范文一:转动惯量平行移轴公式7篇
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转动惯量平行移轴公式篇1
由上节的定义可知,刚体的转动惯量矩(或回转半径)与惯性积和连体基及其基点的定义有关。从例5.1-1可以看到。对于同一个基点不同方位的两个连体基,一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同,但它们有一定的关系(详见6.4节)。
本节讨论当基点改变,连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。
在刚体的质心C
上建立另一个与
1
平行的连体基于点O与C
的矢径分别为
与
。质心C相对于O
的矢径为。质点Pk相对
。由图5-2可见,这些矢径有如下关系
图5-2 不同基点转动惯量的关系
(5.1-5)
由于两基平行,该矢量式在基上的坐标表达式为
(5.1-5’)
其中在基
为质心C
矢径在基
上的坐标阵,为Pk
的矢径
上的坐标阵。将式(5.1-5’)代入(5.1-2c),有
(5.1-6)
考虑到矢径
2
由质心C出发,由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24),有
的坐标式为
在连体基
,
,
(5.1-7)
因此式(5.1-6)右边的后两项为零。根据定义,该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量
JCz,即
(5.1-8)
右边第二项中的
为Oz轴与Cz轴的垂直距离,记为hz。这样式(5.1-6)变为
同理可得
(5.1-9)
3
(5.1-10)
式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理:刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。 利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式
(5.1-11a)
(5.1-11b)
(5.1-11c)
图示一摆由长为l均质杆与一半径为r的均质圆球刚连而成。质量分别为m1与m2。计算该摆对过O且垂直杆的z轴的转动惯量。
例5.1-2图
解:
令过点O杆绕z
轴的转动惯量为知,
4
,球对过质心C2的平行z轴的z2
转动惯量为。由附录A
(1)
令球对过点O绕z
轴的转动惯量为
,由式(5.1-9),考虑到式(1),有
(2)
令整个摆对过点O绕z
轴的转动惯量为
,由定义式(5.1-2c),考虑到式(1)与(2)有
质点系转动惯量与惯量积的定义
一质点惯性的度量为该质点的质量。考虑有n个质点构成的质点系。令质点系内任意一质点Pi的质量为mi。对于该质点系,度量其惯性的物理量之一为质点系的总质量,即
(5.1-1)
质量在国际单位制中单位为千克(kg)。对于刚体,如果将上式的求和号对刚体的所有质点进行,得到刚体的质量。它
5
是刚体平移运动惯性的度量。
现考察质量相同的两个圆环,用同样的力偶绕圆环的轴线驱动它们,发现直径大的圆环启动比较困难,表现出较大的惯性。说明刚体在作转动时,系统的惯性将与质点系的质量的分布有关。为此需引入描述质点系惯量的另一个物理量:转动惯量。
在刚体上过点O建立一连体基(见图5-1),质点Pk相对于O
的矢径为为
,定义
,其在该基上的坐标阵
图5-1 转动惯量与回转半径
(5.1-2a)
(5.1-2b)
(5.1-2c)
其中 kx、 ky与 kz分别为质点Pk到Ox、Oy与Oz轴的距离。称JOx、JOy与JOz分别为刚体关于Ox、
Oy与Oz轴的转动惯量。转动惯量在国际单位制中单位为千克平方米
6
(
种表达方法为
)。转动惯量的另一
(5.1-3)
其中,m为刚体的质量, x、 y与 z分别称为刚体对Ox、Oy与Oz轴的回转半径。一些常见的规则外形均质刚体转动惯量与回转半径见附录A。
描述刚体转动惯量的另一个量为刚体的惯性积。对于过刚体上点O的连体基,定义如下与转动惯量有相同量纲的量:
(5.1-4a)
(5.1-4b)
(5.1-4c)
称JOxy与JOyx为刚体关于Oxy平面的惯性积;称JOyz与JOzy为刚体关于Oyz平面的惯性积;JOzx与
JOxz为刚体关于Oxz平面的惯性积。
考虑一均质圆盘的转子,质心为C。转子的转轴Cz
7
与圆盘中心轴计算惯性积JCzx
有如图所示一小偏角 ,。试
例5.1-1图
解:
如图所示过C建立两个连体基
与。基
相对于基的方向余弦阵为
(1)
对于圆盘上的任意点Pk在两个基上的坐标阵间的关系为:
令
与
,展开上式有
将式(1)与(2)代入定义式(5.1-4c),考虑到式(5.1-2c)与
(5.1-2a),有
考虑到
为圆盘的中心惯量主轴,有JCx’z’=0。令圆盘的半径为
8
r,由附录A,有
(2)
(3)
转动惯量平行移轴公式篇2
24物理与工程 Vol. 12 No. 6 2002
任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式
周国全
(武汉大学物理学院物理系, 武汉 430072)
(收稿日期:2002208202)
摘 要 , 及对称条件下给出若干推论; .
关键词 转动惯量; 刚体; 质心轴
R OTATION INERTIA FOR AN
Y QUAD RILATERAL RIGID PLANE
AR OUN D ITS CENTER 2OF 2MASS AXIS
Zhou G uoquan
(Physics Department , Wuhan University , Wuhan 430072)
Abstract This paper gives a provement of the formula
of rotation inertia for an arbitrary
quadrilateral rigid plane around its center 2of 2mass axis ,
9
and also gives some inference under the circumstances of
limitation and symmetry which is coincident with the
current conclusions. K ey Words rotation inertia ;rigid
body ;center 2of 2mass axis 1 引言
1985年美国的物理学报第5期发表了R ?Rabinoff 的一篇论文[1,2], 首次提出用标度
及三边之长. 本文在这一结论的基础上, 又推
导出任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式. 其特例正好与文献[1]及文献[3]的结论相符.
2 任意四边形质心位置的几何确定
变换配合平行轴定理推导平板型刚体的转动
惯量, 但他只给出对称性刚体诸如长方形、正方形、等腰三角形及正n 边形刚体平板的结论, 而对非对称刚体却未曾涉及. 拙作文献[3]将R ?Rabinoff 的方法之应用领域拓展到非对称的平板刚体, 成功地推导出非对称均匀等厚的任意三角形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式[3]:
(1) I ?AB C (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
其中, m 与a 、b 、c 分别为三角形平板的质量
一个具有确定形状及大小的四边形, 其
四边及两对角线的长度必须同时给定, 否则其结构与形状将不唯一, 且不稳定, 这一点有别于三角形(三角形的三边长
10
度一旦给定, 其结构与形状就是稳定而唯一的) . 因此, 我们所要得到的四边形绕质心轴的转动惯量公式, 一定是其质量m 与其四边及两条对角线长度的某个函数, 本文的目的就是求出这个
物理与工程 Vol. 12 No. 6 2002函数表达式. 用直接积分法求解需要给出四个顶点坐标, 其过程将异常繁复和棘手, 其表达式也不简洁. 而工程设计中一般给定的是四边形的边长及对角线长度, 为此我们首先对一给定的四边形确定其质心的位置, 我们将看到, 其质心位置从几何上用作图法即可确定, 而无须用笛卡尔坐标表示. 如图1所示, A B CD 是一质量为m 且均匀等厚的四边形刚体, 边长A D =a , A B
=b , B C =c , CD =d ; 二对角线长B D =e , A C =f ; 对角线交点为O ; B D 将四边形A B CD 两部:ΔA B D 与ΔCB D ; ?S 2; m ?ABD , m m 2. D 的中点O 1, 连接1CO 1, 则?A B D 的质心在
A O 1上之G 1点, 且满足O 1G 1=O A ,
31
?CB D 的质心在CO 1上之G 2点, 且满足
O 1G 2=O C. 设G 1G 2交B D 于O 2, 则四
31
边形A B CD 质心必落在G 1G 2的连线上某点G , 且按质心(G ) 的性质应有:
11
(2
) m 1?G 1G =m 2?G 2G
=G 2G G 1O 2
25
即
= (合比定理)
G 1G +G 2G G 1O 2+G 2O 2
又
G 1G +G 2G =G 1O 2+G 2O 2
=G 2=
C O 2; 2=G 1O 2. 因
, G 点使G 2G =2, G 1G =G 2O 2即得四边形A B CD 的质心G. 同时从式(3) 、式(5) 和A O +CO =A C =f 可以求出:
G 1G =G 2O 2=O C
3G 2G =G 1O 2=OA
3
(6)
S
OA
=
S 1+S 2
f
12
O C =
f
S 1+S 2
从式(4) 及m 1+m 2=m 可以求出:
m 1=
m , m 2=m
S 1+S 2S 1+S 2
至此, 我们用纯几何的方法确定了四边形
A B CD 质心G 的位置.
图 1
又容易证明如下三个结论:
??O 1G 1G 2??O 1A C (相似比为1?3) ;
?G 1G 2?A C 且G 1G 2=A C (?的
3
推论) ;
?
= (?的推论) . CO G 2O 2
=m 1S 1
(3)
3 四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公
式
如图1所示, 四边形A B CD 绕质心轴(通
13
过G 点且垂直于A B CD 所在平面) 的转动惯量可写成:
I AB CD (G ) =I ΔABD (G ) +I ΔCBD (G )
因为刚体平板的质量均匀分布, 故有
(4)
而
I ΔABD (G ) =I ΔABD (G 1) +m 1(GG 1) 2
I ΔCBD (G ) =I ΔCBD (G 2) +m 2(GG 2)
2
而
== (因S 1, S 2共底B D ) S 2S ?CBD CO
(5)
(3) 、(4) 、(5) 可得:由式(2) 、
其中运用了平行轴定理. 而由拙作文献[3]的
公式(1) 可得:
I ?ABD (G 1) =m 1(a 2+b 2+e 2)
36
26
I ?CBD (G 2) =
物理与工程 Vol. 12 No. 6 2002
222
m 2(c +d +e ) 36
(6) 式, 可得:由此并应用(2) 式、22222222
14
I AB CD (G ) =m 1(a +b +e ) +m 2(c +d +e ) +m 1(GG 1)
+m 2(GG 2)
36362222(m 1+m 2) e 2+=[m 1(a +b ) +m 2(c +d ) ]+m 1G
1G (G 1G +G 2G ) 3636
=
222222
me +m (a +b ) +m (c +d ) +m 2f 3636S 1+S 2S 1+S 2(1+S 2)
S 1+S 2
2
将上式写得对称一点, 可得
I AB CD (G )
22
) c +d 2) -=m (e +f ) +361+1S 2
f
2
(7)
注意其中S 12:
S 1=S 2=
P 1(P 1-a ) (P 1-b ) (P 1-e ) P 2(P 2-c ) (P 2-d ) (P 2-e )
这里P 1=
(a +b +e ) , P 2=(c +d +e ) . 22
至此, 我们成功地推导出非对称的任意
15
四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式(7) . 它完全取决于刚体平板的质量m 及四边的边长a 、b 、c 、d 和对角线长度e 、f . 4 若干特例与讨论
(1) 当O 点平分A C 时, A O =CO =f , 且S 1=S 2; 而有
I AB CD (G ) =
2
22
m (e +f ) +362222
m (a +b +c +d ) 72
矩形是特殊的平行四边形, 其绕质心轴的转动惯量当然也是上式. 这正是文献[1]、文献[3]中的结论, 故公式(7) 经特例检验是正确的.
(3) 公式(7) 在a 、b 、c 、d 之一为零时应回到三角形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式(1) 的形式. 在(7) 式中令d =0, 则S 2=0且有f (=A C ) =a 、e (=B D ) =c 代入(7) 式中可得:
I ?AB C (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
回到了(1) 式的形式.
(4) 我们再用另一方式使A B CD 退化为三角形———使C 点沿CA 方向趋近于O 点, 即令CO =0, 此时, S 2=0, m 1=m , 不难证明, 公式(7) 同样回归到公式(1) 的
16
形式:
I ?ABD (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
其中A D =a , A B =b , B D =e.
参 考 文 献
[1] Rabinoff R. A m. J. Phys. 1985, 53(5) :501
[2] Rabinoff R. 用标度变换求转动惯量:如何避免繁杂的
(2) 当A B CD 是一平行四边形, 即A C 、
B D 相互平分于O 点, 则:OA =OC , OB =OD , S 1=S 2;
而且由平行四边形的性质得:
22222222e +f =a +b +c +d =2(a +b )
因而
I ?AB CD (G ) =
积分. 愈志毅译. 大学物理,1987, (7) :3132
m (e 2+f 2) =m (a 2+b 2) 2412
[3] 周国全. 对称操作与量纲方法求刚体转动惯量. 物理与
) 1996, (2) :1215工程(原《工科物理》
转动惯量平行移轴公式篇3
例题1 求T 形截面的惯性矩I z 、I y , 其中y 轴为对称
17
轴、z 轴为边轴。
y
z
解:(该例题不需求形心轴) 1)求I y
沿AB 把T 形划分称上下两个矩形?、?。因?、?的形心都在y 轴上,则y 轴是?、?的共同形心轴,c 1(0,175)、c 2(0,75)。于是,根据矩形对形心轴的惯性矩公式可得:
I
I y =bh 3= 50 2503=6.510 107mm 4 ?I y =bh
3= 150 503=1.56 106mm 4
故:I y =I y +I y =(6.51+0.16) 10mm
2)求I z 由于
I?74
A 1、A 2的形心不在z 轴上,故应分别用平行移轴公式计算其对z
轴的惯性矩。故
I z I=I zc 1+a 12A
1= 250 503+1752 50 250=3.85 108mm 4
2
I z ?=I zc 2+a 2A
18
2= 50 1503+752 50 150=5.625 107mm 4
I z =I z I+I z ?=3.85 108+5.625 107=4.41 108mm 4
例2 求下面T 形截面对形心轴z 轴、y 轴的惯性矩I z 、I y 。
y
Z 0
解:该例题需要先求出形心轴 1)确定截面形心位置。
取z 1oy 为参考坐标系沿,如图。AB 把T 形划分称上下两个矩形?、?。其中c 1(0,175)、c 2(0,75)因A 1、A 2的形心都在y 轴上,则y 轴是A 1、A 2的共同形心轴, 则z c =0。
y c =
A 1 y c 1+A 2 y c 2250 50 175+150 50 75
==137.5mm
A 1+A 2250 50+150 50
画出其形心轴z 、y ,如图。
2)求I z (不同于上一例题,因为z 轴不同)
2
I z =I z I+I z ?=(I zc 1+a 12A 1) +(I zc 2+a 2A 2)
=( 250 503+37.52 250 50)
+( 50 1503+62.52 50 150)
19
=6.354 107mm 4
3)y
轴是A 1、A 2的共同形心轴。于是,根据矩形对形心轴y 轴
的惯性
矩公式可得(同上一例题):
I y 1= 50 2503=6.510 107mm 4 I y
2= 150 503=1.56 106mm 4
故:I y =I y 1+I y 2=(6.51+0.16) 10mm
7
4
转动惯量平行移轴公式篇4
对转动惯量平行轴定理的证明
如右图所示,轴 L 与 L 间距 离为 r0 刚体 M 对转
轴 L 的转动惯量为
I r 2 dm
I
?
刚体 M 对转轴 L 的转动惯量为
r dm
20
2
?
由图可知, r ~ r r0 由? 两式消去 r 可得 ?
?
2 I ,r ~ r0 , dm r 2dm , r02dm ~
2 r r0dm
即
I I , mr02 ~ 2 r r0dm
这就是平行轴定理一般式 当转轴 L 过质心时,有
r dm rc 0 m
?
代入?式可得
I I , mr02
这就是过质心平行轴定理
?
21
转动惯量平行移轴公式篇5
常见几何体]转动惯量公式表
对于细杆
当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L )/12
其中m 是杆的质量,L 是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L )/3
其中m 是杆的质量,L 是杆的长度。
对于圆柱体
当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r )/2
其中m 是圆柱体的质量,r 是圆柱体的半径。
对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR ;
当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR ;
R 为其半径
对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=,1/2,mR ;
当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=,3/2,mR ;
22
R 为其半径
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时,J=,1/2,m[(R1) +(R2) ];
R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳
当回转轴为中心轴时,J=,2/3,mR ;
当回转轴为球壳的切线时,J=,5/3,mR ;
R 为球壳半径。
对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时,J=,2/5,mR ;
当回转轴为球体的切线时,J=,7/5,mR ;
R 为球体半径
对于立方体
当回转轴为其中心轴时,J=,1/6,mL ;
当回转轴为其棱边时,J=,2/3,mL ;
当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL ;
L 为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系:
23
角加速度与合外力矩
式中M 为合外力矩,β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量:
角动量
刚体的定轴转动动能:
转动动能
注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。
只用E=(1/2)mv 不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
平行轴定理:设刚体质量为m ,绕通过质心转轴的转动惯量为Ic ,将此轴朝任何方向平行移动一个距离d ,则绕新轴的转动惯量I 为:
I=Ic+md
这个定理称为平行轴定理。
一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。也
24
就是说,绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
垂直轴定理
垂直轴定理:一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量,等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
垂直轴定理
表达式: Iz=Ix+Iy
式中Ix,Iy,Iz 分别代表刚体对x,y,z 三轴的转动惯量.
对于非平面薄板状的刚体, 亦有如下垂直轴定理成立[2]:
垂直轴定理
利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算.
刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为 I=Mκ ,式中M 为刚体质量;I 为转动惯量。
转动惯量平行移轴公式篇6
25
nema标准中的计算是如下(转化公式):J=A×0.055613×
(Pn .95)?(n/1000) .4-0.004474×(Pn .5)?(n/1000)
.8
A小于等于1800rpm时取24,A大于1800rpm时取27 Pn为功率(kw) n 为同步转速
高压电动机在设计时,要求计算出转子的转动惯量。下面对计算方法做一分析。
转动惯量是物体在转动时惯性的度量,它不仅与物体质量的大小有关,还与物体质量分体情况有关。机械工程师手册给出了一些简单形状物体的转动惯量。
1、 圆柱体沿轴线转动惯量:
Kg?m2……(1)
式中:M — 圆柱体质量 Kg
R — 圆柱体外径半径 m
2、空心圆柱体沿轴线转动惯量:
Kg?m2……(2)
式中: M — 空心圆柱体质量 Kg
R — 空心圆柱体外半径 m
r — 空心圆柱体内半径 m
3、薄板沿对称线转动惯量:
26
Kg?m2………(3)
式中:M —薄板质量 Kg
a —薄板垂直于轴线方向的宽度 m
物体的转动惯量除了用J表示外,在工程上有的用物体的重量G和物体的回转直径D的平方的乘积GD2来表示,也称为物体的飞轮力矩或惯量矩,单位N?m2或Kg f m2。 物体的飞轮力矩GD2和转动惯量J之间的关系,用下式表示:
N?m2…… (4)
式中:g — 重力加速度 g=9.81 m/s2
将重力单位N化为习惯上的重力单位Kgf ,则(4)变为:
Kg f m2………(5)
由以上公式,可以对鼠笼型高压电机的转动惯量进行计算。计算时,将高压电机转子分解为转子铁心(包括导条和端环)、幅铁、转轴三部分,分别算出各部分的Jn,各部分的转动惯量相加即得电机的转动惯量J。如需要,按(5)式换算成飞轮力矩GD2。一般产品样本中要求给定的是转动惯量J,兰州引进的电磁设计程序计算出的是飞轮力矩GD2。 计算程序如下:
1、转子铁心的转动惯量,按空心圆柱公式(2)进行计算,考虑导条端环度大小的因素,以系数c进行修正。
Kgm2
式中:M1 — 铁心、导条、端环质量 Kg
27
R1、r1 —铁心内外半径 m
c — 修正系数。 铜笼转子取C=1.04
铝笼转子另考虑计算方法。
2、 转轴的转动惯量,按圆柱体公式进行计算。
Kgm2
式中:M2 — 转轴质量 Kg
R2 —转轴铁心档半径 m
3、幅铁的转动惯量J3 ,按薄板公式计算,幅铁的转动惯量:
Kgm2
式中:M3 — 幅铁的质量 Kg
a —幅铁的外直径 m
d— 转轴的直径 m
4、 电机总转动惯量J:
按以上公式对YKK500 10KV进行了计算,GD2与兰州程序的计算基本相符,如按铝笼计算,与各厂产品样本中的转动惯量J值基本相符。以上计算只是近似值,如需更准确的值,可以用测定的方法,
转动惯量平行移轴公式篇7
28
第,,卷第,期大学物理实验
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,(,,,;(,,,,,,,,年,,月出版
文章编号:,,,,—,,,,(,,,,),,一,,,,—,,
用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理
刘竹琴
(延安大学,延安,,,,,,,)
摘要提出用最,,,乘法验证转动惯量平行轴定理的新方法,并通过实验证明了该
方法的可行性。
关键词转动惯量;平行轴定理;最小二乘法;扭摆
文献标识码:,中图分类号:,,,,(,
,引言
目前,各高校大学物理实验课普遍开设“物体转动惯量的测定”这一实验…,使用的仪器是,,—,型智能转动惯量测试仪。利用该仪器是通过测量扭摆的周期来计算物体的转动惯量。同时还可以验证转动惯量的平行轴定理,,,。为了拓宽测量方法,本文提出利用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理,方法简单,又具有很强的说服力,下面介织实验原理和实验方法。
29
,实验原理
,(,系统转动惯量与扭摆周期的关系
扭摆装置如图,所示,在垂直轴,上装有一根片状的螺旋弹簧,,用以产生恢复力矩(在轴的上方可以装上各种待测物体(垂直轴与支座间装有轴承,以降低摩擦力矩(,为水平器,用来调整系统平衡
将物体在水平面内转过一角度后,在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动(根据虎克定律,弹簧受扭转而产生的恢复力矩,,,,与所转过的角度,成立比,即
,:一肋
式中,,为弹簧的扭转系数(
又根据转动定律,转动系统所受合外力矩膨合与角加速度卢的关系为
』,,合,筘(,)(,)
式中,,为该系统对回转轴的转动惯量,合外力矩膨。主要由弹簧受扭转而产生的恢收稿日期:,,,,—,,一,,—,,—
复力矩,和轴承的摩擦阻力力矩构成,若忽略轴
承的摩擦阻力力矩,则,,,合,,,即
卢,一钿(,)
(,)令;;,,,芋测卢,害,一争,。,
30
,,,;,,(,,,,)
为角速度,此简谐振动的周期为上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性,角加速度与位移成正比,且方向相反(此方程的解为:(,)式中,,为简谐振动的角振幅,,为初相位,;;,
弘,?,,,,不?专,,,,(,)圈,扭撄装置
,(,平行轴定理的验证
将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上,将两个大小、质量均相等的金属滑块对称地套在金属杆上,设金属滑块质心轴,距扭摆转轴,的距离为,,金属滑块的质量为,,相对于质心轴,的转动惯量为,;,根据平行轴定理,金属滑块对扭摆转轴,的转动惯量为
,,,,,利,
则整个系统对扭摆转轴,的转动惯量为
,,,,,,如,,,,,,,,,,,,,,,,,
因,;、,,、,,均为常数,故令,,,,,,厶,,,。
则式(,)可表示为,,,,,,,,,(,)又设夹具对扭摆转轴,的转动惯量为,,,金属细杆对扭摆转轴,的转动惯量为,,,(,)(,)
又由式(,)得,系统的转动惯量,与系统的摆动周期,的关系为
,,—盒,
31
由式(,)、(,,)得,(,,)
严,,,,,,”(警,,
,,,(髫,,,。…)上式反映出金属滑块的位置,改变时对转动的影响,用最,,,,,乘法作线性拟合,令,,
,玎,,,口。,,,,,,,,
则式(,,)变为
,,口,如,,研,(,,)
从,,,组(茗;,,,)值,可求得口、,值及相关系数,,若,接近,,说明严与,,线性显著相关,平行轴定理得到了验证(
,实验方法与测量举例
,(,实验装置的调节一,,—
智能刚体转动惯量测试仪是由扭摆、主机和光电传感器三部分组成(主机采用新型的单片机作控制系统,用于测量物体转动和摆动的周期,能自动记录、存贮多组实验数据并能够精确地计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接受管组成,将光信号转换为脉冲电信号,送人主机工作。首先应调节扭摆下面的底脚螺旋,使圆水准器的气泡居中,然后将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上,启动扭摆,检查记时器是否开始记数和到预定周期数时,是否停止记数(调节光电传感器在固定支架上的高度,
32
使金属细杆能自由往返地通过光电门,并能准确挡光。
,(,测量方法及测量举例
,(,(,验证转动惯量的平行轴定理
(,)用物理天平称量金属滑块的质量为,,,,,(,,,(
(,)将金属滑块对称地套在金属细杆两边的靠近扭摆转轴的一对凹槽内,(金属细杆两边对称分布着,对凹槽,它们的中心离扭摆转轴的距离分别为,(,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,(,,,,,,,(,,,,,),记录金属滑块中心距扭摆转轴的距离,,测定扭摆转动的周期,(
(,)将金属滑块分别对称地套在金属细杆的其余凹槽内,同上测定扭摆转动的周期测量数据见表,(
衷,验证平行轴定理的翻量数据
取石,,,,,,,’,,按,,口,,用最小二乘法求,、,值得
口,,(,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,
,,。,(,,,,,,,,。,,,,,,
由相关系数显著性检查表【,】得。,,,(,为测量次数),口,,(,,(口为显著性水平),,,,(,,,为显著性标准,,】,现在,,,(,,,,,,,,(,,
33
,,是显著相关,即回归直线的直线性是很好的,说明严与,,完全线性相关,平行轴定理得到了验证(
,(,,根据,的值计算弹簧的扭转系数,
由,:下,,,,,,侍,(:,。,,,,圻,:,(,,,,×,,—,,,,,,,,
因不确定度的曰类评定较小。略去不计,
则?(,),,(,),,(,,,,,,
,,筹啪)一等州,),,(,,,×,,,,,,(,,,,,
(?(,,(,(,,,,,,,(,,,),,,(,,,?,,,,,
,(,,测量金属载物盘的转动惯量矗
将金属细杆取下,装上金属载物盘,并调整光电探头的位置使载物盘上的档光杆处于其缺,:,中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔,测定摆动周期,,测量结果见表,。一,,—
裹,金一载绚盘转动周期测量数据
,,,,(,,
,(,,,,,,,,(,,,,,,,,,,?,,
,(,,测量实心塑料圆柱体的转动惯量,如,毒严,黜,,,,,由式(,,)得
将塑料圆柱体垂直放在载物盘上,测量摆动周期,,测量
34
结果见表,(
裘,塑辩圆柱体放在囊物盘上的转动周期测量觳据
,,,(,,,,,
,,寿严一如,,?,,,×,,一,,‘,,
根据,圆球,,,,(,,,,,直径,,,,,,—,,
可求得圆柱体对柱体轴线的转动惯量的理论值,,】,,为
,’,丢柏,,,,×,,,(,,×,,,,×(,,×,,,,),,,(,,,×,,“,,?,,
测量结果,与理论值,’相比,其相对误差为,,,(,,,,测量结果较满意(
参考文献
【,】杨述武主编(普通物理实验(一(力学及热学部分)(,,,:,,京(高等教育出版社,,,,,,,,白泽生等(大学物理实验(第二版),,,西安(陕西人民出版社,,,,,
,,,邱菊等(用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法,,,大学物理,,,,,
,,,龚镇雄(普通物理实验中的数据处理,,,西安(西北电讯工科学院出版社,,,,,,,,漆安慎、杜婵英(力学基础,,】高等教育出版社,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
35
,,,,,峪
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):刘竹琴, Liu Zhuqin延安大学,延安,716000大学物理实验PHYSICAL EXPERIMENT OF
COLLEGE2007,20(4)
36
参考文献(5条)
1.杨述武 普通物理实验(一.力学及热学部分) 2000
2.白泽生 大学物理实验 2006
3.邱菊 用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法[期刊论文]-大学物理 2006(9)
4.龚镇雄 普通物理实验中的数据处理 1985
5.漆安慎;杜婵英 力学基础 1987
引用本文格式:刘竹琴.Liu Zhuqin 用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理[期刊论文]-大学物理实验 2007(4)
37
范文二:转动惯量公式
nema标准中的计算是如下(转化公式):J=A×0.055613×(Pn^0.95)÷(n/1000)^2.4-0.004474×(Pn^1.5)÷(n/1000)^1.8
A小于等于1800rpm时取24,A大于1800rpm时取27 Pn为功率(kw) n 为同步转速
高压电动机在设计时,要求计算出转子的转动惯量。下面对计算方法做一分析。
转动惯量是物体在转动时惯性的度量,它不仅与物体质量的大小有关,还与物体质量分体情况有关。机械工程师手册给出了一些简单形状物体的转动惯量。
1、 圆柱体沿轴线转动惯量:
Kg?m2……(1)
式中:M — 圆柱体质量 Kg
R — 圆柱体外径半径 m
2、空心圆柱体沿轴线转动惯量:
Kg?m2……(2)
式中: M — 空心圆柱体质量 Kg
R — 空心圆柱体外半径 m
r — 空心圆柱体内半径 m
3、薄板沿对称线转动惯量:
Kg?m2………(3)
式中:M —薄板质量 Kg
a —薄板垂直于轴线方向的宽度 m
物体的转动惯量除了用J表示外,在工程上有的用物体的重量G和物体的回转直径D的平方的乘积GD2来表示,也称为物体的飞轮力矩或惯量矩,单位N?m2或Kg f m2。 物体的飞轮力矩GD2和转动惯量J之间的关系,用下式表示:
N?m2…… (4)
式中:g — 重力加速度 g=9.81 m/s2
将重力单位N化为习惯上的重力单位Kgf ,则(4)变为:
Kg f m2………(5)
由以上公式,可以对鼠笼型高压电机的转动惯量进行计算。计算时,将高压电机转子分解为转子铁心(包括导条和端环)、幅铁、转轴三部分,分别算出各部分的Jn,各部分的转动惯量相加即得电机的转动惯量J。如需要,按(5)式换算成飞轮力矩GD2。一般产品样本中要求给定的是转动惯量J,兰州引进的电磁设计程序计算出的是飞轮力矩GD2。 计算程序如下:
1、转子铁心的转动惯量,按空心圆柱公式(2)进行计算,考虑导条端环度大小的因素,以系数c进行修正。
Kgm2
式中:M1 — 铁心、导条、端环质量 Kg
R1、r1 —铁心内外半径 m
c — 修正系数。 铜笼转子取C=1.04
铝笼转子另考虑计算方法。
2、 转轴的转动惯量,按圆柱体公式进行计算。
Kgm2
式中:M2 — 转轴质量 Kg
R2 —转轴铁心档半径 m
3、幅铁的转动惯量J3 ,按薄板公式计算,幅铁的转动惯量:
Kgm2
式中:M3 — 幅铁的质量 Kg
a —幅铁的外直径 m
d— 转轴的直径 m
4、 电机总转动惯量J:
按以上公式对YKK500 10KV进行了计算,GD2与兰州程序的计算基本相符,如按铝笼计算,与各厂产品样本中的转动惯量J值基本相符。以上计算只是近似值,如需更准确的值,可以用测定的方法,
范文三:转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表
对于细杆
当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12
其中m 是杆的质量,L 是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3
其中m 是杆的质量,L 是杆的长度。
对于圆柱体
当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2
其中m 是圆柱体的质量,r 是圆柱体的半径。
对于细圆环
当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2;
当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2;
R 为其半径
对于薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2;
当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2;
R 为其半径
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2];
R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳
当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2;
当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2;
R 为球壳半径。
对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2;
当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2;
R 为球体半径
对于立方体
当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2;
当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2;
当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2;
L 为立方体边长。
只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。
角加速度与合外力矩的关系:
角加速度与合外力矩
式中M 为合外力矩,β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。
角动量:
角动量
刚体的定轴转动动能:
转动动能
注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。
只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。
平行轴定理:设刚体质量为m ,绕通过质心转轴的转动惯量为Ic ,将此轴朝任何方向平行移动一个距离d ,则绕新轴的转动惯量I 为:
I=Ic+md^2
这个定理称为平行轴定理。
一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说,绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
垂直轴定理
垂直轴定理:一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量,等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
垂直轴定理
表达式: Iz=Ix+Iy
式中Ix,Iy,Iz 分别代表刚体对x,y,z 三轴的转动惯量.
对于非平面薄板状的刚体, 亦有如下垂直轴定理成立[2]:
垂直轴定理
利用垂直轴定理可对一些刚体对一特定轴的转动惯量进行较简便的计算.
刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为 I=Mκ^2,式中M 为刚体质量;I 为转动惯量。
范文四:转动惯量计算折算公式
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)
MD 2
J = 8
对于钢材:J =
π?rD 4L
-332g
?10
0. 78D 4L ?10-
6(kgf ?cm ?s 2)
2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量:
J =Js i 2 (kgf·cm·s 2)
3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量
2
J =? v ?w ?2π?n ?
?
g ?s 2
= ?
w ?2π??g
(kgf·cm·s 2)
2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量:J 1
?t =J 1+i 2
??(J )+w ?s ?2
?2?2+J S g ?2π????
(kgf?cm ?s )
?
5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量
J =
w R 2
(kgf·cm·s 2g
)
M-圆柱体质量(kg); D-圆柱体直径(cm); L-圆柱体长度或厚度(cm); r-材料比重(gf /cm3) 。
J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2) ; i-降速比,i =
z 2
z 1
v -工作台移动速度(cm/min); n-丝杠转速(r/min); w-工作台重量(kgf);
g-重力加速度,g = 980cm/s2; s-丝杠螺距(cm)
J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量; J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2) ;J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2) ; s-丝杠螺距,(cm); w-工件及工作台重量(kfg).
R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)
6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量
1?w 2?
J t =J 1+2 J +R ? 2 ?g i ??
J 1,J 2-分别为Ⅰ轴,
Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2) ; R-齿轮z 分度圆半径(cm);
w-工件及工作台重量(kgf)。
马达力矩计算
(1) 快速空载时所需力矩:
M =M am ax +M f +M 0 M =M a t+M f +M 0+M t
(2) 最大切削负载时所需力矩: (3) 快速进给时所需力矩:
M =M f +M 0
式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m) ;
M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m) ;
M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m) ;
M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m) ; M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m) 。
在采用滚动丝杠螺母传动时,M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下: (4) 加速力矩:
M a =
J r n
m) ?10-2 (kgf·
9. 6T
T =
1s 17
J r —折算到马达轴上的总惯量; T —系统时间常数(s); n —马达转速( r/min ); 当 n = nmax 时,计算M amax n = nt 时,计算M at
n t —切削时的转速( r / min )
(5) 摩擦力矩:
M f =
F 0?s
m) ?10-2(kgf·
2π?η?i
F 0—导轨摩擦力(kgf); s —丝杠螺距(cm); i —齿轮降速比;
(6) 附加摩擦力矩:
(7) 切削力矩:
η—传动链总效率;一般η=0.7~0.85。
M P 0s 0=
2πη?i
(1-η2
0)
?10-2 (kgf·
m) P 0—滚珠丝杠预加载荷(kg·f) ;
s —丝杠螺距(cm); η—传动链总效率; i —齿轮降速比;
η0—滚珠丝杠未预紧式的效率,计算公式 见本手册第2测第425页,一般η0≥0.9。M t s
2t =
P 2πη?i
?10-(kgf·
m) P t —进给方向的最大切削力(kg· f); s —丝杠螺距(cm); η—传动链总效率; i —齿轮降速比。
范文五:[重点]转动惯量计算折算公式
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)
L D
2M-圆柱体质量(kg);MD J,M8D-圆柱体直径(cm); 4,rDL,,3L-圆柱体长度或厚度(cm); 对于钢材:J,,10 32g3r-材料比重(gf /cm)。 4,620.78DL,10(kgf,cm,s)
2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量:
Jsz22JSZJ (kgf?cm?s) J,22i-降速比,i,2iz1i J 1
Z21J –丝杠转动惯量(kgf?cm?s); s
3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量
2Vv-工作台移动速度(cm/min);wv,, WJ,,,2,g,nn-丝杠转速(r/min);,, 2w-工作台重量(kgf);sw,,2 (kgf?cm?s),,,22,gg-重力加速度,g = 980cm/s;,,
s-丝杠螺距(cm)
2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量:
2 ,,s1w,,2J,J,,,J,J,(kgf,cm,s),,,,12tS2J-齿轮z及其轴的转动惯量;11g2,i,,,, ,,2J-齿轮z的转动惯量(kgf?cm?s);22 2ZJ22W J-丝杠转动惯量(kgf?cm?s);s i MJSs-丝杠螺距,(cm); J1 Z1w-工件及工作台重量(kfg).
5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量
w22J,R (kgf?cm?s) gR-齿轮分度圆半径(cm); R w-工件及工作台重量(kgf)
6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量
,J-分别为?轴, J,,1w122 ,,JJJR,,,t12,,22gi ?轴上齿轮的转动惯量(kgf?cm?s); ,,
R-齿轮z分度圆半径(cm);? J2W w-工件及工作台重量(kgf)。 ZM J1Z?
马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩:
M,M,M,Mamaxf0(2) 最大切削负载时所需力矩:
M,M,M,M,Ma tf0t(3) 快速进给时所需力矩:
M,M,Mf0
式中M—空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf?m); amax
M—折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf?m); f
M—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf?m);0
M—切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf?m); at
M—折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf?m)。 t
在采用滚动丝杠螺母传动时,M、M、M、M的计算公式如下: af0t
(4) 加速力矩:
Jn,2rM,,10 (kgf?m) a9.6T
1T,s 17
J—折算到马达轴上的总惯量; r
T—系统时间常数(s);
n—马达转速( r/min );
当 n = n时,计算M maxamax
n = n时,计算Mtat
n—切削时的转速( r / min ) t
(5) 摩擦力矩:
F,s,20(kgf?m) M,,10f,,2,,i
F—导轨摩擦力(kgf); 0
s—丝杠螺距(cm);
i—齿轮降速比;
η—传动链总效率;一般η=0.7~0.85。
(6) 附加摩擦力矩:
Ps2,20 (kgf?m) ,,M,1,,,1000i2,,,
P—滚珠丝杠预加载荷(kg?f); 0
s—丝杠螺距(cm);
η—传动链总效率;
i —齿轮降速比;
η—滚珠丝杠未预紧式的效率,计算公式 0
见本手册第2测第425页,一般η?0.9。 0
(7) 切削力矩:
Ps,2t (kgf?m) M,,10t,,2,i
P—进给方向的最大切削力(kg? f); t
s—丝杠螺距(cm);
η—传动链总效率;
i—齿轮降速比。
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