范文一:求形心
利用几何方法确定图形的形心
彭浩
(机电学院 01016117) 指导教师:隋允康
摘要:利用几何作图法来确定图形的形心。 关键词:形心;几何方法
1 引言
我们曾经学过用理论的方法来确定规则图形的形心, 公式为:
n
z
c
=
∑
A
n
i
z i c
i
i =1
Y
c
=
∑i =1
n
n
A
i
y i c
i
∑
A
i =1
∑i =1
A
我们可以通过以上公式,求出任意图形的形心,这是解析几何的解法,本文则探讨
用几何方法对图形形心进行求解。
2 确定图形的形心
2.1 建立模型
由于组合图形的形心是分图形形心连线的交点,因此可利用几何方法求出组合图形的形心。下面我们用几何方法求解图1.1的形心。
l
图 1.1 2.2求解步骤
1)由对称性已知,直线l 为此几何图形的一条过形心的直线, 如图1.2所示。
2)我们把原始图形可分解为两个简单图形,如图1.3.1 、1.3.2所示,进行简单求解。
图1.2
图 1.3.1 图1.3.2
3)按两种方法对1.3.1进行分解,如图1.4.1、1.4.2所示,分别标出各矩形的形心,并连线。那么两直线交点E 就为图1.3.2的形心,如图1.4.3所示
B D
图1.4.2 图1.4.1
4)图1.3.2的形心如图1.5所示。
图 1.5
图 1.4.3
5)将图1.3.1、1.3.2两图形重合,连接两形心EF ,从而得到另一条过形心的直线l’,如图1.6所示
6)直线l 与直线l’的交点O 就为原图形的形心,如图1.7所示
l
'
F
F
l
图 1.6
图 1.7
3 结论
用几何方法求解形心问题相对用公式求解显得非常便捷,而且可以给人一种很直观的感觉。我们可以根据实际情况来选择用解析方法还是几何方法。
参 考 文
1 郑承沛. 材料力学. 北京工业大学出版社,1994.12
(责任编辑:白海波 唐乃梅)
献
范文二:钢结构截面形心受压稳定系数
附表2 轴心受轴件的轴定系构数
附表2.1 a轴截面轴心受轴件的轴定系构数φ0123456789
01.0001.0001.0001.0000.9990.9990.9980.9980.9970.996100.9950.9940.9930.9920.9910.9890.9880.9860.9850.983200.9810.9790.9770.9760.9740.9720.9700.9680.9660.964300.9630.9610.9590.9570.9550.9520.9500.9480.9460.944400.9410.9390.9370.9340.9320.9290.9270.9240.9210.919500.9160.9130.9100.9070.9040.9000.8970.8940.8900.886600.8830.8790.8750.8710.8670.8630.8580.8540.8490.844700.8390.8340.8290.8240.8180.8130.8070.8010.7950.789800.7830.7760.7700.7630.7570.7500.7430.7360.7280.721900.7140.7060.6990.6910.6840.6760.6680.6610.6530.6451000.6380.6300.6220.6150.6070.6000.5920.5850.5770.5701100.5630.5550.5480.5410.5340.5270.5200.5140.5070.5001200.4940.4880.4810.4750.4690.4630.4570.4510.4450.4401300.4340.4290.4230.4180.4120.4070.4020.3970.3920.3871400.3830.3780.3730.3690.3640.3600.3560.3510.3470.3431500.3390.3350.3310.3270.3230.3200.3160.3120.3090.3051600.3020.2980.2950.2920.2890.2850.2820.2790.2760.2731700.2700.2670.2640.2620.2590.2560.2530.2510.2480.2461800.2430.2410.2380.2360.2330.2310.2290.2260.2240.2221900.2200.2180.2150.2130.2110.2090.2070.2050.2030.2012000.1990.1980.1960.1940.1920.1900.1890.1870.1850.1832100.1820.1800.1790.1770.1750.1740.1720.1710.1690.1682200.1660.1650.1640.1620.1610.1590.1580.1570.1550.1542300.1530.1520.1500.1490.1480.1470.1460.1440.1430.1422400.1410.1400.1390.1380.1360.1350.1340.1330.1320.1312500.130—————————
附表2.2 b轴截面轴心受轴件的轴定系构数φ0123456789
01.0001.0001.0000.9990.9990.9980.9970.9960.9950.994100.9920.9910.9890.9870.9850.9830.9810.9780.9760.973200.9700.9670.9630.9600.9570.9530.9500.9460.9430.939300.9360.9320.9290.9250.9220.9180.9140.9100.9060.903400.8990.8950.8910.8870.8820.8780.8740.8700.8650.861500.8560.8520.8470.8420.8380.8330.8280.8230.8180.813600.8070.8020.7970.7910.7860.7800.7740.7690.7630.757700.7510.7450.7390.7320.7260.7200.7140.7070.7010.694800.6880.6810.6750.6680.6610.6550.6480.6410.6350.628900.6210.6140.6080.6010.5940.5880.5810.5750.5680.5611000.5550.5490.5420.5360.5290.5230.5170.5110.5050.4991100.4930.4870.4810.4750.4700.4640.4580.4530.4470.4421200.4370.4320.4260.4210.4160.4110.4060.4020.3970.3921300.3870.3830.3780.3740.3700.3650.3610.3570.3530.3491400.3450.3410.3370.3330.3290.3260.3220.3180.3150.3111500.3080.3040.3010.2980.2950.2910.2880.2850.2820.2791600.2760.2730.2700.2670.2650.2620.2590.2560.2540.2511700.2490.2460.2440.2410.2390.2360.2340.2320.2290.2271800.2250.2230.2200.2180.2160.2140.2120.2100.2080.2061900.2040.2020.2000.1980.1970.1950.1930.1910.1900.1882000.1860.1840.1830.1810.1800.1780.1760.1750.1730.1722100.1700.1690.1670.1660.1650.1630.1620.1600.1590.1582200.1560.1550.1540.1530.1510.1500.1490.1480.1460.1452300.1440.1430.1420.1410.1400.1380.1370.1360.1350.1342400.1330.1320.1310.1300.1290.1280.1270.1260.1250.1242500.123
附表2.3 c轴截面轴心受轴件的轴定系构数φ0123456789
01.0001.0001.0000.9990.9990.9980.9970.9960.9950.993100.9920.9900.9880.9860.9830.9810.9780.9750.9730.970200.9660.9590.9530.9470.9400.9340.9280.9210.9150.909300.9020.8960.8900.8840.8770.8710.8650.8580.8520.846400.8390.8330.8260.8200.8140.8070.8010.7940.7880.781500.7750.7680.7620.7550.7480.7420.7350.7290.7220.715600.7090.7020.6950.6890.6820.6760.6690.6620.6560.649700.6430.6360.6290.6230.6160.6100.6040.5970.5910.584800.5780.5720.5660.5590.5530.5470.5410.5350.5290.523900.5170.5110.5050.5000.4940.4880.4830.4770.4720.4671000.4630.4580.4540.4490.4450.4410.4360.4320.4280.4231100.4190.4150.4110.4070.4030.3990.3950.3910.3870.3831200.3790.3750.3710.3670.3640.3600.3560.3530.3490.3461300.3420.3390.3350.3320.3280.3250.3220.3190.3150.3121400.3090.3060.3030.3000.2970.2940.2910.2880.2850.2821500.2800.2770.2740.2710.2690.2660.2640.2610.2580.2561600.2540.2510.2490.2460.2440.2420.2390.2370.2350.2331700.2300.2280.2260.2240.2220.2200.2180.2160.2140.2121800.2100.2080.2060.2050.2030.2010.1990.1970.1960.1941900.1920.1900.1890.1870.1860.1840.1820.1810.1790.1782000.1760.1750.1730.1720.1700.1690.1680.1660.1650.1632100.1620.1610.1590.1580.1570.1560.1540.1530.1520.1512200.1500.1480.1470.1460.1450.1440.1430.1420.1400.1392300.1380.1370.1360.1350.1340.1330.1320.1310.1300.1292400.1280.1270.1260.1250.1240.1240.1230.1220.1210.1202500.119
附表2.4 d轴截面轴心受轴件的轴定系构数φ0123456789
01.0001.0000.9990.9990.9980.9960.9940.9920.9900.987100.9840.9810.9780.9740.9690.9650.9600.9550.9490.944200.9370.9270.9180.9090.9000.8910.8830.8740.8650.857300.8480.8400.8310.8230.8150.8070.7990.7900.7820.774400.7660.7590.7510.7430.7350.7280.7200.7120.7050.697500.6900.6830.6750.6680.6610.6540.6460.6390.6320.625600.6180.6120.6050.5980.5910.5850.5780.5720.5650.559700.5520.5460.5400.5340.5280.5220.5160.5100.5040.498800.4930.4870.4810.4760.4700.4650.4600.4540.4490.444900.4390.4340.4290.4240.4190.4140.4100.4050.4010.3971000.3940.3900.3870.3830.3800.3760.3730.3700.3660.3631100.3590.3560.3530.3500.3460.3430.3400.3370.3340.3311200.3280.3250.3220.3190.3160.3130.3100.3070.3040.3011300.2990.2960.2930.2900.2880.2850.2820.2800.2770.2751400.2720.2700.2670.2650.2620.2600.2580.2550.2530.2511500.2480.2460.2440.2420.2400.2370.2350.2330.2310.2291600.2270.2250.2230.2210.2190.2170.2150.2130.2120.2101700.2080.2060.2040.2030.2010.1990.1910.1960.1940.1921800.1910.1890.1880.1860.1840.1830.1810.1800.1780.1771900.1760.1740.1730.1710.1700.1680.1670.1660.1640.1632000.162
注,1. 附表2.1~2.4中的φ轴按下列公式算得,
当轴,
当轴,
式中、、轴系~根据附表数2.5采用
2. 当构件的轴超出表2.1至2.4的范轴轴~轴φ轴按注1所列的公式轴算。
附表2.5 系数、、
截面轴轴
0.410.9860.152a轴
0.650.9650.300b轴
0.730.9060.595c轴
1.2160.302
1.350.8680.915d轴
1.3750.432
范文三:钢结构 截面形心受压稳定系数
附表2 轴心受压构件的稳定系数
附表2.1 a类截面轴心受压构件的稳定系数φ
附表2.2 b类截面轴心受压构件的稳定系数φ
附表2.3 c类截面轴心受压构件的稳定系数φ
附表2.4d 类截面轴心受压构件的稳定系数φ
注:1. 附表2.1~2.4中的φ值按下列公式算得:
当λn =f y /E ≤0. 215时: π2=1-α1λn λ
当λn ≥0. 215时:
=1?2α2+α3λn +λn -2?2λn ?()(α2+α3λn +λn 2)22?-4λn ? ?
式中α、α、α为系数,根据附表2.5采用 123
2. 当构件的λf y /235值超出表2.1至2.4的范围时,则φ值按注1所列的公式计算。
附表2.5 系数α、α、α 123
范文四:(a)组合截面形心的坐标为
A-8 (a)组合截面形心的坐标为C
Az,Az,Az2Az,Az12312CCCCC12312z,,CA,AA,A1212
2,400,50,200,350,100,450,,316.7mm2,400,50,350,100
350,4002,III94 ,,I,I,2,[,316.7-200,50,400],1.078,10mmyyCC12
3350,100,294 I,,(450,316.7),350,100,0.651,10mmyC12
所以,整个截面对轴的惯性矩为 yc
,IIIII9994 I,I,I,I,1.078,10,0.651,10,1.73,10mmyyyyCCCC
(b)采用负面积法,组合截面形心的坐标为 C
Az,Az800,500,400,550,400,37512CC12 z,,,430.6mmCA,A800,500,550,40012
3500,8002,104,, I,,430.6-400,500,800,2.171,10mmyC12
3400,550,2104 I,,(430.6-100,275),400,550,0.623,10mmyC12
所以,整个截面对轴的惯性矩为 yc
,,1010104 I,I,I,2.171,10,0.623,10,1.55,10mmyyyCCC
范文五:截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算
2.1面积矩
1.面积矩的定义
图2-2.1任
意截面的几何图形
如图
2-31所示为一任意截面
的几何图形(以下简称图形)。定义:积分
和
分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静
矩,用符号
Sz和Sy,来表示,如式(2—2.1)
(2—2.1)面积矩的数值可正、可负,也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方,其常用单位为m3或mm3。
2.面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2)
或改写成,如式(2—2.3)
(2—2.3)
面积矩的几何意义:图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距
离愈远,对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零;反之,图形对某一轴的面积矩等于零,该轴一定通过图形形心。
3.组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4)
(2—2.4)
式中,A和yi、zi分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)
2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1.极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。定义:积分
称为图形对O点的极惯性矩,用符号IP,
表示,如式(2—2.6)
(2—2.6)
极惯性矩是相对于指定的点而言的,即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正,其量纲是长度的4次方,常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩,如式(2—7)
(2—2.7)
(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩,如式(2—2.8)
(2—2.8)
式中,d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2.惯性矩
在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2.9)
(2—2.9)
称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的,同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值,其量纲和单位与极惯性矩相同。
同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。
如式2—2.10)
IP=Iz+Iy (2—2.10)
上式表明,图形对任一点的极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。
表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯性矩计算公式,以便查用。工程中使用的型钢截面,如工字钢、槽钢、角钢等,这些截面的几何性质可从附录的型钢表中查取。
3.惯性积
如图2—32所示,积分
定义为图形对y,、
z轴的惯性积,用符号Iyz表示,如式(2—11)
(2—11)
图2-2.2具有轴对称的图形
惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的,即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积不同,惯性积的数值可正、可负、可为零,其量纲和单位与惯性矩相同。
由惯性积的定义可以得出如下结论:若图形具有对称轴,则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标抽的惯性积为零。如图2-32所示,y为图形的对称轴.则整个图形对y、z轴的惯,性积等于零。
常见图形的面积、形心和惯性矩
表2—2.1 序
形 心 位
图 形 面 积
惯性矩
(形心轴
)
号
置
1
2
3
4
5
6
2.3组合截面的惯性矩
.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
任意平面图
图2-33所示。z、对正交的形心轴,
1y
y1为与形心轴平行的另一对正交轴,平行轴间的距离分别为a和b。已知图形对形心轴的惯性矩Iz、Iy和惯性积
Izy,现求图形对z1、y1轴的惯性矩Iz1、Iy1和惯性积Iz1y1。有惯性矩和惯性积的平行移轴公式如式(2—2.12)和式(2—2.13)
(2—2.12)
Iz1y1=Izy+abA (2—2.13)
可见,图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中最小的一个。在应用平行移轴公式(2—2.12)时,要注意应用条件,即y、z轴必须是通过形心的轴,且z1、y1轴必须分别与z、y轴平行。在应用式(2—2.13)计算惯性积时,还须注意a、b的正负号,它们是截面形心c在z1oy1坐标系中的坐标值。
2.组合截合惯性矩计算
组合图形对某一轴的惯性矩,等于其各组成部分简单图形对该轴惯性矩之和,如式(2—2.14)
(2—2.14)
在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时,应先将组合图形分成若干个简单图形,并计算出每一简单图形对平行于z、y轴的自身形心轴的惯性矩,然后利用平行移轴公式(2—2.12)计算出各简单图形对z、y轴的惯性矩,最后利用式(2—2.14)求总和。
2.4主惯性轴和主惯性矩
过图形上任一点都可得到一对主轴,通过截面图形形心的主惯性轴,称为形心主轴,图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。在对构件进行强度、刚度和稳定计算中,常常需要确定形心主轴和计算形心主惯性矩。因此,确定形心主轴的位置是十分重要的。由于图形对包括其对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积为零,所以对于如图6-4所示具有对称轴的截面图形,可根据图形具有对称轴的情况,观察确定形心主轴的位置。
(1)如果图形有一根对称轴,则此轴必定是形心主轴、而另一根形心主轴通过形心,并与对称轴垂直,如图2-34 b)、d)所示。
(2)如果图形有两根对称轴,则该两轴都为形心主轴,如图6-4 a)、c)所示。
(3)如果图形具有3根或更多根对称轴,过图形形心的任何轴都是形心主、轴,且图形对其任一形心主轴的惯性矩都相等,如图6-4 e)、f)所示。
图2-2.4具有称轴的截面图
抗弯截面系数
在横截面上离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大,其值为
比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关,称为抗弯截面系数,并用Wz表示,即 Wz=Iz/ymax 由公式可见,最大弯曲正应力与弯矩成正比,与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数Wz
综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。 一些常用抗弯截面系数