范文一:第二类曲面积分的计算方法
3
高等数学研究
STUD I ES I N C LLEGE M ATHEM AT I CS ,N o. V o l .
M ar . ,
第二类曲面积分的计算方法
柴春红
摘要关键词
*
何率天
(空军第一航空学院数学教研室
河南信阳 )
利用两类曲面积分的联系、分面投影法、合一投影法和高斯公式解答一个第二类曲面积分的题目曲面积分
中图分类号 1 .
第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)是高等数学学习中的难点,许多学员对求解这一类型题感到相当困难 下面针对一道例题(同济大学出版的高等数学(第四版)第 给出四种不 页例3)同的求解方法。
例题
其中E 是旋转抛物面介于平计算曲面积分(Z I ) Z -Z I Z =I +$ )$ $,
H E
面Z = 及Z = 之间的部分的下侧。
方法一利用两类曲面积分的联系
(P cos O P Z Z I R I cos B R cos Y ) S $ $=H H E E
(I ,处的法向量的方向余弦。其中cos O ,cos B ,cos Y 是有向曲面E 上点Z )$,
(1)
解 ,7={I ,-1}7 ={cos O ,cos B ,cos Y }=
$,
H E (Z I ) Z -Z I $ $=
[H E
(Z I )
Z
- S =
[H
)I
I $
S =S =I $=
D E E
K
)
I I $ I G T cos G TdT =8K $= D
]
H
[
]
方法二分面投影法
给出,则如果E 由Z =Z (I ,$)如果E 由I =$(给出,则Z )$,如果E 由$=$(给出,则Z ,I )
R (I ,Z ) I $,$H E
]Z (I , I = R [I ,$,$)$
D I $
H
D $Z
() (3)()
P (I ,Z ) Z $,$ H E
,]Z )Z ) Z = P [I ($,$,$
H
D ZI
(I ,[I ,, Z ) Z I = Z ,I )Z ] Z I $,$(H H E
等式右端的符号这样决定:如果积分曲面E 是由方程Z =Z (I ,(I =I (,)Z )Z ,I )$)$,$=$(
*收稿日期: - 9-13
第7卷第2期
柴春红、何率天:第二类曲面积分的计算方法
33
所给出的曲面上(前、右)侧,应取正号;反之,如果积分曲面 是由方程Z =Z (I ,(I =I (,Z )$)$,
)所给出的曲面下(后,左)侧,应取负号。Z ,I )$=$(
解
(Z
(Z
22
d $d Z -Z d I d $=+I )
(Z
2
d $d Z -+I )
Z d I d $
(Z 2+I )d $d Z =
D $Z
d $d Z -(Z 2-
d $d Z =2
+
)
2
2
D $Z
$d Z =
4d $
2
2
Z =4
所以
Z d I d $=-2
2
I $
(I 2+$2)d I d $=-2D
2
d T 3d T =-4
2
(Z 方法三
d $d Z -Z d I d $=8 +I )合一投影法
前面我们看到,按分面投影法计算曲面积分时,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示,然后转化为不同坐标面上的二重积分,这种方法形式上虽然简单但计算比较烦琐。
事实上,如果 的方程为Z =Z (I ,(I ,,(D I $是 在IO $面上的投影区域),函数 D I $$)$)
则单位法向量为P ,G ,P 在 上连续时,( {,,}e 7=cos cos cos =
<>
由于投影元素d $d Z =cos 于是得到d S ,d Z d I =cos d S ,d I d $=cos d S ,
d $d Z =cos d S = d S =I d =-Z I d I d $
cos cos $d Z d I =cos d S =
所以
d S =I d =-Z $d I d $cos cos $
P (I ,Z )d $d Z $,
(I ,Z )d Z d I +R (I ,Z )d I d $=+G $,$,
[[](][[](][]}P I ,Z (I ,I ,I ,Z (I ,I ,I ,Z (I ,d I d $= {-Z I +G -Z $+R $,$)$)$,$)$)$,$)
D I
$
D I $
(-Z I )(-Z $)d I d $+G ?+R ] [P ?
(5)
等式右端的符号这样确定:如果 是由方程Z =Z (I ,取正号,否则取负$)所给出的曲面上侧,
号。
当 可用显式方程$=$(或I =I (表示时,只要注意到此时 的法向量为 {Z ,I )Z )-$,
或 {,可得相应公式。1,-$Z }1,-I $,-I Z }$I ,
上述方法将(式中的三种类型积分转化为同一个坐标面上的二重积分,故名为合一投影法。5)
(下转37页)
第7卷第2期
汪晓勤、周崇林:自然数幂和的矩阵算法
37
显然,将以上各等式右边的第二项系数-换成,就得到相应的前7项幂和公式。
22
上述矩阵算法令人惊奇地给出了二项系数与伯努利数之间的关系。
参考文献
a ~1
[1]贾利新.
T 7
T =1
的行列式算法. 高等数学研究,(:1992,22)17-18.
(上接第33页)
解Z =I 2+y 2),(I ,),又 取下侧, 在I0y 面上的投影区域:D I y ={ I 2+y 2 4}Z I y 2故由公式(得=I ,5)
22(Z 2+I )d y d Z ~Z d I d y =~I +y 2)+I (~I )~I 2+y 2)d I d y =42D
~
[{
I y
]
}
[
D I y
I +I 2+y 2)d I d y =
2
2
]
2!
2]22[d " T cos " +T d T =8! 20
2
方法四利用高斯公式
解
曲面不是封闭曲面,不能直接利用高斯公式,应补面 1I Z =2的上侧,则由高斯公式
P d y d Z
+G d Z d I +R d I d y =
+ ( I y
#
+
d $ Z
)
(6)
+
(Z 2+I )d y d Z ~Z d I d y =
1
0d $=0
#
所以又所以
(Z 2+I )d y d Z ~Z d I d y =~(Z
1
1
(Z 2+I )d y d Z ~Z d I d y
2
d y d Z ~Z d I d y =0~+I )
d y d Z ~Z d I d y =8! +I )
Z d I d y ~2d I d y
1
=-8!
D I y
(Z
2
(上接第34页)
例3证
证明不等式记I =
1~4e d I . 因为I
2
)
=
[e
1
~I
2
2
2
d I ]10
~y
2
e
1
~I
2
e
02
1
~I
d I e
d y =
e
D 1
~I ~y
22
d I d y e
D 2
2
20
~I ~y
22
其d I d y ,
~T
2
中D 1:而0 I 1,0 1;D 2I +y 1,I 0,y y 0,
:2
e
D 2
~I ~y
2
d I d y =
d " e
1
T d T =
1~4e
所以),
I
2
=
[ e
1
~I
2
d I
1~. ] 4e )
2
第二类曲面积分的计算方法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
柴春红, 何率天
空军第一航空学院数学教研室,河南信阳,464000高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2004,7(2)2次
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4. 孙庆虎. SUN Qing-hu 第二类曲面积分教学难点之突破[期刊论文]-合肥学院学报(自然科学版)2011,21(1)
5. 吴燕 第二类曲面积分的五种求法[期刊论文]-考试周刊2009(33)
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引证文献(2条)
1. 丁殿坤. 郭秀荣 stokes公式的二重积分形式及其应用[期刊论文]-高等函授学报(自然科学版)2006(2)
2. 张曙光. 叶留青 空间闭曲线积分的计算公式及其应用[期刊论文]-高等数学研究 2008(2)
引用本文格式:柴春红. 何率天 第二类曲面积分的计算方法[期刊论文]-高等数学研究 2004(2)
范文二:[DOC] 第二类曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法
第l4卷第4期
2011卑7月
高等数学研究
STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICS
Voi.14,NO.4
Ju1.,2011
第二类曲面积分的计算方法
景慧丽,张辉
(第二炮兵工程学院基础部,陕西西安710025)
摘要针对第二类曲面积分的计算进行探讨,指出计算时可以把曲面方程代入到被积函数中,且可以利用
轮换对称性及奇偶性来简化计算,并提出可以利用公式法,高斯公式,两类曲面积分之间的关系及合一投影法四种
方法来计算第二类曲面积分.
关键词第二类曲面积分;计算;方法
中图分类号0172文献标识码A文章编号1008—1399(2011)04—0087—05
在高等数学课程中,有关曲面积分,尤其是第二
类曲面积分(即对坐标的曲面积分)的计算是一个
重点也是一个难点,许多学员在学习这方面知识的
过程时,往往感到束手无策,无从下手.其实,对第二
类曲面积分的计算可以从以下几个方面人手.
1计算时须注意的三点
不管用什么方法计算第二类曲面积分,首先应
根据第二类曲面积分的定义及其所具有的性质来化
难为易,化繁为简.因此,在计算时须注意以下三点.
1.1曲面方程可以代入被积函数中
这点性质是两类曲面积分和两类曲线积分(即
可以把积分曲线代人被积函数中)所独有的,这和
重积分不同.根据曲面积分的定义是很容易得到此
结论的,这里不再赘述.利用这个性质可以大大简化
曲面积分的计算.
例1计算曲面积分
=,
其中是球面
z+Y.+一R.
的下半球面的上侧.
分析不论用什么方法求解,我们首先可以把
积分曲面?代人被积函数中,即此时曲面积分变为
T一
dydz+(+R).dxdy
一
JJz—————-——一’
然后再选择合适的计算方法即可.
收稿日期:2010—07—23;修改日期:2Ol1—02一O7.
作者简介:景慧丽(1983--),女,河南平顶山人,硕士,助教,从事最优
化理论研究.Emailljinghuili1214@163.COI’l1.
张辉(1982--),男,河南新乡人,硕士,助教,从事生物数学
与计算机仿真研究.Email:zhanghui4958@163.coin.
1.2可以利用轮换对性简化计算
在此种情形下,被积函数和积分曲面都应具有
轮换对称性.
例2C计算曲面积分
J—llyzdydz+zxdzdx+xydxdy,
其中是平面
X+Y+一1
被三坐标面截下部分的上侧.
分析这里将变量z,Y,的位置轮换变化,被
积表达式及积分曲面都不变化,即被积函数和积分
曲面都具有轮换对称性,所以
yzdyd一d=f~xydzd,
因此
J一3llxydxdy,
所以只须再选择合适的方法计算llxydxdy即可.
1.3用奇偶函数在对称曲面上的积分性质计算
类似于定积分,重积分和曲线积分,也可以利用
奇偶函数在对称曲面上的积分性质来简化曲面积分
的运算.先看下面的例题.
例3设?是球面
X.+Y+z一R.
的外侧.有的学生认为:由对称性知
93)zzdS一0,(1)
故同样也有
9j)=zdxdy一0?(2)
这种认识正确吗?
分析这种认识显然有问题.曲面积分(1)是
88高等数学研究
对的,这是因为曲面?关于xOy面对称,而被积函
数关于是奇函数.但是曲面积分(2)是不对的,
实际上如果利用高斯公式,很容易解得
:z捌一jI『.一号
其中Q是
{(z,Y,z)『+Y.+z?R).
那么,上述对对称性的利用为什么是错的呢?实
际上,第一类曲面积分(即对面积的曲面积分)与曲
面(积分域)的侧(方向)无关,故考虑对称性比较容
易.但对第二类曲面积分(即对坐标的曲面积分)与
曲面的侧(方向)有关,所以在考虑它的对称性时,
还要考虑曲面的侧,即要顾及被积函数与曲面.因
此,对于第二类曲面积分的对称性有下面的公式.
若曲面关于z坐标面对称,?,表示其中满
足37?0的部分,且?和乏,所取的侧一致,则
lJP(x,Y,)dydz一
P(x,y,z)d3dz,P(_y一,,
{JJ.
10,.,_一z,Y,一P(z,Y,,
lIQ(z,Y,z)dzdx=:=
l2IP(x,Y,d2dz,Q,_z,Y,一Q,Y,,<
【0,Q?-_X,Y,----’--O(3c,y,,
lIR(x,Y,z)dxdy=
I2lIR(x,Y,z)d~y,R(--x,y,===R(x,y,,JJ
10,Rx,y,------R(x,Y,2),
若积分曲面?关于xOz(或xOy)坐标面对称,被积
函数P,Q,R关于Y(或z)有奇偶性,则第二类曲面
积分具有相似的结论.
利用上面的结论,很容易得到’
:
dzd一2
:,
dzd,
其中是上半球面
{(z,Y,)i.27+Y+一R,?0)
的外侧.
注1在利用奇偶函数在对称曲面上的积分性
质来计算第二类曲面积分时,两个条件即被积函数
具有奇偶性及积分曲面具有对称性必须同时成立,
如果只有一个成立,则不能用.
注2利用对称性时一定要顾及被积函数
和曲面的侧.
注3利用对称性只是对具有这种特殊性质的
积分所用的解题技巧,并非每个曲面积分都具有这
种特殊性质.
所以,在计算第二类曲面积分时,如果利用对称
性有困难,不如先把它转化为二重积分,再化为定积
分来计算,并在转化过程中考虑利用对称性,这是基
本方法.因此,不提倡学员利用奇偶函数在对称曲面
上的积分性质来解第二类曲面积分,更不提倡学员
死记上述公式,应是理解性的应用.
2计算方法
第二类曲面积分的计算通常也是化为二重积分
来计算的,根据其自身的特点,对于第二类曲面积分
的计算学员把握住下面四种方法即可.
2.1直接利用公式来计算
直接利用公式来计算就是通过投影,把第二类
曲面积分化为二重积分来计算.可以直接利用下列
诸公式.
若曲面?是由方程25一z(x,)所给出的,其在
xOy坐标面上的投影区域为D,函数—z(x,)
在D上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,Y,)
在?上连续.则
rr
fIR(x,Y,)dxdy—JJZ
?lIR[,Y,z(sc,y)]dxdy,JJD
xy
当?取上侧(即曲面?的法向量与z轴正向的夹角
为锐角)时,公式右端取”+”号;当?取下侧(即曲面
三的法向量与z轴正向的夹角为钝角)时,公式右端
取”一”号.
rr
这表明,计算曲面积分lIR(x,,z)dxdy时,只J一=
要把其中的变量z换为表示?的函数—z(x,-y),
然后在?在xOy坐标面上的投影区域D上计算二
重积分,并考虑到符号的选取即可.这一过程可总结
成口诀:”一代二投三定向”.类似地,有下述公式.
若曲面?是由方程z===x(y,z)所给出的,其在
z坐标面上的投影区域为D,函数.27一x(y,z)
在D上具有一阶连续偏导数,被积函数P(x,Y,z)
在?上连续.则
IlP(x,Y,z)dydz—JJZ
rr
?lJPEz(y,),Y,z)Jdydz,JJD
当?取前侧(即曲面?的法向量与X轴正向的夹角
为锐角)时,公式右端取”+”号;当?取后侧(即曲面
?的法向量与X轴正向的夹角为钝角)时,公式右端
第14卷第4期景慧丽,张辉:第二类曲面积分的计算方法89
取”一”号.
若曲面是由方程Y—y(z,)所给出的,其在
xOz坐标面上的投影区域为D,函数y—y(z,)
在D上具有一阶连续偏导数,被积函数Q(z,y,z)
在上连续.则
llQ(z,y,)dzdx一
-
4-lIQ[z,y(z,z),z]dzdx,JJD
当?取右侧(即曲面?的法向量与y轴正向的夹角
为锐角)时,公式右端取”+”号;当取左侧(即曲面
的法向量与y轴正向的夹角为钝角)时,公式右端
取”一”号.
例4计算曲面积分
—
Ilzdydz+ydzdx4-.dxdy,
其中乏是平面
.
27-4-y4-一2
被三坐标面截下部分的下侧.
解由于该曲面积分的被积函数和积分区域
都具有轮换对称性,因此
X2dydz一.ddz=.dd,’
所以
I一3lIzdxdy.
由于是取乏下侧积分,且的方程可写成
2—2一X—Y.
其在:agy面上的投影区域D是
((,)10?.274-y?2,X?0,Y?0),
因此
J一3ll(2一X—).dxdy一
一
3II(2一X—)dxdy一
一
3Idxl(2一X—).dy一一4.
注4计算第二类曲面积分时,千万不能与二
重积分等同或混淆,第二类曲面积分是按一定规则
化为投影区域上的二重积分来进行计算的,所以在
计算过程中一定要牢记口诀”一代二投三定向”.
2.2利用高斯公式计算
高斯公式r.设空间有界闭区域Q是由分片光
滑的闭曲面?所围成,函数P(x,Y,),Q(,y,),
R(x,y,z)在Q上具有一阶连续偏导数,则有
jI『(甓++襞)d一
?Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,
这里?是Q的整个边界曲面的外侧.
例5计算曲面积分
J—f『一axdydzq-(z-f-a)zdxdy,JJ=.-
4-y+z.
其中?为下半球面
=一
~/口.一z0一Y.
的上侧,a为大于零的常数.
解补充有向平面
?1:z一0(z.+3,.?a),
取其下侧.记?和围成的空间闭区域为Q,那么,
根据曲面积分的性质及高斯公式,有
J一axdyd+(z+口).dzd3,一
丢(?.[口+2(z]dydz一
axdydz-4-(+口).dxdy)一
丢(一萼a+魃)一一号n3.
注5应用高斯公式计算曲面积分时必须注意
以下几点:
1)高斯公式的使用条件:即P,Q,R在Q上具
有一阶连续偏导数;曲面?要封闭;曲面?要取外
侧,而当取内侧时要变号.
2)对封闭曲面,只要满足条件可直接使用高
斯公式将曲面积分化为三重积分.
3)对不是封闭的曲面,可通过补充有向曲面
(或平面)使其封闭,然后再用高斯公式,这时要注
意所补充有向曲面(或平面)的侧的选取.
4)如果在Q内有使P,Q,R不具有连续偏导
数的奇点,一般应先挖去Q内包含奇点的小邻域后
再运用高斯公式.
2.3利用两类曲面积分间的关系计算
即化为第一类曲面积分来计算.两类曲面积分
间具有如下关系.
llPdydz+Qdzdx+Rdxdy—
l1(Pcosa+Qcos口+Rcosy)dS,
JJ={.
其中COSO/,cosfl,cosy是有向曲面艺在点(z,y,z)处
的法向量的方向余弦.
例6计算曲面积分
J—lI[2f(x,,z)-4-3xYdydz+
90高等数学研究2Ol1年7月
[-4f(x,Y,z)+3y’]dzdx+
[2f(x,Y,z)+3z’]dxdy,
其中是平面
——Y+一1
在第四卦限部分的上侧,函数f(x,Y,z)连续.
解由于f(x,Y,)是抽象函数,所以原曲面
积分无法通过投影化为二重积分来计算;又因为函
数f(x,Y,z)是连续函数,所以也不能应用高斯公
式,因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算.
因为平面?上侧的法向量为
一
(1,一1,1),
所以平面上侧法向量的方向余弦为
c.s一c.s7一-T,c.S』9一一-T,
由两类曲面积分之间的关系,得
J一
瓤3(x--yds一
吼ds一导.
注6利用两类曲面积分间的关系计算第二类
曲面积分时,一定要注意COSOt,cosfl,cost与有向曲
面在点(,Y,)处的侧关系.
2.4合一投影法
即把对不同坐标面的曲面积分化为对同一坐标
面的曲面积分.合一投影法实际上也是利用两类曲
面积分之间的关系,把对不同坐标面的曲面积分化
为对同一坐标面的曲面积分.例如,设COSa,COs』9,
cost是有向曲面乏在点(z,Y,z)处的法向量的方向
余弦,则
ff~Pdydz=sadS一
皿P…sydS一皿P捌,
同理有
ffQdzdz一Q捌,
因此
IIPdydz+Qdzdx+Rdxdy一
(P+Q+R)如d,
类似地有
dzq-Qd+Rd一
(P+QcosflCOSOt+R)—JJ王,COS口,’
(Pcosa+Q+Rc…
~sT)d.
例7计算曲面积分
J—II(z+1)dydz+ydzdx+dxdy,
其中?是平面
z+Y+z一1
在第一卦限部分的上侧.
解平面?上侧的法向量为
一
(1,1,1),
所以平面三上侧法向量的方向余弦为
COSa—cosfl—cost一43,,
因此
j一眦(卅1)++11dxdy=J3COSTCOSTL.
ll(z+Y+2)dxdy.
又因为?在xOy面上的投影区域D是
{,)10?,7C+Y?1,X?0,Y?0),
所以
J—ll(z+Y+2)dxdy一B
z+Yd===.
注7利用合一投影法计算第二类曲面积分
时,也是一定要注意COSO/,cosfl,cos)’与有向曲面?
在点(z,Y,)处的侧关系,同时还要注意根据积分
曲面来确定合一为什么类型.
总之,第二类曲面积分的计算是一个重点也是
一
个难点问题,同学们一定要灵活运用上述四种计
算方法.注意不同解法的适用范围.例如,若曲面?
是在xOy面上的投影为一个区域,则用合一投影法
简便;若曲面?是在xOy面上的投影为一条线,且
被积函数P,Q,R具有一阶连续的偏导数,则通常是
补充有向曲面?,使?+.形成闭区域,再利用高
斯公式求解;若曲面?是在xOy面上的投影为一条
线,且被积函数P,Q,R及它们的一阶偏导数不连续
的情况下,则通常用直接投影法来处理;若被积函数
P,Q,R是抽象函数,且不满足高斯公式的条件时,
通常利用两类曲面积分间的关系化为第一类曲面积
分来求解.
参考文献
[13崔荣泉,褚维盘,赵彦晖,等.高等数学重点内容重点
题[M3.西安:西安交通大学出版社,2004:253.
[z]同济大学数学教研室.高等数学:下册[M].5版.北京:
高等教育出版社.2002:166—168.
第14卷第4期高等数学研究
2011年7月STUDIESINCOLLEEMATI=IE.1:
Vo1.14,NO.4
JuI..201l
多项式长除法的应用
齐新社,齐利华,李锋.
(1.西安通信学院基础部.陕西西安710106;2.临沂师范学院数学系,山东临沂276005)
摘要通过实例介绍多项式长除法在有理函数积分,求高阶导数,求解微分方程中的具体应用.
关键词长除法I多项式;导数;积分;微分方程
中图分类号O172.2文献标识码A文章编号1008?1399(2011)04—0091—02
所谓多项式长除法就是多项式与多项式做类似
于数与数的除法,不需要任何技巧,只要你会加减,
乘除就够了.过程如下:先把分子,分母按降幂排好
序;以最高次幂为准,进行试商;依次试商,直到余式
的最高次幂小于分子的最高次幂.需要注意的是被
除式和除式都要按一定降幂或升幂次序排列,否则
容易产生错误.
多项式长除法在很多题型中都能应用,例如求
多项式除法的商式和余式,求积分,求导,求解微分
方程及线形代数中的求逆等.下面主要就针对其在
高等数学中的应用举例说明.
1在有理函数积分中的应用
有理函数的积分一直是微积分里面重要而又困
难的一部分内容,关键也就是能否对分子分母进行
化简,转化为多项式的积分.因而多项式长除法就显
得越发重要.
例111]2l1求不定积分fdz.
解作长除可得
0+z+1.1
?广一十丽’
然后直接积分可得
收稿日期;2008—12—15I修改日期:2011—05—13.
作者简介t齐新社(1973--).男,陕西扶风人,硕士,讲师,从事军事运
筹学教学及研究.Email:tyqxs@163.corn.
o?o?o?o??(>?o?o?o?
ld一等+arctanxq-C.
注1如果分子的次数低于分母的次数,这
时可以根据分母根的情况对被积函数进行分解
化简.针对分子的次数低于分母的次数的这种情
况,多项式长除法在解决其他问题方面也有巧妙
的应用,见下例.
2在求高阶导数中的应用
在上面的例题中大家可能会认为这种方法可会
可不会,那么看完下面这道题也许你就不会这么认
为了.
例212S拈求(O),其中
,()一arctanx.
解根据长除法,有
1一X0+X一X+…
1+z.l1
,
1+X0
——:C
一
2一Z4
X4
X4上X6
一
X6
一
X6一Z8
OntheCalculation0fSecondTypeSurfaceIntegrals
I
JINGHui-1i,ZHANGHUi
(DepartmentofBasicCourses,TheSecondArtilleryEngineeringCollege,Xi’an710025,PRC)
Abstract:Variousapproachesforcalculatingsurfaceintegralsarediscussed.Theseinclude
substitutionmethod,projectionmethod,usingsymmetricpropertyandodevity,applyingGauss
formula,andrelatingthesecondtypeofsurfaceintegralswithfirsttype.
Keywords:thesecondtypeofsurfaceintegral,calculation,method
范文三:第二类曲面积分的计算方法_景慧丽
第 14卷第 4期 高 等 数 学 研 究
Vo l. 14, N o. 4第二类曲面积分的计算方法
景慧丽 , 张 辉
(第二炮兵工程学院 基础部 , 陕 西 西安 710025)
收稿日期 :2010-07-23; 修改日期 :2011-02-07.
作者简介 :景慧丽 (1983-) , 女 , 河南平顶山人 , 硕士 , 助教 , 从事最优
化理论研究 . Email:jinghu ili1214@163. com.
张辉 (1982-) , 男 , 河南新乡人 , 硕士 , 助教 , 从事生物数学 与计算机仿真研究 . E mail:zhanghui4958@163. com.
摘
要
针对第二类曲面积分的计算进行探讨 , 指 出计算时可以把曲面方程代入到 被积函数 中 , 且 可以利用
轮换对称性及奇偶性来简化计算 , 并提出可以利用公式法、 高斯公 式、 两类曲面积分 之间的关系 及合一投 影法四种 方法来计算第二类曲面积分 .
关键词
第二类曲面积分 ; 计算 ; 方法
中图分类号 O 172
文献标识码 A
文章编号 1008-1399(2011) 04-0087-05
在高等数学课程中 , 有关曲面积分 , 尤其是第二 类曲面积分 (即对坐标的曲面积分 ) 的计算是一个 重点也是一个难点 , 许多学员在学习这方面知识的 过程时 , 往往感到束手无策、 无从下手 . 其实 , 对第二 类曲面积分的计算可以从以下几个方面入手 .
1 计算时须注意的三点
不管用什么方法计算第二类曲面积分 , 首先应 根据第二类曲面积分的定义及其所具有的性质来化 难为易、 化繁为简 . 因此 , 在计算时须注意以下三点 . 1. 1 曲面方程可以代入被积函数中
这点性质是两类曲面积分和两类曲线积分 (即 可以把积分曲线代入被积函数中 ) 所独有的 , 这和 重积分不同 . 根据曲面积分的定义是很容易得到此 结论的 , 这里不再赘述 . 利用这个性质可以大大简化 曲面积分的计算 .
例 1 计算曲面积分
I =
k
2
2x +y +z ,
其中 2是球面 x 2+y 2+z 2=R 2
的下半球面的上侧 .
分析 不论用什么方法求解 , 我们首先可以把 积分曲面 2代入被积函数中 , 即此时曲面积分变为
I =
k
2
2
R 2
,
然后再选择合适的计算方法即可 .
1. 2 可以利用轮换对性简化计算
在此种情形下 , 被积函数和积分曲面都应具有 轮换对称性 .
例 2
[1]
计算曲面积分
I =
k 2
yz d y d z +zx d z d x +xy d x d y ,
其中 2是平面
x +y +z =1
被三坐标面截下部分的上侧 .
分析 这里将变量 x , y, z 的位置轮换变化 , 被 积表达式及积分曲面都不变化 , 即被积函数和积分 曲面都具有轮换对称性 , 所以
k 2
yz d y d z =k 2
zx d z d z =k 2
xy d x d y ,
因此
I =3
k 2
xy d x d y ,
所以只须再选择合适的方法计算 k
2
xy d x d y 即可 .
1. 3 用奇偶函数在对称曲面上的积分性质计算
类似于定积分、 重积分和曲线积分 , 也可以利用 奇偶函数在对称曲面上的积分性质来简化曲面积分 的运算 . 先看下面的例题 .
例 3 设 2是球面
x 2
+y 2
+z 2
=R
2
的外侧 . 有的学生认为 :由对称性知
l 2
z d S =
0, (1)
故同样也有
l 2
z d x d y =
0. (2)
这种认识正确吗 ?
分析 这种认识显然有问题 . 曲面积分 (1) 是
对的 , 这是因为曲面 2关于 xOy 面对称 , 而被积函 数 z 关于 z 是奇函数 . 但是曲面积分 (2) 是不对的 , 实际上如果利用高斯公式 [2], 很容易解得
l 2z d x d y =m 8d x d y d z =3P R 3, 其中 8是
{(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2[R 2}.
那么 , 上述对对称性的利用为什么是错的呢 ? 实 际上 , 第一类曲面积分 (即对面积的曲面积分 ) 与曲 面 (积分域 ) 的侧 (方向 ) 无关 , 故考虑对称性比较容 易 . 但对第二类曲面积分 (即对坐标的曲面积分 ) 与 曲面的侧 (方向 ) 有关 , 所以在考虑它的对称性时 , 还要考虑曲面的侧 , 即要顾 及被积函数与曲面 . 因 此 , 对于第二类曲面积分的对称性有下面的公式 . 若曲面 2关于 yOz 坐标面对称 , 21表示其中满 足 x \0的部分 , 且 2和 21所取的侧一致 , 则 k 2P(x , y , z ) d y d z = 2k 21P(x,y,z) d y d z, P(-x, y, z) =-P(x,y,z), 0, P(-x, y, z) =P (x,y,z),
k 2Q(x , y , z ) d z d x = 2k 21P(x,y,z) d z d x, Q (-x, y,z) =Q (x,y,z), 0, Q (-x, y,z) =-Q(x,y,z), k 2R (x , y , z ) d x d y = 2k 21R(x,y,z)d x d y, R(-x,y,z) =R(x,y,z), 0, R(-x,y,z) =-R(x,y,z), 若积分曲面 2关于 x Oz (或 xOy ) 坐标面对称 , 被积 函数 P, Q, R 关于 y (或 z ) 有奇偶性 , 则第二类曲面 积分具有相似的结论 .
利用上面的结论 , 很容易得到
l 2z d x d y =2l 21z d x d y , 其中 21是上半球面
{(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2=R 2, z \0}的外侧 .
注 1在利用奇偶函数在对称曲面上的积分性 质来计算第二类曲面积分时 , 两个条件即被积函数 具有奇偶性及积分曲面具有对称性必须同时成立 , 如果只有一个成立 , 则不能用 .
注 2利 用 对 称 性 时 一 定 要 顾及 被 积 函 数 和曲 面的侧 .
注 3利用对称性只是对具有这种特殊性质的 积分所用的解题技巧 , 并非每个曲面积分都具有这 种特殊性质 .
所以 , 在计算第二类曲面积分时 , 如果利用对称 性有困难 , 不如先把它转化为二重积分 , 再化为定积 分来计算 , 并在转化过程中考虑利用对称性 , 这是基 本方法 . 因此 , 不提倡学员利用奇偶函数在对称曲面 上的积分性质来解第二类曲面积分 , 更不提倡学员 死记上述公式 , 应是理解性的应用 .
2计算方法
第二类曲面积分的计算通常也是化为二重积分 来计算的 , 根据其自身的特点 , 对于第二类曲面积分 的计算学员把握住下面四种方法即可 .
2. 1直接利用公式来计算
直接利用公式来计算就是通过投影 , 把第二类 曲面积分化为二重积分来计算 . 可以直接利用下列 诸公式 .
若曲面 2是由方程 z =z (x , y ) 所给出的 , 其在 xOy 坐标面上的投影区域为 D xy , 函数 z =z (x , y ) 在 D xy 上具有一阶连续偏导数 , 被积函数 R(x , y, z ) 在 2上连续 . 则
k 2R(x , y , z ) d x d y = ? k D xy R [x , y , z (x , y ) ]d x d y , 当 2取上侧 (即曲面 2的法向量与 z 轴正向的夹角 为锐角 ) 时 , 公式右端取 /+0号 ; 当 2取下侧 (即曲面 2的法向量与 z 轴正向的夹角为钝角 ) 时 , 公式右端 取 /-0号 .
这表明 , 计算曲面积分 k 2R (x , y , z ) d x d y 时 , 只 要把其中的变量 z 换为表示 2的函数 z =z (x , y ) , 然后在 2在 xOy 坐标面上的投影区域 D xy 上计算二 重积分 , 并考虑到符号的选取即可 . 这一过程可总结 成口诀 :/一代二投三定向 0. 类似地 , 有下述公式 . 若曲面 2是由方程 x =x (y, z ) 所给出的 , 其在 yOz 坐标面上的投影区域为 D yz , 函数 x =x (y, z ) 在 D yz 上具有一阶连续偏导数 , 被积函数 P (x , y, z ) 在 2上连续 . 则
k 2P (x , y , z ) d y d z = ? k D y z P [x (y , z ) , y , z ) ]d y d z , 当 2取前侧 (即曲面 2的法向量与 x 轴正向的夹角 为锐角 ) 时 , 公式右端取 /+0号 ; 当 2取后侧 (即曲面 2的法向量与 x 轴正向的夹角为钝角 ) 时 , 公式右端
88高 等 数 学 研 究 2011年 7月
取 /-0号 .
若曲面 2是由方程 y =y (z , x ) 所给出的 , 其在 xOz 坐标面上的投影区域为 D xz , 函数 y =y(z , x ) 在 D xz 上具有一阶连续偏导数 , 被积函数 Q(x , y , z ) 在 2上连续 . 则
k 2Q(x , y , z ) d z d x = ? k D x z Q[x , y (z , x ) , z ]d z d x , 当 2取右侧 (即曲面 2的法向量与 y 轴正向的夹角 为锐角 ) 时 , 公式右端取 /+0号 ; 当 2取左侧 (即曲面 2的法向量与 y 轴正向的夹角为钝角 ) 时 , 公式右端 取 /-0号 .
例 4计算曲面积分
I =k 2x 2d y d z +y 2d z d x +z 2d x d y , 其中 2是平面
x +y +z =2
被三坐标面截下部分的下侧 .
解 由于该曲面积分的被积函数和积分区域 都具有轮换对称性 , 因此
k 2x 2d y d z =k 2y 2d z d x =k 2z 2d x d y , 所以
I =3k 2z 2d x d y.
由于是取 2下侧积分 , 且 2的方程可写成
z =2-x -y ,
其在 xOy 面上的投影区域 D xy 是
{(x , y ) |0[x +y [2, x \0, y \0}, 因此
I =3k 2(2-x -y ) 2d x dy = -3k D xy (2-x -y ) 2d x d y = -3Q 20d x Q 2-x 0(2-x -y ) 2d y =-4. 注 4计算第二类曲面积分时 , 千万不能与二 重积分等同或混淆 , 第二类曲面积分是按一定规则 化为投影区域上的二重积分来进行计算的 , 所以在 计算过程中一定要牢记口诀 /一代二投三定向 0. 2. 2利用高斯公式计算
高斯公式 [2]设空间有界闭区域 8是由分片光 滑的 闭曲面 2所围 成 , 函 数 P(x , y, z ) , Q(x, y , z ) , R(x , y, z ) 在 8上具有一阶连续偏导数 , 则有
m 8++d v =
l 2P d y d z +Q d z d x +R d x d y , 这里 2是 8的整个边界曲面的外侧 .
例 5计算曲面积分
I =k 22 +y +z
,
其中 2为下半球面
z =--x -y
的上侧 , a 为大于零的常数 .
解 补充有向平面
21:z =0(x 2+y 2[a 2) ,
取其下侧 . 记 2和 21围成的空间闭区域为 8, 那么 , 根据曲面积分的性质及高斯公式 , 有
I =
a 2
ax d y d z +(z +a) 2d x d y =
a m 8[a +2(z +a) ]d x d y d z -k 21ax d y d z +(z +a) 2d x d y =
a
-
2
a 4+P a 4=-
2
a 3.
注 5应用高斯公式计算曲面积分时必须注意 以下几点 :
1) 高斯公式的使用条件 :即 P , Q, R 在 8上具 有一阶连续偏导数 ; 曲面 2要封闭 ; 曲面 2要取外 侧 , 而当 2取内侧时要变号 .
2) 对封闭曲面 , 只要满足条件可直接使用高 斯公式将曲面积分化为三重积分 .
3) 对不是封闭的曲面 , 可通过补充有向曲面 (或平面 ) 使其封闭 , 然后再用高斯公式 , 这时要注 意所补充有向曲面 (或平面 ) 的侧的选取 .
4) 如果在 8内有使 P, Q, R 不具有连续偏导 数的奇点 , 一般应先挖去 8内包含奇点的小邻域后 再运用高斯公式 .
2. 3利用两类曲面积分间的关系计算
即化为第一类曲面积分来计算 . 两类曲面积分 间具有如下关系 [2]
k 2P d y d z +Q d z d x +R d x d y = k 2(P cos A +Q cos B +R cos C ) d S, 其中 cos A , cos B , cos C 是有向曲面 2在点 (x , y, z ) 处 的法向量的方向余弦 .
例 6计算曲面积分
I =k 2[2f (x , y , z ) +3x ]d y d z + 89
第 14卷第 4期 景慧丽 , 张辉 :第二类曲面积分的计算方法
[4f (x , y , z ) +3y ]d z d x +
[2f (x , y , z ) +3z ]d x d y ,
其中 2是平面
x -y +z =1
在第四卦限部分的上侧 , 函数 f (x , y , z ) 连续 . 解 由于 f (x , y , z ) 是抽象函数 , 所以原曲面 积分无法通过投影化为二重积分来计算 ; 又因为函 数 f (x , y , z ) 是连续函数 , 所以也不能应用高斯公 式 , 因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算 . 因为平面 2上侧的法向量为
n =(1, -1, 1) ,
所以平面 2上侧法向量的方向余弦为
cos A =co s C = 3 , cos B =-3 ,
由两类曲面积分之间的关系 , 得
I =
32
3(x -y +z ) d S =
3 2 d S = 2 .
注 6利用两类曲面积分间的关系计算第二类 曲面积分时 , 一定要注意 cos A , cos B , cos C 与有向曲 面 2在点 (x , y , z ) 处的侧关系 .
2. 4合一投影法
即把对不同坐标面的曲面积分化为对同一坐标 面的曲面积分 . 合一投影法实际上也是利用两类曲 面积分之间的关系 , 把对不同坐标面的曲面积分化 为对同一 坐标面的曲面 积分 . 例如 , 设 cos A , co s B , cos C 是有向曲面 2在点 (x , y , z ) 处的法向量的方向 余弦 , 则
k 2P d y d z =k 2P cos A d S = k 2P cos C #cos C d S =k 2P cos C d x d y , 同理有
k 2Q d x d z =k 2Q cos C d x d y ,
因此
k 2P d y d z +Q d z d x +R d x d y = k 2P cos C +Q cos C +R d x d y, 类似地有
2
P d y d z +Q d z d x +R d x d y =
k 2P +Q co s A +R co s d y d z = k 2P cos B +Q+R co s d z d x.
例 7计算曲面积分
I =k 2(x +1) d y d z +y d z d x +d x d y , 其中 2是平面
x +y +z =1
在第一卦限部分的上侧 .
解 平面 2上侧的法向量为
n =(1, 1, 1) ,
所以平面 2上侧法向量的方向余弦为
cos A =cos B =cos C =
3
,
因此
I =k 2(x +1) cos C +y cos C +1d x d y = k 2(x +y +2) d x d y. 又因为 2在 x Oy 面上的投影区域 D xy 是
{(x, y) |0[x +y [1, x \0, y \0}, 所以
I =k D xy (x +y +2) d x d y = Q 10d x Q 1-x 0(x +y +2) d y =3. 注 7利用合一投影 法计算第二 类曲面积 分 时 , 也是一定要注意 cos A , cos B , cos C 与有向曲面 2在点 (x , y , z ) 处的侧关系 , 同时还要注意根据积分 曲面 2来确定合一为什么类型 .
总之 , 第二类曲面积分的计算是一个重点也是 一个难点问题 , 同学们一定要灵活运用上述四种计 算方法 . 注意不同解法的适用范围 . 例如 , 若曲面 2是在 xOy 面上的投影为一个区域 , 则用合一投影法 简便 ; 若曲面 2是在 xOy 面上的投影为一条线 , 且 被积函数 P, Q, R 具有一阶连续的偏导数 , 则通常是 补充有向曲面 21, 使 2+21形成闭区域 , 再利用高 斯公式求解 ; 若曲面 2是在 x Oy 面上的投影为一条 线 , 且被积函数 P, Q, R 及它们的一阶偏导数不连续 的情况下 , 则通常用直接投影法来处理 ; 若被积函数 P, Q, R 是抽象函数 , 且不满足高斯公式的条件时 , 通常利用两类曲面积分间的关系化为第一类曲面积 分来求解 .
参考文献
[1]崔荣 泉 , 褚维 盘 , 赵 彦晖 , 等 . 高 等 数 学重 点 内 容重 点 题 [M ].西安 :西安交通大学出版社 , 2004:253.
[2]同济大学数学教研室 . 高等数学 :下册 [M ].5版 . 北京 :高等教育出版社 , 2002:166-168.
90高 等 数 学 研 究 2011年 7月
第 14卷第 4期 高 等 数 学 研 究
Vo l. 14, N o. 4On the Calculation of Second Type Surface Integrals
JIN G H u-i li, ZHAN G H ui
(Department of Basic Co ur ses, T he Second A rtiller y Engineer ing Colleg e, Xi . an 710025, PR C) Abstract:
Various approaches fo r calculating surface integ rals are discussed. These include
substitution m ethod, projection m ethod, using sym metric pro perty and odevity, apply ing Gauss formula, and relating the second type of surface integ rals w ith first ty pe.
Keywords:
the second ty pe o f surface integral, calculation, m ethod
多项式长除法的应用
齐新社 1, 齐利华 1, 李 锋 2
(1. 西安通信学院 基础部 , 陕西 西 安 710106; 2. 临沂师范学院 数学系 , 山东 临 沂 276005) 收稿日期 :2008-12-15; 修改日期 :2011-05-13.
作者简介 :齐新社 (1973-) , 男 , 陕西扶风人 , 硕士 , 讲师 , 从事军事运
筹学教学及研究 . E mail:ty qx s@163. com.
摘
要
通过实例介绍多项式长除法在有理函数积分、 求高阶导数、 求解微分方程中的具体应用 . 关键词
长除法 ; 多项式 ; 导数 ; 积分 ; 微分方程
中图分类号 O 172. 2
文献标识码 A
文章编号 1008-1399(2011) 04-0091-02
所谓多项式长除法就是多项式与多项式做类似
于数与数的除法 , 不需要任何技巧 , 只要你会加减、 乘除就够了 . 过程如下 :先把分子、 分母按降幂排好 序 ; 以最高次幂为准 , 进行试商 ; 依次试商 , 直到余式 的最高次幂小于分子的最高次幂 . 需要注意的是被 除式和除式都要按一定降幂或升幂次序排列 , 否则 容易产生错误 .
多项式长除法在很多题型中都能应用 , 例如求 多项式除法的商式和余式、 求积分、 求导、 求解微分 方程及线形代数中的求逆等 . 下面主要就针对其在 高等数学中的应用举例说明 .
1 在有理函数积分中的应用
有理函数的积分一直是微积分里面重要而又困 难的一部分内容 , 关键也就是能否对分子分母进行 化简 , 转化为多项式的积分 . 因而多项式长除法就显 得越发重要 .
例 1[1]211 求不定积分
3x +1
d x. 解 作长除可得
3x 2
+1=x +x 2+1
, 然后直接积分可得
3x +1
d x =2
2+ar ctan x +C. 注 1 如 果分 子的 次数低 于分 母的 次数 , 这 时可以根据 分 母根 的 情况 对被 积 函数 进 行分 解 化简 . 针对分子的次数 低于分 母的次 数的这 种情 况 , 多 项式长除法在解 决其他 问题方 面也有 巧妙 的应用 , 见下例 .
2 在求高阶导数中的应用
在上面的例题中大家可能会认为这种方法可会 可不会 , 那么看完下面这道题也许你就不会这么认 为了 .
例 2[2]48 求 f (n )
(0) , 其中
f (x ) =arctan x.
解 根据长除法 , 有
1-x 2+x 4-x 6+,
1+x 2
)
11+x 2
-x
2
-x 2-x
4
x 4
x 4+x 6
-x 6
-x 6-x 8
, ,,
范文四:第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算
定义
设P (x , y ) , Q (x , y ) 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线L AB 上的函数, 对
L AB 任一分割T , 它把L AB 分成n 个小弧段M i -1M i (i =1, 2, , n ) ;其中A =M 0, B =M n . 记各个小弧段M i -1M i 弧长为?s i , 分割T 的细度为=max {?S i }, 又
1≤i ≤n
设T 的分点的坐标为M i (x i , y i ) , 并记?x i =x i -x i -1,
(i =1, 2, , n ) .
?y i =y i -y i -1 ,
在每个小弧段M i -1M i 上任取一点(ξi , ηi ), 若极限
∑P (ξi , ηi ) ?x i +∑Q (ξi , ηi ) ?y i
T 0
i =1n
n
i =1
存在且与分割T 与点(ξi , ηi )的取法无关, 则称此极限为函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在有向线段L AB 上的第二类曲线积分, 记为
?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 或 ?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
L
AB
也可记作
?P (x , y ) dx +?Q (x , y ) dy 或
L
L
AB
?P (x , y ) dx +?Q (x , y ) dy
AB
注:(1) 若记F (x , y )=(P (x , y ), Q (x , y ) ), d s =(dx , dy )则上述记号可写成向量形式: ?F ?d s .
L
(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ) 为定义在L 上的函数, 则可按上述办法定义沿空间
有向曲线L 的第二类曲线积分, 并记为
?
L
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz
按照这一定义 , 有力场(x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为W =?AB Pdx +Qdy . 第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .
对二类曲线积分有 线
段
时
的
?
AB
=-?
BA
, 定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的可
类
似
地
考
虑
空
间
力
场
特例.
(x , y , z ) =(P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ) )沿空间曲线L AB 所作的功. 为空间曲线L AB 上的第二类曲线积分
?
AB
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz .
与第一类曲线积分的区别
首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是
?
l
f (x , y ) ds =lim ∑(ξi , ηi ) 2?s i
λ→0
i =1
n
第二类曲线积分就是
∑P (ξ, η) ?x +Q (ξ, η) ?y ?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =lim λ
l
→0
i
i
i
i
i
i =1
n
i
(1)
这两种曲线积分的主要区别就在于,第一型曲线积分的积分中是乘的?si,?si是一小段弧的弧长,?si总是正值;而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x, y 坐标的增量?xi=xi?xi?1,?yi=yi?yi?1,?xi与?yi是可正可负的。当积分的路径反向时,?si不变,而?xi与?yi反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。 设曲线的参数方程为
x=x(t) α≤t ≤β
y =y(t)
则第一类曲线积分的计算公式为
ds ===
这里要注意α≤β,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有dt>0,也就有 dt =dt,这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A 变到B ,即t 的下限α对应曲线积分的起点A ,他的上限β对应曲线积分的起点A ,t 的上限β对应终点B 。
历年真题
1、设曲线L:f x, y =1,f(x, y) 具有一阶连续偏导数,过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列小于零的选项是 (A) Γf x, y dx (B) Γf x, y dy
′′
(C) Γf x, y ds (D) Γfx x, y dx+fy x, y dy
(2007,数一,4分)
【解析】
设点M,N的坐标分别为M(x1, y1) ,N(x2, y2) ,则有题设可知
f x, y dx= dx=x2?x1>0
Γ
Γ
f x, y dy= dy=y2?y1<>
Γ
Γ
f x, y ds= ds>0
Γ
Γ
fx′ x, y dx+fy′ x, y dy= 0dx+0dy=0
Γ
Γ
答案为B 。
2、计算曲线积分 Lsin2xdx+2 x2?1 ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π, 0) 的一段。
(2008,数一,9分)
【解析】
sin2xdx+2 x2?1 ydy
L
= sin2xdx+2 x2?1 sinxcosxdx
L
2
x2= xsin2xdx=?cos2x L0
π
ππ2x1ππ2
+ xcos2xdx=?+sin2x ? sin2xdx=? 00L
3、设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正方向往z轴负方向看去为逆时针方向,则曲线积分 xzdx+xdy+L
y22
dz=
(2011,数一,4分)
【解析】
采用斯托克斯公式直接计算
y2
xzdx+xdy+dz= ydydz+xdzdx+dxdy
Lz=x+y
=
1?x?y dxdy
1
x2+y2≤1
2π
=
dθ 1?rcosθ?rsinθ rdr=π
4、已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0), 再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分I= L3x2ydx+ x3+x?2y dy
(2012,数一,10分)
【解析】
I= y+z dx+ z2?x2+y dy+x2y2dz
L
= dxdy? ?2y dy=
D
2
π
?4 5、已知L的方程 z= ,起点为A(0, 0) ,终点为B(0,? 0) ,计
z=x 算曲线积分I= L y+z dx+ z2?x2+y dy+x2y2dz
(2015,数一,10分)
【解析】
x=cosθ
曲线L 的参数方程为: y = sin θ
z =cos θ
I= y+z dx+ z2?x2+y dy+x2y2dz
L
π?=
π ? +cosθ sinθ+ sinθ cosθ
π??2sin2θcos2θsinθ dθ=?
πsin2θdθ=
π
范文五:第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算
作者:钟家伟 指导老师:张伟伟
摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,
参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词:第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分
1 引言
本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念
介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。
1.2第二类曲线积分的计算方法
介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。
2.1第二类曲线积分的物理学背景
力场F (x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功
一质点受变力F (x , y )的作用沿平面曲线L 运动, 当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,
求力F (x , y )所做功W .
大家知道, 如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B , 那末这个常力F 所做功为
W =F ?AB . 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲. 怎么办呢?
为此, 我们对有向曲线L 作分割T ={A 0, A 1,....., A n -1, A n }, 即在AB 内插入n -1个分点
M 1, M 2,....., M
n -1
, 与A =M 0, B =M n 一起把曲线分
成n 个有向小曲线段 M i -1M i (i =1, 2, , n ) ,记 小曲线段M i -1M i 的弧长为?S i . 则分割
T ={A 0, A 1,....., A n -1, A n }的细度为=max {?S i }.
1≤i ≤n
设力F (x , y )在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P (x , y )
与
M
Q (x , y )
, 那么
F (x , y )
=
(P (x , y ), Q (x , y ) )
i -1
=P (x , y ) i +Q (x , y ) j
由于
i -1
(x i -1, y i -1), M i (x i , y i ), 则有向小曲线段M M i (i =1, 2, , n ) 在x 轴和y 轴方向
上的投影分别为?x i =x i -x i -1与?y i =y i -y i -1. 记L M i -1M i =(?x i , ?y i ) 从而力F (x , y )在
小曲线段M i -1M i 上所作的功W ≈F (ξ, ηi ) ?L M i -1M i = P (ξi , ηi )?x i +Q (ξi , ηi )?y i
其中(ξi , ηj ) 为小曲线段M i -1M i 上任一点, 于是力F (x , y )沿L 所作的功可近似等于
n
n
n
i
W i =∑W i ≈
i =1
∑P (S
i =1
, η
i ) ?x i +
∑Q (s
i =1
i
, ηi ) ?y i 当T →0时, 右端积分和式的极限就是所
求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.
2.2 第二型曲线积分的定义
设P (x , y ) , Q (x , y ) 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线L AB 上的函数, 对L AB 任一分割T , 它把L AB 分成n 个小弧段M i -1M i (i =1, 2, , n ) ;其中A =M 0, B =M n . 记各个小弧段M i -1M i 弧长为?s i , 分割T 的细度为=m ax {?S i }, 又设T 的分点的坐标为
1≤i ≤n
M i (x i , y i ) , 并记?x i =x i -x i -1, ?y i =y i -y i -1 ,(i =1, 2, , n ) .
在每个小弧段M i -1M i 上任取一点(ξi , ηi ), 若极限
n
n
i
→0
∑P (ξ
i =1
, ηi ) ?x i +→0
∑Q (ξ
i =1
i
, ηi ) ?y i
存在且与分割T 与点(ξi , ηi )的取法无关, 则称此极限为函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在有向线段L AB 上的第二类曲线积分, 记为
?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 或 ?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
L
AB
也可记作
?P (x , y ) dx +?Q (x , y ) dy 或
L
L
?P (x , y ) dx +?Q (x , y ) dy
AB
AB
注:(1) 若记F (x , y )=(P (x , y ), Q (x , y ) ), d s =(dx , dy )则上述记号可写成向量形
式:?F ?d s .
L
(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ) 为定义在L 上的函数, 则可按上述办法定义沿空间有向曲
线L 的第二类曲线积分, 并记为
?
L
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz
按照这一定义 , 有力场F (x , y ) =(P (x , y ) , Q (x , y ) )沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为W =有 ?
?
AB
Pdx +Qdy . 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分
AB
=-?
, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例. 可类似地考
BA
虑空间力场F (x , y , z ) =(P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ) )沿空间曲线L AB 所作的功. 为空间曲线L AB 上的第二型曲线积分 ?
P (x , y , z ) dx +Q (x , y , z ) dy +R (x , y , z ) dz .
AB
2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念
设函数在平面P(x,y) 上的一条光滑(或分段光滑)曲线上有定义且有界,用分点
M i (X i , Y i )(i =0,1, 2 n )
n
将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度
n
?(ξi , ηi ) ∈?l i
,
作和式
∑P (ξ, η
i
i
i
) ?X i (X i -X i -1)
。记
λ=m a x
1≤i ≤n
{
?l i
,若极限
λ→∞
lim
∑P (ξ
i =1
i
-ηi ) ?X i =I
存在,且对曲线L 的分点及点 的选取方式无关,则称此极限为函数P(x,y)按从A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分,记作的曲线积分 记作(ξi , ηi )
n
?P (x ,
L
y ) d =x
λ→∞
l i m ∑
i =1
P ξi (-ηi ?) i X
,其中P (x ,y )称为被积函数,L 称为被积路径,对 L
?P (x , y ) dx
坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。
类似的,设函数Q (x ,y )在xy 平面上的一条光滑(或分段光滑)曲线L (AB )上有定义且有界。若对于L 的任意分法和
n
(ξi , ηi )
的任意取法,极限都存在且唯一,则称此极限值
λ→∞
lim
∑Q (ξ
i =1
i
-ηi ) ?Y i
为函数Q (x ,y )按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分,
记作L
?Q (x , y ) dy
2. 2 第二类曲线积分的参数计算法
首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是
n
?
l
f (x , y ) ds =lim ∑(ξi , ηi ) ?s i
λ→0
i =1
2
第二类曲线积分就是
n
∑P (ξ, η?P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =lim λ
l
→0
i
i =1
i
) ?x i +Q (ξi , ηi ) ?y i
(1)
?s i
?s i
这两种曲线积分的主要区别就在于,第一型曲线积分的积分和中是乘的弧的弧长,
?s i
,是一小段
总是正值;而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x , y 坐标的增量
,
?x i
?x i =x i -x i -1, ?y i =y i -y i -1
与
?y i
是可正可负的。当积分的路径反向时,
?s i
不变,
而
?x i
,
?y i
反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二
类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。 设曲线l 的参数方程为
?x =x (t ),
α≤t ≤β?
y =y (t ), ?
则第一类曲线积分的计算公式为
ds ==
=
dt =dt
这里要注意α≤β,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有dt >0,也就有,这
样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l 上的点由A 变到B ,即t 的下限α对应曲线积分的起点A ,他的上限β对应曲线积分的起点A ,t 的上限β对应终点B 。 在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为
?x =a (t -sin t ),
0≤t ≤2π?
y =a (t -cos t ), ?
y =ax +b ,有些较简单的曲线可取x 或y 为参数,
即可由直角坐标方程。 例如,直线
取可由直角坐标方程得出参数方程。例如,直角y =ax +b ,取x 为参数,参数方程即为
?x =x ,
-∞
?y =ax +b ,
又如,抛物线y =y 为参数,参数方程为
?x =y 2,
0≤y <>
?y =y ,
例1 设l 为以O (0,0), A (1,0), B (0,0) 为顶点的三角形边界,计算
(1)?l
(x +y ) ds
2
2
2
2
(x ?(2)
l
2
+y ) dx +(x +y ) dy
2
,沿逆时针方向。
解:(1)这是第一类曲线积分。
?(x
l
2
+y ) ds =
2
2
2
?
O A
(x +y ) ds +
?
AB
(x +y ) ds +
22
?
O B
(x +y ) ds
22
线段O A 的参数方程为
?x =x ,
0≤x ≤1?
?y =0,
?
O A
(x +y ) ds =
22
?
10
x dx =
2
13
线段AB 的参数方程为
?x =x ,
0≤x ≤1?
?y =1-x ,
?
AB
(x +y ) ds =
22
?
10
(x +(1-x ) =
22
3
.
线段O B 的参数方程为
?x =0,
0≤y ≤1?y =y , ?
?
O B
x i +y ds =
22
?
10
y dy =
2
13
所以L
?(x +y ) ds =
22
13
+
3
+
13
=
2(1+
3
(2)这是第二类曲线积分。
?(x
l
2
+y ) dx +(x +2) dy
2
=
?
O A
(x +y ) dx +(x +2) dy +
22
?
B O
(x +y ) dx +(x +2) dy
22
=
?
10
x dx +
10
2
?
10
x +(1-x ) dx +(x +2) d (1-x ) +
22
?
10
2dy
=
13
+
?
(1+3x -2x ) dx -2=
2
16
在这个例子中,必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法,尤其是方向性 问题。
2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分
设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域,函数P (x , y ) ,Q (x , y ) 在其上有一阶连续偏导数,则有格林公式
?Q ?x
?P ?y
?
l
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =
??(
D
-) dxdy
其中l 取正向。
格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的,格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中,在许多公式的推导中,在曲线积分的计算中,格林公式都是很重要的工具。
这里再列举两个
计算曲线积分的例子。
例2. 用格林公式计算例1中(2)的第二类曲线积分。
解: 显然,这个积分满足格林公式的条件。用格林公式,
?(x
l
2
+y ) dx +(x +2) dy
2
1-y 0
=
??(1-2y ) dxdy =?
D
10
dy ?
(1-2y ) dx
=
?
10
(1-2y )(1-2y ) d y =
16
这比例1中的解法简单一些。
例3. 计算第二类曲线积分
?
l
(y +x ) dx -(x +y ) dy ,
22
x
2
其中l 为从A (-2,0)到B (2,0)沿椭圆4的上半部分的曲线。
+y
2
=1
解:l 不是一条封闭曲线,不能直接用格林公式。增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线。
?(y +x
l
2
) dx -(x +y ) dy +
2
?
B A
(y +x ) dx -(x +y ) dy
22
l
=-??(-1-1d ) x d y = π2 =2π4
D
?(y +x
=4π+
2
) dx -(x +y ) dy
2
2
??
A B
(y +x ) dx -(x +y ) dy
2
=4π-
B A
(y +x ) dx -(x +y ) dy
22
=4π+
?
2-2
x dx =4π+
2
163
此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。
2.4 利用对称性计算第二类曲线积分
定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,
L , L L , L 设为y =±y (x ), (a ≤x ≤b ) 。记12分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分,12分
别在上的投影方向相反,函数P (x , y ) 在L 上连续,那么
1)当P (x , y ) 关于y 为偶函数时,则
?
L
P (x , y ) d =x 0
2)当P (x , y ) 关于为奇函数时,则
P (x , y dx ) =
?
L
?2L P x (y , dx )
1
证明:依定理条件不妨设
L 1:y =y (x )
从点a 变到点b L 2:y =-y (x )
从点b 变到点a
于是由对
坐
标
曲线积
分的性质?
L
P (x , y ) dx =
?L P (x , y ) dx +1
?L P (x , y ) dx =
2
?
b a
P [x , y (x ) ]dx +?b
a
P [x , -y (x ) ]dx =
?b
a
{P [x , y (x )]-P [x , -y (x ) ]}dx =
?b
a
{P [x , y (x ) ]-P [x , -y (x ) ]}dx
故1)当P (x , y ) 关于为偶函数时,有
?
x , y ) dx =?
b L
P (a
{P [x , y (x )]-P [x , y (x ) ]}dx =
?
b a
0dx =0
2)当P (x , y ) 位于为奇函数时,有
及计算方法有
?
L
P (x , y dx ) =?
b
b a
{P x [y , x (+) P ][x y x , ]}dx (=)
2?P [x , y x (]) dx =
a
?2P
L
x (y dx , )
注1 对于?L
Q (x , y ) d y
有定理1的结论
注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反 对 偶 零”“与反 对 奇 倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反;“对”指关于轴对称;“偶”指被积函数在上关于为偶函数;“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反 对 奇 倍”涵义类似解释。 关于曲线积?L
P (x , y ) dx
分还有另一个对称性的结论是
定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程为y =y (x ) , -(a ≤
x ≤,记a ) L 1, L 2分别L 为位于y 轴的右半部分,L 1, L 2分别在x 轴上的投
影方向相同,函数P (x , y ) 在L 上连续,那么 1)当P (x , y ) 关于x 为奇函数时,则
?
L
P (x , y ) dx =0
2)当P (x , y ) 关于x 为偶函数时,则
?
L
P (x , y ) dx =2?P (x , y ) dx
L 1
证明: 依定理条件不妨设
L 1:y =y (x )
从点0变到a
从点-a 变到0(a >0) .
L 2:y =y (x )
于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有
??
L
P (x , y ) dx =
?
L 1
P (x , y ) dx +?P (x , y ) dx =
L 2
0-a
a 0
P [x , y (x ) ]dx +?
P [x , y (-x ) ]dx
对右端第2个积分,令x =-t ,有
?
0-a
P [(x , y )(-x ) ]dx =
?
a 0
P [(-t , y (t ) ]dt =
?
a 0
P [-x , y (x ) ]dx
因此有
?
L
P (x , y ) dx =
a
?
a 0
P [x , y (x ) ]dx +
?
a 0
P [-x , y (x ) ]dx
=
?{P [x , y (x ) ]+P [-x , y (x ) ]}dx
故1)当P (x , y ) 在L 上关于x 为奇函数时,有
a 0
?
L
P (x , y ) dx =
?
{P [x , y (x ) ]-P [x , -y (x ) ]}dx =
?
a 0
0dx =0
2)当P (x , y ) 在L 上关于x 为偶函数时,有
a 0
?
L
P (x , y ) dx =?
a
{P [x , y (x )]+P [x , y (x ) ]}dx =
L 1
2?P [x , y (x ) ]dx =2?P [x , y (x ) ]dx
注1 对于?L
Q (x , y ) d y
有类似2的结论。
注2 定理1与定理2虽然都是对坐标x 的曲线积分,但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x 轴而言的,而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y 轴和x 轴而言的。另外,被积函数P (x , y ) 的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的,故定理2的结论恰好与定理1相反,定理2用口诀简言之是:“同 对 奇 零 倍”。其中“同”指
L 1, L 2
分
别在x 轴的投影方向相同,“对”指L 关于y 轴对称“奇”指被积函数P (x , y ) 关于x 为奇函数,“零”指曲线积分结果等于零“同 对 偶 倍”的涵义类似解释。
例4 计算
I =
?
L
xydx
y =x
. 其中L 为抛物线 从点A (1,-1) 到B (1,1)上的一段弧。
2
解:以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反 对 奇 倍”的结论,故
有
I =2?xydx =2?L
01
=
45,
其中,
L 1:y =
x 从点0变到1.
例5 计算
I =
?
L
(x +y ) dx -(x +y sin y ) dy
222
=a (a >0) 按逆时针方向其L 为x +y
222
从点A (a , 0) 到点B (-a , 0) 的上半圆周。 解
I =
可将
2
原
2
式
y )
改
d -?2x
L
写为
L
3
2
个曲
x +
2
线,
s
积
i x n
分
y )
的代
y
数
d
和
y
,即
?
L
(x +
x ?-y (d
依题设条件分析知,等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同 对 偶 倍”、“同 对 奇 零”及及定理1的注1中“反 对 偶 乘 零“的结论,故有
I =
?
L
(x +y ) dx
22
=2?(x +y ) dx =2(x 2+a 2-x 2) dx =-2a 3
?L
1
22
a
其中,
L 1:y =
,x 从点a 变到0.
2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分
斯托克斯(Stokes )公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之
间的联系。在介绍下述定理之前,先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定:设有人站在S 上指定的一侧,若沿L 行走,指定的侧总在人的左方,则人的前进方向为边界L 正向;若沿L 行走,指定的侧总在人的右方,则人的前进方向为边界线L 的负向,这个规定方法也称为右手法则,如下图所示。
定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线,若函数P ,Q,R 在S (连同L )上连续, 且有一阶连续偏导数,则
??(
S
?R ?y
-
?R ?z
) dydz +(
?P ?z
-
?R ?y
) dzdx +(
?Q ?x
-
?P ?y
) dxdy
=
?
L
P dx +Q dy +R dz
(2)
其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定。
公式(2)称之此公式为斯托克斯公式。
证明: 先证
??
S
?P ?z
dzdx -
?P ?y
dxdy =
?
L
Pdx ,
(3)
{-z 'x , -z 'y ,1},方向余弦为
其中曲面S 由方程z =z (x , y ) 确定,它的正侧法线方向数为
?Z
{cos α, cos β, cos γ},所以?x
若S 在xy 平面上投影区为分定义及格林公式有
=
cos αcos γ
,
?Z ?y
=-
cos βcos γ
,
D xy
,L 在xy 平面上的投影曲线记为Γ,现由第二类曲线积
?
L
P (x , y , z ) dx =
?
Γ
P (x , y , z (x )) dx =-??P (x , y , z (x , y )) dxdy
D xy
?
因为?y
P (x , y , z (x , y )) =
?P ?P ?z
?y ?z ?y
,
-??
??y
P (x , y , z (x , y )) dxdy =-??(
D xy
?P ?y
+
?P ?z ?z ?y
) dxdy
所以
D xy
?z
由于?y
=-
cos βcos γ
,
从而
?P ?z ?z ?y
?P ?y
?P cos β?z cos γ
原式=-
??(
S
?P ?y
+
) dxdy =-??(
S
-()) dxdy
=-??(
S
?P ?y
cos γ-
?P ?z
cos β)
dxdy cos γ
=-??
S
?P ?y
cos γ-
?P ?z
cos β) dS
=
??
S
?P ?z
dzdx -
?P ?y
dxdy
综合上述结果,便得所要证明的(3)式。
同样对于曲面S 表示x =x (y , x ) 和y =y (z , x ) 时,可得
?Q ?x
?Q ?z
??
S
dxdy -dydz =
?
L
Qdy
(4)
和
??
S
?Q ?x
dydz -
?R ?z
dydz =
?
L
Rds
(5)
将(3)、(4)、(5)三式相加即得斯托克斯公式(2)。
如果曲线S 不能以z =z (x , y ) 的形式给出,则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块,使每一小块能和这种形式表示,因而这时斯托克斯公式也能成立。 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式: dydz
dzdx ??y Q
dxdy ??z R
=
??
S
??x P
?Pdx +Q dy +Rdz
L
其中C 为椭圆
例1,?
C
(y -z ) dx +(z -x ) dy +(x -y ) dz ,
若从轴ox 正向看去,此椭圆是依次反时针方向进行的。
x
z h
解:椭圆如图所示,把平面a
+=1
上C 所包围的区域记为S ,则S 的法线方向为
{h , o , a },
注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的,可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角,因此,
?0
n =?, 于是由斯托克斯公式知
?
C
(y -z ) dx +(z -x ) dy +(x -y ) dz =-2??dydz +dxdz +dxdy
S
=-2??
(cosα+cos β+cos γ) dS
S
=-2??S
+
ds =-2
??
dS
S
=-2
h +a 2
??
2
2
σ=-2
h +a a =-2πa (h +a )
2
+y ≤a
例2
2
?
2
C
(y +z ) dx +(x +z ) dy +(x +y ) dz
222222
,式中C 是曲线
x +y +z =2Rx , x +y =2rx (0 x +y +z =2Rx 2 2 2 222 此曲线是如下进行的:由它所包围在球如图所示。 解: 注意到球面的法线的方向余弦为 cos α= x -R R , cos β= y R , cos γ= , R z 处表面上的最小区域保持在左方 由斯托克斯公式有 原式=2??([y -z ) cos α+(z -x ) cos β+(x -y ) cos γ]dS S =2??(y -z )( S x R -1) +(z -x ) y R +(x -y ) z R dS =2??(z -y ) dS S 由于曲面S 关于oxz 平面对称,y 关于y 是奇函数,有 ??ydS S =0 于是 原式=??zdS = S ?? S R cos rdS = ?? S Rdxdy =R 2 ?? 2 d σ=R πr 2 x +y ≤2rx 结束语 第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法,是多元函数积分重要分支。本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算,而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系,对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。 转载请注明出处范文大全网 » 第二类曲面积分的计算方法