范文一:Z_空间上的闭图像定理及应用
,,,文章编号 ,::,:,,,,:,,:,:,,,:,,,,
空间上的闭图像定理及应用 ,,
冯喜全
南昌工程学院理学系江西 南昌 ,,, ,,::,,
摘 要在平移空间中研究闭算子开算子连续算子之间的关系并在 定 ,,,,空间中给出了开映射定理和闭图像 , ,
。 理
关键词,算子,空间,闭图像定理,,
中图分类号,文献标志码,:,,, ,
::,~~:,,,~:,:,,, ,;,,,;,;,,,;,,:,,,,:;,,,,,,,,,,,
,,,,,~,,,,, ,,,,,,;,,;,:,:;,:;,,,:~,,,,~;:,;:~,::,,,:~,,,,::,,:~,,,,,,,,,,,,,,, ,,,!,
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, ,,:,,,,:;,,;,,~:~;,,,~~;,:;,,:,,;~;:;,,,,~;:;,,,,::,;,,~ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:~:,,,,,,;,;,,:;,,,
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,,,,,,文献中研究了平移空间的线性结构引人 ,,:,: , ‖‖ ‖‖ , ?
,,,,了次范整线性空间简称为的概念这类 当且仅当空间 , , , ,θ
,空间是传统赋范线性空间的一个很好推广因而具 ,,,,,‖,‖ ‖‖ , ‖‖ !!? ,有很好的潜在应用前景在此基础上本文将泛函分 ,,,,, ,,,,,‖ ,‖ , ‖‖ ! ? 。析中的闭图像定理推广到 下文先简 空间之中 ,,, ,,,,,则称为次范整线性空间或简称为 ?,,θ‖‖
。要介绍 ,。空间的概念及引理。,,,,, 将 简记为 空间?, ,,,, ,‖ ‖θ
,,,,当 为 次 范 整 线 性 空 间 时定 义 , ,, !ρ概念及引理 , ,。则得到从而上的一个距离空间,, ,‖,‖ , ! ρ空间 ,,,,, ,。必是距离空间因而具有拓扑结构我们称这个距离,, ,,,,,,定义设是 群是整数 ,,,,,,;。,,θ为 上的次范诱导的距离,, 。加群如果 ,,,,,命题 为 设?空间且 ,,, ,,‖,θ‖ ,
,,,,,,,,,中有唯一的元 ,,,, ,,?? ,,,对任意正整数都有若 为有理数域则 , ,, ,, ,
,,与之对应且满足,,,,,存在映射满足以下条件 ,,,,, , , ×?? ,,,,,, ,,,,,!, ,! ,,,,,,,有 , ,,,,,,,,! ,!,,? ? ,,,,, , ,,,,,,,,, , , !
,,,, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,, 有,,,,,,,,,,,,,,,,??
,, ,,,,,, ,,,,,,,,,有, :,,,,,,,,,,,? ? ,。,,其中 ,, ,,,! ? ? ,,,。有, ,, ,,,, ? ,,,,可在满足条上引入次范 ?, , , ?‖‖ ,?证明 由于对任意正整数从 都有 , ,,,,
,,。,,而 存在使得易见这样的 件 ,, ,,,! ,!? ?
。 ,收稿日期,:,,,:,,,,,,,,,,。基金项目国家自然科学基金资助项目江西省教育厅资助项目 ,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,。作者简介冯喜全男硕士讲师 ,,,,,
?? ,第期 冯喜全空间上的闭图像定理及应用 ,,, ,, ,
,… 注收敛即存在若 , ,,,,,,,,, ,, , , , ,。故可定义于是由和唯一确定 , , ,,! ! , ? , ,,,, 使得则称为级数的和,,,,,,?, , ? ??,?, ,,,,, ,,,, ,,,, ,, ,, , ? ? , ? , 。,。其中表示有正整数集合对任意有理数记 记为 ,,,,,,, ,? ,,, , , ,算子的完备性和有界性,。,,, 其中 定义, ,, ,? ? , ,, ,,,, 定义设 是是 中的空间,,,, ,, , , , , ,,,,, ,,,, ,, 。,, 序列? , ,,,,,若 称为 。,,,, ,,:,:,~:~‖, ,, ‖ ,,!,,,,,于是我们得到一个映射容 ,,,,,, ,×?? ,,,? ? 。序列,,,,。易验证这个映射满足证毕 ,,,
,,,,若 中每个 序列都是收敛序 ,, :,~:~,!,,,,,,命题 为 设空间且 ? ,,,,,,θ‖ ‖,
,,,列即 使则称 是完, ,,,,,,:, ‖, ‖ ,,,? “对任意正整数次范数满足整齐次 都有, ,, ,, ,?? ”, 性条件。备的
,,,命题是如果 是完备的 ,,设 空间 ,,,, ,, ,,,,, ,, , ,:, ‖‖ ,‖‖ ? ?
? ? , ,,。则 为有理数域 上的赋范线性空间?,, ‖ ‖ , 且 级 数 则 级 数 收 敛 且收 敛,,‖‖ ,, ??,证明 由 空间的定义及命题可知 ,,,, ,, ,,, ,,, ? ? 。,为有理数域所以只需证明次范数上的向量空间, 。 , 反 过 来如 果 级 数,,‖ ‖ ‖‖ ,? ,??“”, ,,, ,,, 满足正齐次性条件 ??,,,,,, ,, , ,,,,,‖‖ ,,, ‖‖ ? ? ,。收敛则 是完备的收敛必有 ,,, ‖‖ ,, ?? ,,,,,,“”,,由整齐次性条件及文献中的定义知 ,,,, ? ,,,, , , ,,,,,,,,… ‖‖ ,,, ‖‖ 是级数 的部证明 设? ? ,,,,,, ,, , , , ? ,,, , ,,,,,由定义和性质知中的性质, ,,,,‖ , ,,‖ 分和对任意自然数有下式 ,, … ,,,,, ‖,,, ‖ , ‖,, , ,,‖ ‖,, ‖,, ,,, ? , ,, 。 ,,,,‖‖ , ‖‖。 成立… ,‖, , ‖,,, , ? 从而 ,,,,由于级数 可见是列而收敛,,:,~:~ ‖‖ ,,!? , ,,,, , ,,,,,‖ ‖ ,,, ,, , ,,‖‖ ? ? ? , , , ,。是完备的所以 收敛在不等式 , ,,, ‖ ,‖ ??最后由及可知成立证毕,,,,,,,。。,:,,,,,,, ,,, , ? 有理线性算子,,, ,则 有 两 边 令 ,, ,‖‖ ‖ ‖ ? ? ,? ,? ,,??,,,,,, ,,, ,,,,,,,定义设 和? ,,,,,,θ‖ ‖,θ ??,是两个?空间且对任意正整数都有。,,,, ,, 收反 之设 空 间 中任 意 ‖‖, ,,,‖,‖ ,‖ ‖?? ,,,,,, ,,,,。,如果是映射,,, ,, , ,,,, ,,!,? ?,,,,,,,,,则称为到,,, ,,,,,,,,,,。,! ? ? 必有 收敛且是 中任一列 敛 ,,, :,~:~ ,,!!? , ,, 。的有理线性算子, ,,,,,从中 选 取 子 列 使 得 ,,,,‖,‖ ,,,,?, ,, , ,,,。,特别 是 泛 函如 果, , ,, ,,, !? ?, ,,,,…,。,故级数即,,,,,,,,收敛则称为到, ,,,,,,, ,‖,‖ ,,,,,,,! ,, ? ? , !,,, ,?, ,,,。的有理线性泛函 , ?
, ,,,… 级数 列的定义和性质,,,,,, , , ,, ,, , , , , , ,,,:,~:~,!, ,, , , , ,,? , ,,, ,, ,,,,定义设 是设是 中 空间,,,, , , ,, , … ,,,,必收敛其前项的部分和是,,,,, ,,,, ,,,, , ,,, 的序列如果存在使得, ,,,,:,,‖,‖ , ? , ,,。,,,这 样存 在 的 一 个 子 列设,,,, , ?,,? ? ? ? , ,,,,,则称的极限称序列依次范收敛 为序列。,,,,,,,, ,,收敛由于是列当,,,,:,~:~:, !ε, ,,,
,,,, 于或序列次强收敛于记为或,,,时有 因此对于充分大 ,,,,,, ,,,, , ,, , ,,‖ ,, ‖ ,ε, ,,? ? ,,,,的令则当时时,,,,,, ‖, ,, ‖ ε? ,,。,? , ,,, ?,, ? ?
?? 南昌大学学报,理科版,年 ,,, ,:,,
槇 。,,,。所以收敛即 是完备的, ,,,, ‖,‖ ε, ,,, ,,,,,,,对于从其任 看出内的开球 ,,,,,,: θ ? ,, , 定义设 和是两个空间且对任 ,,,, ,,, 槇 ,,,,,,,,,意一 点 必 有 一 点 使 得,, ,,, θ : ? ? ,, ,。意正整数都有是映射,,, ,,, ,, , , ,?φ 槇,,,,,,,,,,,因而可知表,,,,,,, ,θθ:‖ ‖θ , φ, 如果当 为从到的有理线性算子, , ,,,‖‖: φ 。,,,中的原点开球此外由文献的第一章第四 示 , ,,,,,,,,时则称为从:,,:, ,‖,:‖ ??? φφφ ,,节可知因而是有理线性算子故由 为一同态映象φ 。到 的连续有理线性算子 , ,。引理可知为开算子,,, φ命题和设 是两个空间且对任意 ,,, , , ,, ,命题空间且对任意正整数 设是,,, ,, ,, ,,,,正整数都有是有理线 ,,, ,,, ,, ,, , ?φ,,,都有且 ,, ,,, ,,,,,, ,, ,‖‖ ,‖‖ ? ,,性算子如果连续则在某一点在上 ,, ,: ? φ φ , , , ,, ,当是, , ,,,,,, ‖ ,‖‖ ‖? !!? !? φ 。连续 , ,,一个到上的一一对应有理线性算子时为连, , φ,,,…,,证明 任取及使 , ,,,,! !, ,? ? 。续有理线性算子与为开算子是等价的 ,φ ,。,得因为得 是可加的, !, !??? φ, ,,, 当证明 事实上为连续有理线性算子时 ,φ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , ::!!φφφφφ!!!!,可导出任意有理数由其在中的原点的连续性, θ α ,,,,
,,,存在有理数使得当 时有::‖!,θ‖ , ,,ββ ,由于加法的连续性及点连续在,, ,, :!,!:?φ ,,,,,,,,即 也 就 是 ,‖ , ‖‖ , ‖!θα!αφ φ φ ,,及,,,,,,。所 ,, ,,, ?,,?:? , :?:? !φφ! ,,,,,,,,,,,,,,从 而 可 得 ,,,,,θθα,θθ φβ β φ,,,,,,。 以, ,??? φφ!!,,。,因此引理反过来当知为开算子为开算, α开算子 ,,, φ φ , , ,,,,子将上面的关系倒推回去可得有理线性算子, φ定义设 和是两个空间且对任,,,, , ,, , ,,从而。在中的原点连续 在中连续, θ , φ,,,意正整数都有为有理 , ,, ,,, ,, , , ,?φ 闭算子,,, ,线性算子若将中的每个开集映射为中的开, , φ 和定义设 是两个空间且对任意,,, , , , , ,,,。集则称开映射为开算子 φ ,,正整数都有是到内的有 ,,, ,,, ,, , , , ,,引理和若对任 设 是两个 空间 ,,,, ,,, ,,,,,, 理线性算子则称 中的集合, , ,,,,×, ,意正整 数 都 有且 , ,,,,,, ,,, , ‖‖ , ,,,,,,,,为算子为的图像 ,,,,,,,,, , ? , ,,,,有理线性算子是 ,,, ,, ,, , ‖‖ ? ? ?φ。,,,的定义域如果是则称中的闭集是 ,,,, , ,×,, 开算子当且仅当对于 的 每 一 个 邻 域 : , ::? 。闭算子 , ,,,,,,,,,。包含 的邻域,, ,::,: , ? ?φ命题和设 是两个空间且对任意 ,,, , , ,, ,,,,证明 若是 的邻是开算子:: :, ,? φ,,正整数都有是到内的有 ,,, ,,, ,, , , , ,,,,,,,,。域则是开集从而是 的邻域::: , ,? φ,,理线性算子则对任意的是闭算子的充要条件是, ,,若为任一开集我们具有所说的性质, , φ ,,,,,,,,,,,,,若在中分别收敛于 ,,,,,,,,,, ,,,,,,证明为对于每个设中的开集,, ,! ?! φφ,,,。 则且 , ,,,, ,!? !, ,,,,,,,,,,则存在,,,:,:,,,,,,?,?, φ,,,,,,,证 明 设 则 存 在 ,,,,!? ,,,,,,,,,此 时是的邻域于,:,::: , ,,,,,,,? ,,,,,,,,,,,。使 得 于 是,,,, ,,,? ? ? ,,!,,,,,,,,,,,,,,是 包含的 ,:,:::,,,,,φφφφ,,,,,,,,,,,,,,,‖, ,,,!‖ , ‖, ,‖ , ‖, ,,,,,,,,,,,邻域显然即的内 是:,,,, ! φφφ,。,。,,,从而如果 :,,,,, ,!‖ , ,!????? ,,,,,。点故为开集 是任意的为开算子, !φφ ,,,,,,,。定理中条件满足则即 是闭算子,,, ,!?命题是 设 空间且对任意正整数,,, , ,,, ,,,,,,,,反之设且及 ,,,,,, ,,, , ? ?, ,,,都有且 ,, , ,,,,,,, ,, ‖‖ ,‖‖ ?? ,,,,, ,,,,,。,,于是如果是, ,,, ,,,?! ? ,, ? ! ,是那么空间的闭有理线性子空间到商 ,,, , : , ,,,,,,,,。则即 且 闭集 ,,,,,,,,! ,! ?? φ,,,,,,,空间 的典则映象一定是,,, ,, , : ? ? φ
闭图像定理及应用 ,,,。开映射这里表示以为代表的等价类, ,, ,, ,,,证明 事实上由文献的商空间 ,, 的次 : 开映射定理的推导,,,
,,,,,范定义 则可以 ,,, ,,,,‖‖ , ‖‖ ? : !,, 定理开映射定理设 和是两个 ,,,, , ,,,,,? !
?? ,第期 冯喜全空间上的闭图像定理及应用 ,,, ,, ,
, ,空间且对 任 意 正 整 数 都 有且 , ,,,,,, , , 。 ,,,, ,另 一 方 面面,:,,,,,, , , !,: ,!, ,?,,,? ? , ? ,,,,, ,, ,,? ‖‖ , ‖‖ ‖‖ ,!? ? ,,, , , ,,,,是连续有理线性,, ,,,, , ‖‖ !!? ??, ,,由于 是完备的故存在 ,, ,‖‖ ,,, , ? ? ,,,,算子并且是那么中的第二纲集是开算, ,,,,,, , ,, 。子并且是到上的,,使 由 ,,,,,,, ‖‖ ‖ ‖: ?: , ,: ? , ,?? ,,, ,,,,,证明 对于 空间的任意子集 ,,,, ,, ,, 。,,,是 连 续 算 子知 ,::,, , ,: ? !: ,不妨设 φ , ,, , δ, , ,, ,,,, , , , ,,,,从而 ,,,,,,,, , , : : ,: , ,, ,,,,,,, , ‖‖ , , ‖‖ ,, , φφφ φ?,? ?, ,, ,,
, ,,δ ,,,。,,,,由引理 记 知是 开 算 子,,, , ::, , , φ ,,,,则于是由的连续性 ,,, ,, ,,,, ,,,φ ? ? ? ? ,,,,,,, ,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, , , ,,从而?? ??,,,,,φ,,,,,,,,, φφφφφ, , , , ,,,,,,,,
,,,,,,,,,,。。,,,,,则是到上的,,,,,,, φφφφφφ 闭图像定理的推导,,, ,,,,,,存在自然数 ,,,,‖ ‖ , ? ,? ,, 是由一第二纲的 定理闭图像定理设, , , ,,,, ? ?到一完备的空间 空间的有理线性算子 ,, ,, , , ,,,,,,或故 于 是 ,,,, ,,,, , ,, ? ? ?,,, ,,, , ,,, 且 ,,, , ,,,,, ‖‖ , ‖‖ ‖‖ ,? ? !? ,,,,,, ,,,,是第二纲集故, ,, ,,, , , ?,, φ φ ,,,,当那么是闭算子时是 ,,, ,,,,, , ‖‖ !!??
,,,,,,,存在具有非空内点即具有非空,,,,。: :,, 连续有理线性算子 φφ
,,,,,,,,,,内点不失一般性设其中 :,::δδ γ,,。证明 为清楚起见证明分为三步φ
,,,记 中的邻域为而从而 是有理线性的: :, ,,,,,,γ令φ ,, ,,,, ,‖‖ , , !?, ? !! , ,,,,,, : :::,,,,δ,, ? , ,,,,则于是,,, ,,,,,,,‖‖ !, , , , , , ,, ,,,,,,,,,,,,,::,::,,,,,,, ,, φ, 线性知 由 , ,,,,, ,,, , , ,,,, ,,下面证明对于给定的 ,,,? ,,,,,,从而, , , , , ,, , δ,, ,,,,,,,,::::,,,,,,,,,,,, , φ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,, , ,,,,,,,,,,,,。,,,,,,,,,,, δ , ,,,,,,,,,,,,由 式 知::,,::: , !,? φ ,,, ! ! ,,存在自然数, ,,‖ ‖ ! ?, ?, , , ,δ, ,,,使 得 , , ,,,,故 存 在 ‖: , !:: : :,, , , ? ? ?,,,,,, ,,,,,。或故由,,, ,,,,,,, , ,, ,!?? ? ,,,,,, δδ ,,,,。,, , ,,。从而 ,,: : ,,,‖ , ,, !!,, : , ? , , ,,,是第二纲集故存在使得具 题设知 , ,,,,: :,, , ,,, ,δ ,, ,,具 有 非 空 内 点从 而 知有非 空 内 点 即,, ,,,,,,,,,,,,,但仍由式得故存,,::::, , ,φ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 和均以,,,,,,,,,,,,,θ? , , ,, ,,,,在使得,::。,,,,,,,,为内点设 从, ? , :,,,, ,δ δ θδ,? , ,,,有 理 线 性 知 任 意 有 理 数而由 , :, ,, θδ,, ,δ ,,,于是,‖!, ,,‖ , ,,,,,,,,,,,,,,,。 ,, ,,,,,,,,,,,, θδ,θ δδ , ,,,,,,,,,。,,,,,,,,。下面证明 ,,,::,,, ,,, ,, ,,,: ,,,,, , !!!θθ? , , , , , ,δ,,,,,,,,由 第 一 步 知,,…,,,,再由式得到 ,,,,,::, ,, ? , θ : θ , ? , ,,, ,, δ,,,,,,,一般 来 说存 在 ,,,,,,,: 使得 ,:故 , ,, ,,, , , ? ,,,!,!:‖,‖θθ , ,: ,? , , , δ ,δδδ , , ,,,,,… ,,,,,,。,, ,,,,,一方又 由从 而 , ,::,,,,,,, ,, θ , , ? ? ,,,, ,,, ,, , ,, ,,θ
?? 南昌大学学报,理科版,年 ,,: ,:,,
,,,,,,实上设点列满足条件 ,,,,,,,, ,, : ,δ,, ? … ,,,,,,使得 继续,,,,, , , ‖ ,θ‖:,,, , ,,, ,,,,,时由 为 中的闭集的假设可, ,,, ??!:?
,,,,,。 知由 是连续有理线性算子知,,,, ,, ,,,,,,,作下去可得点列使得 : ? , ?,,,,,,θ‖: , ,, ,,。,再由极限的唯一性知所以,,, ,,?, :? :!: ,,, , δ ,。。,,是闭算子 因此可知, ,,,,,,‖ ?, , ,, ?:? ,, ,??,,,, ,,,
,结束语 , ,,,,,,另一方面由所设可知 因而由,,,,,, ,θ?,,
,闭图像定理是泛函分析中基本定理之一借助? ? ,,及空间根据的完备性,,,, ,‖,‖ , ,,于它可以把关于算子连续性的讨论予以简化因此?? ,, , ,,,,,,,,,。很多数学工作 者 做 了 很 多 尝 试本 文 借 助 文 献 , ,,,。命题使得 知 ,,, ,,, ,? ? ?? !:,!:,、,,,,,的研究基础利用文献的方法在空间上,,,, ? ,,,,。空间推广闭图像定理并给出它的一个应用 , 。 由 是 闭 算 子 知 又 因 , ,,: , !: ‖!: ‖ ? ?δ ,,,,,,的任意性知 参考文献 及,,, ,,, ‖,‖ : θ, ?, ,,, 王国俊,白永成平 移空间的线性结构 数 学 学 报,,,,, ,,,,,,,。 ,,,θ,,,,,::,,,,,,:,, 。 ,,证明 是连续有理线性算子,, ,, 成波,曹怀信次范整线性空间中的逆算子定理和闭图 ,, δ , ,,,,西南师范大学学报自 然 科 学 版 ,,,,,,,,,像定理由 线性及知, ,,,,, ,,::, ,,θ,θε , , ,,,,,,,,,, δε ,,,,,,,,,,即有理线性算子 在 :,,,, ,,θθε ,,,,,杨万必秦宣华空间上的有理线性算子的性质中 ,,,, ,,,,,,,南民族大学学报自然科学版 ,,,,,,,,::,,,,的原点连续从而由命题知是上的连续有 ,,,, , θ,, 郑维 行,王 声 望实变函数与泛函分析概要,第 册,,, 。理线性算子 ,,北京,人民教育出版社,,, ,,,,,定 理设是由一第二纲的空间到 ,,, , ,, , 定 光 桂巴拿赫空间引论 北 京科 学 出 版 社,,,,,,,,,,
,一完备的 对任意正整 空间的有理线性算子,, , ,,,,,
,,, 杨万必李永 亮秦 宣 华关 于 空 间 的 性 质 湖 ,,,,,,数都有 ,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,, ,‖‖ ,‖‖ ? , , 北民族学院学报 自然科学版 ,, ,,,,,,,,且,,,:,,,,,::,,,,, ,‖,‖ , ,‖‖ , ,, ,? !!? ! ? ,,,为 中的闭集则 是闭算子与是连续有 刘理蔚关于多值 增 生 和单调映射的连续性 南 昌 ,,,,, ,, , , ,,,,。理线性算子等价 ,,,,,,理科版 大学学报,,,,,,,,::,,,
,, 曹寒问,饶三平,陈女原自反 空间中一类广义集 ,,,,,,:~ ,,证明 是闭算子 是连续有理线性算 ,, , 值强非线性变分不 等 式 问 题 ,,南 昌 大 学 学 报,理 科 ,,。子由定理可知,,, ,,,,,,,,,,,,,版,::,,,, ,,。事是连续有理线性算子 是闭算子 ,, ,
范文二:次范整线性空间中的逆算子定理和闭图像定理
第31卷 第4期
Vol. 31 No. 4西南师范大学学报(自然科学版) Journal of S outhwest China Normal University (Natural Science ) 2006年8
月Aug. 2006文章编号:10005471(2006) 04003505
次范整线性空间中的逆算子定理和闭图像定理
成 波1, 曹怀信2
11安康学院数学系, 陕西安康725000; 21陕西师范大学数学与信息科学学院, 西安①
摘要:研究了次范整线性空间的性质, 引入Q 空间的概念, 定理推广到次范整线性空间之中.
关 键 词:次范整线性空间; :1文献标识码:A
文献[1], 引入了次范整线性空间(简称为Z 空间) 的概念, 这类空间是传统赋范线性空间的一个很好推广, 因而具有很好的潜在应用前景.
) 为次范整线性空间时, 定义当(X , +, θ, ‖?‖
d (x , y ) =‖x -y ‖
则得到X 上的一个距离d. 从而, Z 空间必是距离空间, 因而具有拓扑结构. 我们称这个距离为X 上的次范诱导的距离.
命题1 设X 是完备的Z 空间(即作为距离空间是完备的) , {x n }是X 中的点列, 如果正项级数∞
n =1∞n n k ∑‖x ‖收敛, 那么级数
n k =1∑x 收敛, 即存在x ∈X , 使得lim n n →∞k =1∑x k =x. ∞
k 证 令S n =
k =1∑x k , T n =k =1∑‖x ‖. 若n =1
n+p ∑‖x n ‖收敛, 则{T n }是柯西数列. 由于n+p
‖S n+p -S n ‖=‖∑x k ‖≤
k =n k =n ∑‖x k ‖=T n+p -T n
所以{S n }是X 中的柯西点列, 由X 的完备性可知{S n }收敛. 证毕.
为了研究开映射, 我们引入Q 空间的概念.
) 为Z 空间, 且对任意正整数n 都有n X =X , 则称(X , +, θ, ‖?‖) 定义1 设(X , +, θ, ‖?‖
为Q 空间.
以下命题给出了Q 空间的进一步性质.
) 为Q , 若Q 为有理数域, 则存在映射(r , x ) 命题2 设(X , +, θ, ‖?‖
X 满足以下条件:rx :Q ×X
(a ) Πr ∈Q , Πx , y ∈X , 有r (x +y ) =rx +ry ;
(b ) Πr , s ∈Q , Πx ∈X , 有(r +s ) x =rx +sx ;
(c ) Πr , s ∈Q , Πx ∈X , 有(rs ) x =r (sx ) ;
(d ) Πx ∈X , 有1x =x.
①收稿日期:20051206
作者简介:成 波(1971) , 男, 陕西安康人, 讲师, 硕士, 主要从事函数论、泛函分析的研究.
36西南师范大学学报(自然科学版) 第31卷证 由于对任意正整数n 都有n X =X , 从而Πx ∈X , 存在y ∈X , 使得x =ny. 易见, 这样的y 由x 与n 唯一确定, 故可定义n x =y. 于是n x =x Πx ∈X , Πn ∈Z +(1)
其中Z +表示所有正整数之集. 对任意有理数r , 记r =
rx =m +, 其中m ∈Z , n ∈Z . 定义n (2) n Πx ∈X
(d ) . 证毕. 于是, 我们得到一个映射(r , x ) rx :Q ×X X. 容易验证这个映射满足条件(a )
) 为Q 空间且其次范数满足命题3 设(X , +, θ, ‖?‖“整齐次性条件”:
‖nz ‖=n ‖z ‖ Πn ∈N , Πz ∈X
) 为有理数域Q 上的赋范线性空间. 则(X , ‖?‖(3)
证 由Q 空间的定义及命题2可知:X . [1]满足“正齐次性条件”:
|r |Q , Πz ∈X
3[1]由“(4)
(5) ‖rz ‖=|r |‖z ‖ Πr ∈Z , Πz ∈X
由性质(1) 及条件(3) 知:
n ‖n z ‖=‖n n z ‖=‖z ‖
从而
‖n z ‖=n ‖z ‖ Πn ∈Z +, Πz ∈X (6)
最后, 由(3) 及(6) 可知(4) 成立. 证毕.
) 为Q 命题4 设(X , +, θ, ‖?‖“整齐次性条件”, 则对任一非零有理数r , 映
射x rx :Q ×X Y 及(x , y ) x +y :X ×X X 都连续且前者为一同胚.
Y 是映射. 如果) 和(Y , +, θ, ‖?‖) 是两个Q , <:x 定义2 设(x="" ,="" +,="" θ,="">
<(rx +sy="" )="r">(rx><(x )="" +s="">(x><(y )="" πx="" ,="" y="" ∈x="" ,="" r="" ,="" s="">(y>
则称<为从x 到y="">为从x>
由文献[1]中整线性算子的定义及定义2可知:若<为q 空间x="" 到y="" 的有理线性算子,="">为q><必为整线性算子.>必为整线性算子.><作为整线性算子是连续的[1],>作为整线性算子是连续的[1],><为连续的有理线性算子;>为连续的有理线性算子;><作为整线性算子是局部有界的[1],>作为整线性算子是局部有界的[1],><>
定理1(开映射定理) 如果X , Y 为完备的Q “整齐次性条件”, T :X Y 是到上的连续的有理线性算子, G
证 由文献[1]的定理3可知T 是局部有界有理线性算子, 即存在r >0与m >0, 使得当‖x ‖≤
δ, ε>0, 令r , x ∈X 时, 有‖T (x ) ‖≤m ‖x ‖. Π
ε) ={x ∈X :‖x ‖<ε) ={y="" ∈y="" :‖x="">ε)><δb x="" (} b="" y="">δb>
首先证明T (B X (r ) ) 的闭包T (B X (r ) ) 包含以Y 中θ为中心的某个开球B Y (s ) .
∞
由于T 是到上的有理线性算子且X =∪B X (kr/2) , 所以k =1
∞
k =1∞k =1Y =∪T (B X (kr/2) ) =∪k T (B X (r/2) )
又Y 是完备的, 根据Baire 纲定理, 存在k ≥1, k ∈Z , 使得k T (B (r/2) ) 的内部非空, 进而由命题
4可知V =int T (B (r/2) ) 非空. 不妨设y 0∈V , 取s >0, 使得
第4期 成 波, 等:次范整线性空间中的逆算子定理和闭图像定理
{y ∈Y :‖y -y 0‖<>
由于y 0∈T (B X (r/2) ) 因此, 存在点列{x n }
+y , 这时y 0. 设y ∈Y 且‖y ‖
‖z n -x n ‖≤‖z n ‖+‖x n ‖<>
可见z n -x n ∈B X (r ) (Πn ∈Z +) . 又因为
T (z n -x n ) =T (z n ) -T (x n ) y (n ) ∞
所以y ∈T (B X (r ) ) . 这就证明了
B Y (s ) ={y ∈Y :‖y ‖<>
然后证明T (B X (r ) ) 包含以Y 中θ为中心的开球.
设y 1∈T (B X (r/2) ) . 由(7) 可知:
B Y (2s )
也包含以Y 中θ为中心的球, 所以[y 1-T (B (2-T () ) , 1∈B (r/2) , 使得
T (x 1) [y -(-r ) ]
令y 2=y 11, 2T (-) , , 就得到点列{x n }
x n B (2r ) y n ∈T (B (2r ) ) y n+1=y n -T (x n )
∞∞
n -n -n (9) n 容易得到:‖x n ‖<2r ,="">2r>
n -n n =1∑‖x n ‖收敛. 又由X 的完备性及命题1, 可得
k k =1∑x 收敛于X 中某一个x , 且‖x ‖≤r , 这时
k =1∑T (x ) k =
k =1∑(y -y k+1) =y 1-y n+1. 又由(9) 及T 是局部有界有理线性算子, ∞
因此存在m >0, 使得‖y n ‖≤m 2n 即y n , 于是y 1=
k =1∑T (x ) k =T (x ) ∈T (B (r ) ) . 因T (B (r/2) )
中含有以Y 中θ为中心的球, 故T (B (r ) ) 包含以Y 中θ为中心的球.
最后证明本定理.
设G B (x , r x ) ={z ∈X :‖z -x ‖ 因为 T (B (x , r x ) ) -T (x ) =T (B (x , r x ) -x ) =T (B (r x ) 而T (B (r x ) ) 包含以θ为中心的球, 所以T (B (x , r x ) ) 中含有以T (x ) 为中心的球, 即T (G ) 包含以T (x ) 为中心的球, 因此T (G ) 是Y 中开集. 证毕. 定理2(逆算子定理) 如果X , Y 为完备的Q “整齐次性条件”, T :X Y 是一一到上的局部有界有理线性算子, 那么T -1:Y X 是局部有界的有理线性算子. X 是连续证 如果T :X Y 是一一到上的局部有界有理线性算子, 由文献[1]的定理3知T 是连续有理线性算子, 且是连续映射. 根据定理1, 若G X 是开集, 则T (G ) 映射. 根据文献[1]的定理3, T -1是连续有理线性算子, 进而是局部有界有理线性算子. 证毕. 若定理1, 2中的X 和Y 是Banach 空间, 那么X 和Y 是满足(3) 的Z 空间, 且这时局部有界有理线性算子等价于有界线性算子, 于是定理1, 2就分别是泛函分析学中的开映射定理与逆算子定理. ) 和(Y , +, θ, ‖?‖) 是两个Z 空间, 在命题5 设(X , +, θ, ‖?‖ X ×Y ={(x , y ) :x ∈X , y ∈Y} 中定义 加法 (x 1, y 1) +(x 2, y 2) =(x 1+x 2, y 1+y 2) (x 1, y 1) , (x 2, y 2) ∈X ×Y 38西南师范大学学报(自然科学版) 第31卷 数乘 m (x , y ) =(mx , my ) m ∈Z , (x , y ) ∈X ×Y 次范 ‖(x , y ) ‖=‖x ‖+‖y ‖ (x , y ) ∈X ×Y ) , ‖?‖) 是Z 空间. 若X 和Y 均完备, 则X ×Y 也完备. 那么(X ×Y , +, (θ, θ 证 任取m , n ∈Z , (x , y ) , (x 1, y 1) , (x 2, y 2) ∈X ×Y , 则 m ((x 1, y 1) +(x 2, y 2) ) =m (x 1+x 2, y 1+y 2) =(m (x 1+x 2) , m (y 1+y 2) ) =(mx 1, my 1) +(mx 2, my 2) =m (x 1, y 1) +m (x 2, y 2) (m +n ) (x , y ) =((m +n ) x , (m +n ) y ) =(mx +nx , my +=(, y ) ) (mn ) (x , y ) =((mn ) , =m (nx , m ) (, =m (n (x , y ) ) 其次, =‖y ≥0, 且因‖(x , y ) ‖=0等价于‖x ‖=‖y ‖=0, 而‖x ‖= θ, θ) , 即‖(x , y ) ‖=0当且‖y ‖=0x =θ, y =θ; 又由于x =θ, y =θ等价于(x , y ) =( ) . 而仅当(x , y ) =(θ, θ ‖(x 1, y 1) +(x 2, y 2) ‖=‖x 1+x 2‖+‖y 1+y 2‖ ≤‖x 1‖+‖x 2‖+‖y 1‖+‖y 2‖ =‖(x 1, y 1) ‖+‖(x 2, y 2) ‖ ‖-(x , y ) ‖=‖(-x , -y ) ‖=‖-x ‖+‖-y ‖ =‖x ‖+‖y ‖=‖(x , y ) ‖ 因此X ×Y 是Z . 设{(x n , y n ) }是X ×Y 中的柯西点列, 由于 ‖(x n+p , y n+p ) -(x n , y n ) ‖=‖x n+p -x n ‖+‖y n+p -y n ‖ 因此{x n },{y n }分别是X 和Y 中的柯西列. 由于X 和Y 是完备的, 于是存在唯一的x ∈X 和唯一的y ∈Y , 使得‖x n -x 0, ‖y n -y 0. 这时 0‖(x n , y n ) -(x , y ) ‖=‖x n -x ‖+‖y n -y ‖ 所以{(x n , y n ) }在X ×Y 中收敛, 故X ×Y 是完备的. 证毕. 定义3 设X 和Y 是两个Z 空间, T 是X 的子Z 空间D (T ) 到Y 中的算子, 则称X ×Y 中的集合 G (T ) ={(x , y ) :x ∈D (T ) , y =Tx } 为算子T 的图像. 如果G (T ) 是X ×Y 中的闭集, 则称T 是闭算子. 定理3(闭图象定理) 设X , Y 为完备的Q 空间且它们的次范数都满足“整齐次性条件”, T 是X 中的子Z 空间D (T ) 到Y 中的闭有理线性算子. 如果D (T ) 是闭的, 那么T 是局部有界算子. 证 根据命题5知X ×Y 是完备的Z 空间. 由假设D (T ) 是X 中的闭集, G (T ) 是X ×Y 中闭集, 故G (T ) ) 也是完备度量空间, 并且由于D (T ) 是子Z 空间, T 是有理线性算子 , 可知G (T ) 是X ×Y 中子Z , 因此G (T ) 也是完备. 作算子P :G (T ) 显然P 是有理线性算子, 且因D (T ) , 即P (x , y ) =x (x , y ) ∈G (T ) ‖P (x , y ) ‖=‖x ‖≤‖x ‖+‖y ‖=‖(x , y ) ‖ 故P 是有界算子, 也是局部有界算子. 又若(x , Tx ) ≠(y , Ty ) , 必有x ≠y , 故P (x , Tx ) ≠P (y , Ty ) , 第4期 成 波, 等:次范整线性空间中的逆算子定理和闭图像定理39 (3) , 由定理2知, 因此P 是一对一的, P 显然是到D (T ) 上的映射, 容易证明X ×Y 满足“整齐次性条件” P -1是局部有界算子, 即存在r >0和m >0(这里m 可取1) , 使得 ‖P -1(x ) ‖≤m ‖x ‖ ‖x ‖≤r , x ∈X 而 ‖T (x ) ‖≤‖x ‖+‖T (x ) ‖ -1=‖(x , T (x ) ) ‖=‖P (x ) ‖ 所以 ‖T (x ) ‖≤m ‖x ‖ ‖x ‖≤r , x ∈X 这就证明T 是局部有界算子. 证毕. 参考文献: [1]王国俊, 白永成. 平移空间的线性结构[J].数学学报, 2005, (1) :110. 414. [2] Wang G J , Wang W. Generalization of the Scheefer πs Math , 407 [3] John B , Conway. A Course in [].Y , 1985. Inverse Operator Theorem and Closed G raph Theorem in Sub 2Normed Z 2Linear Space C H EN G Bo 1, CAO Huai 2xin 2 11Dept 1of Mathematics , Ankang College , Ankang Shaanxi 725000, China ; 21Colle ge of Mathematics and Information Science , Shaanxi Normal University , X i πan 710062, China Abstract :So me p roperties of sub 2normed linear spaces are discussed and by introducing t he concept of a Q 2space , analogues of t he inverse operator t heorem , t he open mapping t heorem and t he clo sed grap h t heorem are established in sub 2normed linear space setting. K ey w ords :sub 2normed linear spaces ; inverse operator t heorem ; open mapping t heorem ; closed grap h t he 2 orem 责任编辑 覃吉康 关于闭区间套定理 4???h1?7 2002??3?u ???B?u?2???????? JournalofZunyiNormalCollege Vol.4?lNo.1 Mar.2002 ???????Q???????J ?c???? (???B?u?2???????????l?{?????B563002) ????:?????Q???????J?????????????????V?????l???????b???l??????b1 ???p??:???Q???.;???Q???.;???????Q???. ?D???J????:0171???p?o???4:A?????V??:1009??3583(2002)01??0072??02 ofInterlinkofClosedInterval ZHUJun-gong (MathsDepartment,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,China) Abstract:Changeorincreasesomeconditionsofthetheoremofinterlinkofcloseinterval,wec anreachthesameresult. Keywords:sequencesofcloseintervals;sequencesofopenintervals;sequencesofhalfclosed andhalfopenintervals ?N??????bn?????J??ba?D?r???U???f?????Q???? ???J(???J1): ?????Q???.{[a.,b.1In=1,2.......}???r?d?v 1)[at?lbt)D[a2,b21D...D[an,bnI8?; 2)nl-t.oo(bn??an)??b1 ?(???v?,?????U??e?????"?r???Q??[an,bnI,n =1,2?lA(AMA( ???U???J?D?????Q???.???????r at<a2<...<an<...<bn<bn??;<...<b2<bt ?????J???Q???.f[an,bnIIn=1,2,...}?<?i???Q ???.I(an,bn)In=1,2,...1?l???J???????f?i??b1?? ?????Q???.{(0,??)}n??1,2,8?}?l?l?=???r?d?v1) 2)?l?!?f???v??????Q?????"?r???Q???l??i??1(a,b;) ????b1?!?,?l???????Q???.{[(an,bn)I}n??1,2,---}?? ?????? 1)(at,bt)D(a2,b2)D...D(an,bn)D...?l?e?? b.)??AM)?l?eb1lim-icoan??b11-io0bn??P?? ?N?????n???????????Q???J1Ib1?a???N?????? ???Zb1 ?l J A) A) ?? ?l ?? ?? ?? ??????:???????Q???????J?????Z[[2]0 ??????:???A???U???Q???.{[an',bn'lIn=1, 8?}b1??an'??a.+a.+,???l 2A(..n _bn+b.+1 2 n=1?l2?l??A: ?r[alA(?lbl'lD[a2',b2'1D...D[an',bn']b18??l?e?r lim n-+co(bnA(??any)=lim n-"00 ?lb.??an??~???l???}--.???? Z bn+ ??n1-an+12) ??0 ?c???Q???????J?l [AMA(?lbn']I(n=1?l2, ?"?r???Q??(an',bn ???v?,????1?????"?r???Q?? ??)b1?+?[???U?,????1?????? n=1,2,--)b1?e?r lim?l?l=n.????CAMbgAM?lA)nlirn-bn,=P ?!lim n-??co _lim n-??AM)bg an-1+an_?l_2A: lim n-???? ???"?i???.,ajrlbn}?,?k?]???2???l?? a1<a2<8?<an<8?<bn<bn??1<8?<b1 2)nl-}oo(bn??an)??b1 ?(???v?,????e?????"?r???Q??(??n b/n??1+bn'lim ??????????=__???????'On ??11-"" ?"?????rb1lim*0oan??b1cobn???lb1 ff1(am ?????=?????Q???.???r???Q???????J?D?????Q ???.?l?=???d?vb1 ???????Q???.{(an9bn)In=1,29...}???t?U???? ?[?_???7 ???3???? 2001??12??04 ?c????(1948??)?l?=?l?n?????l???B?u?2??????????????b1 }AM}?Z{b.}?f?,?k?]???2???l?N???r ???Jill???r???Q???.I(an,bn)In=1,2,...1?l?? ???????.Ia,,IIbn}?Q???}?????.?l?e 1)(al,b)Z)(a2,b2)D...:)(a.,bn)D...; 2)lim(b.n00n??an)??b1 ?(???v?,????2?????"?r???Q??(an,bn),(n= 1,2,8?) ??lim_lim:_?l ??n-cc?ln--p-00}nAM ???????J1AM?????????l???????Z???J1Ib1???Q I???Z{bn}?E?Q???}?????.?l?"???????r?r?????Q?} ???l???b?r???U???Q?????l?l?e???d???2???l?!?f?? ?????????????db1 ?a???N???????J1"????????b1 ????1???r???????Q???.I(an,bn]In=1,2, 8?}???.!an}???}?????.?l?e?r 1)(ai,bi]D(a2,b2]D...D(a,,,bn]D...; 2)nlo(bn??b4)??b1 ?(???v?,????e?????"?r???????Q??(an,bn]?l?e lim__lim,_b1 n---p-co-nn-00-nb4 ???Z:???A???U???Q???.IEan',bn]In=1,2,...} 8?}Ian}???}?????.?lIbn}?Q?}?????.?l??bn=b?l?e?r 1)(ai,b]D(a2?lb]D...D(an,b]D... 2)nl00(b??an)??b1 ?(???v?,????b?????"?r???????Q??(an,b]?l?e lim__L n-??bnbg0?l?= ???Z:???A???U???Q???.{bi??,b]In=1,2,...E ??ani= an+a,+1 2 n??1,2,---b1?(???Q???.{[an', b]}???????Q???????J???????l???,???v?,????1?? ???"?r???Q??bian',b?l?e lim?lA(=D n-"acbg??AM1b1 ?!?c an+an+1 2)???lb1limn-+00a-??b?l?e lim n-~??00 ?l_lim n-??bn??babg 2 b. nlimn--p-co??b4+b4*1?????~????A)?l?*e- an?? an+an+1 2 ???????Q???????J???????l???,???v?, ????e?????"?r???Q??bian',bn]?l?+?[???U?,????e ???????"?r???????Q??(an,bn]?l?e?r lim_?l_lim?l__?l n-oo-nn??00?lA: ???l???rb1lim-*coan??b1lim+00bn??e. ?????????Q??(an,bn]n=1,2,8????ibean,bn)n= 1,2,8??+?[?r ????2???r???????Q??I[a.,bn)In=1,2,...f, ???.Ibn}???}?????.?l?e?r 1)[al,bl)D[a2,b2)D...::D[an,bn)D... 2)nl-l.oo(bn??an)??b1?(???v?,????e?????"?r ???????Q??bean,bn)?l?enlimn---s-cob4??1imn--+oobn??80 ????3???r???????Q???.I(a.,bn)In=1,2, ?l?J?N???r ????4???r???????Q???.{[a,bn)In??1,2, 8?}?lIbn}???}?????.?l?e?r 1)[a,bl)D[a,?Q)D...D[a,bn)D... 2)nl'roo(bn??a)??b1 ?(???v?,????a?????"?r???????Q??bea,bn)?l?e nlimn-*0obn??a ????3?Z????4?,?????????l?f?!???v?,????B ?????"?r???????Q??(an,b]?Vbea,bn),n=1,2,---?l?l ?e???U?,????B?c?,????a?Vbb1???????y???,?l?? ?????Q???.{(an,b]}?ZI[a,bn)}???}???????????? ???,????b1???[?l?????Q???.?????U?????,?}??a?V b?l???r???]??????b1 ???2???p: [1]???)?u?2?d????????.?????J??beM].?.??:???N?????? ?L?+?l1980. [2bg?M???y?l??????.?????J?????B(?n??)[M].?.??:???B?? ?????L?+?l1992. (?I???V??:?c??) 2005年6月渝西学院学报(自然科学版)Jun.。2005 Sciences第4卷第2期Jo啪alofWestemChongqingUniversity(NalureEdition)V01.4No.2 闭区间套定理的推广 毛一波 (渝西学院数学与计算机科学系,重庆永川402160) [摘要]从两个方面对实数集R1上的闭区间套定理进行了推广,得到了一般完备度量空间 上的闭区间套定理。而一般实数集彤空间上的闭区间套定理为其特例,并利用R“空间上的 闭区间套定理得到了彤空间上的聚点定理. [关键词]闭区间套;度量空问;完备性 [中图分类号]0174.3[文献标识码]A[文章编号]1671—7538(2005)02—0026—02 实数集具有许多好的性质,如Archimedes性、完备性、连续性和稠密性.实数集上的闭区间套定理和其它几个定理如聚点定理、有限覆盖定理都反映了实数集的完备性.其实,从度量空间来看,实数集就是一个完备的度量空间,闭区间套定理和聚点定理等恰是对实数集空问的完备性的反映.有鉴于此,关于实数集R1上的闭区间套定理完全可以进行推广. 1实数集R1上的推广 设{(fi。,b。)}是一个严格的开区间套,即满足fi。n时,有E。cE。,所以石。,并。∈E。』0(z。X。.)≤d(E。)一0(rt一∞),从而点列{菇。}是基本列,而E。为闭集,故{戈。}收敛于一点车,且∈∈E。n=1,2,一. 再证唯一性.若还有一点}7,且拿7EE。,n=l,2,….则由度量P的次可加性:lD(手,拿7)≤lD(e,戈。)+p(戈。,手7)≤2d(E。)一0(/7,一∞),可知10(∈,车7)=0,且p搴=e7. 3R“空间上的闭区间套定理 对于一般的n维实数空间彤,在其上定义度量P(并,Y)=[(戈。一Y,)2+…+(并。一Y。)2]l/2,其中石=(菇l’.一,‰),Y=(Yl,.一,Y。)ER“,则R“为完备的度量空间,10即为通常所说科空间上的距离.因此,凡维实数空间R“为特殊的完备度量空间.关于R『I空间上的闭区间套定理形式为: 定理4设{E。}是rt维实数空间彤的闭集列,满足:(1)E。3E。。,n=1,2,…;(2)d(E。)一0,(凡一∞).则在彤中存在唯一的一个点e,使得e∈E。n=1,2,…. 定理4实为文献[3]中尺2空间上的闭区间套定理的推广. 利用定理4,可以把1维实数集R1上的完备性定理推广到彤空间中去,下面仅以彤空间中的聚点为例来说明,对于其它几个完备性定理,同样可作类似的推广. 定义5称点搴∈R“为点集Ec彤的一个聚点,若在点拿的任何£邻域U(车,e)={PER“IP(P,手)<e}内都含有E中无穷多个点. 定理5(Weierstrass)聚点定理设E为彤中的有界无限点集,则E在兄”中至少存在一个聚点.证明:以3维情形为例,对于其它高维情形,可类似证明.由于层是一个有界集合,因此存在一个闭的正方体E.包含E.连接正方体的对边中点,把E;分成8个小的闭正方体,则在这8个小的闭正方体中,至少有一个小闭正方体含有E中无限个点,记这个小闭正方体为E:;再对小闭正方体E:如上法分成8个更小的小闭正方体,其中又至少有一个小闭正方体含有E中无限个点,记这个小闭正方体为E,.如此下去得到一个闭正方体序列E。3E:]E,3….容易看出,这个闭正方体序列的边长随着凡趋向于无穷大而趋于0,于是由闭区间套定理5知存在一点搴ER3,使得手∈E。,n:I,2,…. 现在证明拿就是E的聚点.任取手的£邻域U(搴,£),当n充分大之后,正方体的边长可小于e12,即有E。cu(手,£).又由E。的取法可知,U(e,£)中含有E的无穷多个点,这就表明手是E的聚点. [参考文献] [1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001 [2]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(M].北京:北京大学出版社,1987.. [3]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001 GeneralizedTheoremofNestedClosedInterval MAOYi—bo (Dept.ofMathematics&ComputerSciene.WesternChongqingUniversity,YongchuanChongqing402160,Ch/na) Abstract:TheoremofnestedclosedintervalinR1isgeneralizedtogenericpletemetricspace.ThetheoreminR“isitsparticularcase.ThetheoremofaccumulationpointinR“canprovedbytheoremofnestedintervalinR“. Keywords:nestedclosedinterval;metricspace;pleteness27 闭区间套定理的推广 作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数:毛一波, MAO Yi-bo渝西学院,数学与计算机科学系,重庆,永川,402160渝西学院学院(自然科学版)JOURNAL OF WESTERN CHONGQING UNIVERSITY(NATURE SCIENCE)2005,4(2)0次 参考文献(3条) 1. 华东师范大学数学系 数学分析 2001 2. 张恭庆. 林源渠 泛函分析讲义 1987 3. 华东师范大学数学系 数学分析 2001 相似文献(3条) 1.期刊论文 李响. 李春明 闭区间套定理的延伸 -齐齐哈尔大学学报(自然科学版)2008,24(4) 区间套定理是数学分析的基本定理之一,也是一个刻划实数连续性的等价命题,它常常报某区间上满足的性质采用对分法归结为某点的局部性质,这种方法往往简单而有效,因而引起人们研究的兴趣,在文献[1]中给出了R"空间的区域套定理,本文将进一步延伸到度量空间. 2.期刊论文 吴从炘. 李洪亮. Wu Congxin. Li Hongliang 两个基本定理在模糊数度量空间的推广 -黑龙江大学自然科学学报2008,25(2) 基于模糊数及模糊数度量空间的研究,引入连续模糊数的概念,并给出了模糊数空间中的单调有界序列收敛的一个充分条件:对任意的自然数n,un 是模糊数,{un}∞n=1是模糊数空间中单调减有下界的序列,下确界u是连续模糊数,如果满足lim n→∞u+n(0)=lim lim x→0n→∞un+(x),那么un收敛,并且lim n→∞D(un,u)=0.在给出一个序列极限换序的引理后,得到了闭区间套定理在模糊数空间中的推广,这个定理的表述和经典的数学分析中的表述基本上完全一致. 3.学位论文 黄欢 模糊数及模糊度量空间中若干问题的研究 2002 该文研究了模糊数空间和模糊度量空间的有关理论,主要内容如下:1.引入了模糊数的台数概念,给出了模糊数空间E<'n>上Kaleva和Seikkla[54]意义下的水平收敛的等价刻画.2.给出了吴从忻、吴冲[30]得到的模糊数集的确界存在定理的一个简洁证明,并利用此定理在空间(E<'n>,т(l))中建立了模糊数序列的单调收敛定理和闭区间套定理.3.利用模糊数序列水平收敛意义下极限存在的充要条件,在分析了水平连续函数结构特点的基础上,证明了闭区间上水平连续的模糊数值函数存在上、下确界,并给出了上、下确界的具体表达式.4.给出了模糊数空间上D<,∞>度量的等价刻画,讨论了模糊数的send-图性质.在此基础上,给出了一个反例.5.在L,R较为一般情形下,给出了模糊度量空间定义中三角不等式(iii)的等价刻画,推广了Kaleva和Seikkla[54]在L=min,R=max情形下得到的结果.在此基础上,克服了L=min,R=max的限制,建立了较为一般的模糊度量空间的完备化定理. 本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_yxxyxb-z200502003.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:f09773ab-7c91-45e7-bd93-9dca01075150 下载时间:2010年8月6日 2007年第4期辽宁教育行政学院学报 有发挥技术水平的余地;其次,从开始的时候就应该仔细读谱,放慢速度练习,不能贪多求快;最后,教师引导学生了解作曲家生活时代背景、写作背景也是把握好乐曲的关键所在。在演奏的时候,学生应在心里跟着乐曲歌唱,既充满激情又放松心态,使自己完全投入到要表现的音乐意境中去。 (责任编辑:王晓东) 在10℃ ̄100℃,可以作为第一个闭区间[10,100];取其中点55℃进行测定,结果TMV没有死亡,则测定温度范围改为55℃ ̄ 100℃,可以作为第二个闭区间[55,100];取其中点77℃进行测 定,结果TMV也没有死亡,于是测定温度范围改为77℃ ̄100℃,可以作为第三个闭区间[77,100];再取其中点86℃进行测定, TMV还没有死亡,则测定温度范围改为86℃ ̄100℃,可以作为 第四个闭区间[86,100],依次下去,可以将TMV的致死温度90℃测定出来。 在科学研究中,有时间接应用闭区间套定理。例如,小麦的条锈病、秆锈病和叶锈病是农业生产的重要病害,是由于不同的柄锈菌引起的,这些不同的病原菌可以通过真菌检索表(包含门、纲、目、科、属、种)对比查找出来,而对比查找真菌检索表的过程就相当于通过闭区间套定理的形式将病原菌检索纲、目、科、属、种转化为一系列闭区间,将真菌出来,是将门、 的名称限定出来。过程如下:条锈病菌属于真菌界,特征区别于植物和动物,可以当作第一个闭区间A1;而真菌门的特征为原生质团或原生团缺乏,营养体阶段为黄型的菌丝体,作为第二个闭区间A2;真菌门中担子菌亚门的特征为有性阶段,有性阶段的孢子为担孢子,作为第三个闭区间A3;担子菌亚门中冬孢菌纲的特征为无担子果,有冬孢子,作为第四个闭区间A4;冬孢菌纲中锈菌目的特征为担子自外生型冬孢子发生,以横隔膜分成4个细胞,每个细胞产生1个担孢子,担孢子由小柄上产生,孢子强烈散射,作为第五个闭区间A5,这样通过构造闭区间套A1! A2! A3! A4! A5…有限步骤,将条锈病菌检索出来。 三、闭区间套定理在日常生活中的应用 闭区间套定理不仅在科学研究中可以应用,而且在日常生活中也常有反映。例如,报纸上经常刊登寻人启示,描述被身高、头发颜色、口音等。每一种描述寻找人的特征,如衣着、 可以看作一个闭区间或者一个集合,通过构造一系列闭区间,将被寻找人限定出来,过程如下:将被寻找人的衣着特征作为第一个闭区间A1;被寻找人的衣着特征和身高特征作为第二(或集合)A2;被寻找人的衣着特征、身高和头发颜个闭区间 色,作为第三个闭区间(或集合)A3;被寻找人的衣着特征、身(或集合)A4;依次下高、头发颜色、口音,作为第四个闭区间去,通过有限步骤,可以将被寻找人限定出来。 将此定理应用到数学教学、科学研究及日常生活中,可以找到这个定理应用及其联系实际的新方向。 (责任编辑:王晓东) 闭区间套定理的应用 刘宪敏,段庆斌,李海春 (沈阳农业大学基础部,辽宁沈阳 110161) 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 一、闭区间套定理在数学教学中的应用 闭区间套定理:若有闭区间列{[an,bn]},且对任意n都有下列条件: (an-bn)=0,则存在唯一的数l属①[an,bn]! [an+1,bn+1]②lim n→∞ 于任意一个闭区间[an,bn],且lim=limbn=l n→∞n→∞ 闭区间套定理应用在数学教学中,可以证明零点定理等。在零点定理证明过程中,我们先构造闭区间列[an,bn],且满足闭区间套定理条件[an,bn]! [an+1,bn+1]。假定区间两端点的(a2),f函数值中是相反的,可以得到一系列的函数值f(a1),f(a3),…,(fan),…(fbn)…,(fb2),(b1)。假设(fx)是单调增加的,有((b1),于是fa1)≤(fa2)≤…≤(fan)≤…≤(fbn)≤…≤(fb2)≤我们可把(fa1)和(fb1)作为第一个区间端点,(fa2)和(fb2)作为第二个区间的端点,…,(fan)和(fbn)作为第n个区间的端点,这样设计正好满足闭区间套定理的第一个条件[an,bn]! [an+1,bn+1];又因((bn-an)≤0,从而fx)在闭区间[a,b]上是连续的,且0≤lim n→∞ 可以保证(fan)和(fbn)的差是无限小的,即lim(fbn)=lim(fan), n→∞ n→∞ 所得的函数值(fan)和(fbn)又满足闭区间套定理第二个条件,可以证明出来。 闭区间套定理可以证明零点定理。在证明中,应用二等分法构造出一列闭区间,使它具有共同性质P*(性质P*要根据给定条件P来确定),运用二等分法,将具有此性质区间(集合)二等分,比较分点是否具有P*的性质,至少可得一个闭区间具有性质P*,然后继续运用二等分法,得到满足闭区间套定理的条件同时具有性质P*的闭区间列,由定理结论得到唯一一个具有性质P的数或集合(这个性质P*随性质P的不同而变化)。在日常生活中应用时,不一定经过无限的步骤,有时经过有限的步骤,就可以将满足性质P*的数或集合找出来。同时由于性质P的情况多种多样,应用在科学研究和日常生活中也是多种多样的。 二、闭区间套定理在科学研究中的应用 在科学研究中,有时直接可以应用闭区间套定理。例如,植物病理学中研究烟草花叶病毒(TMV)三常规特性中的致死温度时,就可以应用闭区间套定理。过程如下:开始研究TMV的致死温度时,由于不知到致死温度是多少,将研究温度设定 课堂教学中如何沟通师生间的情感 尹淑华 (瓦房店市第一中等职业技术学校,辽宁瓦房店 116300) 在课堂教学中,教师必须以适当的方式、方法适时地引导、沟通师生间、学生间的情感,使彼此产生良好的情感体验,才能有利于教学工作的顺利进行,为此要注意以下五个方面。 一、教态表情 教师亲切和蔼的面容、期待的目光、恰当的手势动作等教 转载请注明出处范文大全网 » Z_空间上的闭图像定理及应用范文三:关于闭区间套定理
范文四:闭区间套定理的推广
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