范文一:分式函数求值域
分式型函数求值域的方法探讨
在教学中,笔者常常遇到一类函数求值域问题,此类函数是以分式函数形式出现,有一次式比一次式,二次式比一次式,一次式比二次式,二次式比二次,现在对这类问题进行探讨。 ax?b(a?o,b?0)(一次式比一次式)在定义域内求值域。 cx?d
22x?1例1:求f(x)?(x??)的值域。 33x?2
241112(x?)?1222?解:f(x)?=????0,??? 23x?233x?23x?233x?233(x?)3一、形如f(x)?
2??其值域为?y/y?? 3?
一般性结论,f(x)?dax?b(a?o,b?0)如果定义域为?x/x??ccx?d?,则值域
a?? y/y??c?
例2:求f(x)?2x?1,x??1,2?的值域。 3x?2
分析:由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出,所以解决在给定区间内的值域问题,我们可以画出函数图像,求出其值域。
11
222x?12解:f(x)?=?3,是由y??3向左平移,向上平移得出,通过图333x?233x?2x
像观察,其值域为?,?
小结:函数关系式是一次式比一次式的时候,我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的,因此我们可以作出其图像,去求函数的值域。 ?35??58?
a(a?0)的值域。 x
分析:此类函数中,当a?0,函数为单调函数,较简单,在此我们不做讨论,当a?0时, a'对函数求导,f(x)?1?2,f'(x)?0时,x?(??,a)?a,??),f'(x)?0时, x二、形如求f(x)?x?
x?(?a,0)?(0,a),根据函数单调性,我们可以做出此类函数的大致图像,其我们常
其图像
4,(x?(1,4)上的值域。 x
2解:将函数整理成f(x)?2(x?),根据双钩函数的性质,我们可以判断此函数在(0,2)x例3:求f(x)?2x?
单调递减,在(2,??)上递增,其在2处取最小值,比较1,4出的函数值,我们可以知道在1处取的最大值,所以其值域为42,6 ??
mx?nax2?bx?c三、用双钩函数解决形如f(x)?(m?0,a?0),f(x)?ax2?bx?cmx?n
(m?0,a?0)在定义内求值域的问题。
t2?4t?1例3:(2010重庆文数)已知t?0,则则函数y?的最小值为_______. t
t2?4t?11?t??4,?t?o?由基本不等式地y??2 解:y?tt
例4:求f(x)?x?1(x?1)的值域。 2x?x?2
解:令x?1?t,则x?t?1,则f(x)?t1t?=, 224(t?1)?(t?1)?2t?3t?4t??3t
1 7其中t?0.则由基本不等式得f(x)?
4x2?2x?21(x??)的值域。 例5:求f(x)?2x?12
t?1?t?1?4??2()?22?t?12t?t?22?2?解:令t?2x?1,则x?,f(x)?==t??1 2ttt
,其中t?0,由基本式得f(x)?22?1
小结:对于此类问题,我们一般换元整理后,将函数变成f(x)?x?2a(a?0)这类型的函x
数,解决此类函数注意应用基本不等式,当基本不等式不行的时候,注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 ax2?bx?c(a?0,m?0)在定义域内求值域。 三、形如f(x)?2mx?bx?c
2x2?x?1例5:求y?2的值域。 x?x?1
分析:当定义域为R时,我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时,不应采用此法,否则有可能出错。此时,我们要根据函数关系的特征,采用其他方法。
解:x?x?1?0恒恒成立,所以此函数的定义域为x?R,将函数整理成关于x的方程, 2
yx2?yx?y?2x2?x?1,(y?2)x2?(y?1)x?(y?1)?0,当y?2?0,关于x的方程
2恒有解,则??(y?1)?4(y?2)(y?1)?0,即1?y?7,显然,y?2也成立,所以其3
值域为?y/1?y?7
3?
以上是求此类函数的常见方法,但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法,我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法,多思考,举一反三,那以后解决此类问题就很容易了。
范文二:2 函数求值域
函数值域的常用方法及值域的应用
1. 方法归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 2. 值域的概念和常见函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.
常见函数的值域:
一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R.
?4ac -b 2?
二次函数y =ax +bx +c (a ≠0),当a >0时的值域为?, +∞?,当a <>
?4a ?
2
?4ac -b 2?
域为 -∞, . , ?4a ??反比例函数y =
k
(k ≠0)的值域为{y ∈R y ≠0}. x
指数函数y =a x (a >0且a ≠1)的值域为{y y >0}. 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的值域为R.
正,余弦函数的值域为[-1,1],正,余切函数的值域为R. 3. 求函数值域(最值)的常用方法
3.1观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值) 的简单函数) 例1、求y =-x 2+4-2的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得:
g (x ) =-x 2+4-2∈[0, +∞), 所以y ∈[-2, +∞)
练习、求函数y =
的值域。
≥0
≥1,然后在求其倒数即得答案。 解:
≥0
∴≥1,∴
3.2配方法
对于形如y =ax 2+bx +c (a ≠0)或F (x )=a ??f (x )??+bf (x )+c (a ≠0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解. 例2. 求函数y =3x 2-x +2
6
2
≤1,∴函数的值域为(0,1].
x ∈(-3,5]的值域;
12
解:求函数y =3x 2-x +2=3(x -1) 2+23 画出图像(图略)从图可知, x =1时,y
6
min
=
23
; x =5时,y12
max
=3(5-
1223) +=72. 612
所以此函数的值域为[23,72].
12
练习2.1
:求函数的值域:y = 解:设μ=-x 2-6x -5(μ≥
0),则原函数可化为:y . 又因为
μ=-x 2-6x -5=-(x +3)+4≤4,所以0≤μ≤
4
[0,2],所以,y =[0,2]. 练习2.2:求函数y =e -x
2
2
+4x -3
的值域。
解答:此题可以看作是y =e u 和u =-x 2+4x -3两个函数复合而成的函数,对u 配方可得:u =-(x -2) 2+1,得到函数u 的最大值u =1,再根据y =e u 得到y 为增函数且y >0故函数y =e -x
2
+4x -3
的值域为:y ∈(0, e ]。
练习2.3:已知函数f(x)=1-2ax -a 2x (a>1)。
(1)求f(x)的值域。 (2)若x ∈[-2,1]时,函数的最小值为-7,求a 及f(x)的最大值。
3.3换元法
利用代数或三角换元,将所给函数转换成易求值域的函数,形如y =
1
的函数,令f x f (x )=
t ;形如y =ax +b a , b , c , d 均为常数
, ac ≠0) =t ;形
x =a cos θ, θ∈[0, π],或令
?ππ?
x =a sin θ, θ∈?-, ?.
?22?
例3:
求函数的值域:y =x +解:
设t =≥0, 则x =1-t 2. 所以原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2)+5(t ≥0),所以y ≤5. 所以原函数的值域为(-∞,5]. 练习3.1: 求函数y =2x +4-x 的值域
解:设t =-x ≥0则x =1-t 2, ∴y =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4≤4, ∴值域为(-∞, 4]. 练习3.2: 求函数y =x +-x 2的值域。
3.4反函数法:直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如y =cx +d (a ≠0) 的函数用反函数法求值域;
ax +b
2
例4:求函数y=3x +4值域。
5x +6
cx +d
(a ≠0) 的函数也可用此法求值域; ax +b
3x +1
例5:求函数y =的值域;
x -2
3.5分离常数法:形如y =
2x +1
解:方法一:(反函数法)求出函数y =3x +1的反函数为y =,其定义域为
x -3x -2
{x /x ∈R 且x ≠3},所以原函数的值域为{y /y ∈R 且y ≠3}
方法二:(分离常数法) y =
3x +13(x -2) +77
==3+, x -2x -2x -2
3x +177
的值域为{y /y ∈R 且y ≠3}. ≠0, ∴3+≠3. ∴y =
x -2x -2x -2
x 2-x
练习5.1:求函数y =2的值域。
x -x +1
观察分子、分母中均含有x 2-x 项,可利用部分分式法;则有
x 2-x x 2-x +1-1y =2==1-2
x -x +1x -x +1
1
不妨令:
123(x -) +
24
131?3
f (x ) =(x -) 2+, g (x ) =(f (x ) ≠0) 从而f (x ) ∈?, +∞)
24f (x ) ?4
?3??1
注意:在本题中应排除f (x ) =0,因为f (x ) 作为分母。所以g (x ) ∈ 故0, y ∈-, 1) 4???3??3.6不等式法
利用基本不等式a +b ≥,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.
如利用a +b ≥求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①a >0, b >0; ②a +b (或ab )为定值;③取等号成立的条件a =b . 三个条件缺一不可.
2x 2-x +1?1?例6:求函数的值域:y =x > ?.
2x -1?2?
1
2x -x +1x (2x -1)+1111
解:y ===x +=x -++
2x -12x -12x -12x -12
2
11
x >, ∴x ->0
22
2
1≥= ∴x -+
2x -21
当且仅当x -
1+1
时,即x =时等号成立,
=
22x -
2
1∴y ≥
1?1?,所以元函数的值域为?++∞?. 2?2?
练习6.1:求函数解答:y =
x +2y =
x +1
1的值域。
≥2,当且仅当x =1时" =" 成立。故函数的值域为y ∈[2, +∞) 。
=x +1+
练习6.2:当x >0时,求函数f (x ) =8x +因为
f (x ) =8x +
44=4x +4x +x 2x 2
4
的最值,并指出f (x ) 取最值时x 的值。 2x
可利用不等式a +b +c ≥abc 即:
f (x ) ≥3?4x ?4x ?得最小值12。
44
4x =所以当且仅当即x =1时取“=”当x =1时f (x ) 取f (x ) ≥12
x 2x 2
3.7函数的单调性法
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,
b
f (x )=ax +(a >0, b >0). 当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性
x 解题.
例7:求函数y =3x +6--x 的值域。
此题可以看作y =u +v 和u =x +6,v =--x 的复合函数,显然函数u =3x +6为单调递增函数,易验证v =--x 亦是单调递增函数,故函数y =3x +6-8-x 也是单调递增函数。而此函数的定义域为[-2, 8]。
当x =-2时,y 取得最小值-。当x =8时,y 取得最大值。 故而原函数的值域为[-, ]。
练习7.1:求函数
解:令则所以
在[2,10]上都是增函数
在[2,10]上是增函数
的值域。
当x=2时,当x=10时,
故所求函数的值域为:3.8判别式法
2x 2-x +2
例8:求函数的值域y =2
x +x +1
解: x 2+x +1>0恒成立,∴函数的定义域为R.
2x 2-x +2
由y =2 得(y -2)x 2+(y +1)x +y -2=0 。
x +x +1
① 当y -2=0即y =2时,3x +0=0, ∴x =0∈R ;
② 当y -2≠0即y ≠2时, x ∈R 时,方程(y -2)x 2+(y +1)x +y -2=0恒有实根.
∴ =(y +1)-4?(y -2)≥0 ∴1≤y ≤5且y ≠2.
2
2
∴原函数的值域为[1,5].
x 2-x
练习8.1:求下列函数的值域:y =2
x -x +1
3.9函数的有界性法
sin x
形如y =,可用y 表示出sin x ,再根据-1
1+sin x 的取值范围.
例9: 求函数y=e x -1,y =2sin θ-1的值域
x
e +1
1+sin θ
3.10数形结合法
如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,如由两点(x 1, y 1)与(x 2, y 2)连线的斜率. 例10:求函数的值域:y =x -+x +4
?-2x -3(x ≤-4)?
解:y =x -1+x +4=?5(-4
?2x +3(x ≥1)?
y 1-y 2
可联想到x 2-x 1
∴y ≥5 ∴函数的值域为:[5, +∞).
课后练习 1. 函数y =x 2+
11
(x ≤-) 的值域是( )
2x
32773
A(-∞, -] B [-,+∞) C [,+∞) D(-∞, -]
2442
2. 函数y =x +-2x 的值域是( )
A (-∞,1]
B (-∞, -1] C R
D [1,+∞)
3. 求函数y =2x -3+-4x 的值域。
由于题中含有-4x 不便于计算,但如果令:t =-4x 注意t ≥0从而得:
13-t 213-t 2
x =∴y =-3+t (t ≥0) 变形得2y =-(t +1) 2+8(t ≥0) 即:y ∈(-∞, 4]
42
注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。 4. 求函数
的值域。
解:∵定义域为 由得
故或 解得
故函数的值域为5. 求函数y =
x 2+2x +2
的值域。
解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出" (x +1)" 项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:
(x +1)(x +b ) +c =x 2+2x +2,
将上面等式的左边展开,有:x 2+(b +1) x +(b +c ) , 故而b +1=2,b +c =2。 解得b =1,c =1。 从而原函数y =
(x +1)(x +1) +1
x +1
; =(x +1) +x +1
ⅰ) 当x >-1时,x +1>0,x ,此时y ≥2,等号成立,当且仅当x =0。 +1>0ⅱ) 当x <-1时,-(x +1)="">0,-1,此时有>0
y =
(x +1)(x +1) +111??
=(x +1) +=-?-(x +1) -≤-2, ?x +1x +1x +1??
等号成立,当且仅当x =-2。
综上,原函数的值域为:y ∈(-∞, -2]?[2, +∞) 。
6. 求函数y =log 1(4x -x 2) 的值域。
2
由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:f (x ) =-x 2+4x (f (x ) ≥0) 配方得:f (x ) =-(x -2) 2+4所以f (x ) ∈(0, 4) 由复合函数的单调性(同增异减)知:y ∈[-2, +∞) 。
当函数f 在(a , b ) 上单调,譬如f 在(a , b ) 上递增时,自然有函数f 在(a , b ) 上的值域为
+
f (x ), f (b -0) =lim f (x ) x →a ,当时,(f (a +0), f (b -0)) (其中f (a +0) =lim +-
x →a
x →b
f (x ) →±∞也称其存在,记为f (a +0) ); 若f 在(a , b ) 上递减,函数f 在(a , b ) 上的值域
为(f (b -0), f (a +0)) 。在闭区间[a , b ]上也有相应的结论。
7. 函数f(x)=错误!未找到引用源。-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 8. 已知函数
y=M , 最小值为m , 则
m
的值为 M
(A)
1 4
(B)
1 2
(C)
2 【标准答案】C 【试题解析】定义域?
?1-x ≥0=,当且仅?-3≤x ≤1?
x +3≥0
当1-x =x +3即x =-1上式取等号,故
最大值为M =最小值为m =2
∴
m =
M 2
9. 求函数
解:令
的值域。
,则
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:
2x 2+4x -7
10. 求函数y =2的值域。
x +2x +3
注:先换元,后用不等式法
由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原函数变形为:x 2y +2xy +3y =2x 2+4x -7整理得:(y -2) x 2+2(y -2) x +3y +7=0当y ≠2时,上式可以看成关于x 的二次方程,该方程的x 范围应该满足f (x ) =x 2+2x +3≠0即
9
x ∈R 此时方程有实根即△≥0,△=[2(y -2)]2-4(y -2)(3y +7) ≥0?y ∈[-, 2].
2
9
注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是y =2, y =-)代回方程检验。
2
99
将y =2, y =-分别代入检验得y =2不符合方程,所以y ∈[-, 2) 。
22
11. 求函数
y =
x +2x +2
2
的值域。
解答:先将此函数化成隐函数的形式得:yx 2+(2y -1) x +2y -1=0,(1)
这是一个关于x 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式?=(2y -1) 2-4y (2y -1) ≥0,
111
解得:-1≤y ≤。故原函数的值域为:y ∈[-, ]。
12. 求函数y =x -+x -3的值域。
分析:此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数。
?-2x +4, x ∈(-∞,1],?y =?2, x ∈(1,3), ?2x -4, x ∈[3,+∞), ?
在对应的区间内,画出此函数的图像,如图1所示,易得出函数的值域为[2, +∞) 。
13. 求函数
的值域。
解:原函数可化简得:
间的距离之和。
上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),由上图可知,当点P 在线段AB 上时,当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,故所求函数的值域为:
14. 已知k ∈R ,求函数y =-x 2+2kx +3在区间[-1, 2]上的最大值。
范文三:函数求值域
函数值域的求法
函数是中学数学的重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛。函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法,举例说如下。 一、直接法(观察法) 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域 例1求函数的值域。 yx=+-323
2yx=+-29练习1:求下列函数的值域:? y=[x](0?x?5) ? 的值域.
二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
x+1 例2:求函数的值域。 y=x+2
910x+练习:求函数的值域. yx=(0)910x-
三、分离常数法(利用多项式的除法)
x+1例3:求函数的值域。 y=x+2
2x,1yx,,(1)的值域。 练习:求函数x,1
第 1 页 共 4 页
四、配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
2yxx,,,,2例4:求函数的值域。
练习:求函数的值域. yxx,,,,25154
五、判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
2223xx,,例5:求函数y,的值域. 2xx,,1
1练习:1.求函数的值域. y,2231xx,,
ax,3[,1,4]y,2.已知函数对定义域内的的值域为求a的取值范围。 2x,1
ax,3,1,y,4y,变式:已知函数对定义域内的任意都有求a的取值范围。 x2x,1
第 2 页 共 4 页
22sin,cosxxx六、中间变量法:若函数只含项或只含项,可借助(有界性)解决。 xx,,0,sin1
2x,4例6:求函数y,的值域。 2x,1
x1,2y,练习:求的值域. x1,2
七、图象法:通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
2例7:求函数 的值域。 yxx,,,,1(2)
八、单调性法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
1例8:求函数的值域。 yxxx,,,,413()3
练习:求函数yx,,,34的值域。
第 3 页 共 4 页
九、换元法:以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,再
求出值域。
例9:求函数的值域。 yxx,,,,321
2练习:求函数的值域 y,log(x,6x,17)1
2
第 4 页 共 4 页
范文四:函数求值域方法
求函数值域----liy
求常见函数值域及其最值方法总结
1 直接法/观察法 有一些代数式的取值很明显,通过通过这些特殊的代数式的取值,可以直接看出整个函数解析式的值域: 例1:求函数y=√(2-3x) 的值域 例2:求函数y=3+√(2-3x) 的值域
例3:求函数y=x2+5 例4:y=︱x-2︱+10
提醒:要注意根号、平方、绝对值内的取值范围,切勿记忆成:“见到根号、平方、绝对值,值域就是≥0”
例5:求函数y=√(16-x 2) 的值域
2 利用常见函数性质求值域 最主要的是掌握基本函数图像的走势, 再根据”函数自变量取值范围”, 结合函数单调性, 求值域 1/一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ,值域为R ;
k
2/反比例函数y =(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};
x
3/二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ,当a>0时,值域为{y |y ≥例1 求下列函数的值域 ①
y=3x+2(-1≤x ≤1) ②
(4ac -b 2) };当a<0时,值域为{(4ac -b="" 2)="">0时,值域为{(4ac>
y |y ≤
4a 4a
12
③ y =x +(记住图像) f (x ) =-1≤x ≤3)
x 3x
二次函数在区间上的值域(最值) :
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ⒈ y =x 2-4x +1; ⒉
注:计算二次函数值域过程:
1/画图------判断函数开口方向, 顶点坐标, 确定”人为定义域”在图像中的位置 2/分析”人为定义域”内, 函数的增减性
练习: 1、求函数
y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ⒊y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]; ⒋y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5];
y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
-x 2+2x
求函数值域----liy
补充:利用函数单调性求复合函数的值域 (提醒学生对复合函数定义的理解)
例 求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 求函数
?1?y = ??3?
的值域 练习:求函数
y =
5
的值域
2x 2-4x +3
3 换元法
要点:(1)函数解析式中含有1个根式, (2)最高次数相同
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解析:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现
换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习:1、求函数y=√x-1 –x 的值域。 2、求函数
y =9x -3x +2(x ∈[0, 1]) 的值域
5 平方开方法
要点:(1)有两个根式相加,(2)跟号内的自变量x 的系数互为相反数
例5 求函数
思考:(1)
y =x -3+5-x 的值域
y =x -3+x -5的值域的求法? (2)y =x +1-x -1
6 绝对值函数值域求法
例7 求
y =x -3-x + 的值域
7 分离常数法
ax +b ?a ?
(c ≠0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为?y y ≠?;如果是条件
cx +d c ??
ad b -a c (ad ≠bc ) ,用复合函数法来求值域。
定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为y =+
c cx +d
x -1x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 练习 1、求函数y = 的值域 2、求函数y =
x +2x +1
已知分式函数
y =
求函数值域----liy
8 双钩函数值域求法
例15 函数
y =x +
1
+1的值域 x
9 综合(求函数值域的逆向思维问题
)
变式:
练习:
1 、
3 、求函数的值域 ① y
求函数值域----liy
y =x 2+
51
y =+9(x ≠0) ; 2 、
2x 2-4x +3x 2
=x +2-x ; ②y =2-4x -x 2
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
5、求函数
y =2x +4的值域
求:
求:
注意:从多个关系中发掘自变量的取值范围
范文五:函数求值域
1.直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数y?
k
(k?0)的定义域为{x|x?0},值域为{y|y?0}; x
二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R,
22
当a>0时,值域为{y|y?(4ac?b)};当a
4a4a
例1.求下列函数的值域
① y=3x+2(-1?x?1) ②f(x)?2?4?x ③y?解:①∵-1?x?1,∴-3?3x?3,
∴-1?3x+2?5,即-1?y?5,∴值域是[-1,5] ②∵4?x?[0,??) ∴f(x)?[2,??x ④y?x?x?1即函数f(x)?2?4?x的值域是 { y| y?③y? ∵
xx?1?11
??1? x?1x?1x?1
1
?0 ∴y?1 x?1
即函数的值域是 { y| y?R且y?1}(此法亦称分离常数法④当x>0,∴y?x?
121
)?2?2, =(x?
xx
当x
121
)?2??2)=-(?x?
?x?x
∴值域是(??,?2]?[2,+?).(此法也称为配方法) 函数y?x?
1
的图像为: x
2.二次函数比区间上的值域(最值):
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①y?x2?4x?1;
②y?x2?4x?1,x?[3,4];③y?x2?4x?1,x?[0,1]; ④y?x2?4x?1,x?[0,5]; 解:∵y?x2?4x?1?(x?2)2?3,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y?-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2?[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2? [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,ymin=-3,ymax=6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0), ⑴若定义域为R时,
2
b(4ac?b); ①当a>0时,则当x??时,其最小值ymin?2a4a
②当a
2
b
时,其最大值ymax?(4ac?b). 2a4a
⑵若定义域为x? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x0?[a,b],则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a
②若x0?[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内,只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0x2?5x?6
例3.求函数y?2的值域
x?x?6
方法一:去分母得 (y?1)x+(y+5)x?6y?6=0 ① 当 y?1时 ∵x?R ∴△=(y+5)+4(y?1)×6(y+1)?0 由此得 (5y+1)?2
2
2
1?515检验 y?? 时 x???2(代入①求根)
56
2?(?)
5
?
∵2 ? 定义域 { x| x?2且 x?3} ∴y?? 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y?1
15
1x2?5x?6
综上所述,函数y?2的值域为 { y| y?1且 y??}
5x?x?6
方法二:把已知函数化为函数y? 由此可得 y?1
(x?2)(x?3)x?36
(x?2) ??1?
(x?2)(x?3)x?3x?3
∵ x=2时 y?? 即 y??
1
515
1x2?5x?6
∴函数y?2的值域为 { y| y?1且 y??5x?x?6
说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4.换元法
例4.求函数y?2x?4?x的值域 解:设 t??x 则 t?0 x=1?t
代入得 y?f (t)?2?(1?t2)?4t??2t2?4t?2??2(t?1)2?4 ∵t?0 ∴y?4 5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
2
??2x?1(x??1)
?
解法1:将函数化为分段函数形式:y??3(?1?x?2),画出它
?2x?1(x?2)?
的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y?3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+?]. 如图
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习:
1 y?x2?
1
?9(x?0); 2x
112
?9?(x?)?11,∴y?11.
xx2
1
?9?2?9?11 x2
解:∵x?0,y?x2?
另外,此题利用基本不等式解更简捷:y?x2?2 y?
5
2x2?4x?3
2
∵2x-4x+3>0恒成立(为什么?), ∴函数的定义域为R,
∴原函数可化为2yx-4yx+3y-5=0,由判别式??0, 即16y-4×2y(3y-5)=-8y+40y?0(y?0), 解得0?y?5,又∵y?0, ∴0
注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域
①y?x?2?x; ②y?2?4x?x2 解:①令u?
2
2
2
2?x?0,则x?2?u2,
2
原式可化为y?2?u?u??(u?)?∵u?0,∴y?
12
2
9, 4
99,∴函数的值域是(-?,]. 44
2
②解:令 t=4x?x?0 得 0?x?4
在此区间内 (4x?x)max=4 ,(4x?x)min =0 ∴函数y?2?4x?x2的值域是{ y| 0?y?2}
小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.
22
x2?x?1作业:求函数y=2值域
x?x?1
解:∵x?x?1?(x?)?
2
12
2
33
??0, 44
∴函数的定义域R,原式可化为y(x2?x?1)?x2?x?1, 整理得(y?1)x2?(y?1)x??y?1?0, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y?1,∵x?R,即有??0, ∴(y?1)2-4(y-1)2?0,解得综上:函数是值域是{y|
1
?y?3且 y?1. 3
1
?y?3}. 3
-1时,-(x>