范文一:多边形的边角与对角线
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多边形的边角与对角线
第十四讲多边形的边角与对角线
边、角、对角线是多边形中最基本的概念,求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题,常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识(
多边形的内角和定理反映出一定的规律性:(n,2)×180?随n的变化而变化;而多边形的外角和定理反映出更本质的规律;360?是一个常数,把内角问题转化为外角问题,以静制动是解多边形有关问题的常用技巧(
将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略,连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法,从凸边形的一个顶点引出的对角线把凸边形分成个多角形,凸n边形一共可引出对角线(
例题求解
【例1】在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为2002?,则这个多边形的边数是(
(江苏省竞赛题)
思路点拨设除去的角为?,y?,多边形的边数为,可建立关于x、y的不定方程;又0?<x<180?,0?<y<180?,又可得到关于的不等式(故有两种解题途径,注意为自然数的隐含条件(
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链接世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程,点是几何学最原始的概念,点生线、线生面、面生体,几何元素的聚合不断产生新的图形,另一方面,不断地分割已有的图形可得到新的几何图形,发现新的几何性质,多边形可分成三角形,三角形可以合成其他
一些几何图形(
【例2】在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是() A(0B(1c(3D(5
(全国初中数学竞赛题)
思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,而外角和却总是不变的,因此,可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨(
【例3】如图,已知在?ABc中,AB,Ac,AD?Bc于D,且AD=Bc=4,若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形,在平面上把这两个三角形拼成一个四边形,你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角),并分别写出所拼四边形的对角线的长(
(乌鲁木齐市中考题)
思路点拨把动手操作与合情想象相结合,解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形( 注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题,简单地说,“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把
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实际问题特化为一个数学问题,再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题(
本例通过设元,把“没有重叠、没有空隙”转译成等式,通过不定方程求解(
【例4】在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案(也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360?)时,就拼成了一个平面图形(
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形,正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由(
(陕西省中考题)
思路点拨本例主要研究两个问题:?如果限用一种正多边形镶嵌,可选哪些正多边形;?选用两种正多边形镶嵌,
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既具有开放性,又具有探索性(假定正n边形满足铺砌要求,那么在它的顶点接合的地方,n个内角的和为360?,这样,将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解( 【例5】如图,五边形ABcDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位,得到新的五边形A'B'c'D'E'( (1)图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、coc'N、DmD'L、EkE'I能拼成一个五边形吗?说明理由(
(2)证明五边形A'B'c'D'E'的周长比五边形ABcD正的周长至少增加25个单位(
(江苏省竞赛题)
思路点拨(1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件:,A'GB';B'Pc';c'ND';D'LE';E'IA'三点分别共线;?1+?2+?3+?4+?5=360?;(2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+c'o+c'N+D'm+D'L+E'k+E'I,用圆的周长逼近估算(
1(如图,用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形,再沿对角线把它分成两个三角形,用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来,其中周长最大的是?,周长最小的是cm(
(选6《荚国中小学数学课程标准》)
2(如图,?1+?2+?3+?4+?5+?6=(
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3(如图,ABcD是凸四边形,AB=2,Bc=4,cD=7,则线段AD的取值范围是(
4(用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:
(1)第4个图案中有白色地面砖块;
(2)第n个图案中有白色地面砖块(
(江西省中考题)
5(凸n边形中有且仅有两个内角为钝角,则n的最大值是()
A(4B(5c(6D(7
(“希望杯”邀请赛试题)
6(一个凸多边形的每一内角都等于140?,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是()
A(9条B(8条c(7条D(6条
7(有一个边长为4m的正六边形客厅,用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满,则需要这种瓷砖()
A(216块B(288块c(384块D(512块
(“希望杯”邀请赛试题)
8(已知?ABc是边长为2的等边三角形,?AcD是一个含有30?角的直角三角形,现将?ABc和?AcD拼成一个凸四边形ABcD(
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(1))画出四边形ABcD;
(2)求出四边形ABcD的对角线BD的长(
(上海市闵行区中考题)
9(如图,四边形ABcD中,AB,Bc,cD,?ABc=90?,?BcD,150?,求?BAD的度数(
(北京市竞赛题)
10(如图,在五边形A1A2A3A4A5中,Bl是A1的对边A3A4的中点,连结A1B1,我们称A1B1是这个五边形的一条中对线,如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分,求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行( (安徽省中考题)
11(如图,凸四边形有个;?A+?B+?c+?D+?E+?F+?G=(
(重庆市竞赛题)
12(如图,延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角,?B1,?B2,?B3,?B4,?B5,它们的和等于;若延长凸n边形(n?5)的各边相交,则得到的n个角的和等于( (“希望杯”邀请赛试题)
13(设有一个边长为1的正三角形,记作A1(图a),将每条边三等分,在中间的线段上向外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(图b),再将每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(图c);再将每条边三等
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分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么,A4的周长是;A4这个多边形的面积是原三角形面积的倍( (全国初中数学联赛题)
14(如图,六边形ABcDEF中,?A=?B=?c=?D=?E=?F,且AB+Bc=11,FA—cD=3,则Bc+Dc=((北京市竞赛题)
15(在一个n边形中,除了一个内角外,其余(n一1)个内角的和为2750?,则这个内角的度数为()
A(130?D(140?c(105?D(120?
16(如图,四边形ABcD中,?BAD=90?,AB=Bc=2,Ac=6,AD=3,则cD的长为()
A(4B(4c(3D(3(江苏省竞赛题)
注按题中的方法'不断地做下去,就会成为下图那样的图形,它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线或科克曲线(瑞典数学家),这类图形称为“分形”,大量的物理、生物与数学现象都导致分形,分形是新兴学科“混沌”的重要分支(
17(如图,设?cGE=α,则?A+?B+?c+?D+?c+?F=() A(360?一αB(270?一αc(180?+αD(2α (山东省竞赛题)
18(平面上有A、B,c、D四点,其中任何三点都不在一直线上,求证:在?ABc、?ABD、?AcD、?BDc中至少有一个三角形的内角不超过45?(
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19(一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果用较小的相同正方形地砖,那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n((上海市竞赛题) 20(如图,凸八边形ABcDEFGH的8个内角都相等,边AB、Bc、cD、DE、EF、FG的长分别为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长(
21(如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图,这是展开后支撑起来放在地面上的情况,如果折叠起来,床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、c、D各点都是活动的),活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的,其折叠过程可由图2的变换反映出来(
如果已知四边形ABcD中,AB=6,cD=15,那么Bc、AD取多长时,才能实现上述的折叠变化?
(淄博市中考题)
22(一个凸n边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成,求此凸n边形各个内角的大小,并画出这样的凸n边形的草图(
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范文二:多边形的对角和对角线
多边形的对角和对角线
知识讲解:
多边形:在平面内,由不在一直线上的一些线段首尾顺次连结而成的图形叫多边形。这里所说的多边形都是凸多边形,即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。反之就称为凹多边形。各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
基本结论(1)任意n边形的内角和等于(n-2)?180o,外角和等于360o。
(2)n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)
个三角形,n边形一共有n(n-3)/2条对角线(n=4,5,6,…)
(3)n边形的n个内角中,最多有3个
重要方法:分割法、补形法
精品讲练:
1、有一个边长为4m的正六边形客厅,用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满,则需要这种瓷砖( ) A、216块 B、288块 C、384块 D、512块
2、一个八边形ABCDEFGH的每个内角都相等,边AB,BC,CD,DE,EF,FG的长分别为7,4,2,5,6,2。求这个八边形的周长。
3、已知△ABC是边长为2的等边三角形,△ACD是一个含有30o角的直角三角形,现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。(1)画出四边形ABCD;(2)求出四边形ABCD的对角线BD的长。
4、如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90o,∠BCD=150o,求∠BAD的度数。
5、如图,在五边形A1A2A3A4A5中,B1是A1的对边A3A4的中点,连结A1B1,我们称A1B1是这个五边形的一条中对线,如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分,求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行。
DA1CBC
A5
D A2BAEA
A4 B1A3
6、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB,垂足为E,AD+AB=2AE,求∠ADC+∠B的度数。
7、画一个正六边形,在正六边形外画一条直线m,从6个顶点分别向直线m引垂线,可以得到k个不同的垂足,那么k的值在3,4,5,6这四个数中不可能取得的数是几?为什么?
1
8、设A,B,C,D为平面上的任意四点,且任何三点都不在同一条直线上,求证:△ABC△ABD,△ACD,△BCD中至少有一个三角形的某个内角不超过45o。
9、已知五边形ABCDE的各边长都相等,O是五边形内一点,过点O作五边形各边的垂线,垂足分明是M,N,P,Q,R(都落在各边的内部),如图。求证:AM+BN+CP+DQ+ER=MB+NC+PD+QE+RA。
CAB
10、已知一个十一边形,由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无空隙拼成,求该十一边形的各内角的度数。
11、已知正五边形ABCDE,O是平面内的一点,△DOE是等边三角形,求∠AOC的度数。
12、如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,DF=FC,CE=2EB。若△ADF的面积为m,四边形AECF的面积为n(n>m),求四边形ABCD的面积。 C FD
E
AB
2
范文三:多边形的边角与对角线(含答案)-
多边形
1.如图,用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形,再沿对角线把它分成两个三角形,用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来,其中周长最大的是 ㎝,周长最小的是 cm.
2.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠.
3.如图,ABCD是凸四边形,AB=2,BC=4,CD=7,则线段AD的取值范围是 .
4.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:
(1)第4个图案中有白色地面砖块;
(2)第n个图案中有白色地面砖块.
5.在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为
2002°,则这个多边形的边数是
6.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠.
7.凸n边形中有且仅有两个内角为钝角,则n的最大值是( )
A.4 B.5 C. 6 D.7.
8.一个凸多边形的每一内角都等于140°,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )
A.9条 B.8条 C.7条 D. 6条
9.有一个边长为4m的正六边形客厅,用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满,则需要这种瓷砖( )
A.216块 B.288块 C.384块 D.512块.
10.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是( )
A.0 B.1 C.3 D.5
11.在一个n边形中,除了一个内角外,其余(n一1)个内角的和为2750°,则这个内角的度数为( )
A.130° D.140° C .105° D.120°
12.如图,设∠CGE=α,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠E+∠F=( )
A.360°一α B.270°一αC.180°+α D.2α.
13.已知△ABC是边长为2的等边三角形,△ACD是一个含有30°角的直角三角形,现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD.
(1))画出四边形ABCD;(2)求出四边形ABCD的对角线BD的长.
14.如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度数.
15.如图,六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11,
FA—CD=3,则.
16.如图,凸八边形ABCDEFGH的8个内角都相等,边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长.
17.如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图,这是展开后支撑起来放在地面上的情况,如果折叠起来,床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、C、D各点都是活动的),活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的,其折叠过程可由图2的变换反映出来.
如果已知四边形ABCD中,AB=6,CD=15,那么BC、AD取多长时,才能实现上述的折叠变化
?
18.如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,且AD=BC=4,若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形,在平面上把这两个三角形拼成一个四边形,你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角),并分别写出所拼四边形的对角线的长.
A
BC
19.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形,正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一
种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.
范文四:专题多边形的角与对角线
初中数学竞赛辅导专题讲座
多边形的角与对角线
1. ⑴n边形的内角和是?n?2??180,外角和是3600(定值)。 0
⑵正n边形的每个内角的度数都是?n?2??1800
n,每个外角的度数都是360
n0。
⑶多边形的内角和一定能被1800整除, 且边数每增加一条,内角和就增加1800.
2. 任意凸多边形的所有内(外)角中最多有3个角是锐(钝)角。
3. 过n边形一个顶点有?n?3?条对角线,这些对角线将三角形分成了?n?2?个三角形,在n边形中共有
n?n?3?
2条对角线。
BAG
F4. 一般地,多边形能镶嵌平面需要满足两个条件:
⑴拼接在同一个点的各个角的和恰好等于3600(周角);
⑵相邻的多边形有公共边。
例1(2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题) CDE
如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ) (A)360° (B) 450°(C) 540° (D) 720°
例2(1988年“辽教杯”上海市初中数学竞赛)一个凸n边形中,除了一个内角外, 其余各内角的和为3290?,
则这个内角的度数是( ) (A)140° (B) 130° (C) 120° (D) 110°
例3(1985年上海市初中数学竞赛)以三角形的三个顶点和它内部的7个点,共10 个点为顶点,能把原三角
形分割成小三角形的个数是( ) (A)11 (B) 15 (C) 19 (D) 不能确定
例4(1988年上海市初三数学竞赛)(“希望杯”邀请赛培训题)若凸4n+2边形A1A2……A4n+2(n为自然数)的每个内
角都是30°的整数倍,且∠A1=∠A2=∠A3=90°,则n的所有可能值是多少?
例5 (1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛)
⑴计算凸九边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.
⑵在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数,在⑴中的三角形中,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形; 若三数之和为偶数,则称为偶三角形.试证明: 奇三角形个数必为偶数.
例6 (第七届日本数学奥林匹克竞赛试题)
把一个多边形沿着几条直线剪开,分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条,内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问:①原来的多边形是几边形?②把原来的多边形分割成了多少个多边形?
分析与解 已知n边形有n个顶点,过一个顶点的所有对角线把n边形分成(n-2)个三角形。因此,知道了一个多边形的边数或顶点数(n),就可以求出它的内角和(n-2)×180°,知道了一个多边形由多少个三角形(m)组成的,就可以求出它的边数或顶点数(m+2)。
设原多边形是由a个三角形组成的,分割后的多边形共由b个三角形组成,a和b都是整数,根据题意有:1.3×a×180°=b×180°,于是有1.3a=b。
由于b是整数,所以1.3a也是整数,a必是10的倍数,于是1.3a是13的倍数,b也是13的倍数。
(一)设a=10,则b=13,进而可知原多边形有12个顶点(12条边),而分割后的多边形有15个顶点
(15条边)。由于连结一个多边形的两顶点时,将一个多边形分成两个多边形后,顶点的数目不变,而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时,顶点数目增多1个,而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时,顶点数目增多2个,而边数比原来增多4条。要增多(15-12=)3个顶点,增多13条边,有两种连线方法。(见下图)
显然原多边形是12边形,两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。
(二)如果a=20,则b=26,原多边形有22个顶点,而分割后的多边形有28个顶点,增多了(28-22=)6个顶点,不论怎样连结都不能使分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多13条边。因此原多边形不是22边形。如果a更大,则分割后增加的顶点个数更多,不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。
A
FCBBEC
DE
A
EHDABIBEG
C
2.(2003年全国初中数学联赛试题第一试)在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是( )A.0 B.1 C.3 D.5 3. (嵊州市2004年初一数学竞赛试题)在凸八边形的所有内角中,钝角至少有( )A.3个B.5 C.7 D.8个 4.(1985年上海市初中数学竞赛)设n为自然数且n?4,又设凸n边形中出现锐角的最多个数为M,出现锐
角的最少个数为m,则M?m的值是( )(A)3 (B) 4 (C) 大于4 的一个自然数 (D) 不能确定 5.(1987年青岛市初中数学竞赛第一试)如果限定凸多边形有且仅有三个内角是钝角,那么这种多边形的边数
最多是n,则n的值是( ) (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
6.(1987年苏州市初中数学竞赛模拟试题)平面上给出四点,其中没有三点在一条直线上,可组成四个三角形,
其中最多有几个锐角三角形( )(A)4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
7. 如果正n边形的一个外角不大于40°,则它的边数n满足 ( )A. n=8 B. n=9 C. n>9 D. n≥9 8.(中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题)
在凸2005边形中,不大于1100的内角最多有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
9. (2002年全国初中数学联赛预赛暨2001年山东省初中数学竞赛试题)
在凸n边形中,小于1080的角最多可以有(B)A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.(全国初中数学竞赛)一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( )A.11 B.12 C.13 D.14
11. (1987年全国部分省市初中数学通讯赛)一个凸n边形,除去一个内角外,其余(n-1)个内角的和是2400°,
则n的值是( ).(A)15 (B)16 (C)17 (D)不能确定
12.(江苏省第十七届初中数学竞赛试题(初三年级))在一个多边形中,除了两个内角外,其内角之和为2002°,
则这个多边形的边数为( )(A)12 (B)12或13 (C)14 (D)14或15
13.(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)n边形的n个内角与某一个外角的总和为1500°,则n = ___。 14.(1987年沈阳市初中数学邀请赛)凸n边形的对角线共有945条,则边数n= 。
15.(江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试)
一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍,则这个多边形是_____边形.
16.已知m边形没有对角线,n边形有nm?n?条对角线,则????2?2005? .
17.(1987年上海市初中数学竞赛)凸七边形的所有对角线把该七边形分割成许多不重叠的小凸多边形,其中边
数最多的小多边形的可能的边数是( ) (A)5 (B) 6 (C) 7 (D) 大于7的自然数
18.用同样大小的正多边形的瓷砖铺地,正好将地面没有重叠,没有空隙地铺满.这样的正多边形有_____
种,分别是______________________.
19.某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成,设这三种多边形的边数分别为x、y、z,那么
1
x?1
y?1
z的值是 .
20.(1987年江苏省初中数学竞赛)以三角形的三个顶点和它内部的九个点(共12个点)为顶点,能把原三角
形分割成小三角形的个数是( ) (A)15 (B) 19 (C) 22 (D) 不能确定 21.(中学数学教学参考2005年第三期 全国初中数学联赛模拟试题)
在由△ABC内的2005个点P1,P2,…,P2005及△ABC的三个顶点A、B、C共2008个点所构成的三角形中,最多有 个三角形,它们恰好将△ABC完全分割成无任何重叠的三角形.
22.(1989年全国初中数学联赛第一试)在三角形内(不在边上)有3个点,连同原三角形的3个顶点,共有6
个点。以这6个点为顶点作出所有不重叠的三角形,如果这六个点中没有三点共线,所作三角形的个数为n0,如果这六个点中有三点共线(但无四点共线),所作三角形的个数为n1,如果这六个点中有四
点共线, 所作三角形的个数为n2,那么( )
(A)n0?n1?n2 (B) n0?n1?n2 (C) n0?n1?n2 (D) n0?n1?n2
23.设凸m边形内有n个点,则由这n个点和多边形顶点可连成 个不重叠的三角形。
24.(1995年安徽省部分地区初中数学竞赛试题)(1988年全国部分省市初中数学通讯赛)
正方形纸片内有100个点,连同正方形顶点共有104个点,在这104个点中任何三点都不共线,现将该正方形纸片全部剪成三角形,这些三角形的每个顶点都在这104 个点中选取,并且这104 个点都是这种三角形的顶点,若沿一条线段剪开算作一刀。试问,为剪成这些三角形共需要剪几刀,一共可剪成多少个三角形。
25.一个多边形截去一个角后,形成的多边形的内角和是25200,则原多边形的边数是 。若截角
时不过多边形的顶点,则原多边形的边数是 。
26.(1987年江苏省初中数学竞赛)
已知ABCDE是正五边形,O是平面上一点,?DOE是等边三角形,则?AOC的度数是 。
27.在一个五边形外,分别以它的边为边做三角形、凸四、五、六、七边形,那么这些所做的多边形的内
角中与原五边形没有邻边的角的和是 度。
28.以正n边形的边为边,在正n边形外作n个正方形,已知这n个正方形的外围2n个顶点恰好构成了一
个正2n边形,那么只有当n= 时,才有可能。
29.如果一个多边形的最小的一个内角是120°,比它稍大的一个内角是125°,以后依次每一个内角比前
一个内角多50,且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8,那么这个多边形的边数为 .
0030.已知凸n边形A1A2?An?n?4?的所有内角都是为15的整数倍,并且有?A1??A2??A3?285,
那么n= 。
31.(1987年天津市初二数学邀请赛)
一个凸n边形的最小内角为95,其它内角依次增加10,则n等于( )(A)6 (B)12 (C)4 (D) 10
32.如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来,恰好依次增加相同的角度数,设最小的角是800,最
大的角是100,则多边形的边数为 。
33. (荆州市2002年初中数学竞赛暨2003年全国初中数学竞赛选拔赛)
一个凸n(n?4)边形的每一个内角都相等,每个外角的度数均为奇数,则这样的凸多边形共有( )
(A)4个 (B)6个 (C)3个 (D) 2个
34.以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中,锐角三角形的个数是 。
35.(1987年全国初中数学联赛)(1987年全国部分省市初中数学通讯赛)
有一个凸11边形,它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1 的正方形无重叠、无间隙拼成的,求此凸11边形各内角的大小,并画出一个这样的凸11边形的草图。 000
范文五:对多边形对角线条数的探究
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对多边形对角线条数的探究
作者:吴桂红
来源:《开心素质教育》2016年第02期
初中数学的几何知识学习中,探索多边形的对角线条数公式的过程是个难点,但它也是初中学生学习数学的重要基础。
北师大版七年级上册第四章第五节多边形和圆的初步认识的教学中,不仅要求学生掌握多边形的对角线概念,还要会求多边形的对角线的条数。笔者在教授这节课时运用了两种方法来探索多边形的对角线条数公式,学生接受的也不错。
在探索多边形的对角线条数公式之前,应该先把对角线的概念讲清楚,否则学生后面探索对角线条数时会很难理解。笔者探索多边形的对角线条数公式用的主要思想是探索规律,因为在学这章之前的第三章最后一节课刚好是学习探索规律,这样的方法他们比较容易接受,也更有利于巩固复习旧知识。
第一种方法:先探索过多边形的每个顶点的对角线条数,再分析出n边形的对角线条数公式。
让学生们合作探究
过多边形的每一个顶点
有几条对角线。
让学生分别作出上面图形经过顶点A的所有对角线,然后数数对角线条数并填入下表。 学生由画图很容易就能得出边数是4、5、6的多边形的对角线条数分别是1、2、3,于是根据表格数据探索规律就能观察出n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线。其实这里还可以问下学生为什么过n边形的每一个顶点有(n-3)条?根据对角线的概念,知道多边形的对角线是不相邻的两个点之间的连线。而n边形的每一个顶点除了该顶点本身和两个相邻的点外共有(n-3)个点不相邻,所以过该顶点有(n-3)条对角线。
由于n边形有n个顶点,根据乘法法则得共有n(n-3)条对角线,可是我们发现每两个不相邻的点连接时会重复一次,于是最后得出n边形的对角线条数公式是n-(n-3)/2。
第二种方法:先探索边数少的多边形的对角线条数,再探索规律得出n边形的对角线条数公式。
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