范文一:初中四边形提高题、难题汇总50题
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学生: 科目:数学 第 阶段第 次课 教师: 谭前富
1.已知:在矩形ABCD中,AE⊥BD于E, ∠DAE=3∠BAE ,求:∠EAC的度数。
2.已知:直角梯形ABCD中,BC=CD=a 且∠BCD=60?,E、F分别为梯形的腰AB、 DC的中点,求:EF的长。
3、已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC, AD=BC,E、F分别为AD、BC的中点,BD 平分∠ABC交EF于G,EG=18,GF=10 求:等腰梯形ABCD的周长。
4、已知:梯形ABCD中,AB∥CD,以AD, AC为邻边作平行四边形ACED,DC延长线 交BE于F,求证:F是BE的中点。
5、已知:梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥CB,AC平分∠A,又∠B=60?,梯形的周长是20cm, 求:AB的长。
6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、
__ B
_ A
_B
_B_ C
_ A_ B
_ E
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BF、CG、DH,垂足分别是E、F、G、H,求证:EF∥GH。
7、已知:梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F,使S=S,求证:DF∥AC。
?ABC?EBF
8、在正方形ABCD中,直线EF平行于 对角线AC,与边AB
、BC的交点为E、F, 在DA的延长线上取一点G,使AG=AD, 若EG与DF的交点为H, 求证:AH与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC的边AB为边, 在三角形ABC的外部作正方形ABDE,
AF是BC边的高,延长FA使AG=BC,求证:BG=CD。
10、正方形ABCD,E、F分别是AB、AD延长线 上的一点,且AE=AF=AC,EF交BC于G,交AC 于K,交CD于H,求证:EG=GC=CH=HF。
11、在正方形ABCD的对角线BD上,取BE=AB, 若过E作BD的垂线EF交CD于F, 求证:CF=ED。
_B _B
_F
_C
_B _F _C
_A _B _E
_D
_F
_B _C
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12、平行四边形ABCD中,∠A、∠D的平分线相交于E,AE、DE与DC、AB延长线交于G、F,求证:AD=DG=GF=FA。
13、在正方形ABCD的边CD上任取一点E, 延长BC到F,使CF=CE, 求证:BE⊥DF
14、在四边形ABCD中,AB=CD,P、Q 分别是AD、BC中点,M、N分别是对角线 AC、BD的中点,求证:PQ⊥MN。
15、平行四边形ABCD中,AD=2AB, AE=AB=BF求证:CE⊥DF。
16、在正方形ABCD中,P是BD上一点, 过P引PE⊥BC交BC于E,过P引PF⊥CD 于F,求证:AP⊥EF。
17、过正方形ABCD的顶点B引 对角线AC的平行线BE, 在BE上取一点F,
使AF=AC,若作菱形CAFé, 求证:AE及AF三等分∠BAC。
_ D_ E
_ B_ Q _ E_ A
_B
_ F
_F
_ C
_ E
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18、以?ABC的三边AB、BC、CA分别
为边,在BC的同侧作等边三角形ABD、 BCE、CAF,求证:ADEF是平行四边形。
19、M、N为?ABC的边AB、AC的中点, E、F为边AC的三等分点,延长ME、NF 交于D点,连结AD、DC,求证: ⑴BFDE是平行四边形, ⑵ABCD是平行四边形。
20、平行四边形ABCD的对角线交于O, 作OE⊥BC,AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm, 求:平行四边形ABCD的面积。
21、在梯形ABCD中,AD∥BC,高AE=DF =12cm,两对角线BD=20cm,AC=15cm, 求梯形ABCD的面积。
22、在梯形ABCD中,二底AD、BC 的中点是E、F,在EF上任取一点O, 求证:S?OAB=S?OCD
23、平行四边形ABCD中,EF平行于
对角线AC,且与AB、BC分别交于E、F, 求证:S?ADE=S?CDF
24、梯形ABCD的底为AD、BC,
_B_N_C
_B
_E_B
_E_F _C
_B _F
_C _B
_F _C
若CD的中点为E 求证:S?ABE=
12
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SABCD
25、梯形ABCD的面积被对角线BD分成
3:7两部分,求这个梯形被中位线EF分成 的两部分的面积的比。
26、在梯形ABCD中,AB∥CD,M是BC边 的中点,且MN⊥AD于N, 求证:SABCD=MN?AD。
_ A
_ B
_ A_ B
27、求证:四边形ABCD的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半。
28、平行四边形ABCD的对边AB、 CD的中点为E、F,
求证:DE、BF三等分对角线AC。
29、证明:顺次连结四边形的各边中点的四边形是形,其周长等于原四边形的对角线之和。
_ B
_ C
平行四边
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30、在正方形ABCD的CD边上取一点G, 在CG上向原正方形外作正方形GCEF, 求证:DE⊥BG,DE=BG。
31、在直角三角形ABC中,CD是斜边AB 的高,∠A的平分线AE交CD于F,交BC 于E,EG⊥AB于G,求证:CFGE是菱形。
32、若分别以三角形ABC的边AB、AC
为边,在三角形外作正方形ABDE、ACFG, 求证:BG=EC,BG⊥EC。
33、求证:对角线相等的梯形是等腰梯形。
34、正方形ABCD中,M为AB的任意点, MN⊥DM,BN平分∠CBF, 求证:MD=NM
35、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm, BC=28cm,EF∥AB且EF平分ABCD的面积,求:BF的长。
_A
_D
_G _B
_B
_C __M
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36、平行四边形ABCD中,E为AB上的任一点, 若CE的延长线交DA于F,连结DE, 求证:S?ADE=S?BEF
37、过四边形ABCD 的对角线BD
的中点E 作AC的平行线FEG,与AB、AC的交点分别为F、G,求证:AG或FC平分此四边形的面积,
38、若以三角形ABC的边AB、AC为边 向三角形外作正方形ABDE、ACFG, 求证:S?AEG=S?ABC。
39、四边形ABCD中,M、N分别是对角线 AC、BD的中点,又AD、BC相交于点P, 求证:S?PMN=1ABCD4
S。
40、正方形ABCD的边AD上有一点E, 满足BE=ED+DC,如果M是AD的中点, 求证:∠EBC=2∠ABM,
41、若以三角形ABC的边AB、BC为边向 三角形外作正方形ABDE、BCFG,N为AC 中点,求证:DG=2BN,BM⊥DG。
_D
_A
_F
_A
_F
_B
_B
_C
_A _B
_B
_C
42、从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行 于BD,使BE=BD,若BE、CD的交点为F, 求证:DE=DF。
43、平行四边形ABCD中,直线FH与AB、 CD相交,过A、D、C、B,向FH作垂线, 垂足为G、F、E、H, 求证:AG-DF=CE-BH。
44、四边形ABCD中,若∠A=∠C, 求证各角平分线围成的四边形等腰梯形。
45、正方形ABCD中,∠EAF=45? 求证:BE+DF=EF。
46、正方形ABCD中,点P与B、C的 连线和BC的夹角为15? 求证:PA=PD=AD。
47、四边形ABCD中,AD=BC,EF为AB、DC
_F
_B_E
_A _B
的中点的连线,并分别与AD、BC延长线交于
M、N,求证:∠AME=∠BNE。
48、正方形ABCD中,MN⊥GH, 求证:MN=HG。
49、正方形ABCD中,E是边CD 的中点,F是线段CE的中点 求证:∠DAE=12
∠BAF。
50、等腰梯形ABCD中,DC∥AB, AB>CD,AD=BC,AC和BD交于O, 且所夹的锐角为60?,E、F、M分别 为OD、OA、BC的中点。
求证:三角形EFM为等边三角形。
_N
_E _F
_B
_C
_A
_B
范文二:四边形难题
1、如,矩形片图图图图图图ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,ED=2cm,AD上有一点P,PD=3cm,图P作交BC于点F,将片折叠,使图图图图图图P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,图QF的是图图___________。A
E
B
C
D
F
G
H
I
J
2、如,五形图图图图图ABCDE是正五形,曲图图图图图EFGHIJ…叫做正五形“图图ABCDE的,其中图图图”EF、FG、GH、HI、IJ…的心依次按图图图图图A、B、C、D、E循,它依次相接,如果图图图图图图图图图图图图AB=1,那曲图图图EFGHIJ的度图图图 ,图果保留π,
3、29、数学上,老出示了:如 图图图图图图图图图图图图图图11,四形图图ABCD是正方形,点E是图BC的中点,?AEF=90?,且EF交正方形外角?DCG的平分图CF于点F,求:图图AE=EF,图图图图图图图图图图图图思考,小明展示了一正确的解思路:取AB的中点M,接图图ME,图AM=EC,易图?AME?ECF?,所以AE=EF,
在此基上,同学作了一图图图图图图图图图图图的研究:步
,1,小提出:如图图图图图图12,如果把点“E是图BC的中点改点”图“E是图BC上,除B,C外,的任意一点,其它条件不,那”图图图图图图“AE=EF”仍然成立,你小的点正确图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图,如果正确,写出明程,如果不正确,明理由,
图11
图12
图13
,2,小提出:如图图图图图图13,点E是BC的延上,除图图图图图C点外,的任意一点,其他条件不,图图图“AE=EF”仍然成立,你小的点正确,如果正确,写出图图图图图图图图图图图图图图图图图图图明程,如果不正确,明理由,图图图图图图图图图图图图图图图
30、,1,如图19,在正方形ABCD中,M是BC图,不含端点B、C,上任意一点,P是BC
延上一点,图图图图图图N是?DCP的平分上一点,若?图图图图图图图AMN=90?,求:图图AM=MN,
下面出一明的思路,你可以按一思路明,也可以另外的方法明,图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图
图图明:在AB上截取AE=MC,图ME,正方形ABCD中,?B=BCD=90??,
AB=BC,
??NMC=180?,?AMN,?AMB=180?
?B—???,AMB=MAB=MAE
,下面你完成余下的明程,图图图图图图图图图图图图
,2,若将(1)中的正方形“ABCD”改正三角形图“ABC”,如图20,,N是?ACP的平分上图图一点,当?图图图AMN=60?图图图,AM=MN是否成立,明理由,图图图图图图图图图图
,3,若将,1,中的正方形“ABCD”改正形图“图图ABCD…X”,你作出猜图图图图图想:当?AMN= ?图图图,AM=MN仍然成立,,直接写出答案,不需要图明,
图19
A
B
C
B1
C1
D
D1
A1
D2
C2
B3
A3
C3
B2
D3
A2
……
,图13,
31、如图13,四形图图ABCD中,AC=6,BD=8且AC?BD图图图图图图次接四形ABCD各中图图点,得到四形图图ABCD,再次接四形图图图图图图图ABCD各中点,得到四形图图图图图图图图图11111111
ABCD……如此行下去得到四形图图图图图图图图图ABCD .2222nnnn
,1,明:四形图图图图图图ABCD是矩形, 1111
,2,写出四形图图ABCD和四形图图ABCD的面,图图11112222
,3,写出四形图图ABCD的面,图图 nnnn
,4,求四形图图ABCD的周图.5555
35、如图7,在梯形ABCD中, AD?BC,,BC=11cm,点P从点D图始沿DA图以秒每1cm的速度移,点图图图Q从点B图始沿BC图以秒每2cm的速度移图,当点P到达点A图,点P与点Q同停止移,,假点图图图图图图图图图图P移的图图图图图x
2,秒,,四形图图ABQP的面图图y,cm,,
,1,求y图于x的函数解析式,并写出它的定域,图图图
,2,在移的程中,求四形图图图图图图图图图图ABQP的面与四形图图图图图QCDP的面相等图图图图x的,图图
,3,在移的程中,是否存在使得图图图图图图图图图图图图PQ=AB,若存在求出所有的,若图图图不存在明理由,图图图图图图
图7
范文三:四边形难题攻略
1、如图1―4―15,矩形ABCD中 ,E在 AD上,且EF?EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则 AE的长是( A )
A(3 B(4 C(5 D(7
?AEF??CDE(AAS) AE=CD AE=(8-2)/2=3
2、如图1―4―2l,在边长为a的菱形ABCD中,?DAB,60?,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足A E,CF=a,说明:不论E、F怎样移动,三角形BEF总是正三角形( 解:(1)连接DB.
证明:??DAB=60?,?在菱形ABCD中,DB=AB.?CDB=?DAB.
即CF+FD=CD.又AE+CF=CD,?AE=FD.
??DFB??AEB.(SAS)
?FB=EB,且?FBD=?EBA.又?DBE+?EBA=60?.??FBD+?DBE=60?.
??BEF为正?.
?3、如图1,4,38,等腰梯形ABCD中,AD?BC,AB =CD,? DBC,45 ,翻折梯形使点B重合于点 D,折痕分别交边 AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8,求BE的长
做DG?AB,DG=AB=CD
AB=CD ?BDE=45? ?DEC=45+45=90
DE?BC 在等腰?DGC中,DE也为中线,GE=CE
CE=(8-2)/2=3 BE=8-3=5
4、如图l,4,45,求?A,?B,?C,?D+?E,?F+?G的和(
?A+?B+?C=360?,?1
?D+?E=180?,?2 ?E+?F+?G=360?,?3
?A,?B,?C,?D+?E,?F+?G
=360+360+180-(?1+?2+?3+?E)=360+360+180-360=540?
5、如图1,4,53,矩形ABCD中,AC与 BD交于 O点,BE?AC于 E,CF?BD于 F(求证:BE=CF(
?BEO?CFO(AAS) BE=CF
6、如图1,4,57,顺次连结圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD,10,DF,4,则菱形ABCD的边长为( D )
(A4 (B)5 (C)6 (D)9 22
设内部矩形与圆的右上方交点为K
O为BD中点,A为矩形中点,推出AODK为矩形,推出AD=OK OK为圆的半径R,因此,菱形ABCD的边长=R
EF=BD+2DF=2R R=9
7、如图1,4,59,是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15?的可活动菱形衣架(若墙上钉子间的距离AB,BC,15?,则?1,120度
对角线等于边长,可得两个等边?
?A=60?,?1=180?-60?=120?
8、小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工(如图1,4,61甲所示),他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1,4,61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)
?+?+? ?+?+?
9、已知:如图l,4,23,以?ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形,即?ABD、?ACF、?BCE,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形,
(2)当?ABC满足什么条件时,四边形ADEF是
矩形,
? EDB??BAC?CEF
?EF=AB=AD
?AD=EF DE=AF
?四边形ADEF是平行四边形
2..?DAF=90?
?BAC=360-60-60-90=150
当?BAC=150?时四边形ADEF是矩形
10、在一次数学兴趣小组活动中,组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着,并问同学,重叠部分是一个什么样的四边形,同学说:这是一个平行四边形(乙同学说:这是一个菱形(
请问:你同意谁的看法(要解决此题,需建构数学模型,将实际问题转化成数学问题来解决,即已知:如图1,4,24,四边形ABCD中,AB?CD,AD?BC,边CD与边BC上的高相等,试判断四边形 ABCD的形状(
AB?CD,AD?BC,四边形ABCD为平行四边形
S=BC*h2=CD*h1 h1=h2 BC=CD 四边形ABCD为菱形
11、如图1-4-62,正方形ABCD的边长为1 cm,AC是对角线,AE平分?BAC,EF?AC((1)求证:BE
,CF( (2)求BE的长(
(1)角平分线上任意一点到角两边的距离相等 BE=CF
(2)AC=?2 ?ABE??AEF(AAS) AF=AB=1 CF=?2-1 BE=EF =CF=?2-1
13、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线,与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的
( A )
A(两腰长的和 B(周长的一半 C(周长 D(一腰长与底边长的和
AD,2BC,4214、如图,在梯形中,,,,,,,,B45ABCDADBC?ABAC,
求的长( DCA D
B C 延长AD 做AE?CE ,AC=4?2/?2=4
CE=4/?2=2?2=AE AD=2?2,?2=?2
根据勾股定理即可得DC=? (2?2)?+?2?=?10
15、如图,在平行四边形中,为的中点,连接并延长交的延长线于EAEABCDBCDC
D点( F
A(1)求证:; AB,CF
C
(2)当与满足什么数量关系时, AFBCEB
F四边形是矩形,并说明理由( ABFC
1.AB?CF ?ABE=?ECF ?ABE??CEF(ASA) AB=CF 2.当BC=AF时,四边形是矩形,?AF,BC互相平分,?四边形ABFC是平行四边形,ABFC
当BC=AF时,四边形ABFC为矩形
016、在梯形ABCD中,AB?CD,,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点,试判断EC,,A90
与EB的位置关系,并写出推理过程。
过C点作CF?AB,垂足为F
则AF=CD=BF=1,?A=90?
则?F=90?,CF,?(BC?-BF?)=2?2
则AE=DE=?2
则CE=?(DE?+DC?)=?3,BE=?(AB?+AE?)=?6
则BC?,9,CE?+BE?=3+6=9
?BC?=BE?+CE?
即?CEB=90?
即EC?EB。
D A
F
E B C
18、.延长正方形ABCD的一边BC至E,使CE,AC,连结AE交CD于F,则?AFC的度数是(A )
A、112.5? B、120? C、122.5? D、135? ?BCA=45 ?CAE=45/2=22.5 ?AFC=90+22.5=112.5
19、(如图?ABC与?CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF?AB (1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)设CD,4,求D、F两点间的距离(
?DEC=?ECF ?DCE=?CEF
DC?EF DE?CF 四边形CDEF为平行四边形
CD=DE 四边形CDEF为矩形
2.连接DF =?3CE=4?3
20、如图,已知在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,?且CE=CF(
(1)求证:?ABE??ADF;
(2)过点C作CG?EA交AF于H,交AD于G,若?BAE=25?,?BCD=130?,求?AHG的度数(
21、已知梯形ABCD中,AD?BC,AD=2,BC=4,对角线AC=5,BD=3,?试求此梯形的面积(
17、如图l,4,80,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作AG?EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF(
(1)请证明0E=OF
(2)解答(1)题后,某同学产生了如下猜测:对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG?EB,AG交
EB的延长线于 G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,则仍有OE=OF(问:猜测所得结
论是否成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由(
范文四:四边形的难题
矩 形
例1 已知:如图4-26所示,?ABC中,AB=AC,?BAC=90?,D为BC的中点,P为BC的延长线上一点,PE?直线AB于点E,PF?直线AC于点F(求证:DE?DF并且相等(
分析 如图4-26,由已知AD?CD并且相等,而求证是DE?DF并且相等,所以应该有?ADE??CDF(反之,如果证明了这两个三角形全等,问题也就解决了(在?ADE和?CDF中,只要证明了AD=CD,AE=CF及?EAD=?FCD就可以了(但这三个相等关系都容易证明(
证明 如图4-26所示,AD=CD(由已知条件可知AEPF为矩形,所以AE=PF(而由于?PCF=45?,?CPF=45?,所以?PCF=?CPF,所以PF=CF,这就有AE=CF(最后?EAD=135?=?FCD,
所以 ?ADE??CDF(
于是?EDF=?ADC=90?,从而有DE?DF并且相等(
例2 已知:如图4-27,ABCD为矩形,CE?BD于点E,?BAD的平分线与直线CE相交于点F(求证:CA=CF(
分析一 如图4-27所示,由于CA,CF是?CAF的两边,因此要证明CA=CF,可试证?CFA=?CAF(由于CF?BD,因此作AG?BD于点G,则AG?CF,从而?CFA=?FAG(于是问题转化为证明?FAG=?CAF(但已知AF是?BAD的平分线,因此问题又转化为证明?BAG=?CAD(但证明这两个角相等不会有什么困难了(
证法一 如图4-27所示,作AG?BD于点G,?BAG与?ABD互余,?CAD=?ADB与?ABD互余,所以?CAD-?BAG(
而AF平分?BAD,所以?CAF=?FAG(
由于AG?CF,所以?CFA=?FAG,
从而 ?CFA=?CAF(
所以 CA=CF(
分析二 证明?CFA=?CAF还可以考虑用计算的方法进行(设?CAD=?BDA=α,则?ACE=90?-?COD=90?-2α(
而?CAF=?DAF-?CAD=45?-α(
所以 ?CFA=45?-α(
从而 ?CFA=?CAF(
问题解决了(
证明从略(
4 菱形
-44所示,ABCD为菱形,通过它的对角线的交点O作AB,例1 已知:如图4
BC的垂线,与AB,BC,CD,AD分别相交于点E,F,G,H(求证:四边形EFGH为矩形(
分析 证明四边形EFGH为矩形有几个方法(而已知EFGH的对角线都通过AC,BD的交点O,并且各垂直于菱形的两组对边,所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形(由于OE?AB,OH?AD,所以立即看出OE=OH(这样EFGH明显是矩形了(
证明 如图4-44所示,由于OA平分?A,并且OE?AB,OH?AD,由角平分线的性质知道OE=OH(同理,
OE=OF,OF=OG,OG=OH(
所以EFGH的对角线EG,FH互相平分并且相等,所以EFGH为矩形(
例2 已知:如图4-45所示,五边形ABCED中,AB=BC=CE=ED =DA,并且?CED= 2?AEB(求证:四边形ABCD为菱形(
分析 在四边形ABCD中,已知AB=BC=AD,因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了(在ABCD中,已知AD=BC,因此只要证明了AD?BC问题就解决了(由于?CED=2?AEB,从而在?AEB内部作射线EF,使?AEF=?AED,同时也就有?BEF=?BEC(而由于ED=DA,所以?EAD=?AED,从而?AEF=?EAD,这就有AD?EF(至此,问题已经解决了(
证明 如图4-45所示,由于?CED=2?AEB,所以?AEB=?AED,?BEC(因此可在?AEB内部作射线EF,使?AEF=?AED,?BEF=?BEC(而由于ED= DA,所以?AED=?EAD(从而?AEF=?EAD(这样AD?EF(同理BC?EF,从而AD?BC(
既然AD?BC,又已知AD=BC,所以四边形ABCD为平行四边形(而AB=BC,所以ABCD为菱形(
?5 正方形
例1 已知:如图4-55所示,E是正方形ABCD内一点,且?EAB=?EBA=15?(求证:?CDE为等边三角形(
分析一 在?CDE中,显然CE=DE,所以只要证明了CD=DE问题就解决了(但直接证明CD=DE有困难,因此可改证DA=DE(DA,DE是?DAE的两条边,因此可证明?DEA=?DAE(而证明这两个角相等也有困难,所以考虑加辅助线利用全等三角形证明(由于?ADE应该是30?,而?DAE=75?,所以在?DAE内取点F,使?FDA=?FAD=15?,这就容易证明?FDA??FDE,问题得到解决(
证法一 如图4-55A(,在?DAE内部取点F,使?FDA=?FAD=15?,连结线段EF(在?AEF中,?FAE=60?,AE=AF(为什么,),所以?AEF为等边三角形,所以AF=EF(
又?AFD=150?,?EFD=360?-?EFA-?AFD=360?-60?-150?=150?,从而?AFD=?EFD(
在?FDA和?FDE中,FD=FD,AF=EF,?AFD=?EFD,所以?FDA??FDE(从而DA=DE(
于是DE=DA=CD,同理CE=CD,所以?CDE为等边三角形(
分析二 本例也可以用一种间接的方法证明(如图4-55B(,先在正方形内作一等边三角形CDE′,只要证明了?CDE和?CDE′重合就可以了(而要证这两个三角形重合,只需证明E与E′重合,要证明这两个点重合,只需证明射线AE与射线AE′重合,射线BE与射线BE′重合,要证明这两组射线分别重合,只需证明?BAE′=?ABE′=15?(但这很容易(
证法二 如图4-55B(,在正方形ABCD内作等边三角形CDE′,连结线段AE′,BE′(在?DAE′中,?E′DA=90?- 60?=30
BAE′=90?-75?,15?,从而射线AE与射线AE′重合(同理,射线BE与射线BE′重合,于是E与E′重合(这样,?CDE与?CDE′重合,所以?CDE是等边三角形(
点评 证法二的方法如下:当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时,可先作出具有该性质的图形,然后证明所作的图形与原图形重合,即是同一图形(因而原图形具有该性质(这种间接的证明方法叫做同一法(
例2 已知:如图4-56A(,直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC,E为l上一点,EC=AC,并且EC与边AD相交于点F(求证:AE=AF(
分析 如图4-56A(,AE,AF是?AEF的两边,因此要证明AE=AF,可考虑证明?AEF=?AFE(由已知条件EC=AC,如果求出?ACE的大小显然问题就解决了(在初等几何中见到的特殊角常是30?,45?,60?的角(从直观上看,?ACE可能是30?角(作EH?
所以l上每个点到AC上引的垂线段都相等,所以
题得到解决(
证明 如图4-56,作DO?AC于点O,作EH?AC于点H,则
在?ACE中,?ACE=30?,EC=AC,所以?CEA=75?,?CAE=75?(而?CAD=45?,所以?EAF=30?,所以?AFE=75?(这样,?AEF=?AFE(=75?),从而AE=AF(
点评 本例中,点E与A位于BD同侧(如图4-56B(,点E与A位于BD异侧,直线EC与DA的延长线交于点F,这时仍有AE=AF(请读者自己证明(
例3 已知:如图4-57,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的一点,并且?EAF=45?(求证:?AEF的高线AH=AB(
分析 如图4-57,AH,AB分别是?AHE和?ABE的边,这两个三角形应该全等(证明了它们全等,也就证明了AH=AB(这两个三角形都是直角三角形,并且有一条公共边,证明它们全等还缺少一个条件(应注意?EAF=45?恰是直角的一半,所以?FAD,?BAE=45?是直角的一半(如果把?FAD绕顶点A旋转90?到?KAB的位置,那么新得到的?AEK和?AEF就各有一个45?角,很容易证明这两个三角形全等,进一步就有?AHE??ABE,问题得到解决(
证明 如图4-57,延长CB到K,令BK=DF(连结线段AK,则?ABK??ADF,
所以?BAK=?DAF,从而?EAK,?EAB,?BAK,45?,?EAF( 在?EAF和?EAK中,AE=AE,AF=AK,?EAF= ?EAK,所以?EAF??EAK,
所以?AEF=?AEK(
在?AHE和?ABE中,?AEH=?AEB,?EHA= ?EBA=直角,AE为公共边,所
以?AHE??ABE,从而AH=AB(
6(判定正方形为什么不强调判定定理,
答:在“四边形”这一章里,顺次学习了平行四边形、矩形、菱形的性质、判定定理,可是学到正方形时,书上就只有性质定理,而没有判定定理了(是遗漏了吗,不~这是因为正方形的判定方法有多种多样(先看看正方形与其他四边形的关系:
要判定正方形,可以从平行四边形出发,证一组邻边相等且夹角为90?;可以从矩形出发,证一组邻边相等;可以从菱形出发,证一角为直角等等;或者干脆从定义出发,都可进行判定(只要搞清它们之间的关系,看清题目中的条件,就不会感到束手无策(
例1 已知:正方形ABCD中,AE=BF=CG=DH(
求证:四边形EFGH是正方形(
分析:这个图形是一种旋转型的图形,有四个直角三角形(如果能证出其中两个全等,那么就能证得周边四个直角三角形全等,从而证得四边形EFGH的四条边相等,且各个角是直角,即能得到结论((证明略)
例2 求证:矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形(
分析:四边形ABCD是矩形,每个内角是90?,加上内角平分线的条件,可以得到?1=?2=??=?8=45?,那么容易得到?H、?F、?HEF和?HGF是90?,四边形EFGH已经是矩形了(所以这题证明的最好方法是从证矩形出发再证一组邻边相等,即 可证得结论((证明略)
例3 已知:在四边形ABCD中,AC=BD,AC?BD,E、F、G、H分别是各边中点(求证:四边形EFGH是正方形(
分析:若能注意到中位线的性质,那么可证得任意四边形中点连线围成一个平行四边形(然后证它既具有矩形特点(即有一个角为直角)又具有菱形的一个特点(即相邻两边相等),而由条件AC=BD,AC?BD,即可证得EF=FG,?EFG=90?(因此四边形EFGH是正方形((证明略)
从以上举的几个例子,你是否觉得证明正方形的方法确实不少,
练习:
求证:以平行四边形的各边为边,向形外作正方形,这样所得的正方形的中心是另一个
正方形的四个顶点(
范文五:四边形难题
1、以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向形外作等边三 角形ABE和等边三角形BCF,连结EF、EC, 求证:⑴EF=EC;
⑵探索EB、CF所在的直线的位置关系.
2、如图10-1,△ABC,△ABD均为等腰直角三角形,∠ACB=∠BAD=90°,点P为边AC上任意一点(点P不与A、C两点重合),作PE⊥PB交AD于点E.
(1)求证:∠AEP=∠ABP;P为AC延长线上任意一点,PE交DA的延长线于点E(图10-2),其他条件不变,(2)中的结论是否成立?请证明你的结论。
C
图
10-1
制图:问鼎教育
B
PA
D
D
E
制图:问鼎教育
3.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D. (1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
Q
BC
4、已知,如图11,在平面直角坐标系中,A、B两点坐标分别为A(4,0),B(0,8),直线y=2与直线AB交于点C,与y轴交于点D; (1)求直线AB的解析式;
(2)点E是直线AB上的一个动点,问:在y轴上是否存在点F,使得△DEF为等腰直角三角形?若存在,请求出点E及对应的点F的坐标;若不存在,请说明理由。
5.如图1,在△ABC,∠A=45°,延长CB至D,使得BD=BC. (1)若∠ACB=90°,求证:BD=AC;
(2)如图2,分别过点D和点C作AB所在直线的垂线,垂足分别为E、F,求证:DE=CF;
(3)如图3,若将(1)中“∠ACB=90°”改为“∠ACB=m°,并在AB延长线上取点G,使得∠1=∠A”.试探究线段AC、DG的数量与位置关系.
6.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF. (1)试探索EF与AB位置关系,并证明;
(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=m°,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?为什么?
1.(1)证明:∵∠EPB=∠BAD=90° ∴∠AEP=90°-∠1
∠ABP=90°-∠2 ∵∠1=∠2
∴∠AEP=∠ABP????1分
(2)PB=PE???????????2分 证明:过点P作PM⊥AC交AB于点M 等腰直角三角形△ABC中,∠BAC=45° ∴∠PAM=∠AMP=45°
∴ PA=PM??????????3分 ∵∠PAE=45o+90o=135o ∠PMB=180o-45o=135o
∠PAE=∠PMB???????4分 又∠AEP=∠ABP
∴△APE≌△MPB???????5分 ∴PB=PE (3)成立
过点P作PM⊥AB于点M, 作PN⊥DA交DA延长线于点N. ∵∠PAB=∠PAN=45°
∴PM=PN?????????????6分 ∵∠3+∠MAE=∠4+∠MAE=90°
∴∠3=∠4 ????????????7分 ∵∠PMB=∠N=90° ∴△PBM≌△PEN
∴PB=PE ????????????8分 2. 解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵∠BQD=30°,∴∠QPC=90°,…… 1分
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∴QC=QB+BC=6+x,…… 2分
D
AP
C
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,∴PC=QC,即6﹣x=(6+x),解得x=2;……4分 (2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.……5分 理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF, 又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,∴AP=BQ,……6分 ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°, ∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ,∠AEP=∠BFQ=90°,∴∠APE=∠BQF, ∴
∴△APE≌△BQF,……8分
∴AE=BF,PE=QF∴DE=EF,……9分 ∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=AB,……10分
又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.……11分
3.(1)y=-2x+8 ???????????????????1分
(2)①当∠EDF=90°时,点E与点C重合,E1(3,2),??2分
FD=CD=3, ???????????????????3分
∴F1(0,5)或F2(0,-1) ??????????????4分
②当∠DFE=90°时,FD=FE
8-m
,m) 令F(0,m),则E(
28-m
FD=|2-m|,FE=2
∵FD=FE
8-m
∴ |2-m|=2
y=2
解得m=4或m=-4 ∴E2(2,4),F3(0,4)??????5分
E3(6,-4),F4(0,-4)????6分 ③当∠DEF=90°时,ED=EF
由②可得E2(2,4)时,F5(0,6)??????7分
E3(6,-4)时,F6(0,-10)????8分
综上,当E1(3,2),F1(0,5)或F2(0,-1);
E2(2,4),F3(0,4),F5(0,6);
E3(6,-4),F4(0,-4),F6(0,-10)时,△DEF为等腰直角三角形.
(以上各题,其它方法请参照给分)
5.(1)证明:∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC,∵BD=BC,∴BD=AC; (2)证明:∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠E=∠CFB=90°,∵∠DBE=∠CBF,BD=BC, ∴△DBE≌△CBF(AAS),∴DE=CF; (3)解:DG=AC,DG⊥AC.
证明:过点C作CE∥DG交AB于点E,∴∠2=∠3,∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°, ∴∠1=∠4,∵∠1=∠A,∴∠4=∠A,∴AC=CE,∵BD=BC,∠EBC=∠GBD,∠2=∠3, ∴△DBG≌△CBE(AAS),∴CE=DG,∴DG=AC.∵∠A=45°,∴∠4+∠A=90°, ∴∠ACE=90°,∴AC⊥CE,∴AC⊥DG.∴DG=AC,DG⊥AC.
6.解:(1)EF⊥AB.
证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形,∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°,∴∠EPF=∠QPC,∴△PFE≌△PCQ;
∴∠EPF=∠QPC=90°,∴EF⊥PF;在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°;又∵∠FPC=60°,∴∠B=∠FPC,∴PF∥AB(同位角相等,两直线平行),∴EF⊥AB; (2)当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论成立. 证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形,∴PF=PC,PE=PQ, ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°,∴∠EPF=∠QPC,∴△PFE≌△PCQ;
∴∠EFP=∠QCP=90°,∴EF⊥PF;在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°; 又∵∠FPC=60°,∴∠B=∠FPC,∴PF∥AB(内错角相等,两直线平行),∴EF⊥AB; (3)要使(1)的结论依然成立,则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE. 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB(内错角相等,两直线平行),才能证明EF⊥AB.
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