范文一:高中数学必修五总结
第一章 解三角形
一、正弦定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=2R,则有如下边角互化公式:
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC——边化角公式,
sinA= , sinB= , sinC= ——角化边公式, a ∶ b ∶ c=sinA∶ sinB ∶ sinC .
二、 . 余弦定理
1、概念:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余 弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC.
2、余弦定理的推论:cosA=
, cosB= , cosC=
. 第二章 数列
一、 数列的概念与简单的表示法
数列前 n 项和 : 对于任何一个数列,它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都有这样的关系:an=
二、 等差数列
1. 等差数列的概念
(1)等差中项:若三数 a A b 、 、 成等差数列
2a b A +?= (2)通项公式:1(1) () n m a a n d a n m d =+-=+-
(3) . 前 n 项和公式:()()11122n n n n n a a S na d -+=+=
三 、 等比数列 1. 等比数列的概念
(1)等比中项:若三数 a b
、 G 、 成等比数列 2,
G ab
?=(ab 同号) 。反之不一定成立。
(2) . 通项公式:
1
1
n n m n m a a q a q --==
(3) . 前 n 项和公式:
() 11
1
11 n
n n
a q a a q S
q q --==
--
常见的拆项公式有:
①
111 (1) 1 n n n n =-++ ;
②
1111 (); (21)(21) 221
21
n n n n
=-
-+-+
有一类数列,既不是等差数列, 也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 . 一般分两步:
①找通向项公式②由通项公式确定如何分组 .
第三章 不等式
一、 一元二次不等式及其解法
二、
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
三、 基本不等式
1.
如果 a , b 是正数, 那么 ≥ , 当且仅当 a=b时, 等号成立, 其中
称为 a , b 的算术平均数, 称为 a , b 的几何平均数 .
2. 利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:
(1)正数 (各项均为正 ) ;
(2)定值[若求和 (或积 ) 最小 (或大 ) ,则积 (或和 ) 为定值];
(3)相等 (指出取等号的条件 ).
范文二:高中数学必修五总结
高中数学必修 5知识点
1、正弦定理:在 C ?AB中, a 、 b 、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, R 为 C ?AB的外接圆的半径,则 有
2sin sin sin a b c R C
=
=
=A
B.
2、正弦定理的变形公式:① 2sin a R =A, 2sin b R =B, 2sin c R C =; ② sin 2a R
A=
, sin 2b R
B=
, sin 2c C R
=
;
③ ::sin :sin :sin a b c C =AB; ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c C
C ++=
=
=
A+B+A
B
.
3、三角形面积公式:111sin sin sin 22
2
C S bc ab C ac ?AB=
A==
B.
4、余弦定理:在 C ?AB中,有 2222cos a b c bc =+-A, 2222cos b a c ac =+-B,
2
2
2
2cos c a b ab C =+-.
5、余弦定理的推论:222
cos 2b c a
bc
+-A=
, 222
cos 2a c b
ac
+-B=
, 222
cos 2a b c
C ab
+-=
.
6、设 a 、 b 、 c 是 C ?AB的角 A、 B、 C 的对边,则:①若 222a b c +=,则 90C = ; ②若 222a b c +>,则 90C < ;③若="" 222a="" b="" c=""><,则 90c=""> . 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第 2项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第 2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 {}n a 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项 n a 与它的前一项 1n a -(或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差.
18、由三个数 a , A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 A称为 a 与 b 的等差中项.若
2
a c b +=
,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.
19、若等差数列 {}n a 的首项是 1a ,公差是 d ,则 ()11n a a n d =+-.
20、通项公式的变形:① ()n m a a n m d =+-;② ()11n a a n d =--;③ 11
n a a d n -=
-;
④ 1
1n a a n d
-=
+;⑤ n m a a d n m
-=
-.
21、若 {}n a 是等差数列,且 m n p q +=+(m 、 n 、 p 、 *q ∈N) ,则 m n p q a a a a +=+;若 {}n a 是等 差数列,且 2n p q =+(n 、 p 、 *q ∈N) ,则 2n p q a a a =+. 22、等差数列的前 n 项和的公式:① ()12
n n n a a S +=
;② ()112
n n n S na d -=+
.
23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 ()*2n n ∈N,则 ()21n
n n S n a a +=+,且 S S nd
-=偶 奇 ,
1
n n S a S a +=
奇 偶
.
②若项数为 ()*
21n n -∈N,则 ()21
21n n S
n a -=-,且 n S S a -=奇 偶 ,
1
S n S n =
-奇 偶
(其中 n S n a =奇 ,
()1n S n a =-偶 ) .
24、如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比.
25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 2G ab =, 则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
26、若等比数列 {}n a 的首项是 1a ,公比是 q ,则 1
1n n a a q -=.
27、通项公式的变形:① n m
n m a a q
-=;② ()
11n n a a q
--=;③ 1
1
n n a q
a -=
;④ n m
n m
a q
a -=
.
28、若 {}n a 是等比数列,且 m n p q +=+(m 、 n 、 p 、 *
q ∈N) ,则 m n p q a a a a ?=?;若 {}n a 是等比
数列,且 2n p q =+(n 、 p 、 *
q ∈N) ,则 2
n p q a a a =?.
29、等比数列 {}n a 的前 n 项和的公式:()
()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q =??
=-?-=≠?
--?.
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 ()*
2n n ∈N,则 S q S
=偶
奇
.
② n
n m n m S S q S +=+?.
③ n S , 2n n S S -, 32n n S S -成等比数列.
31、 0a b a b ->?>; 0a b a b -=?=; 0a b a b -<><>
32、不等式的性质: ① a b b a >?<;② ,="" a="" b="" b="" c="" a="" c="">>?>;③ a b a c b c >?+>+; ④ , 0a b c ac bc >>?>, , 0a b c ac bc ><><;⑤ ,="" a="" b="" c="" d="" a="" c="" b="" d="">>?+>+; ⑥ 0, 0a b c d ac bd >>>>?>;⑦ ()0, 1n n
a b a b n n >>?>∈N>;
⑧ )0, 1a b n n >>?
>
∈N>.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 (), x y ,所有这 样的有序数对 (), x y 构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线 0x y C A+B+=,坐标平面内的点 ()00, x y P. ①若 0B>, 000x y C A+B+>,则点 ()00, x y P在直线 0x y C A+B+=的上方.
②若 0B>, 000x y C A+B+<,则点 ()00,="" x="" y="" p在直线="" 0x="" y="" c="" a+b+="的下方." 39、在平面直角坐标系中,已知直线="" 0x="" y="" c="" a+b+="">,则点>
① 若 0B>, 则 0x y C A+B+>表 示 直 线 0x y C A+B+=上 方 的 区域 ; 0x y C A+B+<表 示="" 直="">表>
0x y C A+B+=下方的区域.
② 若 0B<, 则="" 0x="" y="" c="" a+b+="">表 示 直 线 0x y C A+B+=下 方 的 区域 ; 0x y C A+B+<表 示="" 直="">表>
0x y C A+B+=上方的区域.
40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 (), x y . 可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则
2
a b +称为正数 a 、 b
a 、 b 的几何平均数.
42、均值不等式定理: 若 0a >, 0b >
,则 a b +≥
,即 2
a b +≥.
43、常用的基本不等式:① ()2
2
2, a b ab a b R +≥∈;② ()2
2
, 2
a b ab a b R +≤
∈;
③ ()2
0, 02a b ab a b +??≤>> ?
??
;④
()2
2
2
, 2
2a b a b a b R ++??≥∈ ???
.
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
⑴若 x y s +=(和为定值) ,则当 x y =时,积 xy 取得最大值
2
4
s .
⑵若 xy p =(积为定值) ,则当 x y =时,和 x y +
取得最小值 .
??
?无穷数列
有穷数列
按项数
2
2
21, 21
(1) 2n
n
a a n a a n
a n
=??
=+=??
=-+??=-??n n
n n n
常 数 列 :递 增 数 列 :按 单 调 性 递 减 数 列 :摆 动 数 列 :
(一)解三角形:
1、正弦定理:在 C ?AB中, a 、 b 、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, ,则有 2sin sin sin a b c R
C
=
=
=A
B
(R 为 C ?AB的外接圆的半径 )
2、正弦定理的变形公式:① 2sin a R =A, 2sin b R =B, 2sin c R C =;
② sin 2a R
A=
, sin 2b R
B=
, sin 2c C R
=;③ ::sin :sin :sin a b c C =AB;
3、三角形面积公式:111sin sin sin 2
2
2
C
S b c a b C a c ?AB=A=
=
B
.
4、余弦定理:在 C ?AB中,有 2
2
2
2cos a b c bc =+-A,推论:2
2
2
cos 2b c a
bc
+-A=
(二)数列:
1. 数列的有关概念:
(1) 数列:按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数 N*或它的有限子集
{1,2,3,? ,n }上的函数。 (2) 通项公式:数列的第 n 项 a n 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示,这个公式即是该数列的
通项公式。如 : 2
21n a n =-。
(3) 递推公式:已知数列 {an }的第 1项(或前几项) ,且任一项 a n 与他的前一项 a n -1(或前几项)
可以用一个公式来表示,这个公式即是该数列的递推公式。
如 : 121, 2, a a ==12(2) n n n a a a n --=+>。
2.数列的表示方法:
(1) 列举法:如 1, 3, 5, 7, 9, … (2)图象法:用(n, an )孤立点表示。
(3) 解析法:用通项公式表示。 (4)递推法:用递推公式表示。
3.数列的分类:
4.数列 {an }及前 n 项和之间的关系 :
123n n S a a a a =++++ 11
, (1) , (2)
n
n n S n a S S
n -=?=?-≥
?
(三)不等式
1、 0a b a b ->?>; 0a b a b -=?=; 0a b
a b -<>
<>
2、不等式的性质: ① a b b a >?<; ②="" ,="" a="" b="" b="" c="" a="" c="">>?>; ③ a b a c b c >?+>+; ④ , 0a b c ac bc >>?>, , 0a b c ac bc ><><;⑤ ,="" a="" b="" c="" d="" a="" c="" b="" d="">>?+>+; ⑥ 0, a b c ac bd >>>; ⑦ ()0, 1n
n
a b a b n n >>?>∈N>; ⑧ )
0, 1a b n n >>?
>∈N>.
小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商) 、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法:
(1)化成标准式:20, (0) ax bx c a ++>>; (2)求出对应的一元二次方程的根; (3)画出对应的二次函数的图象;
(4)根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题:
1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
3.解线性规划实际问题的步骤: (1)将数据列成表格; (2)列出约束条件与目标函数; (3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值; (4)验证。 两类主要的目标函数的几何意义 :
① z ax by =+-----直线的截距;② 22() () z x
a y b =-+------两点的距离或圆的半径; 4、均值定理: 若 0a >, 0b >,则 a b +≥,即
2
a b +≥
. ()2
0, 02
a b ab a b +??≤>> ?
?
?
;
2
a b +称为正数 a 、 b a 、 b 的几何平均数.
5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
⑴若 x y s +=(和为定值) ,则当 x y =时,积 xy 取得最大值
2
4
s .
⑵若 xy p =(积为定值) ,则当 x y =时,和 x y +取得最小值 .
范文三:高中数学必修五知识点总结
高中数学必修 5知识点
第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第 2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
6、递减数列:从第 2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第 2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数列的通项公式:表示数列 {}n a 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项 n a 与它的前一项 1n a -(或前几项)间的关系的公式.
11、 如果一个数列从第 2项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差.
12、由三个数 a , A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 A称为 a 与 b 的 等差中项.若 2
a c b +=,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 13、若等差数列 {}n a 的首项是 1a ,公差是 d ,则 ()11n a a n d =+-. 通项公式的变形:① ()n m a a n m d =+-;② ()11n a a n d =--;③ 11n a a d n -=-;④ 11n a a n d -=+;⑤ n m a a d n m
-=-. 14、若 {}n a 是等差数列,且 m n p q +=+(m 、 n 、 p 、 *q ∈N) ,则 m n p q a a a a +=+; 若 {}n a 是等差数列,且 2n p q =+(n 、 p 、 *q ∈N) ,则 2n p q a a a =+;下角标成 等差数列的项仍是等差数列;连续 m 项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前 n 项和的公式:① ()12n n n a a S +=
;② ()112n n n S na d -=+.
范文四:高中数学必修五知识点公式总结
必修五数学公式概念
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 正弦定理推论:①
a b c
. ==
sin A sin B sin C
a b c
===2R (R 为三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C
a sin A b sin B a sin A
, =, = ②a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ③=
b sin B c sin C c sin C
a b c a +b +c
=== ④a :b :c =sin A :sin B :sin C ⑤ sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C
2、解三角形的概念:一般地,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素:三条边(a , b , c ) 和三个内角(A , B , C ) . 在三角形中,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
4、任意三角形面积公式为:
111abc =bc sin A =ac sin B =ab sin C =ABC
2224R
r
==(a +b +c ) =2R 2sin A sin B sin C
2S
1.1.2 余弦定理
5、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
222222222
a =b +c -2bc cos A ,b =a +c -2ca cos B ,c =a +b -2ab cos C .
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
余弦定理推论:cos A =,cos B =,cos C =
2bc 2ac 2ab
1.2 应用举例
1、方位角:如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角:如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。(指定方向线是指正北或正南或正西或正东)
3、仰角和俯角:如图3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角。
(1)方位角 (2)方向角 (3)仰角和俯角 (4)视角 4、视角:如图4,观察物体的两端,视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行:于海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比:如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比 i =
??h ?
?. l ?
(5)坡角与坡比
第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,?,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。所以,数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,?,a n ,?,简记为{a n }.
2、数列的通项公式:如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n -1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为a n =2a n -1+1(n >1)
4、数列与函数:数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1, 2, 3, 4, …, n })为定义域的函数a n =f (n ),当自变量按照从大到小的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。
5、数列的单调性:若数列{a n }满足:对一切正整数n ,都有a n +1>a n (或a n +1
判断方法:①转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性; ②作差比较法,即作差比较a n +1与a n 的大小;
2.2 等差数列
1、等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d 表示。定义式为a n -a n -1=d (n ≥2,n ∈N *)或a n +1-a n =d (n ∈N *)
*
3、等差中项判定等差数列:任取相邻的三项a n -1,a n ,a n +1(n ≥2, n ∈N ),则 a n -1,a n ,a n +1成等差数列?2a n =a n -1+a n +1(n ≥2)?{a n }是等差数列。
4
5*
6、等差数列的性质:(1)若n ,m ,p ,q ∈N ,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ; (2)若m +n =2p ,则a m =a n =2a p ;
(3)若m ,p ,n 成等差数列,则a m ,a p ,a n 成等差关系; (4)若{a n }成等差数列?a n =pn +q (公差为p ,首项为p +q ); (5)若{c n }成等差数列,则{a n }也成等差数列;
(6)如果{a n }{b n }都是等差数列,则{pa n +q },{pa n +qb m }也是等差数列。
2.3 等差数列的前n 项和
?S 1(n =1)1、一般数列a n 与s n 的关系为a n =?.
?S n -S n -1(n ≥2)
2、等差数列前n 项和的公式:S n =
n (a 1+a n )n (n -1)=na 1+d
22
n (n -1)d d ??
d =n 2+ a 1-?n ,222??
3、等差数列前n 项和公式的函数特征:(1)由S n =na 1+令A =
d d 2
,则{a n }为等差数列?S n =An +B n (A 、B 为常数,其中d =2A ,B =a 1-,22
a 1=a +b ). 若A ≠0,即d ≠0,则S n 是关于n 的无常数项的二次函数。 若A =0,即
d ?S ?
d =0,则S n =na 1. (2)若{a n }为等差数列,?n ?也是等差数列,公差为
2?n ?
(3)若{a n }为等差数列,S k , S 2k -S K , S 3k -S 2k , ?也成等差数列
(4)若S n =m ,S m =n ,则S m +n =-(m +n ) (5)若S m =S n ,则S m +n =0 (6)若{a n }{b n }是均为等差数列,前n 项和分别是A n 与B n ,则有
a m A 2m -1
= b m B 2m -1
(7)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则s n="" 存在最大值,a="">0,则s><0,d>0,则S n 存在最小值。
2.4 等比数列
1、等比数列:一般地如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0). 定义式:
a n
=q ,(n ≥2, a n ≠0, q ≠0). a n -1
G b
=?G 2=ab ?G =a G
2、等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比数列。 a ,G ,b
成等比数列?
两数同号才有等比中项,且有2个互为相反数。 3、通项公式:a n =a 1q
n -1
=
a 1n
?q 其中首相为a 1,公比为q . q
*
4、等比数列的性质:a n =a m q n -m (n ,m ∈N ).
2.5 等比数列的前n 项和
?na 1(q =1)?
1、等比数列的前n 项和的公式:S n =?a 1(1-q n )a -a q
1n =(q ≠1)?
1-q ?1-q
2、等比数列的前n 项和的函数特征:当q ≠1时,S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1a
-1q n . 记1-q 1-q
A =
a 1
,即S n =-Aq n +A . 1-q
3、等比数列的前n 项和的性质: 在等比数列中:
(1)当S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,?均不为零时,数列成等差数列。公比为qk . (2)S n +m =S n +q n S m =S m +q m S n (3)
a m
=q m -n 或a m =a n ?q m -n (m 、n ∈N *) a n
(4)若m +n =p +q ,则a m ?a n =a p ?a q (5)若{a n }为等差数列,则C
{}为等比数列
a n
(6)若{a n }为正项等比数列,则{log C a n }是等差数列 (7)若{a n }、{b n }均为等比数列,则{λa n }?
?λ??a n ?k
λ≠0a 、a 、a ?b 、){n {n }{n n }??等?(?a n ??b n ?
仍是等比数列。公比分别为:q q 、q 、q 1q 21.
1
q
k
q q 2
(8)等比数列{a n }的增减性:当?
?a 1>0?a 1<0?a 1="">0
,或?时,当?{a n }为递增数列;
?q >1?0<><>
?a 1<>
或?时,{a n }为递增减数列。
q >1?
4、由递推公式求数列通向法:
(1)累加法:a n +1=a n +f (n ) 变形:a n +1-a n =f (n ) (2)累乘法:a n +1=a n ?f (n ) 变形:
a n +1
=f (n ) a n
(3)取倒数法:a n +1=
pa n
qa n +p
(4)构建新数列法:a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,(pq (p -1) ≠0))
?设a n +1+k =p (a n +k )?{a n +k }为等比数列。
第三章 不等式
3.1 不等式关系与不等式
1、不等式定义:用不等号(>、<>
f (x )>g (x ),f (x )≥g (x )等。用“>”或“<>
或“≤”连接的不等式叫非严格不等式。 2、实数的基本性质
a >b ?a -b >0;a =b ?a -b =0;a <0.>0.>
a >0?a >0?a <>
;;??ab <0 ??a="" +b="">0, ab >0??a +b <0, ab="">0
b <0?b>0?b <>
3、不等式的基本性质
(1)对称性:a >b ?b b , b >c ?a >c
(3)可加性:a >b ?a +c >b +c 推论1:a +b >c ?a >c -b (移向法则)
推论2:
a >b ?
??a +c >b +d (同向不等式的相加法则) c >d ?
(4)可乘性:
a >b ?a >b ?
;?ac >bc ???ac <>
c >0?c <>
a >b ?a >b ?
;异向可减:?a +c >b +d ???a -d >b -c
c >d ?d
(5)同向相加:
a >b >0?a >b >0?a b
(6)同向可乘:??ac >bd ;异项可除:??>
c >d >0?0
(7)乘方法则:a >b >0?a >b (n ∈N ,n ≥1) (8
)可开方性法则:a >b >0?>n ∈N ,n ≥2) (9)倒数法则:
n
n
a >b ?11
??< ab="">0?a b
3.2 一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式定义:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1、平面区域:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax +By +C >0表示直线
Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括
边界。不等式Ax +By +C ≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线。 2、平面区域的判定:一般地,当y >kx +b 时,表示y =kx +b 的上方区域; 当y
3.3.2 简单的线性规划问题
3、线性规划有关概念:①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式(方程),则成为线性约束条件。③要求最大(小)值所涉及的关于变量x ,y 的一次解析式叫做线性目标函数。④满足线性约束条件的解(x ,y )叫做可行解,⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
3.4
≤
a +b
2
22
1、主要不等式:设a ,b ∈R ,则a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”)
2、基本不等式:设a >0,b >
0,则
a +b
≥a =b 时取“=”) 2
即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形:a +b ≥.
22
2ab a +b ?a +b ?a +b
3
、应用:(a ,b ∈R ) ≤≤≤?ab ≤ ≤?a +b 22?2?
2
4、基本不等式的应用
S S 2(1)如果和x +y 是定值S ,那么当且仅当x =y =时,积x y 有最大值;
24
(2)如果积x y 是定值P
,那么当且仅当x =y 应注意以下几点:
①各项或各因式必须为整数;
②各项或各因式的和(或积)必须为常数; ③各项或各因式能够取相等的值.
以上三个条件简称为“一正,二定,三相等”
x +
y 有最小值
范文五:高中数学必修五知识点总结
高中数学必修五知识点总结 解直角三角形 ...............2 数列 .......................5 不等式 .....................11
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1.正弦定理 :
2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径 ). 2. 正弦定理的一些变式:
()sin sin sin i a b c A B C ::=::; ()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
=
=2c R =;
()2sin , 2sin , 2sin iii a R A b R B b R C ===; (4) R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题:
(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 .
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角 . (可能有一解,两解,无解)
【余弦定理】
1.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?
=+-??=+-?
2. 推论:
222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??
+-?
=
??
?+-=
??
. 设 a 、 b 、 c 是 C ?AB的角 A、 B、 C 的对边,则: ①若 2
2
2
a b c +=,则 90C =
; ②若 2
2
2
a b c +>,则 90C
; ③若 2
2
2
a b c +<,则 90c="">
.
3. 两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角 .
(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 .
【面积公式】
已知三角形的三边为 a,b,c,
1. sin () 222
a S ah ab C r a b c ===++(其中 r 为三角形内切圆半径)
2. 设 ) (2
1
c b a p ++=
, ) )()((c p b p a p p S ---=
【三角形中的常见结论】
(1)
π=++C B A (2)
sin() sin , A B C +=cos() cos , A B C +=-tan() tan , A B C +=- 2cos 2sin
C B A =+, 2
2cos C
B A =+; A A A cos sin 22sin ?=, (3)若 ?>>C B A c b a >>?C B A sin sin sin >> 若 C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >> (大边对大角,小边对小角)
(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于
60,最小角小于等于
60
(6) 锐角三角形 ????任意两边的平方和大于第三边的平方 .
钝角三角形 ??(7) ABC ?中, A,B,C 成等差数列的充要条件是
60=B .
(8) ABC ?为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数列 . 二、题型汇总
题型 1【判定三角形形状】
判断三角形的类型 (1) 利用三角形的边角关系判断三角形的形状 :判定三角形形状时, 可利用正余弦定理实现 边角转化,统一成边的形式或角的形式 .
(2)在 ABC ?中,由余弦定理可知 :222222222是直角 ABC 是直角三角形
是钝角 ABC 是钝角三角形 a b c A a b c A a b c A =+???>+??<+?abc>+?abc>
(注意:A ABC 是锐角三角形 )
(3) 若 B A 2sin 2sin =,则 A=B或 2
π
=
+B A .
例 1. 在 ABC ?中, A b c cos 2=,且 ab c b a c b a 3) )((=-+++,试判断 ABC ?形状 .
题型 2【解三角形及求面积】
一般地, 把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素 . 已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 .
例 2. 在 ABC ?中, 1=a , 3=
b , 030=∠A ,求 的值
例 3. 在 ABC ?中,内角 C B A , , 对边的边长分别是 c b a , , ,已知 2=c , 3
π
=
C .
(Ⅰ)若 ABC ?的面积等于 3,求 b a , ;
(Ⅱ)若 A A B C 2sin 2) (sin
sin =-+,求 ABC ?的面积.
题型 3【证明等式成立】
证明等式成立的方法:(1)左 ?右, (2)右 ?左, (3)左右互相推 .
例 4. 已知 ABC ?中,角 C B A , , 的对边分别为 c b a , , ,求证:B c C b a cos cos +=.
题型 4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例 5.如图所示,货轮在海上以 40km/h的速度沿着方位角 (从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140°的方 向航行, 为了确定船位, 船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°, 航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?
数列知识点
1. 等差数列的定义与性质
定义:1n n a a d +-=(d 为常数) , ()11n a a n d =+- 等差中项:x A y , , 成等差数列 2A x y ?=+ 前 n 项和 ()()
1112
2
n n
a a n n n S na
d +-==+
性质:{}n a 是等差数列
(1)若 m n p q +=+,则 m n p q a a a a +=+;
(2)数列 {}{}{}12212, , +-n n n a a a 仍为等差数列, 232n n n n n S S S S S --, , …… 仍为 等差数列,公差为 d n 2;
(3)若三个成等差数列,可设为 a d a a d -+, , (4)若 n n a b , 是等差数列,且前 n 项和分别为 n n S T , ,则
21
21
m m m m a S b T --= (5) {}n a 为等差数列 2n S an bn ?=+(a b , 为常数, 是关于 n 的常数项为 0的二次函数)
n S 的最值可求二次函数 2n S an bn =+的最值;或者求出 {}n a 中的正、负
分界项,
即:当 100a d ><, ,解不等式组="">,>
0n n a a +≥??≤?可得 n S 达到最大值时的 n 值 .
当 100a d <>, ,由 10
0n n a a +≤??≥?可得 n S 达到最小值时的 n 值 .
(6)项数为偶数 n 2的等差数列 {}
n a , 有
) , )(() () (11122212为中间两项 ++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S
nd S S =-奇 偶 ,
1
+=
n n
a a S S 偶
奇 .
(7)项数为奇数 12-n 的等差数列 {}
n a , 有
) () 12(12为中间项 n n n a a n S -=-, n a S S =-偶 奇 ,
1
-=
n n S S 偶
奇 . 2. 等比数列的定义与性质
定义:
1
n n
a q a +=(q 为常数, 0q ≠) , 1
1n n a a q -=.
等比中项:x G y 、 、 成等比数列 2G xy ?=
,或 G =
前 n 项和:()11(1) 1(1) 1n n na q S a q q q
=??
=-?≠?
-?(要注意! )
性质:{}n a 是等比数列
(1)若 m n p q +=+,则 m n p q a a a a =··
(2) 232n n n n n S S S S S --, , …… 仍为等比数列 , 公比为 n q . 注意 :由 n S 求 n a 时应注意什么?
1n =时, 11a S =;
2n ≥时, 1n n n a S S -=-.
3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
如:数列 {}n a , 122111
25222
n n a a a n +++=+…… ,求 n a
解 1n =时, 11
2152a =?+,∴ 114a = ①
2n ≥时, 12121111
215222
n n a a a n --+++=-+…… ②
①—②得:
122n n a =,∴ 1
2n n a +=,∴ 114(1) 2(2)
n n n a n +=?=?≥?
[练习]数列 {}n a 满足 1115
43
n n n S S a a +++==, ,求 n a
注意到 11n n n a S S ++=-, 代入得
1
4n n
S S +=;
又 14S =, ∴ {}n S 是等比数列, 4n n S =
2n ≥时, 1134n n n n a S S --=-==…… ·
(2)叠乘法
如:数列 {}n a 中, 1131
n n a n a a n +==+,求 n a
解
3212112123n n a a a n a a a n --=…… ……
,∴ 11n a a n =又 13a =, ∴ 3
n a n =.
(3)等差型递推公式
由 110() n n a a f n a a --==, ,求 n a ,用迭加法
2n ≥时, 21321(2)
(3)() n n a a f a a f a a f n --=?
?-=?
???-=?…… …… 两边相加得 1(2)(3)() n a a f f f n -=+++……
∴ 0(2)(3)() n a a f f f n =++++…… [练习]数列 {}n a 中, ()1
11132n n n a a a n --==+≥, ,求 n a (
()1312n
n a =
-)
(4)等比型递推公式
1n n a ca d -=+(c d 、 为常数, 010c c d ≠≠≠, , )
可转化为等比数列,设 ()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令 (1) c x d -=,∴ 1d x c =-,∴ 1n d a c ?
?+??-?
?是首项为 1
1d a c c +-, 为公比的等比数 列
∴ 1111n n d d a a c c c -??+
=+ ?--??·,∴ 1111n n d d a a c c c -?
?=+- ?
--??
(5)倒数法
如:11212
n
n n a a a a +==
+, ,求 n a 由已知得:
1211122n n n n a a a a ++==+,∴ 11112
n n a a +-= ∴ 1n a ??????为等差数列, 111a =,公差为 1
2,∴ ()()11111122n n n a =+-=+·,
∴ 2
1n a n =+
( 附:
公式法、利用
{
1(2) 1(1)
n n S S n S n n a --≥==
、累加法、累乘法 . 构造等差或等比
1n n a pa q +=+或 1() n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归 纳法、换元法
)
4. 求数列前 n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项 . 如:{}n a 是公差为 d 的等差数列,求 11
1
n
k k k a a =+∑
解:由
()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??
==-≠ ?+??
·
∴ 11111
223111111111111n
n
k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??
????????=-=-+-++-?? ? ? ? ???????????∑∑…… 11111n d a a +??=
- ???
[练习]求和:111112123123n
+
++++++++++…… …… 1
21
n n a S n ===-+…… …… ,
(2)错位相减法
若 {}n a 为等差数列, {}n b 为等比数列,求数列 {}n n a b (差比数列)前 n 项和, 可由 n n S qS -,求 n S ,其中 q 为 {}n b 的公比 .
如:2311234n n S x x x nx -=+++++……
①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
②
①—② ()2111n n n x S x x x nx --=++++-……
1x ≠时, ()()
2
111n
n
n
x nx S x
x -=-
--, 1x =时, ()
11232
n n n S n +=++++=
…… (3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加 .
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?
?=++++?
…… …… 相加 ()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++… …
[练习]已知 2
2
() 1x f x x
=+,则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??
??
??
++++
++= ? ? ?????
??
由 2
222222
111() 111111x x x f x f x x x x x ?? ?????+=+=+= ?+++????
+ ???
∴原式 1111
1(1)(2)(3)(4)11132342
2f f f f f f f ?
??
??
???????=++
++++=+++= ? ? ???????????????????
(附:
a. 用倒序相加法求数列的前 n 项和
如果一个数列 {an }, 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正
着写与倒着写的两个和式相加, 就得到一个常数列的和, 这一求和方法称为倒序 相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识 的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公式的推导,用 的就是 “ 倒序相加法 ” 。 b. 用公式法求数列的前 n 项和
对等差数列、等比数列,求前 n 项和 S n 可直接用等差、等比数列的前 n 项和 公式进行求解。 运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围, 确定公
式适用于这个数列之后,再计算。 c. 用裂项相消法求数列的前 n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限 项,从而求出数列的前 n 项和。 d. 用错位相减法求数列的前 n 项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列 {an ·b n }中, {an }成等差数列, {bn }成等比数列,在和式的两边同 乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e. 用迭加法求数列的前 n 项和
迭加法主要应用于数列 {an }满足 a n+1=an +f(n), 其中 f(n)是等差数列或等比数列 的条件下,可把这个式子变成 a n+1-a n =f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有 的式子加到一起,经过整理,可求出 a n ,从而求出 S n 。 f. 用分组求和法求数列的前 n 项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将 这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将 其合并。
g. 用构造法求数列的前 n 项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特 征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。
不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较: 0a b a b ->?>; 0a b a b -=?=; 0a b a b -<><. 二、="" 不等式的性质:="" ①="" a="" b="" b="" a="">?<; ②="" ,="" a="" b="" b="" c="" a="" c="">>?>; ③ a b a c b c >?+>+;
④ , 0a b c ac bc >>?>, , 0a b c ac bc ><><;⑤ ,="" a="" b="" c="" d="" a="" c="" b="" d="">>?+>+; ⑥ 0, 0a b c d ac bd >>>>?>;⑦ ()0, 1n n a b a b n n >>?>∈N>;
⑧ )0, 1a b n n >>?>∈N>. 三、基本不等式定理
1、整式形式:① ()2
2
2, a b ab a b R +≥∈;② ()22
, 2
a b ab a b R +≤∈;
③ ()20, 02a b ab a b +??
≤>> ???;④ ()2
22, 22a b a b a b R ++??≥∈ ???
2
、根式形式:①
2a b
+≥0a >, 0b >)② a+b≤) a 222b +(
3、分式形式:a b +b
a
≥2(a 、 b 同号)
4、倒数形式:a>0?a+a 1≥2 ; a<>
1
≤-2
四、公式:b
1a 12
+≤ab ≤2b
a +≤
2
2
2b a + 五、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
⑴若 x y s +=(和为定值) ,则当 x y =时,积 xy 取得最大值 2
4
s .
⑵若 xy p =(积为定值) ,则当 x y =时,和 x y +
取得最小值 六、解不等式
1、一元一次不等式: ax>b(a ≠0)的解:当 a>0时, x>
a b ;当 a<0时,>0时,>
b
; 2、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的不等式.
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 2
4b ac ?=-
0?> 0?= 0?
二次函数 2y ax bx c =++
()0a >的图象
一元二次方程 2
0ax bx c ++=
()0a >的根
有两个相异实数根
1,22b x a
-±=
()12x x
有两个相等实数根
122b x x a
==-
没有实数根
一元二次 不等式的 解集
20ax bx c ++>
()0a >
{}
1
2
x x x x x <>或
2b x x a ??≠-????
R
20ax bx c ++
()0a >
{}1
2x x
x x
? ?
4、解一元二次不等式步骤:一化:化二次项前的系数为整数
二判:判断对应方程的根,三求:求对应方程的根,四画:画出对应函数的图像,五解集:根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式:
) () (f x g x >0?f(x)g(x)>0 ; ) ()
(f x g x ≤0??
??≠≤0) (0) () (f x g x g x 6、解高次不等式:(x-1a )(x-2a ) …(x-n a ) >0
7、解含参数的不等式:解形如 a 2
x +bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有:(1)讨论 a 与 0的大小(2)讨论 ?与 0的大小(3)讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题:
方法:依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等 式组,总之都是转化为一元二次不等式组求解。
1、 1x <2x>2x><>
???>?<->0
20
) (k a b k f
2、 k <1x>1x><2x>2x>
???>?>->0
20) (k a b k f
3、 1x
4、 1k <1x>1x><2x>2x><2k>2k>
?
?
????<><>?>>2121200
) (0
) k k a b k k f f (
5、、 1x <1k>1k><2k>2k><2x>2x>
??>>0) (0
) k 21k f f (
6、 1k <1x>1x><2k>2k><2x>2x><3k ?="">3k>
?
??><>0
) (0) (0) k 321k f k f f (
八、线性规划问题 1、定义:
线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解 (), x y . 可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断
在平面直角坐标系中,已知直线 0x y C A+B+=,坐标平面内的点 ()00, x y P. ①若 0B>, 000x y C A+B+>,则点 ()00, x y P在直线 0x y C A+B+=的上方. ②若 0B>, 000x y C A+B+<,则点 ()00,="" x="" y="" p在直线="" 0x="" y="" c="" a+b+="的下方." 在平面直角坐标系中,已知直线="" 0x="" y="" c="" a+b+="">,则点>
①若 0B>, 则 0x y C A+B+>表示直线 0x y C A+B+=上方的区域; 0x y C A+B+<>
示直线 0x y C A+B+=下方的区域.
②若 0B<, 则="" 0x="" y="" c="" a+b+="">表示直线 0x y C A+B+=下方的区域; 0x y C A+B+<>
示直线 0x y C A+B+=上方的区域.
3、解线性规划问题的一般步骤
第一步:在平面直角坐标系中做出可行域 第二步:在可行域内找出最优解所对应的点
第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值
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