆每小时的振
幅圆周角是15°角。每小时有60分钟,
那么每分钟的振幅圆周角是0.25°角。
范文五:EOQ公式推导
参数:
Q = 订单量
Q * =最佳订单量
D = 产品年需求量
P = 每单位进货成本本
C = 每订单的固定固本(并非每单位成本而是附加成本)
H = 每单位每年的储存成本(储存空间、冷藏、保险等成本,一般与单位进货成本无关。)
总成本 = 进货成本 + 订单成本 + 储存成本
进货成本是货物的可变动成本:每单位进货成本 × 产品年需求量。是 P×D
订单成本是下订单的成本:每次下单有固定成本C ,和每年须下订单D/Q次。是C × D/Q
储存成本:平均库存量(在存满与提清之间)是Q/2,成本因而是H × Q/2 总成本函数:
要决定总成本曲线的最低点,将其导数设为等于零
dTC(Q)/dQ=d/d(Q)*(PD+cd/Q+HQ/2)=0
此导数的结果是: -cd/Q*Q+H/2=0
求Q 以得出Q*(最佳订单量):H/2=CD/Q*Q
Q*Q=2CD/H
因此得出Q即最佳定单量Q *
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