范文一:正四棱台体积公式
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(浙江师范大学数理与信息科学学院 321004)
对中西古代数学文化的深入研究,特别是这种历史的挖掘,目的还是为了指向现实、着眼于未来。本
文给出的一则基于数学史的教学案例,正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透,在传统与现代之
间架起一座桥梁,从而实现数学教育的现代化。
师:我们已经学过了棱锥,我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正
四棱锥,就得到一个正四棱台(模型演示)。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a,上底面边长为b,高为h,那么它的体积该如何表示呢?今天我们就来研究这个问题。
生1:既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,我就可以通过大正四棱锥
体积减去小正四棱锥体积来求(演算:设小正四棱锥高为
x,则V,V,V大正四棱锥小正四棱锥111122222=??)。我做不下去了。 a(h,x),bx,ah,(a,b)x,3333
师:这位同学的思路非常好,只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边,先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式(与学生一起填写下表)。
b bbh
aaa 11 S,ab ,,S,ah S,a,bh 22
bh ch
b aaa
1 V,abcV,?2Vah , 3
生2:我想1122,,V,,abh,因为梯形面积公式为S,a,bh。 ,,22
1122生3:我觉得应该是V,,abh,因为正四棱锥体积公式中有系数,且当时,,,b,033
11222V,,abhah,即为正四棱锥体积公式。 ,,,33
师:这些公式对不对呢?我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器,上底边长米,下底0.2
1边长,,米,高米,里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为V,0.04,0.090.2,0.013立方0.30.22
1米,由生3的公式得,,V,0.04,0.090.2,0.00867立方米。我们再把沙子倒入底面边长为米的柱0.23
形容器,量一下,高为多少?约为米,体积约为立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 0.3150.0126
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※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”(DHA010276)阶段成果。
1,是因为括号内只有两项。那么,如果正四棱台体积公式系数a、b2
11生4:梯形面积公式中系数是2222取,则括号内应有三项,除了、我想还应有,也即,计算abV,,aabbh,,,ab33112,,。这与我们的实验结果一致。另外,当时,是正V,0.04,0.06,0.090.2,0.0126Vah,b,033
3四棱锥的体积公式;当时,V,a是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。h,b,a
师:大家同意他的观点吗?(同意!)那好,下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法
来推导呢?刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的,那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正
四棱台的体积呢?我们不妨试试看,我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。
11生5:(如图1)=。 ,,S,Sa,bh平行四边形22
abx
bhh
baa
(图1) (图2)
bx生6:(如图2)设小三角形高为x,大三角形高为,因为这两个三角形相似,所以,,x,hax,h
111111bh1bh即。,, 。 S,ax,h,bx,ah,(a,b)x,ah,(a,b)(),(a,b)hx,222222a,b2a,b
111生7:(如图3) 。 S,ah,bh,(a,b)h222
b
=+hhh
aab
(图3)
11生8:(如图4)S,(a,b)h,bh,(a,b)h。 22
b
bhh=h+h
aa-bbab
(图 4) (图5)
师:有没有其他方法?还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的?
1生9:(如图5)=(a,b)h。 S,S三角形2
师:接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法,第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了,请再用生9的方法推导。(学生独立思考、互相讨论来解决问题,教师适当介入,给予提示指导。当第四小组完成其推导后,教师
再给他们一道思考题:有这样一个四棱台,它的两个底面是长方形。上底面边长分别为,下底面边a、b长分别为,高,求其体积。) c、dh
bh1112222 ,ah,a,b,ah,()()a,b333第一组(生10):我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。 1122。 (a,b)bh,(a,ab,b)h第二组(生1):刚才我做不下去,现在我会了。(继续 33
第三组(生11):我们将正四棱台分成五个棱锥A、B、C、D、E:(如图6) CCCCDDCAABBC'AD'AA'AB'
D' (A) (B) (C) (D) (E)
(图6) C'D'1122其中,。对于锥体C(如图7),我们取AC中点O,VVVahVVVbh,,2,,,2,D'ABADEDD'33
1连结B`O、D`O,容易看出AC? 面B`OD`。取B`D`中点O`,连结OO`,则OO`?B`D`。所以,VS,三角C3
11111B'形B`OD`V,V,V,V,V,VB`D`hAC=。由此得 2ah2b,abhAC,ABCDEB'33232
B'122A'B'。 ,(a,ab,b)h3
COACABD'FDEO'GB'IH
(图7) (图8)
第四小组(生12):我们将正四棱台切割成九部分(如图8):(1)一个长方体E,其底面是边长为的b
2正方形,高为,体积为bh.(2)四个棱锥A、C、G、I,可以拼成一个大的四棱锥J,起底面是边长为(a,b)h
12的正方形,高为,体积为(a,b)h。(3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别h3
1(a,b)为V,V,V,V,V、 、的长方体K和L,体积均为。所以,(如图9) b(a,b)hbhEJKL22
112222,bh,(a,b)h,b(a,b)h,整理得 V,(a,ab,b)h。 33
(E) (J) (K) (L)
(图9)
生13:同样方法可以求出思考题中四棱台体积
111V,abh,(d,b)(c,a)h,(c,a)bh,(d,b)ah 322
1 ,h(6ab,2dc,2bc,2da,2ba,3bc,3ba,3da,3ba)6
11。 ,h(2dc,bc,da,2ba),h,,(2b,d)a,(2d,b)c66
hh12222当时,。 V,,,(2a,c)a,(2c,a)c,(2a,ac,2c,ac),(a,ac,c)ha,b、d,c663
生14:利用类似生9的方法来推导比较繁杂,我用图示的方法来说明。为了使大家看得清楚,我把它
先分成四等分,且选择其中一块(如图10)。把这一块分成三部分,这三部分又可以拼成一个不规则图形,
这个图形的体积可以通过补形法求得。
(图10)
1,11,11,ababhabh,,222,4(),(),()Vh,,3232223222,,
a,b1a,b1,,2222,(),()h,(a,ab,b)h。 ,,2323,,
上面几位同学向大家展示了他们的研究成果,非常出色。同学们可能不知道,这个公式在距今四千年
前就已经被古埃及人所掌握。成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正
四棱台体积的问题。数学史家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”,在他看来,这个问题中涉及的
归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟的多。
那么古埃及人是如何得到这一公式的呢?我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了。第三组同学
展示的推导方法简洁优美,并且公式与图形联系紧密,我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的。
在我国古代,《九章算术》给出了刍童(即两底是长方形的正四棱台)的体积公式
hV,,,(2b,d)a,(2d,b)c。同学们一定注意到了生13给出的思考题的解法。我国古人就是利用这种6
分割方法得到刍童体积公式的。
122古代巴比伦人曾使用过错误公式V,,abh——注意这个错误我们也犯了,——后来的古巴比,,2
a,b1a,b,,22伦泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则V,(),()h。大家也一定注意到了,生,,232,,14的推导中也出现了这种形式。为什么古巴比伦人没有把它写成古埃及人的形式呢?虽然它可以转化成那
种形式。也许,古巴比伦人用的是不同于古埃及人的方法,可能利用的就是生14的方法。
a,b1a,b,,22生15:老师,我打断一下,你说V,(),()h是古巴比伦人的公式,并且可能是利 ,,232,,
用生14的方法。我刚才在用类似生12的方法对棱台作进一步分割,推导过程中也出现这个形式。当时我
觉得这样很繁没有提出来,现在我想给大家演示一下,也许古巴比伦人是利用我这种方法推导的。我也象
生14选用其中四分之一块来用图说明(如图11)。把这一块切割成13块,再拼成一个长方体,还剩两个
小锥体。
a,b1a,bha,b1a,b,,,,2222(图11) V,4()h,2(),(),()h。 ,,,,4342232,,,,2
新教材(人民教育出版社《数学》(实验修订本))已经取消了台体及其体积公式这一内容。但是这块
内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值。所以,可以把它用来作为课外活动、兴趣
小组以及研究性学习的课题,让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学。我们也可以预见若干年以后高
考中会出现这样一道题目:先阅读一段关于正四棱台的定义、正四棱锥的体积公式以及推导梯形面积公式
的几种方法的材料,再让学生写出正四棱台的体积公式以及推导这一公式的几种方法。2002年全国高考卷
文科最后一题就传递了这样一种信息:关注平面图形与空间图形的转化和类比。
关于台体体积的教学,如果单是为了让学生记住公式,并利用公式计算,确实不难。只要将公式及某
种推导方法直接告诉学生,然后证明,再通过大量练习进行巩固。这样也能达到一定的教学效果。可是,
如果真是这样机械处理的话,那就大大忽略了让学生发现结果和探索问题的思维过程,失去了训练思维的
绝好机会。上述案例的可贵之处在于通过对数学史材料的深入挖掘以及对学生认知水平的合理定位,把火
热的思维过程展现在了课堂中。在这个过程中,可以说学生重演了人类对这一公式的认识历程,经历数学
真理发现与发展的过程,体验经过艰辛摸索后成功的愉悦,这对他们今后学习数学、学好数学都是十分有
益的。
以往教学只介绍一种推导方法(如第二组展示的),这样思考问题显得思路狭隘,限制了学生从多角
度思考。这则案例的处理则走向开放化,让学生从多角度思考问题,用多种方法来解决问题。通过观察、
类比、实验、猜想,培养了学生的数学思维能力,同时也调动了学生学习数学的积极性。
这个案例还有个突出的特点,那就是引入了数学实验。传统的数学教学常以严密的逻辑推理来论证因
而排斥实验,因而数学课堂中基本上看不到实验的影子。然而,许多数学发现实际上都源于实验,同时实
验也可以用来检验猜想。在数学教学中适当引入实验,对学生体验思维过程及数学思想都十分有利。在这
里,通过猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的猜想——证明,学生完成一个完整的知识建
构过程。
更进一步,这则教学案例不仅介绍了公式的最早记载,同时在教学过程中还隐含了对不同文化背景下
的数学的比较。虽然没有事先说明,但学生重演了古埃及人、中国古人以及古巴比伦人对这一问题的处理
过程。通过对这些方法的探索和比较,学生能欣赏到数学的美以及整个人类的智慧。多元文化背景下的数
学教育让学生欣赏各种数学,而不管它是否属于自己的传统文化。包含各种文化根源的数学可以让学生形
成丰富的体验,明白其他文化对数学发展所做的伟大贡献。这种教育的意义已经超出了数学课程的目标,
但这确实是数学可以给予的。
1 张维忠.数学 文化与数学课程.上海教育出版社,1999年. 2(美)莫里斯?克莱因.古今数学思想.上海科学技术出版社,2002年.
3 David Nelson,George Gbevergbese Joseph,and Julian Williams.Multicultural Mathematics.Oxford
University Press,1993.
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范文二:[精品]正四棱台体积公式
※一则基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式
朱哲 张维忠,浙江师范大学数理与信息科学学院 321004,
对中西古代数学文化的深入研究,特别是这种历史的挖掘,目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例,正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透,在传统与现代之间架起一座桥梁,从而实现数学教育的现代化。
1 教学案例,正四棱台体积公式
1.1提出问题
师:我们已经学过了棱锥,我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥,就得到一个正四棱台(模型演示)。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a,上底面边长为b,高为h,那么它的体积该如何表示呢,今天我们就来研究这个问题。
生1:既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,我就可以通过大正四棱锥
V,V,V体积减去小正四棱锥体积来求(演算:设小正四棱锥高为,则x大正四棱锥小正四棱锥111122222=a(h,x),bx,ah,(a,b)x,??)。我做不下去了。 3333
1.2类比、猜想、实验
师:这位同学的思路非常好,只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边,先来猜想一下
正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式(与学生一起填写下表)。
b
bbh
aa a
11S,ab ,,S,ahS,a,bh 22
b
hhc ba aa
1V,abcV,? 2V,ah 3
1122,,,,V,,abhS,a,bh生2:我想,因为梯形面积公式为。 22
1122b,0,,V,,abh生3:我觉得应该是,因为正四棱锥体积公式中有系数,且当时,33
11222,,V,,abhah,,即为正四棱锥体积公式。 33
0.2师:这些公式对不对呢,我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器,上底边长米,下底
10.30.2,,V,0.04,0.090.2,0.013边长米,高米,里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为立方2
10.2,,V,0.04,0.090.2,0.00867米,由生3的公式得立方米。我们再把沙子倒入底面边长为米的柱3
0.3150.0126形容器,量一下,高为多少,约为米,体积约为立方米。看来上面两个公式都不是很准确。
———————
※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”(DHA010276)阶段成果。
1a、b生4:梯形面积公式中系数是,是因为括号内只有两项。那么,如果正四棱台体积公式系数2
112222ab取,则括号内应有三项,除了、我想还应有,也即,计算,,,,,Vaabbhab33
112b,0,,。这与我们的实验结果一致。另外,当时,是正,V,0.04,0.06,0.090.2,0.0126Vah33
3h,b,a四棱锥的体积公式;当时,是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。V,a
1.3推导公式
师:大家同意他的观点吗,(同意~)那好,下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢,刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的,那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢,我们不妨试试看,我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。
11,,生5S,Sa,bh:(如图1)=。 平行四边形22
abx
bhh
baa
(图1) (图2)
bxx,h,生6:(如图2)设小三角形高为,大三角形高为,因为这两个三角形相似,所以,xax,h
bh11bh11111x,,,S,ax,h,bx,ah,(a,b)x,ah,(a,b)(),(a,b)h即。 。a,b222222a,b2
111S,ah,bh,(a,b)h生7:(如图3) 。 222
b
=+hhh
aab
(图3)
11S,(a,b)h,bh,(a,b)h生8:(如图4)。 22
b
bhh=h+h
a-babab
(图 4) (图5)
师:有没有其他方法,还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的,
1S,S(a,b)h生9:(如图5)=。 三角形2
师:接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法,第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了,请再用生9的方法推导。(学生独立思考、互相讨论来解决问题,教师适当介入,给予提示指导。当第四小组完成其推导后,教师
a、b再给他们一道思考题:有这样一个四棱台,它的两个底面是长方形。上底面边长分别为,下底面边
c、dh长分别为,高,求其体积。)
1.4展示成果
第一组(生10):我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。
111bh2222()()第二组(生1):刚才我做不下去,现在我会了。(继续 ,ah,a,b,ah,333a,b
1122。 (a,b)bh,(a,ab,b)h33
第三组(生11):我们将正四棱台分成五个棱锥A、B、C、D、E:(如图6) CCCCDDCAABBAC'D'A
AA'
B'
D' (A) (B) (C) (D) (E)
C'D'(图6)
D'D'1122,,2,,,2,VVVahVVVbh其中,。对于锥体C(如图7),我们取AC中点O,ABADED33
1VS,连结B`O、D`O,容易看出AC? 面B`OD`。取B`D`中点O`,连结OO`,则OO`?B`D`。所以,三角C3B'B'11111AC,2ah2b,abhB`D`hAC=。由此得V,V,V,V,V,V形B`OD`ABCDE32323B'A'B'
122,(a,ab,b)h。 3
COACAB
D'FDEO'IGHB'
(图7) (图8)
b第四小组(生12):我们将正四棱台切割成九部分(如图8):(1)一个长方体E,其底面是边长为的
2hbh正方形,高为,体积为.(2)四个棱锥A、C、G、I,可以拼成一个大的四棱锥J,起底面是边长为(a,b)
12h(a,b)h的正方形,高为,体积为。(3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别3
1(a,b)bhb(a,b)hV,V,V,V,V为、 、的长方体K和L,体积均为。所以,(如图9)EJKL22
112222,bh,(a,b)h,b(a,b)hV,(a,ab,b)h,整理得 。 33
(E) (J) (K) (L)
(图9)
生13:同样方法可以求出思考题中四棱台体积
111 V,abh,(d,b)(c,a)h,(c,a)bh,(d,b)ah322
1 ,h(6ab,2dc,2bc,2da,2ba,3bc,3ba,3da,3ba)6
11,,,h(2dc,bc,da,2ba),h(2b,d)a,(2d,b)c。 66
hh12222a,b、d,c,,当时,V,(2a,c)a,(2c,a)c,(2a,ac,2c,ac),(a,ac,c)h。663
生14:利用类似生9的方法来推导比较繁杂,我用图示的方法来说明。为了使大家看得清楚,我把它先分成四等分,且选择其中一块(如图10)。把这一块分成三部分,这三部分又可以拼成一个不规则图形,这个图形的体积可以通过补形法求得。
(图10)
1,11,11,ababhabh,,222,4(),(),()Vh,,3232223222,,
a,b1a,b1,,2222。 ,(),()h,(a,ab,b)h,,2323,,
1.5教师总结
上面几位同学向大家展示了他们的研究成果,非常出色。同学们可能不知道,这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握。成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正四棱台体积的问题。数学史家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”,在他看来,这个问题中涉及的归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟的多。
那么古埃及人是如何得到这一公式的呢,我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了。第三组同学展示的推导方法简洁优美,并且公式与图形联系紧密,我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的。
在我国古代,《九章算术》给出了刍童(即两底是长方形的正四棱台)的体积公式
h。同学们一定注意到了生13给出的思考题的解法。我国古人就是利用这种,,V,(2b,d)a,(2d,b)c6
分割方法得到刍童体积公式的。
122古代巴比伦人曾使用过错误公式,,——注意这个错误我们也犯了,——后来的古巴比,,Vabh2
a,b1a,b,,22伦泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则。大家也一定注意到了,生V,(),()h,,232,,
14的推导中也出现了这种形式。为什么古巴比伦人没有把它写成古埃及人的形式呢,虽然它可以转化成那种形式。也许,古巴比伦人用的是不同于古埃及人的方法,可能利用的就是生14的方法。
a,b1a,b,,22生15:老师,我打断一下,你说是古巴比伦人的公式,并且可能是利V,(),()h,,232,,
用生14的方法。我刚才在用类似生12的方法对棱台作进一步分割,推导过程中也出现这个形式。当时我觉得这样很繁没有提出来,现在我想给大家演示一下,也许古巴比伦人是利用我这种方法推导的。我也象生14选用其中四分之一块来用图说明(如图11)。把这一块切割成13块,再拼成一个长方体,还剩两个小锥体。
(图11)
a,b1a,bha,b1a,b,,,,2222。 V,4()h,2(),(),()h,,,,4342232,,,,
2 案例简析
新教材(人民教育出版社《数学》(实验修订本))已经取消了台体及其体积公式这一内容。但是这块内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值。所以,可以把它用来作为课外活动、兴趣小组以及研究性学习的课题,让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学。我们也可以预见若干年以后高考中会出现这样一道题目:先阅读一段关于正四棱台的定义、正四棱锥的体积公式以及推导梯形面积公式的几种方法的材料,再让学生写出正四棱台的体积公式以及推导这一公式的几种方法。2002年全国高考卷文科最后一题就传递了这样一种信息:关注平面图形与空间图形的转化和类比。
关于台体体积的教学,如果单是为了让学生记住公式,并利用公式计算,确实不难。只要将公式及某种推导方法直接告诉学生,然后证明,再通过大量练习进行巩固。这样也能达到一定的教学效果。可是,如果真是这样机械处理的话,那就大大忽略了让学生发现结果和探索问题的思维过程,失去了训练思维的绝好机会。上述案例的可贵之处在于通过对数学史材料的深入挖掘以及对学生认知水平的合理定位,把火热的思维过程展现在了课堂中。在这个过程中,可以说学生重演了人类对这一公式的认识历程,经历数学真理发现与发展的过程,体验经过艰辛摸索后成功的愉悦,这对他们今后学习数学、学好数学都是十分有益的。
以往教学只介绍一种推导方法(如第二组展示的),这样思考问题显得思路狭隘,限制了学生从多角度思考。这则案例的处理则走向开放化,让学生从多角度思考问题,用多种方法来解决问题。通过观察、
类比、实验、猜想,培养了学生的数学思维能力,同时也调动了学生学习数学的积极性。
这个案例还有个突出的特点,那就是引入了数学实验。传统的数学教学常以严密的逻辑推理来论证因而排斥实验,因而数学课堂中基本上看不到实验的影子。然而,许多数学发现实际上都源于实验,同时实验也可以用来检验猜想。在数学教学中适当引入实验,对学生体验思维过程及数学思想都十分有利。在这里,通过猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的猜想——证明,学生完成一个完整的知识建构过程。
更进一步,这则教学案例不仅介绍了公式的最早记载,同时在教学过程中还隐含了对不同文化背景下的数学的比较。虽然没有事先说明,但学生重演了古埃及人、中国古人以及古巴比伦人对这一问题的处理过程。通过对这些方法的探索和比较,学生能欣赏到数学的美以及整个人类的智慧。多元文化背景下的数学教育让学生欣赏各种数学,而不管它是否属于自己的传统文化。包含各种文化根源的数学可以让学生形成丰富的体验,明白其他文化对数学发展所做的伟大贡献。这种教育的意义已经超出了数学课程的目标,但这确实是数学可以给予的。
参考文献:
1 张维忠.数学 文化与数学课程.上海教育出版社,1999年.
2(美)莫里斯?克莱因.古今数学思想.上海科学技术出版社,2002年.
范文三:几何画板课件:如何绘制正四棱台
几何画板课件:如何绘制正四棱台
棱台是立体几何学习中比较重要的一部分,立体几何借助几何画板工具将变得更加轻而易举,因此几何画板是几何老师必须掌握的一个技能。下面以正四棱台为例,介绍用几何画板绘制正四棱台的方法。
几何画板绘制正四棱台具体的操作步骤如下:
1.新建一个几何画板文件。绘制线段AB和BC。依次选中点B、C,选择“变换”—“标记向量”命令。
2.选中线段AB,选择“变换”—“平移”命令,将线段AB按照标记向量平移。将生成的点A’更改D。
3.绘制出平行四边形ABCD以及对角线AC和BD,线段AC、BD的交点设置为O。如下图所示。
4.任意绘制一条线段DE。依次选中点D、E设置为“标记向量”。将点O按照标记向量的方向平移,得到点O’。
5.绘制线段AO’、BO’、CO’、DO’、OO’。将线段OO’、DO’、AD、CD、AC、BD设置为虚线。如下图所示。
6.在线段DE上任取一点F,依次选中点E、D、F,选择“变换”—“标记比”命令。双击点O’,将点O’作为中心。分别选中点A、B、C、D,选择“变换”—“缩放”命令,得到点A’、B’、C’、D’。绘制线段A’B’、B’C’、C’D’、D’A’。如下图所示。
7.隐藏多余对象。选中线段AO’、BO’、CO’、DO’、OO’、DE和点O’、E,选择“显示”—“隐藏对象”命令。绘制线段AA’、 BB’、CC’、DD’。将DD’设置为虚线。这样正四棱台就绘制完成了,当我们调节点F的位置时,可以观察到四棱台也在发生变化。如下图所示。
以上内容向大家介绍了几何画板绘制正四棱台的方法,步骤很详细,大家可以照着步骤多练习,在绘制过程中主要运用了几何画板缩放功能。如需了解更多几何画板教程,可参考图片上的水印内容。
范文四:正四棱台体积公式的再探索和教学尝试
正四棱台体积公式的再探索和教学尝试 第4期江一峰:正四棱台体积公式的再探索和教学尝试?7?
正四棱台体积公式的再探索和教学尝试
?江一峰(浙江师范大学数理与信息工程学院2007级教育硕士浙江金华321004) 《中学数学教学参考>>2004年第3期和《中学教研(数学)))2005年第6期上分别刊登了有关正四棱台
体积公式推导的文章,笔者读后感受颇深.学生身上所蕴涵的自主探索及创新能力确实很强,有时完全出
乎教师的意料之外.笔者依样画葫芦把此问题抛给了笔者所任教学校理科实验班的学生,他们的创造能力
也同样令人震撼.在活动中,除文献[1],[2]中介绍的几种方法外,他们还提出了另外一些新颖的方法.笔
者将这些方法加以整理,并提出对这一探索和教学尝试活动的几点思考. 1教科书中的方法
人教版必修2教师教学用书里介绍了棱台的体积公式,其推导方法是这样的:如图 1,正四棱台可以看成是由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,这样就可以
通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求得正四棱台的体积公式. 具体做法如下:设正四棱台的下底边长为.,上底边长为b,高为h,小正四棱锥的高 为,则大正四棱锥的高为+h.由相似三角形性质可得,=,即=,于是
0+凡口一D
=正四棱锥一V,j,正四棱锥:12(+)一寺6=寺a2h+T1(0一b2)=图I 口
.+1(a2_
6)()=了1口2十(口+b)bh=1(口2+.6+6)^.
这一推导方法是学生比较容易想到的常规方法,涉及的知识比较基础,所用到的思想方法也比较简
单,但在运算上比较繁杂,部分学生会因此放弃而导致探索的失败. 2学生的方法
方法1设圆台的2个底面面积分别是.s和|s,高是,则圆台的 1
体积公式为=?[S+,//sS+S,].因为圆台和正四棱台都有2个平') 行的面即底面.根据祖呕原理,夹在2个平行平面间的2个几何体被平 行于这2个平面的任何平面所截,如果截得的2个截面的面积相等,那 么这2个几何体的体积相等.如图2,设正四棱台上底边长为b,下底边 b
图2
长为n,高为,圆台的上底面半径为,下底面的半径为,高为,则正四棱台的体积等于圆台的体积,
q
由圆台的体积公式可得
=+
厢.厢+订(12埘
此体积推导的方法比较方便,运算上也不是特别繁杂, 但该方法的推导前提是学生必须熟知圆台的体积公式,知道 并能应用祖瞩原理.
方法2如果正四棱台的高等于正四棱台下底边长与
上底边长差的一半,则该6个全等的正四棱台组合起来恰能 围成如图3所示的中空立方体,由此易知此中空立方体体积 就是6个全等正四棱台体积和:6V=a.一b,即图4
?
8?中学教研(数学)
:
吉(口3—6.)=了1(口2+.6+6)?丁a-b=了1(.2+.6+6)?. 此方法很巧妙,需要用到学生的形象思维和空间想象能力.但局限性也很明显,只有当正四棱台的高
等于下底面边长与上底面边长的差的一半时才适用..
接下来,学生自然会思考对一般的正四棱台是否有类似的结论.有学生进行了大胆尝试,发现组合体
不易把握.他作如下处理:在如图4所示的几何体中,上下是
2个全等的正四棱台组合,前后左右也是4个全等的四棱
台,但由于这4个棱台不是正四棱台,所以体积不容易求出, 该学生最终无法解出答案,但在心智上得到了锤炼.
方法3如果2个全等的正四棱台的上底面完全贴在
一
起,然后连接两底面的对应顶点,得到的是一个柱体(如
图5).该柱体体积可以分割成2个部分来求:一部分是上下
图5图6
2个全等的正四棱台:另一个部分是4个全等的几何体(如图6).设正四棱台体积为V,图6中几何体体积
为,则
=2×?××2h×+丢(口一6)=?(.一6)+丢肋(n一6),
因此口2?2h=2V+4×【?(口.6).+lhb(.一6)],
即Y---a27l一(口一—hb(口一6)=?(口2+口6).
此方法具有一般性,在几何体的分割上有一定的难度,对学生的空间想象能 力和计算能力有较高的要求.另外,这一方法在本质上与文献[1]中介绍的中国 古人的方法是相同的.
方法4设正四棱台上底长为b,下底长为a,高为h,现把该正四棱台按如图 7所示分割成n份薄片,则每一份薄片可以近似地看成长方体,每个长方体的底 L
面是正方形,其高就是'_.
b
图7
根据比例关系,每一份薄片的边长为(.一6)+b(k=o,1,2,…,n—1),则该正四棱柱的体积近似
地等于这些小长方体的体积和,即
V--a2.h +【(n一6)+6】.+n-2(.一6)+6】?ih+…+【(.一6)+6】?=
口z.鱼+2
{[(n一1)口+6]+[(凡一2).+26].+…+[(—k)a+肋]+…+[口+(n一1)hi}?=nnn
?
2
?+[(n一1)+(n一2)+…+1].?+.[(凡一1)?1+(凡一2).2+.""'n-1)]+
1
?
印+2+..?+(n-1)]?鱼 n
=
口z
.+.
巫a2.+6??鱼
n
+
n
?
巫
o
?=
,l'On.O. On.
鱼
n
+
n
?
鱼
n
+on-=
j
第4期徐泽绕:由书本阅读材料和课后习题引起的思考?9?
??!..+.0b.h+掣.6z.h:6旷371,6n一
(?+1+)n2?+(一).6?+(?一1+)6?.
当n趋向于无穷大时,=?(口+ab+b)h.
此思想方法涉及无穷分割求和和初步微积分思想,还要通过繁杂的运算去求极限,要求比较高.
3结束语
教科书外的内容一般不在课堂上作补充材料进行讲解,但是有些精彩的内容可以在数学兴趣活动中
加以介绍,通过学生的独立思考,自主探索,动手实践,合作交流等学习方式开展,提高学生学习数学的兴
趣和信心.在教学中,虽然不提倡学生钻怪题,偏题,但也不能扼杀学生的数学思维.尽管教科书和考试对
棱台的体积公式推导不作要求,但让学生课余自主探索,将有助于学生的思维展开,让学生不断增强学数
学,做数学,用数学的意识,让他们一步一个脚印地走向数学研究的殿堂在课堂教学中对课本知识进行适
当拓宽也是必需的,这对加强数学学科的系统性,减低学生认知难度等诸方面会带来明显的效果.
[2]
参考文献
朱哲,张维忠.一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式[J].中学数学教学参考,2004(3):8—
11.
楼文通.学生的想法出乎我的意料——《正四棱台体积公式》教学尝试及所得[J].
中学教研(数
学),2005(6):4244.
由书本阅读材料和课后习题引起的思考 ?徐泽绕(北仑区柴桥中学浙江宁波315809) 笔者在执教人教A版选修2-3的排列组合内 容时遇到以下2个问题.
问题1利用分类加法计数原理证明组合数 性质c7+.=c7+C,.
问题2构造一个实际背景,对等式Ckm一-k= cc的意义作出解释.
分析对于问题1可以理解为:设班级里有 n+1个人,现在选取m个人组成代表队参加校运 会,有c:+.种选法.也可以分为体育委员参加与不 参加这2类.若体育委员参加,则有c种选法; 若体育委员不参加,则有c:种选法.因此等式成 立.对于问题2,同样可以采用以上背景,理解为: 设班级里有几个人,现在选取m个人组成代表队 参加校运会,在这m个人中再确定.]}个人为种子 选手,有C,n乙k种选法.也可以理解为先确定种子 选手后个人,有c:种选法;再从剩下的凡一后个人 中选m一个,有Cm一-k种选法,因此总数为ck['~m-:k
故等式成立.
其实,这2个问题都是通过构造实际背景来证 明组合等式的,课本中安排这2个问题体现了"发 展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴 涵的一些数学模式进行思考和作出判断"的新课 程目标,因此有必要对其进行拓展性思考. 思考1c+=c0mC:+cc:一+c2乙k一…+ Ck0.
分析可以构造这样的背景:班级里有171,个 男生和个女生,现在选取个人(m?,n?)参 加校运会,共有c+种取法.若按照男生人数进行 分类,如果男生取2个,应有c:种取法,那么女生
范文五:一节基于数学史的教学课例:正四棱台的体积公式
作者:朱哲张维忠
中学数学教学参考 2004年07期
对中西古代数学文化的深入研究,特别是这种历史的挖掘,目的还是为了指向现实、着眼于未来.本文给出的一节基于数学史的教学课例,正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透,在传统与现代之间架起一座桥梁,从而实现数学教育的现代化.
一、课例:正四棱台的体积公式
1.提出问题
教师:我们已经学过了棱锥,我手上拿着的是一个正四棱锥的模型.如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥,就得到一个正四棱台(模型演示).假如这个正四棱台下底面正方形边长为a,上底面边长为b,高为h,那么它的体积该如何表示呢?今天我们就来研究这个问题.
学生1:既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求(演算:设小正四棱锥高为x,
去了.
2.类比、猜想、实验
教师:这位同学的思路非常好,只是暂时遇到了困难.我们把这一问题放一边,先来猜想一下正四棱台体积的公式.大家回忆一下一些图形的面积和体积公式(与学生一起填写图表1).
学生2:我想V=(1/2)(a[2]+b[2])h,因为梯形面积公式为S=(1/2)(a+b)h.
学生3:我觉得应该是V=(1/3)(a[2]+b[2])h,因为正四棱锥体积公式中有系数1/3,且当b=0时,V=(1/3)·(a[2]+b[2])h=(1/3)a[2]h,即为正四棱锥体积公式.
教师:这些公式对不对呢?我们来做个实验.我这里有个空心的正四棱台容器,上底边长为0.2米,下底边长0.3米,高0.2米,里面装满沙子.由学生2的公式得沙子体积为V=(1/2)(0.04+0.09)·0.2=0.013立方米,由学生3的公式得V=(1/3)(0.04+0.09)·0.2≈0.00867立方米.我们再把沙子倒入底面边长为0.2米的柱形容器,量一下,高为多少?约为0.315米,体积约为0.0126立方米.看来上面两个公式都不是很准确.
学生4:梯形面积公式中系数是1/2,是因为括号内只有a、b两项.那么,如果正四棱台体积公式系数取1/3,则括号内应有三项,除了a[2]、b[2]我想还应有ab,也即V=(1/3)(a[2]+ab+b[2])h,计算V=(1/3)(0.04+0.06+0.09)0.2≈0.0126.这与我们的实验结果一致.另外,当b=0时,V=(1/3)a[2]h是正四棱锥的体积公式;当h=b=a时,V=a[3]是正方体的体积公式.我想这个公式应该是正确的.
3.推导公式
教师:大家同意他的观点吗?(同意!)那好,下面我们就来证明或者说是推导这个公式.用什么方法来推导呢?刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的,那我们能不能用类似梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢?我们不妨试试看,我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法.
学生5:如图1,S=(1/2)S[,平行四边形]=(1/2)(a+b)h.
学生6:如图2,设小三角形高为x,大三角形高为x+h,因为这两个三角形相似,所以
学生8:如图4,S=(1/2)(a-b)h+bh=(1/2)(a+b)h
教师:有没有其他方法?还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的?
学生9:如图5,S=S[,三角形]=(1/2)(a+b)h.
教师:接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式.第一组用学生5的方法,第二、三、四组同学分别用学生6、7、8的方法.如果你觉得这种方法做不出或者做出来了,请再用学生9的方法推导(学生独立思考、互相讨论来解决问题,教师适当介入,给予提示指导.当第四小组完成其推导后,教师再给他们一道思考题:有这样一个四棱台,它的两个底面是长方形.上底面边长分别为a、b,下底面边长分别为c、d,高为h,求其体积).
4.展示成果
第一组(学生10):我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式.
第二组(学生1):刚才我做不下去,现在我会了(继续
第三组(学生11):我们将正四棱台分成五个棱锥(A)、(B)、(C)、(D)、(E)(图6):
第四小组(学生12):我们将正四棱台切割成九部分(图8):(1)一个长方体E,其底面是边长为b的正方形,高为h,体积为b[2]h;(2)四个棱锥A、C、G、I,可以拼成一个大的四棱锥J,其底面是边长为(a-b)的正方形,高为h,体积为(1/3)(a-b)[2]h;(3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别为b、(a-b)/2、h的长方体K和L,体积均为
学生13:同样方法可以求出思考题中四
学生14:利用类似学生9的方法来推导比较繁杂,我用图示的方法来说明.为了使大家看得清楚,我把它先分成四等分,且选择其中一块(图10).把这一块分成三部分,这三部分又可以拼成一个不规则图形,这个图形的体积可以通过补形法求得:
5.教师总结
上面几位同学向大家展示了他们的研究成果,非常出色.同学们可能不知道,这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握.成书时期约在公元前1850年,当时有一册古埃及数学课本就记载了一道计算正四棱台体积的问题,数学史学家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”,在他看来,这个问题中涉及的归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟得多.
那么古埃及人是如何得到这一公式的呢?我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了第三组同学展示的推导方法简捷优美,并且公式与图形联系紧密,我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的.
在我国古代,《九章算术》给出了刍童(即两底是长方形的正四棱台)的体积公式.同学们一定注意到了学生13给出的思考题的解法.我国古人就是利用这种分割方法得到刍童体积公式的.
古代巴比伦人曾使用过错误公式(注意这个错误我们也犯了),后来的古巴比伦泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则:大家也一定注意到了,学生14的推导中也出现了这种形式.为什么古巴比伦人没有把它写成古埃及人的形式呢?虽然它可以转化成那种形式.也许,古巴比伦人用的是不同于古埃及人的方法,可能利用的就是学生14的方法.
学生15:老师,我打断一下,你说是古巴比伦人的公式,并且可能是利用学生14的方法.我刚才在用类似学生12的方法对棱台作进一步分割,推导过程中也出现这个形式.当时我觉得这样很繁没有提出来,现在我想给大家演示一下,也许古巴比伦人是利用我这种方法推导的.我也像学生14选用其中四分之一块来用图说明(如图11).把这一块切割成13块,再拼成一个长方体,还剩两个小锥体.
二、课例简析
新教材(人民教育出版社《数学》(实验修订本))已经取消了台体及其体积公式这一内容.但是这块内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值.所以,可以把它用来作为课外活动、兴趣小组以及研究性学习的课题,让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学.我们也可以预见若干年以后高考中或许会出现这样一道题目:先阅读一段关于正四棱台的定义、正四棱锥的体积公式以及推导梯形面积公式的几种方法的材料,再让学生写出正四棱台的体积公式以及推导这一公式的几种方法.2002年全国高考卷文科最后一题就传递了这样一种信息:关于平面图形与空间图形的转化和类比.
关于台体体积的教学,如果单是为了让学生记住公式,并利用公式计算,确实不难.只要将公式及某种推导方法直接告诉学生,然后证明,再通过大量练习进行巩固.这样也能达到一定的教学效果.可是,如果真是这样机械处理的话,那就大大忽略了让学生发现结果和探索问题的思维过程,失去了训练思维的绝好机会.上述课例的可贵之处在于通过对数学史材料的深入挖掘以及对学生认知水平的合理定位,把火热的思维过程展现在了课堂中.在这个过程中,可以说学生重演了人类对这一公式的认识历程,经历数学真理发现及发展的过程,体验经过艰辛摸索后成功的愉悦,这对他们今后学习数学、学好数学都是十分有益的.
以往教学只介绍一种推导方法(如第二组展示的),这样思考问题显得思路狭隘,限制了学生从多角度思考.这节课例的处理则走向开放化,让学生从多角度思考问题,用多种方法来解决问题.通过观察、类比、实验、猜想,培养了学生的数学思维能力,同时也调动了学生学习数学的积极性.
这个课例还有个突出的特点,那就是引入了数学实验.传统的数学教学常以严密的逻辑推理来论证因而排斥实验,所以数学课堂中基本上看不到实验的影子.然而,许多数学发现实际上都源于实验,同时实验也可以用来检验猜想.在数学教学中适当引入实验,对学生体验思维过程及数学思想都十分有利.在这里,通过猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的猜想——证明,学生完成一个完整的知识建构过程.
更进一步,这节教学课例不仅介绍了公式的最早记载,同时在教学过程中还隐含了对不同文化背景下的数学的比较.虽然没有事先说明,但学生重演了古埃及人、中国古人以及古巴比伦人对这一问题的处理过程.通过对这些方法的探索和比较,学生能欣赏到数学的美以及整个人类的智慧.多元文化背景下的数学教育让学生欣赏各种数学,而不管它是否属于自己的传统文化.包括各种文化根源的数学可以让学生形成丰富的体验,明白其他文化对数学发展所做的伟大贡献.这种教育的意义已经超出了数学课程的目标,但这确实是数学可以给予的.
作者介绍:作者单位:浙江师范大学数理学院