范文一:弹性力学常数关系和本构方程
1 弹性力学
平衡方程
,,,,fu ijjii,
,,,,Cij (,1,2,,6)iiji本构方程 CC,ijji各向异性(21个弹性常数)
CCCCCC,,,,,,,,11121314151611,,,,,,CCCCCC,,21222324252622,,,,,,
31323334353622,,,,,,CCCCCC,,,,,,,, ,,,,,,,2323414243444546CCCCCC,,,,,,,,5152535455563131,,,,,,CCCCCC,,6162636465661212,,,,,,CCCCCC,,,,,,,,,,,,,,有一个对称面(13个弹性常数)
CCCC00,,,,,,,,1112131611,,,,,,CCCC00,,1222232622,,,,,,
1323333622,,,,,,CCCC00,,,,,,,, ,,,,,,,232344450000CC,,,,,,,,45553131,,,,,,0000CC,,162636661212,,,,,,CCCC00,,,,,,,,,,,,,,正交各向异性(9个弹性常数)
CCC000,,,,,,,,11121311,,,,,,CCC000,,12222322,,,,,,
13233322,,,,,,CCC000,,,,,,,, ,,,,,,,23234400000C,,,,,,,,553131,,,,,,00000C,,661212,,,,,,00000C,,,,,,,,,,,,,,橫观各向同性(5个弹性常数)
,,CCC000,,,,,,11112131,,,,,,,,CCC00021211132,,,,,,
21313332,,,,,,,,CCC000,,,,,, ,,,,,,,234423,,00000C,,,,,,314431,,,,,,,,00000C12111212,,,,,,,,00000()/2CC,,,,,,,,,,,,,
CCC000,,111212,,各向同性(2个弹性常数) CCC000121112,,11,,,,,,,,,,121211,,CCC00022,,,,,,,,111222()CC,,,,,,,,,,,,,00000 ,2323,,,,,,2,,1112,,,,,,3131()CC,,,,,,,,,000001212,,,,,,21112,,,,,,,,,,,,()CC,,,00000,,2各向同性情况下
广义胡克定律 ,,,,,,,,2 ijijij
()CC,1112即 CC,,,,,,,,2,,11122
其中,,,,,,,,,,成为拉梅(Lame)弹性常数;称为体积膨胀系数 ,,,ii112233
1,另一形式 ,,,,,, ijijijE2,
,,,,(32),其中 E,,,,,(1,0.5),,,,,引入的工程弹性常数 kk()2(),,,,,,
,EE,,,,,,0 (1)(12)2(1),,,,,,
111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,[()],[()],[()]xxyzyyxzzzyxEEE ,,,,,,2(1)2(1)2(1)xyxyyzyzxyyz,,,,,,,,,,,EEE
E为拉伸弹性模量,,成为泊松比,它是横向应变与纵向应变的比值的负数
E,,,G,,,G,称为剪切模量 2(1),,
E,>0称为抗压弹性模量,也称为体弹性模量(bulk modulus) K,3(12),
11W,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()称为应变能密度 ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzx22
范文二:超静定桁架变形协调方程的新方法
() 文章编号: 100724708 20020220250203
超静定桁架变形协调方程的新方法
1 2 边文凤,董正筑
()11 哈尔滨工业大学威海校区, 威海 264209; 21 中国矿业大学 力学系, 江苏 徐州 221008
摘 要: 在三角形桁架变形协调的基础上, 提出了建立超静定桁架的变形协调方程的新方法, 此法简便易行, 更
利于数值计算。
关键词: 超静定桁架; 变形协调; 解析法
中图分类号: 342 文献标识码: O A
形 ?C 间的变形协调关系式。将此方法和原理应用 1 前言 于内部超静定结构, 如图 3。
c?c = a ?a + b?b - b?a co sΑ- 超静定桁架的求解方法有多种, 其中一种最基
本的方法就是: 综合“平衡方程、变形协调方程和物 ()4 a ?bco sΑ+ a b sin Α? Α 理方程”进行求解的力法, 这是一种工程技术人员 b?b + e?e - e?bco sΒ - d ?d =
必须掌握的常识性方法, 其中变形协调方程是通过 b?eco sΒ + be sin Β? Β ()5 (小变形放大图来建立的。通过小变形放大图来寻找 a ?a + e?e - e?a co s Α+ ) = f ?fΒ- ) (a ?eco s Α+ Β+ 超静定桁架各杆变量间的几何关系既繁琐又不便
) ((a e sin Α+ Β? Α+ ? 于数值计算, 问题复杂时甚至无法求解。即使是图 )()Β 6 1 所示的简单结构, 当 1 号杆和 3 号杆的抗拉、压刚
()()() 式 4、5、6就是如图 3 所示内部超静定桁架结 度 E A ? E A 时, 通过小变形放大图求解变形协 11 33
构的变形协调方程。调方程也很不方便。为此, 本文提出了一种解决变
形 协调方程问题的新方法 —— 微分解析法, 使用
微分解析法再加上数学工具“M A TL A B ”, 即使解
决高次超静定桁架问题也很容易了, 数值计算也更
方便了。
2 基本原理和方法
() 在图 2 a所示三角形 A B C 中,
2 2 2 ()c= a + b- 1 a bco sC 2
() 对式 1取微分, 得:
c?c = a ?a + b?b - b?a co sC -
()a ?bco sC + a bsinC ?C 2
() 如果 A 、B 两点支承如图 2 b , 则 ?c = 0,
a ?a + b?b - b?a co sC -1 即: a ?bco sC + a bsinC ?C = 01 1 1 ()3
()() 式 2、3就是杆的伸长量 ?a、?b、?c 和角变
收稿日期: 2000207218; 修改稿收到日期: 20002102081
( ) 作者简介: 边文凤 19632, 女, 副教授, 硕士研究生 1
荷向量。在三角形 A CD , CD E , D E F , A B D , B CD , 3 算例 CD F 和 A D E 中, 求解变形协调方程得:例 1图 4 所示杆系结构 a、b、c 的刚度分别为 Κ、 ab?b + d ?d - b?d co sΒ - d ?bco sΒ + bd sin Β?Β = Κ、Κ, 则结构的平衡方程为: bc 0 b?b + h ?h - () Κco sΗ?a + Κco s Η+ Α?b +a b h ?bco sΧ- b?h co sΧ+ bh sin Χ? Χ= h ?h + g ?g - h ?g co sΗ- g ?hco sΗ+ g h sinΗ?Η= f ?0 () Κco s Η+ Α? c + P co s< =="" 0c="" c?c="" +="" d="" -="" f="" d="" co="" sα-="">
) (Κsin Η?a + Κsin Η+ Α+ Β? b c?d co sΑ+ cd sin Α? Α= a?a a b (c?bco s Α+ b?b + c?c - + ) () Β- b?cco s Α+ Β+
) () (bc sin Α+ Β? Α+ ?Β= e) (()Κsin Η+ Α+ Β?c - P sin 0 7 c
?e < =="" )="" )="" ((b?b="" +="" g="" -="" g="" co="" s="" χ+="" η-="" b?g="" co="" s="" χ+="" η由新方法求得的变形协调方程为:="" +="" 0="" a="" +="" b?b="" -="" b?aco="" sα-="" a?bco="" sα+="" absinα?α()="" ()="" bgs="" in="" χ+="" η?="" χ+="" =="" i="b?b" +="" c?c="" -="" 0="" i="" b?cco="" sβ="" -="" c?bco="" sβ="" +="" bcsinβ?a="" +="" c?c="" -="" ()="" ()="" ()="" ()="" c?aco="" s="" α+="" β-="" a="" co="" s="" α+="" βd="" +="" h="" -="" h="" co="" s="" β="" +="" χ-="" d="" co="" s="" β="" +="" χβ="+" +="" ()(8="" abcsin="" α+="" )="" ()="" β?α+="" =="" 0="" )="" ()="" (d="" h="" sin="" β="" +="" χ?β="" +="" =="" ()g="" y="0" 9b="" ()="" ()="" 0="" 上述方程式="" 7和="" 8中,="" 共="" 5="" 个方程,="" 共="" 5="" 个未知="" β="Χ=" 1m="" ,="" e="210GP" a,="" α="c" 当="" a="b" =="" 量="" ,="" ,="" ,="" α,="" β,="" 所以,="" 问题是可解的。当="" a="将上述变形协调方程写成矩阵形式:" =="" η="45," p="240N" ,="" 杆="" 的="" 横="" 截="" 面="" 积="" f="10" ×="" 2m="" ,="" b="1m" ,="" c="1." 5m="" ,="" e="210GP" a,="" α="35?," β="">
- 42 60,? Η= 30,? < =="" 30?,="" p="1000N" ,="" 杆的横截面积="" 10m="" 时,="" 求得支座反力分别为-="" 42="" f="10" ×="" 10m="" 时,="" 可="" 求="" 得="" 杆="" 的="" 内="" 力="" 分="" 别="" 为:="" x="-" y="95." 2n="" ,="" 60.="" 0n="" ,="" a="" a="" t="-" 220.="" 0n="" ,="" t="-" 257.="" 7n="" ,="" t="1128." 2n="" ,="" 此="" abc="" x="-120N" ,="" c="" y="49." 6n="" ,="" c="" 结果与用其他方法求得的结果完全一致。="" y="-" 145n="" x="-E" e="" 60.="" 0n="" ,="">
例 2图 5 所示 6 节点五次超静定桁架结构, 其矩 本方法不仅适用于内部超静定桁架, 也适用于
: 阵形式的结构平衡方程为外部超静定桁架, 如图 6 所示外部超静定桁架结
()()构, 在节点 B 9a KX = 处, 有 ? Η1 + Η2 + Η3 = 0 这样的变P
形协调条件, 在节点 C 处, 与此类似。计算结果见表 1。 其中 K 为刚度矩阵, X 为未知力向量, P 为节点载
计 算 力 学 学 报 第 19 卷 252
表 1 计算结果
T ab. 1 Com p u ta t io n a l re su lt s
X Y Y Y Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a a b c d
2. 269 5 1. 7718 - 12. 1641- 16. 7033- 23. 5917- 27712. 596 836 .- 082 1. 0771 9. 8 526 2 1. -885 0 9. 0 10. 5344 34. 8965 21. 534103 44 - 1.
() 式 11就是图 7 所示结构的变形协调方程。 4 特例
5 结论 例 1求图 1 所示结构的变形协调方程。结构的几
三角形是桁架的基础, 由它们推导出的附加方 何关系为
2 2 2 程 自然、简便、适用范围广、正确率高, 将节点平衡 () L - L = A B 1 2 2 2 方程与附加方程联立, 就可以得到超静定桁架的 2 ()L B C - L = 3 2
解。虽然未知量数增加了, 但方程是简单且相似的, 对上式微分整理得: 可以很容易列出, 可以避免位移的繁琐计算。其过
程在数值计算方面是极易实现的。应用时, 注意各 ()10 L dL + L dL - 2L dL = 0 1 1 3 3 2 2
杆的内力应均设为拉力。 () 式 10便是图 1 结构在任意受力状态下的变形协
调方程。 () 参考文献 :Ref eren ce s 例 2求图 7 所示桁架结构的变形协调方程。 1 T im o senko S P. E ng inee r ing M ech an ics [M .
2 2 2 2, 1959.W o inow sk yK r iege r c= a + b
2 , . [.S inge r F L P y te l AS t reng th of M a te r ia ls M 对上式两侧取微分, 得: 3 . , , , 1980.edH a rp e r & R ow C am b r idge
. : []. 3 Schw eda EB au s ta t ikB e isp ie lsam m lu ng M ()11 cd c = a d a + bd b , , 1996.W e rne rD üsse ldo rf
A n ew m e thod f or problem of hyper sta t ic truss
1 2 , ,B ian W en fen gD o n g Zh en gzh u
(1. , 264209;H a rb in In st itu te o f T ech no lo gy W e ih a i C am p u sW e ih a i
)2. , , 221008, D ep a r tm en t o f M ech an ic sU n ive r sity o f M in ing and T ech no lo gyX uzho u C h ina A bstra c t: A dop t in g th e defo rm a t io n com p a t ib ility re la t io n o f th e t r ian g le t ru ss, a d iffe ren t ia l an a ly t ica l
, 2 m e tho d is p u t fo rw a rdw h ich can b e u sed to so lve th e geom e t r ica l com p a t ib ility equ a t io n s o f h yp e r
. sta t ic t ru ss st ru c tu re sSom e ex am p le s show th e m e tho d h a s spo n tan eo u s an d co n ven ien t to n um e ra l
.com p u t in g
: 2; ; Key word sh yp e rsta t ic t ru ssdefo rm a t io n com p a t ib ilityan a ly t ica l m e tho d
范文三:建立超静定杆系变形协调方程的能量方法
建立超静定杆系变形协调方程的能量方法
王钟羡
( ) 江苏理工大学 , 镇江 212013
式分别改写为 , 推导超静定 由能量法并利用各杆的静力关系 摘要 m 杆系的变形协调方程. 5 N i(Δ) ( )δ)( l ?= 0 j = 1 , 2 , , n 5 i i ?5 X ji = 1 , 超静定杆系 , 变形协调 能量法 关键词
和
m 建立超静定杆系的变形协调方程 , 一般教材中常 (Δ) δ( ))( l ?NN= 0 j = 1 , 2 , , n 6 i i i , j ?用的方法是几何作图法 , 这种方法形象直观 , 初学者 i = 1
容易建立变形协调的物理概念. 但用这种方法建立较 式中 , δ为 i 杆的加工误差或温度变形. 计算时若设 i
ΔδN 为拉力 ,则 l 为伸长变形 , 这时公式中伸长取“ 复杂的一次静不定或高次静不定结构的变形协调方程 i i i 时通常较困难. 文 1 用数学的方法建立了节点位移 + ”号 , 缩短取“ - ”号. 反之亦然. 与各杆轴向变形间的解析关系式 , 进而得出杆系间的
变形协调方程. 本文基于能量法给出杆系变形协调方 2 例题分析 程的一般表达式 , 利用各杆的静力关系可方便地得到
杆系的变形协调方程. 现以较常见的几个超静定问题为例 , 说明上式的
Δ使用. 这里 N 设为拉力 , 相应 l为轴向伸长变形. i i
( ) 例 1 三杆汇交的一次超静定结构如图 1 a 所
基本公式 1 示.
对于由 m 根直杆组成的 n 次超静定结构 , 可解除
n 个多余约束得到相应的静定基. 设原结构的应变余
3 能为 U , 对应于多余约束的约束反力为 x , 则由 j 2 Crot ti - Engesser 定理可知
3 5 U ( ))( = 0 j = 1 , 2 , n 1 5 X j
Δ设杆的内力为 N , 相应的轴向变形为 l, 则由上式 j j
可得到
m 5 N i Δ( ))( l= 0j = 1 , 2 , , n 2 i ?5 X ji = 1
因此 , 只要利用平衡方程在静定基上求出在 p , x ,
, x 作用下各杆的内力 N , 再分别对 x 求偏导后 n i j
代入上式 , 便可得到 n 次超静定杆系的 n 个变形协调
显式方程.
若在上式中令
5 N i)( NN = 3 i , j 图 1 三杆汇交结构 5 X j
表示静定基分别在单位力 X = 1 作用下各杆的内力 , j ( ) 取静定基如图 1 b, 并在其上沿多余约束方向加 () 则 2式可写为 单位力 X , 这时各杆的内力 m βα si n si n Δ( )= 0 l NN 4 i i , j ?NN = - , NN = 1 , NN = - 1 2 3 i = 1 (α β)(α β)sin + sin + 对于装配应力和温度应力问题 ,只需将 ( 2) 式 、( 4)
本文于 1997 - 10 - 24 收到.
() 代入式 4即得到此结构的变形协调方程
Δβ Δα Δ(α β)( )lsin+ l sin= l sin + 7 1 3 2
( ) 例 2 图 2 a所示为一次超静定对称结构 , 其中 δ?杆由于加工误差而短了.
图 2 带加工误差的五杆对称结构
( ) 截开 ?杆取静定基如图 2 b所示 , 在单位力 X 的
作用下各杆内力为 图 3 四杆汇交结构 1 NN = NN NN = 1 = , 1 23 α2cos2 变形协调方程为
1 Δα ΔΔα lcos- l+ lcos2= 0 1 2 4 = - N = N 5 4α2cos Δα ΔΔα , l cos2- l + l cos= 0 1 3 4 则此结构的变形协调方程为
1 1 δ Δ(ΔΔ) ΔΔ)(= - l l+ l ? - l+ l 31 2 4 5 αα2cos2 2cos ( )8
( ) 例 3 由四杆组成的二次超静定结构如图 3 a所
示.
解除 B 、C 处的多余约束建立静定基. 在单位力
(( ) ) X 的作用下 图 3 b各杆内力分别为 1
α = - cos, NN N = 1 N1 , 1 2 , 1 αNN NN = 0 , = - cos2 3 , 1 4 , 1
(() ) 在单位力 X 的作用下 图 3 c各杆内力为 2
α= - cos2, N NN = 0 N1 , 2 2 , 2 α= - cos NN = 1 , NN 3 , 2 4 , 2
范文四:利用微分方法推导静不定桁架变形协调方程
利用微分方法推导静不定桁架变形协调方
程 高金华:利用微分方法推导静不定桁架变形协调方程 利用微分方法推导静不定桁架变形协调方程 摘要车文提出利用微分的方法
的变形协调方程.
.壹垒竺.
(中国民航学院航空港工程系t天津300300) 求出较普遗情况下由式(哇)还可得
蝴嗍盥兰堕,
在材料力学中,用位移法解决平面桁架鳍构的拉 压备不定问曩时,关?是投出其变形协1爵方程.在小 变形情况下,通常的方法棘是利用几何法,近似求出 各扦变形之阃的关摹,褥剜变形协调方程.这就必须 针对母一种具体情况两图求解.车文提出利用徽分的 方法,求出在较普遗的情况下的变形协调方程.特别 是喇fjI学过高等数学的人,对这种方法会更感趣. 图1所示3杆桁架结构受到外力P作用时,节 点D产生位移,杆1,2,3的长度li.12,b以及口l 和如均发生变化I但AO,BO及日l+如之值固 定不变.令口1=Aa口2=BO,这些量之闻存在以下 关摹
=d+瑶一2啦f3c呻l(1)
琏《+聪一2口2f3cosOs(2) 雷1
所以应把l~(12)看成是b,el(或巩)的函敷.分别对 式(1)和式【2)进行微分.整理撙到
z1曲;l3一n1co881dZs+allss.m日1d日1(3) b=lsdls一口2co802dls+a:dssin如吡(4) 格式(3)和式(4)相加,并考虑到dOz=-dOs,剐有 /id/i+b曲=2/sdzs一(alco习l+d2cos如)db+ b(d2B如一dlBin日1)d如(5)
一\83l
=—
lsdl
—
s-lsd/s+asvo
—
sSsd/s(6)
d2'三slnF2
将其代人式(5),经过整理后可得
h+苎l=
[(+)b一m]c
分别以各杆长度的改变量,即微小 在小变形情况下,
增量?ll,?l2,Als取代式(7)中的1.db,di3.得到 ll?z1+.!b?b=
[1丽atsinOz—sin(O~+02)n】蝎(8) 此即平面桁架结构普遗遣用的拉压静不定变形协调方 程.各增量以伸长为正,雅短为负.若无法断定拉还是 压,可以采用'设正法".
下面就3杆桁架结构的几种特殊情况进行讨论. 1)A,D,B三点共线.如图2所示,1+如=, 即
eln(O~+如);0sin口l=血如
删式(B)倚化为
f1?I'+--all?b=(+詈)f3?ladt,dt, BCA
蛋2
2)结构对称.如图3所示,ll=l2=l,d1=毗= tl,,自然口l=如=而且tOBit=(13一dcoB日),l1尉
式(B)倚化为
?l1+?b=2cosa?l3(1o】
/——
,.期
一
,,.?
力学与实践1998年第如卷
C
田4
解不妨设各杆受拉,将有关量代入式(9),化简 可得
All+Ah=,,3?j3(121
根据虎克定律有
?f1==SE坐
?b==SE
b==
将其代入式(12),化简得
?1+=Ns(13)
再由静力平衡方程,有
?1cos+NsCOS30.+N2=0 ?1sin60o+Nssin30.一P=0
肌
?1+2N2+?a=0(14)
,,3?1+=P(15)
由式(13)一(15】三式求解.可得?=(;一2)P;
N2=一(2一,,P;N3=(2一3)e.其中N2<0. 杆2实啊}受压.
对于各种简单情况,亦可用散分方法直接导出相 应的变形协调方程.
在材料力学中通常遇到的倒子是3杆平面桁槊. 即为一度静不定鳍构.假如平面珩架是由4杆组成(如 图5所示),剐结构为二度静不定.若求解4杆桁槊各 杆内力及变形时,显然番要两个变形协调方程. C
圈5
设图5靖构中,口l=AB,啦=BaB3=?
在变形过程中口1,口2,B3和a+卢,+等
值均保持不变.先研究杆12,3三者之闻的变形 协调关系.再研究杆2,3,4三者之闻的变形协调 关系.类似前面的推导过程.可得到由两个变形协调 方程组成的方程组.即
+[.一(+)b]l
?如+!罟b?b=0(16)81n奶
+[啦一(+)fBJ_
?b+兰"?"=0(17】口38in'
对于n3)杆情况,可以莲次将相近的3十
杆看成一组.即能得翻由"一2十方程组成的变形协 调方程组.
范文五:【doc】弹性力学的导出方程及其离散格式
弹性力学的导出方程及其离散格式
第35卷第4期
2001年4月
上海变通大学
JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY
Vol35No4
Apr.2001
文章编号:1006—2467(2001)04—0630—04
弹性力学的导出方程及其离散格式
田中旭,刘正兴,唐立民
(1.上海交通大学工程力学系,上海200030;2.大连理工大学工程力学系.大连
1l6024-)
摘要:给出了弹性力学控制微分方程更为一般的弱形式——导出方程.由导出方程
可导出一种新
的离散格式,该格式不要求住移协调,并能给出很好的计算精度;还可导出有限元
法.并给出了观察
有限元的新途径.有利于使各种有限元法系统化,并加深对有限无法中位移的连续
性等问题的认识
关键词:导出方程{住移连续性;离散算子差分
中图分类号:o242.2l文献标识码:A
DerivingEquationforElasticProblemsandItsDiscreteFOrms TlANZhong一&-u,LIUZheng—xinglTANGLi—rain2
(1.Dept.ofEng.Mechanics,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,China
2.Dept.ofEng.Mechanics,DalianUniv.ofTechnology,Dallan116024) Abstract:Derivingequation.themoregeneralweakformforelasticproblems,wasgiven.Fro
mtheequa—
tion.anewdiscreteformcanbegenerated,whichcangivegoodperformancewhetherthedispl
acements
areconformingornot.Finiteelementmethodcanalsobegotandanewviewpointofobservingt
hefinite
elementmethodwasgiven.Fromtheviewpoint.thepopularfiniteelementmethodscanbesys
tematized
andsomeproblemssuchasthecontinuityofdisplacementcanbeknownmoredeeply.
Keywords:derivingequation;continuityofdisplacement;discreteoperatordifference
有限元通常可以看成是基于各种变分原理的解 法,但拟协调元],广义协调元口,双参数法和精 化不协调模式],均一定程度突破了原变分原理的 框架,为有限元法开辟了更广阔的领域.此外,变分 原理也不断被补充新的内容,如分区广义变分原理 等].因此,采用更具普遍性的方程形式,不仅有利 于统一已有的方法,加深对这些方法的认识,还有利 于发现新方法.位移的连续性问题在有限元法中也 扮演着重要的角色,在弹性力学更为一般的弱形式 中重新审视这一问题也许会有一些新的理解. 文献[6]给出了一种计算板弯曲问题的算法,在 单元不具备c连续的情况,无需特殊处理便能给出 很好的数值结果.但文中的理论脉络还不清晰,也没 有对连续性做必要的讨论.本文给出的导出方程包 收辅日期:2000—03—22
容了这种算法,并对位移的连续性做了讨论. 1平衡方程的弱形式(导出方程)
弹性力学平衡方程为
D_二F一0(n}(1)T—T(5)』
式中:
T—(2)
D为微分算子;于在给定力的边界上为给定力,在给
定位移的边界为未知反力;S为力的边界;应力可 以看作是位移H的函数;T为内力;v为边界外法线 的方向余弦组成的矩阵.
平衡条件的弱形式可表达为
ly(D+F)dO+B一0(3)
J
式中:为n的任意子域,也是检验函数y的作用
第4期田中旭,等:弹性力学的导出方程厦其离散格式63l
区域;/3为边界附加项.
在式(3)中,应力均是由位移表达的函数,式(3) 仍是弹性力学控制微分方程的弱形式.对式(3)中的 含应力项分步积分,即
l[(D)+VF]df2+lVTdS+/3—0J12'JS (4)
式中,s是n的边界.当n靠近0的边界s时,为 了能表达整个求解域,上式的线积分项分为两部分. 并在边界上采用边界参数,即
lVTdS+lVs()
J一SnS5.n5
为了能将方程与边界统一写入一个式子,B写为 r一
—
l(一了')dS(6)
JS.n5
最终式(4)变为
l[(D)a]dO+lVTdS+
5'n5 JJ5—
IVTdS+lVFdO一0(7)
nJ
称式(7)为导出方程.
由导出方程(7)容易讨论离散格式对位移试函 数连续性的要求.其中的第一项,即区域积分项中含 位移"和检验函数的导数,如果H和在n区域 内不连续.它们的导数会出现无界的情况.从而将导 致这一积分不可积或无法计算.文献[7]中已有类似 的解释观点.因此,能否很好地处理离散格式对位移 连续性的要求问题将直接影响离散格式的收敛性. 2离散算子差分法
在式(7)中取y为单位阵,则方程变为
rrr
lTdS+lTdS+lFd,O一0(8)JSnSJSr5Jn 应用上式进行数值求解时,其区域n在三角形和四 边形单元网格剖分中为图1,2中的阴影区域所示, 其中n的边界a通过各单元的形12"和边的中点. 称由式(8)得到的离散方法为离散算子差分法. 在计算中.式(8)可写成
+J刚_【)(g)
式中,s.为s一sns在单元i中的部分.这样可以 采用有限元法中的计算过程:先根据式(9)得到某个 单元对各方程的贡献部分,称之为单元系数矩阵,再 组装成总的系数矩阵.
离散算子差分法具有以下特色:
图2四边形网格中的区域
Fig.2Domaininquadranglemesh
(1)式(8)中已不含区域积分项(对应式(7)中 的第一项).不存在位移的连续性问题,位移函数可 以是非协调的i
(2)式(8)表示区域门的平衡,物理意义非常明
确,当各区域n无限缩小时,式(8)将趋于表达某一 点的平衡,收敛性应可保证;
(3)边界条件处理同有限元法一样,十分方便; (4)缺点是系数矩阵一般不具对称性,
在薄板,薄壳等问题中检验函数应取1.,Y等 形式,也可得到类似于式(8)的方程.文献[6]给出了 该方法的薄板弯曲问题的离散方法以及一个三角形 单元和一个四边形单元,两个单元虽然都不满足c 连续,不需特殊处理便表现出了良好的性能和很高 的计算精度.
以下应用离散算子差分法给出一个新的三角形 板单元的例子.
在离散算子差分法的三角形板单元1中,取单 元位移函数为
W—L+2十a3y+tT4,I+asxy+ 十.+.BY.+n9(Y+xy.) (10)
代人各结点的坐标,可以应用各结点的位移参 数表达出各待定常数,从而得到单元上的位移插值 函数.很明显,该位移函数仅c.连续.
给出一剖分成不规则三角形单元网格的方板 (见图3),各结点坐标见表1.
当在方板的边界结点施加上位移函数式(1O)所 能表达的任意给定位移:
632上海交通大学第s5卷
图3三角形单元网格
Fig.3Triangleelementmesh 表l围3中各结点的坐标
Tab.1ThenodalcoordinatesinFig.3
结点
12345678
OOOO500.200.380.350,23OO0O50
000O.O00.180.2O0.35037O500—50
"=一0.17+0.02x十0.04y__O.05a=+ 0.08xy+0.1y+0.2x+ 0.18(Y+xy)+0.22y.(儿)
所对应的数值时,使用此单元计算出方板内部结点 的各位移参数见表2(各算例中只列出了3,4点的 计算结果.5,6点也有类似的结果).
表2三角形板单元的计算结果
Tab.2Calclllatedresultswiththetriangleelement
以上数值结果表明,虽然给出的三角形板单元 仅c.连续,其离散算子差分格式却能准确地再现其 位移模式.这种'再现'比有限元法中的分片试验更 为严格.因此说离散算子差分格式是一种很好的离 散格式,它丝毫不受位移连续与否的影响.算例中, 此单元的表现与文献[6]给出的三角形单元相似. 3有限元法
3.1协调元
如果检验函数取位移的基函数,则式(7)变为 rr
—
Iad+l妇TdS+
?JS一nS
I妇TdS+l妇FdO一0(12)
对于某一结点O,区域为结点0所相关的所有单 元n(=1,…,r)(见图4),即有
一
?n(13)
图4妇'区域
Fig.4Domainn
式(12)中含有区域积分项(第一项),为了保证 它可进行积分计算,导数不出现无界情况,位移应满 足连续性条件.
当位移函数满足连续性条件时,则有
一0(一SnS)(14)
所以,式(12)中的第二项积分为零.此外,位移在单 元边界处无突变,可以认为位移对坐标的导数在单 元边界是有界的,即应力和应变在单元边界是有界 的.故含应力与应变的区域内积分在边界处应为零, 所以
l8州n,=?l占州n,c15)J,_lq 最后,式(12)变为
J甜皿一J?妇s—J妇dO
(16)
式(16)为通常的有限元法所采用的方程,其左边求 和形式反映了单元刚度阵组装成总刚度阵的过程. 3.2非协调元
从导出方程到式(16)的过程中可以看出,如果 位移不满足连续性,有限元法可能不收敛,其原因主 要来自两个方面:?因式(14)不成立,式(12)中的 第二项积分,即区域的边界积分项不为零;?因 位移不连续,不能再认为应力和应变在单元边界是 有限的,式(15)不再成立,即单元边界可能对区域内 的积分有贡献.
在改进非协调元的过程中,处理第一个原因是 比较容易的,只需在方程中添上相应的边界附加项
即可(会影响刚度阵的对称性).直接处理第二个原 因则比较困难,可能的办法便是改善位移的连续性. 事实上,各种有限元法采用了相同的过程,即首 先应用位移参数在单元上表达出应变或应力,再把
第4期田中旭,等:弹牲力学的导出方程厦其离散格式633 应变或应力的表达式代人式(16)中得到离散格式. 因此各种有限元法的不同集中体现在对连续性方程 的应用形式上.这一过程所得到的应变或应力的表 达式将满足收敛所必须的条件.
尽管当前仍有对分片试验的讨论,但以往的大 量实践说明.通过分片试验的单元使用趁来是令人 放心的,通过分片试验仍是绝太多数有限元分析方 法的共同点.现将分片试验对单元应变和位移的 要求条件采用矩阵的形式表达如下:
IedA—IvS(17)J^JM
IIb'(H—)dS一0(18)
J
式中,为两相邻单元边界上公共的位移插值函数. 式(17)是式(18)的必要条件.成功的有限元法在其 使用的连续性方程中应包含上述两个方程之一. 按照本文得到的平衡方程弱形式的方式.可得 到弹性力学的几何方程的各种弱形式.连续性方程 包括:
E一,JH单元内1
H一一H—单元间f'
式中,H,H为相临单元在公共边界上的位移.有限 元法较为普遍地采用了公共的位移插值函数,从 而使有限元法对某一单元的处理只与本单元有关.
单元间的位移协调条件有弱形式:
t"f—)d一o(20)J
采用与处理平衡方程同样的过程.单元内和单元边 界的连续性条件弱形式最终可表达为
IyE+(Dy)uJaAIThas—o(21)JAJ 式中,是y的函数:
T—vV(22)
这样便省去了单元边界建立函数的过程. 式(20)和(21)中分别包含了式(17)和(18).而 各有限元法中大多采用了上述的连续性方程形式或 它们的变形.
4结语
所给出的导出方程是更为一般的弹性力学平衡 方程弱形式,可以通过对检验函数的不同选择得到 不同的离散格式,导出方程也使弹性力学方程与边 界条件有机地结台.使边界条件容易处理.通过导出 方程能较明显地看出位移连续性在方程中的作用, 从而有利于在离散格式中更好地把握和处理与连续 性有关的问题.由导出方程可以导出一种对位移函 数的莲续性无过多要求,精度高的新离散格式—— 离散算子差分.通过导出方程还可使各种有限元法 系统化,并提供了,一个新的认识有限元法的角度,便 于加深对有限元法的认识随着广义函数理论的发 展,这必将成为研究非协调元的新途径. 所给出的导出方程的过程没有过多依赖弹性力 学的特殊性,因此可应用到其他边值问题. 参考文献:
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作者简介:
田中旭l971年生,上海交通大
学博士后.从事弹性力学方程弱形式,
有限元法厦差丹方法的研究.发表论
文6篇.
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