范文一:问1.阶行列式定义的实质是什么?
问1.阶行列式定义的实质是什么? n
答 对阶行列式的定义的理解应把握以下四点: n
(1)行列式的值是一个具体的数;
n!n!(2)级排列的总数是,对所有排列求和,共有项; n
(3)每一项都是个不同元素的乘积,这个元素要求取自不同行不同列; nn(4)每一项的“符号”规则是当第一个下标排列为自然排列时,由第二个下标排列的
奇偶性而定.
例如,考虑4阶行列式
aaaa,,11121314
aaaa,,21222324, aaaa,,31323334
aaaa,,41424344
,DD由行列式的定义可知:是关于的4次多项式(因为中有正项
3,D,而其他各项的次数均低于4(中,的系数是()()()()aaaa,,,,,,,,11223344
( ,,,,()aaaa11223344
问2.能否由行列式定义得到下列2个关于的多项式的最高次项? x
x018
22231x
D,(1); 130530x
411243,,x
4xx01
22231xD,(2)( 230530x
4xx,124
D答 可以得出(考察中所有取自不同行、不同列的4个元素之积中含的幂次最高x
的那些项(
234DD(1)在中,含x的最高幂次的项为,从而中x的最高幂xxxx,,,,23(43)11
106698724xx18x次项为,且含项为,项系数均为零( xxx,,
234234xxxx,,,234xxxx,,,23D(2)在中,含x的最高幂次的项有两个,是和,2
101030xDx从而中的最高幂次项为( (246),,x2
问3((1)余子式与代数余子式有什么特点? (2)它们之间有什么联系?
DaMAan答 (1)对于给定的阶行列式,元素的余子式和代数余子式仅与元素ijijijij
a的位置有关,而与元素所在行和列元素大小和正负无关( ij
ij,(2)二者的关系是:,则当为奇数时,,当为偶(1),MA,AM,,ij,ij,ijijijij
数时,. A,Mijij
问4.范德蒙行列式有什么特点?
答 阶范德蒙行列式记为 Dxxx(,),,?nnn12
1111?
xxxx?123n
2222Dxxxx,?nn123,
????
nnnn,,,,1111xxxx?123n
有以下三个特点: Dn
i,1i(1)从行的角度看,第行元素从左向右依次是各变元的次幂,. in,1,2,,?
(2)从列的角度看,第列元素从上到下依次是变元的零次幂,1次幂,?,-1xjnj
次幂,. jn,1,2,,?
1(3)从结果看,是个变元的函数,是个一次因式之积,每nn(1),Dxxx,,…,n12nn2一个因式形如,其中,即下标大的变元与下标小的变元之差.于是阶xx,n1,,,jinij
范德蒙行列式是所有可能的下标大的变元与下标小的变元差的乘积.
问5.克拉默法则的意义是什么,
答 一方面,克拉默法则给出了求解个未知数个方程的线性方程组的一般结论,又nn
是个未知数个方程的线性方程组理论的基础. nm
另一方面,由克拉默法则可以得出以下三个结论:
Ax=bD,0(1)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解,则系数行列式;
Ax,0D,0(2)如果齐次线性方程组有非零解,则系数行列式;
Ax,0D,0(3)如果齐次线性方程组的系数行列式,则只有零解.
D,0问6.如果线性方程组的系数行列式,能不能说非齐次线性方程组有无穷多个解,
D,0答 对于个未知数个方程的线性方程组来说,系数行列式是方程组有唯一解nn
D,0因此,如果系数行列式的充要条件.,可以说方程组不是有唯一解,可能是无解或有无穷多解两种情况.
范文二:求该行列式的值详细的步骤是什么
考研屋 www.kaoyanwu.com
提供各大机构考研、公务员、四六级辅导视频课程
A1 X A2...An-1 1 A1 A2 A3...An-1 1 ... ... ... ... .. A1 A2 A3...X 1 A1 A2 A3...An x 求该行列式的值详细的步骤是什么
有人能帮帮我么,,
A1 A2 A3...An-1 1是不是应该是A1 A2 x...An-1 1
这是(n-1)×n矩阵,不是行列式。。。而且楼主写的矩阵看不清楚,A(n-1)和A(n),找不到规律。。。
A1 A2.....An-1 An中的1,2,3...n-1,n都是下标~
考研屋www.kaoyanwu.com :提供各大机构考研、公务员、四六级辅导视频课程 专业提供提供各大机构考研、公务员、四六级辅导视频课
范文三:面积_行列式_积分因子和Green公式
教学园地
公式 面积, 行列式, 积分因子和 Green
刘成仕, 杜兴华
( )大庆石油学院 数学系, 黑龙江 大庆 163318 摘要: 利用二阶行列式的几何意义是有向面积及积分因子的存在性给 G reen 公式一个新的证明. 尽管技
术上走得远了些, 但从概念上揭示了 公式异常简明的几何意义, 即 公式只是面积的两种不同表 G reen G reen ( ) 达方式. 同时这也蕴含了一个更深刻的哲学含义, 即一般性隐含于特殊性 或特例之中.
关键词: G reen 公式; 面积; 行列式; 积分因子
二阶行列式表示有向面积 1
引理 1 二阶行列式
x y 1 1 ()= x 1 y 2 - x 2 y 1 , 1 x y 2 2
() () 表示向量 x , y 和 x , y 所形成的平行四边形的有向面积 S. 1 1 2 2
()证明 可参考文献 1 , 这里给出一个证明 不妨假在第一象限, O 为坐标原点, 设 D
(和 C 的坐标分别为 x , y ) 和 (x + x , y + y ) , 过 D 和 C 分别做 x 轴的垂线, 与 x 轴分别 1 1 1 2 1 2
交于 A 和 B 两点, 从而有
)(2S 三角形OD C = 2 S 三角形OB C - S 三角形OA D - 2S 梯形A B CD S =
1 1 1 () () ( ) x 1 + x 2 y 1 + y 2 -x 1 y 1 -y 1 +y 1 + y 2 x 2 = 2 2 2 2
x 1 y 2 - x 2 y 1. =
简单闭曲线所围面积的公式 2
设为一简单闭曲线, 所围区域为不妨设原点位于, L D D 引理内. 2 D 的面积为
1 ()2 y - y dx ddx dy =? 2 κ D L
证明 设的坐标为 (, ) , 即 = = (, ) , = (, ) , 因此由引理1 知 和A x y rOA x y d rdx dy r d r
组 成的微元三角形的面积为,
x y 1 1 () = dy - y dx ()dS = x ,3 2 2 dx dy
收稿日期: 2004209205
数 学 的 实 践 与 认 识 37 卷 160
因此 L 所围的面积为
1 x dy -()y dx , 4 ? 2 L
() 又由的面积的二重积分表示知 2成立. D
积分因子 3
() () Q x , y 均为二元可微函数, 则存在二元可微函数 P 和 引理 3 设 P = P x , y , Q =1
Q , 使得1
()P dx + Q dy = P 1 dQ 1 - Q 1 dP 1 5
2 证明 由常微分方程的结论知, 存在积分因子 Λ 使得
() ΛP dx + ΛQ dy = d
1 2 ()取 Q 1 = Λ, P 1 = Q 1 <, 即得="" 5.="">,>
4 Green 公式的新证明
设 L ()定理 Green 公式 为分段光滑的简单闭曲线, 所围区域为D , P 和Q 为D 上连
续 二元可微函数, 则有下面的 G reen 公式
9Q 9P ()P dx + Q dy =6 - dx dy ? κ 9x 9y L D
证明 () 不妨设原点在D 内, 否则作变量平移即可. 由引理 3 中 5有
22 9P 9Q 19P 1 9Q 1 9Q 1 9P 1 1 9P ()= + P 1 -- 7 Q 1 9y 9x 9x 9y 9x 9y 9y 9y 9x
2 2 9P 9P 1 9Q 1 9Q 19Q 9Q 9P 1 1 1 ()Q 8 = + P 1 -- 1 9x 9y 9x 9y 9x 9y 9x 9x 9y
() () 由式 7和 8有
9P 1 9Q 1 9P 1 9Q 1 9Q 9P ()- = 2 - 9 9x 9y 9x 9y 9y 9x
() () () 由引理 2 和引理 3 中式 2和式 5以及式 9有
P dx + Q dy =P dQ -Q dP = 2dP dQ 1 1 1 1 1 1? ? κ L
9P 1 9P 1
9x 9y 9P 1 9Q 1 9P 1 9Q 1 = 2dx dy = 2x dy d- κκ9x 9y 9y 9x 9Q 9Q 1 1 D D 9x 9y
9Q 9P = - dx dy , κ 9x 9y D
这就完成了 G reen 公式的证明.
尽管技术上走得远了些, 但从概念上揭示了 G reen 公式异常简明的几何意义, 即 G reen
公式只是面积的两种不同表达方式. 同时这也蕴含了一个更深刻的哲学含义: 一般性隐含于 () 特殊性 或特例之中.
( 附注 本文完成后, 恰好南京大学物理系杨化通博士 现在北京大学物理学院做博士后
7 期 刘成仕, 等: 面积, 行列式, 积分因子和 G reen 公式 161
) 研究来访, 他给出了本证明的物理意义如下: 通过坐标变换将旋度归一化. 参考文献:
th . [. 4 . : , 1977.1 M ac lane SA Su rvey o f M o de rn A lgeb ra M edN ew Yo rkM acm illan 王柔怀, 伍卓群. 常微分方程讲义[. 北京: 人民教育出版社, 1979.M 2
, , A rea D e term inan tIn tegra l Fac tor
an d Green Form ula t ion
L IU C h en g 2sh i, DU X in g2h u a
()D ep a r tm en t o f M a th em a t ic s. D aq ing P e t ro leum In st itu te, D aq ing H e ilo ng jiang 163318, C h ina A bstrac t: A new p roo f fo r G reen fo rm u la t io n is g iven by u sing in teg ra l fac to r and th e re la t io n
. be tw een a rea and de te rm inan tIt show ed th a t G reen fo rm u la t io n w a s ju st tw o d iffe ren t
.rep re sen ta t io n s fo r a rea
Keywords: g reen fo rm u la t io n; a rea; de te rm inan t; in teg ra l fac to r
范文四:其中Mi1是k-1阶行列式√
矩阵与线性方程组 1
kki,1aA(,1)aMD==aM+1111,,i1i1i1i1i,1,2i
其中M是k,1阶行列式 i1
aa?a12121k
aa?a22232k
????
M= aa?ai1i,12i,13i,1k
aa?ai,12i,13i,1k
????
aa?ak2k3kk由归纳假设,将M按第一行展开 i1
kk1,(,1)jja(M)(,1)(,1)a(M)M== i1,,111jij111jijj,2,2j
这里的(M)表示M中a的余子式,也就是先将D中划去第i行(i1)i11ji11j
第一列,再划去第一行第j列所得行列式,它与先划去第一行第j列,再划去
第i行第一列所得行列式相同,即
(M)=(M) (i,1,j,1) i11j1ji1
因此有
kk,1ij(,1)a[(,1)a(M)]D= aM+ 1111,,1111ijij,,22ik
kk,1,ij(,1)aa(M) = aM+ 1111,,1111ijji,,22ij
kk1,ji(,1)a[(,1)a(M)] = aM+ 1111,,1111jiji,,22ji
线性代数 2
kkkjj1,1, = aM+(,1)aM=(,1)aM=aA 证毕1111,,,jjjj11111j1jjj,2,1j,1
例1.9 计算行列式
212
D= ,431
235
解 按照第一行展开,得
,41,4331D=2,1+2 352523
=2×(15,3),1×(,20,2)+2×(,12,6)=10 与按照第一列展开计算的结果完全一致。 1.3.2 行列式的性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的,因此,需要讨论行列式的性质,以便简化计算。
将行列式D的行列互换,得到的新行列式称为行列式D的转置行列式,记T,D为D或者,即若
aa?aaa?a11121n1121n1
aa?aaa?a21222n1222n2TD= 则 D=????????
aa?aaa?an1n2nn1n2nnn
T性质1.7 行列式转置后,其值不变,即 D=D 证明 当n=2时,显然成立。设当n=k-1时命题成立,现证n=k时,性质成立。
TT按第一行将D展开(D的行下标为j,列下标为i):
矩阵与线性方程组 3
k,1iTT(,1)aMD= ,11ii,1i
T其中是k-1阶行列式,由归纳假设可知 M1i
T=M Mi11i
kki,1T(,1)aMaA则 D===D 证毕,,i1i1i1i1,1i,1i
由性质1.7可知,行列式的行所具有的性质,对列也一定成立,对列所具
有的性质,对行也一定成立。因此,下面只对行证明其性质。
性质1.8 互换行列式的两行(列),行列式只改变符号。
证明 首先证明相邻两行互换的情况,记
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????D=aa?a ,=aa?ai1i2ini,11i,12i,1n
aa?aaa?ai,11i,12i,1ni1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
,是把D的第i行和第i+1行交换后得到的。 下面用数学归纳法证明:=,D
aa2122当n=2时, ,==aa,aa=,D 21122211aa1112
假设n=k,1时,=,D
线性代数 4
当n=k时,
aa?a11121k
aa?a21222k
????
,= aa?ai,11i,12i,1k
aa?ai1i2ik
????
aa?ak1k2kk
将按第一列展开:
1+12+1=(,1)a,+(,1)a,+… 11112121i+1i +1+1k+1+(,1)a,+(,1)a,+…+(,1)a,i+11i1i1i+11k1k1
其中表示中的第一列第m个元的余子式(m=1,2,…,k)。m1
设M表示D中a对应的余子式,由归纳假设可知:m1m1
当m,i, i+1时 =,M 而 ,=M,,=M m1m1i1i+11i+11i11+12+1i+1+1于是有 =,(,1)aM,(,1)aM,…,(,1)aM,11112121i+11i+11
ki+1k+1aA(,1)aM,…,(,1)aM=,=,Di1i1k1k1,i1i1i,1
即对任意正整数,相邻两行交换命题成立。
对于不相邻的两行交换,比如设互换D的第i行和第j行,这两行间夹有s行(s?1),交换后所得行列式记为。可以先将第i行与下面的s行逐步交换,交换s次,再将第j行与它上面的s+1行逐步交换,换到第i行的位置,一共进行了2s+1次相邻两行的交换,因此有
2s+1,=(,1)D=,D 所以,无论交换的两行是否相邻,行列式只改变符号。
推论1.1 行列式有两行(列)的对应元完全相同,则这个行列式为零。
矩阵与线性方程组 5
性质1.9 行列式中某一行(列)所有元的公因子,可以提到行列式符号外(既此因子乘以行列式)。既
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????D==,=,,,,,aa?aaa?ai1i2ini1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
上式中,将第二个行列式记为,。
推论1.2 如果行列式有一行(列)的元全为零,则行列式为零。
推论1.3 如果行列式有两行(列)的元对应成比例,则行列式为零。
性质1.10 如果行列式的某一行(列)的元都是两项的和,则可以把这个行列式化为两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)的元分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项,而其它位置的元不变,即
aa?a11121n
aa?a21222n
????D= ,,,bcbc?bci1i1i2i2inin
????
aa?an1n2nn
线性代数 6
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????=+=D+D 12bb?bcc?ci1i2ini1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
性质1.11 如果行列式的某一行(列)的元加上另一行(列)相应元的
倍,则行列式不变. 例如以数乘以第i行加到第j行上(记作r+,r),有j i
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????
aa?aaa?ai1i2ini1i2inD==????????
aaaa?aa,,,,,,aa?aj1j2jnj1i1j2i2jnin
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
性质1.9、1.10、1.11留给读者自己完成证明。 性质1.12 行列式D等于它的任意一行(列)的元与它的代数余子式的
乘积之和,即
n
aAD= (i=1,2,…,n) (1.14),ijijj,1
n
aAD= (j=1,2,…,n) (1.15),ijiji,1
矩阵与线性方程组 7
证明 事实上,j=1时,(1.15)的结论就是行列式的递推定义,无需证明;而i=1时,(1.14)式的结论就是定理1.6,已经证明。
下面就i>1的情形证明(1.14)式。把D中第i行元依次和它前面i,1行互换,当第i行换到第一行时的行列式记为D,即 1
aa?ai1i2in
aa?a11121nD= 1????
aa?an1n2nn
利用定理1.6,将这个行列式按第一行展开:
1+11+21+n D=(,1)aM+(,1)aM+…+(,1)aM 1i1i1i2i2inin
再由性质1.2,由于D是由D中的第i行交换了i-1次而得到的,因此有1
i-1D=(,1)D 1i+1i+2i+n =(,1)aM+(,1)aM+…+(,1)aM i1i1i2i2inin
=aA+aA+…+aA i1i1i2i2inin
则(1.14)式成立。由性质1.1可知(1.15)式也成立。 证毕
性质1.13 行列式某一行(列)的元与另一行(列)对应元的代数余子式的乘积之和为零。即
n
aA=aA+ aA+…+ aA=0 (i?j) (1.16)i1j1i2j2injn,ikjkk,1
n
aA=aA+ aA+…+ aA=0 (i?j) (1.17)1i1j2i2jninj,kikjk,1
证明 将行列式中的第j行元用第i行元代替,构造出辅助行列式,即
线性代数 8
aaa?11121n
????
aaa?ii1i2in
,= ????
aaa?ji1i2in
????
aaa?n1n2nn
由于中两行的元对应相等,所以=0。将按第j行展开,注意到中第j行第k列元的代数余子式,就是D中第j行第k列元的代数余子式A(k=1,2,…jkn),则=0改写为
n
aA=aA+ aA+…+ aA=0 i1j1i2j2injn,ikjkk,1
同理可证(1.17)式。
利用以上性质,可以简化行列式计算。
1.3.3 行列式的计算
对于阶数较高的行列式,直接利用行列式的定义计算并不是一个可行的方法。为解决行列式的计算问题,应当利用行列式性质进行有效的化简,化简的方法也不是唯一的,要善于发现具体问题的特点。
例1.10 已知行列式下三角形行列式D和上三角形行列式D 12
00a?aa?a1112111n
0aa?0a?a2222122n D= D=12????????
aa?a00?an1n2nnnn
试计算D和D 12
解 将D按照第一行展开,再将余子式也按照第一行展开,继续下去,即1
矩阵与线性方程组 9
a0?000a?2211
00aa?aa?32332122 D==a111????????
aa?aaa?an1n2nnn2n2nn
a?0033
=aa=…=aa…a 11221122nn????
aa?an3n4nn
同理,将D按照第一列展开,再将余子式也按照第一列展开,继续下去,2
得到
D= aa…a 21122nn
在行列式的计算中,常利用行列式的性质将行列式化成上三角形或下三角
形行列式进行计算。
例1.11 计算行列式
3211
2359 D= ,125,2
10,13
解 将D中第一行与第四行互换,得
10,13
2359D = — ,125,2
3211
再把第一行乘以(,2)加到第二行上去,第一行乘以(+1)加到第三行上去,
第一行乘以(,3)加到第四行上去,得
10,13
0373D = , 0241
024,8
线性代数 10 第三行乘以(,1)加到第二行上去,第三行乘以(,1)加到第四行上去,得
10,13
0123D = , 0241
000,9
第二行乘以(,2)加到第三行上去,得到一个上三角形行列式,由此可得
10,13
0123D = , =,1×1×(,2)×(,9)= ,1800,2,3
000,9
例1.12 计算
3111
1311D = 1131
1113
解 可以看出这个行列式的特点是各列元之和相等,因此,把各行都加到第一行上去,得
6666
1311D = 1131
1113
提出就第一行的公因子6,然后各行减去第一行,得
11111111
02001311D = 6=6=48 00201131
11130002
矩阵与线性方程组 11 此例的方法可以推广至同样结构的n阶行列式(n>1)
xa?a
ax?aD= n????
aa?x
例1.13 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
?1111
aaa?a123n2222aaa?aD== (a,a)123nij,1,j,i,n?????
n,1n,1n,1n,1aaa?a123n
证明 用数学归纳法。
11当n=2时, =a,a 结论成立。 21aa12
假设对于n=k,1时结论成立。
范文五:其中Mi1是k-1阶行列式
矩阵与线性方程组 1
kk,1iD==aM+aA(,1)aM1111,,i1i111iii,1,2i
其中M是k,1阶行列式 i1
aa?a12121k
aa?a22232k
????
M= aa?ai1i,12i,13i,1k
aa?ai,12i,13i,1k
????
aa?ak2k3kk由归纳假设,将M按第一行展开 i1
kk1,(,1)jjM== a(M)(,1)(,1)a(M)i1,,111111jijjij,2,2jj
这里的表示M中a的余子式,也就是先将D中划去第i行(i1)(M)i11ji11j
第一列,再划去第一行第j列所得行列式,它与先划去第一行第j列,再划去
第i行第一列所得行列式相同,即
= (i,1,j,1) (M)(M)i11j1ji1
因此有
kk,1ij(,1)a[(,1)a(M)]D= aM+ 1111,,1111ijij,,22ik
kk,1,ij = aM+ (,1)aa(M)1111,,1111ijji,,22ij
kk1,ji = aM+ (,1)a[(,1)a(M)]1111,,1111jiji,,22ji
线性代数 2
kkk1,1,jj = aM+== 证毕 (,1)aM(,1)aMaA1111,,,11111j1jjjjj,2,1j,1jj
例1.9 计算行列式
212
D= ,431
235
解 按照第一行展开,得
,41,4331D=2,1+2 352523
=2×(15,3),1×(,20,2)+2×(,12,6)=10
与按照第一列展开计算的结果完全一致。
1.3.2 行列式的性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的,因此,需要讨论行列式的性质,以便
简化计算。
将行列式D的行列互换,得到的新行列式称为行列式D的转置行列式,记T,为D或者D,即若
aa?aaa?a11121n1121n1
aa?aaa?a21222n1222n2TD= 则 D= ????????
aa?aaa?an1n2nn1n2nnn
T性质1.7 行列式转置后,其值不变,即 D=D
证明 当n=2时,显然成立。设当n=k-1时命题成立,现证n=k时,性质成
立。
TT按第一行将D展开(D的行下标为j,列下标为i):
k,1iTT(,1)aMD= ,11ii,1i
矩阵与线性方程组 3 T其中是k-1阶行列式,由归纳假设可知 M1i
T=M Mi11i
kk,1iT则 D===D 证毕 (,1)aMaA,,11i1i1ii,1i,1i
由性质1.7可知,行列式的行所具有的性质,对列也一定成立,对列所具
有的性质,对行也一定成立。因此,下面只对行证明其性质。 性质1.8 互换行列式的两行(列),行列式只改变符号。 证明 首先证明相邻两行互换的情况,记
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????
D= ,= aa?aaa?ai1i2ini,11i,12i,1n
aa?aaa?ai,11i,12i,1ni1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn是把D的第i行和第i+1行交换后得到的。 ,
下面用数学归纳法证明:=,D
aa2122当n=2时, ,==aa,aa=,D 21122211aa1112
假设n=k,1时,=,D
当n=k时,
线性代数 4
aa?a11121k
aa?a21222k
????
,= aa?ai,11i,12i,1k
aa?ai1i2ik
????
aa?ak1k2kk
将按第一列展开:
1+12+1=(,1)a,+(,1)a,+… 11112121i+1i +1+1k+1+(,1)a,+(,1)a,+…+(,1)a, i+11i1i1i+11k1k1
其中表示中的第一列第m个元的余子式(m=1,2,…,k)。 m1
设M表示D中a对应的余子式,由归纳假设可知: m1m1
当m,i, i+1时 =,M 而 ,=M,,=M m1m1i1i+11i+11i11+12+1i+1+1于是有 =,(,1)aM,(,1)aM,…,(,1)aM, 11112121i+11i+11
ki+1k+1(,1)aM,…,(,1)aM=,aA=,D i1i1k1k1,i1i1i,1
即对任意正整数,相邻两行交换命题成立。
对于不相邻的两行交换,比如设互换D的第i行和第j行,这两行间夹有s行(s?1),交换后所得行列式记为。可以先将第i行与下面的s行逐步交换,交换s次,再将第j行与它上面的s+1行逐步交换,换到第i行的位置,一共进行了2s+1次相邻两行的交换,因此有
2s+1,=(,1)D=,D
所以,无论交换的两行是否相邻,行列式只改变符号。
推论1.1 行列式有两行(列)的对应元完全相同,则这个行列式为零。
性质1.9 行列式中某一行(列)所有元的公因子,可以提到行列式符号外(既此因子乘以行列式)。既
矩阵与线性方程组 5
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????D==,=,, ,,,aa?aaa?ai1i2ini1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn上式中,将第二个行列式记为,。
推论1.2 如果行列式有一行(列)的元全为零,则行列式为零。 推论1.3 如果行列式有两行(列)的元对应成比例,则行列式为零。 性质1.10 如果行列式的某一行(列)的元都是两项的和,则可以把这个行列式化为两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)的元分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项,而其它位置的元不变,即
aa?a11121n
aa?a21222n
????D= ,,,bcbc?bci1i1i2i2inin
????
aa?an1n2nn
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????=+=D+D 12bb?bcc?ci1i2ini1i2in
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
性质1.11 如果行列式的某一行(列)的元加上另一行(列)相应元的倍,则行列式不变. 例如以数乘以第i行加到第j行上(记作r+,r),有 j i
线性代数 6
aa?aaa?a11121n11121n
aa?aaa?a21222n21222n
????????
aa?aaa?ai1i2ini1i2inD== ????????
,,,,,,aaaa?aaaa?aj1j2jnj1i1j2i2jnin
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn性质1.9、1.10、1.11留给读者自己完成证明。
性质1.12 行列式D等于它的任意一行(列)的元与它的代数余子式的乘积之和,即
n
D= (i=1,2,…,n) (1.14) aA,ijijj,1
n
D= (j=1,2,…,n) (1.15) aA,ijiji,1
证明 事实上,j=1时,(1.15)的结论就是行列式的递推定义,无需证明;而i=1时,(1.14)式的结论就是定理1.6,已经证明。
下面就i>1的情形证明(1.14)式。把D中第i行元依次和它前面i,1行互换,当第i行换到第一行时的行列式记为D,即 1
aa?ai1i2in
aa?a11121nD= 1????
aa?an1n2nn
利用定理1.6,将这个行列式按第一行展开:
1+11+21+n D=(,1)aM+(,1)aM+…+(,1)aM 1i1i1i2i2inin
再由性质1.2,由于D是由D中的第i行交换了i-1次而得到的,因此有 1i-1D=(,1)D 1i+1i+2i+n =(,1)aM+(,1)aM+…+(,1)aM i1i1i2i2inin
矩阵与线性方程组 7
=aA+aA+…+aA i1i1i2i2inin
则(1.14)式成立。由性质1.1可知(1.15)式也成立。 证毕
性质1.13 行列式某一行(列)的元与另一行(列)对应元的代数余子式的乘积之和为零。即
n
=aA+ aA+…+ aA=0 (i?j) (1.16) aAi1j1i2j2injn,ikjkk,1
n
=aA+ aA+…+ aA=0 (i?j) (1.17) aA1i1j2i2jninj,kikjk,1
证明 将行列式中的第j行元用第i行元代替,构造出辅助行列式,即
aaa?11121n
????
aaa?ii1i2in
,= ????
aaa?ji1i2in
????
aaa?n1n2nn
由于中两行的元对应相等,所以=0。将按第j行展开,注意到中第j行第k列元的代数余子式,就是D中第j行第k列元的代数余子式A(k=1,2,…jkn),则=0改写为
n
aA=aA+ aA+…+ aA=0 i1j1i2j2injn,ikjkk,1
同理可证(1.17)式。
利用以上性质,可以简化行列式计算。
1.3.3 行列式的计算
对于阶数较高的行列式,直接利用行列式的定义计算并不是一个可行的方法。为解决行列式的计算问题,应当利用行列式性质进行有效的化简,化简的
线性代数 8 方法也不是唯一的,要善于发现具体问题的特点。
例1.10 已知行列式下三角形行列式D和上三角形行列式D 12
a?aa?a0011n11121
aa?0a?a02122n222 D= D=12????????
aa?a00?an1n2nnnn试计算D和D 12
解 将D按照第一行展开,再将余子式也按照第一行展开,继续下去,即 1
a?a?00001122
aa?aa?0021223233=a D=111????????
aa?aaa?an1n2nnn2n2nn
a?0033
=aa=…=aa…a ????11221122nn
aa?an3n4nn
同理,将D按照第一列展开,再将余子式也按照第一列展开,继续下去,2
得到
D= aa…a 21122nn
在行列式的计算中,常利用行列式的性质将行列式化成上三角形或下三角
形行列式进行计算。
例1.11 计算行列式
3211
2359 D= ,125,2
10,13解 将D中第一行与第四行互换,得
矩阵与线性方程组 9
10,13
2359D = — ,125,2
3211
再把第一行乘以(,2)加到第二行上去,第一行乘以(+1)加到第三行上去,第一行乘以(,3)加到第四行上去,得
10,13
0373D = , 0241
024,8
第三行乘以(,1)加到第二行上去,第三行乘以(,1)加到第四行上去,得
10,13
0123D = , 0241
000,9
第二行乘以(,2)加到第三行上去,得到一个上三角形行列式,由此可得
10,13
0123D = , =,1×1×(,2)×(,9)= ,18 00,2,3
000,9
例1.12 计算
3111
1311D = 1131
1113
解 可以看出这个行列式的特点是各列元之和相等,因此,把各行都加到第一行上去,得
线性代数 10
6666
1311D = 1131
1113
提出就第一行的公因子6,然后各行减去第一行,得
11111111
13110200D = 6=6=48 11310020
11130002此例的方法可以推广至同样结构的n阶行列式(n>1)
xa?a
ax?aD= n????
aa?x
例1.13 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1111?
aaa?a123n2222aaa?aD== (a,a)123nij,1,j,i,n?????
n,1n,1n,1n,1aaa?a123n
证明 用数学归纳法。
11当n=2时, =a,a 结论成立。 21aa12
假设对于n=k,1时结论成立。
当n=k时,从第k行开始,逐行减去上面相邻行的a倍,得1
矩阵与线性方程组 11
转载请注明出处范文大全网 » 问1阶行列式定义的实质是什么